ELLAS NO SEA IGUAL, SE CONCLUYE QUE LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA EN EL PUNTO

(1)

Capitulo II Matemática II

Objetivo 3. Efectuar ejercicios aplicando las propiedades o teoremas que se derivan del estudio de la continuidad de funciones reales de variable real.

Ejercicio 1 Sea g:_ℝ→_ℝ la función definida por:

2

2, 0 ( ) 2, 0 1

2

, 1 1

x si x

g x si x

si x x



 ₊ _<



= ≤ ≤



 _<

− 

Estudiar la continuidad de la función g x( ) en x=0 y x=1. Solución

Justificación: Para que una función f x( ) sea continua en un punto x₀, se debe verificar:

a) f x( 0) exista. b)

0 lim ( )

x→x f x exista.

c)

0 0

( ) lim ( )

x x

f x f x

→ =

En el objetivo 9 de matemática 1, se explicó suficientemente en detalle como estudiar la continuidad de una función, te invito a revisar esos ejercicios, sin embargo, en esta guía, desarrollaré este primer ejercicio con detalle y luego, los posteriores, con menos detalles, claro está, explicando los pasos a lo largo de la justificación del ejercicio.

Del comentario inmediato anterior se desprende que tienes experiencia en el estudio de la continuidad de una función, por lo tanto, en vez de utilizar las 3 condiciones anteriores, utilizare una condición que engloba a las 3, a saber:

0 0

0

( ) lim ( ) lim ( )

x x x x

f x ₋ f x ₊ f x

→ →

= =

(OJO: TODAS LAS TRES EXPRESIONES DEBEN SER IGUALES,

(2)

ELLAS NO SEA IGUAL, SE CONCLUYE QUE LA FUNCIÓN NO

ES CONTINUA EN EL PUNTO

x₀

)

Observa la siguiente explicación de esta condición:

Ahora observarás como aplicar esta condición a nuestro ejercicio. Para x₀ =0:

Se debe verificar:

Calculo de la expresión 1

(0) 2

(3)

(

2

)

2

0 0

lim ( ) lim 2 0 2 0 2 2

x x

f x x

− −

→ = → + = + = + =

Se tomo la función 2

2

x + porque allí está el signo <, destacado en azul:

( )

0 0

lim ( ) lim 2 2

x x

f x

+ +

→ = → =

(4)

Observa que se cumple:

Por lo tanto la función g x( ) es continua en x=0.

Para x₀ =1: Se debe verificar:

(1) 2

f = , porque allí se presenta la igualdad destacada en rojo:

(5)

( )

1 1

lim ( ) lim 2 2 x→− f x =x→− =

Se tomo la función 2 porque allí está el signo <, destacado en azul:

1 1

2 2 2

lim ( ) lim

1 1 1 0 x→+ f x x→+ _x

 

=  = = = ∞

− −

 

Se tomo la función 2

1

x− porque allí está el signo >, destacado en

magenta:

(6)

Por lo tanto la función g x( ) no es continua en x=1. Respuesta:

• la función g x( ) es continua en x=0. • La función g x( ) no es continua en x=1.

Ejercicio 2 Estudiar la continuidad de la función:

2

4 4

si 2 2

( ) 3 si 2 2

si 2

3 6

x x

f x x

x x

 ₋ ₊

<

 ₋



= =

 _{− −}

 _>

 ₋



Solución

Justificación: La continuidad de esta función la estudiaremos en el punto x0 =2, que es el punto donde la función a trozos pudiera ser discontinua porque sufre cambios geométricos, dada las distintas funciones en los diferentes intervalos, así pues:

Se debe verificar:

2

lim (

(2) lim ( ) )

x x

f x f

f ₋ ₊ x

→

= =

(2) 3

(7)

( )

2 2

2 4 2 4

4 4 4 8 4 0

lim ( ) lim

2 2 2 0 0

x x x x f x x − − → → − + − + − + = = = = − −

En este caso tenemos la forma indeterminada 0

0, y como estamos en presencia de dos polinomios, factorizaremos para eliminar la forma indeterminada presente.

Para factorizar el polinomio 2

4 4

x − x+ , debemos buscar las raíces, así: 2

2

2 4 ( 4) ( 4) 4.1.4 4 16 16 4

4 4 2

2 2.1 2 2

b b ac

x x x

a

− − ± − −

− ± − ± −

− + → = = = = =

Como la raíz es doble, la factorización queda: 2

(

)

2

4 4 2

x − x+ = −x Sustituyendo en nuestro límite dicha factorización, se tiene:

(

)

2

(

)

2

2 2 2

2 2

4 4

lim lim lim

2 2

x x x

x x x x x x − − − → → → − − − _{+ =} ₌

− − x−2 2

lim ( 2) 2 2 0

x

−

→

= − = − =

NOTA: Se tomo la función 2 4 4 2 x x x − +

− porque allí está: x<2.

( )

2 2

2 2 2 2 4 4 0

lim ( ) lim

3 6 3 2 6 6 6 0

x x x x f x x + + → → − − − − − = = = = − − −

En este caso tenemos la forma indeterminada 0

0, y como estamos en presencia de dos polinomios, factorizaremos para eliminar la forma indeterminada presente.

Para factorizar el polinomio x2− −x 2, debemos buscar las raíces, así: 2

2

2 4 ( 1) ( 1) 4.1.( 2) 1 1 8

2

2 2.1 2

1 3 4 2

1 9 1 3 2 2

1 3 2

2 2

1

2 2

b b ac

x x x

a x x x − − ± − − − − ± − ± + − − → = = = +  = = =  ± ±  = =  − −  ₌ ₌ _{= −} 

En este caso, la factorización queda: x2 − − = −x 2

(

x 2

)(

x+1

)

En el denominador se extrae el factor común, así:

3x− =6 3x− × =3 2 3x− × =3 2 3(x− =2) 3(x−2)

(8)

2

2 2 2

( 2)

2 ( 2)( 1)

lim ( ) lim lim lim

3 6 3( 2) x

x x x

x

x x x x

f x x x + + + _{→ +} → → → − − − − + = = = − − ( 1) 3 ( 2)

x x

+

− 2

( 1) 2 1 3

lim 1

3 3 3

x

x → +

+ +

= = = =

NOTA: Se tomo la función 2 2 3 6 x x x − −

− porque allí está: x>2.

Observa que:

2

3

0 3

( l 0 1 lim ( 1 2) im ( ) ) x x f x f f x − + → → = = → ≠ ≠ =

Por lo tanto la función f x( ) no es continua en x=2. Respuesta: la función f x( ) no es continua.

Ejercicio 3

Estudiar la continuidad de la función f x( ) :D→_ℝ , definida por:

, si 0 ( ) 0, si 0

1

, si 0 1

senx

x x

f x x

x x x  <   = =  −  _>  ₋  Solución

Justificación: La continuidad de esta función la estudiaremos en el punto

0 0

x = , que es donde la función se divide en tramos y en el punto x0 =1, porque

la función 1 1

x x −

− no esta definida en dicho punto, porque el denominador se

anula 1 1

1 0

1

1 1

x x x

x  ₋ ₋ ₋  = =    ₋ ₋   .

Para x0 =0, se debe verificar:

0

0 lim (

(0) lim ( ) )

x f x x f

f ₋ ₊ x

→

= =

(0) 0

f = , porque allí se presenta la igualdad de la función (x=0) Calculo de la expresión 2

0 0

lim ( ) lim 1

(9)

NOTA: Se tomo la función senx

x porque allí está: x<0.

0 0

1 1 0 1

lim ( ) lim 1

1 1 0 1

x x

x f x

x

+ +

→ →

− −

= = = =

− −

NOTA: Se tomo la función 1 1

x x −

− porque allí está: x>0. Observa que:

0

1 0

(

l

1 1

lim (

1

0)

im (

)

x x

f x

f

f x − + →

→

=

= → ≠ =

=

Por lo tanto la función f x( ) no es continua en x=0, porque 0≠1.

Por otro lado, para:

Para x₀ =1, se debe verificar:

1

lim (

(1) lim ( ) )

x x

f x f

f x

+

− _→

→

= =

1 1 0

(1)

1 1 0

f = − =

− , se verifica que la función no existe en x0 =1, por lo tanto la función no es continua.

Respuesta: la función f x( ) no es continua en x=0 y tampoco es continua en x₀ =1.

Ejercicio 4 Dada la función f x( ) definida por:

si 0 ( )

2 si 0

ax

e x

f x

x a x

 _≤

=

+ >



Determine el valor del parámetro " "a para que f x( ) sea continua en 0

x= .

Solución

(10)

Para x₀ =0, se debe verificar:

0

lim (

(0) lim ( ) )

x x

f x f

f x

+

− _→

→

= =

( 0) 0

(0) a 1

f =e × =e = , porque allí se presenta la igualdad de la función. Observa que este valor no depende del parámetro " "a , porque cualquier número real multiplicado por cero, es cero.

Calculo de la expresión 2 ( 0) 0

0 0

lim ( ) lim ax a 1

x x

f x e e e

− −

×

→ = → = = =

NOTA: Se tomo la función ax

e porque allí está: x<0.

0 0

lim ( ) lim 2 0 2 2

x→ + f x =x→ +x+ a= + a= a

NOTA: Se tomo la función x+2a porque allí está: x>0. Observa que:

0

1

1 1

lim ( ) 1 2

2

(0)

lim ( )

x

a

f

a f x

x

+ − →

→

=

= → = =

=

Por lo tanto la función, para que la función f x( ) sea continua en x=0, se deben cumplir, todas las igualdades, y esto ocurre cuando:

1 1 2

2 a a = ∴ =

Por lo tanto par que se cumplan las 3 igualdades, el valor de 1 2 a= .

Verificando este valor en las 3 igualdades: 1 1 2

1 1 1 2.

2 1 1 2

a = =

  = =     = = . 1 2 1 1 1

(11)

Respuesta: El valor del parámetro " "a para que la función f x( ) sea continua es: 1

2 a= .

Ejercicio 5

Consideremos la función ( ) : ,5 3 3 f x _π π_→

  ℝ, definida por:

( ) 2 x f x = −senx

Demuestre que existe un elemento c en el intervalo ,5 3 3 π π

 

 

  tal que ( ) 0

f c = .

Solución

Justificación: En este caso, aplicamos el teorema de Bolzano, a saber: Si f x( ) es continua y definida en el intervalo

[ ]

a b, y f a f b( ). ( )<0,

entonces existe al menos un valor c∈

( )

a b, tal que f c( )=0.

Entonces, apoyándonos en este teorema, podemos demostrar que

( ) 2 x

f x = −senx posee un elemento ,5 3 3 c∈π π 

  tal que f c( )=0, si se comprueba que:

• ( ) 2 x

f x = −senx este definida y sea continua en ,5 3 3 π π

 

 

 

• Que se cumpla f a f b( ). ( )<0, en nuestro caso: . 5 0

3 3

f π  f  π <

   

Procedamos pues, a demostrar cada uno de éstos puntos. Punto 1

La función ( ) 2 x

f x = −senx esta definida en el intervalo ,5 3 3 π π

 

 

 , porque es la diferencia o resta de 2 funciones definidas para todo número real, el

polinomio 2 x

y la función trigonométrica senx.

Además, se sabe que toda función polinómica es continua para todo real, y la función seno de equis (senx), también es continua para todo número

real, por lo tanto la diferencia 2 x

senx

(12)

Punto 2

Como se comprobó el punto 1, pasamos a verificar que el punto 2, es decir, comprobar:

5

. 0

3 3

f _π _ f _ π _<

   

Esto se cumple, si al evaluar la función en los extremos del intervalo, obtenemos como resultado valores de diferente signo.

3 _{0, 342}

3 2 3 6 3

5

5 ₃ 5 5 5

3, 483

3 2 3 6 3

f sen sen

π

     

= − = − ≈

     

     

     

= − = − ≈

     

      +

−

Por lo tanto, existe un elemento c en el intervalo ,5 3 3

π π

 

 

  tal que ( ) 0

f c = .

Respuesta: Existe un elemento c en el intervalo ,5 3 3

π π

 

 

  tal que ( ) 0

f c = .

Ejercicio 6

Dada la función 3 2

( ) 1

f x = − + +x x x definida en

[

−1, 2

]

. Aplicar el teorema de Bolzano.

Solución Justificación: En teorema de Bolzano, es:

Si f x( ) es continua y definida en el intervalo

[ ]

a b, y f a f b( ). ( )<0,

entonces existe al menos un valor c∈

( )

a b, tal que f c( )=0.

Verifiquemos que 3 2

( ) 1

f x = − + +x x x cumple con:

• 3 2

( ) 1

f x = − + +x x x este definida y sea continua en

[

−1, 2

]

• Que se cumpla f a f b( ). ( )<0, en nuestro caso: f( 1).− f

( )

2 <0 Procedamos pues, a demostrar cada uno de éstos puntos.

(13)

La función 3 2

( ) 1

f x = − + +x x x esta definida en el intervalo

[

−1, 2

]

, porque es una función polinómica, y éstas están definidas para todo número real.

Además, se sabe que toda función polinómica es continua para todo real, por lo tanto la función dada es continua en su intervalo de definición.

Punto 2

Como se comprobó el punto 1, pasamos a verificar el punto 2, es decir, comprobar:

( )

( 1). 2 0 f − f <

Esto se cumple, si al evaluar la función en los extremos del intervalo, obtenemos como resultado valores de diferente signo.

3 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 2

(2) 2 2 2 1 8 4 3 7

f

− = − − − + − + = − − − + =−

= − + + = − + =+

Por lo tanto, existe un elemento c en el intervalo

[

−1, 2

]

tal que f c( )=0. Respuesta: Al aplicar el teorema de Bolzano, se verifica que existe un elemento c en el intervalo

[

−1, 2

]

tal que f c( )=0.

Ejercicio 7 Dada la función definida por:

2

( ) 4 3 , 2 5

f x = + x−x ≤ ≤x

Verificar el teorema del valor intermedio, si K =1; es decir, determinar un número " "c contenido en

[ ]

2,5 tal que f c( )=1.

Solución

Justificación: El teorema del valor intermedio, es:

Si f x( ) es continua en el intervalo

[ ]

a b, . Entonces para cada K tal que

( ) ( )

f a < <K f b , entonces existe al menos un valor c∈

( )

a b, tal que f c( )=K.

Verifiquemos que f x( )= +4 3x−x2, 2≤ ≤x 5 cumple con: • Se sabe que 2

( ) 4 3 , 2 5

f x = + x−x ≤ ≤x es una función polinómica, y toda función polinómica es continua para todo real, por lo tanto la función dada f x( )= +4 3x−x2 es continua en el intervalo

[ ]

2,5

(14)

( ) ( )

2 2 ( ) (

(2) 4 3 2 2 4 6 4 6

(5) 4 3 5 5 4 15 25

) 6 f f f a f b = = + − = + − = = = + − = + − = −

Como f a( )< <K f b( ) → < < − 6 1 6, entonces existe al menos un valor

( )

2, 5

c∈ tal que f c( )=1.

Ahora ubicaremos este valor " "c , con la igualdad:

2 2

1

2

( 3) ( 3) 4.1.( 3) 4

4 3 1 3 3 0

2 2.1

3 21

3, 79

3 9 12 3 21 2

2 2

( ) 1

3 21

0, 79 2

b b ac

c c c c c

a c c f c c − − ± − − − − ± − + − = → − − = → = =  ₊ = ≈  ± + ±  = =  − = →  ₌ _≈ 

Se observa que de los 2 valores de " "c obtenido, uno no pertenece al intervalo c∈

( )

2, 5 y el otro si, observa:

( )

1

2

3 21

3, 79 2,5 2

3 21

0, 79 2,5 2 c c  ₊ = ≈ ∈    −  = ≈ ∉ 

Por lo tanto el valor de " "c para que se cumpla el teorema del valor intermedio en este caso es: 3 21

2

c= + .

Respuesta: El valor buscado es: 3 21 2 c= +

Ejercicio 8

Sea g: 0,1

[ ]

→_ℝ una función continua. A continuación se hacen varias afirmaciones que involucran a la función g. Indica con una V o una F en el espacio correspondiente, según que la afirmación sea verdadera o falsa, respectivamente.

a. g alcanza al menos un máximo en el intervalo

[ ]

0,1 b. Si g(1)=5, entonces

1

lim ( ) 5

x→−g x =

c. La función h: 0,1

[ ]

→ℝ, definida por 2 ( ) 2 ( )

h x = g x +x no es necesariamente continua en el intervalo

[ ]

0,1

(15)

Justificación:

a. Verdadero, porque toda función continua en un intervalo cerrado, siempre alcanza al menos un máximo o un mínimo.

b. Como la función es continua, se cumple la igualdad:

1 (1) 5 lim ( )

x

g ₋g x

→ = =

Por lo tanto esta afirmación es verdadera.

c. Esta afirmación es falsa, porque la suma de funciones continuas, es continua, y ya se sabe que g y la función 2

x por ser polinómica, también es continua, por lo tanto la función dada 2

( ) 2 ( )

h x = g x +x es continua siempre. Respuesta:

a. V b. V c. F

Ejercicio 9

Sea f :

[

−2, 4

]

→_ℝ la función definida por _{f x}_{( )}=

(

_x3−₂_x+_{1 10}

)

x_{. Usar el}

Teorema del Valor Intermedio para verificar que los puntos a=0, 2 y b=47789

están en la imagen de f .

Solución

Justificación: El teorema del valor intermedio, es:

Si f x( ) es continua en el intervalo

[ ]

a b, . Entonces para cada K tal que

( ) ( )

f a < <K f b , entonces existe al menos un valor c∈

( )

a b, tal que f c( )=K. Podemos observar que la función planteada _{f x}_{( )}=

(

_x3−₂_x+_{1 10}

)

x_es

continua en todo su dominio, por ser producto de dos funciones continuas, una polinómica:

(

3

)

2 1

x − x+ y una exponencial 10x_{, por lo tanto cumple con el}

requisito que exige el teorema del valor intermedio, por lo tanto podemos determinar el intervalo de todas las imágenes que existen para el intervalo:

[

−2, 4

]

, es decir:

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

3 2

2

3 4 4

8 4 1 3

( 2) ( 2) 2( 2) 1 10 0, 03

10 100

(4) (4) 2(4) 1 10 64 8 1 10 57 10000 570000

f

− − + + −

− = − − − + = = = −

(16)

Como ya tenemos el intervalo de todas las imágenes de

(

3

)

( ) 2 1 10x

f x = x − x+ en

[

−2, 4

]

, es decir,

[

−0, 03;570000

]

, podemos corroborar o verificar por simple inspección que:

[

]

0, 2 0, 03;570000

a= ∈ −

y

[

]

47789 0, 03;570000

b= ∈ −

Respuesta: Se verifica que los puntos a=0, 2 y b=47789 están en la imagen de f .

Ejercicio 10 Sea f :_ℝ→_ℝ la función definida por:

2

. si 0 ( ) si 0< 1

1 ln si 1

x

x e x

f x x x

x x x

 _≤



= <

 ₊ _≥



Estudiar la continuidad de la función f x( ) en x=0 y x=1. Solución

Justificación: Analizaremos la continuidad: Para x₀ =0:

0

0 lim (

(0) lim ( ) )

x f x x f

f ₋ ₊ x

→

= =

2

0 0

(0) 0. 0. 0.1 0

f = e = e = = , se tomo la función x e. x2 porque allí se presenta la igualdad de la función (x=0)

2 ₀2 ₀

0 0

lim ( ) lim . x 0. 0. 0.1 0

x→ − f x =x→ −x e = e = e = =

NOTA: Se tomo la función . x2

x e porque allí está: x<0.

0 0

lim ( ) lim 0

x x

f x x

+ +

→ = → =

(17)

0

0 0

(

l

0 0

lim (

0

0)

im (

)

x x

f x

f

f x − + →

→

=

= → = =

=

Por lo tanto la función f x( ) es continua en x=0. Para x₀ =1:

1

lim (

(1) lim ( ) )

x x

f x f

f x

+

− _→

→

= =

(1) 1 1ln1 1 0 1

f = + = + = , se tomo la función 1+xlnx porque allí se presenta la igualdad de la función (x=1)

1 1

lim ( ) lim 1

x x

f x x

− −

→ = → =

NOTA: Se tomo la función x porque allí está: x<1.

1 1

lim ( ) lim 1 ln 1 1ln1 1 0 1

x x

f x x x

+ +

→ = → + = + = + =

NOTA: Se tomo la función 1+xlnx porque allí está: x>1. Observa que:

1

1 1

(

l

1 1

lim (

1

1)

im (

)

x x

f x

f

f x − + →

→

=

= → = =

=

Por lo tanto la función f x( ) es continua en x=1.

Respuesta: la función f x( ) es continua en x=0 y x=1.

(18)

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura, justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre dando justificación y luego la respuesta.

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1

Sea f: IR→ IR, la función definida por:

2

8 15

, 5

5 ( )

2 , 5

x x

f x

x

 _{− +}

≠

 ₋

=

 ₋ ₌



A continuación se presentan tres afirmaciones en relación a la función f. Indica con una V (verdadero) o una F (falso) sobre el espacio correspondiente de acuerdo a si la afirmación que se hace es verdadera o falsa.

a. La función f es discontinua en el punto x₀ =10 ______

b. El punto x0 =5 es una discontinuidad evitable de la función f ______ c. La función f es continua en IR _____

Ejercicio 2 Sea f : 0,10

[

]

→_ℝ dada por 3

( ) 2

f x = +x x. Verifica que f es inyectiva

(

f x( )= f y( )⇒x= y

)

y utiliza resultados sobre funciones continuas para

comprobar que f

(

[

0,10

]

)

=

[

0,1020

]

.

Ejercicio 3

Sean f g, :_ℝ→_ℝ funciones tales que el producto

( )

. ( ) 1 8 f g x

x =

+ , para todo x∈IR−{−8}. Si f es continua en x= −8, ¿qué puede decirse acerca de la continuidad de g en x= −8?

(19)

Definir una función f continua en _ℝ excepto en el punto x=2 que cumple lo siguiente:

a. f(2)=0 b.

2 lim ( )

x→ + f x = ∞

c. 2 lim ( )

x

f x

−

→ = −∞

Ejercicio 5

Considere la función f :_ℝ−

{ }

8 →_ℝ definida por

3 8 ( )

2 x f x

x − =

− . Verifique que en x=8 hay una discontinuidad evitable de f x( ) y construya una redefinición continua de dicha función en x=8.

Ejercicio 6

Definir el conjunto de todos los puntos de discontinuidad de la función:

( ) cos

x f x

x =

usando notación matemática adecuada. Ejercicio 7

Sea k:_ℝ→_ℝ, definida a través de la relación:

( )

2

1 si 1 t+4 si 1< 0 ( ) 3cos si 0 3

2 6 si 3 4 3 si 4

t t

k t t t

t t t

t

π

≤ − 

 ₋ _<



= ≤ <

 _{− −} _{≤ <}



≤ 

Entonces podemos asegurar que k es continua en:

a. t=0 b. t=3 c. t= −1 d. t=4

Ejercicio 8

Sea h x( ) :_ℝ−

{ }

0 →_ℝ, la función definida por:

2 2 1 cos

, si 0 ( )

4 , si 0

x

h x x

a ax a x

− 

≠ 

=

 ₊ ₋ ₌



Determine el valor de " "a para que la función h x( ) sea continua en 0

x= .

(20)

3 2

3 8

( )

1

s s

h s

s + − =

+

Verifica, usando el teorema del Valor Medio, que existe s∈_ℝ tal que h s( )=50. Ejercicio 10

A continuación se hacen diversas afirmaciones con respecto a la función 3

: , 2 2

f _ π π_→

  ℝ definida por f x( )=2senx+cos(2 )x .

Señala con una V o una F en el espacio en blanco según que las afirmaciones hechas sean verdaderas o falsas, respectivamente.

a. La función f es discontinua en el intervalo 3 , 2 2π π

 

 

  _____

b. f no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano _____ c. Existe c∈ 3 , 2

2π π

 

 