PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO – 2011 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES

JUNIO – 2011 (GENERAL)

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.

OPCIÓN A

1º) a ) Comprobar que si A es una matriz cuadrada tal que A2 =2AI, siendo I la matriz identidad, entonces A es inversible. ¿Cuál es la expresión de A-1?

b ) Utilizar el apartado a ) para calcular la inversa de la matriz

  

 

  

 

− −

− − =

1 4 4

1 1 2

2 4 5

A .

--- a )

(

2

)

. ·

; ; 2

; ; 2

; ;

2 2 2

2

I A I A I A A I A A I A

A = − − =− − = − =

Teniendo en cuenta que, por definición de inversa de una matriz, se cumple que:

I A

A· −1 = , de la última expresión se deduce que A−1 =2IA, que existe para cualquier matriz A de coeficientes reales.

Nota: Falsa sería la demostración siguiente:

− = −

= A I A A A I

A2 2 ;; · 2 Multiplicando por la izquierda por A-1:

(

A I

)

I A A A A I A I A A I A

A A A

A−1· · = −1· 2 − ;; · =2 −1· − −1· ;; =2 − −1 ⇒ −1=2 − .

Aunque se llega a una solución idéntica, se supone de antemano la existencia de la matriz inversa.

b )

(2)

=           + + − − − + + − − − + + − − − − − + + − − − =           − − − −           − − − − = = 1 4 8 4 4 16 4 8 20 1 1 4 4 1 8 4 2 10 2 4 10 8 4 20 8 8 25 1 4 4 1 1 2 2 4 5 · 1 4 4 1 1 2 2 4 5 · 2 A A A

9 8 4

4 3 2

8 8 3

−     =    .           − − − − =           −           − − − − =           −           − − − − = − 3 8 8 2 3 4 4 8 9 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 8 8 2 2 4 4 8 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4 4 1 1 2 2 4 5 · 2

2A I .

En efecto, A2 =2AI , por lo cual será A−1= AI:

(3)

2º) Dados el punto A(1, 3, 0) y el plano π ≡x+2y+z−1=0, determinar las coordenadas del punto A’ simétrico de A con respecto al plano π. Calcular la distancia de A’ al plano π.

---

Un vector normal de π es n =

(

1, 2, 1

)

.

La recta r es la que pasa por el punto P y es perpendicular al plano, por lo tanto su vector di-rector es el vector normal del plano π; su

expre-sión por unas ecuaciones paramétricas es la

si-guiente:

    

= + =

+ = ≡

λ λ λ

z y x

r 3 2

1

.

El punto Q, intersección del plano π con la recta r, tiene que satisfacer las ecua-ciones de ambos, por lo tanto:

(

+

) (

+ +

)

+ = + + + + = + = ⇒ ⇒

      

    

= + =

+ = ≡

= − + + ≡

0 6 6 ; ; 0 1 4

6 1 ; ; 0 1 2

3 2 1

2 3 1

0 1 2

λ λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λ π

z y x r

z y x

(

0, 1, 1

)

1

; ; 0

1= =− ⇒ −

+

⇒ λ λ Q .

Para que A’ sea el punto simétrico de A con respecto a π , tiene que cumplirse que:

(

0, 1, 1

) (

1, 3, 0

) (

, ,

) (

0, 1, 1

)

;; ;

; '

' ⇒ − = − − − = − −

=QA Q A A Q x y z

AQ

(

) (

)

'

(

1, 1, 2

)

2 1

1

1 2

1 1 1

, 1 , 1 , 2 ,

1 ⇒ − − −

    

    

− = → − = +

− = → − = −

− =

+ − =

− −

A

z z

y y

x z

y

x .

La distancia del punto P0

(

x0, y0, z0

)

al plano genérico π ≡ Ax+By+Cz+D=0

vie-ne dada por la fórmula:

(

)

2 2 2

0 0 0 0,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ +

+ + + =

π .

Aplicando la formula al plano π ≡x+2y+z−1=0 y al punto A’(-1, -1, -2) :

(

π

)

( )

( )

6 .

(

', π

)

6 6 1 4 1

3 2 1 1

2 1

1 2 1 · 2 1 · 1 ,

'

2 2

2 unid d A

A

d = = =

+ +

− − − = +

+

− − − + −

= .

π

A(1, 3, 0)

A’(x, y, z) Q

(4)

3º) Considera la función real definida en toda la recta real por

( )

(

2

)

2 2 1 1 3 + − = x x x f .

a ) Calcular f '

( )

x y f ''

( )

x dando los resultados completamente simplificados.

b ) Determinar los máximos y mínimos de la función f(x).

--- a )

( )

(

) (

) (

)

(

)

(

(

)

+

)

(

)

= − − + = + + − − + = 3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 3 · 4 1 · 6 1 2 · 1 · 2 · 1 3 1 · 6 ' x x x x x x x x x x x x f

(

)

(

)

(

(

)

)

f

( )

x

x x x x x x x x x x x ' 1 5 3 2 1 10 6 1 4 12 6 6 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 = + − − = + + − = + + − + = .

( )

(

) (

)

(

(

)

) (

)

= + + − + + + − = 6 2 2 2 2 3 2 2 1 2 · 1 · 3 · 5 3 2 1 · 10 18 '' x x x x x x x x f

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

+

)

= + − = + − + + + − − = + − + + + − = 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 1 10 68 18 1 60 36 10 10 18 18 1 5 3 12 1 · 10 18 x x x x x x x x x x x x x x

(

)

(

)

f

( )

x

x x x '' 1 5 34 9 2 4 2 2 4 = + + − = . b )

Una función tiene un extremo relativo para los valores de x que anulan la primera derivada.

( )

(

(

)

)

0 ;; 2

(

3 5

)

0 ;; 0 ;; 3 5 0 ;; 3 5 ;; 1

5 3 2 0

' 3 2 1 2 2

2 2 = = − = = − − = + − − ⇒

= x x x x x

x x x x f 3 15 ; ; 3 15 3 15 3 5 ; ; 3 5 3 2

2 = =± =± =+ =−

x x

x

x .

Para diferenciar entre máximos y mínimos se recurre a la segunda derivada; si el valor es positivo para los valores que anulan la primera derivada, se trata de un mínimo relativo y, si es negativo se trata de un máximo.

( ) (

( )

)

= = > ⇒

+ + −

= 10 0

1 10 1 0 5 0 0 2 0 '' 4

(5)

( )

(

)

1 :

(

0, 1

)

1

1

1 0

1 0 · 3

0 2

2 2

− = − = +

= Mínimo relativo A

f .

Teniendo en cuenta que f(x) es una función par, por ser f

( ) ( )

x = f x , es simétrica con respecto al eje de ordenadas.

( )

( )

=

+

   

+

=

     

+

   

+

=

   

   

+

       

   

   

+

       

       

= ±

5 3 170 25 · 2

1 3 5

5 3 5 · 34 9 25 · 9 · 2

1 3 5

5 3 5 · 34 3

5 · 9 · 2

'' 4 4

2

2 4

3 5

f

( )

( )

( )

+ < ⇒ −

= +

   

 −

= +

   

= 3 0

80 · 2 3

170 90 · 2 3 170 30 · 2

3 15 ± = x para

Máximos .

( )

= = = ⇒

     

− =

     

+ − =

   

   

+

       

±

       

± = ±

16 9 64

9 · 4

9 64

4

3 8

1 5

1 3 5

1 3 5 · 3

1 3 5

1 3 5 · 3

2 2

2 2

2

3 5

f

    

       

  

16 9 , 3 15 16

9 , 3 15

: B y C

(6)

4º) Dada la función

( )

1

4 3

+ =

x x x

f ,

a ) Calcular F(x) tal que F'

( ) ( )

x = f x para cualquier valor de x.

b ) Calcular la integral

+ =

1

0 4

3 · 1

dx x

x

I .

---

a )

( )

( )

( )

= = =

    

  

= = +

+ =

=

tdt

t dt t

F dt

dt x

t x

dx x

x dx

x f x

F ·

4 1 4

1 1

· 1

· 2

1

4 1 3

4

4 3

( )

x x C F

C t C t C

t + = + = + = + +

+ − =

+ −

1 2

1 2

1

2 1 · 4 1

1 2

1 · 4

1 2 4

1 1

2 1

.

b )

(

)

I

x dx

x x

I = +  = + − + = − = − =

+

=

2 1

2 1 1 2 1 2 2 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 2

1 ·

1

4 4

1

0 4 1

0 4

3

.

(7)

OPCIÓN B

1º) a ) Sin desarrollar el determinante, comprobar que 0 6 5

4 3

2 1

= + +

+ +

+ +

x x

x

x x

x

x x x

.

b ) Determinar el rango del siguiente conjunto de vectores:

(

)

(

)

(

)

{

u = 1, −2, 0, −3, v = −1, 3,1, 4, w = 2,1, 5, −1

}

. ---

a )

Se van a utilizar las siguientes propiedades:

.- Si un determinante tiene dos filas iguales o proporcionales, su valor es cero.

.- Si todos los elementos de una fila o columna se descomponen en dos o más su-mandos, entonces el determinante es igual a la suma de los determinantes que tienen en esa fila o columna el primero y segundo sumandos, respectivamente, y en las de-más los mismos elementos que el determinante inicial.

.- Si los elementos de una línea (fila o columna) se multiplican o dividen por un nú-mero, el valor del determinante queda multiplicado o dividido por dicho número.

= + =

+ + + =

+ + + +

+ + + =

+ +

+ +

+ +

6 5

4 3

2 1

5 3 1

6 5

4 3

2 1

6 5

4 3

2 1

6 4 2

6 5

4 3

2 1

x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

0 0 ·

1 5 1

1 3 1

1 1 1

·

1 5

1 3

1 1

1 5

1 3

1 1

5 5

3 3

1 1

1 5 5

1 3 3

1 1 1

6 5

4 3

2 1

= = =

= +

= + + + =

= x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

b )

El rango del conjunto de vectores dado es igual que el rango de la matriz que deter-minan:

(

)

(

)

(

)

{

}

  

 

  

 

− −

− −

= − =

− = −

− =

1 5 1 2

4 1 3 1

3 0 2 1

1 , 5 , 1 , 2 ,

4 , 1 , 3 , 1 ,

3 , 0 , 2 ,

1 v w Rango

u

Rango .

El rango de la matriz anterior es, por dimensión, < 4 y ≥2 por ser 1 2 ≠0 −

(8)

Vamos a ver si tiene rango 3, para lo cual es necesario que todos los determinan-tes de orden 3 que pueden formarse sean distintos de cero.

{

}

{

}

{

}

2

0 45 45 40 3 45 2

1 5 1

4 1 3

3 0 2

, ,

0 23 23 2 4 18 16 3 3

1 1 2

4 3 1

3 2 1

, ,

0 15 15 10 1 4 15

5 1 2

1 3 1

0 2 1

, ,

4 3 2

4 2 1

3 2 1

=

       

       

 

= − = + + − = − − −

= − = + − + − + − = − −

− −

= − = − − − = −

Rango

C C C

C C C

C C C

.

(

)

(

)

(

)

{

u = 1, −2, 0, −3, v = −1, 3, 1, 4, w = 2, 1, 5, −1

}

=2 Rango

Otra forma diferente de calcular el rango de los vectores es determinando si son o no linealmente independientes.

Es evidente que los vectores u y v son linealmente independientes, por lo cual

el rango del conjunto es mayor e igual que 2.

Si los vectores

{

u =

(

1, −2, 0, −3

)

, v =

(

−1, 3,1, 4

)

, w =

(

2, 1, 5, −1

)

}

son linealmente dependientes tiene que cumplirse que u =α · v +β · w , siendo α, β∈R.

(

)

(

)

(

)

;;

7 1 ; ; 1 7 3 4

0 5

2 3

1 2 1

, 5 , 1 , 2 · 4 , 1 , 3 , 1 · 3 , 0 , 2 ,

1 ⇒ = =

      

− = −

= +

− = +

= + −

− +

− = −

− β β

β α

β α

β α

β α β

α

w v u

7 1 7 5 7

5

5 =− = ⇒ =− +

= β α

α .

Los vectores

{

u =

(

1, −2, 0, −3

)

, v =

(

−1, 3,1, 4

)

, w =

(

2,1, 5, −1

)

}

son linealmente dependientes y su rango es 2, como esperábamos.

(9)

2º) Determinar la ecuación del plano π que pasa por los puntos A(1, 0, 0) y B(0, 2, 0) y

corta al eje OZ en el punto C(0, 0, c) con c > 0 tal que el área del triángulo ABC vale 6 unidades cuadradas.

---

Los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, c) determinan los vectores u = AB y

AC

v = , que son los siguientes:

(

0, 2, 0

) (

− 1, 0, 0

) (

= −1, 2, 0

)

=

− = = AB B A

u .

(

c

) (

) (

c

)

A C AC

v = = − = 0, 0, − 1, 0, 0 = −1, 0, .

Sabiendo que el área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de los dos vectores que lo determinan:

; ; 6 2

2 · 2 1 2

2 · 2 1

0 1

0 2 1 · 2 1 ·

2 1

6 = + + = + + =

− − = ∧

= ci k cj ci cj k

c k j i v

u S

( )

2 2 ;; 2 6 4 4 5 4 ;; 24 5 4 ;; 20 5 ;; 4 ;; ·

2 1

6= c 2+c2+ 2 = c2 +c2 + = c2+ = c2 + = c2 c2 = .

± = ±

= 4 2

c Como tiene que ser c > 0, la solución es c = 2.

Son vectores directores del plano π pedido u =

(

1, 2, 0

)

y v =

(

1, 0, 2

)

.

Conside-rando, por ejemplo, el punto A(1, 0, 0), la ecuación general de π es la siguiente:

(

)

0 ;; 4

(

1

)

2 2 0 ;; 2

(

1

)

0 ;;

2 0 1

0 2 1

1

,

; = − + + = − + + =

− − −

x z y x z y

z y x v u A

π

0 2 2

0 2

(10)

3º) Considere la ecuación x3+λx2 −2x=1 siendo λ una constante mayor que 2. Usando

los teoremas de Bolzano y Rolle, probar que la ecuación admite una única solución no negativa y más pequeña que 1.

---

Se considera la función f

( )

x =x3+λx2−2x−1. Por tratarse de una función polinó-mica es continua y derivable en todo su dominio, que es R, por lo cual, lo será en cual-quier intervalo real que se considere.

El teorema de Bolzano dice que “si una función f es continua en un intervalo ce-rrado [a, b] y en los extremos de éste toma valores de distinto signo, entonces existe al menos un valor c

(

a, b

)

tal que f

( )

c =0”.

Teniendo en cuenta que f

( )

0 =−1<0 y f

( )

1 =1+λ−2−1>0, por ser λ > 2, según el

Teorema de Bolzano, en el intervalo (0, 1) la función f(x) tiene, al menos, una raíz

α

=

x , teniendo que ser 0 < α <1, valor no negativo y menor que 1, y tal que f(α) = 0.

Vamos a demostrar ahora que la raíz es única.

Supongamos que existe otra "d", tal que 0 < α < d < 1. Aplicamos Rolle en (α, d)

Como f(x) es una función continua en el intervalo [α, d] y derivable en (α,d) y se

cum-ple que f(α) = f(d) = 0, existe al menos un punto c de (α,d) que está incluido en (0,1) tal

que f'(c) = 0”.

( ) 2 2 4 2 24 2 2 2 6 2 6

' 3 2 2 0 ;;

6 6 3

f x = x + λx− = x= − λ± λ + = − λ± λ + = − ±λ λ + =

0 3

6 ;

; 0 3

6 2

2 2

1 >

+ + − = <

+ − − =

x λ λ x λ λ .

Tomando las soluciones de f '(x) e igualándolas a cero (puesto que tiene que existir un número c de (α,d) que está incluido en (0,1) tal que f'(c) = 0), tenemos :

2

6 0 3

λ λ

− − + = y 2

6 0 3

λ λ

− − + = , es decir 2

6

λ λ

− = ± + , elevando al cuadrado ambos

miembros tenemos λ2 = λ2 + 6, de donde 0 = 6, es decir tenemos que 0 = 6, lo cual es absurdo. Este absurdo viene de suponer que hay otra solución en el intervalo (0,1).

(11)

4º) Sea

+ =

1

0

· 3

2

dx x

I :

a ) Expresar I aplicando el cambio de variable 2

t x= .

b ) Calcula el valor de I.

---

a )

I dt t t tdt

t t

x

t x

tdt dx

t x t

x dx

x

I =

+ = +

⇒    

   

= → =

= → = =

= → =

+

=

1

0 1

0 2

1

0

· 3 4 2 · 3

2 0

0

1 1

2 ·

3 2

.

b )

[ ]

− =

( )

− − = =

+ −

=

   

 

+ − =

+ − +

=

1 1

1 0 1

0 1

0 1

0 1

0

12 0 1 · 4 12 ·

4 · 3

1 12 4

· 3

3 1 4 · 3

3 3

4 dt t I I

t dt

dt t dt

t t I

I I =

=4 12 1 . (*)

[ ]

1

4 3 4

3 1 1

0

1 · 4 3

1 3

0

4 1

3 ·

3 1

I L L u L du u I u

x

u x

du dx

u x dt

t

I ⇒ = = = − =

  

  

= → =

= → = =

= +

+

=

.

Sustituyendo el valor de I1 en la expresión (*):

(

4 3

)

12

4 L L

I = − −

Figure

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Referencias

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