EJERCICIOS Y TABLAS
HOJA 1: MATRICES Y DETERMINANTES
A) Cuestiones test
1. SeanA, B dos matrices cuadradas de ordenn. Se verifica entonces que tr¡A+BT¢=tr(A)−tr(B).
(a) Falso, ya quetr¡A+BT¢=tr(A) +tr¡BT¢=tr(A) +tr(B).
(b) Verdadero. Si, por ejemplo, A = µ
−2 0
1 8
¶
y B = µ
0 −1
2 0
¶
, se verifica que tr¡A+BT¢ = 6,
tr(A) = 6ytr(B) = 0por lo que se cumple quetr¡A+BT¢=tr(A)−tr(B).
(c) Verdadero, ya que comotr¡BT¢=−tr(B)entoncestr¡A+BT¢=tr(A) +tr¡BT¢=tr(A)−tr(B)
2. Sea A=
⎛
⎝ 10 0b 2b
0 1 2
⎞
⎠conb∈R.Entonces se verifica queAes invertible únicamente sib6= 1.
(a) Verdadero, puesrg{(1,0,0),(0, b,1),(b,2,2)}<3únicamente sib= 1, por lo queAtiene rango completo únicamente sib6= 1.
(b) Falso, pues parab= 1 resulta que|A| 6= 0en cuyo caso Atiene inversa.
(c) Falso, pues la matriz C= 1 2b−2
⎛
⎝ 2b−2 b −b
2
0 2 −2
0 −1 b
⎞
⎠verifica queA·C=C·A=Idpara todob∈R,
por tantoAtiene inversa para cualquierb∈R.
3. Sea A= µ
a b c d
¶
una matriz tal que|A| 6= 0. EntoncesB = µ
2b−d d
2a−c c
¶
tiene rango 2.
(a) Verdadero, pues comoB se obtiene haciendo combinaciones lineales a partir de las filas de A, entonces |B|=|A| 6= 0.
(b) Verdadero, pues|B|= 2bc−2ad=−2|A| 6= 0.
(c) Falso, rg(B)<2pues sus columnas son linealmente dependientes. (d) Verdadero, pues por las propiedades de los determinantes:
|A|= ¯ ¯ ¯ ¯ ac db
¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ ab cd
¯ ¯ ¯ ¯=− ¯ ¯ ¯ ¯ ba dc
¯ ¯ ¯ ¯=−12
¯ ¯ ¯ ¯ 22ba dc
¯ ¯ ¯ ¯=−12
¯ ¯ ¯
¯ 22ba−−dc dc
¯ ¯ ¯
¯=−21|B|,
y por tanto|B| 6= 0.
4. Sean las matricesA=
⎛
⎝ 10 21 a0 −3 0 b
⎞ ⎠yB=
⎛
⎝ 1 +0a 11 a0 −3 +b 3 b
⎞
⎠cona, b∈R. Se verifica que|A|=|B|para
todoa, b∈R.
(a) Falso, ya que sia=−1yb= 3entonces|B|= 0y sin embargo|A| 6= 0.. (b) Verdadero, pues
|B|= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 1 a
0 1 0
−3 3 b
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a 1 a
0 1 0
b 3 b
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 1 a
0 1 0
−3 3 b
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ 0 =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 2 a
0 1 0
−3 0 b
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 −1 a
0 0 0
−3 3 b
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯=|A|+ 0 =|A|
(c) Verdadero, pues la matriz B resulta de sumar a la primera y segunda columna de A una combinación lineal de las restantes columnas deA, por lo que el determinante no varía.
5. Sea A∈Mn×n tal que|A| 6= 0entonces para cualquierα∈Rse tiene que
¯
¯αAA−1At¯¯=αn|A|.
(a) Falso, ya que¯¯αAA−1At¯¯=α¯¯AA−1At¯¯=α|A|¯¯A−1¯¯|At|=α|A| 1
|A||A|=α|A|
(b) Verdadero, pues como¯¯αAA−1At¯¯=αn¯¯AA−1At¯¯=αn|A|¯¯A−1¯¯|At|=αn|A| 1
|A||A|=αn|A|
(c) Falso, pues como¯¯αAA−1At¯¯=α¯¯AA−1At¯¯=α¡|A|+¯¯A−1¯¯+|At|¢=α(|A|−|A|+|A|) =α|A|
B) Problemas
1. Se consideran las matrices
A=
⎛
⎝ −11 −20
0 2
⎞
⎠, B=
⎛
⎝ 46 57 18
1 1 1
⎞
⎠, C=
µ
6 5 −1
1 −2 1
¶
.
Calcular: (a) 4A+ 2Ct, (b) (BA)t−C, (c)B+AC, (d)CA, (e) (B−2I)2, (f) (CA)−1. Explicar porqué las siguientes operaciones no tienen sentido: 2A−B,AB,A−2I yC2.
2. Dadas las matricesA,B,C,D ,E yF, calcular su traza (si existe)
A =
⎛
⎝ 10 32 52
4 0 1
⎞
⎠ B=
µ 7 1 3 9 ¶ C= ⎛
⎝ 39 21 41 50
0 0 2 7
⎞ ⎠
D =
⎛
⎝ 10 12 31
4 0 1
⎞
⎠ E=
µ
2 1 4
1 3 0
¶
F = µ
1 1 3
0 1 2
¶
3. Dadas las matrices del ejercicio anterior, calcular la traza (si existe) deA+ 2B,A+ 3D y125E−14F.
4. Dada la matrizA=
⎛
⎝ 11 −02 −34 1 −3 −5
⎞
⎠calcularαA,tr(A),tr(αA)y establecer la relación entretr(A)ytr(αA).
5. Dadas las matricesA =
⎛ ⎝ 16 −42
2 −2
⎞ ⎠ yB =
µ
−3 1 7 −2 0 1
¶
calculartr(AB), tr(BA)y establecer la relación
entretr(AB)ytr(BA).
6. Sea I3 la matriz identidad. CalcularI32=I3I3y deducir que, en general: tr(AB)6= tr(A) tr(B).
7. Calcular el rango de las siguientes matrices:
A=
⎛
⎝ 00 −51 3/12
0 32 7
⎞
⎠, B = µ
4 5 6 1
6 7 8 3
¶
, C=
⎛
⎝ 14 −11 −11 01 23
2 2 0 0 1
⎞ ⎠.
8. Hallarayb para queA sea la matriz inversa deB, siendo
A=
⎛
⎝ 1/a2 −11 −b1
3 0 1
⎞
⎠, B=
⎛
⎝ 51/2 71/2 −01 −3 −3 1
⎞ ⎠.
9. Calcular la inversa (si existe) de las siguientes matrices utilizando el método de Gauss—Jordan:
A=
⎛
⎝ 13 −11 24 5 −1 8
⎞ ⎠, B=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1 1 1 0
1 1 1 1
1 0 0 0
1 1 0 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎠, C=
⎛
⎝ 34 21 45
1 4 2
⎞ ⎠, D=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
3 −1 2 4
1 1 0 3
−2 4 1 5
6 −4 1 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
10. Estudiar si alguna de las siguientes matrices es triangular, simétrica o antisimétrica:
A=
⎛
⎝ 1/110 −11 −11
1 −1 31
⎞
⎠, B =
⎛
⎝ 51/2 70/2 00 −3 −3 1
⎞
⎠, C=
⎛
⎝ 60 −71 −54
0 0 1
⎞ ⎠,
D=
⎛
⎝ 51/2 5/22 −01
0 −1 1
⎞
⎠, E=
⎛
⎝ 05 −05 −81 −8 1 0
⎞
⎠, F =
⎛
⎝ 104 −210 −11
1 −1 1
11. Dar un ejemplo de una matrizA∈M2×2tal que A2=A3= 0peroA6= 0.
12. Estudiar si alguna de las siguientes matrices es ortogonal, idempotente, unipotente o nilpotente:
A=
⎛
⎝ −21 −32 −44 1 −2 −3
⎞ ⎠, B=
µ 0 −1
1 0
¶
, C= µ
1 0
2 −1 ¶
, D=
⎛
⎝ 11 −−11 00 2 −2 0
⎞ ⎠.
13. Calcular el determinante de las siguientes matrices de orden 2 utilizando la definición:
A= µ
1 3 2 7
¶
, B=
µ 0 1 1 2 ¶ C= µ 4 0 0 3 ¶ D= µ 2 3 2 3 ¶
14. Calcular el determinante de las siguientes matrices orden 3 utilizando la regla de Sarrus:
A=
⎛
⎝ 13 20 27
5 4 1
⎞
⎠ B=
⎛
⎝ 14 12 02
1 3 2
⎞
⎠ C=
⎛
⎝ 11 20 31
1 1 0
⎞ ⎠
15. Dada la matrizA=
⎛
⎝ 11 24 01
3 1 0
⎞
⎠calcular:
−Los menores complementarios de los elementosa13, a22,a11. −Los adjuntos de los elementos de la segundafila.
−El determinante|A|, desarrollando por los elementos:
(a) de la primerafila (b)de la segunda columna (c)de la tercera columna (d) de la primera columna (e)de la tercerafila
Indíquese cual de estos métodos ha resultado ser más eficiente (rápido) para calcular el valor de|A|.
16. Dadas las matricesA= µ
1 3
2 −1 ¶
, B= µ
2 1
0 −1 ¶
deducir que|A+B| 6=|A|+|B|.
17. Probar, sin efectuar su cálculo, que los determinantes de las siguientes matrices son nulos:
A=
⎛
⎝ 11 ab cb++ac
1 c a+b ⎞
⎠ B=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
18. Calcular el rango de la matriz
A=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1 1 1 1 2
2 4 1 5 3
1 0 1 0 2
1 0 1 0 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
19. Determinar los valores del parámetroapara los que la matriz
A=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
2 1 1 1−a
a 0 0 1
2 1 1 0
1 1 0 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
20. Calcular el determinante de las siguientes matrices
A=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1 0 2 1
0 1 −1 0
0 0 3 2
0 0 0 7
⎞ ⎟ ⎟
⎠ B=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
1 0 −3 1 4
2 2 1 −2 3
5 0 −1 0 2
3 0 0 4 1
2 3 −1 0 4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠ C=
⎛
⎝ 32 02 00 1 3 −3
HOJA 2: SISTEMAS LINEALES
A) Cuestiones test
1. Sea A=¡ a·1, a·2, a·3, a·4 ¢una matriz cuadrada de orden4, dondea·1,a·2,a·3ya·4 son sus columnas y tal quea·4= 2a·1+a·2. Entonces se verifica que el sistemaAx= 0es compatible indeterminado.
(a) Verdadero, pues todo sistema homogéneo es compatible indeterminado.
(b) Verdadero, ya que, por ser homogéneo, el sistema es compatible y puesto que rg(A)<4, por el teorema de Rouche-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado.
(c) Falso, pues como el sistema es homogéneo se tiene que rg(A) =rg(Ae) (con Ae la matriz ampliada del sistema) y por el teorema de Rouche-Frobenius sabemos que el sistema es compatible determinado.
2. Dada una matriz A∈Mm×n y dos vectores−→b ,−→c ∈Rm, si el sistema A−→x =−→b es compatible determinado
entonces se verifica que el sistemaA−→x =−→c , con−→c 6=−→0, −→c 6=−→b es también compatible determinado.
(a) Verdadero. En efecto si A−→x =−→b yA−→x =−→c entonces−→b =−→c y por tanto los sistemas son equivalentes. (b) Falso. Sería verdadero sim=n.
(c) Falso, ya que si consideramos la matriz A =
⎛ ⎝ 10 01
1 1
⎞
⎠ y −→b =
⎛ ⎝ −21
1
⎞ ⎠,−→c =
⎛ ⎝ 01
4
⎞
⎠ se tiene que el
sistemaA−→x =−→b es compatible determinado, pero sin embargo el sistemaA−→x =−→c es incompatible.
3. Dado el sistema lineal: ⎧
⎨ ⎩
3x+y+z= 2
az= 0 2y+z=−1
con a∈R
Entonces se verifica que:
(a) Es incompatible cuandoa= 0.
(b) Es compatible determinado para cualquier valor dea∈R. (c) Tiene solución única cuandoa6= 0.
(d) Es compatible indeterminado paraa= 0.
4. Dada la matriz A=
⎛
⎝ 11 01 10 0 −1 2
⎞
⎠ se verifica que los sistemasAx= 0 yAx=b son siempre compatibles
determinados para cualquier vectorb∈R3.
(a) Falso, pues el sistemaAx= 0es compatible indeterminado.
(b) Verdadero, ya que|A| 6= 0 yrg³A˜´= 3 = rg (A), dondeA˜= (A|b)es la matriz ampliada.
(c) Falso, pues el sistemaAx=b podría ser incompatible para algúnb∈R3.
B) Problemas
1. Un agente de bolsa debe comprar 60 acciones entre la empresa Potato y la empresa Pepito; cada acción de Potato cuesta 6 euros y la de la empresa Pepito 1 euro. El agente de bolsa dispone de 130 euros. ¿Cuantas acciones ha comprado de cada empresa?
2. Hallar la solución general (en el caso de que exista) de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
i) ½
x−3y = 4
−4x+ 2y = 6 ii) ½
2x+y = −3
6x+ 2y = −6 iii) ½
3. Resolver los siguientes sistemas homogéneos de ecuaciones lineales:
i)
⎧ ⎨ ⎩
x+y−z = 0
2x−4y+ 3z = 0 −5x+ 13y−10z = 0
ii) ½
x−y+ 7z−t = 0 2x+ 3y−8z+t = 0
4. Considere el sistema ⎧
⎨ ⎩
2x−3y+ 5z= 0 −x+ 7y−3z= 0 4x−11y+Kz= 0
¿Qué valor deKhará que el sistema tenga soluciones no triviales?
5. Hallar el subespacio vectorial de las soluciones de los sistemas
i)
⎧ ⎨ ⎩
x+ 3y+ 2z = 0 −x+ 5y+ 3z = 0 −3x+ 7y+ 4z = 0
ii)
⎧ ⎨ ⎩
x+y+z+t = 0
x−2z+ 3t = 0
x−2y−8z+ 7t = 0
Calcular la dimensión de dicho subespacio.
6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
i) ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
2x+ 3y−z+ 5t = 0 3x−y+ 2z−7t = 0 4x+y−3z+ 6t = 0
x−2y+ 4z−7t = 0
ii) ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
3x+ 4y−5z+ 7t = 0 2x−3y+ 3z−2t = 0 4x+ 11y−13z+ 16t = 0 7x−2y+z+ 3t = 0
iii) ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
x−2y+z+t = 2 3x+ 2z−2t = −8
4y−z−t = 1 −x+ 6y−2z = 7
iv) ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
x−2y+z+t = 2 3x+ 2z−2t = −8
4y−z−t = 1 5x+ 3z−t = 0
7. Resolver los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer
i)
⎧ ⎨ ⎩
x−2y+z = 7 2x−y+ 4z = 17 3x−2y+ 2z = 14
ii)
⎧ ⎨ ⎩
2x+ 3y−z = 1 3x+ 5y+ 2z = 8
x−2y−3z = −1
8. Determinar los valores dek para que los siguientes sistemas tengan: a) solución única; b) infinitas soluciones; c) ninguna solución.
i)
⎧ ⎨ ⎩
x+y−z = 1 2x+ 3y+kz = 3
x+ky+ 3z = 2
ii) ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
2x+y−z = 3
x+ 2y+ 3z = 2
x−y+kz = 1 3x+ 2y+ 2z = 2
9. Hallar la condición que deben verificara,b ycpara que los siguientes sistemas sean compatibles:
i)
⎧ ⎨ ⎩
x+ 2y−3z = a
2x+ 6y−11z = b x−2y+ 7z = c
ii)
⎧ ⎨ ⎩
x+y+z = 2 −2x+y+ 3z = 5
x−2y+az = b
HOJA 3: ESPACIOS VECTORIALES
A) Cuestiones test
1. Sean u1, u2, u3 y u4 = u1−3u2 vectores no nulos de R3 y distintos entre sí. Entonces se verifica que {u1, u2, u3, u4} son linealmente dependientes.
(a) Verdadero, porque enR3 cuatro vectores son siempre linealmente dependientes.
(b) Verdadero, pues u4 es combinación lineal de u1 y u2 por tanto constituyen un conjunto de vectores linealmente dependientes.
(c) Falso, sólo sería verdadero si ademásu3 se pudiera escribir como combinación lineal de u1yu2. (d) Falso, pues con la información que tenemos no podemos asegurar que sean linealmente dependientes.
2. El conjuntoW ={(x, y, z)∈R3/ x+y+z= 0, 2x−y=a}es un subespacio vectorial deR3de dimensión1.
(a) Verdadero, pues para todo −→w1,−→w2 ∈W yα, β ∈ R se verifica que α−→w1+β−→w2 ∈W y como además
W ⊂R3y su expresión analítica tiene dos condiciones, entonces dimW = dimR3−2 = 1. (b) Falso, pues sia= 3,entonces−→w1= (1,−1,0)∈R3 pero2−→w1∈/W.
(c) Sería cierto sia= 0,ya que en este casoW es subespacio vectorialR3 yB ={(1,2,−3)}, es una base de
W, y por tanto, dimW = 1.
3. Sean W1 yW2 subconjuntos deR3 definidos por:
W1={(x, y, z)∈R3:x+y= 0}; W2={(x, y, z)∈R3:x+y+z= 5}
Entonces se verifica que W1, W2 y W1∩W2 son subespacios deR3
(a) Falso, pues W1∩W2 no es subespacio vectorial pues la intersección de subespacios vectoriales en general no lo es.
(b) Falso, pues W2 no es subespacio vectorial ya que 0 = (0,0,0)∈/W2.
(c) Falso ya queW1∩W2={(x, y, z)∈R3:z= 5}, y dadosu= (1,1,5)yv= (0,0,5) vectores de W1∩W2 la suma u+v= (1,1,10) no pertenece a W1∩W2.
(d) Verdadero, pues W1yW2 son subespacios vectoriales por estar definidos por ecuaciones lineales yW1∩W2 lo es por ser intersección de subespacios vectoriales.
4. El conjunto de vectores M ={u1= (1,1,2,1), u2= (0,2,3,1), u3= (2,0, a,1)} es linealmente independiente para cualquier valor dea.
(a) Verdadero, pues para todoa∈Rel rango de la matriz
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1 0 2
1 2 0
2 3 a
1 1 1
⎞ ⎟ ⎟
⎠es igual a 3.
(b) Falso, ya que sia= 1,el subespacio generado porMes L(M) ={(x, y, z, t)∈R4/ y+t=z, x+y= 2t}, que tiene dimensión 2.
(c) Falso, pues los vectores u1, u2, u3,son linealmente dependientes ya queu3= 2u1−u2.
5. Estudiar, razonando las respuestas, si las siguientes afirmaciones son verdaderas.
(a) SeaW el subespacio vectorial deR3 generado por el siguiente conjunto de vectores:
G={(1,2,1), (0,1,0), (1,0,−1), (1,1,−1)}.
EntoncesW =R3.
(c) Seanu1, u2, u3, u4 ∈R3 cuatro vectores no nulos y distintos entre sí. SeaW el subespacio generado por esos cuatro vectores. Entonces se verifica queW =R3.
(d) SeaWel subespacio vectorial generado por tres vectoresu1, u2, u3∈R4y seav∈R4tal quev=u1+u2+u3 yv= 2u1−u3. Entonces se verifica quedimW ≤2.
6. SeaB={(1,0,0),(1,1,1),(−1,0,1)}una base deR3yv∈R3cuyas coordenadas con respecto a la baseBson (1,1,1). Entonces las coordenadas de vcon respecto a la base canónica son(1,1,2).
(a) Verdadero, ya que(1,1,2) = (1,0,0) + (1,1,1) + (−1,0,1). (b) Falso,Bno es una base deR3.
(c) Falso, ya que las coordenadas son(1,1,1), debido a(1,1,1) = (1,0,0) + (0,1,0) + (0,0,1).
(d) Falso, ya que los vectores(1,1,2) y(1,1,1) son linealmente independientes.
7. Sea S={v1, v2, v3, v4, v5}un sistema de generadores de un espacio vectorialV de dimensión3. Entonces:
(a) B={v1, v2, v3}es una base deV.
(b) Los vectores deS son linealmente dependientes.
(c) Seau= 1v1+ 3v2−v3+ 2v4−10v5, entonces las coordenadas deucon respecto de una baseBdeV son (1,3,−1,2,−10).
(d) S es un sistema de generadores deV y los vectores deS son linealmente independientes.
8. SeanW =©(x, y, z)∈R3:x+y+z= 0ªy la matriz
A=
⎛
⎝ −21 01 −12 −1 −1 1
⎞ ⎠
Se verifica que el sistema de ecuaciones linealesAx=bes compatible para todob∈W.
(a) Verdadero, ya que sib∈W, entonces es de la forma b= (α, β,−α−β)con α, β∈Ry se verifica que
rg(A) =rg(A|b) =rg ⎛
⎝ −21 01 −12 αβ
−1 −1 1 −α−β ⎞ ⎠= 2
(b) Falso, el sistema Ax=b, conb= (1,1,−1)cumple las hipótesis del enunciado y, sin embargo, es incom-patible.
(c) Verdadero, ya que L {(−1,2,−1),(0,1,−1),(1,−2,1)} = W y, por tanto, cualquier vector b ∈ W es combinación lineal de los vectores columna deA.
B) Problemas
1. Dibujar los vectores(−4,−2),(2,1)deR2 y(1,3,2),(5,1,−4) deR3. Hallar el ángulo que forman.
2. Los vectoresuyv deR2 forman un ángulo de60oy el módulo deues 3. Determinar el módulo dev para que
v−usea ortogonal au.
3. Sea R3[x]el conjunto de polinomios en una indeterminadaxcon coeficientes reales de grado≤3. Probar que R3[x] es un espacio vectorial con las operaciones: suma de polinomios y producto de un polinomio por un número real. ¿Es el subconjuntoH ={p(x)∈R3[x] :grado(p(x)) = 3}un subespacio vectorial deR3[x]?
4. Averiguar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales deR4:
5. EnR3se consideran los subconjuntos:
W1={(x, y, z)∈R3|x= 0} ; W2={(x, y, z)∈R3|y−z= 0,3x+ 2y−2z= 0}. (a) Demostrar queW1yW2 son subespacios vectoriales deR3.
(b) Hallar los subespacios vectoriales: W1∩W2, W1+W2.
6. Estudiar si el sistema de vectores{(1,−1,2),(−1,1,2),(0,0,1)}generanR3.
7. Encontrar un sistema de generadores de los subconjuntos del ejercicio 4 que hayan resultado ser subespacios vectoriales deR4.
8. ¿Son los vectores(1,2,3),(1,1,1)combinación lineal de los vectores del sistemaS ={(1,0,2),(0,2,2)}?
9. Estudiar si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes:
(a) (1,2),(2,3),(5,8) (d) (1,−2,1,1),(3,0,2,−2),(0,4,−1,1) (b) (1,2,3),(2,0,−1),(0,4,7) (e) (1,2,3,0),(1,0,0,1),(1,0,0,−1),(0,2,3,1) (c) (1,2,1)(3,1,1)(1,0,−1)
10. Encontrar subconjuntos de vectores linealmente independientes de los conjuntos de vectores del ejercicio anterior que hayan resultado ser linealmente dependientes.
11. Encontrar los subespacios vectoriales generados por los conjuntos de vectores del ejercicio 10.
12. (a) Siu, v ywson vectores linealmente dependientes. ¿Se puede asegurar queudepende linealmente dev y
w? ¿Y que uno de los tres vectores es combinación lineal de los otros dos?
(b) Si{u, v, w}son linealmente independientes. Estudiar si{u+v, u+w, v+w}son linealmente independientes o no.
13. Encontrar una base de los subconjuntos del ejercicio 4 que sean subespacios vectoriales deR4y dar la dimensión.
14. Se considera el conjunto de vectores
B={u1= (1,1,1,1), u2= (1,1,−1,−1), u3= (1,−1,1,−1), u4= (1,−1,−1,1)}. (a) Probar queB es una base ortogonal deR4.
(b) Escribirv= (1,−3,5,6) como combinación lineal deu1, u2, u3, u4. (c) Hallar las coordenadas de un vector arbitrariov= (a, b, c, d)en la baseB. (d) Obtener una base ortonormal deR4a partir deB.
15. DadosU ={(x, y, z, t)∈R4/ y−2z+t= 0}yV ={(x, y, z, t)∈R4/ x=t, y= 2z} subespacios vectoriales deR4, hallar una base y la dimensión deU,V, U∩V yU+V.
16. Se consideran las siguientes bases de R2: B={(1,2); (2,3)}yB0={(1,3); (1,4)}. Hallar:
(a) las coordenadas de los vectores de la baseBrespecto de la baseB0, (b) las coordenadas de los vectores de la baseB0 respecto de la baseB. 17. Se consideran los subespacios vectoriales deR4siguientes:
V1={(x, y, z, t)/ x+y−z= 0}
V2=L{(1,1,1,1),(1,2,3,4)}
V3=L{(1,1,0,1),(1,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)}
¿Pertenece el vector (1,0,1,−2) a dichos subespacios? En caso afirmativo calcular las coordenadas de dicho vector con respecto a alguna base de dichos subespacios.
18. Estudiar la dependencia lineal de los vectores(4,0,1),(1,5,1),(7,−5,1). Calcular el subespacio generado por los mismos y determinar su dimensión.
19. (a) Probar queH={(x, y, z, t)∈R4/ x+y= 0, z+t= 0}es un espacio vectorial deR4.Calcular una base y la dimensión deH.
HOJA 4: APLICACIONES LINEALES
A) Cuestiones test
1. No existe ninguna aplicación lineal f :R2−→R2tal que
f(1,1) = (2,1) ; f(1,0) = (0,1) ; f(0,1) = (1,0) (1)
(a) Verdadero, pues si f fuese lineal se tendría f(0,1) = f(1,1)−f(1,0) = (2,1)−(0,1) = (2,0) que no coincide con lo indicado en el enunciado.
(b) Falso, sí que existe una aplicación lineal f que verifique (1), f tiene asociada a la matrizA= µ
0 1
1 0
¶
respecto a las bases canónicas deR2.
(c) Falso, ya que la funciónf(x, y) = (xy+y, x),verifica (1) y es una aplicación lineal.
2. La aplicación lineal f : R3 −→ R3 definida por f(x, y, z) = (x, x+y, x+z) tiene como matriz asociada respecto de la base canónica B ={e1, e2, e3}
A=
⎛
⎝ 11 01 00
1 0 2
⎞ ⎠
(a) Verdadero, pues las columnas deAson las coordenadas de f(e1), f(e2), f(e3)respecto deB.
(b) Falso, porque la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de la base canónica en el espacio de llegada no puede tener una columna de unos.
(c) Verdadero, pues para cualquier vector del espacio inicial se verifica quef(v) =A·v.
(d) Falso, pues como f es lineal el rango de la matriz asociada que coincide con la dimensión del subespacio imagen sólo puede ser 2 ó 1 núnca 3 que es la dimensión del espacio de llegada.
(e) Falso, pues aunquef es lineal las columnas deA no coinciden con las coordenadas de los vectores de la base canónica transformados porf.
3. La matriz
A=
⎛
⎝ 11 11 00 00
0 0 1 1
⎞ ⎠
está asociada a una aplicación linealf definida de R4 enR3.
(a) Verdadero, puesAtiene como aplicación asociada f(x, y, z, t) = (x+y, x+y, z+t) que es lineal.
(b) Falso, pues toda matriz asociada a una aplicación lineal tiene que ser cuadrada.
(c) Falso pues la matriz asociada a una aplicación lineal no puede tener ni dosfilas ni dos columnas iguales.
(d) Falso, pues aunque A∈M3×4 es la matriz asociada a g(x, y, z) = (x+y, x+y, z, z), que es una aplicación lineal,g está definida deR3enR4.
4. Sea A = µ
6 2 1 7
¶
la matriz asociada a una aplicación lineal respecto de la base B = {(1,1), (0,1)}en el
espacio inicial y la base canónica en el espaciofinal. Entonces se verifica quef(2,2) = (12,2).
(a) Verdadero, pues como(2,2) = 2(1,1), entoncesf(2,2) = 2f(1,1) = (12,2).
(b) Falso, puesf(2,2) = µ
6 2
1 7
¶ µ 2 2
¶ =
µ 16 16
¶
.
(c) Falso,(12,2)no pertenece a la imagen de la aplicaciónf.
5. Sea f :R3→R2 una aplicación lineal con matriz asociada respecto a las bases canónicas
A= µ
1 3 −1
0 1 0
¶
entonces se verifica quedim[Ker(f)] = 2.
(a) Verdadero, puesKer(f) ={(x, y, z)∈R3/x−z= 0, y= 0}. (b) Falso, pues Ker(f) ={(α,0, α);α∈R}.
(c) Verdadero, ya que rg(A) = 2.
(d) Falso, puesdim(R3)−dim[Im(f)] = dim[Ker(f)] = 1.
6. Sea f : R2 → R3 una aplicación lineal con matriz asociada A respecto de las bases canónicas, y tal que Im (f) =©(x, y, z)∈R3:x−z= 0ª, entonces se verifica que el sistemaAx=b conb= (1,2,1)es compatible determinado.
(a) Falso, pues no disponemos de información suficiente para calcularrg(A).
(b) Falso, ya que comodim [Im (f)] = 2entoncesdim [Ker (f)]>0y el sistemaAx=b podría ser indetermi-nado.
(c) Falso, aunqueb= (1,2,1)∈Im (f), el rango de la matriz ampliadaA˜= (A|b)podría no coincidir con el rango deA y entonces el sistema sería incompatible.
(d) Verdadero, ya que como b= (1,2,1)∈Im (f)se cumplerg (A) = rg³A˜´= 2 y coincide con el número de incógnitas.
B) Problemas
1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son aplicaciones lineales:
(a) f(u1, u2) = (3u1, u2/u1) (d) f(u1, u2, u3) = (u1−u2, u3+34u2) (b) f(u1, u2) = (u1+23u2, u2) (e) f(u1, u2) = (eu1,cosu2)
(c) f(u1, u2, u3) = (3u1+ 4, u3−7u1) (f) f(u1, u2, u3, u4) = (√u1, u3+u4).
2. Calcular la expresión matricial (en las bases canónicas) de las siguientes aplicaciones lineales:
(a) f(x, y, z) = (4x+ 5y, z−x) (d) f(u1, u2, u3) = (u1−u2−u3,0, u3) (b) f(u1, u2) = (u1+23u2, u2, u1−2u2) (e) f(x, y) = (x, y)
(c) f(u, v, w) = (u−w, u, v−12u) (f) f(x, y) = (x−y,2x,y2, x+y).
3. Calcular los subespacios “núcleo” e “imagen” de las aplicaciones lineales del ejercicio 2. Indicar su dimensión.
4. Sea f : R3 → R2 la aplicación lineal tal que f(1,1,1) = (2,2), f(0,1,1) = (1,1) y f(0,0,3) = (0,3). Dar
f(x, y, z)para cualquier vector(x, y, z)∈R3.
5. ¿Existe alguna aplicación linealf :R2→R2 tal quef(2,3) = (0,1),f(−2,−3) = (1,0)?
6. Sea f :R3→R3la aplicación linealf(x, y, z) = (ax+ 3y+ 4z,3x+ay,4x+az), cona∈R. Se pide:
(a) Encontrar la matriz asociada def respecto de las bases canónicas deR3.
(b) Calcular la dimensión del subespacio vectorialImf y determinar los valores del parámetroapara los que Imf 6=R3.
7. Sea la aplicación linealf(x, y, z) = (4x−y,2z+x, x). Estudiar si(1,3,0)pertenece aImf.
8. Se consideran las aplicaciones lineales: f(x, y, z) = (4x−y, z+x, x) y g(x, y, z) = (y,2z+ 3x, z).
Calcular las aplicaciones linealesf−2g, f◦g,g◦f y sus matrices asociadas respecto de las bases canónicas.
(a) f(x, y) = (x−2y, y); B1={(1,2),(1,1)},B2={(1,0),(0,1)}
(b) f(x, y, z) = (z+y, x−y); B1={(1,2,0),(1,0,1),(0,0,3)},B2={(1,−1),(0,1)}
(c) f(x, y, z, t) = (x+y+z+t,0); B1={(1,2,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,2),(0,0,0,2)}, B2={(1,0),(0,1)} (d) f(x, y, z) = (x−2y,2y, z−x); B1={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},B2={(1,2,0),(1,0,1),(0,0,3)} (e) f(x, y, z) = (2x, z+y,3y); B1={(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)},B2={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
(f ) f(x, y, z) = (x−y−z,2z+y,−y); B1={(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)},B2={(1,−1,0),(0,2,0),(0,2,5)}
10. Sea MBB0(f)la matriz asociada a la aplicación linealf en las basesB yB0. Calcular la aplicación f en cada
uno de los siguientes casos:
(a) MBB(f) =
⎛
⎝ 112 −−51 00
0 1 1
⎞
⎠,B ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
(b) MBB0(f) =
⎛
⎝ 14/2 51 200
0 2 0
⎞
⎠, B={(1,8,0),(4,0,1),(0,10,1)}, B0={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
(c) MBB0(f) =
⎛
⎝ 22 5/33
10 2
⎞
⎠,B ={(1,0),(0,1)}, B0={(2,1,1),(−1,2,0),(1,3,0)} (d) MBB0(f) =
µ
1 5 3
0 −1 0 ¶
,B={(1,2,0),(1,0,1),(0,0,3)},B0 ={(1,−1),(0,2)}
(e) MBB(f) =
⎛
⎝ 112 −−51 00
0 1 1
⎞
⎠,B ={(1,2,3),(1,1,0),(0,1,1)}
11. Calcular la aplicación inversa en los casos en los que ésta exista:
HOJA 5: DIAGONALIZACIÓN. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
A) Cuestiones test
1. SeaA∈M3tal queAu= 2uyAv= 3vpara ciertos vectores no nulosu,v∈R3. EntoncesAes diagonalizable.
(a) Falso, pues no tenemos datos suficientes para garantizar queAsea diagonalizable.
(b) Verdadero, pues los autovalores deA son distintos y se puede asegurar queAes diagonalizable. (c) Falso, pero sería cierto si además elrg(A)fuera2ya que|A|= 0y0sería otro autovalor deA.
2. SeaAuna matriz cuadrada de orden 3 y seanu, vywautovectores deA.Entonces se verifica queB={u, v, w}
es una base deR3.
(a) Verdadero, ya que los vectoresu= (1,1,1), v= (1,0,−1), w= (1,−2,1)son autovectores de la matriz
A=
⎛
⎝ −11 −21 −01
0 −1 1
⎞ ⎠
asociados a los autovalores 0, 1 y 3 respectivamente y como u, v y w son linealmente independientes
B={u, v, w}es una base deR3.
(b) En general es falso, aunque sería cierto si los autovectores estuviesen asociados a autovalores distintos de
A.
(c) Falso, solamente sería cierto si |A| 6= 0 ya que la matriz A sería inversible y por tanto diagonali-zable. Entonces todo conjunto de 3 autovectores sería una base deR3.
3. Sea Auna matriz cuadrada de orden 3 tal que|A|= 0, tr(A) = 1yλ= 1es un autovalor deA. Entonces el subespacio vectorial V(1) =©v∈R3/Av=vª tiene dimensión 1.
(a) Falso, ya que con la información que tenemos sólo podemos asegurar que 1≤dim(V(1))≤3puesA es de orden 3 yλ= 1es un autovalor deA.
(b) Verdadero, ya que los autovalores deAsonλ= 0(doble), yλ= 1, y por lo tantodim(V(1)) = 1.
(c) Verdadero, ya que los 3 autovalores A son distintos y, por tanto, todos los subespacios vectoriales de autovectores deAtienen dimensión 1.
4. Sea Auna matriz cuadrada de ordenn. Entre las siguientes características deA:
(1)Aes simétrica, (2)Aes diagonalizable, (3)Atienenautovalores diferentes, se verifican las siguientes implicaciones: (1) =⇒(2), (2) =⇒(3).
(a) Verdadero, ya que toda matriz simétrica es diagonalizable y esto implica que A tiene sus n autovalores diferentes.
(b) Falso, las implicaciones correctas son(1) =⇒(2)y(3) =⇒(2).
(c) Falso, la matrizA=
⎛
⎝ 40 04 00
0 0 3
⎞
⎠es diagonalizable y sin embargo no todos sus autovalores son diferentes,
por lo que no es cierto que(2) =⇒(3).
5. Sea A ∈M3 y sean u¯, v¯y w¯ vectores distintos no nulos de R3 tales que: Au¯= 2¯u ; A¯v = 3¯v ; Aw¯ = 2 ¯w. Entonces se verifica queB={u,¯ v,¯ w¯}es una base deR3.
(a) Verdadero, puesu¯,v¯yw¯son autovectores distintos y por tanto siempre forman base de R3.
(b) Verdadero, ya que los vectores u¯ = (1,0,0), v¯ = (1,1,0) y w¯ = (0,0,1) verifican las condiciones del
enunciado para la matrizA=
⎛
⎝ 20 13 00
0 0 3
⎞
⎠y son linealmente independientes, por lo que son base deR3.
6. Sea Auna matriz cuadrada de ordenntal que el sistemaAx=b es compatible. Si λ= 0es autovalor deA, entonces el sistemaAx=b es compatible indeterminado.
(a) Falso, ya que las soluciones del sistema no dependen de los autovalores de la matrizA.
(b) Verdadero, ya que siλ= 0es autovalor deA, entonces elrg(A)< n, es decir, es menor que el número de incógnitas del sistema, por lo que existen infinitas soluciones.
(c) Falso, pues el sistemaAx=b podría ser compatible determinado.
7. Sea A una matriz de orden 4 con λ1 = 1 autovalor de multiplicidad algebraica 2 y λ2 = −1 autovalor de multiplicidad algebraica 1. Si sabemos que|A|=−2y traza(A) = 3 podemos decir que:
(a) La matriz es diagonalizable ya que tiene 3 autovalores distintos: λ1= 1 doble,λ2=−1yλ3=−2. (b) Los autovalores de la matriz sonλ1= 1,λ2=−1yλ3= 2.
(c) La matriz no es diagonalizable porque no hay cuatro autovalores distintos.
(d) No podemos asegurar que la matriz sea diagonalizable ya que desconocemos la dimensión del subespacio de autovectores asociados aλ1= 1.
8. Consideremos la aplicación lineal: f(x, y, z) = (3x+y+z, x+ 3y+z, x+y+ 3z). Podemos afirmar que existe una base ortogonal de autovectores.
(a) Falso, ya que los autovalores de la aplicación lineal sonλ= 2con multiplicidad 2 yλ= 1con multiplicidad 1 y no podemos asegurar que exista una base ortogonal del subespacio asociado aλ= 2.
(b) Verdadero, ya que para toda aplicación lineal diagonalizable siempre existe una base ortogonal. (c) Falso, en todo caso, la base sería ortonormal.
(d) Verdadero, ya que la matriz asociada a la aplicación lineal respecto de la base canónica es simétrica y por tanto siempre existe una base ortonormal de autovectores.
B) Problemas
9. Dadas las aplicaciones lineales:
(a) f1(x, y, z) = (x,2y,2y+z) ; (b) f2(x, y, z) = (−3x−8y+4z,3y,3z−2x) ; (c) f3(x, y, z) = (x+2y, y+3z, z)
estudiar si para cada una de ellas existe una baseB tal que la matriz asociada respecto deB en los espacios de partida y de llegada sea una matriz diagonalD. En caso afirmativo hallarB yD.
10. Estudiar si las aplicaciones lineales del ejercicio anterior tienen como autovalores y autovectores asociados los que se señalan: (a) λ= 2, u1= (0,1,2) ; (b) λ= 3, u2= (4,0,3) ; (c) λ= 1, u3= (2,0,0).
11. Sea f :R3→R3la aplicación lineal tal que f(1,0,0) = (3,−2,1),f(0,1,0) = (4,−3,2),f(0,0,1) = (0,0,0).
(a) Calcular los autovalores def y los subespacios de autovectores asociados a cada autovalor. (b) Calcularker(f)eIm(f).
12. Estudiar si son diagonalizables las matrices siguientes, calculando, cuando sea posible, las matrices Pi y Di
para las que se verifica Ai=PiDiPi−1.
(a) A1= µ
5/7 −16/7 −12/7 9/7
¶
(b) A2=
⎛
⎝ 11 02 00
0 2 2
⎞
⎠ (c) A3=
⎛
⎝ 22 06 2−1
2 0 5
⎞ ⎠
(d) A4=
⎛
⎝ 01 10 00
0 0 2
⎞
⎠ (e) A5=
⎛
⎝ 31 02 00 2 −2 3
⎞
⎠ (f ) A6=
⎛
⎝ −−14 25 87 −1 1 5
⎞ ⎠
(g) A7=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
2 0 −1 0
0 2 −1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞ ⎟ ⎟
⎠ (h) A8=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
0 −1 −1 2
−1 −1 −2 3 −1 −2 −1 3 −2 −3 −3 6
13. Para las matricesAi del ejercicio anterior que sean diagonalizables, calculardet(Ai),det(Di),tr(Ai),tr(Di)y
relacionarlos.
14. Hallar una matriz cuadrada de orden 2 que tenga como autovalores λ1 = 1y λ2 =−2y como autovectores asociadosv1= (1,0)yv2= (3,1)respectivamente.
15. Dada la matriz
A= µ
1 a
3 b
¶
Calcular los valores de los parámetros ayb para los que
(a) el vector(−1,1) sea un autovector asociado al autovalorλ1= 4de la matrizA. (b) el vector(1,1)sea un autovector asociado al autovalorλ1= 5de la matrizA.
16. Estudiar si existena, byctales que la matriz
A=
⎛
⎝ ab 32 31 −1 1 c
⎞ ⎠
tenga como polinomio característico−λ3+ 3λ2+λ+ 3.
17. Hallar una matriz cuadrada de orden3con autovaloresλ1= 2,λ2=−3tal que los subespacios de autovectores asociados vengan dados por
V(λ1= 2) ={(x, y, z)∈R3/ y=−z}
V(λ2=−3) ={(x, y, z)∈R3/ x=y=z}
18. Determinar los valores de ay b para los que la matriz A =
⎛
⎝ 10 22 ba
0 −2 1
⎞
⎠ tiene como autovector el vector
(2,2,−2).
19. Estudiar para qué valores de los parámetros son diagonalizables las matrices
(a) A1=
⎛
⎝ a0 20 2−2
0 1 3
⎞
⎠ (b) A2=
⎛
⎝ 10 a2 03
0 0 1
⎞
⎠ (c) A3=
⎛
⎝ 10 ab 03
0 0 1
⎞ ⎠
20. Diagonalizar las siguientes matrices simétricas calculando una matriz de autovectores ortogonal
(a) A1=
⎛
⎝ 00 00 01
0 1 0
⎞
⎠ (b) A2=
⎛
⎝ 11 11 11
1 1 1
⎞ ⎠
21. Calcular los autovalores de las matrices inversas de:
(a) A1=
⎛
⎝ 31 13 −−11
0 0 2
⎞
⎠ (b) A2=
⎛
⎝ 14 41 22
2 2 3
⎞ ⎠
22. CalcularAn con n∈Npara las siguientes matrices
(a) A1=
⎛
⎝ 50 141 30
0 2 2
⎞
⎠ (b) A2=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
−3 2 −3 0
0 3 −4 0
0 0 6 0
0 0 0 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
HOJA 6 : FORMAS CUADRÁTICAS
A) Cuestiones test
1. Seaq1(x) =x0AxconAsimétrica una forma cuadrática definida positiva. Entoncesq2(x) =x0A−1xes definida positiva.
(a) Falso, ya que no podemos asegurar bajo las condiciones del enunciado queA−1 exista.
(b) Falso, la forma cuadrática asociada a la matrizA= µ
2 1
1 3
¶
es definida positiva, peroq2(x) =x0A−1x es definida negativa.
(c) Verdadero, ya que siq1(x)es definida positiva, entonces los autovalores deA,λ1,λ2,. . .,λn son positivos
y|A| 6= 0. Por tanto, existeA−1 y como sus autovalores 1
λ1
, 1 λ2
, . . . , 1 λn
son positivos, q2(x)es también
definida positiva.
2. Sea Auna matriz cuadrada de orden 3, no invertible y simétrica, tal quetr(A) = 2. Entonces se verifica que la forma cuadráticaq(x) =x0Axes semidefinida positiva.
(a) En general es falso, aunque sería cierto si ademásrg(A) = 1pues entonces la matrizAtendría un autovalor nulo de multiplicidad2y comotr(A) =λ1+λ2+λ3= 0 + 0 +λ3, el otro autovalor sería2.
(b) Falso, pues, por ejemplo, la forma cuadráticaq(x, y, z) = 4x2−2y2 cumple las hipótesis del enunciado y es indefinida.
(c) Verdadero pues la matriz
A=
⎛
⎝ 11/2 1/12 00
0 0 0
⎞ ⎠
verifica las hipótesis del enunciado y sus autovalores son λ1 = 0, λ2 = 1/2, λ3 = 3/2 por lo que es semidefinida positiva.
3. Sea q(¯x) = ¯xTAx¯una forma cuadrática siendo la matrizA de orden 3 tal que|A|= 0ytr(A) = 3. Además
λ1= 2es un autovalor deA. Entonces la forma cuadráticaqes semidefinida positiva.
(a) Verdadero, como|A|=λ1λ2λ3 = 0 entonces otro autovalor es λ2 = 0y comotr(A) = λ1+λ2+λ3 = 2 +0 +λ3= 3entonces el tercer autovalor esλ3= 1y por el criterio de los autovalores, la forma cuadrática
qes semidefinida positiva.
(b) Falso, no hay datos suficientes para clasificarla.
(c) Verdadero, si la matriz verifica que|A|= 0entonces la forma cuadrática es semidefinida positiva.
4. Sean q1 y q2 dos formas cuadráticas en Rn tales que q1 es definida positiva y q2 es semidefinida positiva, entonces se verifica queq1+q2definida por (q1+q2) (¯x) =q1(¯x) +q2(¯x):
(a) es una forma cuadrática semidefinida positiva. (b) es una forma cuadrática definida positiva.
(c) en general, no es una forma cuadrática.
(d) no se puede clasificar en función de la clasificación deq1 yq2.
5. Sea q(¯x) = ¯xTAx¯una forma cuadrática siendo Auna matriz simétrica de orden 3 tal que |A|=−1. Además
λ1=−1es un autovalor deA. Entonces la forma cuadráticaq es definida negativa.
(a) Verdadero, como|A|=λ1λ2λ3=−1<0y como el número de autovalores es impar, entonces es necesario que todos sean negativos. Por lo tanto, por el criterio de los autovalores, la forma cuadráticaqes definida negativa.
(b) Falso, no hay datos suficientes para clasificarla.
B) Problemas
1. Hallar la matriz simétrica asociada a las siguientes formas cuadráticas:
q1(x1, x2, x3) = 2x21−x1x3+x22+ 4x2x3−4x23
q2(x1, x2, x3) = −x21+ 2x1x2+x1x3+x22+ 5x2x3−x23
q3(x1, x2, x3, x4) = 3x21+ 6x1x4+x22+ 2x2x3+ 4x2x4+ 6x3x4+ 2x23+ 8x24
2. Dadas las matricesA1,A2 yA3
A1=
⎛
⎝ −22 01 −11 −3 0 3
⎞
⎠, A2=
⎛
⎝ −23 11 −02
0 −1 3
⎞
⎠, A3=
⎛
⎝ −25 31 −−32
1 1 3
⎞ ⎠
y la forma cuadrática q(x1, x2, x3) = 2x21−2x1x2+x22−2x1x3−x2x3+ 3x23 , se pide:
(a) Comprobar que q(x) =xtA
1x=xtA3x=xtA3x para todox= (x1, x2, x3)∈R3. (b) Obtener la matriz simétricaQtal que q(x) =xtQx y relacionarQyA
1,A2,A3.
3. Clasificar las formas cuadráticas siguientes:
(a) q1(x1, x2, x3) = 2x21+ 2x22+x23−4x1x2
(b) q2(x1, x2, x3) =−3x21+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x22−6x2x3+ 7x23 (c) q3(x1, x2, x3, x4) = 2x21+x22+ 3x23+ 8x1x3−3x24
(d) q4(x1, x2, x3) = 2x21+ 2x1x2+x22+ 2x2x3+ 3x23
(e) q5(x1, x2, x3) =−x21+ 3x22+ 4x1x3−2x1x2+ 3x23
(f ) q6(x1, x2, x3) = 3x21+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x22−6x2x3+ 7x23 (g) q7(x1, x2, x3) =−4x21+ 4x1x2−x22−9x23+ 6x3x4−x24 (h) q8(x1, x2, x3) =−3x21+ 2x1x2−4x22
4. Clasificar las formas cuadráticas en función de los valores de los parámetrosayb:
(a) q1(x1, x2, x3) =ax21+ax22+ax23+ 6x1x2+ 8x1x3
HOJA 7 : CONVEXIDAD DE CONJUNTOS Y FUNCIONES
A) Cuestiones test
1. El conjuntoB=©(x, y)∈IR2/ y−x3≥0, 2x+y≤3, x≥0ª es convexo.
(a) Verdadero, puesB=B1∩B2∩B3 con:
B1= ©
(x, y)∈IR2/ y−x3≥0ª,
B2= ©
(x, y)∈IR2/2x+y≤3,ª,
B3= ©
(x, y)∈IR2/ x≥0ªy comoB
ii=1,2,3 son convexos, entoncesBtambién lo es por ser intersección
de conjuntos convexos.
(b) Es falso, el conjuntoB no es convexo pues
B =©(x, y)∈IR2/ x3−y≤0, 2x+y≤3, −x≤0ª
y las funcionesg1=x3−y, g2= 2x+y−3, g3=−x,no son todas ellas funciones convexas .
(c) Verdadero, pues si se representa gráficamente el conjuntoB,se verifica que el segmento que une cualquier par de puntos deB está contenido en B.
2. Dados los conjuntos
S={(x, y)∈R2/xy≥1} y T ={(x, y)∈R2/x≥0},
se verifica queS∩T es un conjunto convexo.
(a) Verdadero, ya queS yT son conjuntos convexos.
(b) Falso, puesS no es convexo y sólo la intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
(c) Verdadero, pues si se representa gráficamente el conjunto S ∩T, se verifica que el segmento que une cualquier par de puntos deS∩T está contenido enS∩T.
3. Sea la funciónf :R2 →Rdada por f(x, y) = x2+bxy. Entonces, se verifica que, para todo valor deb ∈R,
f(x, y)es una función convexa enR2.
(a) Verdadero, puesf(x, y)es una forma cuadrática y todas las formas cuadráticas son convexas.
(b) Falso. Parab= 0, la forma cuadrática con matriz asociadaHf(x, y) = µ
2 0 0 0
¶
es semidefinida positiva.
Esto implica que la funciónf(x, y)es estrictamente convexa y, por tanto, no puede ser convexa.
(c) Falso. Parab= 2, la forma cuadrática con matriz asociadaHf(x, y) = µ
2 2 2 0
¶
es indefinida y para que
la funciónf(x, y)sea convexa es necesario que dicha forma cuadrática sea definida positiva o semidefinida positiva.
B) Problemas
1. Representar los siguientes conjuntos de R2 e indicar cuáles son convexos:
(a) S1={(x, y)∈R2:x≥0, y≥0} (b) S2={(x, y)∈R2: (x−1)2+y2≥4}
(c) S3={(x, y)∈R2: 2≤x≤4, x+ 2y≤8}
2. Estudiar cuáles de los siguientes conjuntos son convexos:
(a) M1={(x, y)∈R2: 3x2+ 2xy+ 2y2≤30} (b) M2={(x, y, z)∈R3:x+y+z≥2, x≥0, y≥0}
3. Estudiar cuáles de los siguientes funciones son convexas o cóncavas:
(a) f(x, y) =x+ 3xy−6x2+y2,(x, y)∈R2
(b) f(x, y) =ax2+by2+cxy+x+y+ 2,(x, y)∈R2 (c) f(x, y, z) =√x+y+z,(x, y, z)∈R3
++ (d) f(x, y, z) =Ln(xy+z),(x, y, z)∈R3
TABLAS
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
i) SeaA∈Mn×n yAtsu matriz traspuesta, entonces |At|=|A|.
ii) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 a12 · · · a1n
..
. ... . .. ...
bj1+aj1 bj2+aj2 · · · bjn+ajn
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 a12 · · · a1n
..
. ... . .. ...
aj1 aj2 · · · ajn
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 a12 · · · a1n
..
. ... . .. ...
bj1 bj2 · · · bjn
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ iii) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 a12 · · · a1n
..
. ... . .. ...
λaj1 λaj2 · · · λajn
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =λ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 a12 · · · a1n
..
. ... . .. ...
aj1 aj2 · · · ajn
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
para todoλ∈R.
iv) SeaA∈Mn×nyλ∈Rentonces, |λA|=λn|A|.
v) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
..
. ... . .. ...
0 0 · · · 0
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= 0.
vi) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 a12 · · · a1n
..
. ... . .. ...
a(j+1)1 a(j+1)2 · · · a(j+1)n
aj1 aj2 · · · ajn
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =− ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 a12 · · · a1n
..
. ... . .. ...
aj1 aj2 · · · ajn
a(j+1)1 a(j+1)2 · · · a(j+1)n
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ vii) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
a11 a12 · · · a1n
..
. ... . .. ...
aj1 .. .
aj2 .. . · · · . .. ajn .. .
λaj1 λaj2 · · · λajn
..
. ... . .. ...
an1 an2 · · · ann
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= 0,para todoλ∈R.
viii) Si en una matrizA∈Mn×n,a una de susfilas (o columnas) se le suma una combinación lineal de
lasfilas (o columnas) restantes, el determinante de la matriz resultante es también |A|.
ix) SeanA, B∈Mn×n entonces |AB|=|A| |B|.
x) SeaA∈Mn×n yk∈N, k6= 0,entonces
¯
¯Ak¯¯=|A|k
.
xi) SeaA∈Mn×n no singular, entonces
¯
TIPOS DE MATRICES
Tipos de matrices Propiedades Ejemplo
Triangular superior
A= (aij)∈Mn×n
aij = 0sii > j
SiAyB son triang. sup. yα∈R,entonces
A+B, αA, AB, A−1 (si existe) son triang. sup. |A|=a11a22...ann.
⎛
⎝ 10 21 31
0 0 2
⎞ ⎠
Triangular inferior
A= (aij)∈Mn×n
aij = 0sii < j
SiAyB son triang. inf. yα∈R,entonces
A+B, αA, AB, A−1(si existe) son triang. inf. |A|=a11a22...ann.
⎛
⎝ 31 02 00
4 1 1
⎞ ⎠
Diagonal
A= (aij)∈Mn×n
aij = 0sii6=j
Si AyB son diagonales yα∈R,entonces
A+B, αA, AB, A−1 (si existe) son diagonales. rg(A) =no elementos no nulos de la diag.principal.
|A|=a11a22...ann.
⎛
⎝ 30 02 00
0 0 1
⎞ ⎠
Traspuesta deA A= (aij)∈Mm×n
At= (aji)∈Mn×m
SiA,B ∈Mm×n, C ∈Mn×p yα∈R,entonces:
(A+B)t=At+Bt, (αA)t
=αAt,
(AC)t=CtAt,(At)t=A,rg (A) = rg (At)
SiA∈Mn×n,tr (A) = tr (At) y|A|=|At|.
Si ademásAes invertible: ¡A−1¢t= (At)−1
A= µ
1 7
−9 5 ¶
At=
µ 1 −9
7 5
¶
Simétricas
A=At
SiA ,B son simétricas yα∈R,entoncesA+B, αA, AAt,AtA,A−1 (si existe) son simétricas.
⎛
⎝ 12 23 06
0 6 1
⎞ ⎠
Antisimétricas
A=−At
Si A,B son antisimétricas yα∈R,entonces
A+B, αAson antisimétricas. Ademásaii= 0.
⎛
⎝ −02 20 −14 −1 4 0
⎞ ⎠
Ortogonales
A−1=At
Si A,B son ortog.,AB,BA son ortog. Los vect. columna son ortog. Aes invertible. |A|= 1ó−1.
µ 0 −1
1 0
¶
Idempotentes
A2=AA=A
Sea Aidempotente. EntoncesIn−Atambién.
|A|= 1ó0. Sirg (A) =nentoncesA=In.
µ
2/3 1/3 2/3 1/3
¶
Nilpotentes
A2=AA=O
n
Sea Anilpotente. Entonces|A|= 0. Nunca existe inversaA−1 yrg (A)< n .
µ 0 0 1 0
¶
Unipotentes
A2=AA=I
n
SeaAunipotente. Entonces|A|= 1ó−1. rg (A) =n,∃A−1, A−1=A.
µ √
2/2 √2/2 √
2/2 −√2/2 ¶
FORMAS CUADRÁTICAS
Tipo Definición: Sea q(x) =xtAx conAmatriz simétrica.
Definida positiva q(x)>0 ∀x6= 0.
Definida negativa q(x)<0 ∀x6= 0.
Semidefinida positiva q(x)≥0 ∀x y existe x∗ 6= 0 tal que q(x∗) = 0.
Semidefinida negativa q(x)≤0 ∀x y existe x∗ 6= 0 tal que q(x∗) = 0.
Indefinida Existen x1, x26= 0 tales que q(x1)>0 y q(x2)<0. Clasificación de formas cuadráticas
Tipo Criterio de Menores
Definida positiva ⇐⇒ Di>0 ∀i= 1, ..., n.
Definida negativa ⇐⇒ (−1)iD
i>0 ∀i= 1, ..., n.
Semidefinida positiva ⇐= Di>0 ∀i= 1, ..., n−1 y Dn =|A|= 0.
Semidefinida negativa ⇐= (−1)iD
i >0 ∀i= 1, ..., n−1 y Dn=|A|= 0.
Indefinida ⇐= |A| 6= 0 yq no es definida
Tipo Criterio de Autovalores
Definida positiva ⇐⇒ λi>0 ∀i= 1, ..., n.
Definida negativa ⇐⇒ λi<0 ∀i= 1, ..., n.
Semidefinida positiva ⇐⇒ λi≥0 ∀i= 1, ..., n y existei0 tal queλi0 = 0. Semidefinida negativa ⇐⇒ λi≤0 ∀i= 1, ..., n y existei0 tal queλi0 = 0.
