Cálculo de las características de conductancia y de la relación corriente voltaje de hilos cuanticos

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(1)Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EM AT IC. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. AS. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. SI. CA. S. Y. M. AT. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FÍSICA. FI. TESIS. NC I. AS. “CÁLCULO DE LAS CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTANCIA Y DE LA RELACIÓN CORRIENTE-VOLTAJE DE HILOS CUANTICOS”. DE. CI E. PARA OPTAR EL TÍTULO DE LICENCIADO EN FÍSICA. AUTOR. BI. BL I. OT. EC A. Br. RICARDO OTILIO VERDE VERA. ASESOR Dr. PABLO AGUILAR MARÍN. TRUJILLO-PERÚ 2013. i Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EM AT IC. DEDICATORIA. A mis padres; Vicente Verde por su apoyo moral e incondicional e Irma Vera por su noble labor de. AT. amar y cuyos consejos son una luz que alumbra mi. CA. S. Y. M. transitar por la vida.. SI. A mi querido hermano Guido; cuya nobleza y. FI. esfuerzo no tienen precio para mí, a mi hermana. AS. Gricel; mi compañía incondicional y a Karlita. DE. CI E. NC I. un reflejo de mi madre.. EC A. A Pamelita y Franshesca dos angelitos llenos de ocurrencias que saben ganarse la confianza y. BI. BL I. OT. las sonrisas de su tío... ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EM AT IC. PRESENTACIÓN. conformidad. y. en. cumplimiento. de. los. requisitos. M. De. AT. Señores miembros del jurado:. “Universidad. Nacional. de. la. Y. estipulados en el Reglamento de Grados y Títulos de la Libertad”. y. el. Reglamento. CA. S. Interno de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Escuela Profesional de Física, pongo a vuestra ilustrada. FI. SI. consideración la presente intitulada:. AS. “CÁLCULO DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LA CONDUCTANCIA Y DE LA DE HILOS CUÁNTICOS”. NC I. RELACIÓN CORRIENTE-VOLTAJE. DE. CI E. Para optar el Título Profesional de Licenciado en Física.. OT. EC A. Ricardo Otilio verde Vera. BI. BL I. El Autor. iii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Quiero. expresar. mi. agradecimiento. al. Señor. gracias. a mi. asesor. de. M. De manera especial, quiero dar. Todopoderoso. AT. cuya fortaleza es mi sustento diario.. EM AT IC. AGRADECIMIENTOS. tesis, el Dr. Pablo Aguilar Marín sin cuya experiencia,. Y. consejo y comprensión el desarrollo del presente trabajo no. CA. S. hubiera sido posible.. SI. También quiero agradecer a mis maestros de la escuela de. FI. física quienes a lo largo de mis años de pregrado han. NC I. exigencia y ejemplo.. AS. enriquecido mi experiencia académica con sus enseñanzas,. CI E. Tampoco puedo olvidar agradecer a mis grandes y buenos familiares; Ovidio Verde, Lidia Verde y María Loyola de. DE. Verde quienes han sido mi baluarte frente las adversidades.. EC A. Tampoco puedo obviar mis agradecimientos a mis tíos, primos y amigos cuyos consejos y motivación fueron un punto de apoyo durante momentos cruciales de mi carrera profesional.. OT. De manera especial a Elizabeth Avalos quien entregó las. BI. BL I. “fórmulas” de servicio y amor al presente trabajo.. iv Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AS. INDICE. ii. PRESENTACIÓN………………………………………………………………………………………………………………. iii. AGRADECIMIENTOS………………………………………………………………………………………………………. iv. M. AT. EM AT IC. DEDICATORIA…………………………………………………………………………………………………………………. v. S. Y. ÍNDICE………………………………………………………………………………………………………………………………. INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………………………………. 1. AS. FI. I.. SI. CA. RESUMEN…………………………………………………………………………………………………………………………… viii. NC I. II. TEORÍA CUÁNTICA DE LOS ELECTRONES…………………………………………… Propiedades ondulatorias de los electrones……. 5. 2.2.. Electrones libres………………………………………………………………………. 8. CI E. 2.1.. 2.2.1. Electrones libres en una dimensión……………………. espacio………………………………………………………………………………………. 15. 2.3.1. Confinamiento al espacio unidimensional………. 16. 2.3.2. Confinamiento en el espacio tridimensional. 21. OT. EC A. de. BL I. 10. Electrones confinados a una región limitada. DE. 2.3.. BI. 5. 2.4.. Condiciones periódicas de frontera…………………………. 23. 2.5.. Nivel de Fermi y potencial químico…………………………. 24. 2.6.. Electrones confinados parcialmente en el espacio…………………………………………………………………………………. 27. v Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. III.. Hilos cuánticos……………………………………………………………………………. ELECTRONES. EN. UN. POTENCIAL. PERIÓDICO. Y. BANDAS. ENERGÍA…………………………………………………………………………………………………………………………… 3.1.. Modelo de estructura de bandas. AT. de Kronig-Penney……………………………………………………………………………. y aislantes………………………………………………………………………………………………… Modelo de sistemas de interacción………………………………. Y. 3.3.. DE. 40. 42. Bandas de energía de conductores, semiconductores. M. 3.2.. 34. EM AT IC. 2.7.. 28. AS. 2.6.1. Pozo rectangular finito…………………………………………………. 49 54. 59. 61. CA. bandas de energía…………………………………………………………………. SI. S. 3.3.1. El efecto de un campo electrónico sobre las. 61. 4.1.1. Densidad de estados en semiconductores…………. 65. 4.1.2. Densidad de estados en hilos cuánticos…………. 67. AS. Densidad de estados…………………………………………………………………. NC I. 4.1.. FI. IV. DENSIDAD DE ESTADOS…………………………………………………………………………………. Distribución clásica de Boltzmann……………………………. 71. 4.3.. Distribución de Fermi-Dirac……………………………………………. 72. 4.4.. Función de Distribución de un semiconductor degenerado……………………………………………………………………………. 74. DE. no. CI E. 4.2.. EC A. V. MODELO DE TRANSPORTE DE ELECTRONES EN HILOS CUÁNTICOS 76 Transporte Clásico y Semiclásico………………………………. 76. 5.1.1. Teoría Clásica de Conducción……………………………………. 76. BI. BL I. OT. 5.1.. 5.1.2. Teoría semiclásica de conducción eléctrica. 81. 5.1.3. Resistencia y conductancia clásicas…………………. 87. 5.2.. Transporte Balístico………………………………………………………………. 89. 5.2.1. Colisión de electrones y escalas de longitud 92 5.2.2. Modelo de transporte balístico………………………………. 93 vi. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 5.2.4. Evidencia experimental de la cuantización. 104. EM AT IC. de la conductancia………………………………………………………………. 96. AS. 5.2.3. Conductancia y resistencia cuántica…………………. VI. MATERIAL Y MÉTODOS……………………………………………………………………………………. 110. Objeto de estudio………………………………………………………………………. 110. 6.2.. Métodos y técnicas……………………………………………………………………. 112. M. AT. 6.1.. Y. VII. CÁLCULO Y RESULTADOS Y DISCUSIÓN……………………………………………. 112. Mecanismos de operación del FET…………………………………. 7.2.. Flujo de electrones en el canal…………………………………. 118. 7.3.. Corriente en el modelo de un nivel…………………………. 121. 7.4.. Flujo de entrada y flujo de salida………………………. 7.5.. Ensanchamiento de los niveles de energía y el. 112. 122. FI. SI. CA. S. 7.1.. AS. cuanto de conductancia……………………………………………………………………… 123 Perfil de potencial…………………………………………………………………. 127. 7.7.. Cálculo de la conductancia………………………………………………. 131. 7.8.. Cálculo de la relación corriente-voltaje…………. 133. NC I. 7.6.. CI E. Procedimiento iterativo para la solución Auto-consistente………………………………………………………………………… 135. EC A. DE. DISCUSIÓN…………………………………………………………………………………………… 138. 140. RECOMENDACIONES…………………………………………………………………………………………. 141. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………………………………………. 143. BI. IX.. BL I. OT. VIII.CONCLUSIONES……………………………………………………….………………………………………. X.. vii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EM AT IC. RESUMEN. El informe de práctica pre-profesional realizado presenta un enfoque microscópico de la conducción eléctrica en hilos. cuánticos. Específicamente se ha aplicado un modelo que. corriente-voltaje. en. un. hilo. cuántico.. La. M. relación. AT. describe y explica de manera sencilla la conductancia y la. finalidad ha sido dar a conocer el comportamiento de estos nivel. importante. cuántico en. la. era. dado. que. su. entendimiento. de. la. miniaturización. de. S. resulta. a. Y. parámetros. CA. circuitos y de empaquetamiento de información.. SI. El modelo está basado en un enfoque de abajo hacia arriba. FI. (bottom-up) y se vale de un circuito capacitivo de un nanotransistor, cuyo canal representa el hilo cuántico y sobre cual. se. asume. un. transporte. AS. el. coherente. de. carga. eléctrica. El modelo cubre la conducción eléctrica en hilos. NC I. cuánticos bajo ciertas condiciones que surgen a escala de. CI E. los nanómetros.. La aplicación del modelo balístico en mención, en primer lugar, da como consecuencia que la conductancia de un hilo. DE. cuántico está cuantizada y toma un valor máximo por nivel que es directamente proporcional a la carga del electrón. segundo. EC A. En. lugar. se. describen. y. explican. las. características de corriente-voltaje de hilos cuánticos de. BI. BL I. OT. manera general.. viii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) AS. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EM AT IC. I. INTRODUCCIÓN. Hace apenas 100 años el punto de vista atomístico fue algo controversial y muchos científicos de renombre del. AT. momento cuestionaron la utilidad de postular entidades llamados átomos los cuales nadie podía ver. Lo que. M. nadie pudo anticipar es que a finales del siglo veinte,. Y. los científicos podrían “ver” y tomar fotos de átomos e incluso construir. “nanoestructuras” diseñadas en una. Las. propiedades. de. tales. CA. S. escala de longitud de nanómetros [10]. estructuras. no. pueden. ser. SI. modeladas en términos de conceptos macroscópicos como. FI. movilidad o difusión. Lo que necesitamos es un punto de. AS. vista microscópico la cual es la esencia del presente trabajo.. cuando. de. un. llegado. corriente. NC I. flujo. voltaje. a. ser. es. un. CI E. El. a. través. aplicado. problema. de. a. de. nanoestructuras. través gran. de. él,. ha. significancia. práctica mientras los dispositivos electrónicos como transistores. van. reduciendo. la. escala. hasta. DE. los. dimensiones atómicas [10].. EC A. Cuando se reduce continuamente el tamaño de un material macroscópico. hasta. alcanzar. dimensiones. pequeñas. comienzan a aparecer ligeros cambios, finalmente cuando. OT. el tamaño cae por debajo de 100 nm aparecen variaciones. dimensiones mantiene. en. que. grande,. sus. se es. propiedades.. reducen decir. Si. mientras se. confina. son. la a. dos. las. tercera una. se. sola. BI. BL I. significativas. 1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. dimensión, la estructura resultante se llama alambre o. AS. hilo cuántico o también conocida como nanohilo [8].. EM AT IC. Este tipo de conductor realmente pequeño está definido. como un hilo de conducción eléctrica, en el cual los efectos cuánticos afectan las propiedades de transporte de carga.. electricidad hasta. que. condiciones, de. los. estos. hilos. se. capacidad. cuánticos. convierten. [4,5,6].. en. de. La. conducir. puede. decrecer. semiconductores. conductancia. de. o. hilos. Y. aisladores. la. AT. ciertas. M. Bajo. conductores a escala atómica depende, entre otros, de. CA. S. su longitud dimensiones laterales, estado de orden o desorden atómico. Al reducir el tamaño de los sistemas los. hilos. de. conexión. entre. los. SI. microelectrónicos. fenómenos. FI. componentes deben reducirse lo que hace que aparezcan tales. como. el. de. cuantización. de. la. AS. conductancia eléctrica.. clásica. NC I. Una consecuencia de esta cuantización es que la fórmula de. la. En. la. de. CI E. cuánticos.. ley. década. de. Ohm. 1980. no. se. es. válida. encontró. para. que. hilos. para. un. DE. dispositivo de un solo nivel de energía hay un valor máximo. de. conductancia. universal. EC A. constante. la. eléctrica,. relacionada. con. la. que. es. carga. de. una un. electrón -e y a la constante de Planck h [3]: G e h. OT. 2. BI. BL I. Además de su valor para la Física fundamental, las investigaciones en hilos cuánticos son de interés para los. diseñadores. información. de. acerca. equipos de. microelectrónicos.. sistemas. materiales. La con 2. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. dimensiones. extremadamente. reducidas. permite. la. que. la. necesidad. de. miniaturización. diseñar componentes cada vez más pequeños.. impulsa. a. EM AT IC. ya. AS. producción de nuevos tipos de dispositivos electrónicos. Hasta fines del siglo veinte no se sabía cómo unir puntos. de. contacto. a. moléculas. pequeñas. pero. ahora. existen diversos métodos experimentales para lograrlo. AT. [9].. puntos. de. contacto,. a. través. de. los. cuales. se. Y. dos. M. Para medir la conductancia de algo se necesita unirlo a. S. aplica un voltaje.. CA. En el presente trabajo se ha calculado la conductancia de algo realmente pequeño tal como una molécula, y se. nos. acercamos. a. conductores. más. FI. mientras. SI. ha propuesto la explicación de los sucesos que surgen grandes,. AS. mediante un enfoque de abajo hacia arriba (bottom up) donde se empieza de algo tan pequeño como un átomo de. los. manómetros). que. se. ensambla. hasta. NC I. (régimen. obtener un objeto macroscópico [7, 8, 11].. CI E. Además, en el desarrollo del trabajo se ha tratado de transmitir los principios esenciales y la descripción. DE. dada pretende ser uno de los caminos para explicar el comportamiento. la. conductancia. eléctricas. y. describir. las. (corriente-voltaje). de. EC A. características. de. objetos de dimensiones atómicas como hilos cuánticos.. OT. La primera sección es una breve introducción al trabajo. BI. BL I. realizado. La. segunda. sección. proporciona. la. teoría. cuántica. básica para electrones como propiedades ondulatorias y su. comportamiento. sin. influencia. de. potenciales 3. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. externos. (2.1). y. (2.2),. confinamiento. a. una. región. frontera. (2.4),. nivel. de. Fermi. y. potencial. AS. limitada de espacio (2.3), condiciones periódicas de. químico. EM AT IC. (2.5) y un breve concepto de hilo cuántico (2.6).. La tercera sección trata de los conceptos involucrados en. el. comportamiento. electrónico. inmersos. en. potenciales periódicos (3.1) y se hace introducción a teoría. de. bandas. de. energía. y. su. variación. AT. la. por. M. efecto de un campo electrónico externo (3.2).. Y. La cuarta sección trata de la densidad de estados en semiconductores y en hilos cuánticos (4.1), además de. CA. S. recordar las distribuciones de Boltzmann (4.2)y FermiDirac (4.3) como previo para formular una función de. quinta. sección. establece. FI. La. SI. distribución apropiada para el modelo aplicado. el. marco. teórico. del. transporte. de. AS. modelo, empieza por la definición de las teorías de carga. electrónica. como. son. la. teoría. NC I. clásica, semiclásica (5.1) y la teoría de trasporte balístico (5.2). En esta última se dan a conocer las. canal. CI E. condiciones cuánticas necesarias que debe cumplir el de. conducción.. Continúa. con. la. definición. de. conductancia y resistencia cuántica (5.2.3) y finaliza. DE. notificando. la. evidencia. experimental. de. la. BI. BL I. OT. EC A. cuantización de la conductancia (5.2.4).. 4. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EM AT IC. AS. II. TEORÍA CUÁNTICA DE LOS ELECTRONES. 2.1. Propiedades ondulatorias de los electrones. La. mecánica. cuántica. enseña. que. cada. partícula. tiene asociada a ella una onda. Las propiedades de onda. de. arena. y. aún. moléculas. de. M. granos. AT. de las partículas macroscópicas, tales como gravilla, ADN,. son. difícilmente perceptibles para todos; se suele tratar estas. partículas. utilizando. una. escala. Y. con. espacial. electrones. son. excepciones. CA. los. S. mucho más grande que su longitud de onda. Sin embargo notables. pues. su. longitud de onda es una fracción de un nanómetro (109-. SI. m) en metales y pueden alcanzar una fracción de un. FI. micrómetro (10-6m) en semiconductores. En consecuencia. AS. no se puede ignorar las propiedades ondulatorias de los electrones en el estudio de estructuras de este tamaño.. NC I. Un electrón cuántico se caracteriza por su función de onda  (r,t). La segunda potencia de su valor absoluto,. CI E. | (r,t)|2, da la probabilidad de encontrar un electrón en un punto dado r en un tiempo t. Los estadios cuánticos disponibles para un electrón en. DE. el vacío son aquellos con un cierto vector de onda k.. OT. EC A. la función de onda de este estado es una onda plana.. E(k)=. electrón. en. h2k 2 2m. este. es. la. estado. energía se. iE ( k ) t . (2.1). correspondiente.. propaga. sobre. todo. El el. BI. BL I. Donde. 1 ik .r  e k (r , t )  . 5. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. espacio de un gran volumen v; la segunda potencia del. prefactor. en. la. ecuación. (2.1). asegura. que. hay. EM AT IC. El. AS. valor absoluto de  no depende de las coordenadas.. precisamente un electrón en este gran volumen. En. nanoestructuras. existen. muchos. electrones.. Los. electrones son fermiones de spin ½, y el principio de. Pauli asegura que cada estado de una partícula está. Consideremos. un. cubo. en. AT. vacío o bien ocupado con un fermión. el. k-espacio. centrado. M. alrededor de k con los lados dkx·dky·dkz <<1k. El número de estados disponibles en este cubo es 2v dkx·dky·dkz. 2. proviene. S. factor. del. hecho. que. hay. 2. posibles. CA. El. Y. /(2  )3.. direcciones de spin. La fracción de estados llenos en. SI. este cubo es llamado factor de ocupación f(k). Todos. n,. densidad. de. FI. los electrones participan en la densidad de partículas energía. E,. y. densidad. de. corriente. AS. eléctrica de la siguiente manera:. se. introduce. DE. Aquí. CI E. NC I. n 3    2 d k    (2 ) 3  j . velocidad. EC A. restricción. la. v(k)=hk/m. sobre. la. f(k)..  1   E (k )  f (k )   e (k ). carga. (2.2). del. electrón. e. mecánica. cuántica. no. Sin. embargo,. el. y. la. hace. factor. de. ocupación de electrones en un estado de equilibrio para un. potencial. químico. y. temperatura. dados. está. f eq (k )  f F [ E (k )   ] . 1 1  e[( E   ) / k BT ]. (2.3). BI. BL I. OT. establecido por la estadística de Fermi-Dirac.. 6. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. de Fermi, EF. consideremos. electrones. en. el. campo. de. un. EM AT IC. Luego. AS. El potencial químico a O K es conocido como la energía. potencial electrostático V(rt)/e. la función de onda  (r,t). de un electrón, la cual ya no es una onda. plana. Así que, se obvia la ecuación de schrödinger. . . 2 2   V (r , t ) 2m. CA. S. Donde. (2.4). M.  ( r , t )     (r , t ) t. Y. i. AT. dependiente del tiempo, dado por:. valor. llamado. instantáneo. el. El. Hamiltoniano.. en el futuro dado. operador. FI. su. SI. Esta ecuación evolutiva determina . Pero. por. evolutivo el. H. momento. es nos. AS. concentraremos en el potencial estacionario V(r). Las. CI E. dado por:. NC I. funciones de onda, con su dependencia temporal está.  (r , t )  e( iEt /  ) E (r ). EC A. DE. Pero solo se va a considerar la parte estacionaria.  (r )   E (r ).  2 2  EE (r )   E (r )     V (r ) E (r )  2m  . (2.5). BI. BL I. OT. Y la ecuación de Schrödinger se reduce a:. 7. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Donde el Hamiltoniano se convierte en el operador de. AS. energía, mientras la ecuación viene a ser una relación del algebra lineal que define los valores propios E y correspondientes. funciones. propias. operador.. E. EM AT IC. sus. de. este. Estas funciones propias forman una base en el espacio de Hilbert de todas las funciones de onda posibles, de. AT. tal modo que una función de ondas arbitrarias puede ser representada sobre esta base. primer. término. en. el. Hamiltoniano. M. El. (gradiente). Y. describe la energía cinética, el segundo término V(r). S. representa la energía potencial [1].. anterior,. la. para. cualquier. comprensión. cualitativa. no. de. puede. potencial.. la. mecánica. ser Pero. resuelta muestra. cuántica. se. FI. rápidamente. cual. SI. ecuación. CA. Una buena parte de la mecánica cuántica trata con la. puede hace sobre casos simples cuya solución se obtiene circunstancias. especificas.. AS. en. Por. ejemplo. podemos. NC I. concentrarnos en el movimiento unidimensional, en el cual el potencial y las funciones de onda dependen sólo de la coordenada X. sin embargo se encontrará siempre sea. necesario,. CI E. que. su. utilidad. sobre. el. tema. de. DE. investigación.. EC A. 2.2. Electrones libres. Para sólidos, la fuente más usual de potencial es. OT. la red atómica, donde la energía potencial entre un. BI. BL I. electrón con carga e y un átomo ionizado con -e es:. V (r ) . 1 (e)(e) 1  A 4 o r r. (2.6) 8. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Donde r es la distancia entre ele electrón y el ión.. EM AT IC. 1 (e)(e) 1  A 4 o x x. (2.7). AT. V ( x) . AS. En una dimensión sería,. Como muestra la figura 2.1. M. V(x). FI. SI. CA. S. Y. X. NC I. AS. Figura 2.1. Potencial V(x) versus x, dado por (2.7), como modelo unidimensional de potencial debido a un átomo. Otras fuentes de potencial pueden ser otros electrones.. CI E. Sin embargo para electrones libres se asumirá que hay un solo átomo y ninguna otra partícula. Como primera. DE. aplicación de la ecuación de Schrödinger consideremos un electrón libre en un espacio infinito. Por electrón. EC A. libre se entiende que no existe variación de energía potencial. que. influya. sobre. dicha. partícula.. Por. ejemplo cuando V(r) = V0 (donde V0 puede ser cero, lo. OT. importante es que V sea constante), esto es, no existe. BI. BL I. frontera. en. involucraría. el. espacio. presencia. de. dado. que. dicha. otros. electrones.. frontera Así,. el. electrón está completamente exento de interacciones, y es considerado libre [1]. 9. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AS. 2.2.1. Electrones libres en una dimensión. Nuestro primer caso útil y sencillo de ilustrar. EM AT IC. es el problema de movimiento unidimensional. Nuestra ecuación (2.5) quedaría expresada así:.  2 d 2     Vo  ( x)  E ( x) 2  2me dx . AT. (2.8). M. Donde m es la masa del electrón y E es la energía del. S. Y. electrón, tiene como solución:  ( x)  Aeikx  Be  ikx. CA. SI. 2me ( E  Vo ) 2. (2.10). FI. k2 . (2.9). de. onda. (para. el. caso. escalar),. A. y. B. son. NC I. número. AS. Donde K es llamado el vector de onda (en general), o. constantes de relación parabólica entre el vector de. CI E. onda K y la energía E, se muestra en la figura 2.2; más adelante este tipo de diagrama tendrá gran importancia. Si colocamos esta solución con variación en el tiempo,. DE. tenemos:. EC A.  ( x, t )  ( Aeikx  Be  ikx )e  iE ( k )t / . (2.11). OT. De eso podemos observar que los términos con A y B representan. ondas. hacia. adelante. y. hacia. atrás,. BI. BL I. respectivamente. Una solución como (2.11) es llamada solución de onda plana debido a que las superficies de fase y amplitud constantes son superficies planas. 10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EM AT IC. AS. E(k). AT. V0. Y. M. K. forma. de. modelar. este. SI. Una. CA. S. Figura 2.2. Relación entre la energía y el número de onda, (2.10) para un electrón. comportamiento. es. FI. considerando el electrón como un paquete de onda, la cual es una onda que es tanto propagable y localizable. AS. en el espacio y tiempo. Es decir, el paquete de onda de onda como de partícula, lo. NC I. tiene cualidades tanto. cual se necesita obviamente para partículas cuánticas.. CI E. Ahora vamos introducir dos conceptos importantes para el desarrollo de este modelo, estos son la velocidad de fase y la velocidad de grupo.. EC A. DE. La velocidad de ase de una onda plana tal como  ( x, t )  Ae  i (t  kx ). (2.12). OT. Es la velocidad de un frente de onda plana de fase constante (y amplitud, en este caso). Por consiguiente,. BI. BL I. se iguala el término de fase a una constante C,. t  kx  C. (2.13) 11. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. dx    k p dt. (2.14). EM AT IC. k. AS. Y diferenciando con respecto el tiempo, nos conduce a:. Tal que la velocidad de fase es  k. AT. (2.15). M. p . Para la onda plana (2.12) esto es la única idea de sin. embargo,. (2.12). describe. Y. velocidad,. una. onda. S. esparcida sobre todo el espacio y tiempo. Ciertamente. CA. tiene comportamiento de onda, pero no se asemeja a una. SI. partícula (paquete localizado de energía). Hasta aquí se ha considerado que el paquete de onda no su. forma. mientras. se. FI. cambia. propaga.. A. menudo. uno. más. complicada. AS. necesita introducir una relación de dispersión que es que. la. simple. dependencia. lineal. NC I. considerada hasta el omento. Esto nos conduce a una forma cambiante del paquete de. CI E. onda mientras se propaga, para la cual el concepto de velocidad de fase no es de vital interés. Para examinar el fenómeno, convierte expandir w(k) es. DE. una serie de Taylor alrededor del número de onda k=k0,.   (k )   (ko )  k. 1  2 (k  ko )  2 k 2 k  ko. (k  k o ) 2  ..... k  ko. (2.16).  o   (k  k o )   (k  k o ) 2  ...... Consideremos sólo los primeros dos términos. BI. BL I. OT. EC A. obteniéndose.. 12. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT.  ik. o. ( p t  x ). o. ( p t  x ). k. . ko  k ko  k. e  ik o ( k  k o )(  t  x ) dk. sen   k (  t  x )   k ( t  x ). AS.  2e.  ik. (2.17). EM AT IC.  (x,t)  e. Donde Vp= wo/ko. La velocidad del conjunto no es la.  k.  g. (2.18). M. k  ko. Y. . AT. velocidad de fase, pero α,. CA. S. Es llamada velocidad de grupo.. Por consiguiente,. este. caso,. el. . . SI. sen k  g t  x  k  g t  x . (2.19). FI. k. paquete. de. NC I. En.  ik o ( p t  x ). AS.  ( x, t )  2e. onda. se. mueve. por. el. espacio y el tiempo como un bulto localizado de ancho. k ( g t  x) .  2. (2.20). DE. CI E. aproximado.. EC A. Que está centrado en el punto. OT. Esto. es,. ( g t  x )  0. comenzando. en. t=0,. (2.21). el. paquete. de. onda. se. BI. BL I. centra en x=0, y en un tiempo t dado el paquete de onda se centra en el punto. x  gt. (2.22) 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT.  2 k. (2.23). EM AT IC. x  g t . AS. Y ocupa una extensión espacial. La velocidad de grupo es la velocidad de la envoltura. del paquete de onda, a diferencia de la velocidad de. AT. fase de la onda plana central que tiene un número de onda K0. El paquete de onda está realmente conformado ondas. planas,. cada. cual. con. un. número. de. onda. M. de. que. se. han. definido. los. dos. conceptos. de. S. Ahora. Y. individual k y una velocidad de fase asociada  p   / k .. CA. velocidad para una onda, la velocidad e fase (2.15),  p   / k , y la velocidad de grupo (2.18),.  g   / k ,. las. soluciones. de. la. ecuación. FI. Para. SI. continuaremos con el desarrollo en una dimensión.. presentadas. previamente,. de. Schrödinger. colocando. Vo=0. por. NC I. AS. conveniencia y usando E   , se obtiene.. CI E. p . Recordando. que.  k p   k 2me 2me. las. (2.24). soluciones. de. ecuación. de. DE. Schrödinger deben concordar con la física clásica en el límite clásico, a fin de ver si la velocidad de fase. EC A. concuerda. con. nuestra. clásica. noción. de. velocidad,. p .  2. (2.25). BI. BL I. OT. igualamos p=me v para un electrón clásico, se obtiene.. 14. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Pero. la. velocidad. de. fase. no. proporciona. un. valor. AS. razonable para la velocidad del electrón. Sin embargo,. g . cual,. con. p=. mev. para. (2.26). un. electrón. clásico,. se. AT. La.  k p   k me me. EM AT IC. la velocidad de grupo es.. M. obtiene. (2.27). S. Y. g  . CA. La velocidad clásica. Por lo tanto, como concepto de velocidad, la velocidad e grupo es la que tiene mayor. FI. SI. significado físico.. 2.3. Electrones confinados a una región limitada de. NC I. La. AS. espacio. solución. más. simple. de. la. ecuación. de. Schrödinger hasta ahora, ha sido considerada, aquella modelo. de. un. CI E. del. electrón. u. otra. partícula,. en. un. espacio infinito sin variación de la energía. Claro que un. escenario. irreal. pero. modela. un. electrón. DE. es. EC A. relativamente libre.. Sin embargo, también nos provee de una comparación con un caso levemente más complicado pero más realista, de. OT. un electrón confinado a una región finita del espacio.. BI. BL I. Este confinamiento podría ser por ejemplo, un electrón ligado a un átomo, o un electrón confinado. a una. región material manoscópica pequeña tal como un punto cuántico. Esto conlleva a considerar que el modelo de 15. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. partícula. en. una. caja. es. de. suma. importancia. para. es. el. modelo. más. simple. que. nos. conduce. al. EM AT IC. discretización de la energía [2].. a. AS. comprender los dispositivos nanoelectrónicos, dado que. Sin embargo en este capítulo se echará un vistazo al problema unidimensional de un segmento de línea finito. M. AT. de longitud Lx.. Y. 2.3.1. Confinamiento al espacio parcial unidimensional. intervalo. (O,Lx).. En. electrón. confinado. S. un una. dimensión,. la. a. ecuación. un de. 2 d 2  ( x)  E ( x) 2me dx 2. (2.28). NC I. AS. . FI. SI. Schrödinger, con V=0 es. CA. Consideremos.  ( x)  Asenkx  B cos kx. k2 . 2me E 2. (2.29). (2.30). EC A. DE. Donde. CI E. Cuya solución es. Se asume que la probabilidad de encontrar un electrón fuera del segmento de línea es cero (el electrón está. OT. confinado a un segmento de línea mediante algún tipo de. BI. BL I. barrera), y desde luego y=0 fuera de segmento de línea. Esta estructura es a menudo llamada pozo cuántico o caja cuántica. La continuidad de la función de onda requiere que 16. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT.  (0)   ( Lx )  0. EM AT IC. AS. (2.31). Así B0 n K ; n  1,2,3... Lx. M (2.33). CA. S. n x Lx. n ( x)  Asen. Y. La función de onda es, por lo tanto,. AT. (2.32). . Lx. | n ( x) |2  1. NC I. CI E. 1/ 2.  2 n ( x)     Lx . 1/ 2.  2 n ( x, t )     Lx . EC A. DE. O. (2.34). AS. 0. Dos como resultado. FI. SI. La cual, normalizada es. sen. n X LX.  n sen  Lx.  x e  iE n t /  . (2.35). (2.36). BI. BL I. OT. Dado que K es discreta. E.  2k 2  2  n   2me 2me  Lx.    En . (2.37). La cual denota los valores propios del Hamiltoniano H. el valor esperado de la posición del electrón es: 17. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Lx.  x   n* ( x, t ) xn ( x, t )dx. (2.38). (2.39). Lx 2. (2.40). AT.  x .  x  dx . EM AT IC. Lx  n  x   xsen 2  0  Lx. AS. 0. M. Quiere decir que la posición promedio del electrón es el centro del pozo. Además, dado que el electrón sólo. Y. tiene energía cinética (V=0), la longitud de onda de De. h 2me E. CI E. NC I. SI. AS. Usando (2.37). Quiere. decir. (2.41). FI. e . CA. S. Broglie es. que. un. Lx . ne 2. entero. (2.42). de. la. mitad. de. las. longitudes de onda de De Broglie encuadran dentro de. DE. segmento Lx. Además si se asume que el electrón se.  ( x, t )   an n ( x, t ). (2.43). n. OT. EC A. encuentra en un estado de superposición.. BI. BL I. Entonces la probabilidad de hallar la energía Em es. P( Em ) . . L. 0. 2.  (r , t ) (r )dx  0n * n. 2. (2.44) 18. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AS. En este punto es importante apreciar dos cosas:. EM AT IC.  El tamaño del pozo determina los niveles de energía posibles de un electrón confinado al pozo, vía (2.37). esto es, un electrón confinado a un pozo puede tener. solo energías dadas por valores discretos de energía En, los cuales dependen sólo del tamaño del pozo y de. A. pesar. de. que. las. funciones. de. onda. M. . AT. la masa de los electrones.. de. los. posibles,. dado. que. la. ecuación. de. S. soluciones. Y. electrones (2.36) y las energías (2.37) son las únicas. CA. Schrödinger es una ecuación diferencial homogénea, el electrón puede estar en uno de los estados discretos. FI. SI.  n también, o en una superposición de estados (2.43). esto. AS. No se sabe el estado actual que un electrón ocupará, depende. típicamente. de. la. temperatura. y. otros. NC I. suministros de energía. Se han obtenido los estados permitidos posibles que un electrón puede ocupar, y no. CI E. se ha discutido que estado estarían realmente llenos. Entraremos al llenado de los estado subsecuentemente, en cuya parte necesitamos considerar la temperatura.. DE. Noten que debido al simple confinamiento del electrón a una región finita del espacio, la solución obtenida,. EC A. difiere radicalmente del caso del electrón totalmente libre.. En. particular,. para. el. electrón. libre,. la. solución (2.9) representa una onda viajera, y para el. OT. electrón confinado, la solución (2.33) representa una. BI. BL I. onda estacionaria. Algunos primeros patrones de la onda estacionaria se muestran en la figura 2.3 De. igual,. si. no. es. de. mayor. importancia,. es. la. observación que la energía obtenida para una partícula 19. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. sin fronteras o límites es continua, mientras en una. AS. región limitada del espacio la energía de la partícula. es discreta. La curva de la energía versus el vector de. EM AT IC. onda es parabólica, y se muestra en la figura 2.4, la cual debería ser comparada con la figura 2.2. 2 LX. M. AT. n=1. Y. n=2. CA. S. X. SI. primeros. NC I. Algunos. patrones. de. la. onda. E. BI. BL I. OT. EC A. DE. CI E. Figura 2.3. estacionaria. AS. FI. n=3. LX. Estados electrónicos. k. Figura 2.4. Energía versus número de onda para niveles de energía discretos. Sólo los valores de energía y números de onda representados por círculos son permitidos. 20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AS. 2.3.2. Confinamiento en el espacio tridimensional. Para analizar el confinamiento de un electrón en. espacio. tiene. dimensiones. LxLyLz,. y. que. espacio V=0. La ecuación de Schrödinger es. AT. 2 2   (r )  E (r ) 2me. dentro. del. (2.45). M. . EM AT IC. una región del espacio tridimensional, se asume que el. Y. Y, asumiendo que la función de onda se puede escribir. CA. S. en forma de producto..  ( x, y , z )  x ( x ) y ( y )  z ( z ). SI. (2.46). FI. Las condiciones de frontera. x (0)  x ( Lx )  0, y (0)  y ( Ly )  0,. AS. (2.47). NC I. z (0)  z ( Lz )  0,. CI E. Conduce a. 1/ 2.    . sen. n n x n xsen y ysen z z Lx Ly Lz. (2.48). DE.  8  ( x, y , z )   L L L  x y z. EC A. Ahora se tienen 3 números cuánticos nx  1,2,3,.... BI. BL I. OT. n y  1,2,3,.... (2.49). nz  1,2,3,.... Y un cuarto número cuántico ms, que justifica el spin. Juntos,. estos. cuatro. números. cuánticos. describen. el. estado de una partícula, donde combinaciones diferentes 21. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. de. los. números. cuánticos. se. refieren. a. diferentes. AS. estados del sistema.. EM AT IC. Los valores discretos permitidos de energía están dado por. Claro,. si. Lx=Ly=Lz=L,. se. 2 2   nz        L     z . obtendrá. resultado. más. S. CA. . caso,. los. estados. pero. con. la. con. misma. (2.51). diferentes. energía. son. números llamados. AS. cuánticos. . FI. este.  2 2 2 nx  n y2  nz2  En 2me L2. SI. E. En. el. Y. simple. (2.50). AT.  n  2  n  x    y  Lx   L y . M. En x , n y , n z.  2 2  2me. degenerados, y el número de estados que tienen la misma. CI E. NC I. energía es llamado la degeneración.. DE. 2.4. Condiciones periódicas de frontera. A. menudo. periódicas. EC A. frontera viajeras,. es. de. frontera. (2.47) en. conveniente. vez. que de. en. resulta. considerar vez en. de. condiciones. condiciones. soluciones. estacionarias.. Las. de. de onda. condiciones. OT. periódicas de frontera imitan a un sólido infinito en. BI. BL I. vez de una región finita, y están dadas por  ( x, y, z )   ( x  Lx , y, z )  ( x, y , z )   ( x, y  L y , z ). (2.52).  ( x, y, z )   ( x, y, z  Lz ) 22. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. EM AT IC.   1  r       Lx L y Lz. AS. Llegando a la solución de (2.45) como. 1/ 2.  i k . r  e  . (2.53). . . . . AT. Donde . 2m e E 2 2n  2n  2n  kx  x , k y y , kz  z Lx Ly Lz. (2.54). CA. S. Y. k 2  (k x2  k y2  k z2 ) . M. k  a x kx  a y k y  a z kz ; k  k. en. vez. de. nx,y,z,. y. los. FI. 2nx,y,z,. SI. nx,y,z= 0,  1;  2, … notemos que ahora tenemos el índice valores. positivos. y. se. mueven. en. AS. negativos de k son permitidos para justificar ondas que direcciones. opuestas.. Los. niveles. de. NC I. energía permitidos son.  n  2  n  2  n  x    y    z  Lx   Ly   Lz . CI E. 2 2 2 En  me.   . 2.    . (2.55). EC A. DE. Y para un pozo de lados iguales L1. En . 2 2 2 2 (nx  n y2  nz2 ) me L2. (2.56). En  .  2 2 2 (nx  n y2  nz2 ) me L2. (2.57). BI. BL I. OT. Notemos que la ecuación. 23. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT.  =1/2 o,. EM AT IC. para  =2, el caso de condición periódica de frontera.. AS. Representa también el caso hard-wall para. 2.5. Nivel de Fermi y potencial químico. El potencial químico  es llamado también, y con propiedad,. potencial. electroquímico.. Está. AT. toda. relacionado con la variación relativa del número de. M. estados accesibles g , correspondiente a un cambio en el. Y. número de partículas N, y está definido de la siguiente.  1  g           g  N U  N U. (2.58). Donde. . es. FI. SI. . CA. S. manera.. la. temperatura. de. un. sistema. y. . la. ,. la. condición. de. equilibrio. NC I. temperatura. AS. entropía del sistema. Para dos sistemas a la misma.   1         2  conduce a:  N1 U1  N 2 U 2. DE. CI E.   1         2  ;  U 1  N1  U 2  N 2. . 1   2  . o. 1  2. EC A. (2.59). Eso es: “Dos sistemas que pueden intercambiar entre si. OT. energía y partículas están en equilibrio cuando las temperaturas. BI. BL I. Cuando. los. los potenciales químicos son iguales” sistemas. combinados. se. acercan. al. equilibrio, existe mayor potencial químico al sistema cuyo potencial químico es más bajo. El signo menor en la definición del potencial químico es el origen de 24. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. esta conclusión según la cual las partículas fluirán. AS. siempre de un potencial químico a lo a un potencial. químico bajo. Además un sistema de alta concentración. EM AT IC. de partículas tiene mayor valor de potencial químico que un sistema de baja concentración de partículas. Las. partículas tienen por lo tanto a difundirse desde las. regiones de alta concentración a las regiones de baja. AT. concentración [4].. En resumen, el potencial químico mide la dependencia. M. entre el número de estados accesibles y el número de. Por. otro. lado,. el. nivel. Y. partículas en el sistema. de. Fermi. es. el. valor. del. CA. S. potencial químico a T=0, E F   (T  0) , de tal modo que el nivel de Fermi es la energía máxima de una partícula. SI. a T=0. Es común en físico de semiconductores usar el. FI. nivel de Fermi en vez del potencial químico, a pesar de la temperatura. idea. principal. es. que. AS. La. al. cero. absoluto,. una. NC I. colección de N electrones se ordenarán en los estados de energía disponibles más bajos, y formarán lo que se conoce como más de Fermi de electrones. El nivel de. Con. CI E. Fermi es la superficie de ese mar al cero absoluto [2]. el. concepto. de. nivel. de. Fermi. establecido,. la. DE. figura 2.4 puede ser modificada, para explicar el hecho de que en el cero absoluto, los estados debajo del. EC A. nivel de Fermi estarán llenos, y aquellos sobre el nivel. de. Fermi. estarán. vacíos,. como. lo. muestra. la. BI. BL I. OT. figura 2.5.. 25. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AS. E. EM AT IC. Estados vacíos. Estados ocupados. Nivel de. AT. Fermi. k. M. kF. SI. CA. S. Y. Figura 2.5. Energía versus número onda para niveles de energía discretos, círculos llenos indican estados llenos y círculos vacíos indican estados vacíos.. FI. 2.6. Electrones confinados parcialmente en el espacio. AS. En la sección 2.3, cuando se consideró un electrón. partícula. NC I. confinado a una región finita de espacio (el modelo de en. una. caja),. el. electrón. no. tenía. CI E. posibilidad de escapar: aunque el perfil de energía potencial U no fue específicamente indicado se asume que el electrón debe estar dentro de la caja ( =0. DE. fuera de la caja) es equivalente al perfil de potencial. V  0,. 0  x  L,. V  ,. x  0, x  L. (2.60). Se puede pensar la caja como un pozo cuántico infinito, como muestra la figura 2.6. BI. BL I. OT. EC A. (en una dimensión). 26. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. V=∞. V=0 X=0. M. X=L. AT. EM AT IC. AS. V=∞. S. Y. Figura 2.6. Perfil de potencial para un pozo cuadrado infinito.. opción. de. escapar. CA. En el caso de un pozo infinito, la partícula no tiene del. pozo.. Sin. embargo,. ningún. SI. confinamiento es perfecto, y a menudo se permite la. FI. posibilidad que la partícula salga del pozo. De esta manera, a menudo se necesita de un modelo que tenga la. AS. altura de las paredes finita (potencial finito), la. NC I. cual es un modelo más realista de como una partícula tal como un electrón experimentará debido a algún tipo. DE. CI E. de confinamiento.. EC A. 2.6.1. Pozo rectangular finito. En. potencial. esta. sección,. simétrico. con. se. considerará. paredes. finitas,. el en. pozo. de. vez. de. V  0,.  L  x  L,. V  U 0 , x   L, x  L. (2.61). Como muestra la figura 2.7. BI. BL I. OT. infinitas (barreras de potencial). 27. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. V =V0. AT. EM AT IC. AS. V =V0. M. V=0 X = –L. Y. X=L. figura. muestra la energía. con. la. SI. esta. figura. 2.1,. la. cual. potencial entre un electrón y un. FI. Comparado. CA. S. Fig. 2.7. Potencial de pozo cuadrado finito.. AS. átomo ionizado, se puede ver que el perfil de potencial en la figura 2.7 aproxima la influencia de un átomo. NC I. ionizado sobre un electrón. Introduciremos un electrón con energía total E<Vo en el. CI E. pozo de energía potencial. El electrón podría quedar atrapado en el pozo, de manera clásica. Esto es porque fuera del pozo, la energía total del electrón aún sería. DE. E, dado que no hay fuente de energía para el electrón (radiación. no. incidente,. no. colisiones. con. otras. EC A. partículas, etc.) por consiguiente si el electrón fuera. BI. BL I. OT. del pozo, tendríamos. E  Ek  E p  Ek  V0  V0. (2.62). Donde Ek es la energía cinética y Ep es la energía potencial, así 28. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AS. EkE<0,. La cual indica que la energía cinética del electrón. EM AT IC. sería negativa. De acuerdo a la física clásica, esto no sucede y por lo tanto, clásicamente el electrón debe estar dentro del pozo.. Sin embargo, cuánticamente, hay una probabilidad de que. AT. la partícula se encuentre fuera del pozo. Para ver esto. M. empecemos con la ecuación de Schrödinger.. (2.63). CA. S. Y.   2 d 2    V ( x)  ( x)  E ( x) 2  2me dx . Donde U(x) corresponde al perfil dado en (2.61). SI. Resolvemos esta ecuación considerando separadamente las. FI. tres regiones (dentro y fuera del pozo), resolviendo la ecuación Schrödinger en cada región, y aplicando las. AS. condiciones de frontera en cada interface entre las. NC I. regiones para conectar las tres regiones juntas. En la región del pozo, la cual será llamada región II,. DE. CI E. tenemos.  2 d 2    E 2 ( x)  0 2  2me dx . (2.64). 2 ( x)  Csenk 2 x  D cos k 2 x. (2.65). OT. EC A. Dado que V=0 dentro del pozo, conduciendo a. BI. BL I. Con. k 22 . 2me E 2. (2.66) 29. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En la región x<-l, la cual será llamada región II,. AS. tenemos. EM AT IC.  2 d 2    (V0  E ) 1 ( x)  0, 2  2me dx . (2.67). AT. Conduciendo a:. (2.68). M. 1 ( x)  Ae k1x  Be  k1x. S. Y. Con. (2.69). SI. CA. 1 ( x)  Ae k1x  Be  k1x. Sin embargo, la función de onda debería ser finita. AS. FI. mientras x   y, asumiendo que E<Vo, entonces. (2.70). NC I. B=0.   d2    (V0  E ) 3 ( x)  0 2  2me dx . (2.71). DE. CI E. En la región X>L, región III, tenemos. 3 ( x)  Fe k3 x  Ge  k3 x. (2.72). OT. EC A. Conduciendo a. BI. BL I. Con. k32 . 2me (V0  E )  k12 2 . (2.73) 30. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AS. Limitante de la función mientras x   conduce a F 0. En resumen, tenemos 1 ( x)  Ae k1x. x   L,. 2 ( x)  Csenk 2 x  D cos k 2 x. AT.  L  x  L,.  k3 x. (2.75). x  L,. M. 3 ( x)  Ge. EM AT IC. (2.74). 2 me E 2 2me (U 0  E ) k12  k 32  2. (2.76). SI. CA. S. k 22 . Y. Con. FI. Se puede ver que las potenciales simétricas conducen a. AS. cada solución simétrica o antisimétrica, de modo que. C  0,. (2.77). D  0,. CI E. NC I. también. OT. EC A. DE. Aplicando las cuatro condiciones de frontera. 1 ( x   L)  2 ( x   L) 2 ( x  L)  3 ( x  L) 11 ( x   L)  21 ( x   L). (2.78). 21 ( x  L  31 ( x   L),. BI. BL I. Para el caso simétrico conduce a la solución simétrica. 1 ( x)  D cos(k 2 L)e k1 ( x  L ) 2 ( x)  D cos k 2 x 3 ( x)  D cos(k 2 L)e. (2.79) k3 ( x  L ). 31. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Donde k1=k3 y k1, k2 debe satisfacer la ecuación de. AS. valores propios. EM AT IC. k 2  tan(k 2 L)  k1. (2.80). Se puede apreciar que, aunque el pozo finito, es un modelo mucho más realista de pozo cuántico el pozo. AT. infinito es usado para obtener una aproximación de los estados de energía de estructuras cuánticas.. M. Las funciones de onda típicas para los primeros dos. Y. modos se muestran en la figura 2.8, de las cuales se. S. puede apreciar que la función de onda es la más larga. CA. en la región del pozo, pero tiene “aletas” no nulas que se extienden fuera del pozo. Esto es encontrarse con el de. pared. infinitamente. alta. (V0=  ),. donde. el. SI. caso. FI. electrón está absolutamente limitado al pozo. Por lo tanto, para la barrera de energía potencial los. electrones. AS. finita,. están. cuasi-confinados,. o. NC I. localizados en el pozo, aunque pueden encontrarse fuera Ψ. n=1. EC A. DE. CI E. de él.. BI. BL I. OT. x. n=2 –L. L. Figura 2.8 los dos estados más bajos para el pozo de potencial de altura finita 32. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Aplicando las cuatro condiciones de frontera (2.78) a forma. antisimétrica. de. 2.75. (es. decir. colocando. AS. la. EM AT IC. D=0), tenemos:. 1 ( x)  Csen(k 2 L)e k1 ( x  L ) 2 ( x)  Csenk2 x. (2.81). AT. 3 ( x)  Csen(k 2 L)e. k3 ( x  L ). Donde k1=k3 y k1, k2 deben satisfacer la ecuación de. Y. M. valores propios. (2.82). La. cual. puede. CA. S.  k 2 cot(k 2 L)  k1 ,. ser. resuelta. gráficamente. o. SI. numéricamente, como en el caso de la solución simétrica. FI. en general, la fórmula encontrada para los estados de. NC I. AS. energía no es nada simple.. CI E. 2.7. Hilos cuánticos. Cuando se reduce continuamente el tamaño de un desde. DE. material,. dimensiones. grandes. o. macroscópicas. (como un metro o un centímetro) hasta las más pequeñas. EC A. inicialmente las propiedades se mantienen iguales, pero después empieza a aparecer ligeros cambios; finalmente, cuando el tamaño cae por debajo de los 100nm aparecen. OT. bruscas variaciones en sus propiedades. Si se reduce. otras dos dimensiones se mantienen grandes obtenemos la estructura que se conoce como pozo cuántico.. BI. BL I. una dimensión a un orden nanométrico, mientras que las. 33. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Si son dos las dimensiones las que se reducen, mientras. AS. la tercera se mantiene grande, la estructura resultante se llama alambre (o hilo) cuántico [8].. cambios. en. las. propiedades. de. estas. EM AT IC. La palabra cuántico está asociada al hecho de que los. nanoestructuras. surgen de la naturaleza mecánico cuántica de la física en. los. dominios. ultrapequeños.. Un. enfoque. de. la. AT. preparación de una nanoestructura, llamado enfoque de abajo hacia arriba, consiste en colectar consolidar y átomos. individuales. y. moléculas. M. formar. una. Y. estructura.. en. Esto se realiza mediante una secuencia de reacciones. CA. S. químicas controladas por un catalizador. Este tipo d proceso constituye una extensión de la biología donde, ejemplo,. los. catalizadores. llamados. enzimas. SI. por. FI. ensamblan aminoácidos para construir tejidos vivos que forman y soportan los órganos del cuerpo. enfoque. contrario. en. AS. Un. la. preparación. de. nanoestructuras, se llama método de arriba hacia abajo,. se. le. NC I. que parte de un objeto o un patrón a gran escala al que reducen. gradualmente. las. dimensiones.. Eso. se. CI E. puede realizar mediante una técnica llamada litografía, que consisten en irradiar, a través de una plantilla, superficie. DE. una. sensible. a. la. recubierta. con. radiación.. Una. un. material. vez. protector. irradiado,. esta. EC A. sustancia se retira y entonces se trata químicamente la superficie embargo,. para. en. el. producir. la. nanoestructura. presente. trabajo,. utilizaré. [8]. solo. Sin el. OT. enfoque de abajo hacia arriba, sobre el cual basaré el. BI. BL I. modelo a desarrollar. Los. hilos. cuánticos. tienen. un. amplio. rango. de. aplicaciones en sistemas electrónicos, por ejemplo como cables de interconexiones en transistores de efecto de 34. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.