Epístola de Pedro Peregrino de Maricourt, a Sigerio de Foucaucourt, soldado, sobre

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Imanes y Brújulas.- Plinio el Viejo, citando a Nicandro de Colofón, cuenta la historia de un pastor que estando apacentando sus rebaños en el Monte Ita notó cómo los clavos de sus sandalias y el hierro de su cayado eran atraídos por una piedra; el pastor se llamaba Magnes y la piedra recibió el nombre de piedra de Magnes o magnetita. La historia parece demasiado fantasiosa y es más probable que la magnetita deba su nombre a la región de Magnesia (había una Magnesia en Jonia y otra próxima a Macedonia) donde abundaba. Sea como fuere, lo que esta historia demuestra es que las propiedades de atracción de la piedra imán eran ya bien conocidas en la antigüedad. Thales de Mileto intentó explicar este fenómeno pero con un concepto insuficiente de la materia, incapaz de separar los conceptos de materia y fuerza. Atribuía el magnetismo a la presencia de un alma en la piedra imantada

También se conocía la magnetización inducida, es decir, el hecho de que la magnetita transmitía de alguna forma sus propiedades al hierro; así, Sócrates (470-399 a.C.) observó que atraía objetos de hierro y les transfería propiedades atractivas, consiguiendo suspender una ristra de anillos de un solo imán. Por el contrario, no existen referencias a la polaridad de la magnetita. Se afirmaba que la magnetita de ciertas regiones atraía al hierro mientras que la de otras regiones lo repelía. En consecuencia, tampoco se hace referencia a las propiedades de orientación de la piedra imán. Estas propiedades se irían conociendo a lo largo de la Alta Edad Media, primero en relación con prácticas mágicas o adivinatorias, hasta llegar al uso de la brújula en navegación, cuya primera referencia occidental aparece en Alejandro Neckam hacia 1190, aunque en China las referencias a las brújulas náuticas se remontan a dos siglos antes. Leyendas chinas hablan de su uso como brújula (83 a.C) que marca el sur y en un libro militar del 1084 se describe como fabricar una brújula.

Todo el saber acumulado durante este periodo sobre la piedra imán se resume en la

Epístola de Pedro Peregrino de Maricourt, a Sigerio de Foucaucourt, soldado, sobre

la piedra imán, escrita en 1265 y de cuyo autor poco más se sabe.

Pedro de Maricourt describe los fenómenos de magnetización inducida y la forma de construir brújulas, pero añade otras observaciones importantes. Al dar forma esférica a un imán y aproximarle pequeñas agujas de acero, comprobó que estas se orientaban sobre su superficie de un modo determinado en cada punto. Al dibujar las líneas que sugerían dichas orientaciones , encontró que se cortaban en dos puntos opuestos de la esfera, justo donde se mantenía la aguja vertical. También observó que esos puntos se orientaban siempre al norte y al Sur. Los llamo Polo Norte y Polo Sur y comprobó que al acercar dos polos iguales entre sí, los imanes se repelen y si son opuestos se atraen. Basándose en esto, Pedro de Maricourt pensaba también que el poder atractivo de la esfera de magnetita provenía de su relación con la esfera celeste. Incluso afirmaba que si se suspendiera una esfera de magnetita con sus polos magnéticos apuntando en las direcciones de los polos celestes, la esfera giraría al unísono con la esfera celeste, lo que constituiría una especie de movimiento perpetuo.

Los Polos Norte y Sur de la magnetita tienen propiedades opuestas: dos esferas magnéticas se repelen cuando se les acerca por sus polos iguales y se atraen cuando se les acerca por sus polos contrarios. Pedro de Maricourt también descubre que si una esfera magnética se corta en dos mitades, en cada una de ellas aparecerá un nuevo polo en la línea que unía los polos de la esfera completa; y que si las semiesferas se vuelven a unir desaparecen los polos interiores y la esfera se comporta como un imán único. En definitiva, en cualquier trozo de magnetita (sea o no esférico) existen siempre dos únicos polos de polaridades diferentes.

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nuevo atractivo, conteniendo un discurso breve sobre el magneto o piedra imán , 1581), observó que la aguja de un compás se balanceaba horizontalmente antes de haber sido magnetizada, pero en cuanto era frotada con una piedra imán su extremo Norte se inclinaba verticalmente y entonces supuso que la fuerza magnética provenía del interior de la Tierra.

En 1600, William Gilbert publica su De Magneto, en el que reconoce todos los logros de Pedro de Maricourt aunque niega su explicación de la acción magnética. Para explicar la orientación de los imanes y las agujas imantadas en la Tierra, Gilbert ideó un experimento que sugería una razón para las propiedades de la brújula: la Tierra en sí misma era un imán gigante. Usando como modelo de la Tierra, una calamita esférica (la llamó "terralla" o "pequeña Tierra"), Gilbert reprodujo no solamente las propiedades de apuntar hacia el norte de la aguja horizontal, sino también de la inclinación hacia abajo de la aguja que Robert Norman había hecho, y dicha orientación no tiene nada que ver con el movimiento de la esfera celeste.

Mediante el movimiento de una pequeña brújula alrededor de la “terrella” y observando que siempre señalaba en la dirección norte-sur, Gilbert argumentó que lo mismo, si bien a escala mucho mayor, era lo que sucedía con la Tierra, y de esta manera la Tierra es en sí misma un gigantesco imán, siendo la razón por la que las brújulas se orientaban en la dirección norte-sur.

A partir de entonces, gran parte de la investigación sobre el magnetismo estará asociada al magnetismo terrestre y a la construcción de brújulas precisas para la navegación. Gilbert reconoce que la magnetita y el hierro tienen la misma naturaleza. Pero entonces, ¿por qué la magnetita tiene siempre esta propiedad y por qué la puede transmitir al hierro que sólo la conserva durante un cierto tiempo? Además, la construcción de brújulas ponía de manifiesto que no todos los tipos de hierro se imanan por igual y que la fuerza de la imanación de las agujas y el tiempo que conservan sus propiedades depende del tipo de hierro y de su forma. (Las agujas de las brújulas debían «cebarse», es decir, frotarse regularmente con una piedra imán para que siguiesen imanadas).

Los primeros estudios sobre el geomagnetismo se debieron a un motivo práctico: los navíos que hacían navegación transoceánica necesitaban la brújula. Sus capitanes debían conocer la diferencia que existía entre el "norte magnético" y el "norte verdadero".

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Y, bajo el punto de vista teórico, ¿cómo pueden experimentar tales cambios las propiedades magnéticas de la Tierra? Ningún imán conocido se comportaba así. Edmond Halley, famoso por el cometa, salió a relucir en 1692 con una explicación ingeniosa. Afirmaba que el interior de la Tierra consistía en capas, esferas dentro de esferas. Cada esfera estaba magnetizada de forma independiente y cada una giraba lentamente con respecto a las otras.

En 1698 también comandó un pequeño buque, el Paramour, en un viaje para cartografiar el campo magnético del Océano Atlántico. De sus observaciones Halley hizo la primera carta magnética (más bien, la primera carta de perfiles existente) y que se usó ampliamente durante el siglo XVIII, aún cuando no se volvió a actualizar.

En 1724 George Graham halló que alguna veces la aguja de la brújula cambiaba de dirección, un ángulo pequeño, durante un día más o menos; un siglo más tarde

Alexander von Humboldt denominaría estos fenómenos como tormentas magnéticas.

Este efecto era muy extenso: Anders Celsius en Uppsala observó uno a la vez que Graham en Londres, y un siglo más tarde se halló que era de extensión mundial. Celsius y su estudiante Hiorter también observaron perturbaciones magnéticas asociadas a auroras boreales; hoy en día estos fenómenos están asociados con las "subtormentas magnéticas".

Debido a las semejanzas entre fenómenos eléctricos y magnéticos no es extraño que a lo largo de los siglos XVII y XVIII se propongan para los fenómenos magnéticos explicaciones de tipo similar a las de los fenómenos eléctricos. En una primera etapa, explicaciones basadas en efluvios materiales que salen de la magnetita. Más adelante, explicaciones basadas en la existencia de un fluido o fluidos magnéticos. Cualquiera que sea la explicación, lo más difícil evidentemente es explicar cómo surge la polaridad, permanente en el caso de la magnetita, y más o menos pasajera en el caso de las agujas imantadas.

Campo Magnético. Momento magnético de un imán.- Las acciones mutuas que, hemos dicho, se ejercen los polos dos imanes, nos indican que todo imán crea en el medio que le rodea un estado especial, que se manifiesta, al poner en uno de sus puntos otro imán, por las acciones que éste experimenta. Se dice que el imán crea en el medio que le rodea un

campo magnético, y siempre que un imán esté sometido a acciones exteriores es prueba de que se encuentra en un campo magnético. En consecuencia, ya que un imán se orienta en presencia de la Tierra, quiere decir que alrededor de ésta existe un campo magnético, al que se conoce con el nombre de campo magnético terrestre.

Y de igual forma que para visualizar los campos electrostáticos, ya hemos visto que se recurren a las líneas de campo, también los campos magnéticos se representan por medio de líneas de campo, que reciben el nombre de líneas de flujo. La dirección de una línea de flujo en cualquier punto del espacio perturbado es la misma que la dirección de la fuerza magnética que se ejercería sobre un polo Norte imaginario aislado y que se encontrase en dicho punto.

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Para hacer el estudio de un campo magnético cualquiera, se utiliza un magnetómetro que está constituido por un pequeño imán: cuya longitud es grande comparada con su sección, al que también se llama aguja imanada. Al colocar esta aguja en un campo magnético, toma una cierta posición de equilibrio, y, si se le separa de ella se encuentra sometida a un par que depende del ángulo girado, siendo máximo su momento cuando la aguja está a 90º de su posición de equilibrio. Si este momento máximo del par es “m” el momento del par en otra posición cualquiera enseña la experiencia que viene dado por la expresión:

    msin

siendo θ el ángulo de la aguja con su posición de equilibrio.

La existencia de este par sobre la aguja, la podemos interpretar como que el campo magnético ejerce sobre ella dos fuerzas iguales y paralelas, pero de sentidos opuestos, que podemos localizar en sus polos.

Si ahora medimos el par máximo que actúa sobre varias agujas imanadas, colocadas en diferentes puntos del campo magnético, se encuentra que dicho par máximo depende de un factor característico de la aguja, que llamamos su momento magnético

“M” y dé otro característico del punto del espacio, al que se da el nombre de intensidad del campo magnético“B”, quedando como resumen de los resultados experimentales

MB m  

y, por tanto, en una posición cualquiera se tendrá

 

 MBsin

Ahora bien, el factor “M” característico del imán, ha de tener la naturaleza de un vector, pues no sólo ha de dar la magnitud característica del imán, sino, además, su dirección y sentido, y como “ B ”también es un vector, podemos escribir:

B M  

  

Masa magnética de un polo. Leyes de Coulomb.- Admitido que la acción de un campo magnético uniforme, sobre una aguja imanada, se puede considerar como debida a dos fuerzas iguales, paralelas y de sentidos contrarios aplicadas a sus polos, siendo su dirección la de las líneas de fuerza, es evidente que;

 

 flsin

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mB f 

siendo “m” un coeficiente que atribuimos a cada polo para estos efectos y al que se llama

masa magnética del polo. Según esto en función de este coeficiente el momento magnético del imán es

l m M

pero, siempre hemos de tener presente que la masa magnética así definida, es un coeficiente sin realidad física y solamente introducido para facilidad de expresión, pues la verdadera característica del imán es el vector “M”.

Como sucedió con las fuerzas eléctricas, también fue Coulomb el primero en medir con su balanza de torsión las fuerzas magnéticas. Al estudiar las atracciones y repulsiones recíprocas entre agujas imanadas muy largas parecía como si la acción magnética estuviera concentrada en las puntas. En definitiva, cada aguja podía considerarse aproximadamente como dos cargas magnéticas puntuales del mismo valor pero de carácter opuesto ligadas por una varilla rígida. Con esta idea, Coulomb midió la fuerza entre dos «polos magnéticos» (es decir, la fuerza con la que se atraen o repelen dos puntas de agujas imantadas) y encontró que era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia dependiendo además de un coeficiente μ característico del medio interpuesto, y que se conoce con el nombre de permeabilidad magnética del medio,de modo, que:

Lo mismo que en Electrostática, esta fórmula nos permite definir la unidad de, masa magnética como aquella que puesta en presencia, de otra igual y a un centímetro de distancia, la repele con la fuerza de una dina, si están colocadas en el vacío. Así se define un. nuevo sistema de unidades, que es el más corrientemente usado para las magnitudes magnéticas y cuya característica fundamental es que en él, la permeabilidad magnética del vacío es por definición la unidad, para los demás medios, salvo algunos como el hierro, cobalto y níquel ya citados, la permeabilidad magnética se diferencia muy poco de la unidad.

Además, la expresión anterior permite definir la intensidad del campo magnético en un punto, como la fuerza que actúa sobre la unidad de masa magnética norte colocada en dicho punto, por tanto, en el sistema de unidades electromagnéticas, la unidad de campo magnética, que se llama oersted, es la intensidad del campo en un punto donde colocando la unidad de masa magnética, queda sometida a la fuerza de una dina.

Electromagnetismo.- Si bien los estudiosos, tanto de los fenómenos eléctricos como de los magnéticos tuvieron que haber presentido la existencia de una relación entre ellos, no pudieron establecerla. Las cargas eléctricas no influyen sobre los imanes, ni éstos sobre aquéllas.

El descubrimiento del nexo de unión entre la electricidad y el magnetismo se debe al danés Hans Christian Oersted. Un día del año 1820, cuando se dirigía a dar su lección en la universidad de Copenhague, Oersted tuvo una idea: Si la electricidad estática no afecta a los imanes de ninguna manera, puede que los hechos seran diferentes si se hace la prueba con electricidad que se mueve a los largo de un alambre conectado a los polos de una pila Volta. Al llegar al aula, Oersterd colocó en la mesa una pila Volta, conectó los extremos con un alambre de platino y situó una brújula a poca distancia. La aguja, que se suponía que siempre se orientaba en la dirección Norte – Sur, giró y se quedó quieta en la dirección perpendicular al alambre. A fin de entender este hecho inesperado, primero

r 2

2

1 u

r m m

f 

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pensó que el movimiento de la brújula podía deberse a las corrientes de aire caliente originadas por el alambre calentado por la corriente eléctrica. Para comprobarlo colocó un cartón entre el alambre y a la brújula . No observó diferencia alguna. Después giró la pila Volta 180º, de modo que la corriente en el alambre fluyera en dirección contraria. La aguja también giro 180º y su polo Norte señalaba en la dirección en que antes lo hacia el polo Sur. Para Oersted no cabía duda de que existía una interacción entre los imanes y la electricidad en movimiento y que la dirección según la que se orientaba la brújula dependía de la dirección en la que la electricidad recorría el alambre. Escribió todos los hechos y observaciones relativas a este descubrimiento en un artículo que mandó a la revista francesa Annales de Chimie et de Physique. El artículo fue publicado a finales de 1820, con la siguiente nota por parte de los editores:

Los lectores de los Annales deben haberse dado cuenta de que no apoyamos demasiado apresuradamente los anuncios de descubrimientos extraordinarios y hasta ahora no hemos podido no hemos podido más que congratularnos de esta política. Pero en relación con el artículo del señor Oersterd, los resultados por él obtenidos, por singulares que parezcan, están acompañados de demasiados detalles para que se pueda suscitar la menor sospecha de error.

¡De este modo el electromagnetismo, como Oersted lo llamó, llegó a ser una realidad!

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distintos electroimanes de las moléculas están orientados al azar en todas direcciones y el resultado neto es nulo. En los cuerpos magnetizados, los imanes moleculares están orientados, al menos parcialmente, en una dirección, produciendo de este modo su atracción o repulsión magnética. Estas ideas de Ampere han sido plenamente confirmadas por los físicos modernos, que consideran que las propiedades magnéticas de los átomos y moléculas son debidas a electrones que giran en torno al núcleo o giran rápidamente en torno a sus propios ejes.

Posteriormente, Biot y Servat realizaron el estudio cualitativo de la perturbación originada por un conductor rectilíneo por el que pasaba una corriente de intensidad I, estableciendo:

a) Las líneas de fuerza del campo magnético son circulares, en un plano perpendicular al conductor, con centro en el mismo.

b) Su sentido viene determinado por la regla del sacacorchos, o de la mano derecha. c) El valor del campo es directamente proporcional a la intensidad e inversamente al cuadrado de la distancia al punto considerado.

Estas leyes se representan en la figura.

A partir de sus investigaciones de la fuerza ejercida sobre un polo magnético por un conductor rectilíneo por el que circula una corriente, Biot y Servat propusieron una expresión que puede enunciarse de la forma siguiente:

un elemento de corriente crea en un punto P un campo magnético dB, de dirección perpendicular al plano determinado por el elemento y el punto, cuyo sentido es el de rotación de un sacacorchos que avanza en el sentido de la corriente y cuyo valor es:

2

r sin dl

dB I

o utilizando notación vectorial

3

r r l d B d

 

I

donde el factor de proporcionalidad debe reflejar la influencia del medio, es decir la permeabilidad. En el sistema internacional

adopta la forma "   4 0

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3 0

r r l d 4 B d

 

I

 

es conveniente notar que esta expresión es válida para medios finitos y homogéneos, despreciando los efectos frontera o de borde.

También, que aunque a primera vista, esta ley es parecida a la Ley de Coulomb , la ley de Biot y Servat nos asegura que el vector B no está dirigido a lo largo de la línea que sitúa el punto P, sino que es perpendicular a la misma.

Tal como vemos el sentido del campo magnético en un punto depende del sentido de la corriente eléctrica. Un regla empírica sencilla nos permiten su determinación.

Regla de los tres dedos de la mano derecha.- Para determinar el sentido del campo magnético en un punto P, el observador situará su mano derecha sobre el conductor, de forma que el pulgar señale el sentido de la corriente, el índice en la dirección que va desde el conductor al punto P. Entonces, el dedo medio, recogido en ángulo recto hacia el interior de la mano, nos indica el sentido del campo magnético.

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Campo magnético generado por un conductor rectilíneo indefinido.- Según se puede apreciar en la figura, se tiene:

 

   

cos r

dl 4 -2 sin r

dl 4

dB 0 2

2

0 I I

     

ahora bien, también se puede apreciar que:

  

 d

cos d dx dl ; tg d x ; cos r

d    2

en conclusión:

  

d cos d 4 dB 0 I

e integrando

 2

2 -0

d cos d 4 B

  

I

de donde

d 2

B 0 I

 

e introduciendo el valor de "0", se tiene:

d 10 2

B -7 I

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creado por una corriente eléctrica de 0.5107 A. a la distancia de un metro.

Campo magnético creado por una espira de radio R e intensidad I .- Consideremos la figura siguiente, y en ella un elemento de conductor "dl". Este elemento creará un

elemento diferencial de campo "dB", que debido a la simetría de la situación, define la generatriz de un cono, de manera que el campo magnético resultante "B" estará dirigido según la dirección del eje. Entonces

r R sin cos

-2 ) -2 (

-    

      

y así:

3 2 0

r R 2 B  I

y ya que:

2 2

2 R d

r  

siendo "d" la distancia desde el centro de la espira hasta el punto considerado, podremos escribir:

3

2 2 2

2 0

R d

R B

  I

que es la expresión correspondiente para el campo en el punto P.

Un caso particular se obtiene para el centro de la espira, en el que "d = 0", y así:

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Campo magnético generado por una corriente solenoidal.- Una corriente solenoidal, o simplemente un solenoide, es una corriente que circula por varias espiras coaxiales de un mismo radio, tal como se ve en la figura. Al considerar un punto P del eje del solenoide, el campo magnético generado en ese punto será igual a la suma de los campos magnéticos originados por cada una de las espiras. Supongamos que "N" es el número total de espiras del solenoide, siendo "L" su longitud, de esta manera, el cociente "N/L" nos indicará el número de espiras por unidad de longitud. Si consideramos un elemento diferencial de

longitud "dx" en él existirán dx L N

dN espiras, y si por "x" representamos la distancia

existente al punto P, según el resultado anterior el elemento de campo generado por esas "dN" espiras será:

L dx

N R x R dB 2 2 2 0 3 2

  I

y si "d" es la distancia desde el centro del solenoide al punto P, la integral será:

x R

dx 1 L N R 2 dB 2 L d 2 L -d 2 2 2 0

   3 I

cuyo resultado1 es:

                                 2 2 0 R 2 L d 2 L d -R 2 L d 2 L d L N 2 B 2 2 I

Situaciones particulares de interés son:

Punto medio del solenoide: En este caso "d = 0" y la expresión anterior adopta la forma:

1

Esta integral se resuelve mediante el cambio de variable x Rtag, obteniendo:

2 2 2 2

2 x R

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2 2 0

R L

L L

N 2 B

 

4 I

y si, además, "L >> R", entonces:

L N B 0I

Punto extremo del solenoide: En este caso "dL 2", y obtendremos:

2 2 0

R L

L L

N 2 B

   I

y si, además, "L >> R", entonces:

2L N B 0I

Ley de Gauss. Ley de Ampere.- Tal como sabemos los campos gravitatorio y electrostático tienen sus orígenes en la existencia de partículas características: las masas y las cargas. Esto hace que ambos campos presenten singularidades en tales puntos, a pesar de que en el resto del espacio sean uniformes. En otras palabras, la existencia de partículas características asegura la presencia de fuentes o sumideros, por lo que las líneas de campo son abiertas.

Por el contrario, en todos los ejemplos en los que hemos calculado “ B ” se ha puesto de manifiesto el hecho de que las líneas de campo se cierran siempre sobre sí mismas; este hecho es general y refleja, por otra parte, el que no es posible aislar los polos magnéticos (un imán siempre tiene un polo Norte y un polo Sur y a diferencia de las cargas no existen monopolos).

Esto implica que a través de cualquier superficie cerrada el flujo entrante y el saliente son idénticos y, en consecuencia, el flujo total a través de una superficie cerrada es nulo.De esta manera la ley de Gauss adoptará la forma:

BdS 0

y se enunciará como: El flujo de campo magnético a través de una superficie gaussiana es nulo.

Por otro lado, los campos gravitatorio y electrostático resultan ser conservativos, es decir que la circulación a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nula, lo que posibilita la definición de funciones potenciales. Veamos, ahora, lo que ocurre en el caso del campo magnético, para lo que consideraremos la situación representada en la figura siguiente, en la que, tal como sabemos, el campo magnético viene dado por:

n R 2

I B 0 

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y así, la circulación a través de la circunferencia de radio "R", será:

I I

0 0 2 R

R 2 R 2 B l d B l d B

C  

 

  

 

 

en definitiva, el campo magnético no es conservativo, ya que la circulación es proporcional a la intensidad de la corriente que lo origina, y además es independiente del punto considerado. Este resultado se conoce como ley de Ampere, y se enuncia de la forma siguiente: La circulación del campo magnético creado por una corriente de intensidad "I " , a lo largo de una curva o trayectoria cerrada C es proporcional a dicha corriente, siendo la permeabilidad el valor o factor de proporcionalidad.

Naturalmente, si consideramos más de una corriente, la expresión anterior tomará la forma:

 0 i

C  I

La ley de Ampère es equivalente a la ley de Gauss para el campo eléctrico. Recuérdese que ésta era una relación entre la componente normal del campo eléctrico en los puntos de una superficie cerrada y la carga neta contenida en dicha superficie. El teorema de Ampère es una relación entre la componente tangencial de B en los puntos de una curva y la intensidad de corriente neta que atraviesa la superficie limitada por dicha curva.

Esta ley es válida para cualquier curva C siempre que las corrientes sean constantes. De igual manera que para la ley de Gauss, la ley de Ampère es útil para el cálculo de un campo magnético sólo en casos de simetrías muy notables, ya que entonces, la integral de línea puede escribirse como el producto de B y una determinada distancia, relacionando B con la corriente encerrada en la curva. También, si las corrientes son constantes, la ley de Ampère es válida aunque no existan simetrías, si bien, en estos casos no sirve de ayuda para determinar una expresión del campo magnético.

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en la curva C, sin embargo al valor del campo B en los puntos de dicha curva y fuera de ella, cooperan todas. Por ejemplo, para el caso de la figura siguiente tendremos:

Bdl 0 -i2 i3 i4 i5 i6 

donde para la elección de los signos de las diferentes intensidades se ha procedido tal como se ha explicado.

Conviene notar una vez más que para poder determinar el campo magnetostático creado una distribución de corrientes, hay que resolver simultáneamente las ecuaciones:

S BdS0 ;

Bdl  0 I

cerrada 

  

aunque en diversos libros se indique que basta aplicar el teorema de Ampere, lo que es cierto cuando existan determinadas condiciones de simetría en la distribución que nos permitan hallar la dirección del campo mediante meras consideraciones físicas. Una vez hecho esto, la ley de Ampere nos permitirá determinar el módulo del campo.

Veamos alguna limitación de la ley de Ampere: supongamos que queremos determinar el campo magnético en un punto situado en la mediatriz de un segmento de corriente de longitud "L", a una distancia "r" de dicho segmento.

La aplicación del teorema de Ampere nos lleva a:

r 2 B 0 I

 

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el campo no es tangencial a la curva y su valor no es constante a lo largo de la misma). Otra posibilidad de obtener un elemento de conductor se muestra en la segunda de las figuras, una fuente de carga en el punto P1 y un receptor en P2, por ejemplo un conductor

esférico de carga +Q que se conecta con otro de carga -Q, cuando esto se realiza se obtiene una corriente I -dQ dten el segmento durante un breve tiempo hasta que las esferas se descargan. En este caso, obtenemos las consideraciones suficientes como para admitir la simetría exigida, y así el campo es tangencial en todo punto de la curva, pero ahora la corriente no resulta ser constante, y cuando la corriente no es constante la ley de Ampere, tal cual ha sido enunciada, no es válida.

Campo magnético producido por una carga en movimiento.- Tal como sabemos la intensidad de una determinada corriente, no representa sino una medida del número de cargas que atraviesan una determinada superficie por unidad de tiempo, es decir:

dt dQ

I

por lo tanto, una carga en movimiento es un caso particular de corriente eléctrica. De esta manera, tendrá asociado un campo magnético.

La intensidad puede expresarse en función de la velocidad de las cargas a través del conductor de la forma siguiente: Supongamos que en el conductor existen N partículas eléctricas por unidad de volumen, cada una de ellas con velocidad " v", de manera que en el intervalo de tiempo "dt" , cada una de ellas recorrerá una longitud de conductor igual a " dtv " y por lo tanto, atravesarán una sección " Sd

", arbitraria, "Nvdt dS  

" partículas, puesto que "NdS" es el número de cargas por unidad de longitud. si cada partícula posee una carga "q" , y "dQ" es la carga total que ha atravesado el elemento "dS", tendremos:

dt S d v qN dQ

 

y por tanto la intensidad será:

S d v qN dt

dQ  

 

I

Entonces consideremos un elemento elemental de circuito de longitud "dl", por el que circula una intensidad "I ", esta corriente originará un campo magnético dado por:

2 r 0

2 r 0

r u l d S d v qN 4 r

u l d 4 B d

    

  

  

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puesto que los vectores " v" y "dl 

" son paralelos, en la expresión anterior podemos intercambiarlos y así:

2 r 0

r u v S d l d Nq 4 B d

   

 

ahora bien, ya que "N" es el número de portadores por unidad de volumen, mientras que el

producto "dldS  

" representa el volumen, resultará que el término "NdldS  

" representará el número total de cargas existentes en el elemento de conductor considerado. Así pues, la expresión anterior corresponderá al campo magnético generado por todos los portadores encerrados en dicho volumen, y así el correspondiente a una única carga será:

2 r 0

r u v q 4 B

 

 

donde debe notarse que, al depender esta expresión de la velocidad de la carga, el campo magnético dependerá del sistema de referencia utilizado.

También, es interesante notar que el campo eléctrico originado por una partícula de carga "q" en un punto P viene dado por:

r 2 0

u r

q 4

1

E 

 

de forma que podremos escribir:

E v B 00 

estableciendo una relación entre los campos magnéticos y eléctricos generados por una misma carga en movimiento. En consecuencia, aunque una partícula cargada en reposo genera únicamente un campo eléctrico, la carga en movimiento origina tanto un campo eléctrico como uno magnético. A continuación se representan diferentes campos magnéticos originados por una carga positiva “q”, que se mueve con velocidad v, en diferentes puntos. También se representan los campos eléctrico y magnético originados por una carga en un determinado punto.

E

B

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Los campo eléctricos y magnéticos son, entonces, dos aspectos de una propiedad fundamental de la materia, la carga, por lo que resulta más adecuado utilizar el término

campo electromagnético.

Interacción magnética. Ley de Lorentz.- Tal como sabemos, todo campo de fuerzas se manifiesta por la aparición de interacciones entre los cuerpos que lo originan y las partículas de prueba introducidas en él. Tanto unos como otros deben poseer la misma propiedad, para que pueda producirse la mencionada interacción. En el caso de los campos magnéticos, esta propiedad es la carga en movimiento. Así pues, la interacción magnética tendrá lugar entre cargas móviles, es decir, podrán interactuar: dos cargas en movimiento, una carga móvil y una corriente eléctrica, dos corrientes eléctricas, etc.

Experimentalmente se determina que la fuerza debida a la interacción magnética entre una carga "q" que se mueve con velocidad " v " en el seno de un campo magnético " B ", viene dada por:

B v q F  

es decir:

a) La fuerza es perpendicular al plano definido por los vectores velocidad y campo. b) Su sentido viene determinado por la regla del sacacorchos.

c) Su módulo es "qvBsin ", siendo "" el ángulo formado por la velocidad y el campo en cada punto en el que se encuentre la carga.

A partir de la expresión anterior es fácil deducir los siguientes hechos:

La fuerza es nula en el caso en que los vectores campo y velocidad sean paralelos.

El valor máximo de la fuerza se obtiene para el caso en que los vectores campo y velocidad sean perpendiculares, siendo su valor "Fmáx q vB".

Para valores numéricamente iguales de la carga, siendo iguales los valores de la velocidad y el campo, la fuerza tendrá la misma intensidad y dirección, pero sentidos opuestos según la carga sea positiva o negativa.

La expresión anterior, nos permite definir la unidad de campo magnético, ya que

un campo magnético que tenga una densidad de flujo igual a un tesla ejercerá una fuerza de un newton sobre una carga de un coulumbio que se mueva perpendicularmente al campo con una velocidad de un metro por segundo. Por tanto:

1 T = 1 N / (C. m/s ) = 1 N / A.m.

(18)

E v B

q B v q E q

F     

esta última expresión se denominafuerza de Lorentz.

Estudio de la expresión FqvB.- Antes de comenzar un estudio más detallado, según los casos, notemos que la fuerza generada por una carga en movimiento dentro de un campo magnético es, en todo punto, perpendicular a la velocidad. Esto significa que, la fuerza originada únicamente producirá alteraciones sobre la dirección del vector velocidad, y por lo tanto sobre la trayectoria de la partícula, pero no sobre su módulo, lo que a su vez significa que no se producirán variaciones en la energía de la partícula. En definitiva, el efecto de la fuerza ejercida será ir curvando la trayectoria de la partícula cargada.

Veamos entonces diferentes situaciones.

Campo magnético uniforme y partícula cargada moviéndose con velocidad perpendicular al mismo.- En este caso, al ser los vectores velocidad y campo perpendiculares, la intensidad de la fuerza nos vendrá dada por:

B v q F

(19)

Si bien, el módulo de la velocidad no varía no ocurre lo mismo con su dirección. Esto, tal como sabemos, significa que no existiendo aceleración tangencial alguna, sí existe una aceleración normal, centrípeta o radial, que originará una fuerza inercial que compensa a la magnética y hace que la trayectoria sea estable. Es decir:

R v m a m B v q

2 N  

de donde, el radio de la trayectoria nos vendrá dado por:

B q

v m R

La velocidad angular correspondiente a este movimiento será:

m B q R

v

expresión que recibe la denominación de frecuencia ciclotrónica. Por otro lado, la frecuencia del movimiento viene dada por:

m 2

B q 2 f

  

notemos que, según esta expresión, la frecuencia no depende de la velocidad de la partícula: las más rápidas describirán circunferencias de radio mayor que las más lentas, pero todas ellas tardarán el mismo tiempo en recorrer sus respectivas circunferencias.

Por otro lado la expresión que nos daba la frecuencia ciclotrónica, únicamente nos daba su módulo, para determinar su dirección y sentido, recordemos que:

v aN   

 

y así:

B v q v m a

mN    

es decir, teniendo en cuenta la propiedad anticonmutativa del producto vectorial, tendremos:

v B q -v

m 

de donde:

B m

q  

(20)

campo magnético, pero sentido opuesto, si la carga es positiva y el mismo sentido se la carga está cargada negativamente, tal como se aprecia en las figuras siguientes:

Campo magnético uniforme y partícula moviéndose en una dirección arbitraria.- En este caso el vector velocidad puede descomponerse en una dirección paralela al campo y en otra perpendicular al mismo. La primera componente no contribuirá la interacción ya que no produce fuerza alguna, por el contrario la segunda de las componentes, originará órbitas circulares. Por tanto, el resultado final será una órbita en forma de hélice con su eje paralelo a la dirección del campo, tal como se muestra en la figura siguiente. La proyección de la trayectoria sobre el plano YOZ, visto a lo largo del eje OX, es una circunferencia, mientras que, las proyecciones sobre los planos XOY y XOZ son senoides. Las expresiones determinadas hasta el momento son válidas, siempre que la velocidad se reemplace por la componente perpendicular de la misma.

Campo magnético variable y partículas moviéndose en una dirección arbitraria.- Es un compendio de los dos casos

(21)

extremos, tal como se representa en la figura siguiente. Esta configuración se conoce como

botella magnética.

Otro ejemplo, de una configuración de este tipo lo constituyen los llamados

cinturones de radiación Van Allen. En ellos, partículas cargadas, principalmente protones y electrones, quedan atrapadas por el campo magnético no uniforme de la Tierra moviéndose en espirales alrededor de las líneas del campo terrestre, oscilando entre los polos magnéticos, en donde el campo es más intenso.

Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en un campo magnético.- El funcionamiento de diversos aparatos, que involucran el movimiento de cargas en campos magnéticos uniformes, tienen su fundamento en la Ley de Lorentz. Veamos algunos.

(22)

ranura y lo hará con una velocidad dada por:

B E v

de forma que las partículas que tengan esta velocidad no sufrirán desviación alguna, mientras que aquellas que tengan velocidades superiores o inferiores si se desviarán.

Espectrómetro de masas.- Es un dispositivo que permite la separación de iones según la relación entre la masa y la carga. Una versión simple, consiste en un selector de velocidades y, a continuación, una región donde se halla definido un campo magnético uniforme, B0, dirigido tal como se observa en la figura siguiente. Una vez que los iones penetran en la región donde se ha definido el campo B0, se moverán describiendo una semicircunferencia de radio "r", antes de chocar con una placa fotográfica. Entonces:

v B r q

m 0

y teniendo en cuenta la expresión de la velocidad obtenida en el apartado anterior obtenemos:

E B B r q m 0

de esta manera, es posible determinar el cociente m q midiendo el radio de curvatura y conociendo los valores de los campos B, B0 y E. En la practica y en general, se miden las

masas de diversos isótopos de un ión dado, con la misma carga; de manera que se puede determinar la razón entre las diferentes masas sin conocer el valor de la carga.

Efecto Hall.- En 1879, Edwin Hall descubrió que cuando un conductor que lleva corriente se coloca en un campo magnético, se genera una tensión o diferencia de potencial, en una dirección perpendicular tanto a la corriente como al campo magnético. Este hecho, conocido como efecto Hall, proviene de la desviación de los portadores hacia uno de los lados del conductor como consecuencia de la acción del campo magnético. Es pues una ratificación de la fuerza de Lorentz, que anteriormente hemos estudiado.

(23)

intensidad, es decir, según la figura de la forma v- vk, si la lámina está sometida a un campo magnético B , tal como el indicado en la figura, la fuerza que actúa sobre cada electrón será:

- vk Bj

- veBi e

-F    

en consecuencia, los electrones se desplazarán hacia el borde de la placa situado en la región negativa del eje OX. Este borde se cargará negativamente, dejando cargado positivamente el otro borde. Ello hace que aparezca, en el interior de la placa, un campo eléctrico E-Ei, que ejercerá sobre los electrones una fuerza:

i eE F 

llegándose al equilibrio cuando ambas fuerzas sean iguales, o sea:

vB E evB E

e   

De esta manera, entre los bordes de la placa aparece una diferencia de potencial, cuyo valor es:

vBd Ed V

-V - 

que recibe el nombre de potencial de Hall, V ,siendo "d" la anchura de la placa. H

La densidad de corriente j, en función de la densidad de portadores, N, de la carga de cada uno de ellos, e, y de su velocidad v, se expresa, entonces como:

v Ne

j 

 

puesto que si I, es la intensidad de la corriente, la densidad de corriente será:

S I j

y de esta forma, tendremos que si "a" es el espesor de la lámina, entonces "S = a.d", y así:

Nev ad

I

de esta manera el potencial de Hall se puede escribir como:

aNe B I Bd Ne

j

(24)

donde la constante CH 1 Ne se denomina constante de Hall. Esta puede determinarse experimentalmente, midiendo el potencial de Hall, la densidad de corriente y la inducción magnética. De su signo y valor se deduce el signo de los portadores de carga y la densidad de éstos en el material.

El efecto Hall, también puede utilizarse para medir campos magnéticos, ya que su intensidad viene dada por:

a I C

V jd C

V B

H H H

H  

Acción entre corrientes. Definición de Amperio.- Una corriente eléctrica no es sino un flujo de portadores de carga, en general, electrones de manera que al introducir un conductor en un campo magnético, cada una de las cargas que forman dicha corriente sufrirá una fuerza dada por:

B v q F  

e introduciendo la densidad de carga " j Nqv 

 ", podremos escribir:

B j N

1 F  

por otro lado, si "dl" es un elemento de longitud del conductor, "S" la sección del mismo y "N" el número de cargas por unidad de volumen, resultará que en el elemento de volumen "dVSdl" existirán "NSdl" cargas, y de esta forma la fuerza neta ejercida sobre ellas será:

B j S dl B j N

1 S dl N F S Ndl F

d     

  

 

y por ser los vectores "dl" y " j" paralelos, podremos escribir:

B l d I B l d Sj F

d   

siendo “ I ” la intensidad de la corriente que circula por el conductor.

Consideremos ahora dos conductores "1" y "2", cada uno de los cuales es recorrido por corrientes de intensidades "I " e "1 I ", respectivamente. Según sabemos, cada uno de 2 estos conductores generará un campo magnético, "B1

" el conductor "1" y "B2 

(25)

3 2 2 0 2 r r l d I 4 B d      

que actuará sobre el elemento "dl1" ejerciendo una fuerza dada por:

2 1 1

1 I dl dB F

d    

y así:

dl r

l d r 1 I I 4 r r l d I 4 l d I F d 2 1 3 2 1 0 3 2 2 0 1 1 1                      

y considerando los circuitos en su totalidad, obtenemos:

     2 2 1 3 1 2 1 0

1 dl dl r

r 1 I

I 4

F   

expresión, que en líneas generales, resulta difícil de calcular. Veamos entonces algunos casos particulares.

Conductores rectilíneos paralelos.- Consideremos la situación que se presenta en la figura siguiente.

la fuerza que ejerce el conductor “1” sobre el “2”, se escribirá en la forma:

 2 1

12 I dl B

F 

haciendo uso de la expresión de B1, así como de la perpendicularidad entre “dl ” y “2 B1”, resulta una fuerza que es atractiva si las corrientes tienen el mismo sentido y repulsiva en caso contrario, y cuyo módulo es:

21 2 1 0 1 0 L 0 2 2

12 L F

(26)

lo que nos permite escribir la fuerza por unidad de longitud, de la forma:

d 2

I I L

F12 0 1 2

  

y considerando una longitud "l", la expresión sería:

l d

I I 2 F 0 1 2

12

  

La expresión correspondiente a un conductor de longitud unitaria nos sirve para la definición del Amperio, ya que suponiendo que la distancia entre ambos conductores fuese, también, unitaria (d = 1m.) y que por ambos pasase la misma intensidad, la fuerza ejercida sobre el conductor "2" sería:

2 0 12 2I

4 F

  

y de esta forma: Dados dos circuitos paralelos e indefinidos por los que circula una misma corriente y separados la unidad de longitud (1 m.), se dice que por ellos pasa la unidad de intensidad (1 A.) si la fuerza que se ejercen es de 210-7 N.

Torque magnético sobre una corriente eléctrica.- Consideremos un circuito rectangular, tal como el mostrado en la figura, que es recorrido por una corriente eléctrica de intensidad "I" situado en el interior de un campo magnético "B ", de forma que este campo y el vector de superficie formen un determinado ángulo "" y dos de los lados, por ejemplo los de longitud "a", sean perpendiculares a dicho campo. Sobre cada uno de los lados de la espira, el campo magnético ejercerá una fuerza dada por:

B l I F 

y así:

 

sin B b I F : b" " lados los sobre Fuerza

B a I F : a" " lados los sobre Fuerza

2 1

siendo "" el ángulo formado por cada uno de los lados de longitud "b" y la dirección del campo magnético. Ahora bien, las fuerzas que se generan sobre cada uno de estos lados son opuestas y tienden a deformar la espira, por lo que si la consideramos indeformable estas fuerzas no producirán efecto alguna sobre la misma.

(27)

espira gire, tal como se representa en la figura. El torque así originado tendrá el valor siguiente:          sin S B I sin b B a I sin b F d F1 1

que en forma vectorial podrá escribirse como:

B u S I B S I N          

donde "uN" es el vector unitario perpendicular a la superficie. La expresión anterior, también se escribe como:

B m  

  

donde, se ha definido el vector

u S I S I

m   N

que recibe el nombre de momento dipolar magnético.

Es interesante notar que el torque tiende a situar a la espira perpendicularmente a la dirección del campo, de manera que el momento dipolar magnético quede alineado con el campo magnético.

Esta expresión, aunque deducida para una espira rectangular, es válida para cualquier otra disposición, siendo pues un resultado general.

Electrón girando alrededor de un núcleo atómico.- Un ejemplo típico de dipolo magnético lo constituye un electrón que gira alrededor de su núcleo. Sea q el valor de la

carga que describe una órbita cerrada, que supondremos circular. Si

  

2

f es la

frecuencia de su movimiento, resultará que por un punto dado la carga q pasará f veces por unidad de tiempo, y de esta forma Iqf, representará la intensidad de la corriente en cada punto de su trayectoria. Esta intensidad tendrá el mismo sentido que la velocidad o el opuesto, según que la carga sea positiva o negativa.

El momento dipolar magnético orbital de la carga será:

2 2 2 r q 2 1 r 2 q r f q S m          I

por otro lado si "m" es la masa de la partícula, su momento cinético o angular será:

2 r m r v m

L  

(28)

L 2m

q m

o en forma vectorial:

L 2m

q m  

tal como se representa a continuación

en consecuencia, los vectores momento dipolar magnético y momento cinético, tienen sentidos iguales u opuestos, según que la carga sea positiva o negativa. En concreto para el electrón y el protón se tiene:

L 2M

e m ; L M 2

e -m

p p

e e

 

 

 

Por otro lado, si "s" es el spin o momento angular interno de la partícula cargada, deberá existir un momento dipolar magnético asociado a dicho spin. Ahora bien, la estructura matemática de tal momento dipolar no es la que se ha visto, ya que es necesario introducir un factor de proporcionalidad que tiene en cuenta la estructura interna de la partícula. Este factor de proporcionalidad se denomina factor giromagnético, de esta manera se escribe:

s 2M

e ms

 

 

donde "M" es la masa de la partícula. Combinando ambos resultados, obtenemos el momento dipolar magnético total de una carga "e" que recorre una órbita y gira sobre sí misma:

L s

2M e

m  

Figure

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