I
I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ
PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE BALEARES
JUNIO – 2011 (GENERAL)
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
OPCIÓN A
1º) a ) Comprobar que si A es una matriz cuadrada tal que A2 =2A−I, siendo I la matriz identidad, entonces A es inversible. ¿Cuál es la expresión de A-1?
b ) Utilizar el apartado a ) para calcular la inversa de la matriz
− −
− − =
1 4 4
1 1 2
2 4 5
A .
--- a )
(
2)
. ·; ; 2
; ; 2
; ;
2 2 2
2
I A I A I A A I A A I A
A = − − =− − = − =
Teniendo en cuenta que, por definición de inversa de una matriz, se cumple que:
I A
A· −1 = , de la última expresión se deduce que A−1 =2I−A, que existe para cualquier matriz A de coeficientes reales.
Nota: Falsa sería la demostración siguiente:
⇒
− = −
= A I A A A I
A2 2 ;; · 2 Multiplicando por la izquierda por A-1:
(
A I)
I A A A A I A I A A I AA A A
A−1· · = −1· 2 − ;; · =2 −1· − −1· ;; =2 − −1 ⇒ −1=2 − .
Aunque se llega a una solución idéntica, se supone de antemano la existencia de la matriz inversa.
b )
= + + − − − + + − − − + + − − − − − + + − − − = − − − − − − − − = = 1 4 8 4 4 16 4 8 20 1 1 4 4 1 8 4 2 10 2 4 10 8 4 20 8 8 25 1 4 4 1 1 2 2 4 5 · 1 4 4 1 1 2 2 4 5 · 2 A A A
9 8 4
4 3 2
8 8 3
− = − − − . − − − − = − − − − − = − − − − − = − 3 8 8 2 3 4 4 8 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 8 8 2 2 4 4 8 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 4 1 1 2 2 4 5 · 2
2A I .
En efecto, A2 =2A−I , por lo cual será A−1= A−I:
2º) Dados el punto A(1, 3, 0) y el plano π ≡x+2y+z−1=0, determinar las coordenadas del punto A’ simétrico de A con respecto al plano π. Calcular la distancia de A’ al plano π.
---
Un vector normal de π es n =
(
1, 2, 1)
.La recta r es la que pasa por el punto P y es perpendicular al plano, por lo tanto su vector di-rector es el vector normal del plano π; su
expre-sión por unas ecuaciones paramétricas es la
si-guiente:
= + =
+ = ≡
λ λ λ
z y x
r 3 2
1
.
El punto Q, intersección del plano π con la recta r, tiene que satisfacer las ecua-ciones de ambos, por lo tanto:
(
+) (
+ +)
+ − = + + + + − = + = ⇒ ⇒
= + =
+ = ≡
= − + + ≡
0 6 6 ; ; 0 1 4
6 1 ; ; 0 1 2
3 2 1
2 3 1
0 1 2
λ λ
λ λ
λ λ λ
λ λ λ π
z y x r
z y x
(
0, 1, 1)
1; ; 0
1= =− ⇒ −
+
⇒ λ λ Q .
Para que A’ sea el punto simétrico de A con respecto a π , tiene que cumplirse que:
(
0, 1, 1) (
1, 3, 0) (
, ,) (
0, 1, 1)
;; ;; '
' ⇒ − = − − − = − −
=QA Q A A Q x y z
AQ
(
) (
)
'(
1, 1, 2)
2 1
1
1 2
1 1 1
, 1 , 1 , 2 ,
1 ⇒ − − −
− = → − = +
− = → − = −
− =
⇒
+ − =
− −
− A
z z
y y
x z
y
x .
La distancia del punto P0
(
x0, y0, z0)
al plano genérico π ≡ Ax+By+Cz+D=0vie-ne dada por la fórmula:
(
)
2 2 2
0 0 0 0,
C B A
D Cz By Ax P
d
+ +
+ + + =
π .
Aplicando la formula al plano π ≡x+2y+z−1=0 y al punto A’(-1, -1, -2) :
(
π)
( )
( )
6 .(
', π)
6 6 1 4 1
3 2 1 1
2 1
1 2 1 · 2 1 · 1 ,
'
2 2
2 unid d A
A
d = = =
+ +
− − − = +
+
− − − + −
= .
π
A(1, 3, 0)
A’(x, y, z) Q
3º) Considera la función real definida en toda la recta real por
( )
(
2)
2 2 1 1 3 + − = x x x f .a ) Calcular f '
( )
x y f ''( )
x dando los resultados completamente simplificados.b ) Determinar los máximos y mínimos de la función f(x).
--- a )
( )
(
) (
) (
)
(
)
(
(
)
+)
(
)
= − − + = + + − − + = 3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 3 · 4 1 · 6 1 2 · 1 · 2 · 1 3 1 · 6 ' x x x x x x x x x x x x f(
)
(
)
(
(
)
)
f( )
xx x x x x x x x x x x ' 1 5 3 2 1 10 6 1 4 12 6 6 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 = + − − = + + − = + + − + = .
( )
(
) (
)
(
(
)
) (
)
= + + − + + + − = 6 2 2 2 2 3 2 2 1 2 · 1 · 3 · 5 3 2 1 · 10 18 '' x x x x x x x x f(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
+)
= + − = + − + + + − − = + − + + + − = 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 1 10 68 18 1 60 36 10 10 18 18 1 5 3 12 1 · 10 18 x x x x x x x x x x x x x x(
)
(
)
f( )
xx x x '' 1 5 34 9 2 4 2 2 4 = + + − = . b )
Una función tiene un extremo relativo para los valores de x que anulan la primera derivada.
( )
(
(
)
)
0 ;; 2(
3 5)
0 ;; 0 ;; 3 5 0 ;; 3 5 ;; 15 3 2 0
' 3 2 1 2 2
2 2 = = − = = − − = + − − ⇒
= x x x x x
x x x x f 3 15 ; ; 3 15 3 15 3 5 ; ; 3 5 3 2
2 = =± =± ⇒ =+ =−
x x
x
x .
Para diferenciar entre máximos y mínimos se recurre a la segunda derivada; si el valor es positivo para los valores que anulan la primera derivada, se trata de un mínimo relativo y, si es negativo se trata de un máximo.
( ) (
( )
)
= = > ⇒+ + −
= 10 0
1 10 1 0 5 0 0 2 0 '' 4
( )
(
)
1 :(
0, 1)
11
1 0
1 0 · 3
0 2
2 2
−
⇒
− = − = +
−
= Mínimo relativo A
f .
Teniendo en cuenta que f(x) es una función par, por ser f
( ) ( )
−x = f x , es simétrica con respecto al eje de ordenadas.( )
( )
=+
− +
=
+
− +
=
+
+
−
= ±
5 3 170 25 · 2
1 3 5
5 3 5 · 34 9 25 · 9 · 2
1 3 5
5 3 5 · 34 3
5 · 9 · 2
'' 4 4
2
2 4
3 5
f
( )
( )
( )
+ < ⇒ −= +
−
= +
−
= 3 0
80 · 2 3
170 90 · 2 3 170 30 · 2
3 15 ± = x para
Máximos .
( )
= = = ⇒
− =
+ − =
+
±
−
± = ±
16 9 64
9 · 4
9 64
4
3 8
1 5
1 3 5
1 3 5 · 3
1 3 5
1 3 5 · 3
2 2
2 2
2
3 5
f
−
16 9 , 3 15 16
9 , 3 15
: B y C
4º) Dada la función
( )
1
4 3
+ =
x x x
f ,
a ) Calcular F(x) tal que F'
( ) ( )
x = f x para cualquier valor de x.b ) Calcular la integral
∫
+ =1
0 4
3 · 1
dx x
x
I .
---
a )
( )
( )
⇒( )
= = =
= = +
⇒
+ =
=
∫
∫
∫
∫
t− dtt dt t
F dt
dt x
t x
dx x
x dx
x f x
F ·
4 1 4
1 1
· 1
· 2
1
4 1 3
4
4 3
( )
x x C FC t C t C
t + = + = + ⇒ = + +
+ − =
+ −
1 2
1 2
1
2 1 · 4 1
1 2
1 · 4
1 2 4
1 1
2 1
.
b )
(
)
Ix dx
x x
I = + = + − + = − = − =
+
=
∫
2 12 1 1 2 1 2 2 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 2
1 ·
1
4 4
1
0 4 1
0 4
3
.
OPCIÓN B
1º) a ) Sin desarrollar el determinante, comprobar que 0 6 5
4 3
2 1
= + +
+ +
+ +
x x
x
x x
x
x x x
.
b ) Determinar el rango del siguiente conjunto de vectores:
(
)
(
)
(
)
{
u = 1, −2, 0, −3, v = −1, 3,1, 4, w = 2,1, 5, −1}
. ---a )
Se van a utilizar las siguientes propiedades:
.- Si un determinante tiene dos filas iguales o proporcionales, su valor es cero.
.- Si todos los elementos de una fila o columna se descomponen en dos o más su-mandos, entonces el determinante es igual a la suma de los determinantes que tienen en esa fila o columna el primero y segundo sumandos, respectivamente, y en las de-más los mismos elementos que el determinante inicial.
.- Si los elementos de una línea (fila o columna) se multiplican o dividen por un nú-mero, el valor del determinante queda multiplicado o dividido por dicho número.
= + =
+ + + =
+ + + +
+ + + =
+ +
+ +
+ +
6 5
4 3
2 1
5 3 1
6 5
4 3
2 1
6 5
4 3
2 1
6 4 2
6 5
4 3
2 1
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
0 0 ·
1 5 1
1 3 1
1 1 1
·
1 5
1 3
1 1
1 5
1 3
1 1
5 5
3 3
1 1
1 5 5
1 3 3
1 1 1
6 5
4 3
2 1
= = =
= +
= + + + =
= x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
b )
El rango del conjunto de vectores dado es igual que el rango de la matriz que deter-minan:
(
)
(
)
(
)
{
}
− −
− −
= − =
− = −
− =
1 5 1 2
4 1 3 1
3 0 2 1
1 , 5 , 1 , 2 ,
4 , 1 , 3 , 1 ,
3 , 0 , 2 ,
1 v w Rango
u
Rango .
El rango de la matriz anterior es, por dimensión, < 4 y ≥2 por ser 1 2 ≠0 −
−
Vamos a ver si tiene rango 3, para lo cual es necesario que todos los determinan-tes de orden 3 que pueden formarse sean distintos de cero.
{
}
{
}
{
}
2
0 45 45 40 3 45 2
1 5 1
4 1 3
3 0 2
, ,
0 23 23 2 4 18 16 3 3
1 1 2
4 3 1
3 2 1
, ,
0 15 15 10 1 4 15
5 1 2
1 3 1
0 2 1
, ,
4 3 2
4 2 1
3 2 1
=
⇒
= − = + + − = − − −
⇒
= − = + − + − + − = − −
− −
⇒
= − = − − − = −
−
⇒
Rango
C C C
C C C
C C C
.
(
)
(
)
(
)
{
u = 1, −2, 0, −3, v = −1, 3, 1, 4, w = 2, 1, 5, −1}
=2 RangoOtra forma diferente de calcular el rango de los vectores es determinando si son o no linealmente independientes.
Es evidente que los vectores u y v son linealmente independientes, por lo cual
el rango del conjunto es mayor e igual que 2.
Si los vectores
{
u =(
1, −2, 0, −3)
, v =(
−1, 3,1, 4)
, w =(
2, 1, 5, −1)
}
son linealmente dependientes tiene que cumplirse que u =α · v +β · w , siendo α, β∈R.(
)
(
)
(
)
;;7 1 ; ; 1 7 3 4
0 5
2 3
1 2 1
, 5 , 1 , 2 · 4 , 1 , 3 , 1 · 3 , 0 , 2 ,
1 ⇒ = =
− = −
= +
− = +
= + −
⇒
− +
− = −
− β β
β α
β α
β α
β α β
α
w v u
7 1 7 5 7
5
5 =− = ⇒ =− +
−
= β α
α .
Los vectores
{
u =(
1, −2, 0, −3)
, v =(
−1, 3,1, 4)
, w =(
2,1, 5, −1)
}
son linealmente dependientes y su rango es 2, como esperábamos.2º) Determinar la ecuación del plano π que pasa por los puntos A(1, 0, 0) y B(0, 2, 0) y
corta al eje OZ en el punto C(0, 0, c) con c > 0 tal que el área del triángulo ABC vale 6 unidades cuadradas.
---
Los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, c) determinan los vectores u = AB y
AC
v = , que son los siguientes:
(
0, 2, 0) (
− 1, 0, 0) (
= −1, 2, 0)
=− = = AB B A
u .
(
c) (
) (
c)
A C AC
v = = − = 0, 0, − 1, 0, 0 = −1, 0, .
Sabiendo que el área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de los dos vectores que lo determinan:
; ; 6 2
2 · 2 1 2
2 · 2 1
0 1
0 2 1 · 2 1 ·
2 1
6 = + + = + + =
− − = ∧
⇒
= ci k cj ci cj k
c k j i v
u S
( )
2 2 ;; 2 6 4 4 5 4 ;; 24 5 4 ;; 20 5 ;; 4 ;; ·2 1
6= c 2+c2+ 2 = c2 +c2 + = c2+ = c2 + = c2 c2 = .
⇒
± = ±
= 4 2
c Como tiene que ser c > 0, la solución es c = 2.
Son vectores directores del plano π pedido u =
(
−1, 2, 0)
y v =(
−1, 0, 2)
.Conside-rando, por ejemplo, el punto A(1, 0, 0), la ecuación general de π es la siguiente:
(
)
0 ;; 4(
1)
2 2 0 ;; 2(
1)
0 ;;2 0 1
0 2 1
1
,
; = − + + = − + + =
− − −
≡ x z y x z y
z y x v u A
π
0 2 2
0 2
3º) Considere la ecuación x3+λx2 −2x=1 siendo λ una constante mayor que 2. Usando
los teoremas de Bolzano y Rolle, probar que la ecuación admite una única solución no negativa y más pequeña que 1.
---
Se considera la función f
( )
x =x3+λx2−2x−1. Por tratarse de una función polinó-mica es continua y derivable en todo su dominio, que es R, por lo cual, lo será en cual-quier intervalo real que se considere.El teorema de Bolzano dice que “si una función f es continua en un intervalo ce-rrado [a, b] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo, entonces existe al menos un valor c∈
(
a, b)
tal que f( )
c =0”.Teniendo en cuenta que f
( )
0 =−1<0 y f( )
1 =1+λ−2−1>0, por ser λ > 2, según elTeorema de Bolzano, en el intervalo (0, 1) la función f(x) tiene, al menos, una raíz
α
=
x , teniendo que ser 0 < α <1, valor no negativo y menor que 1, y tal que f(α) = 0.
Vamos a demostrar ahora que la raíz es única.
Supongamos que existe otra "d", tal que 0 < α < d < 1. Aplicamos Rolle en (α, d)
Como f(x) es una función continua en el intervalo [α, d] y derivable en (α,d) y se
cum-ple que f(α) = f(d) = 0, existe al menos un punto c de (α,d) que está incluido en (0,1) tal
que f'(c) = 0”.
( ) 2 2 4 2 24 2 2 2 6 2 6
' 3 2 2 0 ;;
6 6 3
f x = x + λx− = x= − λ± λ + = − λ± λ + = − ±λ λ + =
0 3
6 ;
; 0 3
6 2
2 2
1 >
+ + − = <
+ − − =
⇒x λ λ x λ λ .
Tomando las soluciones de f '(x) e igualándolas a cero (puesto que tiene que existir un número c de (α,d) que está incluido en (0,1) tal que f'(c) = 0), tenemos :
2
6 0 3
λ λ
− − + = y 2
6 0 3
λ λ
− − + = , es decir 2
6
λ λ
− = ± + , elevando al cuadrado ambos
miembros tenemos λ2 = λ2 + 6, de donde 0 = 6, es decir tenemos que 0 = 6, lo cual es absurdo. Este absurdo viene de suponer que hay otra solución en el intervalo (0,1).
4º) Sea
∫
+ =1
0
· 3
2
dx x
I :
a ) Expresar I aplicando el cambio de variable 2
t x= .
b ) Calcula el valor de I.
---
a )
I dt t t tdt
t t
x
t x
tdt dx
t x t
x dx
x
I =
+ = +
⇒
= → =
= → = =
= → =
⇒
+
=
∫
∫
∫
10 1
0 2
1
0
· 3 4 2 · 3
2 0
0
1 1
2 ·
3 2
.
b )
[ ]
− =( )
− − = =+ −
=
+ − =
+ − +
=
∫
∫
∫
∫
1 11 0 1
0 1
0 1
0 1
0
12 0 1 · 4 12 ·
4 · 3
1 12 4
· 3
3 1 4 · 3
3 3
4 dt t I I
t dt
dt t dt
t t I
I I =
−
=4 12 1 . (*)
[ ]
14 3 4
3 1 1
0
1 · 4 3
1 3
0
4 1
3 ·
3 1
I L L u L du u I u
x
u x
du dx
u x dt
t
I ⇒ = = = − =
= → =
= → = =
= +
⇒
+
=
∫
∫
.Sustituyendo el valor de I1 en la expresión (*):
(
4 3)
124 L L
I = − −