Parte 2: Triángulos y Teorema de Pitágoras

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(1)

Resuelve triángulos: congruencia, semejanza y

Pitágoras.

Unidad de competencia:

•Aplica las propiedades de la congruencia de

definir y resolver problemas de situaciones teóricas o prácticas.

•Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de la congruencia de triángulos. •Argumenta la pertinencia de la aplicación de los diversos criterios de

teorema de Thales o el teorema de Pitágoras, así como la justificación de los elementos necesarios para su utilidad en la resolución de los problemas de su entorno.

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos median o gráficas.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para pr

5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y co

7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Resuelve triángulos: congruencia, semejanza y Teorema de

Aplica las propiedades de la congruencia de triángulos para proponer, formular, definir y resolver problemas de situaciones teóricas o prácticas.

Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de la congruencia de triángulos. Argumenta la pertinencia de la aplicación de los diversos criterios de semejanza, el teorema de Thales o el teorema de Pitágoras, así como la justificación de los elementos necesarios para su utilidad en la resolución de los problemas de su

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de

8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

a con apertura y considera los de otras personas de manera

(2)

Secuencia didáctica 1.

Congruencia de triángulos.

Actividad: 1

Utiliza regla, compás y transportador para realizar las siguientes construcciones y contesta lo que se te pide.

1. Construye el triángulo PQR proporcionan a continuación.

2.Describe de forma breve y clara, cómo construiste el triángulo anterior.

P Q

R Q

P

Secuencia didáctica 1.

Congruencia de triángulos.

!

!

!

!

Inicio

tiliza regla, compás y transportador para realizar las siguientes construcciones y contesta lo que se te pide.

Construye el triángulo PQR utilizando las longitudes de los segmentos PQ, QR y PR, que se te proporcionan a continuación.

Describe de forma breve y clara, cómo construiste el triángulo anterior. R

tiliza regla, compás y transportador para realizar las siguientes construcciones y

(3)

Actividad: 1 (continuación)

1. Es posible tazar otro triángulo diferente al que construiste, utilizando los mismos segmentos? Justifica tu respuesta.

2. Dibuja un triángulo utilizando las medidas de los lados y el ángulo que se muestra los vértices del triángulo construido D, E, y F.

3. Une los extremos A y C de la figura anterior, compara y describe cómo son las medidas de los triángulos ABC y DEF.

Actividad: 1

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Describe la construcción de triángulos y ángulos congruentes a partir de triángulos y ángulos dados.

Autoevaluación

A

B

triángulo diferente al que construiste, utilizando los mismos segmentos?

Dibuja un triángulo utilizando las medidas de los lados y el ángulo que se muestra en la figura, y nombra a los vértices del triángulo construido D, E, y F.

Une los extremos A y C de la figura anterior, compara y describe cómo son las medidas de los triángulos

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Construcciones. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Describe la construcción de

triángulos y ángulos dados.

Realiza la construcción de triángulos y ángulos congruentes a partir de triángulos y ángulos dados.

Se responsabiliza al traer el material necesario para llevar a cabo la actividad.

Muestra interés y creatividad al realizar la actividad.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

C

triángulo diferente al que construiste, utilizando los mismos segmentos?

en la figura, y nombra a

Une los extremos A y C de la figura anterior, compara y describe cómo son las medidas de los triángulos

Actitudinal ActitudinalActitudinal Actitudinal Se responsabiliza al traer el material necesario para llevar a cabo la actividad.

(4)

#

Desarrollo

En nuestro entorno se encuentran múltiples figuras geométricas en las que es importante establecer la igualdad, por ejemplo, en la producción en serie de piezas para automóviles, aparatos de intervención quirúrgica, equipos electrónicos especializados, entre otros; en los cuales se requiere que las piezas sean exactamente iguales para el buen funcionamiento de las máquinas. Para mayor facilidad en las comparaciones de las piezas, se necesita establecer elementos importantes de las figuras para evitar las mediciones de todos los elementos de éstas, las cuales son producidas en serie.

En particular, los triángulos tienen 6 elementos de medición, como son tres ángulos y tres lados, con sólo medir 3 elementos claves de ellos se puede establecer la igualdad entre dos o más triángulos, de esta manera se ahorra tiempo en el resto de las mediciones entre las figuras.

Para ello se requiere desarrollar el concepto de congruencia y sus criterios, para establecer los elementos clave de la igualdad de triángulos.

.

Definición de triángulos congruentes.

Son aquellos que tienen la misma forma y tamaño, esto es, sus lados y ángulos correspondientes son iguales.

Entonces, cuando se habla de congruencia de dos triángulos, se considera que los triángulos son iguales.

La congruencia se representa mediante el símbolo

.

En los siguientes triángulos se observa la igualdad de medidas entre los elementos correspondientes, por lo que se dice que el triángulo ABC es congruente al triángulo RST y se escribe:

RST

ABC

Los elementos correspondientes en ambos triángulos tienen la misma medida, y se les conoce como homólogos.

En cuanto a la correspondencia de lados:

(5)

La correspondencia entre los ángulos es:

Como se había mencionado anteriormente, sólo se requiere conocer 3 elementos clave para determinar la congruencia de dos triángulos, pero habrá que tener cuidado con los elementos que se eligen, puesto que no todos dan la congruencia entre los triángulos, por ejemplo, los siguientes triángulos poseen tres elementos homólogos y éstos son los ángulos, pero se observa que sus lados no poseen la misma medida, así que los triángulos STR y DEF, no son congruentes.

Para la demostración de congruencia entre dos triángulos, existen tres teoremas básicos, conocidos como criterios de congruencia de triángulos, cada uno de los cuales distingue tres elementos para demostrar la congruencia.

Criterios de congruencia.

1. Criterio Lado-Ángulo-Lado (L.A.L.). Si un triángulo tiene dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, de igual medida a los correspondientes de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

2. Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (A.L.A.). Si un triángulo tiene dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, de igual medida a los correspondientes de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

3. Criterio Lado-Lado-Lado (L.L.L.). Si un triángulo tiene sus tres lados iguales a los correspondientes de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Cuando se establece la igualdad entre elementos homólogos (correspondientes), es conveniente colocar una marca en ambas figuras para poder distinguir el criterio con el cual se establecerá la congruencia entre los triángulos.

Por ejemplo, las marcas en los triángulos ABC y DEF, muestran el criterio de congruencia que establece la igualdad entre ellos, en este caso es L.A.L.

A

” es homólogo a “

S

” “

B

” es homólogo a “

T

” “

C

” es homólogo a “

R

D E

(6)

Actividad: 2

Observa las parejas de triángulos, determina el criterio que establece la congruencia entre ellos y escríbelo en el espacio correspondiente

Actividad: 2 Producto: Complementación de la tabla.

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Reconoce los criterios de

congruencia. Cataloga los criterios de congruencia.

Autoevaluación

P

Q R

3.8

2.4

bserva las parejas de triángulos, determina el criterio que establece la congruencia entre ellos y escríbelo en el espacio correspondiente

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Complementación de la

tabla. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Cataloga los criterios de

congruencia. Realiza la actividad con interés.

C MC NC Calificación otorgada por el

docente

A B

C

3.8

2.4

bserva las parejas de triángulos, determina el criterio que establece la congruencia

ABC

RPQ

Criterio _____________

JKL

MNO

Criterio _____________

ABC

UVW

Criterio _____________

DEF

ABC

(7)

En la actividad anterior, observaste los criterios de congruencia entre los triángulos, conocidos los tres elementos claves; el problema se presenta cuando los elementos no se conocen de forma explícita, en este caso, se requiere de otro tipo de datos que proporcione información de los elementos, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.

Demostrar que el triángulo I y el triángulo II son congruentes.

Demostración:

1. Se coloca la primera marca en el segmento EF y DF, puesto que son congruentes debido a que el triángulo DEF es isósceles, esto se escribe:

DF

EF≅ por ser

DEF

isósceles

2. Se coloca la segunda marca en los segmentos EA y DA, dado que son congruentes por que el triángulo DAE es isósceles.

DA

EA ≅ por ser

DAE

es isósceles

3. Y la última marca se coloca en el segmento FA puesto que pertenece a los dos triángulos, se dice que es lado común.

Las marcas en los triángulos indican que el criterio de congruencia con el que cumplen es el de lado-lado-lado, por lo tanto se dice:

II

I

por el criterio L.L.L.

Ejemplo 2.

Demostrar que el triángulo I y el triángulo II son congruentes.

I

II

Datos:

DEF

es isósceles

DAE

es isósceles

I

II

Datos:

E es punto medio

AD

y

BC

(8)

Demostración: 1.

por ser E punto medio del segmento AD, por lo tanto:

2.

EC, por ser E punto medio del segmento BC, por lo tanto:

3. vértice.

Observando las marcas en los triángulos I y II, se concluye que son congruentes por el criterio L.A.L.

Antes de realizar ejercicios de congruencia, debes recordar algunos conceptos de las rectas y puntos notables del triángulo que abordaste en las clases de matemáticas de secundaria, para ello, realiza la siguiente actividad.

I

II

Actividad: 3

Realiza las siguientes actividades en binas y reporta los resultados de forma individual en los espacios correspondientes.

I. Investiguen en sitios de Internet o en libros las rectas notables del triángulo:

Bisectriz.:

Mediatriz.:

Altura:

Mediana:

Demostración:

Colocar la primera marca de congruencia en los segmentos AE y ED, por ser E punto medio del segmento AD, por lo tanto:

ED AE ≅

Colocar la segunda marca de congruencia en los segmentos BE y EC, por ser E punto medio del segmento BC, por lo tanto:

EC BE ≅

Se coloca la última marca en el

AEB

y

CED

, por ser opuestos al vértice.

CED

AEB

Observando las marcas en los triángulos I y II, se concluye que son congruentes por el criterio L.A.L.

izar ejercicios de congruencia, debes recordar algunos conceptos de las rectas y puntos notables del triángulo que abordaste en las clases de matemáticas de secundaria, para ello, realiza la siguiente actividad.

siguientes actividades en binas y reporta los resultados de forma individual en los espacios correspondientes.

Investiguen en sitios de Internet o en libros las rectas notables del triángulo:

de congruencia en los segmentos AE y ED,

Colocar la segunda marca de congruencia en los segmentos BE y

, por ser opuestos al

Observando las marcas en los triángulos I y II, se concluye que son congruentes por el criterio L.A.L.

izar ejercicios de congruencia, debes recordar algunos conceptos de las rectas y puntos notables del triángulo que abordaste en las clases de matemáticas de secundaria, para ello, realiza la siguiente actividad.

(9)

Actividad: 3 (continuación)

II. En un triángulo, tracen las tres bisectrices e investiguen cómo se llama el punto donde se intersectan.

III. En un triángulo, tracen las tres alturas e investiguen cómo se llama el punto donde se intersectan.

(10)

Actividad: 3 Producto: Investigación

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Ubica las rectas notables en

triángulos. Construye las rectas notables en triángulos.

Coevaluación

Actividad: 3 (continuación)

IV. En un triángulo, tracen las tres medianas e investiguen cómo se llama el punto donde se intersectan.

V. En un triángulo, tracen las tres mediatrices e investiguen cómo se llama el punto donde se intersectan.

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Investigación Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Construye las rectas notables en

triángulos. Posee una actitud positiva en el desarrollo de la actividad.

Respeta a su compañero en proceso de comunicación.

C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Actividad: 3 (continuación)

En un triángulo, tracen las tres medianas e investiguen cómo se llama el punto donde se

En un triángulo, tracen las tres mediatrices e investiguen cómo se llama el punto donde se intersectan.

Posee una actitud positiva en

Respeta a su compañero en el

En un triángulo, tracen las tres medianas e investiguen cómo se llama el punto donde se

(11)

Actividad: 4

Demostrar que ∆∆∆∆I ≅ ∆∆∆∆II en cada una de las siguientes figuras.

Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes

Elementos congruentes Elementos congruentesElementos congruentes Elementos congruentes

I

II

I II

II en cada una de las siguientes figuras.

Demostración DemostraciónDemostración Demostración

Justificación JustificaciónJustificación Justificación

Demostración DemostraciónDemostración Demostración Justificación Justificación Justificación

Justificación CriterioCriterioCriterioCriterio Datos:

El polígono conformado por los puntos ABCD es paralelogramo.

Datos: AC AD≅

CE DF≅

B es punto medio de

DC

Criterio Criterio Criterio Criterio

(12)

Actividad: 4 (continuación)

Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes

I II

I II

Actividad: 4 (continuación)

Demostración Demostración Demostración Demostración Justificación JustificaciónJustificación

Justificación CriterioCriterioCriterioCriterio

Demostración Demostración Demostración Demostración Justificación Justificación Justificación

Justificación CriterioCriterioCriterioCriterio Datos:

DBC

es isósceles

DE

es bisectriz del

ADC

CF

es bisectriz del

ACD

Datos: RT RS≅

RU

es mediana del triángulo RST

(13)

Actividad: 4 (continuación)

Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes Elementos congruentes

Actividad: 4

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Identifica los criterios de congruencia de triángulos.

Autoevaluación

I

II

Demostración Demostración Demostración Demostración Justificación Justificación Justificación Justificación

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Complementación de la

tabla. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica los criterios de

congruencia de triángulos. Demuestra la congruencia entre triángulos. Expresa su interés al realizar la actividad.

Pregunta las dudas que le surjan referentes a las demostraciones.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Datos:

DGE

AFE

E es punto medio de

Criterio Criterio Criterio Criterio

Actitudinal ActitudinalActitudinal Actitudinal Expresa su interés al realizar

Pregunta las dudas que le surjan referentes a las demostraciones.

(14)

Actividad: 5

Calcula el valor de las incógnitas si

1 x

4 −

7

y 3

I II

I

A B

C 3

x

4 −

y 3

$

Cierre

alcula el valor de las incógnitas si ∆∆∆∆I ≅ ∆∆∆∆II en cada una de las figuras.

II

D E

9 x

2 +

4 y

(15)

Actividad: 5

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Identifica los elementos congruentes en triángulos congruentes.

Autoevaluación

Sitios Web recomendados:

En el siguiente sitio encontrarás m

congruencia de triángulos, para que puedas practicar tus conocimientos sobre el

http://www.scribd.com/doc/9385501/congruenciatriangulos

Actividad: 5 (continuación)

I

5 x

3 −

8

A B

C

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Ejercicios Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal

congruentes en triángulos

Aplica la congruencia de triángulos para encontrar las incógnitas.

Aprecia la utilidad de la congruencia de triángulos en la búsqueda del valor de las incógnitas.

Admite la necesidad de manejar el álgebra de forma eficiente en la búsqueda del valor de las incógnit

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados:

En el siguiente sitio encontrarás más ejercicios sobre congruencia de triángulos, para que puedas practicar tus conocimientos sobre el tema.

http://www.scribd.com/doc/9385501/congruenciatriangulos

II

10

6 y 2 −

D E

Actitudinal ActitudinalActitudinal Actitudinal Aprecia la utilidad de la congruencia de triángulos en la búsqueda del valor de las

(16)

Secuencia didáctica 2.

Triángulos semejantes.

Actividad: 1

Contesta las siguientes preguntas.

1. Cuando se habla de que dos figuras son semejantes, ¿Cómo las describirías?

2. Dibuja dos triángulos semejantes.

3. Describe el procedimiento que conoces para encontrar la altura del edificio, siguiendo los datos que se encuentran en la figura. Los rayos del sol provocan que la sombra del árbol, que es de 6 m y la del edificio, que mide 10 m, coincidan en la punta; además, el árbol tiene una altura de 5 m.

Secuencia didáctica 2.

Triángulos semejantes.

!

!

!

!

Inicio

siguientes preguntas.

Cuando se habla de que dos figuras son semejantes, ¿Cómo las describirías?

Describe el procedimiento que conoces para encontrar la altura del edificio, siguiendo los datos que se encuentran en la figura. Los rayos del sol provocan que la sombra del árbol, que es de 6 m y la del edificio, que mide 10 m, coincidan en la punta; además, el árbol tiene una altura de 5 m.

(17)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Conceptual

Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal

Reconoce figuras semejantes. Dibuja figuras semejantes. Aprecia los conocimientos

previos sobre figuras semejantes.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Actividad: 1 (continuación)

4. ¿Cuál es el valor de “x” que satisface la siguiente ecuación?

3 1 x 2 6

4

x −

= +

5. Describe lo que conoces del Teorema de Thales.

(18)

#

Desarrollo

Hablar de semejanza en la vida cotidiana tiene connotaciones muy amplias, por lo general cuando se usa el término semejanza entre dos personas u objetos, es para establecer algún parecido entre ambos, ya sea de forma, de color, de tamaño e incluso se habla de semejanza cuando, en realidad hay igualdad, por ejemplo.

1. El color de cabello de Lucía es semejante al color de Ana. 2. El plano de una casa es semejante a la misma.

3. La torre que se encuentra en el hotel París en las Vegas es semejante a la torre Eiffel en París.

4. Los gemelos Santiago y Sebastián son tan semejantes que es difícil distinguirlos.

La semejanza en este sentido, hace referencia a características que poseen las personas u objetos implicados.

En matemáticas, el término semejanza está íntimamente ligado al concepto de proporcionalidad. Dos objetos son semejantes cuando sus elementos guardan una proporción. Por ejemplo.

1. Cuando se desea hacer una maqueta de algún edificio, las medidas en ésta son proporcionales a las del objeto real, de tal manera que los espacios diseñados en la maqueta guardan una correspondencia real de los espacios del edificio, se dice que la maqueta es semejante al edificio. 2. Cuando una persona solicita la ampliación de una fotografía, la ampliación guarda una

proporcionalidad con la foto original, por ello, ambas son semejantes.

Así como estos ejemplos, se podrían encontrar más, tanto en el entorno como en la aplicación de las matemáticas.

En la asignatura anterior, se abordaron temas como razón y proporción, los cuales serán de suma importancia para desarrollar el siguiente tema de esta secuencia.

Se entiende por Razón, la comparación de dos cantidades por división w, y Proporción es la igualdad de dos razones, de tal manera que si se hace la comparación de dos triángulos que tienen sus lados proporcionales, la relación se daría de la siguiente forma.

A B

C

b=3 a=5

c=4

A’ B’

C’

b’=6

a’=10

(19)

Los lados de dos triángulos son homólogos si son opuestos a ángulos iguales, como es el caso de a y a’, b y b’, c y c’.

En los triángulos se observa que al dividir los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 1/2, al valor obtenido se le conoce como razón y cuando ésta es igual en cada uno de los lados correspondientes, entonces se dice que los lados son proporcionales.

2 1 10

5 a

a

= = ′

2 1 6 3 b

b = = ′

2 1 8 4 c

c = = ′

Definición de semejanza de triángulos.

Dos triángulos son semejantes si tienen todos sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Criterios de semejanza.

1. Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, entonces son semejantes. 2. Si dos triángulos tienen tres lados correspondientes proporcionales, son triángulos semejantes. 3. Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales, son semejantes.

A B

C

b=3

a=5

c=4 36.87º 53.13º

B’ A’

C’

b’=6

a’=10

c’=8

36.87º 53.13º

Sitios Web recomendados:

En el siguiente sitio encontrarás ejercicios interesantes sobre semejanza de triángulos.

(20)

Actividad: 2 Producto: Trazos.

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Identifica los criterios de

semejanza de triángulos. Distingue los criterios de semejanza de triángulos.

Traza triángulos semejantes de acuerdo a los criterios de semejanza.

Autoevaluación

Actividad: 2

Para cada uno de los criterios de semejanza anteriores, dibuja dos triángulos en los que visualices que se cumplan los criterios, y anota en

elementos.

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Trazos. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Distingue los criterios de

semejanza de triángulos.

Traza triángulos semejantes de acuerdo a los criterios de semejanza.

Realiza la actividad con apertura e interés.

C MC NC Calificación otorgada por el

docente

(21)

Teoremas relativos a triángulos semejantes.

1. Si dos triángulos tienen sus lados homólogos paralelos entre sí, entonces son semejantes.

2. Si dos triángulos tienen sus lados homólogos perpendiculares entre sí, entonces son semejantes.

Por todo lo anterior, la proporcionalidad entre los lados homólogos de dos triángulos semejantes se expresa de la siguiente forma.

′ = ′ =

′ c

c b b a a

Se pueden establecer varias combinaciones de proporcionalidad, siempre y cuando se respete el sentido de la comparación. A continuación se presenta un ejemplo en el cual se contemplen varias combinaciones.

B′

A′

C′

c′

a′

b′

C B

A

c

a b

M N

O

M′

N′

O′

C E

D

C′

E′

(22)

Triángulos semejantes Proporción Comprobación

Proporción entre los lados homólogos

′ = ′ b b a a 3 3 2 6 4 12 = = ′ = ′ c c b b 3 3 3 9 2 6 = = ′ = ′ c c a a 3 3 3 9 4 12 = =

Proporción entre los lados del triángulo

′ ′ = b a b a 2 2 2 4 6 12 = = ′ ′ = c a c a 3 4 3 4 3 4 9 12 = = ′ ′ = b c b c 2 3 2 3 2 3 6 9 = =

Error de asignación de proporcionalidad por invertir el sentido de una de las razones

b b a a ′ = ′ 3 1 3 ? 6 2 4 12 ¿ ≠ =

Se pueden realizar más combinaciones cambiando los numeradores por los denominadores en cada una de las proporciones.

Cuando dos triángulos son semejantes se puede encontrar un lado desconocido, si se conoce su lado homólogo y otros dos lados homólogos restantes.

Ejemplo 1.

Encontrar el valor de la variable x, la cual representa la longitud del segmento ED.

Primero se debe establecer si los triángulos son semejantes, para poder determinar la proporción entre los triángulos.

1. Las flechas en los triángulos determinan que

AB

y

CD

son paralelos, por lo tanto, ∠ABE=∠ECDpor ser alternos internos.

2. De igual forma, ∠BAE=∠EDCpor ser alternos internos.

3. ∠AEB=∠CEDpor ser opuestos por el vértice.

Ya establecida la igualdad de ángulos entre los dos triángulos, se puede decir que son semejantes, y por ende, llevar a cabo la proporción entre los lados.

A′ B′

C′

a′=4

c′=3

b′=2

A B

C

a=12

c=9 b=6

(23)

Si se acomodan los triángulos de tal manera que se visualice mejor la correspondencia entre los lados, se podrá expresar de forma más clara la proporcionalidad de los lados.

x 10 3 8

=

Se obtiene una ecuación de primer grado la cual se resuelve de la siguiente forma

( )( ) ( )( )

75 . 3 x

8 30 x

3 10 8 x

x 10 3 8

= = = =

La longitud de

DE

es 3.75. El ejercicio no plantea las unidades porque es un ejercicio de práctica, las unidades se harán indispensables en los problemas de aplicación.

Ejemplo 2.

Para obtener la altura (h) del triángulo rectángulo definido por los puntos ABC, se establece la semejanza entre los triángulos.

A

B

E

E

D

C

x 8

10

3

Recuerda los despejes de ecuaciones lineales de la asignatura de

Matemáticas 1, revisa los temas de tu módulo anterior para que no tengas dificultades en los despejes que empezarás a manejar a partir de éste bloque.

4 3

(24)

B C

A

5

4 3

C D

A

h 3 h

B D

C

4

En la figura existen tres triángulos semejantes, para descubrirlos se debe establecer la igualdad entre los ángulos, para facilitar el análisis se le asignarán números a los ángulos.

1.

CD

determina la altura y es perpendicular a

AB

, por lo cual, se obtienen dos triángulos rectángulos: ∆ACD y BCD

∆ .

2. ∠ACDes complemento del ∠BCD (suman 90º), así como el ∠DBCes complementario del ∠BCD, por lo tanto: DBC

ACD=∠ ∠

3. Por lo anterior se deduce que ∠DAC=∠DCB

Los triángulos por separado se visualizan de la siguiente forma:

Observando los triángulos, para obtener la altura se pueden relacionar el primero y segundo triángulo, o el primero y tercer triángulo, debido a que hay información entre los lados homólogos.

Para resolver el problema se elegirán los dos primeros triángulos.

( )( ) ( )( )

4 . 2 h

5 12 h

4 3 h 5

h 3 4 5

= = = =

(25)

Actividad: 3 Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Reconoce las proporciones.

Autoevaluación

Actividad: 3

Encuentra el valor de la variable en cada una de las siguientes

1. 5 7 10 x = 2. 7 12 x 5 8 = 3. 4 5 x 5 2 x − = + 4. 2 y 2 3 3 y 2 = − Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Reconoce las proporciones. Realiza despejes de variables en

proporciones. Aprecia sus conocimientos del álgebra para encontrar variables en proporciones.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

ncuentra el valor de la variable en cada una de las siguientes proporciones.

(26)

Actividad: 4

Encuentra el valor de la variable en cada uno de los siguientes ejercicios. Primero verifica si son triángulos semejantes para que procedas a establecer las proporciones entre los lados homólogos y así poder resolverlos.

1)

2)

3)

(27)

Actividad: 4

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Identifica triángulos semejantes.

Autoevaluación

5)

6)

7)

Actividad: 4 (continuación)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica triángulos semejantes. Aplica las proporciones de

triángulos semejantes para encontrar el valor de la incógnita.

Acepta la semejanza de triángulos para encontrar el valor de la incógnita.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

DE // AC

(28)

Existe también un teorema que se aplica a la solución de triángulos semejantes, sólo que la información que posean éstos está restringida a cumplir ciertas características. Para poder visualizar lo antes dicho se enunciará y explicará el Teorema de Thales.

Teorema de Thales.

Teorema de Thales. Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales.

Esto es, los segmentos determinados por las letras a, b, c y d, guardan una relación de proporción y se pueden dar las siguientes combinaciones:

d c b a

=

b a d c

=

c d a b

=

a b c d

=

d b c a

=

c a d b

=

a c b d

=

b d a c

=

Ejemplo 1.

En la siguiente figura se puede determinar el valor de la variable, porque cumple con el Teorema de Thales, debido a que se conoce la longitud de los segmentos determinados por las transversales, y además, la incógnita es la longitud de una de las transversales, por lo que se puede establecer la relación de proporcionalidad entre ellas.

6 4 9 x

=

Realizando las operaciones necesarias se obtiene que:

( )( )

6

6 9 4 x= =

Por lo que la longitud de

FD

=

6

Algunos triángulos se pueden resolver por el Teorema de Thales,

sólo hay que verificar que la información sea la adecuada, como se muestra en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2.

El siguiente triángulo sí cumple con el Teorema de Thales, debido a que la información está en las transversales y no en las paralelas.

14 12 28

x =

( )( )

14

28 12 x=

(29)

Ejemplo 3.

En el siguiente triángulo no se puede utilizar el

de la información está en las paralelas, en tal situación, se requerirá resolverlo por semejanza.

Actividad: 5

Encuentra el valor de la incógnita en cada una de las siguientes figuras.

1)

2)

En el siguiente triángulo no se puede utilizar el Teorema de Thales, debido a que parte de la información está en las paralelas, en tal situación, se requerirá resolverlo por

ncuentra el valor de la incógnita en cada una de las siguientes figuras.

DE // AC

Thales de Mileto Thales de Mileto Thales de Mileto Thales de Mileto

(640 – 560 A C) Se le atribuyen los cinco teoremas de la Geometría Elemental. Como astrónomo, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor; se cree que descubrió la Osa Menor y

creía que el año tenía 365 días, entre otros descubrimientos

(30)

Actividad: 5 Producto: Ejercicio.

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Identifica las características del teorema de Thales.

Aplica el teorema de Thales.

Autoevaluación

Actividad: 5 (continuación)

3)

4)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Ejercicio. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal

Aplica el teorema de Thales. Aprecia la facilidad del uso del teorema de Thales en la búsqueda del valor de la incógnita.

C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Actividad: 5 (continuación)

(31)

Aplicación de triángulos semejantes.

En la aplicación de triángulos semejantes las unidades son importantes, enl caso de tener diferentes unidades, primero se debe hacer la conversión antes de realizar la proporcionalidad.

Ejemplo 1.

Gustavo salió a la plaza cívica del plantel donde estudia y sus compañeros midieron al mismo tiempo su sombra y la del asta bandera, las cuales fueron 96 cm y 2.56 m respectivamente, como se muestra en la figura, con esas medidas y la estatura de Gustavo, que es de 1.60 m, pretenden calcular la altura del asta bandera.

Como las medidas de las sombras se tomaron en el mismo momento, los rayos del sol tienen la misma inclinación y los triángulos formados son rectángulos, por lo tanto son semejantes y se puede establecer la proporcionalidad siempre y cuando la sombra de Gustavo sea cambiada a metros.

(

)(

)

m 27 . 4 h

m 96 . 0

m 60 . 1 m 56 . 2 h

m 96 . 0

m 56 . 2 m 60 . 1

h

= =

=

96 cm = 0.96 m 2.56 m

1.60 m h

Sitios Web recomendados:

En los siguientes sitios encontrarás más información sobre el Teorema de Thales y semejanza de triángulos.

http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1224

(32)

La altura del asta bandera es 4.27 metros.

Ejemplo 2.

Susana quiere calcular la altura de su casa utilizando un espejo, el proceso que utilizó fue el siguiente:

Susana está al pie de su casa y empieza a retirarse de ella, coloca el espejo en el piso cuando se encuentra a una distancia de 4.5 m, después se aleja del espejo siempre con la mirada fija en él, se detiene cuando ve por el espejo el punto más alto de la casa, hace una marca en el piso y mide la distancia del espejo a la marca, la cual fue de 1 m, procede a medir la distancia del piso a sus ojos la cual es de 1.25m y así poder dibujar en su cuaderno los triángulos formados y resolver su problema.

Ella establece la proporción entre los lados homólogos, la cual se expresa de la siguiente forma:

m 1

m 5 . 4 m 25 . 1

x

=

Y al despejar la ecuación anterior se obtiene la altura de la casa.

(

)(

)

m 75 . 5 x

m 1

m 25 . 1 m 5 . 4 x

= =

Susana encuentra que la altura de su casa es de 5.75 m. 4.5 m

1 m 1.25 m

4.5 m 1 m

1.25 m

(33)

$

Cierre

Actividad: 6

Traza el dibujo en los problemas que lo requieran, visualiza en él los triángulos semejantes y determina la proporción que te llevará a calcular lo que se te pide en cada uno.

1) La altura de un alumno de segundo semestre es de 1.86 m y la sombra que proyecta tiene una longitud de 95 cm; en ese mismo instante, un poste de luz eléctrica proyecta una sombra de 3.25 m. Encuentra la altura del poste.

2) Cristina desea medir la altura a la que se encuentra un anuncio de una tienda departamental, para ello recurre a la técnica del espejo. Ella coloca el espejo a 8.25 m del pie de la base que sostiene el anuncio y se retira 1.82 m, a esa distancia ella observa el anuncio por el espejo. Si sus ojos están a una altura de 1.46 m, ¿cuál es la altura del anuncio?

(34)

Actividad: 6 Producto: Problemas de aplicación.

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual

Identifica triángulos semejantes. Aplica las proporciones de triángulos semejantes para resolver problemas cotidianos.

Autoevaluación

Actividad: 6 (continuación)

4) Para medir lo ancho de un río un hombr es perpendicular a

BD

y a

la anchura del río.

5) Un poste vertical de 7 pies se halla próximo a un árbol, también Considerando el mismo instante resuelve lo siguiente

a) Hallar la altura del árbol si su sombra midiera b) Hallar la sombra del árbol si su altura fuera

6) En una mesa se coloca una linterna y frente a ella, a 1.25 m de distancia, se encuentra un objeto de 57 cm de altura. Si la linterna está a 5.15 m de una pared donde se proyecta la imagen del objeto, ¿cuál es la altura de la imagen proyectada?

A

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación Producto: Problemas de

aplicación. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Aplica las proporciones de

triángulos semejantes para resolver problemas cotidianos.

Aprecia el uso de triángulos semejantes en la solución de problemas cotidianos.

C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Actividad: 6 (continuación)

Para medir lo ancho de un río un hombre tomó las medidas como se indican en la y a

CE

, si

BD

mide 5.25 m,

CE

mide 8.15 m y

BC

mide 2 m.

se halla próximo a un árbol, también vertical y arroja una sombra de 6 pies. Considerando el mismo instante resuelve lo siguiente:

tura del árbol si su sombra midiera 36 pies. sombra del árbol si su altura fuera de 77 pies.

En una mesa se coloca una linterna y frente a ella, a 1.25 m de distancia, se encuentra un objeto de 57 cm de de una pared donde se proyecta la imagen del objeto, ¿cuál es la altura de

D

B

C

E

Aprecia el uso de triángulos semejantes en la solución de

como se indican en la figura.

AC

mide 2 m. Calcular

arroja una sombra de 6 pies.

(35)

Secuencia didáctica 3.

Teorema de Pitágoras.

!

!

!

!

Inicio

A

B C

Actividad: 1

Responde correctamente los siguientes reactivos.

1.Enuncia el Teorema de Pitágoras.

2.¿Para qué tipo de triángulos se aplica el Teorema de Pitágoras?

(36)

Actividad: 1 Producto: Cuestionario.

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Identifica el Teorema de Pitágoras.

Aplica el

Autoevaluación

Actividad: 1 (continuación)

4. Encuentra el valor de la variable del siguiente

L

M N

5

3 x

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Cuestionario. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Aplica el Teorema de Pitágoras. Admite la importancia de los

conocimientos previos referentes al Teorema de Pitágoras desarrollado en secundaria.

C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Actividad: 1 (continuación)

4. Encuentra el valor de la variable del siguiente triángulo

(37)

Pitágoras de Samos Pitágoras de Samos Pitágoras de Samos Pitágoras de Samos

(580 – 500 A C) Fue un metafísico, moral, religioso y científico. El saber geométrico de los pitagóricos

estaba en la geometría elemental.

.

#

Desarrollo

Uno de los teoremas más importantes en la Geometría es el Teorema de Pitágoras, el cual tiene múltiples aplicaciones en otras áreas como la física, la arquitectura y la ingeniería, entre otras.

Teorema de Pitágoras.

Antes de enunciar el teorema es necesario aclarar que este teorema sólo se aplica a triángulos rectángulos y, para comprenderlo bien, debes tener identificados cada uno de sus lados.

Al lado opuesto del ángulo recto se le llama hipotenusa y los lados que forman al ángulo recto se les conoce como catetos.

Teorema: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Para llevar a cabo la demostración, se recurrirá a triángulos semejantes, como se muestra a continuación.

Se tiene que demostrar que AB2 =AC2 +BC2 y para ello, se traza la altura del triángulo que parte del vértice C hacia la

hipotenusa.

A

(38)

B C A C D A B C A B D C

Para visualizar mejor la semejanza entre los triángulos se acomodan y se obtienen las proporciones de los lados homólogos. BC BD AB BC = AC AD AB AC =

Tomando las dos proporciones se realizan las siguientes operaciones.

( )( ) ( )( )

( )( )

BD AB BC AB BD BC BC BC BD AB BC 2 = = =

( )( ) ( )( )

( )( )

AD AB AC AB AD AC AC AC AD AB AC = = = 2

Al sumar las dos ecuaciones que quedaron del desarrollo algebraico anterior se obtiene:

(39)

Entonces queda demostrado que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

A continuación se explicará la forma en la que se aplica el Teorema de Pitágoras en la búsqueda de los lados de triángulos rectángulos.

Un triángulo rectángulo muy conocido es:

En este caso se puede comprobar de forma más directa el teorema.

2 2

2 cateto cateto hipotenusa = +

25 25

9 16 25

3 4 5

c a b

2 2 2

2 2 2

= + =

+ =

+ =

(40)

Ejemplo 1.

Encontrar la hipotenusa en el siguiente triángulo.

2 2

2 cateto cateto hipotenusa = +

03 . 18 s 325 s 325 s 225 100 s 15 10 s r t s 2 2 2 2 2 2 2 2 ≈ = = + = + = + = Ejemplo 2.

Encontrar el valor de la incógnita en el siguiente triángulo.

2 2

2 cateto cateto hipotenusa = +

(41)

Actividad: 2

Encuentra el valor del lado faltante en cada uno de los siguientes triángulos.

1)

2)

3)

4)

5)

(42)

Actividad: 2 Producto: Ejercicios.

Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Reconoce los elementos del

triángulo rectángulo. Aplica el para encontrar el lado faltante en un triángulo

Autoevaluación

Actividad: 2 (continuación)

6)

7)

8)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Aplica el Teorema de Pitágoras

para encontrar el lado faltante en un triángulo rectángulo.

Acepta al Teorema de Pitágoras como base de la solución de triángulos rectángulos.

C MC NC Calificación otorgada por el

docente

(43)

Aplicación del teorema de Pitágoras.

Como se había mencionado anteriormente, el Teorema de Pitágoras es sumamente importante en algunas ramas, sobre todo en la construcción. A continuación se ejemplificarán algunas de sus aplicaciones.

Ejemplo 1.

Calcular la altura de un anuncio, si la escalera para llegar a él mide 10 m y el pie de ésta se encuentra apoyado a 3 m del muro donde está el anuncio.

Tomando la información del triángulo rectángulo que se forma al colocar la escalera en la pared y utilizando el Teorema de Pitágoras, se puede encontrar la altura del anuncio.

2 2

2 cateto cateto hipotenusa = +

53 . 9 h h 91 h 91 h 9 100 9 h 100 3 h 10 2 2 2 2 2 2 ≈ = = = − + = + =

La altura del anuncio es de aproximadamente 9.53 m.

Ejemplo 2.

Un búho se encuentra en la parte más alta de un árbol que mide 8.5 m, éste observa un ratón fuera de su madriguera a una distancia de 13.5 m del pie del árbol, ¿qué distancia tiene que recorrer el búho para cazar al ratón?

2 2

2 cateto cateto hipotenusa = +

95 . 15 d 5 . 254 d 5 . 254 d 25 . 182 25 . 72 d 5 . 13 5 . 8 d 2 2 2 2 2 ≈ = = + = + =

El búho tiene que recorrer aproximadamente 15.95 m para poder cazar al ratón.

10 m

3 m h

13.5 m

(44)

Actividad: 3

En equipo de tres personas resuelvan los siguientes problemas, utilizando el Teorema de Pitágoras.

1. La altura de un árbol es 20.45m y la sombra que proyecta es 13.6m. ¿qué distancia hay de la punta del árbol a la punta de la sombra?

2. Considera un triángulo equilátero de 10 cm de lado, y encuentra su altura y su área.

3. Calcula el área de un triángulo isósceles rectángulo, si la hipotenusa mide 2

4. Un cono tiene 10.3 cm de radio y 28.4 cm de altura. ¿cuál es la longitud de su lado?

5. En un triángulo isósceles el lado desigual es la base y mide 8 cm mide la altura?, ¿cuál es su área?

n equipo de tres personas resuelvan los siguientes problemas, utilizando el Teorema de

altura de un árbol es 20.45m y la sombra que proyecta es 13.6m. ¿qué distancia hay de la punta del árbol

ngulo equilátero de 10 cm de lado, y encuentra su altura y su área.

triángulo isósceles rectángulo, si la hipotenusa mide 2

5

.

Un cono tiene 10.3 cm de radio y 28.4 cm de altura. ¿cuál es la longitud de su lado?

En un triángulo isósceles el lado desigual es la base y mide 8 cm, y los lados iguales miden 12 cm. ¿cuánto n equipo de tres personas resuelvan los siguientes problemas, utilizando el Teorema de

altura de un árbol es 20.45m y la sombra que proyecta es 13.6m. ¿qué distancia hay de la punta del árbol

(45)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 3 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:

Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual

Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinal ActitudinalActitudinal Identifica los elementos del

triángulo rectángulo en problemas cotidianos.

Aplica el Teorema de Pitágoras en la solución de problemas cotidianos.

Aprecia la utilidad del Teorema de Pitágoras en la solución de problemas cotidianos.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Actividad: 3 (continuación)

6. Por una puerta de 85 cm de ancho y 120 cm de largo, se necesita pasar un espejo cuadrado de 2 m de lado, ¿será posible pasar el espejo sin quebrarlo?

7. Si el lado de un hexágono rectangular mide 12 cm, ¿cuánto mide su apotema?

8. Un terreno rectangular mide 4825 m de largo y 3216 m de ancho y tiene en el centro una colina, por lo que se dificulta medir la diagonal del terreno. Encontrar la medida de la diagonal.

9. Para sostener la torre de una antena de comunicaciones de 65 m de altura y darle mayor estabilidad, se requiere la colocación de tirantes de 115 m de longitud, desde el suelo a la parte más alta de la torre, ¿a qué distancia del pie de la torre se deben anclar los tirantes?

(46)

Actividad: 4

En equipo realicen la siguiente práctica.

1. Elijan una torre de comunicaciones de su pasos que se les indican a continuación: a) Utilizando la técnica del espejo encuentren

b) Realiza las mediciones necesarias para que calculen la longitud del tirante por medio del Teorema de Pitágoras.

c) Dibuja en el siguiente espacio los pasos

d) Al final del espacio escribe la dirección en la que se encuentra ubicada la torre.

2. Elijan el edificio más alto de su localidad y realicen los siguientes pasos: a) Utilizando la técnica de la sombra,

b) Uno de los integrantes del equipo se colocará a 7 m del edificio, calculen la distancia que hay entre el punto más alto del edificio y la cabeza de su compañero.

c) Tracen los dibujos y escriban el procedimiento para encontrar

d) Al final del espacio escribe la dirección en la que se encuentra ubicada la torre.

$

Cierre

equipo realicen la siguiente práctica.

aciones de su localidad que esté estabilizada por medio de tirantes ón:

écnica del espejo encuentren la altura de uno de los tirantes.

Realiza las mediciones necesarias para que calculen la longitud del tirante por medio del Teorema de

Dibuja en el siguiente espacio los pasos anteriores y los cálculos realizados. Al final del espacio escribe la dirección en la que se encuentra ubicada la torre.

Elijan el edificio más alto de su localidad y realicen los siguientes pasos: Utilizando la técnica de la sombra, calculen la altura del edificio.

Uno de los integrantes del equipo se colocará a 7 m del edificio, calculen la distancia que hay entre el punto más alto del edificio y la cabeza de su compañero.

Tracen los dibujos y escriban el procedimiento para encontrar las cantidades. Al final del espacio escribe la dirección en la que se encuentra ubicada la torre.

por medio de tirantes, y sigan los

Realiza las mediciones necesarias para que calculen la longitud del tirante por medio del Teorema de

(47)

Actividad: 4 Conceptual Conceptual Conceptual Conceptual Reconoce las técnicas del espejo y la sombra para visualizar triángulos rectángulos semejantes.

Identifica el Teorema de Pitágoras.

Coevaluación

Actividad: 4 (continuación)

Sitios Web recomendados:

En los siguientes sitio teorema de Pitágoras.

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Teorema_de_Pit%C3 %A1goras._Aplicaciones http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trian9.htm http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/acti vities/Pyth2/Index.html Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Producto: Práctica. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Procedimental Procedimental Procedimental

Procedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Reconoce las técnicas del

espejo y la sombra para visualizar triángulos rectángulos

eorema de

Aplica las técnicas de visualización de triángulos semejantes para poder resolverlos mediante el Teorema de Pitágoras.

Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios.

Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales.

Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

C MC NC Calificación otorgada por el

docente

Sitios Web recomendados:

sitios encontrarás más información sobre el teorema de Pitágoras.

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Teorema_de_Pit%C3 %A1goras._Aplicaciones pntic.mec.es/clobo/geoweb/trian9.htm http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/acti vities/Pyth2/Index.html Actitudinal ActitudinalActitudinal Actitudinal

Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios.

Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales.

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