Guía de estudio para presentar exámenes de Recuperación y Acreditación Especial

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Guía de estudio para presentar

exámenes de Recuperación y

(2)
(3)

ÍNDICE

PRESENTACIÓN...

PRÓLOGO...

UNIDAD 1. Introducción al álgebra...

1.1 problemas aritméticos... Ejercicios. ………... Tabla de Comprobación ...…...

1.2 Lenguaje algebraico... Ejercicios. ...………..………... Tabla de Comprobación ...…...

Ejercicios de autoevaluación…..………….………...

Clave de respuesta……..………..………...

UNIDAD 2. Polinomios de una variable...

2.1 Problemas iconográficos y pictóricos... Ejercicios. ………... Tabla de Comprobación ...…...

2.2 Problemas geométricos y algebraicos... Ejercicios. ………….………..………... Tabla de Comprobación …...…...

Ejercicios de autoevaluación..……….………...

Clave de respuesta………..………..………...

UNIDAD 3. Ecuaciones de primer grado………

3.1 Ecuaciones lineales………... Ejercicios. ………...

v

vii

1

3 13 15

16 21 24 25 31

33

35 38 41

42 53 57 58 62

63

(4)

UNIDAD 4. Ecuaciones de segundo grado………..

4.1 Ecuaciones de segundo grado………... Ejercicios. ………... Tabla de Comprobación ...…...

Ejercicios de autoevaluación..……….………...

Clave de respuesta………..………..………...

BIBLIOGRAFÍA.....

SUGERENCIAS PARA PRESENTAR EXÁMENES DE

RECUPERACIÓN O ACREDITACIÓN ESPECIAL………..

95

97 106 110 111 113

115

(5)

PRESENTACIÓN

Permítenos felicitarte cordialmente por estar leyendo esta guía, ya que es una muestra de tu interés y decisión de explorar y utilizar los materiales que te ofrece el Colegio de Bachilleres para prepararte adecuadamente antes de presentar un examen de Recuperación o Acreditación Especial.

La guía que estás leyendo constituye un trabajo realizado por profesores del Colegio de Bachilleres, del plantel 17 “Huayamilpas-Pedregal”, que con base en su experiencia docente y en el conocimiento del programa de estudios de la Reforma Curricular 2003, se fijaron el propósito de colaborar contigo en varias formas:

• Especificando los temas y aprendizajes sobre los que serás evaluado en un examen extraordinario.

• Elaborando síntesis de cada tema para apoyarte en tu estudio.

• Elaborando preguntas, similares a las que encontrarás en los exámenes extraordinarios, para que también te ejercites en la solución de estos tipos de reactivos y te autoevalúes.

• Planteando sugerencias y recomendaciones para apoyar tu preparación adecuada para el examen.

¿Qué ventajas obtendrás al resolver la Guía?

1. Tendrás un material de estudio sencillo y concreto que te permitirá prepararte adecuadamente en un lapso corto de tiempo.

2. Estudiarás todos los temas del programa de asignatura, en los que serás evaluado.

3. Podrás autoevaluarte para saber si estas preparado para presentar con éxito tu examen de Recuperación o Acreditación Especial, o saber que temas deberás estudiar con mayor ahínco.

¿Cómo estudiar para tener éxito?

Recuerda que una buena preparación es fundamental para lograr aprobar tus materias, por lo cual te recomendamos:

• Leer con cuidado cada uno de los resúmenes de tema y contestes las preguntas que vienen a continuación.

• Revisar tus respuestas y si te equivocaste realizar las actividades que se sugieren en las tablas de comprobación.

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PRÓLOGO

En el Programa Nacional de Educación 2001-2003, elevar la calidad de la educación que se ofrece, así como incorporar conocimientos básicos para la sociedad del conocimiento, se han destacado como objetivos que orientan a la educación del siglo XXI. Es por ello que el Colegio de Bachilleres, junto con otras instituciones de educación media superior inició la operación, en un plantel guía, de nuevos programas de estudio.

En el semestre 03-A se operaron por primera vez, en el plantel 17 “Huayamilpas Pedregal”, los programas de primer semestre de la Reforma Curricular y sus profesores elaboraron materiales didácticos para apoyar los diferentes momentos del proceso de enseñanza–aprendizaje.

Entre los materiales elaborados se encuentran las guías de estudio, las cuales tienen el propósito de apoyar a los estudiantes que presentarán exámenes de Recuperación o Acreditación Especial de las asignaturas de la Reforma Curricular 2003, con objeto de favorecer el éxito en los mismos.

En este contexto, la Guía de estudio para presentar exámenes de Recuperación o Acreditación Especial de Matemáticas I se ha elaborado pensando en los estudiantes que por diversas causas reprobaron la asignatura en el curso normal y pueden acreditarla a través de exámenes en periodos extraordinarios.

Esta guía se caracteriza por abordar, de manera sintética, los principales temas señalados en el programa de estudios. Las actividades y ejercicios que se plantean son un apoyo para que el estudiante aplique y relacione sus conocimientos previos con otros más complejos, de modo que esté en condiciones de desarrollar procedimientos y modelos matemáticos aritméticos y algebraicos. Esto permitirá que, con el estudio de la guía, continúe mejorando y ejercitando sus habilidades de análisis y razonamiento matemático. Al final del desarrollo de las unidades la guía contiene una autoevaluación sobre los elementos esenciales de toda la unidad, para que el alumno verifique su grado de comprensión y dominio. Asimismo se incluyen algunas sugerencias para reforzar el apoyo sobre los aspectos estratégicos del tema.

La guía se organiza por unidad, igual que el programa de estudios; en cada una de ellas encontrarás un resumen de los temas y aprendizajes que se te van a evaluar, una serie de preguntas y ejercicios por tema, la tabla de respuestas a estos ejercicios, así como, al término de cada unidad, nuevos ejercicios para que te autoevalúes.

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En la tercera unidad, ECUACIONES DE PRIMER GRADO, revisarás las principales aplicaciones de diferentes tipos de procedimientos y ecuaciones algebraicas con una incógnita en el análisis y solución de problemas sobre situaciones financieras, trabajos por tiempo determinado, cálculo de tiempos de transporte, etc.; se analizan las soluciones paso por paso, apoyándose en la elaboración de las gráficas correspondientes para facilitar la comprensión del procedimiento utilizado.

La cuarta unidad aborda LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO, son ecuaciones algebraicas llamadas cuadráticas que se aplican en otro tipo de problemas, por ejemplo: diseño de parabólicas, cálculo de terrenos, cálculo de áreas o volúmenes en prismas y paralelepípedos, compraventa de bienes y servicios, etc., al igual que en la tercera unidad, las soluciones son examinadas apoyándose en la representación geométrica de los objetos para facilitar el análisis de la solución.

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UNIDAD I

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1.1 PROBLEMAS ARITMÉTICOS.

Uno de los comentarios que frecuentemente hacen los estudiantes es ¿Y para qué me enseñan números racionales (comúnmente conocidos como quebrados o fracciones), si no voy a ser matemático? A través de un ejemplo veremos su utilidad en campos diferentes a las matemáticas, por ejemplo en la música, ilustrando que la suma de las notas en un pentagrama, cuando una melodía tiene el mismo compás, es igual a 1. En la ilustración de abajo podrás observar que dicho pentagrama se encuentra dividido en partes por medio de líneas o barras verticales:

APRENDIZAJES

• Resolver problemas o situaciones en los que aplique métodos aritméticos, geométricos o iconográficos.

• Aplicar el concepto de razón (con base en la comparación de dos cantidades).

• Obtener las proporciones a partir de dos razones.

• Aplicar las propiedades de las proporciones.

(12)

CUADROS MÁGICOS.

Un cuadro mágico es un arreglo que satisface las propiedades de los números que aparecen en cada configuración. Fueron descubiertos por los chinos y se les confieren algunas propiedades matemáticas, tales como las que a continuación se enuncian:

Si formamos un cuadro mágico de nueve casillas, o de orden tres, con los números reales

x

1

, x

2

, x

3

, x

4

,

x

5

, x

6

, x

7

, x

8,

x

9, tendrá la propiedad siguiente: al sumar los números de cada fila, columna y diagonal

resulta un mismo número real.

En el Renacimiento, el matemático Cornelio Agrippa se dedicó a la elaboración de cuadros mágicos de diferente orden hasta llegar a la construcción de los de n x n = n2 casillas, donde n es un número natural mayor o igual a tres. En esa época, los cuadros de 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 representaron simbólicamente a Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio, así como al Sol y a la Luna.

Intentaremos reproducir la construcción de un cuadro mágico de 3 X 3. Seguramente recordarás que alguna vez viste o jugaste con un cuadrado dividido en 9 cuadritos iguales, en el cual se colocaban los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 donde, sin repetir alguno, se buscaba que cada fila, cada columna y cada diagonal sumaran 15. Este juego recibe el nombre de cuadro mágico.

1° Ordenando los números que van a intervenir tenemos:

Nota que todas las parejas suman 10 y combinadas con 5, suman 15.

2° Al analizar los casos se observa que cada uno de ellos suman 15, además obtenemos otras tercias que también suman 15.

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

10 10

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

10 10

(13)

1+9+5=15 1 +8 + 6 = 15

2+8+5=15 2 + 9 + 4 = 15

3+7+5=15 2 + 7 + 6 = 15

4+6+5=15 3 + 8 + 4 = 15

3° Ahora los colocaremos dándoles un orden

1+9+5=15 1+8+6=15 2+9+4=15 2+8+5=15 2+7+6=15 3+8+4=15 3+7+5=15 4+6+5=15

Observa que el número cinco aparece en cuatro combinaciones para obtener 15, por lo tanto debe estar en el centro; los números 2, 4, 6 y 8 aparecen tres veces, entonces deben estar en los extremos y los demás los colocarás después de sumar y calcular mentalmente el número 15, tal y como se muestra en el cuarto paso.

4º Ahora, escribe en los espacios en blanco del cuadro mágico los valores que permitan que la suma de los elementos de las columnas, renglones y diagonales sea igual a 15.

2

5

8 4

6 9

7 2

5

8 4

6

3

(14)

¿Se cumple la propiedad de que la suma de las diagonales, columnas y renglones es igual a un mismo número? ¿Cuál es ese número? Utiliza los espacios señalados en la figura de arriba para verificarlo. ¿Podemos afirmar que la figura de arriba corresponde a un cuadro mágico de 4 X 4?

En los siglos XVI y XVII los cuadros mágicos se empleaban como amuletos, hoy lo hacemos para ejemplificar el uso de los números reales, mediante la representación de un arreglo de 7 X 7 casillas con la propiedad de que al sumar los números de cada: fila, columna y de ambas diagonales siempre será igual a uno. Tal hecho, nos ayudará a ilustrar lo que ocurre en la interpretación de una melodía con base en su partitura, donde podremos distinguir que se tiene el mismo compás cuando el pentagrama se divide en trozos por medio de líneas o barras verticales que representan un esquema de igual duración. Los

elementos que intervendrán serán:

2

1

,

4

1

,

8

1

,

16

1

,

32

1

,

64

1

,

64

1

que sumados nos dan como resultado 1,

como lo podemos observar a continuación:

1) 32 1 64 2 64 1 64 1 = = + 2) 16 1 32 2 32 1 32 1 = = + 3) 8 1 16 2 16 1 16 1 = = + 4) 4 1 8 2 8 1 8

1+ = =

5) 2 1 4 2 4 1 4

1+ = =

6) 1

2 2 2 1 2

1+ = =

16

10

13 3 2

5 11 8 6

9 7 12 4 15 14 1 16

10

13 3 2

5 11 8 6

9 7 12 4 15 14 1 16

10

13 3 2

5 11 8 6

(15)

Ahora vamos a retomar nuestro ejemplo musical. En la siguiente tabla tenemos los nombres, forma, valor y equivalencia de las notas musicales.

Figura Nombre Valor Valor numérico Equivalencias

Redonda El doble de una blanca. = 1

Blanca El doble de una negra

Mitad de una redonda =2 1

+ =

Negra El doble de una corchea

Mitad de una blanca =4

1

+ =

Corchea El doble de una semicorchea

Mitad de una negra =8

1

+ =

semicorchea El doble de una fusa

Mitad de una corchea =161 + =

fusa El doble de una semifusa

Mitad de una semicorchea =32 1

+ =

semifusa Mitad de una fusa = 64

1

+ =

A continuación construiremos en lenguaje matemático y musical un arreglo de 7 X 7 que tenga la particularidad de que la suma de sus columnas, renglones y dos diagonales sumen 1, es decir, en lenguaje musical una redonda.

(16)

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

64

1

64

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

8

1

16

1

32

1

64

1

64

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

2

1

4

1

32

1

64

1

64

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32 1 2 1 4 1 8 1 16 1

64

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

64

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

4

1

8

1

16

1

32

1

64

1

64

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

2

1

16

1

32

1

64

1

64

1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

1

2

1

4

1

8

1

64

1

64 1

2

1

4

1

8 1 16 1 32 1 S U M A R E N G L O N E S

2

1

4

1

8

1

16

1

32 1 Suma diagonal SUMA COLUMNAS

(17)

2

1

4

1

8

1

16

1

2

1

4

1

8

1

8

1

16

1

2

1

4

1

8

1

2

1

4

1

2

1

4

1

8

1

16

1

2

1

4

1

8

1

2

1

4

1

8

1

16

1

2

1

4

1

8

1

4

1

8

1

16

1

2

1

4

1

8

1

2

1

16

1

2

1

4

1

8

1

2

1

4

1

8

1

2

1

4

1

8

1

16

1

2

1

4

1

8

1

Cuadro 3 Cuadro 4

(18)

Ahora, en los espacios vacíos dibuja los símbolos musicales que completan el cuadro mágico de 7 X 7.

Como podrás observar hemos logrado construir dos arreglos de 7 X 7, el primero con los seis números racionales y el otro con sus equivalentes en notas musicales, lo cual te puede ilustrar la utilidad que tiene la matemática en la música.

Ahora trabajaremos con los conceptos de RAZÓN y PROPORCIÓN ¿Para qué sirven? Bueno, cuando observas un partido de Béisbol haces uso de una razón para determinar el promedio de bateo, el cual se obtiene de dividir el número de hits entre el número de oportunidades de bateo. Una proporción la utilizas cuando haces un cambio de horas a minutos, calculas el precio de un artículo después de aplicarle un 30% de descuento, para determinar la cantidad de medicamento que debe administrarse a un niño, cuando se hace una conversión de metros a kilómetros, de litros a mililitros, entre otras.

Una RAZÓN es una comparaciónpor cociente entre dos o más cantidades semejantes o diferentes. Por ejemplo:

(19)

Recuerda que el perímetro de un hexágono es P = 6ℓ, por lo tanto:

36 ) 6 ( 6

1= =

P y P2 =6( 12)

( )

3 3 3 1 3 3 1 2 6 3 2 6 3 4 6 ) 3 )( 4 ( 6 12 6 12 6 6 6 12 6 36 2 1 2 1 = • = • = = = = = = = P P P P

Ahora racionalizaremos la expresión

3 3 2 1 = P P

, para ello tendrás que contestar las siguientes preguntas:

Cuándo multiplicas 3 1

por uno, ¿qué pasa? ____________________

Ahora, estás de acuerdo que:

3 3 3 3 2 2

1= = = Si ( ) No ( ) ¿por qué? __________________

Por lo anterior, 3

3 3 3 9 3 3 ) 3 )( 3 ( 3 3 3 3 3 3 3 3 2

1 = = = = = =

P P

Por lo tanto 1 2

2

1 3 P 3P

P P

= ⇒ =

Al igualar dos razones se forma una PROPORCIÓN es decir

d

c

b

a

=

donde b≠0 y d≠0. Entonces si

analizamos el ejercicio anterior veremos que también podemos establecer una

proporción. , a P , b P , c 3 y d 1 1 3 P P

3 1 2

2 1 2

1 = = donde = = = =

P P

Una proporción cumple con la siguiente propiedad:

d c b a

= sí y sólo sí ad = bc, esta propiedad se

utiliza comúnmente para resolver problemas donde se desconoce alguna variable.

Existen dos tipos de proporciones: la directa y la inversa. 6

Figura 1

12

(20)

Para resolver este problema, puedes organizar la información de la siguiente manera:

60

x

1

5

minutos

litros

300

1

)

60

)(

5

(

=

=

x

; bombea 300 litros de sangre por hora.

2.- Si los riñones filtran 180 litros de sangre en un día ¿cuántos litros de sangre filtrarán en 36 horas?

36

x

24

180

horas

litros

270 ) 9 )( 30 ( 4 36 6 180 24 ) 36 )( 180 ( = = • = = x

; filtran 270 litros de sangre.

Si se tienen dos cantidades, donde al aumentar la primera propicia que la segunda disminuya o bien la disminución de la primera genera como consecuencia el aumento de la segunda, entonces se trata de una

variación inversamente proporcional o proporción inversa. Fíjate en los siguientes ejemplos.

1.- Un granjero gasta un bulto de alimento cada 15 días para alimentar 30 gallinas, si tiene 50 gallinas ¿cuántos días le durará el bulto?

50 x 30 15 gallinas días 9 5 45 50 450 50 ) 30 )( 15 ( = = = = x

; el bulto durará 9 días.

2.- Un depósito de agua tarda en llenarse 3 horas con dos llaves. Si se desea llenar el depósito en 1.5 horas ¿cuántas llaves deben emplearse?

(21)

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y anota en la línea la respuesta correcta.

1.-Un trabajador gana $800.00 por semana. ¿Cuánto ganará en un mes? ______________________

2.-¿Cuál es el costo de 32 piezas de metal que miden en total 48 m, si cada metro cuesta $72.00 pesos? __________________________________________

3.- El papá de Jazmín tiene una bodega donde surte material de construcción. Actualmente cuenta con

7 3

9 toneladas de varilla, 2 1

5 toneladas de cemento y 2 1

1 toneladas de yeso. Si el lunes vende 5 3 1

toneladas de varilla y el miércoles 2 1

2 toneladas de varilla y 4 3

2 toneladas de cemento. ¿Con cuánto

material se cuenta en la bodega? _______________________________________

4.- Los abuelos de José le solicitan que calcule el área de los dos lotes que pueden obtenerse al dividir un

terreno de 84 m2 de superficie, si el menor debe ser 4 3

del mayor, ¿cuánto mide el área del lote mayor?

__________________

5.- Un terreno de 84 m2 de superficie va a dividirse en dos lotes de manera que el menor sea

4 3

del mayor,

¿Cuánto mide el área del lote menor?___________________________________

6.- Una vigueta de 10 m de longitud se va a dividir en dos partes de manera que la parte menor sea 3 2 de

la mayor. ¿Cuánto mide cada parte?___________________________________

(22)

10.-Fernando Valenzuela fue al bat 135 veces y bateó 50 hits. ¿Cuál es su porcentaje de bateo? _________________________________________

11.- Si tienes una barra de 4.5 metros ¿cuántos tornillos puedes cortar de 2 centímetros?_____________ 12.- Si el peso neto de los pernos de un recipiente es de 12 400 kilogramos, donde el peso de cada perno es de 31 kilogramos ¿cuántos pernos hay en el recipiente?_____________________________________ 13.- Si el precio en la etiqueta de un pantalón de mezclilla es de $200.00 y tiene el 15% de descuento al hacer el pago en caja ¿cuál es el costo con el descuento?______________________________________

INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la letra que corresponda a la respuesta correcta.

14.- Analiza las siguientes figuras.

La medida de cada lado es 3 cm La medida de cada lado es 27

( ) ¿Qué opción NO expresa la razón entre el perímetro de la figura 1 con respecto al perímetro de la 2?

a) 24 3

2 1 =

P P

b) P2= 3P1

c)

3 1

2 1 =

P P

d)

3 3 2

1

P P =

15.- ( ) Si un profesor gana $50.00 la hora ¿cuánto gana si trabaja 40 horas a la semana?

a) $2000.00 b) $4000.00 c) $8000.00 d) $20 000.00

Figura 1

(23)

TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de pregunta Respuesta correcta

1 $3200.00.

2 $3456.00.

3

70 23

5 toneladas de varilla

2 1

1 toneladas de yeso

4 3

2 toneladas de cemento.

4 El área del lote mayor es de 48 m2

5 El área del lote menor 36 m2

6 La longitud de la vigueta menor será de 4 m y la mayor de 6 metros.

7

La razón del número de enfermos del riñón entre el número de alumnos es:

450 8

8 Los latidos que detectará el médico por minuto son 100.

9 El avión consumirá 12.8 toneladas de combustible.

10 El porcentaje de bateo es de

135 50

11 225 tornillos

12 400 pernos

13 $ 170.00

14 a

(24)

1.2 LENGUAJE ALGEBRAICO.

Una SUCESIÓN ARITMÉTICA es aquélla en la que cualquier elemento, excepto el primero, puede obtenerse al sumar o restar una constante al elemento anterior.

Una SUCESIÓN GEOMÉTRICA es un conjunto tal que cualquier elemento después del primero, puede obtenerse al multiplicar o dividir el elemento anterior por una constante. También se le conoce con el nombre de PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

Una SERIEresulta de sumar los términos de una sucesión.

Ejemplos:

1.-Verifica si 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 conforman una sucesión aritmética.

Veamos si satisface la definición. Identifiquemos el primer término: 1, observemos que

Por lo tanto, cumple con la definición ya que cualquier elemento después del primero se obtiene de sumarle la constante 3 al término anterior.

1

4

13

más

3

3

3

3

3

7

4

7

10

16

más más más más

1

4

13

más

3

3

3

3

3

7

4

7

10

16

más más más más

APRENDIZAJES

• Resolver problemas algorítmicos de sucesiones aritméticas

• Resolver problemas algorítmicos de sucesiones geométricas.

(25)

2.-Determina el siguiente término de la sucesión 62, 47, 34, 23, ___

Para determinar el siguiente término de la sucesión, es necesario analizar la relación entre los elementos, a continuación se muestra una forma de hacerlo:

La relación que tienen los términos de la segunda sucesión se define a partir de calcular la diferencia entre 15 y 13 que son dos unidades; la que existe entre 13 y 11 es dos unidades; por lo tanto el siguiente término es 9, ya que la diferencia entre 11 y 9 son dos unidades, entonces:

El siguiente término es 7, por lo tanto en la sucesión 62, 47, 34, 23, el término siguiente es 14.

3.- Determina el siguiente elemento de la sucesión: 1, 3, 7, 15, 31,...

Para analizar el comportamiento de la sucesión, primero calculamos la diferencia entre el primer número y el segundo, después la diferencia entre cada uno de los demás miembros. Observa que: entre uno y tres hay dos unidades; entre tres y siete hay cuatro unidades; entre siete y quince hay ocho unidades, entre quince y treinta y uno hay dieciséis unidades; por lo que es difícil identificar el patrón numérico que relaciona a un término con otro en forma inmediata.

62

47

34

23

14

menos menos menos menos

15

13

11

9

62

47

34

23

14

menos menos menos menos

15

13

11

9

62

47

34

23

14

menos menos menos menos

15

13

11

9

2

2

2

2

menos menos menos menos

7

menos

7

62

47

34

23

14

menos menos menos menos

15

13

11

9

2

2

2

2

menos menos menos menos

7

menos

7

(26)

de elevar dos a la quinta potencia. Por lo tanto, el término solicitado lo obtendremos de sumar 32 de la segunda sucesión y 31 de la primera sucesión y obtenemos como resultado 63.

Hay otro tipo de sucesiones llamadas geométricas. La diferencia con las anteriores es que se obtienen multiplicando a cada término, después del primero, por un valor constante.

Recuerda que una sucesión geométrica es aquélla en la que cualquiera de sus elementos, después del primero, puede obtenerse al multiplicar el elemento anterior por una constante. Una sucesión geométrica también se denomina progresión geométrica. Para verificar la comprensión de este concepto analicemos el siguiente ejemplo.

Seguramente en algún momento de tu vida académica habrás escuchado acerca del triángulo de Pascal, que tiene como finalidad determinar los valores de los coeficientes de los elementos que forman un Polinomio. Observa la siguiente figura con detenimiento:

En el primer renglón tenemos un solo valor 1.

Si sumamos los elementos del segundo renglón se tiene como resultado dos.

Si realizamos la misma operación en el tercero obtenemos 4.

Realizando el mismo proceso, tenemos como resultado en el cuarto renglón 8 y en el quinto 16. O sea, vamos formando la sucesión: 1, 2, 4, 8, 16,...

1 3 7 15 31

2

4

8

16

2=2

1

4=2

2

8=2

3

1+2=3

3+4=7

7+8=15 15+16=31

16=2

4

31+32=63

1 3 7 15 31

2

4

8

16

1 3 7 15 31

2

4

8

16

2=2

1

4=2

2

8=2

3

1+2=3

3+4=7

7+8=15 15+16=31

16=2

4

31+32=63

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3

4 6 4 3 1 2 4 8 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3

4 6 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3

(27)

1.- ¿A qué tipo de sucesión se hace referencia en el triángulo: aritmética o geométrica? Para ello veamos la relación entre sus elementos:

El segundo término entre el primero nos da como resultado el segundo, es decir, 2 1

2= ; el tercero entre

el segundo nos da como resultado el segundo 2 2 4=

, al seguir este proceso obtenemos:

2 1 2

= , 2 2 4

= 2 4 8

= 2 8 16

= de donde podemos señalar que su razón es dos y que cumple con la

definición de sucesión geométrica.

2.- La sucesión 4,16, 64, 256,…es una progresión geométrica con razón común 4.

El cociente de 16 y 4 es cuatro; el resultado de dividir 64 entre 16 es cuatro; por último el cociente de 256 y 64 es cuatro por lo tanto

Si observamos el comportamiento de la progresión podemos afirmar que el siguiente término será 45, el

siguiente lo determinarás sumándole uno al exponente es decir 46 y así sucesivamente, por lo tanto, en general su último término será 4n.

Como cada término después del primero (a1) lo podemos obtener multiplicando el precedente por la razón

común 4, que denotaremos por r, nuestra progresión geométrica la podemos representar como.

a

1

, a

1

r, a

1

r

2

, a

1

r

3

, a

1

r

4

, …, a

1

r

n-1

La forma de obtener la suma de todos los términos lo podrás hacer de la siguiente manera:

S

n

= a

1

+ a

1

r+ a

1

r

2

+ a

1

r

3

+ a

1

r

4

+ …,+a

1

r

n-1

………1

Multiplica ambos miembros por r

4

16

64

256

4

1

4

2

4

3

4

4

4

16

64

256

(28)

Podemos observar que en el lado izquierdo de la igualdad tenemos como factor común

S

n

Factorizando tenemos que:

S

n

( 1 - r

) =

a

1

– a

1

r

n al despejar

S

n tenemos que:

r r a a

Sn n

− − = 1 1 1 r r a a S n n − = 1

1 donde r1

3.- Calcula el último término de la progresión geométrica cuyo primer elemento es a1=-2, r = 2 y n = 7.

Primero determinaremos el valor del último término

a

n

= a

1

r

n-1

= (-2)(2)

7-1

= (-2)(2)

6

= (-2)(64) = -128

254 1 254 1 256 ) 2 ( 2 1 ) 128 )( 2 ( ) 2 ( 1

1 =

(29)

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atención las siguientes definiciones y anota en la línea el término que las complete correctamente.

1. A la comparación por cociente entre dos o más cantidades semejantes o diferentes se le denomina ________________________.

2. Al igualar dos razones se forma una ___________________.

3. A la sucesión en la que cualquier elemento, excepto el primero, puede obtenerse al sumar una constante al elemento anterior, se le conoce como sucesión ___________________.

4. A la sucesión tal que cualquier elemento después del primero, puede obtenerse al multiplicar el elemento anterior por una constante, se le conoce como sucesión ____________________.

5. Una sucesión geométrica también se denomina __________________ geométrica.

6. Al sumar los términos de una sucesión se obtiene una _____________________.

7. Localiza en la siguiente sopa de letras las palabras con las que completaste las definiciones anteriores y enciérralas en un semicírculo.

R T V B M O P Q W E R S D F G F H I D R A W D R D P A D A D R R T W Q C B E C G B E B E R B C B E M N O R P

P G I R P G P W I P I P G T E D R E

(30)

INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y anota en el paréntesis de la izquierda la letra correcta.

8. ( ) Si los primeros tres elementos de una progresión geométrica son 6, -12 y 24, ¿cuál es el noveno elemento?

a) –1536 b) 1536 c) 536 d) –536

9. ( ) La suma de los primeros 8 términos de la progresión 1, 3, 9, 27, 81, ... es:

a) 3280 b) 2875 c) 8125 d) 9215

10. ( ) Si 4, 3 8 − , 9 16 , 27 32

− ,... es una progresión geométrica ¿cuáles son, respectivamente, la suma y la

(31)

11. ( ) ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a una sucesión geométrica con razón r = -3 ?

a) 2, 6, 18, 54, 162 b) 2, -6, 18, -54, 162 c) –2, 6, -18, 54, -162 d) –2, 6, -18, -54, 162

12. ( ) El siguiente término de la sucesión 2, 5, 10, 17, 26 es:

a) 33 b) 32 c) 37 d) 40

13. ( ) El siguiente término de la sucesión 0, 12, 10, 0, -12 es:

a) -20 b) -10 c) 20 d) -8

14. ( ) La expresión algebraica que permite determinar los términos de la sucesión 5, 7, 9, 11, 13 es: a) y = 2a + 1

(32)

TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de pregunta Respuesta correcta

1 razón

2 proporción

3 aritmética

4 geométrica

5 progresión

6 serie

7

R T V B M O P Q W E R S D F G F H I

D R

A

W D R D P

A

D A D R R T W Q C

B E

C

G B E B E

R

B C B E M N O R P

P G

I

R P G P W

I

P I P G T E D R E

E D

R

A E D E Q

T

E R E D E R B E W

W U

T

S W U W D

M

W T W U R T P G Q

Q K

É

V Q K Q C

É

Q É Q K M N E D D

D L

M

X D L D R

T

D M D L G

R

W U C

C Ñ

O

C C Ñ C S

I

C O C Ñ

A

R Q K R

R M

E

Z R M R T

C

R E V

Z

R T D L S

S

N

G

W S N R U

A

I G

Ó

K M N C Ñ T

T

E

D

S U C E S I Ó N

R D R A R M U

U A

R

A D R A W D R D R A W D R N O

O D L

I

I A

P R O G R E S I Ó N

R U

U T W Q

E

E D R A W D R D R A W D R

R T V B M O P Q W E R S D F G F H I

8 b

9 a

10 d

11 a

12 c

13 b

(33)

AUTOEVALUACIÓN

INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y anota en la línea la(s) palabra(s) que respondan o complementen de manera correcta.

Para resolver los siguientes ejercicios cuentas con 60 minutos.

1. Juan Manuel, alumno del Colegio de Bachilleres, corre el lunes 4 5

km, el martes 3 7

km y el jueves 2 7

km. ¿Cuántos kilómetros corrió esa semana? _________________________.

2. Yesenia cuenta con 12 metros de tela para tapizar algunos muebles de su casa, utiliza 3 7

m para un

sillón y 2 9

m para unas sillas. ¿Cuánta tela le sobra? ________________.

3. Si tienes una barra de 7 metros, entonces el número de tornillos de 3.5 centímetros que puedes cortar es de: _______________________.

4. Si el peso neto de los pernos de un recipiente es de 15 500 kilogramos, donde el peso de cada perno es de 25 kilogramos entonces el número de pernos que hay en el recipiente es de: ________________________.

5. Si el precio en la etiqueta de un traje es de $1 800.00, con el 15% de descuento al hacer el pago en caja, el costo con el descuento será de: ____________________________.

(34)

INSTRUCCIONES: Lee con atención los reactivos 7 y 8 y realiza lo que se solicita en cada caso.

7. Resuelve el siguiente crucigrama.

HORIZONTALES

3.-Sucesión donde cualquier elemento, excepto el primero, puede obtenerse al multiplicar el elemento anterior por una constante.

5.- Es una serie numérica que se obtiene al operar sus términos, excepto el primero, por medio de una constante con su antecesor.

6.-Es un conjunto de elementos relacionados a través de una operación.

VERTICALES

1.- Sucesión en la que cualquier término, excepto el primero, puede obtenerse al sumar una constante al elemento anterior.

2.- Se obtiene de la comparación de dos o más cantidades diferentes o semejantes mediante un cociente.

4.- La obtienes a partir de igualar dos razones. 3

5

2 1

4 3

5

2 1

4

6.-3

5

2 1

4 3

5

2 1

4

(35)

6.-8. La siguiente tabla contiene 4 sucesiones, señala si son aritméticas o geométricas, e indica su serie asociada. Escribe tus respuestas en la tabla que se proporciona.

1

2 1 486

3 162

6 4 54

9 5 18

12 6

15 7

18 8

9 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

SUCESIÓN TIPO SERIE ASOCIADA

INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y anota en el paréntesis de la izquierda la letra de la opción correcta.

9. ( ) Una sucesión aritmética es:

a) un conjunto en el que cualquier elemento, excepto el primero, puede obtenerse al sumar una constante al término anterior.

(36)

10. ( ) Una progresión geométrica es:

a) una sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene sumando al término precedente un mismo número, llamado razón común.

b) una sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene multiplicando el término precedente por sí mismo, llamándose razón común.

c) una sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene sumando el término precedente al anterior, llamado razón común.

d) una sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene multiplicando el término precedente por un número fijo, llamado razón común.

11. ( ) El siguiente término de la sucesión 2,4, 8, 16, …, es:

a) -24 b) 32 c) -64 d) 18

12. ( ) El siguiente término de la sucesión 1, -3, 9, -27, 81, …, es:

a) 240 b) 192 c) -192 d) -243

13. ( ) ¿Con cuál de las siguientes expresiones algebraicas podemos encontrar los términos de la siguiente sucesión 1, 4, 8, 13, 19, 26?

a) 1

2 3 2

1 2

      +

= n n

y

b) 1

2 3 2

1 2 +

     +

= n n

y

c) 1

2 1 2

3 2

     +

= n n

y

d) 1

2 1 2

3 2 +

      +

= n n

(37)

14. ( ) El quinto término de la siguiente sucesión 3, 4, 6, 9, ___, 18, …, es:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 15

15. ( ) El cuarto término de la sucesión 4, 12, 20, __ , 36, 44, …, es:

a) 28 b) 26 c) 24 d) 30

16. ( ) En un campamento ubicado en el Desierto de Mexicali se encuentran 540 personas con víveres para 10 días, sin embargo en el momento en que acampan llegan 60 personas más. ¿Cuántos días les durarán las provisiones?

a) 12 días. b) 9 días. c) 7 días. d) 15 días.

17. ( ) Un grupo de 20 excursionistas irán a ver a las mariposas monarca y quedarse 10 días, por lo que preparan sus provisiones, sin embargo el día anterior se les notifica que el número de participantes se incrementará en 5 ¿para cuántos días le serán suficientes los alimentos previstos?

(38)

CLAVE DE RESPUESTA

Número de pregunta Respuesta correcta

1

Km

2

1

7

2

m

6

1

5

3 200 tornillos

4 620 pernos

5 $1 530.00

6 3 cm

7

G

3 E O M É T R I C

A A R T É M T I C A R Ó N Z P

5 R O G R E S Ó N

2 1 O CR I Ó N U O P R 4 I

E S Ó N

S

6.-G

3 E O M É T R I C

A A R T É M T I C A R Ó N Z P

5 R O G R E S Ó N

2 1 O CR I Ó N U O P R 4 I

E S Ó N

S

6.-8

SUCESIÓN TIPO SERIE ASOCIADA

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Aritmética 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

1,3,6,9,12,15,18 Geométrica 1+3+6+9+12+15+18

6, 18, 54, 162,486 Geométrica 6+18+54+162+486 10,20,30,40,50,60,70,80,90,100 Aritmética 10+20+30+40+٠٠٠+100

9 a

(39)

CLAVE DE RESPUESTA

Número de pregunta Respuesta correcta

11 b

12 d

13 a

14 c

15 a

16 b

(40)
(41)

UNIDAD II

(42)
(43)

2.1 PROBLEMAS ICONOGRÁFICOS Y PICTÓRICOS.

En aritmética empleamos números reales para realizar todo tipo de operaciones, sin embargo, cuando te piden que des un número puedes indicar cualquiera, por ejemplo: 5, 78, etc.; ahora bien este número puede ser representado mediante otros símbolos, por ejemplo las letras minúsculas del alfabeto ó bien usando un código por medio de figuras (cuadros Dines) como se muestra a continuación.

LENGUAJE VERBAL LENGUAJE ALGEBRAICO CUADROS DINES

Un número cualquiera: x

Un número elevado al cuadrado: x2

Dos unidades: 2

Observa que utilizando este código puedes realizar otras representaciones, tales como:

El doble de un número más una unidad: 2x + 1 APRENDIZAJES

• Construir el concepto de polinomio.

• Reducir términos semejantes.

(44)

Si queremos representar valores negativos, se deben considerar las misma figuras pero los cuadros serán oscuros.

Observemos la representación algebraica equivalente de las siguientes figuras.

= 2x2 + 2x 1

= − 2x2 + 5

= 4

Con estos ejemplos se observa que al realizar la agrupación de figuras se efectúa una suma (o resta) obteniendo una nueva expresión algebraica en la que se pueden efectuar simplificaciones entre figuras iguales, esto es, que se reducen. Cuando se tiene una figura clara y una figura oscura (una positiva y otra negativa) surge una zona de equilibrio lo que hace que se eliminen; entonces una expresión algebraica

es la representación de uno, dos o más símbolos en los que aparecen signos de operación formando términos; esta formación de términos es una expresión conocida como polinomio.

Si el polinomio tiene 2 términos su nombre específico es binomio, por ejemplo: x2 + x, 2x + 3, x2 – 5

Cuando tiene tres términos se forma un trinomio, por ejemplo: x2 + x –3, x + 5 + x2, 2x2 – x + 8

Si sólo tienen un término se denominan monomios, por ejemplo 3x, 5b2, 6m3

Cuando las figuras son iguales, como dos cuadrados y cinco cuadrados, se pueden agrupar dando un total de siete cuadrados, esto es 2x2 + 5 x2 = 7x2, es decir, se agrupan en términos semejantes.

(45)

Al aplicar la propiedad distributiva1 se obtiene x2(3 + 10) + x(6 + 2) + 8 =

13x2 + 8x + 8

En este otro ejemplo, para reducir el polinomio 3x2 + 6x + y con el polinomio 2x + 10x2 se agrupan los términos semejantes y se tiene 3x2 + 10x2 + 6x + 2x + y =

Al aplicar la propiedad distributiva se obtiene x2(3 + 10) + x(6 + 2) + y =

13x2 + 8x + y

(46)

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y realiza lo que se solicita.

1.− Analiza los siguientes cuadros Dines.

¿Cuál es la expresión, en el lenguaje algebraico, que le corresponde a la representación anterior? _____________________________________

2.− ¿Cuál es la representación en cuadros dines de 2x –3?

3.− ¿Qué es un termino semejante?________________________________________________________

4.− La expresión 4x6, tiene un sólo término, por lo que se le conoce con el nombre de _________________

__________________________________________________________________________________

(47)

INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y escribe en el paréntesis de la izquierda la letra que corresponda a la respuesta correcta. Si es necesario realiza tus operaciones en hojas aparte.

6.− ( ) Analiza las siguientes figuras.

Figura 1 Figura 2

El polinomio que se obtiene al sumar el área de cada una de las figuras es:

a) x4 + 6x + 5 b) 2x2 + 6x + 5

c) 2x2 + 6x + 4

d) x2 + 6x + 5

(48)

8.− ( ) Observa la figura.

x+ 8

2x+ 5 2x+ 5

Si su perímetro es 8x + 25 ¿cuánto vale el lado desconocido?

a) 13x + 43 b) –5x –18 c) 3x + 7 d) 13x + 7

9.− ( ) Observa la figura.

2x+ 3

4x+ 8

El valor del área es:

a) 12x – 22 b) 8x2 + 28x + 24

c) 8x2 + 28x – 24 d) 6x2 + 11

10.− ( ) Al simplificar la expresión x – (x − 2) – 3(2x + 6) el resultado es:

(49)

TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de Pregunta Respuesta Correcta

1 −x2 + 3x + 2

2

3 Aquel que con respecto a otro tiene la misma base y el mismo exponente.

4 Monomio

5 los coeficientes

6 b

7 a

8 c

9 b

(50)

2.2 PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Y ALGEBRAICOS.

Con los polinomios puedes sumar, restar, multiplicar y dividir.

Para la suma de polinomios lo primero que puedes hacer es eliminar los paréntesis para después agrupar los términos semejantes, por ejemplo:

(2x2 + 8x + 6) + (4x2 + 3x + 4) = elimina paréntesis 2x2 + 8x + 6 + 4x2 + 3x + 4 = agrupa términos semejantes 2x2 + 4x2 + 8x + 3x + 6 + 4 = aplica la propiedad distributiva x2(2 + 4) + x(8 +3) + 10 =

6x2 + 11 x + 10

Cuando se trata de una resta (o diferencia) de polinomios, el primer polinomio es el minuendo y el segundo es el sustraendo por lo que: MINUENDO – SUSTRAENDO = DIFERENCIA.

APRENDIZAJES

• Aplicar las reglas de los exponentes al operar expresiones algebraicas y aritméticas.

• Efectuar la suma, diferencia, el producto y el cociente de polinomios.

• Desarrollar productos notables de la forma (x + a)2, (x +a )(x + b), (x +a)(x – a); (x + a)3.

• Desarrollar los diferentes casos de factorización: trinomios de la forma x2 + bx + c, ax2 + bx +c, con un término común y diferencia de cuadrados.

(51)

Por ejemplo:

(4y2 + 3y +4) – (2y2 + 8y + 6) =

elimina paréntesis 4y2 + 3y +4 – 2y2 8y 6 =

agrupa términos semejantes 4y2 –2y2 + 3y – 8y +4 –6 = aplica la propiedad distributiva y2(4 –2) + y(3 – 8) + 4 – 6 =

2y2 – 5y – 2

Observa que al eliminar los paréntesis también se realizó la conversión de signos de operación, aplicando la ley de signos..

Para la multiplicación de polinomios, por ejemplo: (x + 2) (x2 – 2x + 4), debes aplicar las siguientes

reglas:

REGLAS DE LOS

EXPONENTES Expresión Algebraica Ejemplo.

1) El producto de dos bases iguales elevadas a diferente potencia es igual a la base elevada a la suma de las potencias.

bmbn =bm+n x3x2 = x5

2) Cuando se tienen dos bases distintas elevadas a una misma potencia, cada base es afectada por dicha potencia.

(ab)m = ambm (xy)3 = x3y3

3) Cuando una base es elevada a un exponente y éste a una potencia, los exponentes se multiplican.

(bm)n = bmn (x2)3 = x6

4) Cualquier base elevada a la potencia cero equivale a la

unidad. b0 = 1 x0 = 1

(52)

Para la división de polinomios, el algoritmo que debes utilizar es:

a) Ordenar tanto el dividendo como el divisor en forma decreciente respecto de la variable. b) Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

c) Multiplicar el cociente obtenido por todos y cada uno de los términos del divisor y restar este producto del polinomio que está en el dividendo, agrupando y simplificando términos semejantes.

d) Repetir el procedimiento hasta llegar a un residuo de cero (división exacta) o bien a un exponente menor en el dividendo que el del divisor (división inexacta).

Observa los siguientes ejemplos.

x2 + 11x + 30 entre x + 6

x + 5

x + 6 x2 + 11x + 30

− x2 − 6x 5x + 30 − 5x − 30

0

Para realizar la comprobación multiplica el cociente por el divisor y el resultado debe ser el dividendo. (x + 5)(x + 6) =

x(x + 6) + 5(x + 6) = x2 + 6x + 5x + 30=

x2 + 11x + 30

Por lo tanto la división es correcta; recuerda que si no es exacta debes sumar el residuo al producto.

Ahora divide 6y + 4y3 – 6y2 entre 2y2 – 2y y completa donde sea necesario.

x

x

x

2

=

x(x + 6) = x2 + 6x

5

5

=

x

x

(53)

En este caso debes ordenar el dividendo del exponente mayor al exponente menor.

2y –1

2y2–2y 4y 3 – 6y2 + 6y

–4y3 + 4y2

– 2y2 + 6y

+ 2y2 – 2y

4y

Para realizar la comprobación multiplica el resultado (2y – 1) por el divisor (2y2 – 2y) y al resultado

súmale el residuo (4y), esto es:

(2y – 1) (2y2 – 2y) = 2y(2y2 – 2y) – 1(2y2 – 2y)

= 4y3 – 4y2 – 2y2 + 2y

= 4y3 – 6y2 + 2y 4y3 – 6y2 + 2y + 4y = 4y3 – 6y2 + 6y

Como este resultado es igual al dividendo (4y3 – 6y2 + 6y), entonces, el resultado de la división es:

(2y – 1) con residuo 4y.

En los casos en los que tienes (x + 2)2 debes buscar formas ó reglas más sencillas para resolverlos, a las que se conocen como productos notables.

Recuerda que el exponente indica el número de veces que la base se está multiplicando, así por ejemplo si tenemos (x + 2 )2 equivale a (x + 2)(x + 2).

y

y

y

2

2

4

2 3

=

2y(2y2 – 2y) =

=

2 2

2

2

y

y

(54)

Si efectuamos el producto notable se tiene:

x 2 (x + 2)(x + 2) = x(x + 2) + 2(x + 2)

= x2 + 2x + 2x + 4

x x2 2x = x2 + 2(x)(2) + 4 = x2 + 4x +4

2 2x 4

La expresión que se obtiene está formada por tres términos que resultan de las siguientes operaciones: “El cuadrado del primer término del binomio más el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término” y se conoce como TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Cuando se aplica esta regla de forma inmediata se trabaja con un PRODUCTO NOTABLE; cuyo nombre es la SUMA DE UN BINOMIO ELEVADO AL CUADRADO, es decir:

(x + 2 )2 = x2 + 4x +4

Ahora analiza los siguientes ejemplos:

(x + 3)2 = (x)2 + 2(x)(3) + (3)2 = x2 + 6x + 9

(x2 + 4)2 = (x2)2 + 2(x2)(4) + (4)2 = x4 + 8x2 + 16

(x2 – 4x)2 = (x2)2 + 2(x2)( 4x) + ( 4x)2

= x4 8x3 + 16x2

De forma similar puedes realizar el producto de (x + 3)(x + 2). Observa la figura:

x 2 (x +2)(x +3) = x(x + 3) + 2(x + 3)

= x2 + 3x + 2x + 6

x x2 2x = x2 + x(3 + 2) + 6

= x2 + 5x + 6 3 3x 6

(55)

Analiza la aplicación de esta regla en los siguientes ejemplos de BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN.

(y + 5)(y + 4) = (y)2 + y(5 + 4) + (5)(4) = y2 + 9y + 20

(y2 + 5)(y2 + 8) = (y2)2 + y2(5 + 8) + (5)(8)

= y4 + 13y2 + 40

(3y2 + 8)(3y2− 5) = (3y2)2 + 3y2( 8 − 5) + (8)(− 5) = 9y4 + 9y2 – 40

Cuando el producto que tienes es la suma por la diferencia de dos binomios como (x + 3)(x – 3) se trabaja con un BINOMIO CONJUGADO y la regla indica que: “El producto de dos binomios conjugados equivale al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”, cuyo nombre es DIFERENCIA DE CUADRADOS, es decir:

(x +3) (x – 3) = x2 –9 Ahora analiza los siguientes ejemplos:

(y2 + 5) (y2 – 5) = (y2)2 – (5)2

= y4 – 25

(2m2 + m)(2m2 – m) = (2m (2)2 – (m)2 = 4m4 – m2

Para el CUBODE LA SUMA (o RESTA) DE DOS BINOMIOS tienes la siguiente regla: “El cubo del primer término más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término”.

(56)

Otra de las operaciones que puedes realizar con las expresiones algebraicas es la factorización.

Factorizar una expresión es obtener los productos que, al multiplicarlos, den como resultado la expresión original. Por ejemplo, los factores de cada una de las siguientes expresiones:

8 = 1(8) 36 = 1(36) a4 = 1(a4) 12a3 = 1(12a3)

= 2(4) = 2(18) = a(a3) = 2a(6a2)

= 4(2) = 3(12) = a2(a2) = 3a2(4a)

Aunque debes tomar en cuenta que los factores también pueden ser negativos, aplicando únicamente la ley de signos, de acuerdo con el tipo de expresión que tengas existen diferentes métodos para realizar la factorización, entre los que se destacan los siguientes.

FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN. Este método lo puedes aplicar cuando en la expresión todos los términos tienen base igual aunque estén con diferente exponente, por ejemplo:

2x + 3x = x(2+ 3)

x3 + x2 – x8 = x2(x + 1 – x6) 12m6 – 6m7 + 18m4 = 6m4(2m2 – m3 +3)

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. En este caso debes notar que en todos los términos no siempre se repite la base, por lo que debes agrupar aquéllos en los que encuentres ya sea una base en común ó bien que los coeficientes sean múltiplos entre sí. Observa estos ejemplos:

x3 + 4x2 + 3x + 12 = Agrupando términos (x3 + 4x2) + (3x + 12) =

Sacando el factor común x2(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 4) (x2 + 3)

y5 + 5y3 – 4y2 – 20 = Agrupando términos (y5 – 4y2) + (5y3 – 20) = Sacando el factor común y2(y3 – 4) + 5(y3 – 4) =

(57)

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Al efectuar el desarrollo de la suma de un binomio elevado al cuadrado, el resultado que obtienes es un trinomio cuadrado perfecto; para factorizarlo deberás obtener el binomio. Para ello se puede utilizar el siguiente procedimiento:

Ordena el trinomio en forma decreciente respecto a una literal x2 +16x + 64 =

Obtén la raíz cuadrada del primer y tercer término

x

2 = x

64

= 8

Comprueba que el segundo término sea el doble producto de las raíces 16 x = 2(x)(8)

Por lo que: x2 +16x + 64 = (x + 8)2

Analiza este otro ejemplo:

y4+ 10y2 + 25 =

4

y

= y2

25

= 5

10y2 = 2(y2)(5)

Por lo que: y4+ 10y2 + 25 = (y2 + 5)2

En caso de que el segundo término del trinomio sea negativo, debes considerar la raíz negativa del

segundo término: m6 –12m3 + 36 =

3 6

m

m

=

36

=

±

6

Entonces para el término –12 m3 = 2(m3)(6)

Por lo que: m6 –12m3 + 36 = (m3 –6)2

(58)

1(12) = 12 1 +12 = 13

2(6) = 12 2 + 6 = 8

3(4) = 12 3 + 4 = 7

Por lo que: x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Analiza este otro ejemplo:

y2 + 5y 24 =

2

y

= y

Dos números que multiplicados den −24 y sumados 5

−1(24) = − 24 − 1 + 24 = 23 − 2(12) = − 24 − 2 + 12 = 10 − 3(8) = − 24 − 3 + 8 = 5 −4(6) = − 24 − 4 + 6 = 2 Por lo que y2 + 5y − 24 = (y – 3 )(y + 8)

En el caso de que el trinomio sea de la forma ax2 + bx + c deberás multiplicar el valor de los coeficientes a

y c, así como buscar los números múltiplos de este valor y que sumados sean el coeficiente del segundo término para que te queden cuatro términos que factorizarás por agrupación de términos.

Observa y analiza los siguientes ejemplos:

2m2 + 5m + 3 =

Al multiplicar 2(3) = 6 por lo que debes encontrar dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5, dichos números son 2 y 3; entonces:

2m2 + 5m + 3 =

2m2 + 2m + 3m + 3 =

Agrupa términos (2m2 + 2m) + (3m + 3) =

Obtén el factor común 2m(m + 1) + 3(m +1) = (m +1)(2m + 3)

Sea ahora 5x2 – 14x – 3 =

Al multiplicar 5(–3) = –15, entonces busca dos números que multiplicados den –15 y sumados –14, éstos son –15(1) = –15; –15 + 1 = –14; entonces:

5x2 – 14x – 3 =

(59)

Agrupa términos (5x2 – 15x) + (x – 3) =

Obtén el factor común 5x(x –3) + 1(x –3) =

(x –3)(5x + 1)

También en los productos notables para binomios conjugados, el resultado que obtuviste fue una diferencia de cuadrados, entonces, para encontrar estos factores debes calcular la raíz de cada uno de los términos. Analiza los siguientes ejemplos:

x2 – 25 =

2

x

= x

25

= 5

Por lo que: x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)

Sea ahora. 4m6 – 81 =

3 6

2

4

m

=

m

81

=

9

Por lo que: 4m6 – 81 = (2m3 –9)(2m3 + 9)

Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL es aquélla en la cual tanto en el numerador como en el denominador se presentan expresiones formadas por diferentes polinomios.

Para reducir expresiones algebraicas racionales, por ejemplo

1

2 2

+

x

x

x

, deberás tomar en consideración lo

siguiente:

a) Factoriza tanto el numerador como el denominador, aplicando uno de los métodos antes explicados.

=

+

+

)

1

)(

1

(

)

1

(

x

x

x

x

(60)

c) Escribe la mínima expresión.

1

x

x

Otro ejemplo. Cuando las expresiones son trinomios y binomios; la reducción de expresiones es la siguiente:

=

+

+

+

4

2

2

3

2

x

x

x

Al factorizar el numerador y el denominador:

=

+

+

+

)

2

(

2

)

2

)(

1

(

x

x

x

Simplificando obtienes:

(61)

EJERCICIOS:

INSTRUCCIONES. Lee con atención los siguientes ejercicios y escribe en la línea lo que se solicita en cada caso. Si es necesario realiza el procedimiento en hojas aparte.

1. Al efectuar la simplificación de 3x4 (2x5) el resultado es:______________________________

2. El trinomio obtenido del producto de la suma de un binomio elevado al cuadrado se denomina:_________________________________________.

3. Al procedimiento para obtener los productos de una expresión algebraica se le llama: ________________________________

INSTRUCCIONES. Lee con atención los ejercicios y escribe en el paréntesis de la izquierda la letra que corresponda a la respuesta correcta. Si es necesario realiza el procedimiento en hojas aparte.

4. ( ) Al simplificar la expresión













2

9

2

3

4

x

2

x

7

x

4

, el resultado es:

a) 3x11 b) x3 c) 3x13

d) 36x11

5. ( ) El resultado de

2

)

40

(

a

0

es:

a) 2 b) 1

(62)

6.( ) Al restar los polinomios (3m3 + m –10) – (m3 – 2m +11) el resultado que se tiene es: a) 2m3 + 3m – 21

b) 2m3 + 3m + 21 c) 3m3 + 3m + 21 d) 3m3 + 3m 21

7. ( ) Al efectuar la multiplicación de (c2 – 4c)(c2 + 4c), el resultado es:

a) c4 + 16c2 b) c4− 16c2 c) c4 + 8c3 + 16c2 d) c4 + 8c3 16c2

8. ( ) Al efectuar la división de 2x2 +x3 – 16x –32 entre x + 2, el resultado que obtienes es:

a) x2 – 16 b) x2 + 16 c) x2 + 4x + 16 d) x2 + 4x – 16

9. ( ) Si divides 2y3 + 3y – 6y2 –9 entre y –3 el resultado es: a) 2y2 – 3y

b) 2y2 +3y c) 2y2 + 3 d) 2y2 – 3

10. ( ) Al desarrollar la expresión (3m + 2)2, el resultado es:

a) m2 + 12m + 4 b) 9m2 + 12m + 4 c) 9m2 + 6m + 4 d) m2 + 6m + 4

11. ( ) El resultado del producto notable (6x3 – 8x) (6x3 + 8x) es:

(63)

12. ( ) Al desarrollar la expresión (3y9 – 8) (3y9 + 18), el resultado es: a) 9y18 – 64

b) 9y18 + 64

c) 9y18 – 30y9 – 144 d) 9y18 + 30y9 – 144

13. ( ) El desarrollo del binomio ( y – 1)3 es:

a) y3 + 2y2 + 3y –1 b) y3 + 2y2 + 3y + 1 c) y3− 3y2− 3y + 1 d) y3 3y2 + 3y – 1

14. ( ) Al factorizar la expresión n2 –144 –24n, el resultado es:

a) (n –12)2 b) (n + 12)2 c) (n – 12)(n+12) d) (n + 12)(n− 11)

15. ( ) Al factorizar la expresión 3y2 –32 –4y, el resultado es: a) (3y – 8) (y – 4)

b) (3y + 8) (y + 4 ) c) (3y + 8) (y – 4) d) (3y – 8) (y + 4)

16. ( ) Al factorizar la expresión 4c2 – 19c + 12, el resultado es:

a) (4c – 3)(c – 4)

Figure

CUADROS MÁGICOS.

CUADROS MÁGICOS.

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Figura Nombre

Figura Nombre

p.15
Cuadro 1

Cuadro 1

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Figura 1

Figura 1

p.19
Figura 1

Figura 1

p.47
Figura 1

Figura 1

p.47

Referencias

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