Una Introducción a la Teoría de Módulos

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(1)U NA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MÓDULOS. C AMILA A NDREA S ARMIENTO B ETANCOURT. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá D.C. 2016.

(2) A mi familia y amigos.

(3) Agradecimientos Agradezco a mi directora Verónica Cifuentes por toda su colaboración, dedicación e interés en la realización de este trabajo. A mis padres y a mi hermana por su apoyo incondicional y no dejarme desfallecer en estos años de estudio. Por ultimo agradezco a Sergio por creer en mí y en mis capacidades para lograr este objetivo.. I.

(4) Índice general Agradecimientos. I. Introducción. III. 1. Álgebras. 1. 1.1. K-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Teorema de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Radial de una K-álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. Módulos. 26. 2.1. Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Lema de Nakayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3. Categoría de módulos. 40. 3.1. Categorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.1. Categoría aditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.2. Categoría abeliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1. Equivalencia de categorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Categoría de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4. Conclusiones. 66. Referencias. 66. II.

(5) Introducción Dentro del estudio de las estructuras algebraicas hay una que es objeto de estudio en el presente escrito, esta es la estructura de módulo. En este trabajo se dará una introducción a la teoría de módulos partiendo de otra estructura algebraica, las k-álgebras. La línea de presentación será la misma que nos brinda [4]. En primera instancia se definirán las k-álgebras y las propiedades que tienen lugar, para continuar con la presentación de los módulos a partir del concepto de álgebra. A continuación, se introducirá el concepto de categoría y funtor, con algunas propiedades que nos brindaran las herramientas necesarias para definir la categoría de módulos. Por último, se mostrarán los módulos como conjuntos de espacios vectoriales conectados por aplicaciones lineales, además se verán las propiedades de los módulos como estructura algebraica, contando con algunos ejemplos ilustrativos.. III.

(6) Capítulo 1 Álgebras En este capítulo empezaremos recordando algunas de las definiciones básicas del álgebra como lo son la definición de grupo, espacio vectorial y anillo, para así definir una K-álgebra. Además se definirán los homomorfismos de K-álgebras y sus implicaciones y se expondrán algunos ejemplos. Se presentara el teorema de isomorfismos para álgebras y por último se dará la noción de radical de un álgebra.. 1.1.. K-álgebras. D EFINICIÓN 1. ([3], pp 19) Un grupo h G, ∗i es un conjunto G, junto con una operación binaria ∗ en G, tal que satisface los siguientes axiomas: I II. a ∗ b ∈ G para todo a, b ∈ G La operación binaria ∗ es asociativa.. III. Existe un elemento e en G tal que e ∗ x = x ∗ e = x para todas las x ∈ G.. IV. Para cada a en G existe un elemento a0 en G con la propiedad de que a0 ∗ a = a ∗ a0 = e.. Un grupo se dice abeliano si a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ G. D EFINICIÓN 2. Un anillo es una tripla ( A, +, ·) que consiste de un conjunto A y dos operaciones binarias. + : A × A −→ A ( a, b) 7−→ a + b. 1.

(7) · : A × A −→ A ( a, b) 7−→ a · b Tal que ( A, +) es un grupo abeliano y satisface: I II. ( ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac y (b + c) a = ba + ca. para todo a, b, c ∈ A. Un anillo se dice conmutativo si ab = ba para a, b ∈ A La cuadrupla ( A, +, ·, 1) es llamada Anillo con identidad y satisface que 1 ∈ A es tal que 1a = a1 = a para todo a ∈ A. Recordemos que un anillo A es un anillo de división si todo elemento no cero a ∈ A en A es invertible, es decir, existe b ∈ A tal que ab = 1 y ba = 1. Un anillo de división se dice campo si es conmutativo. Un campo K es algebraicamente cerrado si cualquier polinomio no constante h(t) con coeficientes en K tiene una raíz en k. Para continuar con el estudio de álgebras debemos tener en cuenta los siguientes conceptos. D EFINICIÓN 3. Si A y B son anillos con elemento identidad, una aplicación f : A −→ B es un homomorfismo de anillos si: I II III. f ( a + b) = f ( a) + f (b) f ( ab) = f ( a) f (b) f (1) = 1. para todo a, b ∈ A D EFINICIÓN 4. ([3], pp 331) Sea K un campo. Un K-espacio vectorial consta de un grupo abeliano V bajo la suma, junto con una operación de multiplicación por un escalar por la izquierda, de cada elemento de V por cada elemento de K, tal que para todas a, b ∈ K y α, β ∈ V se satisfacen las siguientes condiciones: I II. aα ∈ V a(bα) = ( ab)α. 2.

(8) III. a(α + β) = ( aα) + ( aβ). IV. ( a + b)α = ( aα) + (bα). V. 1α = α. D EFINICIÓN 5. Sea K un cuerpo, una K-álgebra es un anillo A con elemento identidad tal que A tiene estructura de K-espacio vectorial compatible con la multiplicación del anillo. Es decir λ( ab) = ( aλ)b = ( ab)λ Para todo λ ∈ K y a, b ∈ A. Además se dice que A es una K-álgebra asociativa si. ( ab)c = a(bc) para todo a, b, c ∈ A. Una K-álgebra A es finita si dimK A del K-espacio vectorial A es finita. D EFINICIÓN 6. Un K-subespacio vectorial B de una K-álgebra A es una K-subálgebra de A si la identidad de A pertenece a B y b1 b ∈ B para todo b1 , b ∈ B Un K-subespacio vectorial I de una K-álgebra A es un ideal a derecha de A si xa ∈ I para todo x ∈ I, a ∈ A. De manera similar se define ideal a izquierda. Un ideal bilatero de A es un K-subespacio vectorial I de A si es un ideal a izquierda y a derecha de A. D EFINICIÓN 7. Si I es un ideal bilateral de A y m ≥ 1 entero, denotamos por I m el ideal bilateral de A generado por todos los elementos x1 x2 · · · xm , donde x1 , x2 , . . . , xm ∈ I, esto es, I m consiste de todas las sumas finitas de elementos de la forma x1 x2 · · · xm . Decimos que I 0 = A. Un ideal I es nilpotente si I m = 0 para algún m ≥ 1. D EFINICIÓN 8. ([2], pp 74) Sean A y B K-álgebras. Una aplicación f : A −→ B se dice que es lineal si: f ( a + b) = f ( a) + f (b) f (λa) = λ f ( a) Para todo a, b ∈ A y λ ∈ K. D EFINICIÓN 9. Sean A y B K-álgebras. Un homomorfismo de anillos f : A −→ B es llamado un homomorfismo de K-álgebra si f es una aplicación K-lineal. Dos K-álgebras A y B se dicen isomorfas si existe un isomorfismo de K-álgebras, estos es un homomorfismo biyectivo de K-álgebras. Se nota A ∼ = B.. 3.

(9) Proposición 1.1.1. Si I es un ideal bilatero de una K-álgebra A entonces el K-espacio vectorial cociente A/I tiene única estructura de K-álgebra tal que la aplicación canónica π : A −→ A/I a 7−→ ā = a + I Se vuelve un homomorfismo de K-álgebra. Demostración. Veamos que A/I es una K-álgebra. Sea λ, γ ∈ K y a, b, c ∈ A/I, así a = a0 + I, b = b0 + I y c = c0 + I para a0 , b0 , c0 ∈ A. Entonces 1. A/I es un grupo abeliano I. a + b = ( a0 + I ) + (b0 + I ). = ( a0 + b0 ) + I = c0 + I =c como c0 = a0 + b0 ∈ A entonces a + b ∈ A/I. II. ( a + b) + c = (( a0 + I ) + (b0 + I )) + (c0 + I ) = (( a0 + b0 ) + I ) + (c0 + I ) = (( a0 + b0 ) + c0 ) + I = ( a0 + (b0 + c0 )) + I = ( a0 + I ) + ((b0 + c0 ) + I ) = ( a0 + I ) + ((b0 + I ) + (c0 + I )) = a + (b + c) III. El elemento neutro es I = 0 + I, donde 0 es el elemento neutro aditivo de A, ya que I + a = (0 + I ) + ( a 0 + I ). = (0 + a 0 ) + I = a0 + I =a. 4.

(10) IV. el elemento inverso es − a = − a0 + I, donde − a es el inverso aditivo de a0 , puesto que. − a + a = (− a0 + I ) + ( a0 + I ) = (− a0 + a) + I = 0+ I =I V. A/I es un grupo abeliano ya que como A es un grupo abeliano por ser una K-álgebra entonces a0 + b0 = b0 + a0 . Luego a + b = ( a0 + b0 ) + I = (b0 + c0 ) + I = b + a. 2. A/I es un anillo con elemento identidad. I. ( ab)c = (( a0 + I )(b0 + I ))(c0 + I ) = ( a0 b0 + I )(c0 + I ) = (( a0 b0 )c0 ) + I = ( a0 (b0 c0 )) + I = ( a0 + I )(b0 c0 + I ) = ( a0 + I )((b0 + I )(c0 + I )) = a(bc) II. a(b + c) = ( a0 + I )((b0 + I ) + (c0 + I )). = ( a0 + I )((b0 + c0 ) + I ) = ( a0 (b0 + c0 )) + I = ( a0 b0 + a0 c0 ) + I = ( a0 b0 + I ) + ( a0 c0 + I ) = (( a0 + I )(b0 + I )) + (( a0 + I )(c0 + I )) = ab + ac. 5.

(11) III. La identidad de A/I con respecto a la multiplicación es 1̄ = 1 + I, donde 1 es la identidad de la multiplicación de A, ya que 1̄a = (1 + I )( a0 + I ). = 1a0 + I = a0 + I =a 3. A/I es un K-espacio vectorial I. λa = λ( a0 + I ). = λa0 + I como λa0 ∈ A entonces λa ∈ A/I. II. γ(λa) = γ(λ( a0 + I )). = γ(λa0 + I ) = γ(λa0 ) + I = (γλ) a0 + I = (γλ)( a0 + I ) = (γλ) a III. λ( a + b) = λ(( a0 + I ) + (b0 + I )). = λ(( a0 + b0 ) + I ) = λ( a0 + b0 ) + I = (λa0 + λb0 ) + I = (λa0 + I ) + (λb0 + I ) = λ( a0 + I ) + λ(b0 + I ) = λa + λb. 6.

(12) IV. (λ + γ) a = (λ + γ)( a0 + I ) = (λ + γ) a0 + I = (λa0 + γa0 ) + I = (λa0 + I ) + (γa0 + I ) = λ( a0 + I ) + γ( a0 + I ) = λa + γa V. 1a = 1( a0 + I ). = 1a0 + I = a0 + I =a 4. por último veamos que A/I tiene estructura de K-espacio vectorial compatible con la multiplicación del anillo: λ( ab) = λ[( a0 + I )(b0 + I )]. = λ( a0 b0 + I ) = λa0 b0 + I = a0 λb0 + I = a0 b0 λ + I = ( a0 b0 + I )λ = [( a0 + I )(b0 + I )]λ = ( ab)λ Por lo tanto A/I tiene estructura de K-álgebra. Veamos que π es lineal. Sean a, b ∈ A y λ ∈ K entonces π ( a + b) = a + b. = ā + b̄ = π ( a) + π (b). 7.

(13) π (λa) = λa = λ ā = λπ ( a) Como sabemos que π es un homomorfismo de anillos, se tiene que π es un homomorfismo de K-álgebras.. Ejemplos (a) El anillo K [t] de todos los polinomios en la indeterminada t con coeficientes en K y el anillo K [t1 , . . . , tn ] de todos los polinomios en indeterminadas conmutativas t1 , . . . , tn con eficientes en K son K-álgebras de dimensión infinita. En efecto, sabemos que K [t] y K [t1 , . . . , tn ] son anillos con elemento identidad dado por 1, veamos que cumplen la condición para ser K-álgebras.Así sean a ∈ K, y p ( t ), q ( t ) ∈ K [ t ] a( p(t)q(t)) = ( p(t)q(t)) a Veamos que es de dimensión infinita, es decir el cardinal de una base para K [t] es infinito. Supongamos que la base es finita, así sea 1, t, t2 , . . . , tn una base para K [t], consideremos el polinomio de grado n dado por n. p(t) =. ∑ ci ti. i =0. y consideremos q(t) = t, haciendo el producto, tenemos n +1. p(t)q(t) =. ∑ c i −1 t i. i =1. el cual no puede ser generado por los elementos de la base, sin embargo está en K [t], luego la base debe ser infinita y por lo tanto la dimensión de K [t] es infinita. De manera análoga se prueba para K [t1 , . . . , tn ]. (b) Si A es una K-álgebra y n ∈ N, entonces el conjunto Mn ( A) de todas las matrices cuadradas de tamaño n × n con coeficientes en A es una K-álgebra con respecto a la suma y multiplicación usual de matrices. La identidad de Mn ( A) es. 8.

(14) . 0 ··· 1 ··· .. .. 1 0  I =  .. .. 0 0 ···.  0 0  ..  . 1. Veamos que Mn ( A) es una K-álgebra. En efecto, sabemos que Mn ( A) es un anillo. Ahora, sea λ ∈ K y B, C ∈ Mn ( A) entonces, sea D = BC así dij = ∑rn=1 bir crj . Luego λD = λ[dij ] = λdij " n. = λ ∑ bir crj. #. r =1. ". =. n. ∑ (λbir )crj. #. r =1. ". =. n. ∑ bir (λcrj ). #. r =1. ". n. ∑ bir crj. =. ! # λ. r =1. = dij λ = dij λ. = Dλ Por lo tanto Mn ( A) es una K-álgebra. Veamos que la dimensión de Mn ( A) es n2 . Una base para Mn ( A) es el conjunto de matrices eij , donde 0 ···  .. .  eij = 0 · · · .  .. 0 ··· . 0 ··· .. . 1 ··· .. . 0 ···.  0 ..  .  0 ..  . 0. y 1 esta en la posición (i, j) para i, j ∈ {1, . . . , n}. Por lo tanto hay tantas matrices como el número de entradas de una matriz de tamaño n × n es decir n2 .. 9.

(15) (c) El subconjunto .  0 0  ..  .. K 0 ··· K K · · ·  Tn (K ) =  .. .. . . K K ···. K. De Mn (K ) consiste de todas las matrices triangulares [ aij ] en Mn (K ) es una Ksubálgebra de Mn (K ). En efecto, la identidad de Mn (K ) esta en Tn (K ) ya que es una matriz triangular. Sean A, B ∈ Tn (K ): entonces     a11 0 · · · 0 b11 0 · · · 0  a21 a22 · · · 0   b21 b22 · · · 0      A =  .. .. ..  y B =  .. .. ..   .  . . .  . .  an1 an2 · · ·. Así. bn1 bn2 · · ·. ann. . a11 b11  a21 b11 + a22 b21  AB =  ..  . ∑rn=1 anr br1. 0 a22 b22 .. .. ··· ···. ∑rn=1 anr br2 · · ·. bnn. 0 0 .. ..     . ann bnn. Luego AB ∈ Tn (K ). Por lo tanto Tn (K ) es una K-subálgebra de Mn (K ). (d) Suponga que ( I; ) es un poset finito, donde I = { a1 , . . . , an } y es un orden parcial en I. El subconjunto KI = {λ = [λij ] ∈ Mn (K ); λst = 0 si as at } es una K-subálgebra de Mn (K ). En efecto. Como ai ai entonces la posición λii admite todo el campo, en particular el 1. Por otra parte en las posiciones λij , con i 6= j, se tendrá que que ai a j o ai a j , si ai a j , λij admite cualquier elemento del campo, en particular al 0 y si ai a j entonces λij = 0, luego la identidad de Mn (K ) está en KI. Veamos que el producto en KI es clausurativo. Sean A = [αij ], B = [ β ij ] ∈ KI, supongamos que ak al para 1 ≤ k, l ≤ n, así αkl = 0 y β kl = 0, haciendo el producto de A y B tenemos " # n. AB = [αij ][ β ij ] =. ∑ αir βrj. r =1. 10. = [δij ].

(16) Veamos que δkl = 0. En efecto, supongamos que δkl 6= 0 entonces n. δkl =. ∑ αkr βrl. r =1. = αk1 β 1l + αk2 β 2l + · · · + αkn β nl así al menos αkr β rl 6= 0 es decir αkr 6= 0 y β rl 6= 0, luego ak ar y ar al , por ser un orden parcial la relación es transitiva y por lo tanto ak al , lo cual es contradictorio, luego δkl = 0. Así se concluye que KI es una K-subálgebra de Mn (K ). KI se llama el álgebra de incidencia del poset ( I; ) con coeficientes en K. (e) Si ( I; ≺) es el poset {1 2 3 · · · n} entonces el álgebra KI es isomorfo al álgebra Tn (K ). Veamos como es el conjunto KI dado ( I; ≺). Sea A ∈ Mn (K ). Entonces   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A =  .. .. ..  . .  . . . .  an1 an2 · · · ann tenemos que aii 6= 0 para 1 ≤ i ≤ n. Para los aij con i ≤ j se tiene que aij = 0. Para los aij donde j ≤ i se tendrá que aij 6= 0. Luego . K11 0 · · ·  K21 K22 · · ·  KI =  .. .. ..  . . . Kn1 Kn2 · · ·. 0 0 .. ..     . Knn. Como KI y Tn (K ) tienen la misma estructura se tiene que son isomorfos. (f) Asuma que A1 y A2 son K-álgebras. El prodcuto de álgebras A1 y A2 es el álgebra A = A1 × A2 con la adición definida por ( a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = ( a1 + b1 , a2 + b2 ) y la multiplicación dada por ( a1 , a2 )(b1 , b2) = ( a1 b1 , a2 b2 ), donde a1 , b1 ∈ A1 y a2 , b2 ∈ A2 . La identidad de A es el elemento 1 = (1, 1) = e1 + e2 ∈ A1 × A2 , donde e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1). (g) Para cualquier K-álgebra A se define el álgebra opuesta Aop de A como la K-álgebra cuyo conjunto subyacente y estructura de espacio vectorial son las mismas de A, pero la multiplicación ∗ en Aop se define por la formula a ∗ b = ba.. 11.

(17) 1.2.. Teorema de isomorfismo. Teorema 1.2.1. ([1],pp 13) Sea ϕ : A −→ B un homomorfismo de K-álgebras. Entonces existe un único homomorfismo ϕ̄ : A/Kerϕ −→ Imϕ que hace conmutativo al diagrama A . ϕ. /. i. π. A/kerϕ. BO. ϕ̄. /. Imϕ. es decir, ϕ = i ϕ̄π, donde i : Imϕ −→ B designa la inclusión canónica y π : A −→ A/kerϕ es la proyección canónica. En otras palabras, ϕ̄ es un isomorfismo. Demostración. Sea I = kerϕ. Un elemento de A/I es de la forma a + I = π ( a), a ∈ A. Entonces ϕ̄( a + I ) = ϕ̄(π ( a)) = i ( ϕ̄(π ( a))) = ϕ( a) Supongamos que existe ϕ̂ tal que ϕ̂ : A/kerϕ −→ Imϕ y ϕ = i ϕ̂π. Entonces ϕ̂( a + I ) = ϕ̂(π ( a)) = i ( ϕ̂(π ( a))) = ϕ( a) Luego ϕ̂( a + I ) = ϕ̄( a + I ). Por lo tanto ϕ̄ es única. Veamos que ϕ̄ existe probando que esta bien definida. Sean a, b ∈ A tales que a + I = b + I,así ( a − b) + I = 0. Luego a − b ∈ I y por lo tanto ϕ( a) = ϕ(b). Probemos que ϕ̄ es un homomorfismo de K-álgebras. Sean a, b ∈ A y λ ∈ K. Entonces ϕ̄(( a + I ) + (b + I )) = = = = = =. 12. ϕ̄( a + b + I ) ϕ̄(π ( a + b)) ϕ( a + b) ϕ( a) + ϕ( a) ϕ̄(π ( a)) + ϕ̄(π (b)) ϕ̄( a + I ) + ϕ̄(b + I ).

(18) ϕ̄(( a + I )(b + I )) = = = = = =. ϕ̄( ab + I ) ϕ̄(π ( ab)) ϕ( ab) ϕ( a) ϕ(b) ϕ̄(π ( a)) ϕ̄(π (b)) ϕ̄( a) ϕ̄(b). ϕ̄(1 + I ) = ϕ̄(π (1)) = ϕ (1) =1. ϕ̄(λ( a + I ) + (b + I )) = = = = = =. ϕ̄(λ( a + I )) + ϕ̄((b + I )) ϕ̄(λπ ( a)) + ϕ̄(b + I ) ϕ̄(π (λa)) + ϕ̄(b + I ) ϕ(λa) + ϕ̄(b + I ) λϕ( a) + ϕ̄(b + I ) λ ϕ̄( a + I ) + ϕ̄(b + I ). Por lo tanto ϕ̄ es un homomorfismo de K-álgebras. Por último veamos que ϕ̄ es inyectiva y sobreyectiva. En efecto, sea b ∈ Imϕ así existe a ∈ A tal que ϕ( a) = b, luego b = ϕ̄( a + I ). Por lo tanto ϕ̄ es sobreyectiva. Sea a + I ∈ ker ϕ̄, entonces ϕ̄( a + I ) = 0, luego ϕ̄( a + I ) = ϕ( a) = 0, es decir a ∈ I y Por lo tanto a + I = I, así ϕ̄ es inyectiva. Corolario 1.2.1. Sea ϕ : A −→ B un homorfimo sobreyectivo de K-álgebras. Entonces existe un único isomorfismo de K-álgebras ϕ̄ : Kerϕ −→ B tal que ϕ. A π. . ϕ̄. A/kerϕ ϕ = ϕ̄π.. 13. / ;. B.

(19) Demostración. Como ϕ es un homomorfismo sobreyectivo, se tiene que B = Imϕ y la inclusión canónica es la identidad. Así por el teorema 1.2.1 tenemos el resultado esperado. Ejemplo 1.2.1. Sea ( G, ·) un grupo finito con elemento identidad e y sea A una K-álgebra. El álgebra de grupo de G con coeficientes en A es el K-espacio vectorial AG que consiste de todas las sumas formales ∑ g∈G gλ g , donde λ g ∈ A, con la multiplicación definida por la formula ! !. ∑. ·. gλ g. g∈ G. ∑ hµh. ∑. =. f λ g µh. f = gh∈ G. h∈ G. Entonces AG es una K-álgebra de dimensión | G |dimk A y el elemento e = e1 es la identidad de AG. Veamos que AG es una K-álgebra. 1 AG es un grupo abeliano I. ∑. gλ g +. g∈ G. ∑ hµh = g1 λg1 + · · · + gn λgn + h1 µh1 + · · · + hm µhm. h∈ G. =. ∑. f γ f ∈ AG. f ∈G. II. ∑. f ∈G. f γf +. ∑. gλ g +. g∈ G. ∑ hµh. !. =. h∈ G. ∑. f γ f + ( g 1 λ g1 + · · · + g n λ g n. f ∈G. + h 1 µ h1 + · · · + h m µ h m ) = f 1 γ f 1 + · · · f k γ f k + ( g1 λ g1 + · · · + gn λ gn + h 1 µ h1 + · · · + h m µ h m ) = ( f 1 γ f 1 + · · · f k γ f k + g1 λ g1 + · · · + gn λ gn ) + h 1 µ h1 + · · · + h m µ h m ! =. ∑. f ∈G. III. f γf +. ∑. gλ g. g∈ G. El elemento neutro es el 0 de A ya que 0+. ∑. g∈ G. gλ g =. ∑ (0 + gλg ) = ∑. g∈ G. 14. g∈ G. gλ g. +. ∑ hµh. h∈ G.

(20) IV. Como gλ g ∈ A entonces existe un elemento − gλ g ∈ A tal que gλ g − gλ g = 0. Así. ∑. gλ g +. g∈ G. V. ∑ − gλg = ∑ ( gλg − gλg ) = 0. g∈ G. g∈ G. Como A es un grupo abeliano tenemos que para gλ g , hµh ∈ A, gλ g + hµh = hµh + gλ g . Así. ∑. gλ g +. g∈ G. ∑ hµh = g1 λg1 + · · · + gn λgn + h1 µh1 + · · · + hm µhm. h∈ G. = + h 1 µ h 1 + · · · + h m µ h m + g1 λ g1 + · · · + g n λ g n =. ∑ hµh + ∑. gλ g. g∈ G. h∈ G. 2 AG es un anillo con elemento identidad I. ∑. ! gλ g. ·. g∈ G. ∑ hµh. !!. ∑. ·. h∈ G. !. ∑. ghλ g µh. ∑. ( gh) f (λ g µh )γ f. ∑. g(h f )λ g (µh γ f ). =. f γf. f ∈G. !. ∑. ·. gh∈ G. =. ! f γf. f ∈G. ( gh) f ∈ G. =. g(h f )∈ G. !. ∑. =. ·. gλ g. g∈ G. ∑. =. ∑. ! h f µh γ f. h f ∈G. !. ∑ hµh. ·. gλ g. g∈ G. !. ∑. ·. h∈ G. !! f γf. f ∈G. II. ∑. g∈ G. gλ g ·. ∑ hµh + ∑. h∈ G. ! f γf. =. !. ∑. ·. gλ g. g∈ G. f ∈G. =. ∑ kδk. !. k∈G. ∑. gkλ g δk. ∑. ghλ g µh +. gk∈ G. =. gh∈ G. =. ∑. g∈ G. 15. ∑. g f λg γ f. g f ∈G. ! gλ g. ·. ∑ hµh. h∈ G. !. +. ∑. g∈ G. ! gλ g. ·. ∑. f ∈G. ! f γf.

(21) III. El elemento identidad es e, puesto que. ∑. e·. ∑ e( gλg ). gλ g =. g∈ G. g∈ G. ∑ (eg)λg. =. g∈ G. =. ∑. gλ g. g∈ G. 3 AG es un K-espacio vectorial. Sean α, β ∈ K I. α ∑ g∈G gλ g = ∑ g∈G g(αλ g ), luego α ∑ g∈G gλ g ∈ AG.. II. α. β. ∑. !. =α. gλ g. g∈ G. ∑. g( βλ g ). g∈ G. =. ∑. gα( βλ g ). ∑. g(αβ)λ g. g∈ G. =. g∈ G. = (αβ). ∑. gλ g. g∈ G. III. (α + β). ∑. gλ g =. g∈ G. ∑. g(α + β)λ g. ∑. g(αλ g + βλ g ). g∈ G. =. g∈ G. =. ∑ [ gαλg + gβλg ]. g∈ G. =. ∑. gαλ g +. g∈ G. =α. ∑. g∈ G. 16. ∑. gβλ g. g∈ G. gλ g + β. ∑. g∈ G. gλ g.

(22) IV. α. ∑. ∑ hµh. gλ g +. g∈ G. !. ∑. =α. f γf. f ∈G. h∈ G. =. ∑. f αγ f. ∑. gαλ g +. f ∈G. =. g∈ G. ∑. =α. ∑ hαµh. h∈ G. gλ g + α. g∈ G. V. ∑ hµh. h∈ G. 1 ∑ g∈G gλ g = ∑ g∈G g1λ g = ∑ g∈G gλ g. 4 Sea α ∈ K, entonces α. ∑. g∈ G. gλ g ·. ∑ hµh. !. ∑. =α. h∈ G. ghλ g µh. gh∈ G. =. ∑. α( ghλ g µh ). ∑. ( ghλ g µh )α. gh∈ G. =. gh∈ G. ∑. =. gλ g ·. g∈ G. ∑ hµh. ! α. h∈ G. Por lo tanto AG es una K-álgebra. Por otro lado, tenemos que una base para AG es { gi λi }i∈ I , donde g1 ∈ G y λi están en una base para A. Luego el cardinal de { gi λi }i∈ I es | G |dimk A. Si G es un grupo cíclico de orden m, entonces KG ∼ = K [ t ] / ( t m − 1) ϕ. K [t]. /. 8 KG. ϕ̄ π. . K [ t ] / h t m − 1i Definamos a ϕ por ϕ : K [t] −→ KG. ∑ ai ti 7−→ ∑ ai gi i. i. 17.

(23) donde h gi = G, ademas ϕ(t) = g Veamos que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo de K-álgebra. Sea λ ∈ K. Entonces ! ! ϕ. ∑ a i t i + ∑ bi t i i. =ϕ. i. ∑ ( a i + bi ) t i i. = ∑ ( a i + bi ) g i i. = ∑ ( a i g i + bi g i ) i. = ∑ a i g i + ∑ bi g i i i ! =ϕ. ∑ ai ti. +ϕ. i. ϕ. ∑ ai ti ∗ ∑ b j t j i. !. =ϕ. j. i. ∑ ∑ ai b j ti + j i. ∑ bi t i. !. !. j. = ∑ ∑ ai b j gi + j i. j. = ∑ ai gi · ∑ b j g j i. =ϕ. j. ∑ ai ti i. ϕ(1) = ϕ(1t0 ). = 1g0 =e. 18. !. ·ϕ. ∑ bj t j j. !.

(24) ϕ. λ ∑ ai ti + ∑ b j t j i. j. !. = ϕ λ ∑ ai ti. !. ∑ bj t j. +ϕ. i. ∑ ai λti. =ϕ. j. !. ∑ bj t j. +ϕ. i. ∑ bj t j. = λ ∑ ai g + ϕ. ∑ bj t. i. !. j. i. i. ∑ ai ti. !. j. = ∑ ai λgi + ϕ. = λϕ. !. ! j. j. !. ∑ bj t j. +ϕ. i. !. j. Veamos que ϕ es sobreyectiva. En efecto, sea ∑i ai gi ∈ KG así ϕ ∑i ai ti = ∑i ai gi . Veamos que htm − 1i = I es kerϕ. Sea p(t) ∈ I entonces p(t) = q(t)(tm − 1) = ∑i ai tm+i − ∑i ai ti , donde q(t) = ∑i ai ti . Luego ! ! ! ϕ. ∑ ai t m +i − ∑ ai ti i. =ϕ. i. ∑ ai t m +i. −ϕ. i. i. = ∑ ai g g − ∑ ai g m i. i. ∑ ai ti. i. i. = ∑ ai eg − ∑ ai gi i. i. i. =0 Así I ⊆ Kerϕ. Sea p(t) ∈ Kerϕ. Por el algoritmo de la división tenemos que p(t) = q(t)(tm − 1) + r (t), donde gr (r ) < m. Luego ϕ( p(t)) = ϕ(q(t)(tm − 1) + r (t)) = ϕ(q(t)(tm − 1)) + ϕ(r (t)) = ϕ(r (t)) Como p(t) ∈ kerϕ entonces ϕ( p(t)) = ϕ(r (t)) = 0, pero gr (r ) < m. Luego r (t) = 0. Así p(t) = q(t)(tm − 1), es decir, kerϕ ⊆ I. Luego I = Kerϕ. Por lo tanto KG ∼ = K [ t ] / h t m − 1i.. 19.

(25) 1.3.. Radical de una K-álgebra. Antes de introducir el concepto de radical debemos definir un ideal maximal. Un ideal maximal de una K-álgebra A es un ideal M diferente de A tal que no existe ningún ideal propio N de A que contenga propiamente a M. D EFINICIÓN 10. El (Jacobson) radical radA de una K-álgebra A es la intersección de todos los ideales maximales a derecha. Lema 1.3.1. Sea A una K-álgebra y sea a ∈ A. las siguientes condiciones son equivalentes. 1. a ∈ radA 2. a ∈ B =. T. Iidealmax.Izq.DeA. I. 3. Para cualquier b ∈ A, el elemento 1 − ab tiene inverso a dos lados. 4. Para cualquier b ∈ A, el elemento 1 − ab tiene inverso a derecha. 5. Para cualquier b ∈ A, el elemento 1 − ba tiene inverso a dos lados. 6. Para cualquier b ∈ A, el elemento 1 − ba tiene inverso a izquierda. Demostración. 1⇒ 4 Sea b ∈ A. Supongamos que 1 − ab no tiene inverso a derecha. Entonces existe un ideal I maximal a derecha tal que 1 − ab ∈ I. Como a ∈ radA ⊆ I se tiene que ab ∈ I y 1 ∈ I lo cual es una contradicción. Luego 1 − ab tiene inverso a derecha. 4⇒ 1 Supongamos que a ∈ / radA entonces existe un ideal I maximal a derecha en A tal que a ∈ / radA. Luego A = I + aA. Asi existe x ∈ I y un b ∈ A tales que 1 = x + ab. Esto es x = 1 − ab ∈ I no tiene inverso a derecha lo cual es una contradicción. Por lo tanto a ∈ radA. 2⇒ 6 Sea b ∈ A y supongamos que 1 − ba no tiene inversa a izquierda. Luego existe un ideal I maximal a izquierda de A tal que 1 − ba ∈ I. Como a ∈ B ⊆ I entonces ba ∈ I y 1 ∈ I, lo cual es una contradicción. Luego 1 − ba tiene inverso a izquierda. 6⇒ 2 Supongamos que a ∈ / B. Sea I el ideal maximal a izquierda de A tal que a ∈ / I. Entonces A = I + Aa. Así existe un x ∈ I y b ∈ A tales que 1 = x + ba luego x = 1 − ba ∈ I, es decir x no tiene inverso a izquierda, lo cual es una contradicción. Por lo tanto a ∈ B.. 20.

(26) 3⇒ 5 Como 1 − ab tiene inverso a dos lados entonces existe x ∈ A tal que (1 − ab) x = 1. Entonces x − abx = 1 Luego b( x + abx ) a bxa − babxa − ba 1 + bxa − babxa − ba 1 + bxa − ba(1 + bxa) (1 − ba)(1 + bxa). = ba =0 =1 =1 =1. Así 1 − ba tiene inverso a derecha. Veamos que 1 − ba tiene inverso a izquierda. Tenemos que existe y ∈ A tal que y(1 − ab) = 1. Entonces y − yab b(y − yab) a bya − byaba − ba 1 + bya − byaba − ba 1 + bya − (bya + 1)ba (1 + bya)(1 − ba). =1 = ba =0 =1 =1 =1. Luego 1 − ba tiene inverso a izquierda. 5⇒ 3 Como 1 − ba tiene inverso a dos lados entonces existe x ∈ A tal que (1 − ba) x = 1. Entonces x − bax = 1 Luego a( x + bax )b axb − abaxb − ab 1 + axb − abaxb − ab 1 + axb − ab(1 + axb) (1 − ab)(1 + axb) Así 1 − ab tiene inverso a derecha.. 21. = ab =0 =1 =1 =1.

(27) Veamos que 1 − ab tiene inverso a izquierda. Tenemos que existe y ∈ A tal que y(1 − ba) = 1. Entonces y − yba a(y − yba)b ayb − aybab − ab 1 + ayb − aybab − ab 1 + ayb − ( ayb + 1) ab (1 + ayb)(1 − ab). =1 = ab =0 =1 =1 =1. Luego 1 − ab tiene inverso a izquierda. 4⇒ 3 Fijemos b ∈ A. Como 1 − ab tiene inverso a derecha, entonces existe x ∈ A tal que (1 − ab) x = 1. Luego x = 1 − a(−bx ). Así existe y ∈ A tal que 1 = xy = (1 + abx )y = y + abxy = y + ab Luego y = 1 − ab, es decir x es un inverso a izquierda de y y por lo tanto 1 − ab tiene inverso a dos lados. 6⇒ 5 Fijemos b ∈ A. Como 1 − ba tiene inverso a derecha, entonces existe y ∈ A tal que y(1 − ba) = 1 luego y = 1 − (−yb) a. Así existe x ∈ A tal que 1 = xy = x (1 + yba) = x + xyba = x + ba Luego x = 1 − ba, es decir y es un inverso a derecha de x y por lo tanto 1 − ba tiene inverso a dos lados. Es claro que 5 ⇒ 6 y 3 ⇒ 4. Así el lema queda demostrado.. Este lema nos indica que el radical de un anillo A es un ideal bilatero de A. Corolario 1.3.1. Sea radA el radical de una álgebra A 1. rad( A/radA) = 0.. 22.

(28) 2. Si I es un ideal bilatero nilpotente de A, entonces I ⊆ radA. Si, además, el álgebra A/I es isomorfo al producto K × · · · × K de copias de K, entonces I = radA. Demostración. 1. Sea ā ∈ rad( A/radA), b̄ ∈ A/radA. Por el lema 1.3.1 existe c̄ ∈ A/radA tal que (1 − āb̄)c̄ = 1 Así (1 − ab)c = 1 − x, para a, b ∈ A, algún c ∈ A y x ∈ radA. Luego existe un d ∈ A tal que (1 − x )d = 1, es decir (1 − ab)cd = 1. Luego 1 − ab tiene inverso a derecha. Así a ∈ radA y por lo tanto ā = 0 ∈ A/radA. Luego rad( A/radA) = 0 2. Sea m > 0 un entero tal que I m = 0. Sean x ∈ I y a ∈ A. Entonces ax ∈ I. Luego ( ax )r = 0, para algún r > 0. Se sigue que la igualdad. (1 + ax + ( ax )2 + · · · + ( ax )r−1 )(1 − ax ) = 1 Se mantiene para cualquier a ∈ A. Por el lema 1.3.1 se tiene que x ∈ radA. por lo tanto I ⊆ radA. Supongamos que el álgebra A/I es isomorfo al producto de copias de K. En particular rad( A/I ) = 0. El homomorfismo canónico π : A −→ A/I envía radA al rad( A/I ). En efecto, si a ∈ radA y π (b) = b + I, b ∈ A, es cualquier elemento de A/I entonces 1 − ab es invertible en A y luego el elemento π (1 − ab) = 1 − π (b)π ( a) es invertible en A/I. Luego π ( a) ∈ rad( A/I ) = 0. Así radA ⊆ kerπ = I. Por lo tanto radA = I.. Ejemplo Sea I un poset finito y KI la K-álgebra de incidencia vista como una subálgebra de el álgebra de matrices Mn (K ). Entonces el radKI es el conjunto U = {λ = [λij ]|λii = 0 para i = 1, . . . , n} y el álgebra KI/U es isomorfo al producto K × · · · × K de n copias de K. Veamos que U es un ideal bilatero de KI. En efecto, Sea B = [ β ij ] ∈ U y A = [αij ] ∈ KI, entonces BC = [δij ] donde δij = ∑rn=1 β ir αrj . Supongamos que ak al , para 1 ≤ k, l ≤ n, así αkl = 0 y β kl = 0. Veamos que δkk = ∑rn=1 β kr αrk = 0. Como ak al entonces no se puede tener que ak am y am al , para m 6= k. Así ak am , es decir β km = 0 para m 6= k. Luego δkk = β kk αkk , como β kk = 0 entonces δkk = 0. Luego BA ∈ U y por lo tanto. 23.

(29) U es un ideal a derecha de KI. de igual manera se prueba que U es un ideal a izquierda de KI y por lo tanto U es un idea bilatero de KI. Sea A ∈ U entonces el polinomio característico de A es p(λ) = (−1)n λn . Por el teorema de Cayley-Hamilton se tiene que p( A) = 0. Así An = 0, luego U es un ideal nilpotente de KI. Veamos que KI/U es isomorfo al producto de n copias de K. Así ϕ. KI π. . /. K ×7 · · · × K. ϕ̄. KI/U Definamos a ϕ por ϕ : KI −→ K × · · · × K A 7−→ ( a11 , . . . , ann ) Veamos que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo de K-álgebras. Sean A = [ aij ] y B = [bij ] matrices de KI, entonces I. ϕ( A + B) = ϕ([ aij ] + [bij ]). = ϕ([ ai j + bij ]) = ( a11 + b11 , . . . , ann + bnn ) = ( a11 , . . . , ann ) + (b11 , . . . , bnn ) = ϕ( A) + ϕ( B) II. ϕ( AB) = ϕ([ aij ][bij ]). = ( a11 b11 , . . . , ann bnn ) = ( a1 1, . . . , an n)(b11 , . . . , bnn ) = ϕ( A) ϕ( B) III. ϕ(1) = (1, . . . , 1). 24.

(30) IV. Sea λ ∈ K ϕ(λA) = ϕ(λ[ aij ]). = ϕ([λaij ]) = (λa11 , . . . , λann ) = λ( a11 , . . . λ, ann ) = λϕ( A) Veamos que ϕ es sobreyectiva. En efecto, sea ( a11 , . . . , ann ) ∈ K × · · · × K así ϕ( A) = ( a11 , . . . , ann ). Por último veamos que U = kerϕ. Sea A ∈ Kerϕ entonces ϕ( A) = (0, . . . , 0) esto implica que aii = 0 luego A ∈ U. Sea A ∈ U, así aii = 0 luego ϕ( A) = (0, . . . , 0), por lo tanto A ∈ kerϕ. Por el teorema 1.2.1 concluimos que KI/U ∼ = K × · · · × K. Luego por el corolario 1.3.1 tenemos que U = radKI.. 25.

(31) Capítulo 2 Módulos En este capítulo se definirá módulo y se verán algunas de las propiedades básicas de módulos. Así mismo se presentaran algunos ejemplos de estos. Se verá un resultado importante el cual es el lema de Nakayama.. 2.1.. Módulos. D EFINICIÓN 11. Sea A una K-álgebra. Un A-módulo a derecha es una par ( M, ·) donde M es un K-espacio vectorial y. · :M × A −→ M (m, a) 7−→ ma Es una operación binaria que satisface las siguientes condiciones (I) ( x + y) a = xa + ya (II) x ( a + b) = xa + xb (III) x1 = x (IV) ( xλ) a = x ( aλ) = ( xa)λ para todo x, y ∈ M, a, b ∈ A y λ ∈ K. Un módulo M se dice de dimensión finita si la dimensión de dimk M del K-espacio vectorial subyacente de M es finito.. 26.

(32) D EFINICIÓN 12. Un K-subespacio M0 de un A-módulo a derecha M se dice que es un Asubmódulo de M si ma ∈ M0 para todo m ∈ M0 y a ∈ A. Ejemplos 1. Si en la definición de módulo, A es un cuerpo, entonces la definición de módulo coincide con la definición de espacio vectorial sobre A. Por esto se dice que la teoría de módulos generaliza la de espacios vectoriales. 2. Cualquier grupo abeliano se puede considerar como un Z-módulo. Sea M un grupo abeliano, x ∈ M y n ∈ Z se define xn como sigue: Si n ≥ 0, entonces x0 = 0 y x (n + 1) = xn + x. Si n < 0, xn = (− x )(−n). Nótese que x1 = x (0 + 1) = x0 + x = x. La demostración se hará por inducción sobre n. Primero consideremos el caso n ≥ 0. Sea m ∈ Z, y ∈ M y λ ∈ R. Entonces Para n = 0 I. ( x + y )0 = 0 = 0+0 = x0 + y0 II. x0 + xm = 0 + xm = xm = x ( m + 0) III. x (0m) = x0 =0 = ( x0)m IV. ( xλ)0 = x (λ0) =0 = ( x0)λ. 27.

(33) Supongamos que se tiene para n = k. Así I II. ( x + y)k = xk + yk x (k + m) = xk + xm. III. x (km) = ( xk )m. IV. ( xλ)k = x (kλ) = ( xk)λ. Probemos para n = k + 1 I. ( x + y)(k + 1) = ( x + y)k + ( x + y) = xk + yk + x + y = x ( k + 1) + y ( k + 1). II. x (k + 1 + m) = = = =. x ( k + m + 1) x (k + m) + x xk + xm + x x (k + 1) + xm. III. x ((k + 1)m) = = = =. x (km + m) xkm + xm ( xk + x )m ( x (k + 1))m. IV. ( xλ)(k + 1) = ( xλ)k + xλ = ( xk)λ + xλ = ( xk + x )λ = ( x (k + 1))λ De manera análago se hace para n < 0.. 28.

(34) 3. Sea A una K-álgebra y sea Mn ( A) el conjunto de todas las matrices de tamaño n × n con entradas en A.El producto Ba = [bij ] a = [bij a] donde B = [bij ] ∈ Mn ( A) y a ∈ A da a Mn ( A) estructura de A-módulo. En efecto, sea C = [cij ] ∈ Mn ( A), d ∈ A y λ ∈ K. Entonces I. ( B + C ) a = ([bij ] + [cij ]) a = [bij + cij ] a = [(bij + cij ) a] = [bij a + cij a] = [bij a] + [cij a] = [bij ] a + [cij ] a = Ba + Ca II. B( a + d) = [bij ]( a + d). = [bij ( a + d)] = [bij a + bij d] = [bij a] + [bij d] = [bij ] a + [bij ]d = Ba + Bd III. B( ad) = [bij ]( ad). = [bij ( ad)] = [(bij a)d] = [bij a]d = ([bij ] a)d = ( Ba)d. 29.

(35) IV. B1 = [bij ]1. = [bij 1] = [bij ] =B V. ( Bλ) a = ([bij λ]) a = [bij λ] a = [(bij λ) a] = [bij ( aλ)] = [(bij a)λ] = [bij a]λ = ([bij ] a)λ = ( Ba)λ Así Mn ( A) es un A-módulo. 4. El subconjunto Tn (K ) es un submódulo de Mn (K ). En efecto, sean A ∈ Tn (K ) y α ∈ K, entonces   a11 0 · · · 0  a21 a22 · · · 0    A =  .. .. ..   . . .  an1 an2 · · · ann  a11 0 · · · 0  a21 a22 · · · 0    Aα =  .. .. ..  α  . . .  an1 an2 · · · ann   a11 α 0 ··· 0  a21 α a22 α · · · 0    =  .. .. ..   . . .  an1 α an2 α · · · ann α . Luego Aα ∈ Tn (K ). Y por lo tanto Tn (K ) es un submódulo de Mn (k).. 30.

(36) D EFINICIÓN 13. Sean M y N A-módulos a derecha, donde A es una K-álgebra. Una aplicación lineal f : M −→ N es un homormofismo de A-módulos si f ( aλ) = f ( a)λ, para todo a ∈ M y λ ∈ A. Se dice que f es un monomorfismo si es inyectiva. f es un epimorfismo si es sobreyectiva. Si f es biyectivo se dice que es un isomorfismo. Los A-módulos M y N a derecha se dicen que son isomorfos si existe un isomorfismo de A-módulos h : M −→ N y se nota por M∼ = N. Un homomorfismo de A-módulo h : M −→ M se dice que es un endomorfismo. Proposición 2.1.1. Si M es un A-módulo y M0 un A-submódulo de M entonces el K-espacio vectorial M/M0 tiene estructura natural de A-módulo tal que el epimorfismo canónico π : M −→ M/M0 es un homomorfismo de A-módulo. Demostración. Sea x ∈ M/M0 , entonces x = m + M0 , para m ∈ M. Sea a ∈ A entonces xa = (m + M0 ) a = ma + M0 a = ma + M0 Como ma ∈ M se tiene que xa ∈ M/M0 . Por lo tanto M/M0 tiene estructura natural de módulo. Veamos que π es linea. Sean m, n ∈ M y λ ∈ K. Entonces π (m + n) = (m + n) + M0. = m + M0 + n + M0 = π (m) + π (n). λπ (m) = λ(m + M0 ). = λm + λM0 = λm + M0 = π (λm) Veamos que π cumple la condición para ser homomorfismo de módulos. En efecto π (m) a = (m + M0 ) a. = ma + M0 a = ma + M0 = π (ma). 31.

(37) Proposición 2.1.2. Sea M un A-módulo a derecha y sea I un ideal a derecha de A. Entonces el conjunto MI que consiste de todas las sumas m1 a1 + · · · + mn an , donde n ≥ 1, m1 , . . . , mn ∈ M y a1 , . . . , an ∈ I es un submódulo de M. Demostración. Sea m ∈ MI y b ∈ A, entonces n. mb =. ∑ mi ai. ! b. i =1 n. =. ∑ mi ai b. i =1. Como ai ∈ I se tiene que ai b = ci ∈ I. Luego mb = ∑in=1 mi ci ∈ MI y por lo tanto MI es un submódulo de M. D EFINICIÓN 14. Un A-módulo a derecha M se dice que es generado por los elementos m1 , . . . , ms de M si cualquier elemento m ∈ M es de la forma m = m1 a1 + · · · + ms as para algunos a1 , . . . , as ∈ A. Se escribe M = m1 A + · · · + ms A. Un módulo M se dice que es finitamente generado si es generado por finitos subconjuntos de elementos de M. D EFINICIÓN 15. Sean M1 , . . . , Ms submódulos de un A-módulo a derecha M. Se define M1 + · · · + Ms como el submódulo de M que consiste de todas las sumas m1 + · · · + ms , donde m1 ∈ M1 , . . . , ms ∈ Ms y lo llamamos el submódulo generado por M1 , . . . , Ms . Proposición 2.1.3. Un modulo a derecha M sobre una K-álgebra A de dimensión finita es finitamente generado si y solo si M es de dimensión finita. Demostración. ⇐ Si b1 , . . . , bn es una K-base β de M, entonces para m ∈ M se tiene m = m1 b1 + · · · + mn bn . Luego β es un conjunto generadores de M. Por lo tanto M es finitamente generado. ⇒ Si el A-módulo M es generado por los elementos m1 , . . . , mn sobre A y si b1 , . . . , bn es una K-base de A. Luego el conjunto {m j bi | j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , s} genera el K-espacio vectorial de M. Por lo tanto M es de dimensión finita. Proposición 2.1.4. EL conjunto Hom A ( M, N ) de todos los homomorfismos de A-módulos de M a N es un K-espacio vectorial con respecto a la multiplicacion por escalar ( f , λ) 7−→ f λ dada por ( f λ)(m) = f (mλ) para f ∈ Hom A ( M, N ), λ ∈ K y m ∈ M. Demostración. Sean λ, µ ∈ K y f , g ∈ Hom A ( M, N ). Entonces I. ( f λ)(m) = f (mλ) ∈ Hom A ( M, N ).. 32.

(38) II. (( f λ)µ)(m) = ( f λ)(mµ) = f ((mµ)λ) = f (m(µλ)) = ( f (µλ))(m) = ( f (λµ))(m) III. ( f (λ + µ))(m) = f (m(λ + µ)) = f (mλ + mµ) = f (mλ) + f (mµ) = ( f λ)(m) + ( f µ)(m) IV. (( f + g)λ)(m) = ( f + g)(mλ) = f (mλ) + g(mλ) = ( f λ)(m) + ( gλ)(m) V. ( f 1)(m) = f (m1) = f (m). Luego Hom A ( M, N ) es un espacio vectorial. Proposición 2.1.5. El K espacio vectorial EndM = Hom A ( M, M) de todos los endomorfismos de A-módulos es una K-álgebra asociativa con respecto a la composición de funciones. La identidad id M en M es la identidad de EndM. Demostración. Sean f , g, h ∈ EndM y m, n ∈ M. Definamos la suma + es EndM como sigue ( f + g)(m) = f (m) + g(m) Probemos que con la suma +, el K-espacio vectorial EndM es un grupo. I. ( f + g)(m + n) = f (m + n) + g(m + n) = f (m) + f (n) + g(m) + g(n) = ( f + g)(m) + ( f + g)(n) Luego f + g ∈ EndM. 33.

(39) II. (( f + g) + h)(m) = (( f + g)(m)) + h(m) = ( f (m) + g(m)) + h(m) = f (m) + ( g(m) + h(m)) = f (m) + (( g + h)(m)) = ( f + ( g + h))(m) Así la suma es asociativa. III. Sea e la identidad aditiva de M y definamos el homomorfismo 0 por 0(m) = e. Así. ( f + 0)(m) = f (m) + 0(m) = f (m) + e = f (m) IV. para f definamos − f por (− f )(m) = −( f (m)). Luego. (− f + f )(m) = (− f )(m) + f (m) = −( f (m)) + f (m) = 0( m ) Además tenemos que. (− f )(m + n) = −( f (m + n)) = −( f (m) + f (n)) = − f (m) + (− f (n)) = (− f )(m) + (− f )(n) Así − f ∈ EndM V. Como M se define sobre la K-álgebra A y A es un grupo abeliano tenemos que: f (m + n) = f (m) + f (n) = f (n) + f (m) = f (n + m) Por lo tanto EndM son un grupo abeliano con la suma.. Veamos que EndM son un anillo con respecto a la suma + y a la composición de funciones.. 34.

(40) I. ( f ◦ g) ◦ h(ma) = ( f ◦ g)(h(ma)) = ( f ◦ g)(h(m) a) = f ( g(h(m) a)) = f ( g(h(m)) a) = f ( g(h(m))) a = f ◦ ( g(h(m) a)) = f ◦ ( g(h(ma))) = f ◦ ( g ◦ h)(ma) Luego la composición es asociativa. II. f ◦ ( g + h)(m) = = = =. f (( g + h)(m)) f ( g(m) + h(m)) f ( g(m)) + f (h(m)) ( f ◦ g)(m) + ( f ◦ h)(m). Así la composición es distributiva. III. La identidad id M dada por id M (m) = m es la identidad de EndM y así EndM son un anillo con elemento identidad.. Por último veamos EndM son una K-álgebra asociativa. I. Sea λ ∈ K, entonces λ( f ◦ g)(m) = = = = = = =. 35. λ( f ( g(m))) f (λ( g(m))) f ( g(λm)) f ( g(mλ)) f ( g(m)λ) f ( g(m))λ ( f ◦ g)(m)λ.

(41) Como ya vimos que ( f ◦ g) ◦ h = f ◦ ( g ◦ h) entonces EndM son una K-álgebra asociativa. Proposición 2.1.6. Sean L, M y N A-módulos a derecha. Entonces la composición. ◦ : Hom A ( M, N ) × Hom A ( L, M) −→ Hom A ( L, N ) (h, g) 7−→ h ◦ g es K-bilineal. Demostración. Sean h1 , h2 ∈ Hom A ( M, N ), g1 , g2 ∈ Hom A ( L, M) y λ ∈ K. Entonces. (h1 + h2 ) ◦ g1 (m) = (h1 + h2 )( g1 (m)) = h1 ( g1 (m)) + h2 ( g1 (m)) = h 1 ◦ g1 ( m ) + h 2 ◦ g1 ( m ). h1 ◦ (( g1 + g2 )(m)) = h1 ( g1 (m) + g2 (m)) = h1 ( g1 (m)) + h1 ( g2 (m)) = h 1 ◦ g1 ( m ) + h 1 ◦ g2 ( m ). (hλ) ◦ g(m) = (hλ)( g(m)) = h( g(m)λ) = h( g(m))λ = (h ◦ g(m))λ. h ◦ ( gλ)(m) = = = =. 36. h( gλ(m)) h( g(mλ)) h( g(m)λ) (h ◦ g(m))λ.

(42) D EFINICIÓN 16. Sea h : M −→ N un homomorfismo de A-módulos. Se define: 1. El Kernel de h como Kerh = {m ∈ M|h(m) = 0}. 2. La imagen de h como Imh = {h(m)|m ∈ M}. 3. El cokernel de h comoCokerh = N/Imh. Proposición 2.1.7. El kernel, la imagen y el cokernel de h son submódulos. Demostración.. i. Sea m ∈ Kerh y a ∈ A. Así tenemos que h(ma) = h(m) a = 0a = 0. Luego ma ∈ Kerh. Por lo tanto Kerh es un submódulo de M. ii. Sean n ∈ Imh, entonces existe m ∈ M tal que h(m) = n. Luego para a ∈ A se tiene na = h(m) a = h(ma) Así na ∈ Imh. por lo tanto Imh es un submódulo de N. iii. Como Imh es un submódulo de N, entonces Cokerh = N/Imh es un submódulo de N. D EFINICIÓN 17. La suma directa de M1 , . . . , Ms de A-módulos a derecha es definica como el Kespacio vectorial de suma directa M1 ⊕ · · · ⊕ Ms equipado con estructura de A-módulo definida por (m1 , . . . , ms ) a = (m1 a, . . . , ms a) para m1 ∈ M1 , . . . , ms ∈ Ms y a ∈ A establecemos Ms = M ⊕ · · · ⊕ M (s copias) D EFINICIÓN 18. UnA-módulo M a derecha se dice indescomponible si M es diferente de cero y no tiene descomposición en suma directa M ∼ = N ⊕ L, donde L y N son A-módulos diferentes de cero. Ejemplos 1. Si ( I; ) es el poset {1 ≺ 2 · · · ≺ n}. Tendremos que   K K12 · · · K1n  0 K · · · K2n    KI =  .. .. ..  . . .  0 0 ··· K. 37.

(43) Como ya vimos el radical U de KI es:  0 K12 · · · 0 0 · · ·  U =  .. .. . . 0 0 ···.  K1n K2n   ..  .  0. Este es un submódulo de Mn (K ). Así Mn (K ) = Tn (k ) ⊕ U. En efecto Sea A ∈ Mn (K ) entonces   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    A =  .. .. ..   . . .  an1 an1 · · · ann donde aij ∈ K para 1 ≤ i, j ≤ n. Así . a11 0 · · ·  a21 a22 · · ·  A =  .. ..  . . an1 an1 · · ·. . . 0 a12 · · ·  0 0 · · ·    +  .. ..  . . ann 0 0 ··· 0 0 .. ..  a1n a2n   ..  = B + C .  0. Luego B ∈ Tn (K ) y C ∈ U. Por otro vemos que Tn (K ) ∩ U = 0. Además para a ∈ K se tiene que ( A, B) a = ( Aa, Ba) Para A ∈ Tn (K ) y B ∈ U. Luego Mn (K ) = Tn (K ) ⊕ U. 2. Veamos que Z visto como módulo es indescomponible. Sean hmi y hni submódulos de Z tales que Z = hmi ⊕ hni. Como mn ∈ hmi ∩ hni = 0 entonces mn = 0. Luego m = 0 o n = 0. Por lo tanto Z es indescomponible.. 2.2.. Lema de Nakayama. Lema 2.2.1 (Nakayama). Sea A una K-álgebra, M un módulo a derecha finitamente generado, e I ⊆ radA un ideal bilatero de A. Si MI = M, entonces M = 0. Demostración. Suponga que M = MI y M = m1 A + · · · + ms A, esto es, M es generado por los elementos m1 , . . . , ms .. 38.

(44) Se hará la prueba por inducción sobre s. Sea s = 1. Entonces M = m1 A = MI lo cual implica que m1 ( A − I ) = 0. Luego existe x ∈ I tal que m1 (1 − x ) = 0. Así m1 = 0 ya que (1 − x ) es invertible. Por lo tanto M = 0. Supongamos que M es generado por n elementos, es decir M = m1 A + · · · + mn A. Luego tenemos que M = MI = m1 I + · · · + mn I. Así para a1 , . . . , an ∈ I se tiene que m1 = m1 a1 + · · · + mn an . Luego m1 (1 − a1 ) = m2 a2 + · · · + mn an como 1 − a1 tiene inverso en A entonces m1 ∈ m2 A + · · · + mn A. Así M tiene n − 1 generadores m2 , . . . , mn . Luego por la hipótesis de inducción M = 0. Corolario 2.2.1. Si A es una K-álgebra de dimensión finita, entonces radA es nilpotente. Demostración. Como dimK A < ∞ entonces la cadena A ⊇ radA ⊇ (radA)2 ⊇ · · · ⊇ (radA)m ⊇ (radA)m+1 ⊇ · · · se vuelve estacionaria. Luego. (radA)m = (radA)m+1 = (radA)m radA para algún m. Así por el lema de Nakayama se tiene que (radA)m = 0 y por lo tanto radA es nilpotente.. 39.

(45) Capítulo 3 Categoría de módulos En este capítulo vamos a definir la categoría de módulos, para ello primero se dará una introducción a las categorías y funtores para así poder demostrar que la categoría de los módulos es una categoría abeliana y con esto mostrar que los módulos se pueden ver como conjuntos de espacios vectoriales conectados por aplicaciones lineales.. 3.1.. Categorías. D EFINICIÓN 19. ([5], pp 21) Una categoría es una cuádrupla C = (ObC , HomC , id, ◦) que consiste de 1. Una clase ObC , cuyos miembros son llamados objetos. 2. Para cada par ( A, B) de objetos, un conjunto HomC ( A, B), cuyos miembros son llamados morfismos de A a B. id. A 3. Para cada objeto A, un morfismo A −→ A, llamada identidad en A.. f. g. 4. Una ley de composición asociada con cada morfismo A − → B y cada morfismo B − → C un g◦ f. morfismo A −−→ C, llamado la composición de f y g sujeto a las siguientes condiciones f. g. h. a) La composición es asociativa, es decir, para morfismos A − → B, B − →CyC− → D, la ecuación h ◦ ( g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f se mantiene. f. b) Para C -morfismo A − → B, tenemos que id B ◦ f = f y f ◦ id A = f. 40.

(46) c) Los conjuntos homC ( A, B) son disjuntos dos a dos. Ejemplos 1. La categoría Set de los conjuntos. Los objetos son conjuntos A, los morfismos HomSet ( A, B) son funciones entre A y B, y la composición es la composición usual de funciones. 2. La categoría Vec de los espacios vectoriales. Los objetos son todos los espacios vectoriales reales (V, +, ·), los morfismos HomVec (V, W ) son transformaciones lineales entre V y W. La composición de morfismos es la composición de transformaciones lineales. La transformación identidad es: id :V −→ V v 7→ v Veamos que id ∈ HomVec (V, V ). En efecto id(u + v) = u + v = id(u) + id(v) id(αu) = αu = αid(u) Luego id es una transformación lineal. La composición de morfismos de Vec es un morfismos de Vec. Sean U, V, W ∈ ObVec, T ∈ HomVec (U, V ) y P ∈ HomVec (V, W ). Entonces P ◦ T (u + v) = = = =. P( T (u + v)) P( T (u) + T (v)) P( T (u)) + P( T (v)) P ◦ T (u) + P ◦ T (v). P ◦ T (λu) = = = =. 41. P( T (λu)) P(λT (u)) λP( T (u)) λP ◦ T (u).

(47) Luego P ◦ T ∈ HomVec (U, W ) La composición de morfismos de Vec es asociativa. En efecto, Sean U, V, W, Z ∈ ObVec, S ∈ HomVec (U, V ), P ∈ HomVec (V.W ) y T ∈ HomVec (W, Z ). Así s ◦ ( P ◦ S)(u) = = = = =. T ◦ ( P ◦ S(u)) T ◦ ( P(S(u))) T ( P(S(u))) ( T ◦ P)(S(u)) ( T ◦ P) ◦ S(u). Sean U, V ∈ ObVec y T ∈ HomVec (V, U ). Entonces idU ◦ T (u) = idU ( T (u)) = T (u) T ◦ idV (u) = T (idV (u)) = T (u) Se puede representar los morfismos de una categoría C por medio de diagramas. Así para f ∈ HomC ( A, B), g ∈ HomC ( B, C ) y h ∈ HomC (C, D ) tenemos que h ◦ ( g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f se puede representar como BO. g. /. f. ?C h. . Ao. D. h ◦ ( g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f D EFINICIÓN 20. Se dice que el diagrama A . f. /. h. C. i. /. B . g. D. en una categoría C es conmutativo si g ◦ f = i ◦ h D EFINICIÓN 21. ([6], pp 3) Sea C una categoría. Una categoría C 0 es un subcategoría si cumple las siguientes condiciones:. 42.

(48) I II. ObC 0 ⊆ ObC HomC 0 ( A, B) ⊆ HomC ( A, B), para A, B ∈ ObC 0 .. III. La composición de morfismos en C 0 es inducida por la composición de morfismos en C. IV. La identidad de morfismos en C 0 es la identidad de morfismos en C .. Una categoría C 0 se dice completa si para A, B ∈ ObC 0 , se tiene: HomC 0 ( A, B) = HomC ( A, B) Ejemplos 1. La categoría Set’ cuyos elementos son conjuntos A y los morfismos HomSet’ ( A, B) son funciones biyectivas de A en B es una subcategoría de la categoría Set. En efecto, como ObSet’ = ObSet se satisface la primera condición de subcategoría. Los morfismos HomSet’ ( A, B) son funciones biyectivas de A en B, así HomSet’ ( A, B) ⊆ HomSet ( A, B). Además las composición de morfismos en Set’ es la misma que en Set. Por último, la identidad en Set definida por id :A −→ A a 7→ a es biyectiva y por lo tanto también es la identidad de Set’. D EFINICIÓN 22. Sean X y Y objetos de una categoría C , se dice que: 1. Un morfismo h : X → X in C es un endomorfismo de X. 2. Un morfismo u : X → Y en C es un monomorfismo si para cada objeto Z en ObC y morfismos f , g ∈ HomC ( Z, X ), f. Z g. ) 5. tales que u ◦ f = u ◦ g, implica que f = g.. 43. X. u. /Y.

(49) 3. Un morfismo p : X → Y en C es un epimorfismo si para cada objeto Z en ObC y para cada par de morfismos f , g ∈ HomC (Y, Z ) X. p. /Y. f g. 5. ). Z. tales que f ◦ p = g ◦ p, implica que f = g. 4. Un morfismo u : X → Y en C es un isomorfismo si existe un morfismo v : Y → X en C tal que uv = idY y vu = id x . En este caso el morfimos v esta unicamente determinado por u, es llamado el inverso de u y se denota or u−1 . Si existe un isomorfismo u : X → Y en C , decimos que X y Y son isomorfos en C , y se nota X ∼ = Y. D EFINICIÓN 23. Sea K un campo. Una categoría C es una K-categoría si, para cada par XY ∈ ObC , el conjunto HomC ( X, Y ) tiene estructura de k-espacio vectorial tal que la composición ◦ de morfismos en C es una aplicación K-bilineal.. 3.1.1.. Categoría aditiva. D EFINICIÓN 24. La suma directa de objetos X1 , . . . , Xn de C es un objeto X1 ⊕ . . . ⊕ Xn de C junto con morfismos u j : X j → X1 ⊕ . . . ⊕ X n para j = 1, . . . , n, tal que para cada objeto Z in ObC y para cada conjunto de morfismos f 1 : X1 → Z, . . . , f n : Xn → Z en C , existe un único morfismo f : X1 ⊕ . . . ⊕ Xn → Z tal que f j = f ◦ u j , para j = 1, . . . , n. D EFINICIÓN 25. Una categoría C es una categoría aditiva si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Para cualquier conjunto finito de objeto X1 , . . . , Xn de C existe una suma directa X1 ⊕ . . . ⊕ Xn en C . 2. Para cada par X, Y ∈ ObC , el conjunto HomC ( X, Y ) de todos los morfismos de X a Y en C tiene estructura de grupo abeliano. 3. Para cada tripla de objetos X, Y, Z de C , la composición de morfismos en C es bilineal. 4. Existe un objeto 0 ∈ ObC (llamado el objeto cero de C ) tal que la identidad de morfismos id0 es el elemento cero del grupo abeliano HomC (0, 0).. 44.

(50) Ejemplo 3.1.1. Sea K un campo. Consideremos la categoría MapK donde los objetos son las triplas (V, W, f ) donde V y W son K-espacios vectoriales y f : V −→ W es una aplicación K-lineal. Un morfismo de (V, W, f ) a (V 0 , W 0 . f 0 ) en Mapk es un par (h1 , h2 ) de K-aplicaciones lineales tales que el diagrama V h1. . V0. f. f0. /W h2. . / W0. conmuta. La identidad viene dada por (idV , idW ) V idV. . V. f. /W. f0. . idW. /W. de manera que idV y idW son la identidad de espacios vectoriales. Si (h10 , h20 ) es un morfismo de (V 0 , W 0 , f 0 ) a (V 00 , W 00 , f 00 ) en MapK , establecemos (h10 , h20 ) ◦ (h1 , h2 ) = (h10 h1 , h20 h2 ). Veamos que la composición es asociativa. Sea (h100 , h200 ) un morfismo de (V 00 , W 00 , f 00 ) a (V 000 , W 000 , f 000 ). Entonces. (h100 , h200 ) ◦ [(h10 , h20 ) ◦ (h1 , h2 )] = (h100 , h200 ) ◦ (h10 h1 , h20 h2 ) = (h100 (h10 h1 ), h200 (h20 h2 ) = ((h100 h10 )h1 , (h200 h20 )h2 ) = (h100 h10 , h200 h20 ) ◦ (h1 , h2 ) = [(h100 , h200 ) ◦ (h10 , h20 )] ◦ (h1 , h2 ) Ademas (idV 0 , idW 0 ) ◦ (h1 , h2 ) = (idV 0 h1 , idW 0 h2 ) = (h1 , h2 ) y (h1 , h2 ) ◦ (idV , idW ) = (h1 idv , h2 idw ) = ( h1 , h2 ). Veamos que MapK es un categoría aditiva. La suma directa en Mapk es definida por la fórmula. (V, W, f ) ⊕ (V 0 , W 0 , f 0 ) = (V ⊕ V 0 , W ⊕ W 0 , f ⊕ f 0 ) esto es, la suma directa de aplicaciones K-lineales f y f 0 .. 45.

(51) Si definimos la suma de morfismos por (h1 , h2 ) + (h10 , h20 ) = (h1 + h10 , h2 + h20 ) tenemos que el conjunto de morfismos de MapK es un grupo abeliano. La composición es K-bilineal puesto que I. (h1 , h2 ) ◦ [(h10 , h20 ) + (h100 , h200 )] = (h1 , h2 ) ◦ (h10 + h100 , h20 + h200 ) = (h1 (h10 + h100 ), h2 (h20 + h200 )) = (h1 h10 + h1 h100 , h2 h20 + h2 h200 ) = (h1 h10 , h2 h20 ) + (h1 h100 + h2 h200 ) = (h1 , h2 ) ◦ (h10 , h20 ) + (h1 , h2 ) ◦ (h100 , h200 ). [(h1 , h2 ) + (h10 , h20 )] ◦ (h100 , h200 ) = (h1 + h10 , h2 + h20 ) ◦ (h100 , h200 ) = ((h1 + h10 )h100 , (h2 + h20 )h200 ) = (h1 h100 + h10 h100 , h2 h200 + h20 h200 ) = (h1 h100 , h2 h200 ) + (h10 h100 , h20 h200 ) = (h1 , h2 ) ◦ (h100 , h200 ) + (h10 , h20 ) ◦ (h100 , h200 ) II. Sea λ ∈ K. [(h1 , h2 )λ] ◦ (h10 , h20 ) = (h1 λ, h2 λ) ◦ (h10 , h20 ) = ((h1 λ)h10 , (h2 λ)h20 ) = ((h1 h10 )λ, (h2 h20 )λ) = (h1 h10 , h2 h20 )λ = [(h1 , h2 ) ◦ (h10 , h20 )]. (h1 , h2 ) ◦ [(h10 , h20 )λ] = (h1 , h2 ) ◦ (h10 λ, h20 λ) = (h1 (h10 λ), h2 (h20 λ)) = ((h1 h10 )λ, (h2 h20 )λ) = (h1 h10 , h2 h20 )λ = [(h1 , h2 ) ◦ (h10 , h20 )]. 46.

(52) Existe la aplicación (0, 0) V 0. . V0. f. f0. /W . 0. / W0. tal que para x ∈ V, 0( x ) = 0 y para y ∈ W, 0(y) = 0. Lema 3.1.1. Sea C una categoría aditiva, X1 ⊕ · · · ⊕ Xn ∈ C la suma directa de objetos X1 , . . . , Xn de C . Sea u j : X j −→ X1 ⊕ · · · ⊕ Xn el j-ésimo sumando encajado. Para cada j ∈ {1, . . . , n} existe un morfismo p j : X1 ⊕ · · · ⊕ Xn −→ X j (llamado el j-ésimo sumando de proyección) tal que p j ◦ u j = id Xj , p j ◦ ui = 0 para todo i 6= j y u1 ◦ p1 + · · · + un ◦ pn = id X1 ⊕···⊕Xn . Mas aún, dado un conjunto de morfismos g1 : X −→ X1 , . . . gm : X −→ Xn en C , existe un único morfimo g : X −→ X1 ⊕ · · · ⊕ Xn , tal que p j ◦ g = g j para j = 1, . . . , n. Demostración. Veamos que p j ◦ u j = id Xj y p j ◦ ui = 0 . En efecto, sea x j ∈ X j p j ◦ u j ( x j ) = p j (ui ( x j )). = p j ((0, · · · , x j , · · · , 0)) = xj Así p j ◦ u j ( x j ) = id Xj . Además p j ◦ ui ( xi ) = p j (u j ( xi )). = p j ((0, · · · , xi , · · · , 0)) =0 También podemos ver que u1 ◦ p1 + · · · + un ◦ pn = id X1 ⊕···⊕Xn ya que. (u1 ◦ p1 + · · · + un ◦ pn )(( x1 , · · · , xn )) = u1 ◦ p1 (( x1 , · · · , xn )) + · · · + un ◦ pn (( x1 , · · · , xn )) = u1 ( p1 (( x1 , · · · , xn ))) + · · · + un ( pn (( x1 , · · · , xn ))) = u1 ( x1 ) + · · · + u n ( x n ) = ( x1 , 0, · · · , 0) + · · · + (0, · · · , xn ) = ( x1 , · · · , x n ) Luego u1 ◦ p1 + · · · + un ◦ pn = id X1 ⊕···⊕Xn . Por último, Probemos que p j ◦ g = g j para el conjunto de morfismos dado y además g es única. En efecto, sea x ∈ X, y definamos. 47.

(53) a g como g( x ) = ( g1 ( x ), · · · , gn ( x )), así p j ◦ g( x ) = p j ( g( x )). = p j ( g1 ( x ), · · · , gn ( x )) = gj (x) Ahora supongamos que existe h : X −→ X1 ⊕ · · · ⊕ Xn definida por h( x ) = (h1 ( x ), · · · , hn ( x ), para x ∈ X tal que p j ◦ h = g j . Luego p j ◦ h( x ) = p j (h( x )). = p j (h1 ( x ), · · · , hn ( x )) = h j (x) = gj (x) Así como h j = g j para cada j entonces h = g. D EFINICIÓN 26. Sea C una categoría aditiva y f : X −→ Y un morfismo en C . El kernel de f es un objeto ker f junto con un morfismo u : Ker f −→ X tal que satisface las siguientes condiciones: 1. f ◦ u = 0 2. Para cualquier objeto Z de C y para cualquier morfismo h : Z −→ X en C tal que f ◦ h = 0, existe un único morfismo h0 : Z −→ Ker f tal que h = u ◦ h0 . Proposición 3.1.1. u es un monomorfismo. Demostración. Por definición de kernel, tenemos que para todo objeto Z y morfismo h : Z −→ X tal que f ◦ h = 0, existe un único morfismo h0 : Z −→ Ker f tal que h = u ◦ h0 . Sea g ∈ homC ( Z, ker f ) tal que u ◦ g = u ◦ h0 = h como h0 es el único que cumple esta condición entonces se debe tener que g = h0 luego u es un monomorfismo. D EFINICIÓN 27. Sea C una categoría aditiva y f : X −→ Y un morfismo en C . El cokernel de un morfimos f en C es un objeto Coker f con un morfismo p : Y −→ Coker f que satisface las siguientes condiciones: 1. p ◦ f = 0 2. Para cualquier objeto Z en C y para cualquier morfismo g : Y −→ Z en C tal que g ◦ f = 0, existe un único morfismo g0 : Coker f −→ Z tal que g = g0 ◦ p.. 48.

(54) Proposición 3.1.2. p es un epimorfismo. Demostración. Por definición de cokernel tenemos que Para cualquier objeto Z en C y para cualquier morfismo g : Y −→ Z en C tal que g ◦ f = 0, existe un único morfismo g0 : Coker f −→ Z tal que g = g0 ◦ p. Asi, sea h ∈ homC (coker f , z) tal que h ◦ p = g0 ◦ p = g como g0 es el único que cumple esta condición se debe tener que h = g0 . Por lo tanto p es un epimorfismo. Lema 3.1.2. Suponga que todo morfismo en C admite kernel y cokernel. Entonces para cada morfismo f : X −→ Y en C , existe un único morfismo f¯ en C tal que el cuadrado en el siguiente diagrama es conmutativo. Ker f. u. /. X. f. /Y O. p0. . Cokeru. p. /. Coker f. u0 f¯. /. Kerp. es decir f = u0 ◦ f¯ ◦ p0 , donde u0 es el kernel de p y p0 es el cokernel de u. Demostración. Por definición de cokernel tenemos que p ◦ f = 0. Así existe un único morfismo f 0 : X −→ Kerp tal que f = u0 ◦ f 0 . Ker f. u. /. X . p0. Cokeru. f. /Y O. f0 f¯. /. $. p. /. Coker f. u0. Kerp. Luego u0 ◦ f 0 ◦ u = f ◦ u = 0, como u0 es un monomorfismo se tiene que f 0 ◦ u = 0. Entonces existe un único morfimo f¯ : Cokeru −→ Kerp tal que f 0 = f¯ ◦ p0 . Por lo tanto f = u0 ◦ f¯ ◦ p0 . Veamos que f¯ es único. Supongamos que existe fˆ tal que f = u0 ◦ fˆ ◦ p0 . Así u0 ◦ f¯ ◦ p0 = u0 ◦ fˆ ◦ p0 Como u0 es un monomorfismo y p0 es un epimorfismo entonces f¯ = fˆ, Por lo tanto f¯ es única. El objeto Kerp es llamado la imagen de f y se denota por Im f .. 3.1.2.. Categoría abeliana. D EFINICIÓN 28. Una categoría C es una categoría abeliana si. 49.

(55) 1. C es aditiva. 2. Cada morfismo f : X −→ Y en C admite kernel u : Ker f −→ X de f y cokernel p : Y −→ Coker f de f y el morfismo inducido f¯ : Cokeru −→ kerp es un isomorfismo.. 3.2.. Funtores. D EFINICIÓN 29. ([5],pp30) Si A y B son categorías, entonces un funtor F de A a B es un función que asigna cada objeto A a un objeto F ( A), y cada morfismo f : A → A0 a un morfismo F ( f ) : F ( A) −→ F ( A0 ), de tal manera que 1. F preserva composición, es decir, F ( f ◦ g) = F ( f ) ◦ F ( g) siempre que f ◦ g este definido. 2. F preserva la identidad de morfismos, es decir, F (id A ) = id F( A) para cada A-objeto A. D EFINICIÓN 30. Un funtor T : C −→ C 0 de una categoría C a una categoría C 0 que asigna cada objeto X de C a un objeto T ( X ) de C 0 y cada morfismo h : X −→ Y en C a un morfismo T (h) : T ( X ) −→ T (Y ) en C 0 se dice covariante si satisface las siguientes condiciones: 1. T (id X ) = id T (X ) , para todo objeto X de C 2. Para cada par de morfismo X T ( f ) se mantiene.. f. /Y. y Y. g. /. Z en C , la igualdad T ( g ◦ f ) = T ( g) ◦. D EFINICIÓN 31. Un funtor T : C −→ C 0 de una categoría C a una categoría C 0 que asigna cada objeto X de C a un objeto T ( X ) de C 0 y cada morfismo h : X −→ Y en C a un morfismo T (h) : T (Y ) −→ T ( X ) en C 0 se dice contravariante si satisface las siguientes condiciones: 1. T (id X ) = id T (Y ) para todo objecto X de C . 2. Para cada par de morfismos X T ( g) se mantiene.. f. /Y. y Y. g. /. Z en C , la igualdad T ( g ◦ f ) = T ( f ) ◦. D EFINICIÓN 32. Sean T : C −→ C 0 y T 0 : C 0 −→ C 00 funtores se define la composición T 0 T : C −→ C 00 como sigue. Para cada objeto X de C , se establece T 0 T ( X ) = T 0 ( T ( X )), y, para cada morfismo X. f. /Y. en C , se establece T 0 T ( f ) = T 0 ( T ( f )).. 50.

(56) Proposición 3.2.1. T 0 T es un funtor. Demostración. Sean A, B, C ∈ obC y g ∈ HomC ( A, B), f ∈ HomC ( B, C ). Entonces T 0 T ( f ◦ g) = T 0 ( T ( f ◦ g)). = T 0 ( T ( f ) ◦ T ( g)) = T 0 ( T ( f )) ◦ T 0 ( T ( g)). = T 0 T ( f ) ◦ T 0 T ( g). Es decir T 0 T preserva la composición. Además T 0 T (id A ) = T 0 ( T (id A )). = T 0 (id T ( A) ) = id T 0 (T ( A)) = id T 0 T ( A) Así, T 0 T preserva la identidad y por lo tanto T 0 T es un funtor. D EFINICIÓN 33. Dada un par de categorías C y D , se define el producto C × D como la categoría cuyos objetos son parejas (C, D ) con C ∈ ObC , D ∈ ObD , y los morfismos h : (C, D ) −→ (C 0 , D 0 ) son las parejas h = (h1 , h2 ), donde h1 ∈ HomC (C, C 0 ) y h2 ∈ HomD( D,D0 ) . La composición ◦ en C × D se define por ( g1 , g2 ) ◦ (h1 , h2 ) = ( g1 ◦ h1 , g2 ◦ h2 ) para todo h1 ∈ HomC(C,C0 ) , g1 ∈ HomC(C0 ,C00 ) , h2 ∈ HomD( D,D0 ) y g2 ∈ HomD( D0 ,D00 ) . Cualquier funtor F : C × D −→ C 0 es llamado bifuntor.. 3.2.1.. Equivalencia de categorías. D EFINICIÓN 34. Sean T, T 0 : C −→ C 0 funtores. Un morfismo funtorial Ψ : T −→ T 0 (o transformación natural de funtores) es una familia Ψ = {Ψ X } X ∈ObC de morfismos Ψ X : T ( X ) −→ T 0 ( X ) tal que, para cualquier morfismo f : X −→ Y en C , el diagrama T(X) T( f ). . T (Y ). ΨX. ΨY. /. /. T0 (X) . T0 ( f ). T 0 (Y ). en C 0 es conmutativo. Se nota Ψ : T −→ T 0 . Se dice que Ψ es un isomorfismo funtorial (o una equivalencia natural de funtores) si, para cada X ∈ ObC , el morfismo Ψ X : F ( X ) −→ F 0 ( X ) es un isomorfismo en C 0. 51.

(57) Ejemplo 3.2.1. Sea u : X −→ X 0 un morfismo en la categoría C . Definamos un morfismo funtorial h(u) : h X −→ h X 0 asociado a u de la siguiente manera: Sean Y ∈ ObC y h(u)Y la aplicación h(u)Y : Homc (Y, X ) −→ HomC (Y, X 0 ) f 7−→ u f donde h X (Y ) = Homc (Y, X ) y h X 0 (Y ) = HomC (Y, X 0 ). Así se ha definido un morfismos funtorial de h X a h X 0 h X (y). h ( u )Y. O. h X 0 (Y ) O. hX0 ( f ). hX ( f ). h x (Y 0 ). /. / h ( u )Y 0. h X 0 (Y 0 ). para todo morfismo f : Y −→ Y 0 en C . Veamos que efectivamente el diagrama conmuta. Sea g ∈ h x (Y 0 ) entonces h(u)y (h X ( f )( g)) = h(u)y ( g f ) = u( g f ) = (ug) f = h X 0 ( f )(ug) = h X 0 ( f )(h(u)Y 0 ( g)) D EFINICIÓN 35. Un funtor covariante T : C −→ C 0 se dice que es una equivalencia de categorías si existe un funtor F : C 0 −→ C e isomorfismos funtoriales Ψ : idC −→ FT y Φ : idC 0 −→ TF donde idC e idC 0 son los funtores identidad en C y C 0 , respectivamente. El funtor F es llamado casi inverso de T. D EFINICIÓN 36. Si existe una equivalencia Ψ : T −→ T 0 de categorías C y C 0 , se dice que C y C 0 son categorías equivalentes, y se nota C ∼ = C 0 . Un funtor contravariante D : C −→ D es una equivalencia de categorías si el funtor covariante inducido D : C op −→ D es una equivalencia de categorías. El funtor D es llamado dualidad. D EFINICIÓN 37. Un funtor covariante T : C −→ C 0 es denso si para cualquier objeto A ∈ ObC 0 , existe un objeto C ∈ C y un isomorfismos T (C ) ∼ = A. Se dice que T es completo si la aplicación TXY : HomC ( X, Y ) −→ HomC 0 ( T ( x ), T (Y )) dada por f 7−→ T ( f ), es sobreyectiva para todos los objetos X y Y de C . Si TXY es una aplicación inyectiva, para todo X, Y ∈ ObC , el funtor T es fiel. Sean K un campo, C y C 0 dos K-categorías, el funtor T : C −→ C 0 es llamado K-lineal si para cada para de morfismos f , g : X −→ Y en C y para cada pa de elementos α, β ∈ K se tiene T ( f α + gβ) = T ( f )α + T ( g) β. 52.