DEFORMACIÓN DE PIEZAS PRISMÁTICAS

DEFORMACIÓN DE PIEZAS

PRISMÁTICAS

X

Y

Z

A

B

z

x

y

X

Y

Z

A

B

z

x

y

Planteamiento:

Sea la pieza prismática AB que

se encuentra sometida a la acción de cargas y

ligaduras

Objetivo:

Determinar la nueva geometría

que adquiere la pieza

Sistema de ejes

globales

Sistema de ejes

Procedimiento:

Vamos a ver como se deforma una

G

u

θ

G

u

θ

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

z

y

x

u

u

u

u

r

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

θ

θ

θ

=

θ

z y x

r

ds

x

z y

Los vectores de desplazamiento y de giro de una sección de la

pieza prismática tendrán tres componentes cada uno en el

sistema de referencia local

ds

z x

y

N

N G

ds

z x

y

N N

ds ds

z x

y

N

N G

ds duz

ds duz

ds

AE

N

ds

E

ds

du

_z

=

ε

=

σ

=

LA HIPÓTESIS DE NAVIER (FLEXIÓN)

) ( ) ( tracción I CG M compresión I AG M x x C x x A = = σ σ ds EI AG M ds E ds AB x x A

AA = =

= ε _' σ 2 ds EI CG M ds E ds CD x x C

CC = =

= ε _' σ 2 ds EI M CG CD AG AB d x x x 2

2 = = =

θ

ds

EI

M

d

x x x

=

θ

DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR

MOMENTO FLECTOR

x y

G

h ₂ h ₁

σ1= Μxh1

Ιx σ₂= Μxh2

Ιx

M_x

SECCION ALZADO LATERAL

Canto x

y

G

h ₂ h ₁

σ1= Μxh1

Ιx σ₂= Μxh2

Ιx M_x x y G x y G

h ₂ h ₁

σ1= Μxh1

Ιx σ1=

Μxh1 Ιx σ₂= Μxh2

Ιx σ₂= Μxh2

Ιx

M_x

SECCION ALZADO LATERAL

Canto

σ_C

σ_A

C

A

CURVATURA:

κ

= 1/

ρ

dx

ds

d

=

=

⋅

θ

ρ

EI

M

dx

d

=

=

=

θ

ρ

κ

1

ρ

d

θ

ds

dx

x

ds

z x

y

Q_y G

ds ds

z x

y

Q_y G

ds

γ

du_y

ds

γ

du_y

ds

G

ds

du

_y

=

γ

=

τ

m

c

y

m

Q

Ω

τ

=

El área a cortante Ω_cdepende de la geometría de la sección y, en general, se puede escribir como: Ω_c=Ω/k. Para el caso de una sección rectangular k=6/5

(para el caso de una sección circular, por ejemplo, k=10/9)

ds

G

Q

ds

du

c y y

=

γ

=

_Ω

ds

z x

y

M_z G

M_z

ds ds

z x

y

M_z G

M_z

ds

ωdz

ds ds

ωdz

ds

GK

M

ds

d

θ

_z

=

ω

=

z

¿Podríamos calcular ya los desplazamientos en algún elemento estructural simple que se encuentre cargado?

Supongamos que nos piden los desplazamientos (horizontal y vertical) del extremo B de la ménsula de la figura sometida a la carga inclinada que se indica:

F

45º

L

A B

La carga anterior puede descomponerse en sus dos componentes:

A B 2

2

F

2 2

A B

2 2

F

Ley de axiles Ley de cortantes

A B 2 2 F A B L F 2 2

Ley de flectores

Ω = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ω =

∫

E L F dz E F

w_B L 2

2 2 2 0 A B’ W_B z V_B c L c B G L F dz G F v Ω = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ω

=

∫

22 22

0 z y dV_B ( ) ( ) ( ) ( )

(L z)

dz EI z L F z L dz EI z M z L d dV_B − ⋅ − = = − ⋅ = − ⋅ = 2 2 θ ( ) 3 2 2 2 2 ₃ 0 2 L EI F dz z L EI F

V_B =

∫

L − = ⋅

Desplazamiento inducido por los giros de las rebanadas

Desplazamiento inducido

por los propios de las rebanadas Desplazamiento

sólido rígido

Suma de giros de las rebanadas Giro sólido

rígido

FÓRMULAS DE NAVIER-BRESSE

PIEZA PLANA CON CARGAS EN SU PLANO

Q

_x

= M

_z

= M

_y

= 0

M

_x

= M

Q

_y

= Q

u

_x

=

θ

_y

=

θ

_z

= 0

u

_y

= v

u

_z

= w

θ

_x

=

θ

Y

Z

A

B

Esfuerzos y desplazamientos en ejes locales:

Giros y desplazamientos en ejes globales:

Criterios de signos:

∫

−

=

B

A A

B

ds

EI

M

θ

θ

A

B

A

B

A

B

ds

EI

M

ds EI M

A

B

A

θ

A

A B Z Y B Z Y A

θ

_A

θ_A(Y_B- Y_A) θ_A(Z_B- Z_A)

(

)

(

)

(

)

_∫

_∫

(

)

∫

∫

− + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω − Ω + − + = − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω + Ω + − + = B A B B A _c A B A A B B A B B A _c A B A A B ds Y Y EI M dY G Q dZ E N Y Y w w ds Z Z EI M dZ G Q dY E N Z Z v v θ θ A Z Y

N

N

α ds B α

ds

E

N

Ω

dz

E

N

ds

E

N

Ω

=

⋅

Ω

cos

α

dy

E

N

ds

E

N

Ω

=

⋅

Ω

sen

α

A Z Y

Q

Q

α ds B α

ds

G

Q

c

Ω

dy G Q ds G Q c c Ω − = ⋅ Ω

− senα

dz G Q ds G Q c c Ω − = ⋅

Ω cosα

A

B

(

)

(

)

(

)

_∫

_∫

(

)

∫

∫

− + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω − Ω + − + = − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω + Ω + − + = B A B B A _c A B A A B B A B B A _c A B A A B ds Y Y EI M dY G Q dZ E N Y Y w w ds Z Z EI M dZ G Q dY E N Z Z v v θ θ

A

B

ds EI M Z Y Z_B Z Y

Y_B

(

_{Z Z}

)

_ds

EI M

B −

−

(

Y Y

)

ds EI

M

PIEZA RECTA CON CARGAS EN SU PLANO

0

0

=

=

=

=

dz

dy

y

_A

y

_B

ds

(

)

(

)

∫

∫

∫

∫

Ω

+

=

−

−

Ω

+

−

θ

+

=

−

θ

=

θ

B A A

B

B

A B

B A

c A

B A A

B

B A A

B

dz

E

N

w

w

dz

z

z

EI

M

dz

G

Q

z

z

v

v

Cortante

Flexión

Ejemplo: Determinar la flecha en B

B

A

w

w

=

(

_{)( )}

∫

∫

−

−

−

Ω

−

=

B

A B

A

c

B

l

z

dz

EI

z

L

P

dz

G

P

v

(

)

z l

0 z 3

c B

3

z

L

EI

P

G

PL

v

= =

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

−

Ω

−

=

EI

3

PL

G

PL

v

3

c B

=

−

Ω

−

P

A

B P

Ley de cortantes

A

B P.l

c h x y c te tan cor B

G

PL

v

Ω

−

=

EI

3

PL

v

3 flexión

B

=

−

(

)

(

+

ν

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⋅

ν

+

=

Ω

=

Ω

=

1

L

h

6

,

0

L

2

,

1

ch

1

2

E

ch

12

1

E

3

L

G

EI

3

EI

3

PL

G

PL

v

v

2 2 3 2 c 3 c flexión B te tan cor B

Si hacemos, por ejemplo, L/h = 50,

ν

=0,2, el cociente

anterior resulta ser 0,000288.

La flecha debida al cortante es despreciable (0,03%)

frente a la de flexión.

En Resistencia de Materiales suele despreciarse la

contribución del esfuerzo cortante en el cálculo de

las flechas del elemento estructural.

Pieza recta con cargas en su plano despreciando las

deformaciones inducidas por esfuerzo cortante y

esfuerzo axil

(

)

(

)

EI

L

q

dz

EI

z

L

q

dz

EI

z

L

M

v

B

A B

A B

8

2

2

4 3

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

↓=

∫

∫

(

)

∫

=

∫

−

=

=

B

A

l B

EI

qL

dz

EI

z

L

q

dz

EI

M

0

3 2

6

2

θ

EJEMPLO:

¿Flecha y giro en B?

Ley de momentos flectores:

A

B y

z q

L

A

B qL2/2

Otras aplicaciones en problemas isostáticos:

θ_A

A _B

θ_B θ_A

A _B

A _B

θ_B

M a debida Flecha

L M a debida Flecha

L

A ⋅ = / +

θ

horario sentido

en EI ML EI

ML EI

L L M

L _A

A

6 2

3

2 3

= ⇒

+ −

=

⋅ θ

θ

l

M

A B

L

M

A B A B _M

M/l M/l

M

A B

M/L M/L

A

θ_A

θ_A B

B’ M M/l A

θ_A

θ_A B

) (

) (

) / (

) (

o antihorari

M por producido o

antihorari l

M por producido o

antihorari o

antihorari

A

B B

B

θ

θ θ

θ

+

+ +

=

EI Ml o

antihorari EI

Ml EI

Ml EI

Ml o

antihorari _B

B

3 ) (

6 2

)

( = − + − ⇒ θ =

APLICACIÓN A PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS

A

B M

A +

B

R A

B M

A +

B

R

0

=

+

=

↑

estadoII

B I

estado B

B

v

v

v

(

)

EI L M dz

EI z L M

v B

A I

estado B

2

2

∫

− = −

− = ↑

EI

RL

v

_BestadoII

3

3

=

↑

L M R

EI RL EI

L M

2 3 0

3 2

3 2

= ⇒

= +

−

y

A

B

z

L

(

)

(

)

A B

B

A B A

B A

A B

B A A

B

w

w

dz

z

z

EI

M

z

z

v

v

dz

EI

M

=

−

−

−

θ

+

=

−

θ

=

θ

∫

∫

TEOREMAS DE MOHR

Christian Otto Mohr

PRIMER TEOREMA DE MOHR

(

)

(

)

B

B _A

A

B

B A A B A _A B

B A

M dz EI

M

v v z z z z dz

EI

w w

θ = θ +

⇑ =⇑ − θ − − −

=

∫

∫

∫

=

−

B

A A

B

dz

EI

M

θ

θ

A B

Ley de momentos flectores

A’

B’ Directriz deformada

Directriz sin deformar

θ_B θ_A

θ_B-θ_A

A B

Ley de momentos flectores

A’

B’ Directriz deformada

Directriz sin deformar

θ_B θ_A

θ_B-θ_A

“El ángulo girado por la directriz entre dos secciones A y B de una pieza prismática recta de sección constante es igual al área del

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL PRIMER TEOREMA DE MOHR

¿Giro en B?

( )

EI

PL

EI

PL

L

A B

2

2

1

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

_⋅

=

−

θ

θ

0

P

(horario)

A

B P.L

SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

(

−

)

−

_∫

(

−

)

− =↑

↑ B

A B

A B

A A

B z z dz

EI M z

z v

v θ

A’

B’ Directriz deformada

A B

Directriz sin deformar

z y

dz z_B-z

v_B v_A

θ_A.(z_B-z_A) B’’

B’’’ A’

B’ Directriz deformada

A B

Directriz sin deformar

z y

dz z_B-z

v_B v_A

θ_A.(z_B-z_A) B’’

B’’’

“La distancia, en dirección perpendicular a la directriz sin deformar, entre un punto B’ de la directriz deformada a la recta tangente a la

directriz deformada en otro (A) es igual al momento estático del área de momentos flectores entre las secciones A y B

respecto del eje perpendicular a la directriz sin deformar que

A _B y

z q

L

EI

pL

EI

L

L

q

L

v

_B

8

4

3

2

3

1

4 2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

_⋅

=

↓

/

.

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

¿Flecha en B?

.

G

3/4(L)

qL

2

/2

TERCER TEOREMA DE MOHR (TEOREMA DE LA VIGA

CONJUGADA)

VIGA REAL

P

L

LEY DE MOMENTOS FLECTORES

PL/4

VIGA CONJUGADA

El giro absoluto que experimenta una sección de la viga

real es igual al esfuerzo cortante, en esa misma sección

de la viga conjugada, dividido por el producto

EI

La flecha en un punto de la directriz de la viga real es

igual al momento flector, en la misma sección de la viga

conjugada, dividida por el producto

EI

M

M

R_{A RB}

EI ML EI

R_B

B

3

= =

θ

EJEMPLO:

L

M

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELASTICA

z

v

z

v

( )

2 3 2

2 2

1 1

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −

= =

dz dv

dz v d EI

z M

ρ

dv

dz

<<

1

( )

2

2

dz

v

d

EI

z

M

−

=

¿Qué representa

dv/dz

?

dz

dv

dz

dv

dz

dv

representa el giro absoluto experimentado por la sección

Directriz sin deformar

v

z

A

Tangente en la sección considerada

Directriz deformada

¿Qué trascendencia tiene el hecho de despreciar

dv/dz

en la deducción de la ecuación diferencial de la elástica?

l

M

A B

L

M M

A B

M

z

En este problema no hay reacciones en los apoyos, ni esfuerzos cortantes en las rebanadas: es un problema de flexión pura.

En la realidad (sin despreciar nada) todas las rebanadas se deforman por igual, experimentando el mismo giro dθ:

.

cte

EI

M

dz

d

dz

EI

M

d

θ

=

⇒

θ

=

=

.

1

cte

dz

d

=

=

ρ

Veamos en que se traduce la hipótesis en este problema

dv

dz

≈

0

2 2 dz v d EI M − =

Ecuación diferencial de la elástica:

Integramos una vez: z C EI

M dz

dv _{= − +}

Imponemos que debe ser nula en z=L/2 por simetría: dz dv 2 L EI M C = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

= L z

EI M dz

dv

2

Integramos por segunda vez: L _{z C} EI

M

v ⎟ + ′

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 2 2

Imponemos que v debe ser nula en z=0 (apoyo):

8 4 2 2 2 _L EI M L EI M

C′= =

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

= 2 2

2 2 1 8 z L L EI M

v La elástica es un arco

( )

(

2

)

2

L

z

z

q

z

M

=

.

−

( )

(

)

EI z z L q

EI z M dz

v d

2

2 2

2 −

= −

= . _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

= z L z C EI

q dz

dv

2 3

2

2 3

Por simetría de la pieza, la pendiente de la tangente a

la directriz deformada en el punto

z=L/2

debe ser nula,

por lo que

C=L

3

_/12

OTRO EJEMPLO DE DETERMINACION DE LA ELASTICA

z

v

l q

z

v

L q

/2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

−

=

z

L

z

L

z

C

'

EI

q

v

12

6

12

2

3 3

4

Cuando

z=0

la flecha

v

es nula, por lo que

C’=0

, y la

ecuación de la elástica es:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

2

2

12

3 3

4

z

L

z

L

z

EI

q

v

La flecha máxima se produce cuando

z=L/2

y su valor es:

EI

qL

v

348

5

4

=

EL DIBUJO DE LA DEFORMADA A ESTIMA

P=20 kN

2 m 1 m 1 m

A B C D

A B C D

15 kN·m

5 kN·m

D A

C B

C

A

B

D

294,9 kN.m

237,3 kN.m

28,5 kN.m

71,5 kN.m

63,9 kN.m

3,84 m 7,68 m

C

A

B

D

294,9 kN.m

237,3 kN.m

28,5 kN.m

71,5 kN.m

63,9 kN.m

3,84 m 7,68 m

APLICACIÓN DEL PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO

ds

EI

M

d

x x x

=

θ

Energía elástica de una pieza a flexión

ds

EI

M

d

M

dU

x x x

x

2

=

⋅

=

θ

∫

=

ds

EI

M

U

x x

P

_{Ley de flectores}

l

A _B

P.l

(

)

(

)

x l

l z

z

x x

x x

EI

l

P

z

l

EI

P

dz

EI

z

l

P

ds

EI

M

U

3

3

3 2

0 3

0

2 2

2 2

−

=

−

−

=

−

=

=

∫

∫

=

=

z