Página 187 P R A C T I C A
R a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s d e u n á n g u l o
1
Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos. Previamente, calcula la longitud del lado que falta.a) = = = 6 cm
senα= = 0,6 senβ= = 0,8
cosα= = 0,8 cosβ= = 0,6
tgα= = 0,75 tgβ= = 1,
)
3b) = = ≈13,98 cm
senα= ≈0,58 senβ= ≈0,82
cosα= ≈0,82 cosβ= ≈0,58
tgα= ≈ 0,71 tgβ= ≈1,41
c) = = ≈16,45 cm
senα= ≈0,87 senβ= ≈0,5
cosα= ≈0,5 cosβ= ≈0,87
tgα= ≈1,73 tgβ= 9,5 ≈0,58
16,45 16,45
9,5
16,45 19 9,5
19
9,5 19 16,45
19
√270,75
√192– 9,52
BC
11,4 8,1 8,1
11,4
8,1 13,98 11,4
13,98
11,4 13,98 8,1
13,98
√195,57
√8,12+ 11,42
AB
8 6 6
8
6 10 8
10
8 10 6
10
√36
√102– 82
AB
α
α
α
β β
α β
β
a) b)
c) d)
10 cm
8,1 cm
9,5 cm
8 cm
19 cm
16,3 cm
12,5 cm
A
A A
A B
C
C
B
C
B
B C
d) = = ≈20,54 cm
senα= ≈0,79 senβ= ≈0,61
cosα= ≈0,61 cosβ= ≈0,79
tgα= ≈1,304 tgβ= ≈0,77
2
Halla las razones trigonométricas del ángulo α en cada uno de estos trián-gulos:a)senα= = 0,45 cosα= = 0,89 tgα= = 0,5
b)tgα= = 1,41 La hipotenusa h es: h= = 14,2
senα= = 0,82 cosα= = 0,58
c)cosα= = 0,82 senα= = 0,57 tg α = = 0,69
3
Midiendo, calcula las razones de β:a)sen β= = 0,8
)
3 b) sen β= ≈0,31cos β= = 0,6 cos β= ≈0,91
tg β= = 1,3
)
8 tg β= 11 ≈0,3432 28
18
32 35 18
30
11 35 25
30
0,57 0,82
√1 – (0,82)2 15
18,2
8,2 14,2 11,6
14,2
√11,62+ 8,22 11,6
8,2
0,45 0,89
√1 – 0,452 2,4
5,3
12,5 16,3 16,3
12,5
16,3 20,54 12,5
20,54
12,5 20,54 16,3
20,54
√421,94
√12,52+ 16,32
AB
2,4 cm 5,3 cm
8,2 cm
α
α
α 11,6 cm
18,2 cm
15 cm
a) b) c)
A
A B
25 mm
30 mm
11 mm
32 mm
35 mm 18 mm β
β
B C
C
4
Calcula las razones trigonométricas de β:☛
Construye un triángulo trazando una per-pendicular a uno de los lados.senβ= = 0,61
cosβ= = 0,79
tgβ= 0,77
5
Obtén con la calculadora sen, cos y tg de los siguientes ángulos:a) 19° b) 32° c) 48°
d) 64,5° e) 70° 30' f ) 83° 50'
a)sen19° = 0,325568154
cos19° = 0,945518575
tg19° = 0,344327613 b)sen32° = 0,529919264
cos32° = 0,848048096
tg32° = 0,624869351 c)sen48° = 0,743144825
cos48° = 0,669130606
tg48° = 1,110612515 d)sen64,5° = 0,902585284
cos64,5° = 0,430511096
tg64,5° = 2,096543599
e) La forma de introducir 70°30' en la calculadora es con la tecla →
70 30 y aparecerá 70,5.
sen70° 30' = 0,942641491
cos70° 30' = 0,333806859
tg70° 30' = 2,823912886 f )sen83° 50' = 0,994213627
cos83° 50' = 0,107420963
tg83° 50' = 9,255303595
25 32,5
32,5 41 25 41
β
β
41 mm
32,5 mm
6
Utiliza la calculadora para hallar el ángulo α en cada caso: a) senα= 0,45 b) cosα= 0,8 c) tgα= 2,5a)senα= 0,45 → 0,45 26° 44' 37"
Luego α= 26° 44' 37"
b)cosα= 0,8 → 0,8 36° 52' 11,6"
Luego α= 36° 52' 11,6"
c)tgα= 2,5 → 2,5 68° 11' 55"
Luego α= 68° 11' 55"
R e l a c i o n e s f u n d a m e n t a l e s
7
Si sen 67° = 0,92, halla cos67° y tg67° utilizando las relaciones funda-mentales.(cos67°)2+ (sen67°)2= 1 → cos67° = = ≈0,39
tg67° = = ≈2,36
Luego, cos67°≈0,36 y tg67°≈2,36
8
Si senα= 3/5, calcula cosα y tgα utilizando las relaciones fundamentales (α< 90°).senα= (α< 90°)
cosα= = = = = → cosα=
tgα= = = → tgα=
9
Halla el valor exacto de senα y cosα sabiendo que tgα= 2.Llamamos s= senα y c= cos α = 2 → s= 2c
s2+ c2= 1 → (2c)2+ c2= 1 → 4c2+ c2= 1 → 5c2= 1 → c2= →
→ c= → c= y s= 2 ·
Luego, cosα= y senα= 2√5 5
√5
5
√5
5
√5
5 1
√5
1 5
s c
3 4 3
4 3/5 4/5
senα cosα
4 5 4
5
√
1625 9
√
1 – —25 3
√
1 –(
—)
2 5√1 – (senα)2 3
5
0,92 0,36
sen67°
cos67°
√0,1536
10
Completa esta tabla:En todos los casos solo tomaremos valores positivos.
• senα= 0,92 → cosα= = 0,39
tgα= = 2,35
• tgα= 0,75
= 0,75 → senα= 0,75 · cosα
(senα)2+ (cosα)2= 1 → (0,75 · cosα)2+ (cosα)2= 1 →
→ (cosα)2= 0,64 → cosα= 0,8
senα= 0,75 · 0,8 = 0,6
• cosα= 0,12 → senα= = 0,99
tgα= = 8,27
• tgα=
= → senα= cosα
(senα)2+ (cosα)2= 1
(cosα)2+ (cosα)2= 1 → (cosα)2= 1
(cosα)2= → cosα=
senα= · =
• senα= 0,2 → cosα= = 0,98
tgα= = 0,2
• cosα= → senα= = → senα=
tgα= = √3/2 √3 1/2
√3
2
√
34 1
√
1 –(
—)
2 2 12 0,2 0,98
√1 – 0,22
√5
3 2 3
√5
2
2 3 4
9
9 4 5
4
√5
2
√5
2
senα cosα
√5
2 0,99 0,12
√1 – (0,12)2
senα cosα
0,92 0,39
√1 – (0,92)2
0,92 0,6 0,99 /3 0,2 /2
0,39 0,8 0,12 2/3 0,98 1/2
2,35 0,75 8,27 √5/2 0,2 √3
√3 √5
senα cosα
Resolución de triángulos rectángulos
11
Calcula los lados y el ángulo desconocido en cada uno de los siguientes trián-gulos rectántrián-gulos:a)C^= 90° – 68° → C^= 22°
sen68° = → = 14,3 · sen68°≈13,26 cm
≈13,26 cm
cos68° = → = 14,3 · cos68°≈5,36 m → ≈5,36 m
b)B^= 90° – 50° → B^= 40°
sen50° = → = ≈13,84 cm
≈13,84 cm
tg 50° = → = ≈8,89 m → ≈8,89 m
c)B^= 90° – 20° → B^= 70°
cos20° = → = ≈18,09 cm
≈18,09 cm
tg20° = → = 17 · tg20°≈6,19 m → ≈6,19 m
d)C^= 90° – 45° → C^= 45° (Triángulo isósceles)
sen45° = → = 21 · sen45°≈14,85 cm
≈14,85 cm
Por ser isósceles, AB = BC → AB ≈14,85 m
BC
BC
—
BC
21
AB AB
—
AB
17
BC
17
cos20°
BC
17 —
BC
AC
10,6
tg50°
AC
10,6 —
AB AB
10,6
sen50°
AB
10,6 —
AB
BA BA
—
BA
14,3
AC
AC
—
AC
14,3
a) b)
c) d)
10,6 cm 14,3 cm
50° 68°
20° 45°
21 m 17 m
A
A A
A
B
B B
B C
C C
12
Halla los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos:a)sen A^= ≈0,55 → A^≈33,37° → A^≈33° 22' 12" ^
B= 90 – A^= 90° – 33,37° = 56,63° → B^= 56° 37' 48"
b)tg C^= ≈0,54 → C^≈28,37° → C^≈28° 22' 12" ^
B= 90 – C^= 90° – 28,37° = 61,63° → B^= 61° 37' 48"
c)cos C^= ≈0,86 → C^≈30,68° → C^≈30° 40' 48" ^
A= 90 – C^= 90° – 30,68° = 59,32° → A^= 59° 19' 12"
d)tg C^= ≈1,43 → C^≈55,03° → C^≈55° 1' 48" ^
A= 90 – C^= 90° – 55,03° = 34,97° → A^= 34° 58' 12"
Página 188
13
Halla la medida de los lados y ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (A∧ = 90°):a) b= 5 cm c= 12 cm Calcula a, B∧ y C∧ b) c= 43 m C∧ = 37° Calcula a, b y B∧ c) b= 7 m C∧ = 49° Calcula a, c y B∧ d) a= 5 m B∧= 65° Calcula b, c y C∧
a)a= = = 13 cm
sen B^= = 22,62 → B^= 22° 37' 11''
C^= 90° – 22,62 = 67,38 = 67° 22' 48'' 5
13
√169
√52+ 122 9,3 6,5
39,3 45,8 12 22,3
4,3 7,8
a) b)
c) d)
4,3 m
45,8 m
22,3 m
12 m
6,5 m
9,3 m A
A
A A
B B
B B
C C
C C
7,8 m
39,3 m
B C
a
12 cm 5 cm
b) B^= 90° – 37° = 53°
cos B^= → cos53° = → a= = 71,45 m
tg B^= → b= 43 · tg53° = 57,06 m
c)B^= 90 – 49 = 41°
cos C^= → a= = 10,67 m
sen C^= → c= 10,67 · sen C^= 8,05 m
d) C^= 90° – 65° = 25°
sen65° = → b= 5 sen65° = 4,53 m
cos65° = → c= 5 cos65° = 2,11 m
14
En un triángulo rectángulo, ∧ ABC, con el ángulo recto en C, conocemos B= 50° y el cateto = 7 cm. Calcula , y A∧.cos B^= → AB—= = 10,89 → AB—= 10,89 cm
tg B^= → AC—= 7 · tg B^= 8,34 → AC—= 8,34 cm
A^= 180° – 90° – 50° = 40° → A^= 40°
15
Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50° con el suelo.tg50° = → h= 13 · tg50° → h= 15,49 m
La torre mide 15,49 m de altura.
h
13 —
AC
7
7
cos50° 7
—
AB
AC AB BC
c
5
b
5
c
10,67
7
cos49° 7
a
b
43
43
cos53° 43
a
43
a
B C
c
b 5 m
65° A
B C
a b
43 m 37°
A
B C
a
c 7 m
49°
A
A C
B
50°
7 cm
50°
h
16
De un triángulo rectángulo se sabe que un ángulo mide 45° y uno de sus catetos 5 cm. ¿Cuánto miden el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo?tg45° = → 1 = → a= 5 cm
b= = 5 ≈7,1 cm; a= 90° – 45° = 45°
El otro cateto mide 5 cm, la hipotenusa 7,1 cm y el ángulo 45°.
17
Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2 m de la pared?cosα= = → α= 60°
La inclinación de la escalera es de 60° respecto del suelo.
18
Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide el lado del rombo?tgα= → α= 56,3° → β= 90 – 56,3 = 33,7° Los ángulos del rombo son:
A^= 56,3 · 2 = 112,6°; B^= 33,7 · 2 = 67,4°
l= = = 7,21 cm
El lado del rombo mide 7,21 cm.
19
En el triángulo ABC:a) Traza la altura sobre ACy halla su longitud. b) Calcula el área del triángulo.
a)sen50° = → h= 12 · sen50° = 9,19 m
b) Área = = 23 · 9,19 = 105,68 m2 2
b· h
2
h
12
√16 + 36
√42+ 62 6 4
1 2 2 4
√2
√52+ 52
a
5
a
5 α
5
a b
45°
α
2 m 4 m
β
α
A l
B 6
4
B
C 23 m
12 m
A
20
Calcula el área de este triángulo:☛
Al trazar la altura se forman dos triángulos rectángulos. Halla sus catetos.sen35° = → h= 20 · sen35° = 11,47 m
cos35° = → b= 20 · cos35° = 16,38 m
Área de T1= = = 93,94 m2
Área total = 2 · 93,94 = 187,88 m2
P I E N S A Y R E S U E LV E
21
Una línea de alta tensión pasa por dos transformadores, T y T'. Este es un plano de la línea:Calcula las longitudes de los tres tramos de cable.
sen60° = → b= = 200 ≈346,4 m
sen30° = → a= 600 m
cos45° = → c= = = 300 ≈424,3 m
Longitud total: a+ b+ c= 200 + 600 + 300 = 1 370,7 m
22
Una estructura metálica tiene la forma y dimensiones de la figura. Halla la longitud de los postes AB y BE y la medida de los ángulos A∧ , C∧, EBD∧ y ABC∧.√2
√3
√2 600
√2
300
cos45° 300
c
300
a
√3 600
√3
300
b
16,38 · 11,47 2
b· h
2
b
20
h
20
20 m
35° 35°
h T1
b
300 m 300 m
60°
45°
30°
A B C
Por el teorema de Pitágoras: —
AB= = = 7,21 m
—
BE= =
= = 4,47 m
tg A^= = → A^= 0,
)
6 67,38° = 33° 41' 24"C^= A^= 33° 41' 24"
ABC= 180° – A^– C^= 180° – 33,69° = 112,62° = 112° 37' 12"
tg B^'= = → B^'= 26,57° → B^'= 26° 34' 12"
EBD= 2B^'= 53,14° = 53° 8' 24"
23
Los espeleólogos utilizan un carrete para medir la profundidad. Sueltan hilo del carrete y miden la longitud y el ángulo que forma con la horizontal. Halla la profundidad del punto B.sen30° = → a= 38 · sen30° = 19 m
sen70° = → b= 30 · sen70° = 28,19 m
La profundidad es:
20 + a+ b= 20 + 19 + 28,19 = 67,19 m
24
Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del 12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera?tg α= = 0,12 → α= 6,84° = 6° 50' 34"
Si h son los metros que hemos descendido: sen α=
h= 7 000 sen(6° 50' 34") = 834 m → Hemos descendido 834 m.
h
7 000 12
100
b
30
a
38 1 2 2 4
2 3 4 6
√4 + 16
√22+ 42
√16 + 36
√42+ (4 + 2)2
4 m
4 m
2 m 2 m
4 m 4 m
A E D
B
B'
C
A
a
b ENTRADA
B
20 m
38 m
25 m
30 m 30°
70°
12 m
100 m
α
h
7 km
Página 189
25
En el triángulo isósceles ABC, halla:a) La altura .
b) Los ángulos A∧, B∧ y C∧.
a) Por ser isósceles, = = = 6 cm
Calculamos la altura aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo AHB:
92= 62+ 2 → 81 = 36 + 2 → = = ≈6,71
La altura BH mide 6,71 cm.
b)cos A^= = 0,
)
6 → A^= 48,19° → A^= 48° 11' 24"Por ser ABCun triángulo isósceles, se cumple que A^= C^. Luego: C^= 48° 11' 24"
^
B= 180° – A^– C^= 180° – 2 · 48,19° = 83,62° → B^= 83° 37' 12"
26
Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1 200 metros y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30°.¿A qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 40 m de altura?
tg30° = → d= 1 160 = 2 009,2 m
tg30° 1 200 – 40
d
6 9
√45
√81 – 36
BH BH
BH
BH
12 2
HC AH BH
A C
9 cm 9 cm
B
12 cm
H
d D
1
200 m
Utilizando el teorema de Pitágoras:
D= = 2 340,3 m
La distancia del avión al pie de la torre es de 2 340,3 m.
27
Resuelve el siguiente triángulo ABC; es decir, averigua las medidas de sus elementos desconocidos. Empieza por trazar la altura AH.A^= 180° – 45° – 30° = 105°
cos C^= → = → CH— =
tg45° = → 1 = → AH— =
sen30° = → = → c= 2
cos30° = → = → HB— =
Ángulos:
Lados:
28
El diámetro de una moneda de 2 € mide 2,5 cm. Averigua el ángulo que forman sus tangentes trazadas desde una distancia de 4,8 cm del centro, como indica la figura.sen = → = 15,09° = 15° 5' 41''
α= 30,19° = 30° 11' 22''
α
2 1,25
4,8
α
2
a= √—6 + √—2 ≈3,9
b = 2
c= 2√—2 ≈2,8
A^= 105°
B^= 30°
C^= 45°
√6 —
HB
2√—2
√3
2 —
HB c
√2
√2
c
1 2 —
AH c
√2 —
AH √—2 —
AH
—
CH
√2 —
CH
2
√2
2 —
CH
2
√(1 200)2+ (2 009,2)2
A
H a B
C
c
b = 2
30° 45°
h
α
4,8 cm
