Soluciones de Problemas Métricos en PAU CyL
1.- b) Hallar la distancia del punto B(2,2 , 2) a la recta s x y z. (1 punto) (PAU junio 2011) Solución
b) ( , ) 4 6 3
d B s u . Nota: (0 , 0 , 0) (1 , 1 , 1) s
x
O s
s y s
v z
. Utilizando el método del producto
vectorial:
2 2 2
2 2 2
(2 , 2 , 2) (1 , 1 , 1) ( 4 , 4 , 0) ( 4) 4 0 32 4 6 ( , )
3
3 3 3
1 1 1 s
s OB v
d B s u
v
.
2.- Se consideran la recta 0 4 x y a z r
a y z
con a, y el plano x y z 2 0.
b) Para a2, hallar la distancia de r a . (1 punto) (PAU junio 2010G) c) Para a1, hallar la distancia de r a . (0,5 puntos)
Solución
b) ( , )d r 2 3 u . Nota: Para a2 la rectay el plano son paralelos, siendo d r( , ) d A( , ) , con Ar. Elegimos un punto A(2 , 2 , 0)r
2 2 2
2 2 0 2 6 6 3
( , ) ( , ) 2 3
3 3 1 1 1
d r d A u
.
c) d r( , ) 0. Nota: Para a1 la rectay el plano son secantes, y por tanto su distancia es 0.
3.- Dados el punto P(1 , 1 ,1), la recta 6 3 4
y
r x z , y el plano 6x6z120, se pide: b) Hallar los puntos Q de r que distan 1
2 unidades de longitud de . (1 punto) (PAU junio 2010G) Solución
b) Q1(0 , 6 , 3) y Q2( 1 , 10 , 2) . Nota: 6 4 ( , 6 4 , 3 ) 3
x
r y Q r
z
.
1
2 2 2 2
12 6 6 0 (0, 6,3) 6 6 (3 ) 12 12 6 1
( , ) 12 6 6
12 6 6 1 ( 1, 10, 2)
6 2 2
6 0 6
Q d Q
Q
4.- a) Determinar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 12x3y4z 7 que distan 6 unidades del mismo. (1,5 puntos) (PAU septiembre 2010G)
Solución
a) 112x3y4z710 y 2 12x3y4z850 . Nota: La ecuación de los planos paralelos será del tipo 12x3y4zD0; tomamos un punto particular del plano P(0 , 1 , 1) .
2 2 2
12 0 3 1 4 ( 1) 7 7 78 71
( , ) ( , ) 6
7 78 85
13 12 3 ( 4)
D D D D
d d P u
D D
.
5.- Dadas las rectas 1 1
3 2
x z
s y y 2 0
2 4
x y t
y z
se pide hallar la perpendicular común a s y a t y la distancia entre ambas rectas. (2,5 puntos) (PAU junio 2010E)
Solución
La perpendicular común es
1 2 2 x
r y z
. La distancia entre las rectas s y t es ( , )d s t 5 u .
Nota: Parametrizando las rectas se obtiene (1 , 0 , 1) (3 , 1 , 2) s
A s
s v
y
(0 , 0 , 4) (1 , 2 , 4) t
B s
t v
. Como se cumple , s , t 0
BA v v
s y t se cruzan en el espacio.r s y r t vr colineal con vs vt (0, 10,5) . Tomamos vr (0 , 2 , 1) . Como r corta a s entonces r y s son coplanarias sea 1 el plano que contiene a r y a s , y P x( , y , )z 11 AP v, s ,vr 0 1 5x3y6z 1 0. Como r corta a t entonces r y t son coplanarias sea 2 el plano que contiene a r y a t , y P x( , y , )z 2
2 BP , vt , vr 0 2 10x y 2z 8 0
. Por tanto r viene dada como intersección de
los planos 1 y 2 1
2
5 3 6 1 0
10 2 8 0
x y z
r
x y z
1 2 2 x
r y z
.
Para calcular la distancia entre las rectas s y t podemos utilizar el método del producto mixto:
2 2 2
1 0 5 3 1 2
, , 1 2 4 25 25 25 25 5
( , ) 5
(0 , 10 , 5) 0 ( 10) 5 125 5 5 5 3 1 2
1 2 4 s t
s t BA v v
d s t u
v v i j k
6.- b) Hallar la distancia del puntoA( 2 , 1 , 6) a la recta 1 3 1
1 2 2
x y z
r . (0,5 puntos)
(PAU septiembre 2010E) Solución
b) ( , ) 5 3
d A r u . Nota: ( 1 , 3 , 1) (1 , 2 , 2) r
B r
r v
. AB(1 , 2 , 7) . Usando el método del producto vectorial:
2 2 2
2 2 2
(1 , 2 , 7) (1 , 2 , 2) (18 , 9 , 0) 18 ( 9) 0 405 9 5
( , ) 3 5
3 3 3
9 1 2 2
r r AB v
d A r u
v
.
7.- Hallar la distancia desde el punto P(1 , 3 ,2) a la recta
2 3 1 1 2 x
s y z
. (1 punto) (PAU junio 2009)
Solución 3 10
( , ) 2
d A s u . Nota: (2 , 1 , 1) (3 , 1 , 2) s
A s
s v
. AP ( 1 , 4 , 3) . Usando el método del producto vectorial:
2 2 2
2 2 2
( 1 , 4 , 3) (3 , 1 , 2) ( 5 , 11 , 13) 5 11 13 315 3 10 ( , )
2
14 14 14
3 1 ( 2) s
s AP v
d P s u
v
.
8.- Calcular la distancia entre las rectas de ecuaciones:
3 1
7 4
x y r
x z
y
2 3
2
3 4
y z
s x . (1 punto) (PAU junio 2009)
Solución 10
( , ) 2
d r s u . Nota: (0 , 1 , 4) (1 , 3 , 7) r
A r
r v
y
(2 , 2 , 3) (1 , 3 , 4) s
B s
s v
. AB(2 , 1 , 1) .
ComoAB v, r ,vs 15 0 r y s se cruzan en el espacio. Para calcular la distancia entre las rectas s y t podemos utilizar el método del producto mixto:
2 2 2
1 1 1 1 3 7
, , 1 3 4 15 15 15 15 5 10 10
( , )
( 9 , 3 , 0) ( 9) 3 0 90 3 10 10 2 r s
r s AB v v
d r s u
v v i j k
9.- Determinar el ángulo que forman la recta 1 2 3 x y
r z y el plano x y z 4. (1 punto) (PAU septiembre 2009) Solución
38º 6 47
. Nota: vr (2 , 3 , 1) y n (1 , 1 , 1) . Sea el ángulo que forman la recta y el plano.
2 2 2 2 2 2
(2 , 3 , 1) (1 , 1 , 1) 2 42 cos
21
2 3 1 1 1 ( 1)
r
r r r
r v n
v n v n v n sen sen
v n
2 42
38,11º 38º 6 47 21
arc sen
.
10.- Hallar la distancia entre el punto A(2 , 1 , 4) y la recta 1 1
2 3
x z
r y . (1 punto)
(PAU septiembre 2008)
Solución
133 ( , )
7
d A r u . Nota: (1 , 1 , 0) (2 , 1 , 3) r
B r
r v
. BA(1 , 2 , 4). Usando el método del producto vectorial:
2 2 2
2 2 2
(1 , 2 , 4) (2 , 1 , 3) (2 , 5 , 3) 2 5 ( 3) 38 2 19 133 ( , )
7
14 14 14 2 7
2 1 3 r
r BA v
d A r u
v
.
11.- Se consideran las rectas r y s de ecuaciones respectivas 1 0 y r
z
,
0 2 x s
z
c) Hallar la distancia entre r y s . (0,5 puntos) (PAU septiembre 2008) Solución
c) ( , )d r s 2 u . Nota: Representando las rectas se deduce la respuesta. (0 , 1 , 0)
1
(1 , 0 , 0)
0 r
x
A r
r y r
v z
;
0
(0 , 0 , 2) (0 , 1 , 0)
2 s
x
B s
s y s
v z
. AB(0 , 1 , 2) .
ComoAB v, r ,vs 2 0 r y s se cruzan en el espacio. Para calcular la distancia entre las rectas s y t podemos utilizar el método del producto mixto:
0 1 2 1 0 0
, , 0 1 0 2 2
( , ) 2
1 1 0 0
0 1 0 r s
r s AB v v
d r s u
v v i j k k
12.- Hallar el seno del ángulo formado por la recta r y el plano dados por:
2 3
x z r
y z
, x y z. (1 punto) (PAU septiembre 2008) Solución
3
9
sen . Nota:
3 2
( 2 , 1 , 2) 3 2
r x
r y v
z
; n (1 , 1 , 1) .
Sea el ángulo que forman la recta y el plano. vrn vr n cos vr n sen
2 2 2 2 2 2
( 2 , 1 , 2) (1 , 1 , 1) 2 1 1 1 2 ( 1) 1 3 9
9 3 3 3
( 2) 1 ( 2) 1 1 ( 1) r
r v n sen
v n
.
13.- Sea el plano x y 2z 5 0 y la recta r x y z. Se pide:
a) Calcular la distancia de la recta al plano. (1 punto) (PAU junio 2007) Solución
a) ( , ) 5 6 6
d r u . Nota: vr (1 , 1 , 1) ; n (1 , 1 , 2) . Como vrn 1 1 2 0 vr n la rectay el plano son paralelos, siendo d r( , ) d O( , ) , con O(0 , 0 , 0)r.
Tomamos un punto particular
2 2 2
0 0 2 0 5 5 5 6
( , ) ( , )
6 6 1 1 ( 2)
d r d O u
.
14.- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son A(1 , 1 , 0) , B(2 , 1 , 0) y (2 , 4 , 0)C . (1 punto) (PAU junio 2007) Solución
2
5
2 u . Nota:
1 2
Área ABAC ; se hallan AB, AC, su producto vectorial y la mitad de su módulo.
15.- De una recta r se sabe que está contenida en el plano de ecuación xy0, que A(0 , 0 , 0) pertenece a r, y que el vector que une A y B(1 , 0 , 1) es perpendicular a r. Determinar la recta r, y calcular la distancia entre r y el plano paralelo a que pasa por B. (3 puntos) (PAU septiembre 2007)
Solución
; x
r y z
. Nota:
(0 , 0 , 0)
(0 , 0 , 0) (1 , 1 , 0)
(1 , 1 , 1) (1 , 0 , 1)
r
r r
A r
A r
r r v n r
v n AB
AB v
.
2 ( , )
2
d r u . Nota: Se calcula el plano x y 1 0 el plano que pasa por B y es paralelo a .
16.- Calcúlese la distancia del punto P
1 , 1 , 1
a la recta
z y x
r 0
2 2
. (1 punto) (PAU junio 2006)
Solución
( , )d P r 6 u . Nota:
2 2
( 2 , 0 , 0) 0
(2 , 0 , 1) r
x
A r
r y r
v z
. AP(3 , 1 , 1). Utilizando el método del producto vectorial:
2 2 2
2 2 2
(3, 1 , 1) (2 , 0 , 1) ( 1 , 5 , 2) ( 1) 5 ( 2) 30 5 6
( , ) 6
5 5 5 5
2 0 ( 1) r
r AP v
d P r u
v
17.- Hállese la distancia entre el plano , que pasa por los puntos A(2 , 0 , 1) , B(0 , 0 , 0) y (1 , 1 , 2)C , y el plano de ecuación x5y2z60. (1 punto) (PAU junio 2006)
Solución
30 ( , )
5 d u .
(0 , 0 , 0) (2 , 0 , 1)
(0 , 0 , 0) (2 , 0 , 1)
(1 , 1 , 2) (1 , 1 , 2) B
A
B BA
C BC
. Tomando P x( , y, )z ,
se cumple BP BA BC, , 0 x 5y2z 0. Entonces . Por tanto
2 2 2
0 5 0 2 0 6 6 6 30 30
( , ) ( , )
30 5
30 1 ( 5) 2
d d B u
.
18.- b) Para a 2 , hállese la distancia entre 2 1
2 5 2
x y z r
x y z
y a x y z 1 0. (1 punto) (PAU septiembre 2006) Solución
b) ( , ) 6 2
d r u . Nota: 2 1
2 5 2
x y z r
x y z
1
(1 , 0 , 0) 3
(1 , 3 , 1) r
x
A r
r y r
v z
.
(2 , 1 , 1)
n . Como vrn 2 3 1 0 vr n r porque A . Entonces
2 2 2
2 1 0 0 1 3 3 6 6
( , ) ( , )
6 2
6 2 ( 1) 1
d r d A u
19.- El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3 , 0 , 1) , B(6 , 4 , 5) y (5 , 3 , ) C z . Calcúlese el valor de z y hállese el área del triángulo. (1 punto) (PAU septiembre 2006)
Solución
2
854 0 ; Área
2
z u . Nota: Para hallar z se observa que Aˆ 90º AB AC AB AC 0. Se calculan los vectores AB(3 , 4 , 6) y AC (2 , 3 , z1) .
0 6 12 6 6 0 6 0 0
AB AC z z z .
2 2 2
2
( 22) 9 17
1 1 1 854
Área (3 , 4 , 6) (2 , 3 , 1) ( 22 , 9 , 17)
2 AB AC 2 2 2 2 u
.
20.- Calcúlese la distancia del origen al plano que pasa por A(1 , 2 , 0) y contiene a la recta
2 1
2 3
x y
r z. (1 punto) (PAU junio 2005) Solución
5 59 ( , )
59
d O u . Nota: ( 2 , 1 , 0) (2 , 3 , 1) r
B r
r v
. r B( 2 , 1 , 0) y vr (2 , 3 , 1) . (1 , 2 , 0)
(1 , 2 , 0)
( 2 , 1 , 0) (3 , 1 , 0) (2 , 3 , 1) (2 , 3 , 1)
r r
A A
B BA
v v
. Tomando P x( , y, )z , se cumple que
1 2 0
, , 0 3 1 0 0 3 7 5 0
2 3 1
r
x y z
AP BA v x y z
.
Entonces
2 2 2
1 0 3 0 7 0 5 5 5 59 ( , )
59 59
1 ( 3) 7
d O u
.
21.- b) Hállese la distancia entre A( 3 , 1 , 7) y
2 1 2
3 1
x y z
r . (1 punto) (PAU junio 2005)
Solución
b) ( , )d A r 2 2 u . Nota:
1
( 1 , 3 , 1) 3 2
(1 , 2 , 2)
1 2 r
x
B r
r y r
v z
. AB(2 , 2 , 6).
Utilizando el método del producto vectorial:
2 2 2
(2, 2 , 6) (1 , 2 , 2) ( 8 , 2 , 2) 8 2 2 72 6 2 r
22.- Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones 1 2
3 2
0 ,
1 1 1
x
x y z
r y s
z
. (1 punto) (PAU septiembre 2004)
Solución 6 14
( , ) 7
d r s u . Nota: Estudiemos la posición relativa de r y s.
1 2
(1 , 0 , 0) 0
(2 , 0 , 1) r
x
A r
r y r
v z
; (0 , 3 , 2) ( 1 , 1 , 1) s
B s
s v
. AB ( 1 , 3 , 2).
Como
1 3 2
, , 2 0 1 12 0 1 1 1
r s AB v v
r y s se cruzan en el espacio. Para calcular la distancia entre las rectas s y t podemos utilizar el método del producto mixto:
2 2 2
1 3 2 2 0 1
, , 1 1 1 12 12 12 12 14 6 14
( , )
14 7
14
3 2 1 3 2
2 0 1 1 1 1 r s
r s AB v v
d r s u
v v i j k i j k