UNIDAD I. COORDENADAS POLARES
Las coordenadas polares, son un sistema de referencia para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional. Sus
parámetros son el ángulo y la distancia dirigida r. Consta de un
punto fijo o Polo (origen), y una línea semi-infinita L saliendo del origen, a L se le conoce como eje polar.
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
En un sistema de coordenadas rectangulares, se puede localizar un punto con un par ordenado (x, y), estos valores son las
distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y
respectivamente. El origen es el punto donde se interceptan los dos ejes coordenados.
Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, donde el punto viene dado por el par ordenado
(r,). Allí r es una distancia dirigida y , es un ángulo expresado en
radianes.
El radio r, es la distancia dirigida desde el polo hasta el punto en estudio. r puede ser positivo o negativo.
i. Si el radio r es positivo, se mide sobre el ángulo .
ii. Si el radio r es negativo, se mide sobre el ángulo (o
representa el ángulo que se forma entre el eje polar y el radio
vector r. El valor de θ será positivo si se mide en sentido antihorario,
Y0
X0
P(x0,y0)
x y
(3
si se mide en sentido horario entonces el valor de el ángulo polar será negativo.
El polo es el punto fijo u origen, su ecuación viene expresada de la forma (0,).
Ejes principales: Los ejes principales en coordenadas polares vienen dados por:
a. Eje polar, cuando =0
b. Eje 𝜋2 , cuando = 𝜋2
c. Eje 𝜋 , cuando = 𝜋
d. Eje 3𝜋
2 , cuando = 3𝜋
2
Ejes secundarios: Los ejes secundarios a su vez vienen dados
cuando 𝜃 = 𝜋 4 , 3𝜋 4 , 5𝜋 4 𝑦 7𝜋 4
UBICACIÓN DE UN PUNTO
Un punto P, en el sistema cartesiano está representado por el par (x,y), ahora ese mismo punto puede ser representado de la forma (r,θ) en el sistema de coordenadas polares, pero en contraste en coordenadas polares existe más de un par ordenado para una misma ubicación.
0
/2
3/2
r
Los puntos en coordenadas polares pueden ser medidos de la siguiente forma:
Cuando: 𝑃 𝑟, 𝜃 Cuando:𝑃(𝑟, −𝜃 )
Cuando P −r, θ Cuando: 𝑃 −𝑟, −𝜃
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y
RECTANGULARES
Por medio del siguiente diagrama podemos relacionar ambos sistemas de referencia, y determinar las ecuaciones equivalentes entre ambos.
El eje polar coincide con el eje x, y a su vez el eje p/2 con el eje y. De esta forma el punto es equivalente en ambos sistemas de acuerdo a las siguientes ecuaciones, fundamentadas en trigonometría plana:
Si los puntos ocupan el mismo espacio en el plano se debe cumplir 𝑝 𝑥 , 𝑦 = 𝑝 𝑟 , 𝜃 del diagrama se deduce:
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥𝑟 → 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑦𝑟 → 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠²𝜃 = 𝑥²𝑟² y 𝑠𝑒𝑛²𝜃 = 𝑦²𝑟² recordamos que: 𝑐𝑜𝑠²𝜃 + 𝑠𝑒𝑛²𝜃 = 1
Sustituyendo nos queda, 𝑥𝑟22 + 𝑦2
𝑟2 = 1 y luego
𝑥²+𝑦²
𝑟² = 1 → 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²
𝑟 = ± 𝑥² + 𝑦² también se verifica: 𝑡𝑔𝜃 = 𝑦
𝑥, donde 𝜃 = 𝑡𝑔⁻¹ 𝑦 𝑥
En resumen, estas ecuaciones permiten convertir de coordenadas rectangulares (C.R) a coordenadas polares (C.P) y viceversa, sin embargo se debe tener cuidado al transformar los puntos, elegir el ángulo y el radio correcto, depende de analizar la posición y no de un procedimiento mecánico. Los valores pueden no
coincidir con la posición, por la naturaleza del radio r () y el periodo
de la función tangente que es y no 2 como ocurre con las
funciones seno y coseno. Recuerde que existen al menos 4 formas alternas para un mismo punto en C.P 𝑃 𝑟, 𝜃 , 𝑟, −𝜃 , −𝑟, 𝜃 y
−𝑟, −𝜃 .
GRAFICAS DE ECUACIONES POLARES
Una ecuación polar viene definida de la forma r=f(θ). Las principales graficas estudiadas en C.R tienen su equivalente en C.P, y se pueden obtener por medio de las relaciones correspondientes, aquí mencionaremos solo algunas. Por otro lado las C.P, permiten también estudiar algunas ecuaciones especiales de interés en esta unidad y que se detallaran también más adelante.
Ecuación de la recta en coordenadas polares.
La recta en coordenadas polares podemos estudiarla de la siguiente forma:
i. Recta Vertical o perpendicular al eje polar, que pasa por el
punto (a,0), su ecuación viene dada de la forma: 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑎
ii. Recta Horizontal o perpendicular al eje /2, que pasa por el
punto (b,/2), su ecuación viene dada de la forma: 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑏
iii. Recta inclinada que pasa por el polo y forma un ángulo 0 con
el eje polar, su ecuación viene dada de la forma: 0.
iv. Recta cualquiera que pasa por el punto (p), su ecuación
Demostración: Sean N(p,) y P(r,) dos puntos pertenecientes a la recta l, donde N es el punto más cercano al polo y p es la magnitud de dicha distancia. De la grafica se puede verificar que se forma el triangulo rectángulo ONP, con lados r, p y 𝑁𝑃 , también se observa que el ángulo
entre r y p es Se verifica que el
cos 𝜃1 − 𝜃2 = 𝑝
𝑟, de allí nos queda rcos 𝜃 − 𝜔 = 𝑝.
Distancia entre dos puntos cualesquiera en coordenadas polares.
Sean dos puntos P1 (r1 , θ1) y P2 (r2 , θ2) y utilizando el teorema
del coseno se puede verificar que:
𝑃1𝑃2 = 𝑟12 + 𝑟22 − 2𝑟
1𝑟2 cos 𝜃1 − 𝜃2
Ecuaciones polares de la circunferencia:
La circunferencia en C.P. podemos estudiarla de la siguiente forma:
i. Circunferencia que pasa por el polo y su centro está sobre
el eje polar, su ecuación es de la forma: 𝑟 = 2 acos 𝜃. Si a es positivo se encuentra a la derecha del polo, y si es negativo a la izquierda.
ii. Circunferencia que pasa por el polo y su centro está sobre
el eje /2, su ecuación es de la forma: 𝑟 = 2𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃, Si a es positivo se encuentra por encima del eje polar, y si es negativo por debajo.
iii. Circunferencia con centro en el polo y radio a: 𝑟 = 𝑎
iv. Circunferencia con centro en (c,) y radio a, su ecuación
es de la forma: 𝑎2 = 𝑟² − 2𝑐𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝛼 + 𝑐².
Demostración: Sea P(r,) un punto cualquiera
sobre la circunferencia y C (c,) el centro de la circunferencia de radio a, de esta forma la distancia de C a P, siempre es constante e igual a él radio a. Por la ecuación de la distancia entre dos puntos en coordenadas polares o simplemente aplicando la ley del coseno en el triangulo OCP, que se muestra en
P (r ,θ)
Eje polar polo
O
θ r p
N(p,ω) ) l ω P (r,θ) Eje polar polo O θ
la figura se tiene: 𝑎2 = 𝑟² − 2𝑐𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝛼 + 𝑐²
Las demás ecuaciones como la de la elipse, hipérbolas y parábolas podemos transformarlas por medio de las ecuaciones correspondientes.
Dentro de las graficas especiales en C.P tenemos: Caracol ó limacons
Este tipo de grafica presenta la forma: 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 ó 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃,
donde a y b son constantes. Según la razón 𝑎 𝑏 se tiene:
i. Si 0< 𝑎 𝑏 < 1, es un Caracol con lazo interno
ii. Si 𝑎 𝑏 = 1, es un Cardiode o Corazón
iii. Si 1< 𝑎 𝑏 < 2, es un Caracol cóncavo o Caracol con hendidura
iv. Si 𝑎 𝑏 > 2, es un Caracol convexo o Caracol sin hendidura
Rosas
Este tipo de grafica presenta la forma: 𝑟 = acos(𝑛 𝜃) ó 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜃), donde a y n son constantes. n es un entero mayor que uno y define el numero de pétalos de la rosa. Si n es par posee 2n pétalos, ahora si n es impar posee n pétalos.
Lemniscatas:
Este tipo de grafica presenta la forma: 𝑟² = acos(2𝜃) ó 𝑟² = 𝑎𝑠𝑒𝑛(2𝜃),
donde a es una constante. Su grafica característica es una rosa de dos pétalos, debido a que la variable r esta elevada al cuadrado significa que la que está al otro lado de la igualdad siempre debe ser mayor o igual que cero, es decir positiva, por lo tanto los intervalos de dominio van a depender de ese factor. Además esto implica que
Cardiode Caracol con lazo interno
solo puede haber cuatro lemniscatas, dos para el seno y dos para el coseno.
Tangentes en el polo
Es una recta de la forma , tangente a la curva que pasa por
el polo y que forzá a la curva a pasar también por dicho punto y se obtiene haciendo cero el radio en la ecuación, es decir, r=0.
Si una curva no pasa por el polo, tampoco posee tangente en el polo. Las rectas segmentadas representan las tangentes en el polo, en la rosa de cuatro pétalos mostrada a continuación.
Valores extremos del radio
Se determinan aplicando los criterios de la primera derivada para máximos y mínimos relativos, es decir, determine para que valores de , 𝑟′ = 0 ó 𝑟′: ∄.
Criterios de simetría.
Para verificar alguna de las tres posibles simetrías en una ecuación en C.P, solo debe hacer los cambios sugeridos por el criterio y la ecuación no se debe alterar.
Simetría con el eje polar: Cambiar en la ecuación (r,) por (r,) ó (r,).
Simetría con el eje /2: Cambiar en la ecuación (r,) por (r,) ó (r,).
Después de presentar el grupo de graficas regulares y especiales que se trataran en el curso, vamos a definir algunas particularidades que facilitaran el proceso de graficación.
a. Si la ecuación depende de la función seno, entonces se
orienta sobre el eje /2.
b. Si la ecuación depende de la función coseno, entonces se
orienta sobre el eje polar.
c. La funciones seno y coseno están acotadas entre -1 y 1
d. Los valores característicos del seno y el coseno:
Seno
Coseno
e. Asocie el coseno con el eje horizontal y el seno con el eje vertical, para los signos.
f. El signo negativo invierte las posiciones de las graficas.
g. El número de tangentes en el polo es igual a las veces que
pasa la trayectoria por ese punto.
h. Las simetrías aplican para la grafica, sus tangentes en el polo, cortes, etc.
i. Sen()= Sen() y Cos()= Cos().
0
/2
3/2 r
(r,) (r,)= (r,)
0
/2
3/2 r
(r,)
(r,)= (r,)
0
/2
3/2 r
(r,)
(-r,)= (r,)
Simetría con el eje /2 Simetría con el eje polar
j. Si la ecuación depende del seno regularmente posee
simetría con el eje /2, Si depende del coseno
regularmente posee simetría con el eje polar. Pasos para Graficar
Se recomienda para graficar considerar los siguientes pasos: 1. Identificar la curva.
2. Determinar corte con los ejes principales.
3. Criterios de simetría.
4. Tangentes en el polo.
5. Valores extremos del radio.
LONGITUD DE ARCO
Sea r=ƒ(θ) una curva suave y derivable en [β], se define la
longitud de arco desde θ hasta θ=β de esta curva como:
𝐿 = 𝑓 θ ² + 𝑓´ θ ²β
α
𝑑θ
0
