5
En la información meteorológica proporcionada por la televisión un día concreto, se puede observar que en distintas localidades soplan vientos diferentes: del noreste (NE), del este (E), del sudoeste (SO) y del noroeste (NO). Las principales direcciones del viento en meteorología son cuatro y en cada dirección se diferencian los dos sentidos posibles. Por ejemplo, el viento del N y el viento del S soplan en la misma dirección pero en sen-tido contrario. Lo mismo sucede con el viento del E y el del O.
Estas direcciones vienen dadas por la rosa de los vientos, en la que están marcadas 2además de las direcciones NS y EO2 dos direcciones inter-medias, como puedes observar en la fotografía. Cada dos direcciones consecutivas forman un ángulo de 45°.
Ángulos
y medidas
sexagesimales
1. Elementos del plano.
2. El ángulo como región del plano.
3. Medida de los ángulos.
4. El ángulo como giro. Clasifi cación de los ángulos.
5. Operaciones con ángulos.
6. Relaciones entre ángulos.
7. El sistema sexagesimal. Medida del tiempo.
8. Operaciones con unidades de tiempo.
En esta unidad trabajaremos las siguientes com-petencias, aparte de la matemática:
3. Competencia en el conocimiento y la interac-ción con el mundo físico.
4. Tratamiento de la información y competencia digital.
6. Competencia cultural y artística.
Competencias básicas
Defi nir el concepto de ángulo como región del plano y como giro.
Operar gráfi camente con ángulos y dibujar la bisectriz de un ángulo, utilizando correctamente el compás.
Conocer las aplicaciones del transportador de ángulos y saber utilizarlo correctamente.
Clasifi car los ángulos según varios criterios.
Conocer algunos casos de igualdad de ángulos.
Conocer y relacionar las unidades de medida de ángulos y las de tiempo.
Utilizar la calculadora científi ca para expresar una me-dida sexagesimal de forma compleja a incompleja y viceversa.
1. Razona si son verdaderas o falsas las si-guientes afi rmaciones:
- Un punto P divide una recta r en dos semirrectas.
- Una recta r divide el plano en dos re-giones que se denominan semiplanos. - Dos rectas secantes dividen el plano en
dos semiplanos.
2. ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las seis de la tarde?
3. ¿Cuántos segundos hay en una hora?
4. Si son las seis y media de la tarde, ¿qué hora marcará un reloj digital?
1.
Elementos del plano
¿Te parece que una hoja de papel sobre una mesa se puede considerar la repre-sentación de un plano?
No, solo es una pequeña parte de un plano. En realidad, el plano no lo podemos materializar entero. Por este motivo consideramos solo una parte del plano, y en esta parte podemos dibujar diferentes elementos que lo caracterizan.
Utilizando una regla, podemos dibujar un trozo de recta. Hay que tener en cuenta que esta se podría prolongar indefi nidamente en los dos sentidos.
Si dibujamos dos rectas sobre un mismo plano, puede que sean paralelas o que sean secantes, dependiendo de los puntos que tengan en común.
t u r
s
P
Paralelas Secantes
Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común.
Dos rectas son secantes si tienen un único punto en común, P, que se denomina punto de intersección de las dos rectas.
Si fi jamos un punto P en una recta, nos queda dividida en dos trozos; cada uno de estos trozos es una semirrecta. Una semirrecta tiene un origen, el punto P, pero no tiene fi nal.
Si consideramos dos puntos de una misma recta, tenemos un segmento. Los puntos
A y B de la recta de la fi gura son los extremos del segmento AB, que se representa por AB.
Un segmentoAB— es el trozo de recta limitado por dos puntos, A y B, denominados extremos.
Los segmentos que tienen un extremo en común se denominan consecutivos.
Los puntos y las rectas son los elementos básicos del plano a partir de los que ob-tenemos las semirrectas y los segmentos. Estos nuevos elementos nos permitirán descubrir otros.
Dados dos puntos P y Q solo existe una recta que pase por los dos.
Actividades propuestas
1. Dibuja una recta y señala en ella dos puntos A y
B. ¿Qué elementos determinan estos dos puntos sobre la recta?
2. Utiliza la escuadra y el cartabón para dibujar rectas paralelas a una recta determinada. Haz deslizar la escuadra sobre el cartabón. También puedes reali-zarlo con una regla y una escuadra o cartabón.
P
Q
A B
C
AB y BC son consecutivos
P
P
A
A B
2.
El ángulo como región del plano
Este mapa corresponde a una zona determinada de la ciudad de Valencia. ¿Qué elementos del plano identifi cas en este mapa?
Puedes observar calles que se cortan entre sí formando diferentes ángulos.
r
s
Las rectas r y s de la fi gura son rectas secantes, y dividen el plano en cuatro regiones. Cada una de estas cuatro regiones es un ángulo.
Un ángulo es la región del plano determinada por dos semirrectas con el mismo origen. Este origen común, el punto A, es el vértice del ángulo. Las dos semirrec-tas son los lados del ángulo.
Habitualmente un ángulo se designa con la letra de su vértice. El ángulo de la fi gura es el ángulo A.
Si dos rectas secantes forman cuatro ángulos iguales, las rectas se denominan
perpendiculares, y cada uno de los ángulos es un ángulo recto.
q q
P
P p
p
Ángulo recto
En caso de que tengamos más de un ángulo con el mis-mo vértice, utilizamis-mos letras minúsculas o números para que quede claro a qué ángu-lo nos referimos.
b
1
2
P
a P
Actividades resueltas
1. Compara los ángulos siguientes:
A
B
Para comparar dos ángulos superponemos un lado de cada uno de dichos ángulos y sus vértices: si los otros dos lados no coinciden, los ángulos son diferentes y
es menor el ángulo que queda con el lado no común dentro del otro ángulo.
A ,B
Observa el dibujo. El ánguloA es menor que el ángulo
B. Lo expresamos así: A < B.
Actividades propuestas
3. Emplea la escuadra y el cartabón para dibujar rectas
perpendiculares a una recta determinada. 4. Dibuja cuatro ángulos que compartan un mismo lado.
A ^A
vértice
3.
Medida de los ángulos
¿Cuánto mide el ángulo dibujado en el córner de un campo de fútbol?
La medida de un ángulo se denomina amplitud.
Para medir un ángulo hay que compararlo con otro que se toma como unidad. Una unidad de medida de los ángulos es el ángulo recto, que expresamos por 1 R.
A
1 R
Observa cómo podemos utilizar el ángulo recto para medir otros ángulos.
Medimos con el ángulo recto A los ángulos B y C:
El ángulo B es menor que el ángulo recto. Su amplitud no llega a 1 R.
El ángulo
C es mayor que el ángulo recto. Su amplitud es mayor que 1 R:
A C A
C
El ángulo recto es una unidad de medida demasiado grande y los resultados obte-nidos cuando la utilizamos son muy poco precisos. Por lo tanto, necesitamos una unidad menor.
La unidad de medida de ángulos más habitual es la que resulta de dividir el ángulo recto en 90 partes iguales. Esta unidad la denominamos grado.
Si dividimos el ángulo recto en 90 partes iguales, cada una de estas partes es un ángulo de amplitud un grado. Así, 1 R5 90°.
Evidentemente, los cuatro ángulos de las esquinas de un campo de fútbol miden 90°, siempre y cuando sus lados estén pintados a la perfección.
Sabías que…
Los camaleones pueden mo-ver los ojos independiente-mente, lo cual les brinda una visión de casi 360º con un pequeño punto ciego tras la cabeza.
A
A
B
3.1.
Medir ángulos con el transportador
Con la ayuda del transportador de ángulos, o semicírculo graduado, podemos medir la amplitud de un ángulo.
Observa cómo situamos el transportador.
0 1 0 2 0 30 40 50 60 70
80 90 100 11
0 1 20 13
0 14
0 1
50 16
0 1
70 1 80 18 0 170 1 60 150 14
0 1
30
120 1
10 100 90 80 70
60
5 0 4
0 3
0 2
0 1 0 0 0 10 20 30 40 50 60
70 80 90 100 110 1
20 13
0 14
0 1
50 16
0 1
70 1 80 18 0 170 1 60 150 14
0 1
30 120
110 100 90 80 70 60
5 0 4
0 3
0 2
0 1
0 0 P 0 10 2 0 30 40 50 60 70
80 90 100 110 1
20 13
0 14
0 1
50 16
0 1
70 1 80 18 0 170 1 60 150 14
0 1
30
120 1
10 100 90 80 70
60
5 0 4
0 3
0 2
0 1 0 0 0 10 20 30 40 50 60
70 80 90 100 110 1
20 13
0 14
0 1
50 16
0 1
70 1 80 18 0 170 1 60 150 14
0 1
30 120
110 100 90 80 70 60
5 0 4
0 3
0 2
0 1
0
0
Q
La intersección de la parte inferior del transportador coincide con el vértice del ángulo, y el lado inferior del ángulo pasa por el 0 del transportador.
El ángulo
P mide aproximadamente 40°, y el ángulo
Q, 150°.
Atención
Debes tener mucho cuidado cuando midas ángulos con el transportador.
Actividades propuestas
5. Utiliza el transportador de ángulos para medir la amplitud de los ángulos de la fi gura. Compara la am-plitud de estos ángulos con la de un ángulo recto.
B
C
6. Expresa en grados la amplitud del siguiente ángulo:
D 51,25 R
7. ¿Cuántos grados mide un ángulo de 0,6 R?
8. Con la ayuda del transportador de ángulos, dibuja un ángulo de 50° y otro de 120°.
Actividades resueltas
2. Expresa en grados la amplitud de los ángulos siguientes:
B 53 R
C 5 25R
Es sufi ciente con multiplicar por 90° la medida de cada ángulo expresada en ángulos rectos:
B5 3R 90°
1R 5 270°
C52
5 R 90°
1R 5 36°
3. ¿Cuántos ángulos rectos mide un ángulo de 225°?
En la actividad anterior hemos transformado un ángulo expresado en ángulos rectos a grados, multiplicando por 90°. Ahora hay que hacer la operación inversa, es decir, tenemos que dividir la medida expresada en grados entre 90°, que es la amplitud en grados de un ángulo recto. Así:
225° 1R
4.
El ángulo como giro.
Clasifi cación de los ángulos
¿Qué ángulo gira el minutero de un reloj en cinco minutos?
4.1.
El ángulo como giro
Imagina una semirrecta con origen en el punto P. Si la hacemos girar manteniendo fi jo este punto, la semirrecta barre una zona del plano durante su movimiento.
Si en un determinado momento paramos el movimiento de giro de la semirrecta, la zona del plano barrida está limitada por las posiciones inicial y fi nal de la semirrecta. Es, por lo tanto, un ángulo.
P P
Posic ión fi na
l
Posición inicial
Un ángulo es la región del plano que barre una semirrecta al girar alrededor de su origen, el punto P. El ángulo está determinado por las posiciones inicial y final de la semirrecta.
El giro se puede realizar en dos sentidos y cada sentido nos defi ne un ángulo. Indicando el sentido del giro mediante un arco de circunferencia orientado, ya ten-dremos claro a qué ángulo nos referimos.
Posición fi nal
Posición inicial
P
De los dos ángulos posibles, el menor se denomina convexo y el mayor se deno-mina cóncavo.
Ángulo convexo
Ángulo cóncavo
Giros especiales
Ahora vamos a fi jarnos en unos giros especiales:
Si la semirrecta está en la posición inicial y no ha barrido todavía ninguna zona del plano, porque no ha habido ningún giro, hablamos de un ángulo nulo, es decir, de 0°.
Si el giro es de 1
4 de vuelta, el ángulo barrido es un ángulo recto, es decir, mide 90°.
Si el giro es de 1
2 vuelta, el ángulo barrido se denomina ángulo llano. La amplitud del ángulo llano es de 2 R o 180°.
Si el giro es de 3
4 de vuelta, la amplitud del ángulo es de 3 R o 270°.
Si el giro completa la vuelta entera, ha barrido todo el plano y tenemos un
ángulo completo. La amplitud es de 4 R o 360°.
270°
P
P
Nulo
Recto 90°
P
Llano 180°
P
Completo 360°
P
Si el giro se lleva a cabo en el sentido contrario al sentido de giro de las agujas de un reloj, decimos que es en sentido directo. Si el giro es en el mismo sentido en que giran las agujas del reloj, entonces decimos que es en sentido inverso:
P Q
Sentido directo Sentido inverso
Sabías que…
La visión humana en el plano horizontal abarca algo más de 180°, y en el plano vertical unos 130°.
Sabías que…
Un objetivo de una cámara fo-tográfi ca que abarque más de 60° de visión en el plano ho-rizontal se llama gran angular.
Actividades resueltas
4. ¿Qué ángulo gira la manecilla minutera de un reloj en cinco minutos? ¿Y en un minuto? ¿Y la manecilla horaria en dos horas?
En una hora, el minutero realiza un giro completo, es decir, barre un ángulo de 360°. En este trayecto va pa-sando por los doce espacios numéricos, cada uno de los cuales corresponde a intervalos de cinco minutos.
Dividimos 360° : 12 5 30°. La amplitud del ángulo cuando el minutero recorre cinco minutos es de 30°. En un minuto, el minutero gira 6°, ya que 30° : 5 5 6°. La manecilla horaria en dos horas gira dos de estos doce espacios, por tanto, el ángulo de giro mide:
4.2.
Clasifi cación de los ángulos
Aparte de estos ángulos con nombre propio que ya has visto, hay otros criterios para clasifi car los ángulos.
Tipos de ángulos por comparación con el ángulo recto
Por comparación con el ángulo recto, los ángulos se clasifi can en agudos y obtusos.
R
Ángulo agudo
Q
Ángulo obtuso Recto 90°
P
El ángulo R es menor que un ángulo recto. Decimos que R es un ángulo agudo.
Un ángulo es agudo cuando mide menos de 90°.
El ángulo
Q es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano. Decimos que Q es un ángulo obtuso.
Un ángulo es obtuso cuando mide más de 90° pero menos de 180°.
Tipos de ángulos por comparación con el ángulo llano
Por comparación con el ángulo llano, los ángulos se clasifi can en convexos y cón-cavos.
R
Ángulo convexo Ángulo cóncavo
Llano 180°
P S
El ángulo R es menor que un ángulo llano. Decimos que R es un ángulo convexo.
Un ángulo es convexo cuando mide menos de 180°.
El ángulo
S es mayor que un ángulo llano. Decimos que
S es un ángulo cóncavo.
Observa que si tomamos dos puntos cualesquiera A y B de un ángulo convexo, el segmento que determinan está totalmente contenido en el ángulo.
En el caso de un ángulo cóncavo podemos encontrar dos puntos C y D que deter-minan un segmento que no se encuentra completamente en el interior del ángulo:
P
Q A
C D
B
Esta observación nos permite afi rmar que el ángulo llano es convexo y el ángulo completo es cóncavo:
R
A B
Ángulo llano D
S
Ángulo completo
Actividades propuestas
9. Expresa la amplitud de los ángulos barridos por la aguja minutera de un reloj al pasar desde las tres hasta:
a) Las 3 h y 35 min.
b) Las 3 h y 10 min.
c) Las tres y media.
d) Las cuatro menos veinte.
10. Al pasar de la dirección N a la NO se gira en sentido directo un ángulo de 45°. ¿Cuál es el ángulo de giro, también en sentido directo, al pasar de la dirección N a la SE?
11. Si el rumbo que tiene un barco es de 30° sobre el este, ¿qué ángulo debe girar para encontrarse solo a 10° de la dirección norte?
12. Mira a tu alrededor. Busca dos ejemplos de ángulos convexos y cóncavos que puedas mostrar al resto de la clase.
13. En esta página está representado el Hombre Vitru-vio, un famoso dibujo que realizó Leonardo da Vinci para estudiar la anatomía humana. Indica qué tipos de ángulos forman: las piernas entre sí, las piernas con el tronco, los brazos entre sí y los brazos con el tronco.
6 3 Actividades resueltas
5. ¿Cuál es la suma de los ángulos convexo y cóncavo que determinan dos semirrectas con el mismo origen? Si un ángulo convexo tiene una amplitud de 35°, ¿cuál es la amplitud del ángulo cóncavo correspondiente?
Gráfi camente te darás cuenta enseguida de que la suma siempre es de 360°, es decir, un ángulo completo. Así, si un ángulo convexo tiene una amplitud de 35°, la amplitud del ángulo cóncavo correspondiente será de 360° 2 35° 5 325°.
R
S
5.
Operaciones con ángulos
¿Qué ángulo forman las agujas del reloj cuando son las seis de la tarde? ¿Y tres horas después?
Con los ángulos, igual que con los números, también podemos efectuar ope-raciones. Antes de hacer ninguna, fíjate en los dos ángulos de la fi gura.
A
b
a
Los ángulos a y b tienen en común el vértice A y uno de sus lados. Decimos que a
y b son dos ángulos consecutivos.
5.1.
Suma
Para sumar los ángulos P y Q procederemos de la siguiente forma:
Dibujamos un ángulo igual al ángulo
P. Transportamos el ángulo
Q de forma que
P y
Q sean ángulos consecutivos:
El nuevo ángulo suma S, formado por los lados no comunes a los dos ángulos, es el ángulo S5P1Q .
Así, si P5 35° y Q 5 25°, el ángulo suma S mide:
S5P1Q 5 35° 1 25° 5 60°
Si sumamos las amplitudes obtenemos la medida del nuevo ángulo.
5.2.
Resta
Si se verifi ca que R > S, podemos obtener el ángulo diferencia D 5R2S de la siguiente forma:
Dibujamos un ángulo igual al ángulo R, y le superponemos el ángulo S, haciendo coincidir un lado y el vértice. El nuevo ángulo formado por los lados no comunes a los dos ángulos es el ángulo D5R2S.
R
S
S
R
R 2S
Si R5 126° y S5 30°, se verifi ca que el ángulo diferencia D es:
D5R2S5 126° 2 30° 5 96°
Si restamos las amplitudes obtenemos la medida del nuevo ángulo.
Q
P
Q
P
5.3.
Multiplicación por un número natural
Queremos dibujar un ángulo que sea tres veces mayor que el ángulo A.
Como 3 A5A1A1A, debemos sumar tres ángulos iguales al ángulo A, como puedes ver en las fi guras al margen.
Si el ángulo A5 24°, entonces 3 A5 3 24° 5 72°.
Si multiplicamos por 3 la amplitud del ángulo
A, obtenemos la medida del ángulo 3 A.
5.4.
División en partes iguales
Para dividir un ángulo en 2 partes iguales construimos su bisectriz. Observa en el dibujo de más abajo cómo trazamos la bisectriz del ángulo B.
Tomamos como centro el vértice O y dibujamos con el compás un arco de radio cualquiera. Este arco corta los lados del ángulo en los puntos A y B.
Tomando como centro cada uno de dichos puntos, dibujamos dos arcos de radio un poco más grande que la amplitud del ángulo. La semirrecta determinada por el punto P, donde se cortan los dos arcos, y el vértice O es la bisectriz del ángulo B:
Hemos obtenido dos ángulos iguales y cada uno de estos ángulos es la mitad del ángulo
B.
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide el ángulo en dos ángulos iguales.
Si dividimos entre 2 la amplitud del ángulo
B, obtenemos la medida de cada uno de estos ángulos:
Si B 5 40° entonces B : 2 5 40° : 2 →B5 20°.
El trazado sucesivo de bisec-trices nos permite dibujar ángulos que son la mitad, la cuarta parte, la octava parte... de un ángulo determinado.
La construcción de otras frac-ciones unitarias de un ángu-lo, como la quinta parte, no es tan sencilla. Nos limitare-mos a determinar la medida, dividiendo la amplitud del ángulo por el número que corresponda en cada caso.
B O
A A A
P b
B B
B
O O
B
A
3 A
A
B
Actividades propuestas
14. Considera los ángulosA5 80° yB5 35°:
a) Dibuja estos ángulos con ayuda del transportador.
b) Encuentra gráfi camente los ángulos
A1B y A2B
y calcula sus amplitudes.
c) Comprueba que el ángulo 3 B es más grande
que un ángulo recto.
d) Dibuja un ángulo de modo que sea la cuarta parte de
A.
6.
Relaciones entre ángulos
¿Cuántos ángulos forman los rastros de estos dos aviones en el cielo? ¿Cómo son?
6.1.
Ángulos complementarios y suplementarios
Dos ángulos A y B son complementarios si A1B5 90°. Así, los ángulos A5 70° y
B5 20° son complementarios, ya que 70° 1 20° 5 90°.
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Dos ángulos C y D son suplementarios si C1D 5 180°. Los ángulos C5 105° y
D5 75° son suplementarios, porque 105° 1 75° 5 180°.
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
Así, si E5 50°, su ángulo complementario mide 90° 2 50° 5 40°, y su suplementario, 180° 2E5 180° 2 50° 5 130°.
6.2.
Ángulos opuestos por el vértice
Observa los cuatro ángulos formados por estas dos rectas secantes. Los ángulos
a y c son opuestos por el vértice. También lo son los ángulosb y d. Se verifi can las igualdades siguientes: a5c y b5d.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Observa que los ángulos a y b son suplementarios. ¿Qué otros ángulos de la fi gura son suplementarios entre sí?
d
c a
b
B
A
D
C
Suplementarios Complementarios
Actividades resueltas
6. El suplementario de un ángulo mide 154°. Halla la medida del complementario de este mismo ángulo.
Sabemos que el suplementario del ángulo A que bus-camos es 154°. Así pues, el ángulo A es:
A5 180° 2 154° 5 26°
Ahora hay que calcular la medida de su complemen-tarioC:
C5 90° 2A5 90° 2 26° 5 64°
6.3.
Ángulos de lados paralelos o compartidos
Los ángulos P y Q tienen los lados paralelos dos a dos. Comprueba, con la ayuda de un transportador de ángulos, que se verifi ca que P5Q.
Los ángulos R y S también tienen los lados paralelos dos a dos. Observa que no son iguales: R es agudo y S es obtuso. Si observas el ángulo T, que es el suplemen-tario de S, te darás cuenta de que es igual que el ángulo R porque tiene los lados paralelos como en el caso de los ángulos P y Q. Por lo tanto, los ángulos R y S son suplementarios.
Estas deducciones realizadas con ángulos de lados paralelos se pueden aplicar también a los ángulos de lados compartidos.
Dos ángulos de lados paralelos o compartidos son iguales si los dos son agudos o los dos son obtusos. Si uno es agudo y el otro es obtuso, son suplementarios.
6.4.
Ángulos determinados por dos rectas
paralelas cortadas por una secante
Si cortamos dos rectas paralelas con una recta secante, obtenemos ocho ángulos, como vemos en la fi gura al margen.
Si en la fi gura el ángulo
a5 130°, podemos determinar la amplitud de los otros siete ángulos utilizando las propiedades anteriores:
a yc son ángulos opuestos por el vértice. Entoncesa5c 5 130°.
a ye tienen lados compartidos y los dos ángulos son obtusos. Entonces, son iguales:
a5e 5 130°.
a yb tienen lados compartidos, pero un ángulo es obtuso y el otro agudo. Por lo tanto, son suplementarios: b 5 180° 2a5 180° 2 130° 5 50°.
En defi nitiva, con estos y otros razonamientos parecidos podemos deducir que
a5c 5e5g, que
b5d5f5h y que
a5180° 2b.
P Q R T S ^a ^c ^ g ^e c d g
h e
f b a Actividades propuestas
15. Si el ángulo
B de la fi gura mide 135°, ¿cuánto miden los otros ángulos?
A D O R B C P Q
16. Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, tienen los lados paralelos. Si uno de ellos tiene una amplitud de 110°, ¿cuál es la amplitud del otro?
17. Determina los ángulos del paralelogramo de la fi -gura sabiendo que
A5 60°.
D
C
A
B
7.
El sistema sexagesimal.
Medida del tiempo
Observa este reloj digital. ¿Qué quiere decir que son las 17:27?
Efectivamente son las 17 h y 27 min, es decir, las cinco de la tarde y veintisiete mi-nutos. Fíjate que los dos puntos que hay entre un número y el siguiente separan las horas de los minutos.
Los cronómetros que se utilizan actualmente en algunos deportes permiten precisar el tiempo hasta las milésimas de segundo. De este modo, si por televisión dicen que el primer clasifi cado de la carrera de Fórmula 1 ha hecho todo el recorrido en 1:35:58,765, quiere decir que el ganador ha empleado 1 h 35 min 58 s y 765 milési-mas de segundo.
En el sistema decimal, cada unidad de un orden es igual a 10 unidades del orden inmediatamente inferior. Así funciona nuestro sistema de numeración, y también las diferentes unidades empleadas en las medidas de longitud, masa y capacidad.
Hay otras magnitudes cuyas unidades de medida no siguen las reglas del sistema decimal. Los ángulos y el tiempo son dos ejemplos.
Las horas, los minutos y los segundos forman parte del sistema sexagesimal ya que para pasar de una unidad a la inmediatamente inferior hay que multiplicar por 60, y para pasar de una unidad a la inmediatamente superior hay que dividir por 60.
h min s
· 3600· 60 · 60
: 3600
: 60 : 60
Si decimos que ha tardado 1 h 35 min 58,765 s, estamos dando la medida del tiempo en forma compleja. Si expresamos este tiempo en una sola unidad, tenemos el tiempo expresado en forma incompleja.
7.1.
Paso de forma compleja a incompleja
Pasamos 1 h 35 min 58,765 s a segundos, empleando factores de conversión.
Convertimos 1 h en segundos: 1h 60 min
1 h 60 s1 min5 3 600 s
Pasamos 35 min a segundos: 35 min 60 s
1 min5 2 100 s Así:
1 h 35 min 58,765 s 5 3 600 s 1 2 100 s 1 58,765 s 5 5 758,765 s
Atención
2,25 h no son 2 h 25 min. 2,25 h 5 2 h 15 min, ya que Escribimos:
1 hora → 1 h 1 minuto → 1 min 1 segundo → 1 s
También existen otras unida-des de medida del tiempo: 1 año → 365 días
1 día → 24 h
0,25 h 60 min
7.2.
Paso de forma incompleja a compleja
Pasamos 44 267 s a forma compleja. Fíjate en las divisiones sucesivas:
44 267 s 60
226 737 min 60 467 137 12 h 47 s 17 min
Así, 44 267 s 5 12h 17 min 47 s.
Observa que al efectuar las divisiones entre 60, el primer resto son segundos, el segundo resto son minutos y el último cociente son horas.
Recuerda
En las divisiones para efectuar la conversión a forma com-pleja nos interesa el resto. Recuerda que la calculadora no nos lo da.
Actividades propuestas
18. Escribe los tiempos siguientes con las unidades co-rrespondientes:
a) 2:31:04 b) 13:02:03,25
c) 10:21:56,32 d) 23:00:35
19. Expresa de forma compleja:
a) 12,754 h b) 27 250 s
c) 24,8 h d) 124,5 min
20. Expresa de forma incompleja 3 h 7 min 24 s:
a) En horas. b) En segundos.
21. El atleta ganador de la maratón invirtió un tiempo de 8 143 s. Expresa este tiempo en horas, minutos y segundos.
22. En el diario leemos la noticia: «En la primera etapa de la Vuelta Ciclista a España, el ganador ha em-pleado un tiempo de 4:45:32». Expresa en horas el tiempo que ha tardado en realizar esta etapa.
Actividades resueltas
7. Expresa las siguientes medidas de tiempo en horas:
a) 3 h 12 min b) 10 824 s c) 3 h 30 min 45 s
a) Pasamos los minutos a horas: 12 min 1 h
60 min5 0,2 h.
Sumamos: 3 h 1 0,2 h 5 3,2 h→ 3 h 12 min 5 3,2 h.
b) Convertimos los segundos en horas:
10 824 s 1 h
3 600 s 5 3,00
(
6 h → 10 824 s 5 3,006 h( c) Convertimos los segundos en horas:
45 s 1 h
3 600 s5 0,0125 h
Ahora expresamos los minutos en horas:
30 min 1 h
60 min5 0,5 h
Después sumamos: 3 h 1 0,5 h 1 0,0125 h 5 3,5125 h.
8. Expresa de forma compleja 15,54 h.
Tenemos que:
15,54 h 5 15 h 1 0,54 h → 15 h
La parte entera, 15 h, formará parte de la solución fi nal. Pasamos ahora 0,54 h a minutos:
0,54 h 60 min
1 h 5 32,4 min
Así: 32,4 min 5 32 min 1 0,4 min → 32 min
Pasamos 0,4 min a segundos:
0,4 min 60 s
1 min 5 24 s → 24 s
Finalmente podemos escribir que:
8.
Operaciones con unidades de tiempo
Fíjate en la carátula de este CD. ¿Qué expresan estos números? ¿Cuál es la duración de todo el CD?
Para realizar operaciones con medidas de tiempos debemos tener en cuenta si están expresadas en forma compleja o en forma incompleja.
Si las medidas están expresadas en forma incompleja, no hay ningún problema, puesto que se trata de efectuar operaciones con números naturales o números decimales.
En cambio, si las medidas están expresadas en forma compleja, debemos recordar en todo momento que 60 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior.
8.1.
Suma
Un piloto de Fórmula 1 ha hecho la primera vuelta en 1 min 56,521 s y la segunda en 1 min 55,983 s. ¿Cuánto tiempo ha empleado en las dos vueltas?
Sumamos los dos tiempos colocando en columna las mismas unidades:
1 min 56,521 s
1 1 min 55,983 s 2 min 112,504 s
Si los segundos son 60 o más, hay que pasarlos a minutos y sumarlos a los minutos que ya hay. Fíjate que:
112 s 5 1 min 52 s
1 min 56,521 s 1 1 min 55,983 s 5 3 min 52,504 s
Al completar las dos vueltas ha dedicado 3 min 52,504 s.
Atención
8.2.
Resta
La carrera de Fórmula 1 ha durado exactamente 1 h 28 min 14 s. Un espectador ha estado en el circuito 2 h 15 min. ¿Cuánto tiempo ha estado sin que corriesen los coches?
Hay que encontrar la diferencia: 2h 15 min 2 1 h 28 min 14 s.
Lo colocamos en columna: 2 h 15 min
2 1 h 28 min 14 s
No podemos restar 28 min de 15 min, y no tenemos segundos en el minuendo. Hay que preparar la resta usando en cada caso la unidad de orden superior. Observa:
2 h 15 min 5 1 h 75 min 5 1 h 74 min 60 s
Ahora ya podemos restar: 1 h 74 min 60 s 2 1 h 28 min 14 s 46 min 46 s
El espectador ha estado en el circuito 46 min 46 s sin observar la carrera.
8.3.
Multiplicación por un número natural
Si la carrera de Fórmula 1 consta de 44 vueltas al circuito y el primer clasifi cado ha completado la primera vuelta en 1 min 55,494 s, ¿cuánto tiempo podemos esperar que dure la carrera de este piloto?
Hay que multiplicar 1 min 55,494 s por 44.
1 min 55,494 s 5 60 s 1 55,494 s 5 115,494 s 115,494 s 44 5 5 081,736 s
Para pasar 5 081,736 s a forma compleja dividimos sucesivamente dos veces por 60, como se puede apreciar en la división realizada en el margen.
Se puede esperar que el piloto tarde en realizar la carrera 1 h 24 min 41,736 s.
También lo podemos pasar a forma compleja, multiplicando cada una de las uni-dades de tiempo por 44.
Así:
(1 min 55,494 s) 44 5 44 min 2 441,736 s
Dividimos:
2 441,736 s 60 41,736 s 40 min
(1 min 55,494 s) 44 5 84 min 41,736 s 5 1 h 24 min 41,736 s
Fotografia de cotxe de Formula 1
genérico
5 081,736 s 60
41,736 s 84min 60 24 min 1 h
5 081,736 s 60
8.4.
División por un número natural
El ganador de la maratón en los Mundiales de Atletismo de Barcelona 2010 completó el recorrido de poco más de 42 km en 2:07:30.
Calculamos, aproximadamente, la media de tiempo en que hizo cada uno de los 42 km. Hemos de dividir el tiempo total entre 42.
2 h 7 min 30 s 5 127 min 30 s
127 min 42
1 min 3 min 60 s 1 30 s 5 90 s 90 s 42
60 2,14 s
180 12 El ganador ha hecho cada kilómetro en una media de 3 min 2,14 s.
Actividades resueltas
9. José tarda 39 s en leer un problema, lo piensa durante 2 minutos y medio y lo resuelve en 1 min y 25 s. Si tiene que resolver diez problemas parecidos, ¿cuánto se puede esperar que tarde en realizarlos todos?
Calculamos cuánto tarda en resolver un problema: 39 s 2 min 30 s
1 1 min 25 s
3 min 94 s → 4 min 34 s
Multiplicamos por 10 para saber cuánto puede tardar en realizarlos todos:
(4 min 34 s) 10 5 40 min 340 s → 340 s 60
40 s 5 min
40 min 340 s 5 45 min 40 s José tardará 45 min 40 s en resolver todos los problemas.
Actividades propuestas
23. Efectúa:
a) 15 h 32 min 24,35 s 1 10 h 15 min 36,4 s
b) (56 h 47 min 57 s) : 3
c) 15 h 2 ( 2 h 30 min 1 8 h 45 min)
d) (4 h 34 min 12 s) 6
Actividades propuestas
25. Un barco salió del puerto de Barcelona a las 21 h 40 min del jueves y llegó a Palma de Mallorca a las 6 h 45 min del viernes. ¿Cuánto duró el viaje?
26. Un reloj digital marca las 19 h 24 min 12 s. ¿Cuánto falta para llegar a la medianoche?
27. Un grifo llena un depósito en 5 h 24 min 36 s. ¿Cuánto tardarían en llenar ese mismo depósito tres grifos iguales al primero?
28. Calcula la duración del CD del principio del apartado.
29. El sistema de seguimiento GPS de la Vuelta Ciclista indica que el grupo que encabeza la carrera está a 1 min 30 s de diferencia del ciclista que les per-sigue. Si la distancia se acorta 15 segundos cada kilómetro, ¿al cabo de cuántos kilómetros atrapará al grupo?
30. Un reloj digital se atrasa 0,1 s cada 5 min. Si a las 9 de la mañana marca la hora en punto, ¿qué hora señalará cuando en otro reloj digital que funciona correctamente sean las 7 de la tarde?
Actividades resueltas
10. En un DVD quedan 2 h y 25 min para poder grabar. Quieres grabar una pelícu-la de 115 min, pero tienes que contar con que durante pelícu-la emisión hay cuatro cortes publicitarios de 4 min 51 s cada uno. ¿Podrás grabar toda la película?
Calculamos la duración total de los cortes publicitarios. Hay que multiplicar 4 min 51 s por 4.
4 min 51 s x 4
16 min 204 s → 204 s 5 180 s 1 24 s 5 3 min 24 s
La duración de los anuncios es de 19 min 24 s.
La duración de la película es de 115 min 5 1 h 55 min.
Ahora sumamos la duración de la película y el tiempo que duran los anuncios:
1 h 55 min
1 19 min 24 s
1 h 74 min 24 s → 74 min 5 1 h 14 min
La duración de la película y los anuncios es de: 2 h 14 min 24 s.
Si el DVD permite grabar 2 h 25 min, es evidente que nos sobrará tiempo. Para expresar los minutos que sobrarán, hay que efectuar esta resta:
2 h 25 min
9.
Medición de los ángulos
¿Qué quiere decir que la Acrópolis de Atenas está a 37° 58’ 1’’ N y 23° 43’ 34,3’’ E?
Observa el ángulo
A.
Ya hemos visto que los ángulos se miden en grados. Aunque el grado es una uni-dad pequeña, para aumentar la precisión se defi nen dos divisores más: el minuto y el segundo.
Un minuto es lo que mide el ángulo que resulta de dividir un ángulo de 1° en sesenta partes iguales.
1 grado → 60 minutos 1 minuto → 60 segundos 1° 5 60’ 1’ 5 60’’
Con estas unidades, la medida del ángulo A se expresa así: 32° 25’ 43’’.
Fíjate en que las equivalencias entre estas unidades de medida de ángulos son las mismas que las que hay entre horas, minutos y segundos; por este motivo, las unidades de medida angulares también son sexagesimales.
Esto hace que el tratamiento, en cuanto a operaciones se refi ere, sea también el mismo.
En la práctica, los minutos y los segundos de grado se utilizan muy poco, ya que se trata de ángulos muy pe-queños que no se pueden medir con el transportador de ángulos. En cambio, sí que se pueden obtener co-mo resultado de operaciones en las que hay que calcular un ángulo.
Actividades resueltas
11. Dado un el ángulo P5 53° 42’ 28’’, se traza la bisectriz. Ahora volvemos a trazar la bisectriz de uno de los dos ángulos resultantes. ¿Cuánto mide el más pequeño de los ángulos obtenidos?
Dado que la bisectriz divide el ángulo en dos partes iguales y teniendo en cuenta que hemos trazado dos bisectrices, el ángulo más pequeño medirá la cuarta parte de lo que mide el ángulo inicial.
Dividimos 53° 42’ 28’’ entre 4:
53° 42’ 28’’ 4
13° 13° 25’ 37’’
1° 5 60’ 102’ 22’ 2’ 5 120’’ 148’’ 28’’ 0’’
Cada uno de los dos ángulos más pequeños mide 13° 25’ 37’’.
P
P
1 2
P
1 4
P
1 4
A
9.1.
Los ángulos en la calculadora
La mayoría de calculadoras científi cas tienen la tecla °
,,,
, que permite introduciruna medida de un ángulo expresada en forma compleja y convertirla en forma in-compleja en grados. También pueden hacer lo mismo con una medida de tiempo, dado que se trabaja asimismo con el sistema sexagesimal.
Para pasar de forma incompleja a forma compleja necesitamos emplear la tecla SHIFT.
Observa cómo expresamos en forma incompleja de grados un ángulo de 70° 13’ 30’’:
7 0 °
,,,
1 3 °,,,
3 0 °,,,
=Después de presionar la tecla °
,,,
, en la pantalla aparece el ángulo 70,225°. Expresamos, ahora, en forma compleja un ángulo de 36,22°:3 6
,
2 2 = °,,,
y obtenemos 36° 13’ 12’’.La calculadora no muestra los símbolos «‘» y «‘’». En la pantalla solo aparece «°». Es necesario que conozcas tu calculadora y sepas interpretar la información que te da.
Actividades resueltas
12. Un ángulo mide 32° 25’ 43’’. ¿Cuánto mide su com-plementario?
Para encontrar la medida de su complementario lo debemos restar de 90°.
90°
2 32° 25’ 43’’
Transformamos el ángulo de 90° para poder hacer la resta:
90° 5 89° 60’ 5 89° 59’ 60’’
Ahora restamos:
89° 59’ 60’’
2 32° 25’ 43’’
57° 34’ 17’’
El ángulo complementario de 32° 25’ 43’’ es, por lo tanto, 57° 34’ 17’’.
Compruébalo con la calculadora científi ca.
Actividades propuestas
31. Si
A5 35° 40’ 32’’ yB5 64° 25’ 12’’, calcula:
a)
A1B b)B2A c)3 4
A d) 180° 2A
32. Al trazar la bisectriz de un ángulo, cada uno de los dos ángulos obtenidos mide 47° 53’ 42’’. ¿Cuál es la medida del ángulo original?
33. El suplementario de un ángulo mide 137° 48’. De-termina la medida del complementario de este ángulo.
34. Dados los ángulos
A5 75° 34’ 27’’ yB5 28° 27’ 45’’, emplea la calculadora científi ca para calcular:
a) 2
A2B b) 180° 2 3B
c)13 A1 2B d)12A14
3
B
35. Los 2
3 de un ángulo
A son 42° 24’ 51’’. Utiliza la calculadora científi ca para determinar la medida deA.
En algunas calculadoras no existe la tecla °
,,,
, y son encambio otras, por ejemplo las teclas DMS o GMS, las que ha-cen su función.
Actividades fi nales
1. Utiliza el transportador de ángulos para medir la amplitud de los ángulos de la fi gura.
2. Expresa en grados la amplitud de los ángulos:
a) 1
2 R b) 1,375 R c) 34 R d) 0,15 R e) 2,5 R
3. ¿Cuántos ángulos rectos miden cada uno de los ángulos siguientes?
a) 60° b) 150° c) 45°
d) 360° e) 22,5° f) 30°
4. Expresa la amplitud de los ángulos barridos por el minutero al pasar de las 6 h a:
a) Las seis y cuarto. b) Las seis y media.
c) Las siete menos cuarto. d) Las 6 h y 20 min.
e) Las 6 h y 55 min. f) Las 7 h.
Clasifi ca estos ángulos en cóncavos y convexos.
5. Considera los ángulos A5 37° y B5 75°. Calcula:
a) 180° 2 4 A b) 3 A1 2 B
c) 4 R2 4 A1B : 5 d) 360° 2 2 (
A1 B)
6. Los ángulos de un cartabón miden 45°, 45° y 90°, y los ángulos de una escuadra miden 30°, 60° y 90°. Con esta información, observa las imágenes y calcula los ángulos indicados:
A B
a)
D
c)
C
b)
E
d)
7. Dibuja los ángulos que fi guran en la tabla siguiente y marca en tu cuaderno una cruz en la casilla que corresponda.
Ángulo Cóncavo Convexo Agudo Recto Llano Obtuso Completo
120° 60° 180° 240° 90° 360°
8. Dibuja dos triángulos diferentes y mide sus ángulos. ¿Cuál es el valor de esta suma?
9. Expresa en forma compleja y comprueba con la calculadora:
a) 0,75 h b) 0,675 h
c) 2,785 h d) 14,055 h
e) 453,24 min f) 0,0025 años
g) 3
7 de hora h) 2 325 s
10. Expresa en segundos y comprueba con la calcu-ladora:
a) 4° 25’ b) 3° 27’
c) 42° 13’’ d) 10° 12’ 40’’
11. Calcula y comprueba con la calculadora:
a) 5 h 42 min 15 s 1 7 h 57 min 47 s
b) 12° 24’ 32’’ 1 56° 46’ 20’’
c) 4 h 24 min 5 s 2 2 h 42 min 12 s
d) 52° 12’ 2 42° 12’ 24’’
e) (2 h 40 min 12 s) 7
f) (15 h 32 min 36 s) : 6
g) (23° 42’ 35’’) 8
h) (12° 21’ 45’’) : 5
12. Gerardo tardó 12 h 44 min en completar la etapa de Santander-Queveda, del Camino de Santiago; Manuel tardó 12,8 h, y Cristina, 766 min. ¿Quién llegó el primero a Queveda? ¿Y el último?
Actividades fi nales
13. La tercera etapa de la Vuelta Ciclista a España estaba dividida en dos sectores: el primero, en línea, y el segundo, en una contrarreloj individual. El primer clasifi cado de la general tardó 3 h 52 min 43 s en re-correr el primer sector y 1 h 19 min 37 s en rere-correr el segundo. ¿Cuánto tardó en hacer todo el recorrido?
14. El último clasifi cado del rally Cantabria Infi nita in-virtió de media un tiempo de 1 h 42 min 17 s para cada uno de los cinco tramos de la prueba. ¿Cuánto tardó en completar los cinco tramos?
15. En un CD hay 12 canciones. Si la duración media de cada una es de 4 min 25 s, ¿cuál será la duración de todo el CD?
16. Indica la medida de todos los ángulos de esta fi gura:
A B C 24° 12´ 20° 28´
17. Calcula, sin utilizar el transportador de ángulos, la medida de los ángulos indicados:
18. Dibuja un ángulo cualquiera y otro ángulo de lados paralelos a los del primero. ¿Cuál es la relación exis-tente entre los dos ángulos?
19. Rosa ha comprado una tarjeta para el teléfono móvil y le ha costado 12 €. Las tarjetas de este importe permiten hablar durante 30 min. ¿Cuánto le costará una llamada de 5 min 40 s?
20. El ganador de la maratón en los Juegos Olímpicos de Beijing 2008 hizo el recorrido de poco más de 42 km en 2:06:32. Calcula, aproximadamente, la me-dia de tiempo en que hizo cada uno de los 42 km.
21. Manuel tardó 12 min 45 s en resolver un problema, y Marta, la quinta parte. ¿Cuánto tardó Marta? ¿Y entre los dos?
22. La película que emiten por televisión tiene una du-ración de 115 min. Hay tres cortes publicitarios de 3 min 55 s cada uno. Expresa en forma compleja la duración de toda la sesión.
23. Álex va al cine. La sesión empieza a las 16 h y la dura-ción de la película es de 1 h 47 min 30 s. Si ha salido del cine a las seis de la tarde, ¿cuánto han durado los anuncios previos a la proyección del fi lm?
24. Uno de los ángulos de un paralelogramo tiene una amplitud de 65° 15’. ¿Cuál es la amplitud de los otros tres ángulos?
25. Tres grifos iguales llenan un depósito en 2 h 25 min 18 s. ¿Cuánto tardaría en llenar dicho depósito uno solo de estos grifos? Si pudiéramos disponer de seis grifos de este tipo, ¿cuánto tiempo sería necesario para llenar el depósito?
26. Un reloj se atrasa un segundo cada media hora. ¿Cuánto se atrasa en un día? ¿Y en 30 días?
27. Para lavarse los dientes Jorge dedica cada día 2 75 h. ¿Cuántos minutos y segundos dedica en un día? ¿Y en una semana? ¿Y en el mes de enero?
28. Para ir de tu casa a la escuela tardas 21 min. Calcula el tiempo que utilizas para ir y volver de la escuela los 220 días lectivos que tiene el curso.
29. Tres ángulos suman 180°. El menor mide 15° 22’ 43’’ y el mayor es seis veces el menor. Halla la medida del otro ángulo.
30. Se dice que pasamos durmiendo 3
10 del tiempo de nuestra vida. Calcula las horas que dormimos en un año.
31. Una persona emplea 11 min para desayunar, 20 min para comer y 18 min para cenar. Expresa, en forma compleja, el tiempo que dedica esta persona a ali-mentarse en un día y en un año.
H C E F
A 575°
G 565°
D
¿Qué te cuentas?
La latitud de un punto del hemisferio terrestre es la distancia angular entre el ecuador y este punto del planeta medida sobre el meridiano que pasa por este punto. La latitud se mide en grados (°), entre 0° y 90°, y puede representarse de dos formas: indicando a qué hemisferio pertenece la coordenada o bien añadiendo valores positivos (norte) o negativos (sur).
La longitud expresa la distancia angular entre un punto de la superfi cie terrestre y el meridiano de Greenwich, que se toma como referencia 0°. La longitud también se mide en grados (°). Entre 0° y 360° aumenta hacia el este del meridiano 0°. O bien entre 0° y 180° positivos hacia el este o negativos hacia el oeste.
Observa las coordenadas geográfi cas de París y Sidney:
París (Torre Eiff el) Sidney (Casa de la Ópera) 48° 51’ 29,95’’ N
2° 17’ 40,18’’ E
33° 51’ 24’’ S 151° 12’ 54’’ E
Buscar por Internet las coordenadas geográfi cas de: la Pedrera de Barcelona, el Big Ben de Londres, el museo Guggenheim de Bilbao o la Cibeles de Madrid.
La ciudad desde el aire
Observa el mapa de una zona del centro de Madrid.
Indica:
a) Dos calles paralelas a la calle Goya.
b) Una calle con dirección secante pero no per-pendicular a la calle Alcalá.
c) Una calle con dirección perpendicular a la calle Narváez.
¿Cómo son los ángulos que forman la avenida Menéndez Pelayo y la calle Alcalá? ¿Y la calle Goya con la calle Alcalá? ¿Y la calle Narváez con la calle O’Donnell?
María dice: «Me encuentro en la calle Conde entre Hermosilla y Goya». Sitúalo en el mapa.
Entra en Google Earth y observa las calles de tu localidad.
Las coordenadas geográfi cas
Los ángulos y el arte
Hay muchos artistas que encuentran su inspiración en la geometría y en la medida del tiempo. Aquí tienes dos ejemplos. ¿Qué elementos trabajados en esta unidad reconoces?
Busca en Internet la biografía de estos dos pintores y observa algunas de sus creaciones.
El atletismo y la foto
fi nish
En atletismo, las carreras tienen que ser controladas con una precisión de centési-mas o incluso de milésicentési-mas de segundo. En pruebas importantes, como los Juegos Olímpicos, se dispone de dispositivos elec-trónicos para asegurar que los tiempos se determinan con exactitud.
En los Juegos Olímpicos de 2008 en Beijing se introdujo un novedoso equipamiento de medida, con cámaras que tomaban hasta 3 000 fotogramas por segundo, que son muchos. Piensa que las películas de cine emiten solamente 24 fotogramas por segundo.
Busca con un compañero más informa-ción al respecto en Internet.
Wassily Kandinsky (1866-1944). Línea ininterrumpida. Salvador Dalí (1904-1989). La persistencia de la memoria.
