XG =0, implicando que el eje Y ( eje de simetría

UNIDAD Nº 2: GEOMETRÍA DE LAS MASAS.

Momentos de primer orden de superficies. Baricentros. Momentos de segundo orden de superficies. Momento de inercia y centrífugo respecto a ejes paralelos y girados. Ejes conjugados. Ejes principales de inercia. Circunferencia de Mohr.

SECCIÓN TRANSVERSAL DE UNA BARRA Y SU BARICENTRO.

Considérese una barra (elemento estructural donde una de sus dimensiones es preponderante sobre las otras dos) representada por una línea denominada eje de la barra. Si en un punto cualquiera de dicho eje se traza un plano perpendicular al mismo, la forma de la barra contenida en dicho plano se denomina sección transversal de la barra. El punto intersección entre el plano y el eje de barra es una característica geométrica importante de la sección transversal denominada centro de área y se define como el punto donde puede concentrarse el área de la sección transversal.

Si la barra se encuentra constituida por un solo material de densidad y peso específico constante, el centro de área de la sección transversal coincide con el centro de masa y con el centro de peso. El centro de peso recibe el nombre de Baricentro o Centro de Gravedad y de allí la extensión del nombre al centro de área de la sección transversal. Dada la habitualidad, en lo que sigue se designará al centro de área de la sección transversal con el nombre de Baricentro, pero no se debe olvidar la diferencia conceptual entre uno y otro elemento.

Determinación del baricentro de la sección transversal.

Es habitual identificar dicho punto con la letra

G y sus coordenadas surgen de las siguientes

expresiones:

En las expresiones que preceden:

A

: es el área de la sección transversal.

x.dA: momento de primer orden del diferencial de área de la sección transversal respecto del eje y.

y.dA: momento de primer orden del diferencial de área de la sección transversal respecto del eje x.

Análisis de las expresiones (1) y (2).

Partiendo de la premisa que el área de la sección transversal es siempre distinta de cero es posible el análisis de las siguientes dos situaciones:

Primera situación: Si un eje pasa por el baricentro de la sección transversal , el momento de primer orden del área de la sección transversal respecto de dicho eje es igual a 0. En efecto, si se analiza la Figura 1 y se supone que eje Y pasa por el baricentro entonces resultará

X

G=

0

y en consecuencia de la expresión (1), al ser A0 surge que

œ

_Ax.dA=0 . Lo mismo ocurre si se supone al eje X pasante por el baricentro.

Segunda situación: También resulta ser cierto que, si el momento de primer orden del área de la sección transversal respecto de un eje es igual a 0, entonces el eje contiene al baricentro. En efecto, si se analiza la expresión (1) y

œ

Ax.dA =0 como A0 entonces resulta

X

G=

0

, implicando que el eje Y

El análisis efectuado lleva a dos conclusiones importantes:

Primera conclusión: Si una sección transversal admite eje de simetría ,el mismo contiene al baricentro.

En efecto, al plantear la expresión

A . X

G=

œ

Ax.dA resultará al integrar, que para todo producto x.dA

existirá también un producto –x.dA resultando

œ

_Ax.dA =0 ,entonces

A . X

G =0 y como

A

0 resulta

X

G =0, implicando que el eje Y ( eje de simetría ) contiene al baricentro.

Segunda conclusión: A partir de la primera conclusión se deduce fácilmente que si una sección transversal admite dos ejes de simetría, el baricentro se encuentra en la intersección de las direcciones de ambos ejes. A continuación se grafican secciones transversales que se encuentran en dicha situación:

En lo que sigue se determinará por definición la posición del baricentro para el triangulo rectángulo y para el sector circular.

Operando de idéntica forma respecto del eje X es posible obtener :

Sector circular.

El eje X es eje de simetría sector circular por lo tanto es baricéntrico y en consecuencia resulta :

Cálculos:

A1=

-

(1.5x1.5/2)cm

2

=

-

1.13 cm

2

G1 (0.50 cm ; 0.50 cm)

A2= +(1.5x5.0)cm

2

= +7.50 cm

2

G2 (0.75 cm ; 2.50 cm)

A3= +(2.0x1.5)cm

2

= +3.00 cm

2

G3 (2.50 cm ; 4.25 cm)

A4= +(

ʌ

x 1.5

2

)cm

2

/

4

= +1.77 cm

2

G4 (4.14 cm ; 4.14 cm)

AT= +11.14 cm

2

X

G

=(

-1.13x0.50

+ 7.50x0.75 + 3.00x2.50 + 1.77x4.14)cm3/11.14cm2=

1.79cm

Y

G

=(

-1.13x0.50

+ 7.50x2.50 + 3.00x4.25 + 1.77x4.14)cm3/11.14cm2=

3.43cm

La sección transversal presenta una segunda propiedad geométrica de importancia denominada Momento de Inercia. Esta propiedad se analiza en detalle en lo que sigue:

MOMENTO DE INERCIA.

Para la sección transversal de área A que se grafica a continuación se definen las siguientes expresiones:

Momento de inercia de la sección transversal de área A respecto del eje X pasante por 0.

Momento de inercia de la sección transversal de área A respecto del eje Y pasante por 0.

Momento centrifugo de la sección transversal de área A respecto de los ejes X e Y pasantes por 0.

Momento de inercia polar de la sección transversal de área A respecto del polo0.

El momento de inercia respecto de un eje o de un polo, es siempre positivo, pues la distancia se encuentra elevada al cuadrado. A diferencia, el momento centrifugo puede ser positivo, negativo o nulo en función de los signos de las distancias x e y.

Radio de giro de la sección transversal respecto de un eje.

Se define como tal a la distancia respecto de un eje a la cuál es necesario concentrar el área de la sección transversal , para que origine respecto de dicho eje igual momento de Inercia que la sección transversal en estudio. La expresión de cálculo será:

Teorema de Steiner.

Enunciado: El momento de inercia de una sección transversal de área A respecto de un eje paralelo a un eje baricéntrico, es igual a la suma del momento de inercia respecto de dicho eje baricéntrico más el producto del área de la sección transversal por la distancia entre ambos ejes elevada al cuadrado. O sea:

Demostración

La expresión 1 resulta ser

I

XG , la expresión 2 es nula pues se trata del momento de primer orden de

la sección transversal respecto de un eje baricéntrico y la expresión 3 es

A.

a

2 quedando demostrado el presente teorema.

Determinación de momentos de inercia y momento centrífugo de distintas secciones transversales.

Sección rectangular:

Operando análogamente respecto del eje Y resulta:

El momento de inercia polar es suma de

I

Xo más

I

Yo.

Finalmente el momento centrífugo se obtiene como se muestra a continuación:

I

Xo =

I

XG +

A.

(h/2)

2

ĺ

I

XG=

I

Xo

-

A.

(h/2)

2

ĺ

I

XG =

(b.h

3

/3)

–

b.h.

(h/2)

2=

b.h

3

/12

I

XG =

b.h

3

/12

Análogamente:

I

YG =

h.b

3

/12

Nuevamente el momento de inercia polar es suma de

I

XG más

I

YG.

Finalmente el momento centrífugo baricéntrico se obtiene como sigue:

I

XYo=

I

XYG +

A.(b/2).(h/2)

ĺ

I

XYG=

I

XYo

-

A.(b.h/4)

ĺ

I

XYG =

b

2

.h

2

/4

-

b.h.(b.h/4)

=

0

I

XYG =

0

La sección cuadrada es un caso particular de sección rectangular donde resulta

b=h

.En consecuencia le resultan de aplicación las expresiones deducidas precedentemente para la sección rectangular.

Sección conformada por un triángulo rectángulo.

Operando análogamente respecto del eje X resulta:

El momento centrífugo resulta en este caso:

Por aplicación del teorema de Steiner se obtienen valores para ejes pasantes por el Baricentro de la sección transversal tal como sigue:

I

Xo=

I

XG +

A.

(h/3)

2

ĺ

I

XG=

I

Xo

-

A.

(h/3)

2

ĺ

I

XG =

(b.h

3

/12)

–

(b.h/2).

(h/3)

2=

b.h

3

/36

I

XG =

b.h

3

/36

Análogamente:

I

YG =

h.b

3

/36

Nuevamente el momento de inercia polar es suma de

I

XG más

I

YG.

Finalmente el momento centrífugo baricéntrico resulta ser:

I

XYo=

I

XYG +

A.(b/3).(h/3)

ĺ

I

XYG=

I

XYo

-

A.(b.h/9)

=

b

2

.h

2

/24

-

(b.h/2).(b.h/9)

=

=

-

b

2

.h

2

/72

Sección circular.

En el caso de la sección circular es de uso habitual el momento de inercia polar, en consecuencia se determinará dicho valor para el baricentro.

Si se tiene en cuenta que

I

PG=

I

XG +

I

YG y que además por razones de simetría

I

XG=

I

YG entonces:

A continuación se determina el momento centrífugo:

Determinación conceptual del momento de inercia de una sección transversal respecto de un eje.

Sea una sección transversal cuyo contorno presenta definición matemática compleja. En ese caso es posible dividir la misma en n fajas de forma rectangular como se muestra en la figura que sigue y calcular el momento de inercia de dicha sección respecto de un eje tal como a continuación se indica:

La última expresión refleja claramente la aplicación del teorema de Steiner.

Rotación de ejes de un mismo origen.

En este apartado se pretende conocer como varían los momentos de inercia y el momento centrifugo cuando un par de ejes ortogonales entre sí y pasantes por un punto comienzan a ser rotados. Se deja aclarado que antes de comenzar la rotación de los ejes, los valores de momento de inercia y momento centrífugo respecto de los mismos son conocidos. A continuación se desarrolla:

I

X’G =

I

XG.

cos

2

Į

+

I

YG.

sen

2

Į

-

I

XYG.

sen2

Į

(1)

I

Y’G =

I

YG.

cos

2

Į

+

I

XG.

sen

2

Į

+

I

XYG.

sen2

Į

(2)

I

X’Y’G =IXYG.

cos

2

Į

+

[

(IXG

–

IYG)

/2]

.

sen2

Į

(3)

I

P’G =

IX’G + IY’G =

IXG + IYG

(4)

La expresión (4) indica que el momento de inercia polar solo depende del polo considerado.

Ejes principales de Inercia

Cuando respecto de dos ejes ortogonales entre sí y pasantes por un mismo punto, el momento centrífugo de la sección transversal resulta nulo, ambos reciben el nombre de Ejes principales de Inercia. En dicha situación se cumple además que el momento de inercia alcanza valor máximo para uno de ellos y mínimo para el otro.

Cabe aclarar que si los dos ejes NO son perpendiculares entre sí, pero el momento centrífugo de la sección transversal respecto de ellos resulta nulo, en este caso ambos reciben el nombre de Ejes conjugados de Inercia.

Como conclusión los Ejes principales de Inercia son conjugados de Inercia y ortogonales.

A continuación se analiza la expresión (1) en búsqueda de máximos y mínimos y se justifica la definición de Ejes principales de Inercia. Para ello se parte de derivar respecto

Į

e igualar a cero dicha expresión. Es decir:

d

I

X’G

/

d

Į

=

-2.

I

XG

.

cos

Į

.

sen

Į

+

2.

I

YG.

sen

Į

.cos

Į

-2.

I

XYG.

cos2

Į

=0

d

I

X’G

/

d

Į

= [(IXG

–

IYG)

/

2]

.

sen2

Į

+IXYG.

cos2

Į

=0

d

I

X’G/

d

Į

=

I

X’Y’G

=0

La expresión remarcada se cumple siempre que: tg 2

Į

=

2

.

I

XYG /

(

I

YG

– I

XG

) ,expresión que

se satisface para dos valores del ángulo

Į

(

Į

1 y

Į

2) que difieren entre sí en 90º.

Finalmente los ejes determinados en el proceso de búsqueda de máximos y mínimos de la función momento de inercia, resultan ortogonales entre sí y conjugados de inercia respondiendo claramente a la definición de Ejes principales de inercia.,quedando justificada su definición.

Para el análisis se parte de la figura que a continuación se grafica:

De la observación de la figura surge que a cada diferencial de momento centrífugo positivo le corresponde uno negativo motivo por el cuál el momento centrifugo de la sección transversal respecto de los ejes planteados resulta nulo.

Si particularmente la sección transversal admite dos ejes de simetría (como en el caso de la sección rectangular, cuadrada y circular) ,la intersección de dichos ejes definen el Baricentro resultando ambos Ejes principales de inercia baricéntricos.,dado que son perpendiculares entre sí y conjugados de inercia.

Determinación de momentos de inercia y centrífugo respecto de ejes no ortogonales entre sí de igual origen.

Operando algebraicamente se obtienen las siguientes expresiones:

I

Uo =

I

Xo.

cos

2

Į

+

I

Yo.

sen

2

Į

-

I

XYo.

sen2

Į

I

Vo =

I

Xo.

cos

2

ȕ

+

I

Yo.

sen

2

ȕ

-

I

XYo.

sen2

ȕ

Cabe aclarar que

I

Xo ,

I

Yo y

I

XYo son valores previamente conocidos.

Si particularmente se conoce

Į

,la posición del eje U queda definida. Si ahora se desea conocer el eje conjugado de inercia del eje U se debe igualar a cero el momento centrífugo (

I

UVo=0) y de allí surgirá la posición del eje V definida por el ángulo

ȕ

cuya expresión de cálculo resulta ser :

tg

ȕ

=

(

I

Xo

–

tg

Į

.

I

XYo

)

/

(

I

XYo

–

tg

Į

.

I

Yo

)

Cuando

Į

=90º o

Į

=270º la expresión que precede se indetermina. En este caso operando con la expresión de

I

UVo igualada a cero resulta:

tg

ȕ

=

I

XYo

/

I

Yo

Circunferencia de Mohr.

Se trata de un método gráfico para el giro de ejes .A continuación se indica su construcción y utilización y al final se justifica el procedimiento. Se considera una sección transversal de área A y baricentro G.

Construcción de la circunferencia de Mohr pasante por el baricentro de la sección transversal

conocidos

I

XG ,

I

YG y

I

XYG :

Para la construcción se supone

I

YG

>

I

XG y

I

XYG

positivo.

Además se adopta una escala de inercia (fijando previamente el diámetro

D

de la circunferencia de Mohr) definida por la siguiente expresión

A partir de

G

y sobre el eje X se dibuja un segmento que en escala representa a

I

YG. A partir del extremo final de dicho segmento y sobre el eje X se representa en escala

I

XG al mismo tiempo que en dirección del eje Y ,y en sentido positivo, se dibuja un segmento representativo de

I

XYG (si

I

XYG se hubiera supuesto negativo entonces se representaría en el sentido negativo del eje Y).En el extremo final de este último segmento se encuentra ubicado el punto

P

denominado Punto Principal de Inercia.

Finalmente se traza la Circunferencia de Mohr cuyo radio es

D/2

.Obviamente dicha circunferencia pasa por el punto

G

.

Determinación de la posición de los ejes principales de inercia. Obtención del momento de inercia máximo y mínimo.

Se traza un diámetro de la circunferencia de Mohr pasante por C y por P definiendo el punto A y el B.

El eje pasante por G y por A es principal de inercia y además el momento de inercia de la sección transversal respecto de dicho eje es máximo e igual al segmento AP medido en la escala de inercia.

El eje pasante por G y por B es principal de inercia y además el momento de inercia de la sección transversal respecto de dicho eje es mínimo e igual al segmentoBP medido en la escala de inercia.

Los ejes principales de inercia se encuentran rotados respecto de la horizontal un ángulo de valor

Į

.

Determinación del eje conjugado de inercia de un eje dado.

Dado un eje U pasante por G cuya posición se conoce a partir del ángulo

Į

y que corta a la circunferencia de Mohr en el punto A, para definir el eje V (conjugado de inercia del eje U) , se traza la cuerda AB pasante por P. Finalmente el eje V queda definido en la dirección GB .En este caso tampoco sería necesario asignar sentido a los ejes U y V puesto que respecto de ellos el momento centrífugo vale cero.

Determinación de momentos de inercia y centrífugo respecto de un par de ejes dados.

Dados los ejes U y V que cortan a la circunferencia de Mohr en los puntos A y B queda definida la cuerda AB .La distancia entre dicha cuerda y P, en la escala de inercia, determina el valor del momento centrífugo

I

UVG cuyo signo depende de si P y el origen de coordenadas (G en este caso) se encuentran o no de un mismo lado respecto de la cuerda AB. Si se encuentran de un mismo lado el signo es negativo siendo positivo en caso contrario.

Si en A se traza una tangente a la circunferencia de Mohr (recta perpendicular al radio CA ), la

distancia entre dicha tangente y P medida en la escala de inercia resulta ser

I

UG . De igual forma se

Justificación de la construcción de la circunferencia de Mohr.

La intersección de los ejes X e Y con la circunferencia de Mohr define la cuerda GB (coincidente con el diámetro de la circunferencia) cuyo centro es C. ( para mejor comprensión girar levemente el eje Y en sentido antihorario y luego volverlo a su posición original).

Por definición de momento centrífugo resulta:

d

I

XYG=

ȡ

2

.

dA

. sen

Į

.

cos

Į

(1)

De la figura se obtiene:

h=

GE . sen

Į

y

GE

=

GB . cos

Į

ĺ

h=

GB . sen

Į

. cos

Į

Llamando

D

(diámetro de la circunferencia de Mohr) al segmento GB se obtiene:

sen

Į

. cos

Į

=

h/

D

(2)

Reemplazando (2) en (1) y recordando la definición de momento de inercia polar resulta :

d

I

XYG =

(

d

I

PG

/

D).

h

(3)

Si al cociente

d

I

PG

/

D

se lo denomina diferencial de área ficticia (

dA

f ) entonces resulta:

Es decir que a cada diferencial de área de la sección transversal (cuyo área total es A ) le corresponde un diferencial de área ficticia que se ubica sobre la circunferencia de Mohr a distancia h de la cuerda

G

B. Consecuentemente, recordando la definición de baricentro , la distancia a la cuerda

del punto donde puede concentrarse el área ficticia surge de la siguiente expresión:

œ

A

dA

f

.h = (

œ

A

dA

f

).

h

XYG

(5)

Reemplazando (4) en (5) :

œ

A

d

I

XYG

= (

œ

A

dA

f

).

h

XYG

(6)

Si se tiene en cuenta que:

dA

f =

d

I

PG

/

D

entonces:

œ

A

dI

XYG

= (

œ

A

d

I

PG

/

D

).

h

XYG

(7)

Resulta la siguiente expresión:

I

XYG

=

(

I

PG/D)

.

h

XYG

(8)

Si se define la escala de inercia como:

Escala de Inercia

=

I

PG/

D

la expresión (8) se transforma como sigue:

h

XYG

=

I

XYG

/

Escala de Inercia

Quedando definida de esta manera la distancia del punto

P

a la cuerda.

Si el eje Y se gira hasta hacerlo coincidir con el X, entonces la cuerda GB se transforma en la tangente a la circunferencia en B. En este caso resulta :

h

XG

=

I

XG

/

Escala de Inercia

Análogamente si el eje X se gira hasta hacerlo coincidir con el Y, entonces la cuerda GB se transforma en la tangente a la circunferencia en G. En este caso resulta :

h

YG

=

I

YG/

Escala de Inercia

El diámetro de la circunferencia

D

representa al momento de inercia polar de polo

G

medido en la escala de inercia y es además suma de

h

YGmás

h

XG. Con cualquiera de estos dos valores y

h

XYG queda definido parcialmente el punto

P

pues aún falta justificar que si

I

XYG es positivo entonces

Para dicha justificación se analiza el dA (ver figura de análisis ) cuyo diferencial de momento centrifugo es positivo (producto del dA por dos coordenadas negativas). Además en función de la expresión (4) dicho diferencial de momento centrifugo es igual al dAf por h .

Para mantener la igualdad en este caso

h

debe ser positiva y de la figura de análisis surge que ha quedado representada en el sentido positivo del eje Y.

En contraposición, si se analiza el dA

’ su diferencial de momento centrifugo es negativo debiendo

resultar h

’

negativa en función de la expresión (4).De la figura de análisis surge en este caso que h

’

queda dibujada en el sentido negativo del eje Y.

Como conclusión de lo expresado si

I

XYG es positivo entonces

h

XYG debe dibujarse según el sentido positivo del eje Y. Obviamente si

I

XYG es negativo

h

XYG debe dibujarse según el sentido negativo del eje Y.

Para dotar de mayor generalidad esta última justificación se debe imaginar al eje Y rotado un pequeño ángulo en sentido antihorario. En dicho caso la cuerda sigue pasando por B pero se desplaza ligeramente hacia abajo y en dicho caso el punto

G

queda ubicado por encima de la cuerda al tiempo que el punto

P

queda ubicado por debajo de la misma .Dicho de otra forma: cuando el momento centrifugo es positivo el origen de coordenadas y el punto principal de inercia de la circunferencia de Mohr quedan ubicados a ambos lados de la cuerda definida por la intersección de los ejes con dicha circunferencia. En contraposición cuando el momento centrífugo es negativo ambos puntos quedan ubicados a un lado de la cuerda.

Para determinada sección transversal, la circunferencia de Mohr pasante por un punto determinado (

G

en este caso) y construida en base a un diámetro D previamente fijado, presenta un punto principal de inercia

P

cuya posición no varía en función de los ejes considerados para su construcción, por tratarse del punto donde puede concentrarse el área ficticia

I

PG

/D

, que solo depende del momento de inercia polar de la sección en estudio (polo

G

en este caso) y del diámetro

D

utilizado en su construcción. El precedente análisis tiene por objeto establecer que: una vez construida la circunferencia de Mohr pasante por un punto, la misma permite estudiar cualquier eje pasante por el mismo.

Justificación de la utilización de la Circunferencia de Mohr.

Determinación de ejes principales de Inercia.

En este caso la cuerda debe ser un diámetro para que los ejes sean ortogonales entre sí. Además como la distancia desde

P

a la cuerda es

I

XYG y este debe ser nulo, entonces la cuerda debe pasar por C y por

P

. Para definir

I

máx y

I

mín es necesario girar cada eje hasta hacerlo coincidir con el otro y en dicho proceso (como ya se explicó en la construcción) la cuerda se transforma en la tangente a la circunferencia, resultando el momento de inercia la distancia entre dicha tangente y el polo medida en la escala de inercia.

Determinación del conjugado de Inercia de un eje dado.

Determinación de momentos de Inercia y momento centrífugo respecto de un par de ejes pasantes por G.

La justificación de la presente utilización queda contenida en la propia metodología de construcción de la circunferencia de Mohr dado que el par de ejes mencionados en el título ,pudieron haberse utilizado en dicha construcción.

Comentario importante sobre el Momento de Inercia.

Considérese una estructura consistente en una viga simplemente apoyada, conformada por una barra de eje recto con determinada sección transversal y solicitada por una carga específica uniforme.

Se sabe que en la situación planteada dicha viga se deforma. En el centro de la longitud de la misma el corrimiento vertical como consecuencia de la deformación resulta ser:

E

: módulo de elasticidad longitudinal del material

La expresión que precede permite concluir que , físicamente, el momento de inercia baricéntrico de la sección transversal respecto del mismo eje según el cuál actúa el momento flexor, es la oposición que el elemento estructural desarrolla frente a la acción de la solicitación que tiende a deformarlo. Consecuentemente, a mayor momento de inercia menor será la deformación del elemento estructural.

A continuación se muestra que, con igual cantidad de material , en función de la forma y la disposición de la sección transversal frente a estado de cargas de la estructura , es posible optimizar en momento de inercia.

Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1: Para la sección transversal que se muestra a continuación cuyo baricentro es conocido se efectúan las siguientes determinaciones:

a-Momentos de inercia y momento centrifugo para el baricentro.

b-Ejes principales de inercia baricéntricos .Momento de inercia máximo y momento de inercia mínimo.

c-Eje conjugado de inercia de un eje dado.

Se desarrolla en forma analítica y también en forma gráfica.

Para cada área definida se obtienen los momentos de Inercia y centrífugo respecto de los ejes baricéntricos de la sección completa.

Area 1(área que se sustrae)

I

XG1=

I

YG1=(1.5x1.53/36)cm4= 0.14 cm4

I

XYG1 =(

-

1.52x1.52/72)cm4 =

-

0.07 cm4

I

XG=( 0.14 + 1.13x2.932) cm4=9.84 cm4

I

YG=( 0.14 + 1.13x1.292) cm4=2.02 cm4

I

XYG=(

-

0.07 + 1.13 x (

-

1.29) x (

-

2.93)) cm4=4.20 cm4

Area 2

I

XG2= (1.5x5.03/12)cm4= 15.6 cm4

IYG2= (5.0x1.5

3

/12)cm4= 1.40 cm4

IXYG2 =0

I

XG=( 15.6 + 7.50x0.932) cm4=22.08 cm4

I

YG=( 1.40 + 7.50x1.042) cm4=9.51 cm4

I

XYG=(

0

+ 7.50 x (

-

0.93) x (

-

1.04)) cm4=7.25 cm4

Area 3

I

XG3= (2.0x1.53/12)cm4= 0.56 cm4

I

YG3= (1.5x2.03/12)cm4= 1.00 cm4

I

XG=( 0.56 + 3.00x0.822) cm4=2.57 cm4

I

YG=( 1.00 + 3.00x0.712) cm4=2.51 cm4

I

XYG=( 0 + 3.00 x (+0.82) x (+0.71)) cm4=1.74 cm4

Area 4

IXG4=IYG4=

[(

ʌ

x1.54/16)

-

(1.77 x 0.642)]cm4= 0.26 cm4

I

XYG4=[(1.54/8)

-

(1.77 x 0.642)]cm4=

-

0.09 cm4

IXG=( 0.26 + 1.77x0.71

2

) cm4=1.15 cm4

IYG=( 0.26 + 1.77x2.35

2

) cm4=10.03 cm4

IXYG=( -0.09 + 1.77x (+0.71) x (+2.35)) cm

4

=2.86 cm4

Con los valores precedentes resultan los siguientes momentos de inercia y centrifugo baricéntricos:

I

XG=(- 9.84+ 22.08 + 2.57 + 1.15)cm4=15.96 cm4

I

YG=(- 2.02+ 9.51 + 2.51 + 10.03)cm4=20.03 cm4

I

PG=( 15.96 + 20.03)cm4=35.99 cm4

I

XYG=(- 4.20+ 7.25 + 1.74 + 2.86)cm4=7.65 cm4

A continuación de determinan los ejes principales de inercia baricéntricos, Imáx y Imín.

tg 2

Į

=

2

.

I

XYG

/

(

I

YG

– I

XG

)

=

2x

7.65

/

(

20.03 – 15.96

)

=

3.75921

ĺ

Į

=37.55º

I

X’G

=

I

XG.

cos

2

Į

+

I

YG.

sen

2

Į

-

I

XYG.

sen2

Į

=

(15.96 x 0.62853 + 20.03 x 0.37146

- 7.65 x 0.96639) cm

4 =

10.07 cm

4

I

máx

=

25.92 cm

4

para

Į

=127.55º

I

mín

=

10.07 cm

4

para

Į

=37.55º

La posición del eje V conjugado de inercia de un eje U que forma un ángulo

Į

=30º

se define mediante el ángulo

ȕ

cuya determinación es la que sigue:

tg

ȕ

=

(

I

XG

–

tg

Į

.

I

XYG

)

/

(

I

XYG

–

tg

Į

.

I

YG

)

tg

ȕ

=

(

15.96

–

0.57735 x

7.65

)

/

(

7.65

–

0.57735 x

20.03

)

= -

2.948985

ĺ

ȕ

=288.73º

A continuación se traza la circunferencia de Mohr en función de

I

XG ,

I

YG y

I

XYG , considerando un diámetro D=10cm implicando que la escala de inercia es :

Escala de Inercia

=

I

PG

/ D

=

35.99 cm

4

/10cm

=

3.599

cm

4

/cm

Ejemplo 2: Para la sección transversal que se muestra, compuesta por perfiles comerciales de acero laminado, se efectúan a continuación las siguientes determinaciones:

a-Posición del baricentro.

b-Momentos de inercia y momento centrifugo para el baricentro.

c-Ejes principales de inercia baricéntricos .Momento de inercia máximo y momento de inercia mínimo.

d-Eje conjugado de inercia de un eje dado.

Cálculos

A continuación se determina la posición del Baricentro de la sección compuesta aclarando que los valores geométricos indicados en la figura que precede se han obtenido del catálogo de perfiles comerciales.

X

G

=( 28.0 x 9.00 + 39.5 x 4.90 )cm3 / 67.50cm2=

6.60cm

Y

G

=( 28.0 x 5.08 + 39.5 x 18.0 )cm3 / 67.50cm2=

12.64cm

G

(6.60 cm ; 12.64 cm)

En lo que sigue se obtienen los momentos de inercia y centrífugo para el baricentro de la sección transversal compuesta ,teniendo en cuenta los valores obtenidos del catálogo correspondientes al baricentro de cada uno de los perfiles que la componen. Dichos valores se indican a continuación:

UPN 180 :

I

XG=1350 cm4

I

YG=114 cm4

I

XYG=0 (perfil simétrico)

I

XG=( 114+ 28 x 7.562 + 3060 + 39.5 x 5.362 )cm4=5909.120cm4

I

YG=( 1350+ 28 x 2.402 + 162 + 39.5 x 1.702 )cm4=1787.435cm4

I

PG=( 5909.12 + 1787.43)cm4=7696.555 cm4

I

XYG=( 0 + 28 x 2.40 x (-7.56) + 0 + 39.5 x 5.36 x (-1.70))cm4=

-

867.956 cm4

Con los valores precedentemente obtenidos se determinan ahora los ejes principales de de inercia baricéntricos como así también Imáx y Imín.

tg2

Į

=

2

.

I

XYG

/

(

I

YG

–I

XG

)

=

2x

(

-867.956

/

(

1787.435 – 5909.120

)

=

0.42166

ĺ

Į

=11.42º

I

X’G

=

I

XG.

cos

2

Į

+

I

YG.

sen

2

Į

-

I

XYG.

sen2

Į

=

( 5909.120 x 0.9608 + 1787.435 x 0.0392

- (- 867.956) x 0.38814) cm

4 =

6084.438 cm

4

I

Y’G

=

I

PG

-

I

X’G

=

(7696.555 – 6084.438)

cm

4 =

1612.117 cm

4

Para finalizar el ejemplo se determina el eje conjugado de inercia del eje Y pasante por el baricentro de la sección compuesta:

Se parte de la expresión: tg

ȕ

=

I

XYG

/

I

YG

tg

ȕ

=

I

XYG

/

I

YG

=

-867.956

/

1787.435

ĺ

ȕ

=334.1º

Comentario sobre el catálogo de perfiles laminados de acero.

Del análisis del catalogo mencionado surge que:

A - Los valores de inercia contenidos en el mismo corresponden siempre a ejes baricéntricos.

B - No existe información directa en referencia al momento centrífugo. Para solucionar dicha situación se debe recurrir a los conocimientos teóricos adquiridos teniendo en cuenta que si un perfil presenta eje de simetría dicho eje es baricéntrico y principal de inercia implicando la inexistencia de momento centrífugo.

C – En el caso del perfil ángulo de alas iguales el catálogo informa no solamente momentos de inercia para los ejes X e Y sino también para los ejes principales de inercia, los cuales y por razones de simetría se encuentran rotados 45º respecto de los ejes X e Y.

Con dichos datos y las fórmulas para giro de ejes de igual origen es sencillo obtener el momento centrífugo baricéntrico respecto de los ejes X e Y tal como a continuación se desarrolla.

I

máx

=

I

XG x

cos

2

45º

+

I

YG x

sen

2

45º

-

I

XYG x

sen (2 x 45º)

I

mín

=IXG x

cos

2

135º

+ IYG x

sen

2

1355º

-

IXYG x

sen (2 x 135º)

Como en este caso

IXG=IYG

resulta entonces:

Apéndice.

Determinación de la fuerza de empuje y de la posición del centro de empuje cuando la presión hidrostática actúa sobre una placa plana .

Como se sabe , la presión hidrostática crece linealmente con la profundidad y es proporcional al peso específico (Pe) del fluido. Dicha presión actúa además en dirección perpendicular a la placa . A continuación se grafica:

La expresión de la fuerza de empuje se deduce a continuación:

dE

= p

(y)

.

dA= (

p

G + Pe.y)

.

dA

ĺ

E

=

œ

A (

p

G + Pe.y)

.

dA= p

G .

œ

A

dA

+

Pe.

œ

A y

.

dA

La segunda integral es nula por tratarse del momento de primer orden de la placa de área A respecto del eje X baricéntrico . Entonces la expresión final de la fuerza de empuje es:

E

= p

G .

A

Esta expresión indica que el empuje sobre una placa plana es igual a la ordenada de presión a nivel del baricentro multiplicada por el área de la placa.

El Centro de Empuje ( punto donde se encuentra aplicada la fuerza de empuje) surge del siguiente análisis:

Planteando momento de las fuerzas respecto del eje X baricéntrico se obtiene:

E .Y

CE

=

œ

_A (pG . y + Pe . y 2)

.

dA= p

G .

œ

A y

.

dA

+

Pe.

œ

A y2

.

dA

La primera integral es nula por tratarse del momento de primer orden de la placa de área A respecto del eje X baricéntrico . Finalmente:

Y

CE

=P

e.

I

XG

/ E

Planteando momento de las fuerzas respecto del eje Y baricéntrico se obtiene:

E .X

CE

=

œ

_A (

p

G . X + Pe . x

.

y)

.

dA= p

G .

œ

A x

.

dA

+

Pe.

œ

A x

.

y

.

dA

La primera integral es nula por tratarse del momento de primer orden de la placa de área A respecto del eje Y baricéntrico . Finalmente:

X

CE

=P

e.

I

XYG

/ E

Del análisis de las expresiones obtenidas se obtienen dos conclusiones:

1-El centro de empuje (CE) se encuentra siempre por debajo del baricentro.