PROBLEMARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES 5.0 Solución De Una Ecuación Diferencial

21  82 

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LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG.

1

PROBLEMARIO DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

5.0 Solución De Una Ecuación

Diferencial

Verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde c1 ,c2 son constantes.

2

1 1

2 2 2

1

2

2

1] si 0, 0

1 1

2] si cos 10

2 2

3] 2 2 0 si

1 4] 2 0 si

5]

x

dy y

y x c x c

dx x

y y senx y senx x e

xydx x y dy x y y c

x dy xydx y

x

y

  

     

    

   

1

1

2

2 2 2

1

2 1

1 si ln 0

6] si 1

7] 0 si c

8] tan si cos ln sec tan 9] 3

at at

y x

y y x x x

x

ac e dP

P a bP P

dt bc e

x y dx x xy dy x y xe

y y x y x x x

x y

  

  

     

     

  2 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 0 si ln , 0

10] 3 3 0 si

11] si

12] si 2 ln

13] 2 si

x

xy y y x x x x

y y y y y x e

xy y x y y xtgx

xy

y x y y

x y

xyy x y y x cx

    

    

    

  

    

14]

Compruebe que es una familia uniparamétrica de soluciones

y

xy

 

y

2

es

y

cx c

2

Determine un valor para k tal que 2

ykx sea una solución singular de la ecuación diferencial dada.

15] Encuentre los valores de m tales que mx

ye Sea una solución de cada una de las

Siguientes ecuaciones diferenciales.

0

25

10

)

0

6

5

)





y

y

y

b

y

y

y

a

16] Encuentre los valores de m tales que yxm sea una solución de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

0

4

16

)

0

)

2 2





y

y

x

y

x

b

y

y

x

a

5.1 Ecuaciones Diferenciales Por

Variables Separables

Resuelva la ecuación diferencial dada, por el método de

separación de variables.

3 3

2 2

3

3 2 2 3

2 2 2 2

2

1

1] 0

3

2] ( 1) 6 5 ln 1

3] 3 3 ln

1

4] 3 2

5] (4 ) (2 ) 0 2 (4 )

6] 2 ( 1) ln

x x

x y y x

dx e dy y e c

dy

x x y x x c

dx

dx x y

x x xy cx

dy x

dy

e e e c

dx

y yx dy x xy dx y c x

y x dy xdx y x x

 

    

       

     

    

       

      1 c

2 3 2

3

2

2

1 1

7] ln ln 2 ln

3 9 2

8]

1

9] sec csc 0 4 cos 2 2

t

dx y x y

y x x x y y c

dy x

dP P

P P ce

dt P

xdy ydx y x sen x c

 

     

 

   

     

2

2 3

2 1

10] 2 cos ( ) 0

. 2 cos

11] ( 1) ( 1) 0

. ( 1) 2( 1)

y y

y y y

y y x x

x y

e sen xdx x e y dy

sol x e ye e c

e e dx e e dy

sol e e c

 

 

 

  

     

   

    

2 2

1

12] ( ) ( 1)

1 1

. ( 1) ln 1 ln

2 1

3 3

13]

2 4 8

. 5 ln 3 5 ln 4

dy

y yx y

dx

x

sol y y y c

x

dy xy x y

dx xy x y

sol y y x x c

  

      

  

  

      

2

2 2

14] (cos 2 cos ) . cot cos

15] 1 .

2

dy

senx y y sol y x c

dx

x

x y dx dy sol y sen c

     

 

   

(2)

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2

 

2 1 1

16] .

17] 1 1 cos (0) 0

. 1 cos 1 4

x x x

y

y dy

e e y sol y tg e c

dx

e senxdx x dy y

sol x e

  

     

   

  

 

 

1

1 2 2

2 2

2 3

4

1 2

3 2

18] 4 1 (0) 1

. 1 2 2

19] 4 1 1

4

. 4

20] ( 1) 1 .

1 21] 1 .

3 1

22]

x

ydy x y dx y

sol y x

dx

x x

dy

sol x tg y

x y y xy y sol xy e

x dy

x sol y

dx

dy y

sol

dx x

 

  

  

  

 

       

   

  . y 1 cx

2 2

2 2 2

2

1

23] 1 1

3 1

24] 1 ln 1

2

2 3 2 1

25]

4 5 2 3 4 5

x dy y x y y x x

e y e e e y e e c

dx

y

x y dy y dx y y c

x

dy y

c

dx x y x

      

     

 

        

 

  

  

 

26] dQ 70 . kt 70

K Q sol Q ce

dt     

 

1

1

1

1

2 2 2 2 2 2 2 2

27] y dy 1 x 1 y 1 y 1 x c

x dx

       

 2 2 2

1 2

2

2

1 2

28] 2 .

2 2

29] 2 ln 1 5 ln 3

3 3

30] (1) 3 . 3

1 1 1

31] (2) 2 .

1 1 1

5

32] 2 1 (0)

2

t

dy x

sol y x x c

dx y y

dy xy y x

y y x x c

dx xy y x

dy

ty y y sol y e

dt

dy y y x

y sol c

dx x y x

y y y

 

     

  

       

  

    

    

    

    

    

2 5 5

4 4

2

2 2

1 1

33] 0 . 34] 4 :

35] 0 . cos

36] 1 1 0 .

1

x

x y y sol c

y x

y xy sol y ce

y ytgx sol y c x

c x

x dy y dx sol y

cx

     

   

    

     

3

2 1

37] ln 0 .

38] . cos

3 39] 0 . sec 40] 1 .

cx

y ydx xdy sol y e

x

y seny x sol y c

y ytgx sol y c x

xyy y sol

   

 

   

 

    

    yln y 1 lnxc

5.2 Ecuaciones Diferenciales

Homogéneas

Resuelva la ecuación diferencial homogénea dada.

 

2 2

2 2 1

2

2 3 3

1] 0 . ln

2] 0 . ln

3] ln 2

4] 0 . 4 ln

5] 2 3

x y dx xdy sol x x y cx

y yx dx x dy sol x y x cy

dy y x y

x y tg x c

dx y x

ydx x xy dy sol x y y c

x ydx x y dy

     

     

    

      

 

 

2

9 3 3

2

2

2

2 2 2

2 3 3 3 3

.

6] . 2 ln

7] 4 . 8 ln

8] .

9] (1) 2 . 3 l

x

x

y y

y x

sol y c x y

dy y x sol y x c

x

dx x y

dx

y x ye sol e y c

dy

x xy y dx xydy sol y x cx e

dy

xy y x y sol y x

dx

  

    

    

     

    

3

2

2 2 2

2 2

n 8

10] 2 3 (1) 2 . 4

11] 0 (1) 0 . ln 1

12] 3 4 (1) 1

. 4 ln ln

y y y

x x x

x x

dy

x xy y y sol y x x y

dx

x ye dx xe dy y sol x e

y xy dx x xy dy y

y

sol x x x y x c

x

      

 

 

   

   

0

ln

)

(

.

1

)

0

(

0

]

13

2 2 2

x

y

y

x

sol

y

dy

y

xy

x

dx

y

 

 

2

1 2

2

2 1

14] 1

2

. ln 2 1 2

15] 2 . 2 3

16] . 3

dy

x y xy y y

dx

x

sol y

y

ydx x y dy sol x y cy

dy x y

sol x y c x y

dx x y

   

    

    

    

(3)

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3

 

 

2

4 4 3

2 2

2

1 2

2 2

17] 2 0 . ln

18] 1 . ln

19] ln . ln 1

20] 2 ( 1)

y x

x

x y dx x ydy sol x c

y x

dy y x sol y x tag y x c

x

dx x y

dy y y

sol cx

dx x x

x y dx xydy y

     

 

      

 

   

   

4 2 2

2 2 2

2 2

3 3 2

2 2

2

1 . 2

21] (0) 1

. ln 1

22] 2 2 (1) 2

1

. ln

2

23] (1) 0 .

sol x x y

xydx x dy y x y dy y

sol x y y y

y dx x dy x ydx y

sol y x x

x y dx xdy y sol

  

   

   

  

  

   

24] Suponga que

M

(

x

,

y

)

dx

N

(

x

,

y

)

dy

0

es una ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones

x

r

cos

,

y

rsen

reduce la ecuación a una de variables

separables.

2 2

2 2 4

25] x 2y dxxydy0 sol. yxcx

3

2 2

2

2

2 2

6 26] 3 2 0 .

1 27] 2 . ln ln

28] 0 . 2

2 29] 2 6 .

7 30

y x

cx

x y xy y sol y

cx

xy y xe sol y x cx

x y dx x y dy sol x xy y c

c

xy x y sol y x

x

     

    

       

     

2 2 2

] 2 . 1

cx

x y y xy sol y

cx

    

5.3 Ecuaciones Diferenciales

Reducibles A Homogéneas

1] 1 2 2 1 0

. 2 ln

2] 1 4 2 0

.

3] 2 3 1 0

.

4] 2 4 0

.

x y dx x y dy

sol x x y x y c

x y dx x y dy

sol

x y dx x y dy

sol

x y dx x y dy

sol

     

    

     

     

     

2

1

5] .

1

3 2 7

6] .

4

6

7] .

8

8

8] (1) 2 2 18 3

1

dy x y

sol dx x

dy x y

sol dx x y

dy x y

sol dx x y

dy y x

y y x y x x

dx y x

 

 

 

 

   

 

   

        

 

2

2 1 1

9] 14 4 9

7 2 2

2

10] 3ln 1

4

2 1

11] .

5 2 3

2 1

12] .

1

2 1

13]

4

dy y x

y y x y x

dx y x dy x y

y x y x c

dx x y dy x y

sol dx y x

dy x y

sol dx y

dy x y dx

   

      

   

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 .

2 3 sol

yx 

4

14] .

6 4

15] .

6

16] 2 2 1 0 .

1

17] .

4 2

18] 2 3 1 4 1 0 .

dy x y

sol

dx x y

dy x y

sol

dx x y

x y dx y dy sol

dy x y

sol

dx x y

x y dx x dy sol

 

 

   

 

 

    

 

 

 

     

5.4 Ecuaciones Diferenciales Exactas

Determine si la ecuación diferencial es exacta, si es exacta resuélvala.



3

2 4

3 2 2

3 2 1 2

2

2

3

1] 5 4 4 8 0

5

. 4 2

2

2] 2 0

.

3] 3 2 cos 0

. cos

4] 2 6

. 2 2 2

3 3

5] 1 1 0

. 3ln

x

x x

x y dx x y dy

sol x xy y c

x y x y dx x x y dy

sol

y y senx x dx xy y x dy

sol xy y x x c

dy

x xe y x

dx

sol xy xe e x c

y dx x dy

x y

sol x y xy

   

  

    

    

  

  

   

 

   

 

 

   

(4)

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4

2 3 3 2

2

3 3 1

2 3

2 2 4

3 2 4 2

4 3 3

2

1

6] 0

1 9

. 3

7] cos cos 0

. ln cos cos

8] 1 2 2 4 4

. 2

9] 4 15 3 0

. 5

10] 2

dx

x y x y

x dy sol x y tg x c

tgx senx seny dx x ydy sol x x seny c

dy

x y x xy

dx sol y x y y x c

x y x y dx x y x dy sol x y x xy y c

x y dx xy x

 

 

  

  

   

   

     

   

 

2

3 2 2

2 2

2

3 3 2

1 0 (1) 1

1 4

.

3 3

11] 4 2 5 6 4 1 0 ( 1) 2

. 4 5 3 8

12] cos cos 0

. cos

2

13] 1 ln 1 ln .

14] 3 0

dy y

sol x x y xy y

y x dx y x dy y

sol xy x x y y

seny ysenx dx x x y y dy y

sol y x xseny c y

x dx x dy sol

x

x y dx xy dy

  

   

       

    

    

  

 

 

 

   . 3 1 4

4

sol xy x c

  

2 2

2

2 3

3 2

2

15] 0 .

16] 3 2 0

.

y y

y

x x x

dx dy sol c

y y y

x y e dx x xe y dy sol x y ye y c

   

    

  

2

17] 3 cos 3 3 3 2 5 0

. 5 3 3

18] 2 (0) 1

. 2 3

x y

y y x

x x sen x dx y dy

sol y y xsen x x c

e y dx x ye dy y

sol y xy ye e e

    

   

    

    

19] Halle el valor de k de modo que las siguientes ecuaciones sean exactas.

3 4 2 2 3

4 3

2 2

3 2 2

) 2 3 20 0 10

) 2 20 0 5

) 2 2 1 0 1

) 6 cos 0 9

x x

a y kxy x dx xy x y dy k

b x ysenxy ky dx xy xsenxy dy k

c xy ye dx x y ke dy k

d xy y dx kx y xseny dy k

      

       

      

     

20] Obtenga una función

M

(

x

,

y

)

que de modo sea exacta la siguiente ecuación diferencial.

0

1

2

)

,

(

dy

x

xy

xe

dx

y

x

M

xy

 

x

h

x

y

y

ye

y

x

M

sol

.

(

,

)

xy

2

2

21] Obtenga una función

N

(

x

,

y

)

que de modo sea exacta la siguiente ecuación diferencial.

12 12 2

(

,

)

0





dx

N

x

y

dy

y

x

x

x

y

3 3

4 4

22] 0

. 4

23] cos cos 0

.

y x dx x y dy

sol xy x y c

y y xy dx x x xy dy

sol xy senxy c

   

  

   

 

2 2

2

2 2

2 2

24] cos cos

. cos

25] 0

1 1 . ln

1

26] 1 2 cos 0

. cos

y y

y

senxseny xe dy e x y dx

sol xe senx y c

ydx xdy

xdx x y

xy

sol x c

xy

y senx dx y xdy

sol x y x c

  

 

  

 

  

 

3 2 2

2 3

4 2 3

2 4

27] 2 cos 3 0

.

28] 2 4 cos 0

.

xy y x dx x y senx dy

sol x y ysenx c

xy seny dx x y x y dy

sol x y xseny c

   

 

   

 

5.5 Ecuaciones Diferenciales Con

Factor Integrante

Encuentra un factor integrante para que la ecuación diferencial sea exacta y resuélvela.

2 5 3 4 3 5 2 2 2

2

2 2

2 3

1] 0

.

2] 0

1

. 2 2 cos

3] 2 0

1 .

i

i

x x

x i

x y dx x y dy

sol f x y x y c

x senxdx xydy

sol f senx x x y c

x

e

e y dx xy y dy

y

sol f e xy y cy

y

   

   

 

    

 

   

 

(5)

LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG.

5

2

2

4 2 3

2 2 3 6

4] 2 0

.

5] 2 3 6 0

.

x x x

i

i

xy y y dx x y dy

sol f e xye y e c

xy y dx x xy dy

sol f y x y xy c

    

   

   

   

2 2 4 3 3

3 4 2 2 2

2 3

2 3

2

2 2

6] 6 4 2 4 0

. 1

7] 1 ln 3 0

. ln

8] 1 ln 2 2 0

1

. ln

i

i

i

x y y dx x y xy dy

sol f x x y x y c

x

xy dx dy

y y

sol f y x xy y c

y xy x dx x y dy

sol f x xy y x c

y

   

   

 

 

 

   

    

    

2

2

3 4 4 6 5 5

9] 4 5 6 5 0 (1) 2

. i 32

y xy dx xy x dy y

sol f x y x y x y

    

   

3

1 1

2 2 2

2

3 5 4 2

2

7

4 5

10] 2 0

. 2 5

11] 2 0

2

. 2

3

12] 5 0

.

7

i

i

i

x y dx xydy

sol f x x x y c

ydx x y dy

sol f y c xy y

y x dx xdy

x

sol f x c x y

  

   

  

   

  

   

2 2

1 2 2

2 5 3 3 4 2 2

1 1

2 2

13] 0

. 1

14] 2 ln 0

. 2 ln

15] 0

.

16] ln ln 0

. ln ln

17] 2 3 2 0

.

x x

i i i i

x y xy dx xdy

sol f e xy x ce

x y dx xy x dy

sol f x x y x c

x y y dx x y xy dy

sol f y

xy y y dx xy x x dy

sol f x y x x y y c

y xy y dx x xy x dy

sol

 

   

    

  

   

   

   

    

     

2 2

4 2 2 3

2

1 2 2

4 4

18] 3 2 0

.

19] 1 0

. 2 ln

20] 3 0

.

i

i

i

x y dy xydx

sol f y x y cy

xy dx x xy dy

sol f x xy x y c

xdy ydx x y dy

sol f

  

   

   

    

  

2

21] cot 2 csc 0

.

x x

x i

e dx e y y y dy

sol f seny e seny y c

  

   

2 2 3

2 2 3

2

2 3 2 4

1 2

22] 2 cos 0

.

23] 2 0

. 1

24] 3 2 0

. 4

25] ln 2 0

. ln

x x

i i i i

x senydx x ydy

sol f xe x e seny c

ydx x x y dy

sol f x y xy cxy

x y dx xydy

sol f x x y x c

y y xy dx x y dy

sol f y x y x y c

 

  

  

  

   

  

   

   

    

5.6

Ecuaciones Diferenciales

Lineales

Halle la solución general de la ecuación diferencial lineal dada:

3 5

3 4

2 2

2 1 1

1] 3 12 4 .

1 2] .

3 1 3] 3 .

3

4] 1 . ln

5]

x

x x

x dy

y sol y ce

dx dy

y e sol y ce

dx

y x y x sol y ce

x y xy sol y x x cx

x

 

 

   

    

     

     

1

2 2 2

3

4

4 2 0 .

5

6] cos

7] 1 0 .

1

8] cos 1 . cos

9] 4 .

x x

x

y dy ydx sol x y cy

senx c

xdy xsenx y dx y x

x x

dy c

e e y sol y

dx e

dy

x ysenx sol y senx c x

dx dy

x y x x sol y

dx

     

      

    

    

   

3 4

2

2 2

1 1

7 5

1

10] 2 .

2

x x x

x x cx

c

x y x x y e sol y e e

x x

 

  

      

2 3

2 2

3 3 3

11] cos cos 1 0

. sec csc

12] 2 0

1 1 1

.

2 2 4

13] 3 1 .

y

y y y y

x x x

xsenxdy y x dx

sol y x c x

ydx xy x ye dy

c

sol x e e e e

y y y

dy c

x x y e sol y e e

dx x

  

  

 

   

   

(6)

LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG.

6

2

6 6 4

2

2

2

14] 4 0 . 2

1

15] ln

1

16] 2 2 0 .

17] sec cos sec cos

18] 2 5

x

x x x x

x x

y

ydx x y dy sol x y cy

dy e

y y e e e ce

dx e e

c

ydx x xy y dy sol x e

y y

dr

r tg r c

d

dy x

dx

     

  

     

     

      

      

  5

1

4

8 4 2 2

3

y xy y xc x

      

 

 

 

5

3 2

2

3 3 2 2

2 2

19] 10 cosh . 10

20] 5 20 0 2 . 4 2

21] 2 0 1

. 2

2

22] 2 1 5 . 2 3

senhx

x

x x

x x x x

y y x sol y ce

dy

y y sol y e

dx

y y x e e y

x

sol y xe e e e

dx

y x y x sol x y y

dy

 

     

     

    

   

     

2

2

3 2

23] 2 0 .

1 1

24] 2 .

2 2

x

x

dy

y sol y ce

dx

y xy x sol y x ce

   

      

2

2 2

3 2

3

2

11 25] 2 5

2 2 4

26] 1 3 .

1

27] cot 2 cos . csc

28] 1 .

29] 1 2 .

30]

x

x

x x

y y x y ce

dy c

x x y sol y

dx x

dy

y x x sol y senx c x

dx

x y xy x x sol

xy x y e sen x sol

dy senx

dx

         

   

    

    

    

2 2

2 4

2 2

(cos ) 0 .

31] 3 8 3 0 . 3 4

32] 0 .

5

33] 24 5 0 . 5 6

34] 3

x y sol

y

dx dy sol xy x c

x y

x dx dy sol y x cx

x y

x dx dy sol xy x c

x

y x y x

  

 

 

 

 

 

 

   

3 1 .

3

35] cos cos . 1

x senx

sol y ce

y x y x sol y ce

  

     

2 2 2

36]

xy

 

2

y

3

x

2

x

sol

.

y

3

x

ln

x

2

x cx

5 3 5

2

3 4

37]

4

9

2

.

7

xy

 

y

x

x

sol

y

x

x

cx

5.7 Ecuaciones Diferenciales De

Bernoulli

Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli dada.

 

3 3

2

3 3 3

2 2

2 4

1

1] . 1

1 2] 1 .

3

3] .

1

4] 2 3 1 .

2

5] 1

x

x y

dy

x y sol y cx

dx y

dy

y xy sol y x ce

dx dy

x y xy sol e cx

dx dy

x xy y y sol

dx xy

 

    

     

   

   

 

 

2

2 1 2 2

2 1

2

2 3 3 2

1 3 2 2

1 1 0 2

1 6] .

2

7] 1 .

8] 3 1 2 1 1 1

9] 1 0 4

y

x x x

dy

xy y sol x y e

dx dy

y e y sol y e ce

dx dy

x x y xy sol

dx dy

x xy y y x c

dx dy

y y y

dx

 

 

     

     

   

      

  

 

2

.

10] 2 1 4 .

sol dy y x

y sol

dx x y

   

2

2

4 4 2

3 3

3

2 3 2

3 1 2 4 2

1

2 4

1 2 1

11] .

3

12] . 1

1 4

13] 4 .

3

14] 2 . 2

15

x

x

y y x y sol x c

x x y

y xy xy sol y ce

y y x y sol y x cx

x

y xy xy sol y ce

 

 

     

     

     

     

3 2 3 3 2

] 3xy 2yx y sol. yxcx

5.8 Ecuaciones Diferenciales De Ricatti

Resuelva las siguientes ecuaciones de Ricatti dada.

2

1 3 1

3

2 1

2 3

1

1] 2 y 2 . 2

4 1 2 2 1

2] .

4

x dy

y y sol y

dx ce

dy

y y y sol y

x

dx x x x x cx

 

       

       

(7)

LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG.

7

2 2

1

2

3] 1 2

1 .

1

1 4] 6 5 . 2

1

x x x

x x

x

dy

e e y y y e

dx

sol y e

ce dy

y y sol y

dx ce

     

   

      

2

2 1

2 2

1 2

2 2

1 2

5] 1 1 .

1 2

6] 2 2 .

1

7] sec tan tan

1 .

1 cos cos

x

dy

x y xy y sol

dx

dy x

x y y y x sol y x

dx x ce

dy

x x y y y x

dx

sol y tgx

x x x c x

     

      

   

 

   

2

1 2

2 2

8] 2 2 . 2

9] 2 4 2

.

10] 4 2 2

dy

xy y sol y x

dx dy

y xy x y

dx sol

dy

y x y x

dx

    

     

   

5.9 Método De Reducción De Orden

Encuentra una segunda solución de la ecuación diferencial dada, utilizando el método de reducción de orden.

5

1 2

2 2

1 2

1 2

2 2

3 3

1 2

2 4 4

1 2

2

1] 5 0 1 .

2] 4 4 0 .

3] 16 0 cos 4 . 4

4] 9 12 4 0 .

5] 7 16 0 . ln

6] 2 6 0

x

x x

x x

y y y sol y e

y y y y e sol y xe

y y y x sol y sen x

y y y y e sol y xe

x y xy y y x sol y x x

x y xy y

    

     

    

     

     

   2

1 2 3

1 .

y x sol y

x

  

1 2

1 1

2 2 2

1 2

2

1 2

2

7] 0 ln . 1

8] 4 0 ln .

9] 1 2 2 1 2 0 1

. 2

xy y y x sol y

x y y y x x sol y x

x x y x y y y x

sol y x x

    

     

 

       

  

12

2

1

1 2

1 2

1

10] 1 2 0 1 . ln

1

11] 0 1 .

12] 2 0 .

x

x x

x

x y xy y sol

x

y y y sol y e

y y y y xesol y e

 

 

    

 

    

      

1 2

5 5

1 2

13] 9 0 3 . cos 3

14] 25 0 x . x

y y y sen x sol y x

y y y e sol y e

     

     

3 2

1 2

15] 6y  yy 0 yexsol. yex

2

1 2

1 2

2

1 2

2 3

1

2 1

16] 1 2 4 4 0 .

17] 1 0 .

18] 0 . ln

19 9 0 .

20 4 0

x

x

x

x y xy y y e sol y x

x y xy y y x sol y e

x y xy y y x sol y x x

x y xy y y x sol

y xy y y e

 

      

 

      

     

    

    

2

1

.

21 2 2 0 .

sol x yx xy xyyxsol

1

22 1 2 0 x .

xy xy y yesol

1

23 y2y y 0 yexsol.

 

 

2 3 3

1 2

2

1 2

3 1

2

1 2

24] 5 9 0 ln .

25] 0 cos ln . ln

26] 3 1 9 6 9 0

. 3 2

27] 1 0 . 1

x

x

x y xy y y x x sol y x

x y xy y y x sol y sen x

x y x y y y e

sol y x

xy x y y y e sol y x

     

     

 

     

 

       

 

 

2

1

2

2 2 3 2

1 2

2 10

1 2 2

1

2

28 2 0 si ln

. cos ln

29] 4 6 0 si .

1 30] 7 20 =0 si .

31] 3 tan 0 si 1

. sec

x y xy y y xsen x

sol y x x

x y xy y y x x sol y x

x y xy y y x sol y

x

y x y y

sol y

   

      

    

  

1

ln sec

32] 2 0 si 1 .

xtngx x tgx

xy x y y sol

 

    

1

1

2 2

1

2 1

3 1

33 2 2 0 .

3

34 0 1 .

35 4 0 .

36 2 1 2 0 .

37 1 3 12 0 .

x

x

y xy y y x sol

y y y sol

x

x y xy y y x sol

xy x y y y e sol

xy x y x y y e sol

    

   

    

     

      

Re comendación utiliza el siguiente cambio de variable para reducir el orden de la ecuación diferencial

du du dy du

y u y u

dx dy dx dy

     

1 2

2

1 1 2

3 4

1 2

4

1 2

1] 0 ln

2] 1 0

2 4 3] 4 0

3

4] 4 0 x

xy y y c x c

x

x y y y c c x c

xy y y c x c

y y y c ec

    

 

      

    

(8)

LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG.

8

 

 

 

 

1

2 2

1 2

3 2 2

2 1 2

2 2 2

1 1 1 2

2

2

5] 0

6]

1

7] 2 ln

2

8] 0 c x

yy y y c x c

xy y y x y c c

x y xy y y x c x c c x c

yy y y c e

     

      

         

    

 

 

 

1

1 2

2

2 3

1 2

2

2

2 3

1 2

3 1

2 9

10 2 0

3

11 1 1

1 12 3 0

2 13 2 0

3 14 2

c x

c x y

y y c e

y

y

y y y c y c x

y y y y c e

xy x y x c x c

c

y xy y x c

y

   

      

 

    

      

    

 

 

3

1 2

1 2

5 4

1 2

0 2

15 2 csc 0 2

4 16 4 0

5

y y x c c

x y y senx c x c

y xy y c x c

     



     

    

5.10 Ecuaciones Diferenciales

Homogéneas Con Coeficientes

Constantes

Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

3 2

1 2

4 4

1 2

1 2

1] 6 0 .

2] 8 16 0 .

3] 12 5 2 0 .

4] 9 0 . cos 3 3

5] 4 5

x x

x x

y y y sol y c e c e

y y y sol y c e c xe

y y y sol

y y sol y c x c sen x

y y y

 

     

     

   

     

  2

1 2

3

1 2

0 . cos

2 2

6] 3 2 0 cos

3 3

x x

sol y e c x c senx

y y y y ec x c sen x

   

 

    

 

5

1 2 3

3 3

1 2 3

1 2 3

7] 4 5 0 .

8] 5 3 9 0 .

9] 2 0 cos

x x

x x x

x x

y y y sol y c c e c e

y y y y sol y c e c e c xe

y y y y c e e c x c senx

  

      

       

      

2

1 2 3

10] 3 3 0 . x x x

y y y ysol yc e c xe c x e

 

 

 

 

 

 

1 2 3 4

1 2 3

3

11 6 11 4 0

2 2

. cos cos

2 2 3 3

12 0

.

13 4 3 0 0 7 0 11

. 5 2

14 9 6 4 0 0 3 0 4

.

15 6 25 0 0 3 0 1

iv

x x x

x x

y y y

x x x x

sol y c c sen c c sen

y y y y

sol y c e c e c xe

y y y y y

sol y e e

y y y y y

sol

y y y y y

so

 



  

   

   

  

     

 

     

     

3

. x 3cos 4 2 4

l ye xsen x

2

1 2 3 4

16] 0

3 3

. cos

2 2

iv

x

y y y

sol y c c x ec x c sen x

 

  

 

     

 

4 2

4 2

1 2 3 4

17] 16 24 9 0

3 3 3 3

. cos cos

2 2 2 2

d y d y

y

dx dx

sol y c x c sen x c x x c xsen x

  

   

   

 

5

1 2 3 4 5

1 5 1

6 6

18] 5 2 10 5 0

.

19] 4 5 0 (1) 0 (1) 2

1 1

.

3 3

20] 12 36 0 (0) 0 (0) 1 0 7

5 5 1

.

36 36 6

21] 10

v iv

x x x x x

x x

x x

y y y y y y

sol y c e c xe c e c xe c e

y y y y y

sol y e e

y y y y y y

sol y e xe

y y

  

  

 

  

     

    

     

  

        

  

 

 

 

 

 

 

 

5 5

2 2 5

1 2 3

2 3

3 3 1

25 0 (0) 1 (1) 0 .

22] 9 24 20 0

.

23 2 3 2 0 0 1 0 1 0 3

.

24 3 2 0 0 1 0 0 0 1

1

. 13 6 9

4

25 27 0

.

x x

x x x

x

x

y y y

sol y e xe

y y y y

sol y c e c xe c e

y y y y y y

sol

y y y y y

sol y x e

y y

sol c e e

  

 

   

  

        

       

   

  

2

2 3

3 3

cos 3 3

2 2

26 3 6 0

.

x iv

c x c sen x

y y y y y

sol

    

   

 

  

Figure

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