EJERCICIOS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS (CUALESQUIERA)

Resolución de triángulos de cualquier tipo

Ejercicio nº 1.-

Halla los lados y los ángulos de este triángulo:

Ejercicio nº 2.-

Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

Halla los lados y los ángulos del triángulo:

Ejercicio nº4.-

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:

Ejercicio nº 5.-

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos:

Ejercicio nº 6.-

Ejercicio nº 7.-

Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 140. ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?

Ejercicio nº 8.-

Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70.

Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos?

Ejercicio nº 9.-

Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?

Ejercicio nº 10.-

Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50, y el ángulo en A es de 75. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ?

Soluciones

Resolución de triángulos de cualquier tipo

Ejercicio nº 1.-

Halla los lados y los ángulos de este triángulo:

Solución:

única. solución existe

, 180 135 35 100 ˆ ˆ

Como AC     

: ángulo el

Hallamos Bˆ

 



45 135 180

180     

 Aˆ Cˆ Bˆ

Con el teorema de los senos hallamos los lados a y c:

m 57 5 45 100 4

45 4

100 sen ,

sen a

sen sen

a

Bˆ sen

b

Aˆ sen

a

 

 



45 35

45 sen sen sen

Cˆ sen Bˆ

sen   

Por tanto:

 



35 ˆ m; 24 , 3

45 ˆ m; 4

100 ˆ m; 57 , 5

 

 

 

C c

B b

A a

Ejercicio nº 2.-

Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:

Solución:

Hallamos el lado a con el teorema del coseno:

Aˆ cos bc c b

a2  2 22



110 8

5 2 8 52 2

2

cos a      

36 27 64 25

2

,

a   

36 116

2

,

a 

cm 79 10, a

Al conocer los tres lados, la solución es única.

: senos los de teorema el

aplicando

ángulo el

Calculamos Bˆ,

79 10

110 5

5 110

79 10

, sen Bˆ

sen Bˆ

sen sen

, Bˆ

sen b Aˆ sen

a 

   

 

 0,435

Bˆ

sen Bˆ 2548'49"

 

  Aˆ Bˆ

Cˆ 180 Cˆ 4411'11"

Por tanto:

" 11 ' 11 44 ˆ cm; 8

" 49 ' 48 25 ˆ cm; 5

110 ˆ cm; 79 , 10

 



 

 

 

C c

B b

A a

Ejercicio nº 3.-

Halla los lados y los ángulos del triángulo:

Solución:

Hallamos el lado b con el teorema del coseno:

89 294 144 225

35 12 15 2 12 15

B 2

2

2 2 2

2 2 2

, b

cos b

ˆ cos ac c a b

  

     

  



cm 61 8 11

74

2 _{, b ,}

b   

Como conocemos los tres lados, la solución es única.

: ángulo el

Hallamos Cˆ

61 8

35 12 35

61 8 12

, sen Cˆ

sen sen

, Cˆ sen Bˆ

sen b Cˆ sen

c 

  

 



" 26 ' 4 53 799

0   

 , Cˆ

Cˆ sen

: ángulo el hallamos último,

Por Aˆ

 

Por tanto:

" 26 ' 4 53 ˆ cm; 12

35 ˆ cm; 61 , 8

" 34 ' 55 91 ˆ cm; 15

  

 

 

 

C c

B b

A a

Ejercicio nº4.-

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:

Solución:

: senos los de teorema el

con ángulo el

Bˆ sen sen Bˆ sen b Aˆ sen a 6 105 10 _   _ " 9 ' 25 35 58 0 10 105

6  _{  } 

 sen , Bˆ

Bˆ sen solución). una hay solo agudos; ser de han y obtuso, es

(Como Aˆ Bˆ Cˆ

: de ángulo el

Hallamos Cˆ

 

 Aˆ Bˆ

Cˆ

Calculamos el lado c:





105 10 " 51 ' 34

39 sen c ,

sen c Aˆ sen a Cˆ sen c      _{ } Por tanto: " 51 ' 34 39 ˆ m; 6 , 6 " 9 ' 25 35 ˆ m; 6 105 ˆ m; 10          C c B b A a

Ejercicio nº 5.-

Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos:

Solución:

Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de los otros dos, existe solución única.

: coseno del teorema el con y ángulos los

Hallamos Aˆ Bˆ

Aˆ cos Aˆ cos bc c b a 42 49 9 81 2 2 2 2       23 42 81 49 9 42      Aˆ cos Aˆ cos " 14 ' 12 123 548

0   



 , Aˆ

Aˆ cos Bˆ cos Bˆ cos ac c a

b2 2 22  98149126

121 126

9 49 81

126cosBˆ     cosBˆ 

" 42 ' 11 16 960

0   

 , Bˆ

 

Por tanto:

" 4 ' 36 40 ˆ m; 7

" 42 ' 11 16 ˆ m; 3

" 14 ' 12 123 ˆ m; 9

  

 

 

 

C c

B b

A a

Ejercicio nº 6.-

En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 80. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?

Solución

: Bˆ

ángulo el

Hallamos





 ₃₅

180   

 Aˆ Cˆ Bˆ

Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos:

km 79 35

65 50 35

50

65     

 



sen sen a

sen sen

a

km 85 85 35

80 50 35

50

80 sen ,

sen c

sen sen

c _{   }

  



Por tanto, el barco está a 79 km de la estación C y a 85,85 km de la estación A.

Ejercicio nº 7.-

: será ángulo

El Cˆ





 _{25 140 15}

180   

 Cˆ

Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y:

m 35 248 15

140 100

15 100

140 sen ,

sen x

sen sen

x _{   }

  



m 29 163 15

25 100 15

100

25 sen ,

sen y

sen sen

y _{   }

  



Por tanto:

Sara está a 248,35 m del castillo y Manolo, a 163,29 m.

Ejercicio nº 8.-

Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70.

Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos?

Solución:

Hallamos el lado c aplicando el teorema del coseno:

Cˆ cos ab b a

c2  2 22



70 600 225 400

15 20 2 15 20

2

2 2 2

cos c

Cˆ cos c

   

     

m 49 20 79

419

21 205 225 400

2 2

, c ,

c

, c

  

  

Los metros de valla necesarios serían:

m 49 , 55 49 , 20 15

20  

Ejercicio nº 9.-

Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?

Solución:

Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno:

38 209 1 704 2 156 1

110 52

34 2 52 34

2

2 2 2

, x

cos x

  

    

 

km 20 71

38 5069

2

, x

, x

 

Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km.

Ejercicio nº 10.-

Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50, y el ángulo en A es de 75. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ?

Solución:

: ángulo el

Hallamos Cˆ

 

 ₅₅

180   

 Aˆ Bˆ

Cˆ

Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos:

m 92 117 55

75 100 55

100

75 sen ,

sen a

sen sen

a _{  }  _

  



m 52 93 55

50 100

55 100

50 sen ,

sen b

sen sen

b _{  }  _

  

