Montes Saavedra Yesuha Israel 12211526 Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicaciones

Texto completo

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Instituto Tecnológico de Tijuana

Algebra Lineal

Profesor: Ma. Eugenia Bermúdez Jiménez

Unidad II

Matrices

Montes Saavedra Yesuha Israel

#12211526

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Índice

Matrices---3

Tipos de Matrices---4

Operaciones Con Matrices---6

Propiedades De Las Operaciones Con Matrices---10

Matriz Inversa---11

Determinantes---13

Aplicaciones---17

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Matrices

Las matrices son elementos adecuados para presentar mucha información correlacionada, en una forma organizada y práctica de analizar.

Se llama Matriz Real a un conjunto de números reales dispuestos en forma rectangular, dentro de un paréntesis redondo o cuadrado.

Los números dispuestos en forma horizontal se llaman Filas y los dispuestos en forma vertical se llaman Columnas.

El orden de la matriz queda determinado por el número de filas y de columnas respectivamente.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas, sus elementos con letras minúsculas y el orden en forma de subíndice. [1] Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m x n. [2]

Si m = n, decimos que A es una matriz cuadrada de orden n, y que los números a 11, a 22,. . ., a mn forman la diagonal principal de A.

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Tipos de Matrices

- Matriz Fila: es una matriz con una sola fila. F1x5= (2 -1 0 3 5).

- Matriz Columna: es una matriz con una sola columna. C3x1=

- Matriz Cuadrada: es una matriz con igual cantidad de filas que de columnas.

Se denota An y se lee “matriz de orden n”.

es una matriz cuadrada de orden 2.

- Matriz Triangular Superior: es una matriz cuadrada en la cual los elementos por debajo de la diagonal principal son cero.

En forma análoga, se define matriz Triangular Inferior. La Diagonal Principal comprende los elementos de la forma aij.

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Matriz Escalar: es una matriz diagonal en la cual los elementos de la diagonal principal son iguales.

- Matriz Identidad: es una matriz escalar en la cual la constante es uno.

- Matriz Nula: es una matriz de orden mxn en la cual todos los elementos son cero.

- Matriz Transpuesta De A: es la matriz que se obtiene a

partir de A, intercambiando filas por columnas. Se denota AT.

- Matriz Opuesta De A: es la matriz que se forma con los opuestos de los elementos de Amxn. Se denota – Amxn

- Matriz Simétrica: es una matriz cuadrada que es igual a su transpuesta.

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- Matriz Anti simétrica: es una matriz cuadrada igual a la opuesta de su transpuesta. [3]

Operaciones Con Matrices

Se llama Operación Elemental sobre una matriz a cualquiera de las siguientes modificaciones:

 Intercambiar dos filas (o columnas).

 Multiplicar todos los elementos de una fila (o columna) por una constante diferente de cero.

 Sumar término a término a una fila (o columna) otra fila (o columna) multiplicada por una constante. [3] Suma y Resta

La suma de dos matrices solo se puede realizar cuando estas tienen el mismo tamaño y el resultado es también una matriz m×n.

Ejemplo

Multiplicación Escalar

Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo escalar rA es la matriz cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de A. [5]

El resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene como componentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar. [4]

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Multiplicación

Si A es una matriz de m x n y B es una matriz de n x r, entonces el producto C x AB es una matriz de m x r.

c

ij

= a

i1

b

j1

+a

i2

b

j2

+…+a

in

b

nj

Note que A y B no tienen que ser del mismo tamaño. Sin

embargo, el número de columnas de A debe ser igual al número de renglones de B. [6]

Ejemplo

Multiplicación de una matriz fila por matriz columna

El producto de una matriz fila con una matriz columna sólo se puede llevar a cabo cuando la primera tiene tamaño 1 × n y la segunda n × 1 (las dos tienen el mismo número de componentes) y el resultado de la operación será una matriz 1 × 1(un

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Multiplicación De Matrices Como Una Combinación Lineal

Sea A una matriz de m x n y X un vector de n x 1. Considere el producto:

Multiplicación De Matrices Por Bloques

Se dividen los elementos de la matriz A mediante rectas verticales y horizontales en submatrices que se denominan bloques de A

Las operaciones por bloques se realizan análogamente a las operaciones entre matrices, con la única condición de que los bloques se puedan operar entre sí.

Para el producto por bloques es necesario que.

 El número de los bloques columna de la matriz A sea igual al número de bloques de la matriz B.

 Los bloques correspondientes podrán multiplicarse cuando coincidan el numero de columnas de la matriz A y el

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Ejemplo Sea

Y sea

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Propiedades De Las Operaciones Con Matrices

Propiedades de la suma de matrices

Sean A, B, C y D matrices de m × n y αβ dos escalares 1.- A + B = B + A. - Conmutativa

2.- A + (B + C) = (A + B) + C. - Asociativa 3.- Existe una única matriz O de m × n tal que A + O = A

para cualquier matriz A de m × n. La matriz O se denomina neutro aditivo de m × n, matriz nula o matriz cero.

4.- Para cada matriz A de m × n, existe una única matriz D de m × n tal que

A + D = O.

Escribiremos D como (–A), de modo que A + (-A) = O.

La matriz (-A) se llama inverso aditivo o negativo de A. 5.- α(A + B) = αA + αB. – Distributiva [3]

Propiedades de la multiplicación de matrices

Si A, B y C son matrices de los tamaños apropiados

1.- A(BC) = (AB)C. 2.- A(B + C)= AB + AC. 3.-(A + B)C = AC + BC.

4.- ABCD = A(B(CD)) = ((AB)C)D = (AB)(CD) = A(BC)D. 5.- A * 0 = 0.

6.- A * 1 = 1.

Propiedades de la multiplicación por un escalar

Si r y s son números reales y A y B son matrices, entonces

1.- r(sA) = (rs)A

2.- (r + s)A = rA + sA 3.- r(A + B) = rA + rB 4. A(rB) = r(AB) = (rA)B

Propiedades de la transpuesta

Si r es un escalar y A y B son matrices, entonces 1.- (AT)T = A

2.- (A + B)T = AT + BT

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Matriz Inversa

Se dice que una matriz A de orden n es Invertible O No-Singular, si es posible encontrar otra matriz B del mismo orden tal que: A x B = In = B x A.

En caso contrario, se dice que la matriz es Singular O No-Invertible.

B se llama Matriz Inversa de A y se denota como B = A-1 [1]

Ejemplo:

Para obtener A-1 requerimos usar la matriz identidad

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Propiedades de la matriz inversa

1.- La inversa de una matriz, si existe, es única. 2.- La inversa del producto de dos matrices es el

producto de las inversas cambiando el orden: (A * B)-1 = B-1 * A-1

3.- Si la matriz es invertible, también lo es su traspuesta, y el inverso de su traspuesta es la traspuesta de su inverso:

(At) = (A-1)t

4.- La inversa de una matriz inversa es la matriz original:

(A-1)-1 = A

5.- Una matriz es invertible si y sólo si el

determinante de A es distinto a cero. Además la inversa satisface la igualdad

A-1 = (1/|A|) adj(At)

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Determinantes

Un determinante es cierta clase de función que asocia un número real con una matriz cuadrada. Se representa por |A| Sea

Entonces

El determinante de una matriz de n x n se definirá de manera inductiva. En otras palabras, se usará lo que se sabe sobre un determinante de 2 x 2 para definir un determinante de 3 x 3, que a su vez se usará para definir un determinante de 4 x 4, y así sucesivamente. [3]

Determinante de 3 x 3

 Primer método

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Segundo método

Repetimos la primera y segunda columnas de A, como se muestra a continuación; formamos la suma de los productos de las

entradas sobre las líneas que van de izquierda a derecha, y restamos a este número los productos de las entradas en las líneas que van de derecha a izquierda. [2]

det A = Ejemplo

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Menor

Sea A una matriz de n x n y sea Mij la matriz de

(n – 1)*(n – 1) que se obtiene de A eliminando el renglón i y la columna j.

Mij se llama menor ij de A.

Encuentre M13 y M32

Eliminando el primer renglón y la tercera columna de A se obtiene

De manera similar, si se elimina el tercer renglón y la segunda columna se obtiene

El cofactor Aij del elemento ij se define por Aij(-1)i+jMij

Aij = (-1)i+jMij = (-1)1+1M11 = (-1)2M11 = 1M11

Los signos más o menos del cofactor (i, j) dependen de la posición de aij en la matriz, sin importar el signo de aij en

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Propiedades de las determinantes

1.- El determinante de una matriz es un invariable algebraico.

2.- El determinante de una matriz y el de su traspuesta es igual:

det (At) = det (A)

3.- Una aplicación lineal entre espacios vectoriales es invertible si y sólo si su determinante es nulo. Por lo tanto, una matriz con coeficientes en un cuerpo es

invertible si y sólo si su determinante es nulo

4.- Si en una matriz se cambian entre sí dos líneas paralelas, su determinante cambia de signo.

5.- Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

6.- Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7.- Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumados dicho determinante se

descompone en la suma de dos determinantes.

8.- El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

9.- La interpretación geométrica de un determinante de 2 x 2 seria suponer que cada una de sus filas

corresponde a las coordenadas de un vector.

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Aplicaciones

Estas matrices tienen una interpretación muy sencilla que es de gran utilidad en varias aplicaciones.

Supongamos que se tienen n personas, P1,..., Pn, con ciertos

dispositivos de comunicación, de manera que algunas personas pueden enviar mensajes a otras. Formamos una matriz A = [aij]

para este esquema definiendo:

aij =

Entonces, A es una matriz de incidencia. Note que si aij = 1

no necesariamente aji = 1; esto es, si la persona Pi puede

enviar mensajes a la persona Pj, no forzosamente la persona Pj

puede transmitir a la persona Pi. Una forma de representar

relaciones de comunicaciones de este tipo es por medio de un diagrama llamado grafo dirigido. En él los individuos Pi,

i=1,…, 4, están representados por puntos Pi que se llaman

vértices del grafo y las líneas que unen ciertos vértices se llaman aristas, las cuales indican direcciones hacia donde es posible transmitir comunicación.

En un circuito eléctrico es posible determinar la corriente en cada una de sus ramas en función de las resistencias y voltajes.

Ley de Kirchhoff 1 En todo nodo la suma de las corrientes entrantes es igual a la suma de las corrientes salientes. Ley de Kirchhoff 2 En toda malla del circuito la suma

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Bibliografía

1.- Álgebra Lineal

Rocío Buitrago Alemán

2.- Álgebra Lineal, 6ta Edición Stanley I. Grossman

Mcgraw Hill

3.- Algebra Lineal, 8va Edición Bernard Kolman & David R. Hill Pearson/Prentice Hall

4.- Algebra Lineal Para Estudiantes De Ingenieria Y Ciencias

Juan Carlos Del Valle Sotelo Mcgraw Hill

5.- Algebra Lineal y sus Aplicaciones, 3ra Edición David C. Lay

Pearson/Addison Wesley

6.- Álgebra lineal - Una Introducción Moderna, 3ra Edición

David Poole

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