MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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En este capítulo vamos a abordar algunas distribuciones de probabilidad que son especialmente útiles porque responden a situaciones en las que nos veremos inmersos con frecuencia.

Algunos conocimientos matemáticos son necesarios, en esta ocasión para este tema es todo lo referente a números combinatorios.

Para ello comenzaremos con el concepto de factorial de un número natural.

Es decir, es un producto decreciente desde el número que nos interesa hasta la unidad. Por ejemplo

Se toma como convenio que para poder efectuar determinadas operaciones.

Es inmediato que

Lo cual también será muy útil.

Una vez recordado el concepto de factorial de un número pasamos al de número combinatorio. Su nomenclatura es simplemente 2 números naturales puestos uno sobre otro y entre paréntesis, de forma que el de arriba sea mayor o igual que el de abajo.

Su cálculo se expresa en función de factoriales según la siguiente expresión:

Por ejemplo

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2

Y como consecuencia

Una última propiedad será:

Una técnica para la obtención de los números combinatorios sin necesidad de realizar tanto producto es el denominado Triángulo de Tartaglia. Consiste en disponer de forma piramidal ordenada los números combinatorios, de forma que en cada fila estén todos los que tienen la misma parte superior:

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3

Si observamos los dos lados de este triangulo están formados por unos y en base a la última propiedad, cualquier número combinatorio se podrá obtener como suma de los dos que tiene encima de él. Así:

Por lo que podremos obtener fácilmente números combinatorios que no correspondan a valores grandes.

Un resultado importante en el que intervienen los números combinatorios es en la fórmula del Binomio de Newton que nos da la potencia de un binomio. Así pues:

Y para la diferencia

Por ejemplo:

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4 MODELOS DISCRETOS.-

Por cuestiones de tiempo vamos a ver solo tres distribuciones discretas, las de mayor uso. La Distribución Binomial, la Distribución de Poisson y la Distribución Geométrica.

BINOMIAL.-

Esta distribución se utiliza cuando se está realizando un experimento aleatorio, la ocurrencia de un suceso dado será un éxito. Este experimento lo estamos repitiendo, en idénticas condiciones, un determinado número de veces decidido a priori. Finalmente, estaremos interesados en el número de éxitos que hayamos obtenido.

Por ejemplo si realizamos el lanzamiento de un dado 10 veces y estamos interesados en cuantas veces sale un cinco.

En esta distribución, si denotamos por la probabilidad de éxito, la de fracaso (obviamente ) y el número de realizaciones del experimento aleatorio, entonces se dice que la variable aleatoria que cuenta el número de éxitos seguirá una distribución binomial con realizaciones y con probabilidad de éxito . Se denotará como

Su función de cuantía será:

Por ejemplo si consideramos el experimento de lanzar veces un dado y ver cuantos número mayores que cuatro ocurren será:

Por lo que si nos piden la probabilidad de que esto ocurra en tres ocasiones, tendremos:

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5

Así, en el ejemplo anterior

Ejercicio 1. Halla la probabilidad de que en 5 lanzamientos de un dado, el tres

aparezca dos veces.

Vemos como el experimento lanzamiento de un dado y ver los puntos de la cara superior se realiza 5 veces y el suceso que nos interesa es que salga un tres cuya probabilidad obviamente es . Así pues, si la variable aleatoria cuenta el número

de éxitos, entonces . Su función de cuantía será:

Luego como nos piden la probabilidad de dos éxitos entonces

Ejercicio 2. Se lanzan monedas veces. Calcula el número esperado de veces que saldrán las cuatro caras.

En este caso tenemos dos fases en el ejercicio. En primer lugar necesitamos hallar la probabilidad de que al lanzar monedas, salgan las caras. Para esto tenemos dos opciones:

a)

Llamando a sacar cara en la moneda y suponiendo la independencia de unas monedas con otras.

b) Otra opción consiste en plantearlo a su vez como un ejercicio de la binomial donde el experimento es lanzar una moneda, se efectúa veces (se lanzan cuatro monedas), el éxito es obtener cara y nos interesa la probabilidad de obtener éxitos.

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6

En definitiva, por cualquier camino obtenemos que la probabilidad de obtener las caras es .

Así pues, habrá que considerar ahora que el experimento es el lanzamiento (no de una) de las monedas. Ese experimento lo realizaremos veces y el éxito es que salgan las cuatro caras. Por lo tanto, la variable que mide el número de éxitos

verifica que

y como lo que nos piden es que hallemos su esperanza

Es decir, esperamos que salgan veces las cuatro caras.

Ejercicio 3. De un total de familias con hijos, ¿en cuántas de ellas cabe esperar que tengan:

a) Dos varones y dos mujeres? b) Uno o dos varones?

c) Ninguna mujer? d) Al menos un varón?

Está claro que el experimento se va a realizar veces, luego . Sin embargo, lo que no está tan claro es el valor de la probabilidad de éxito, porque en cada apartado se considera como éxito una cosa diferente. Por lo tanto en cada apartado trabajaremos con una binomial diferente.

Por otra parte como cada experimento afecta a familias con hijos, si consideramos que es equiprobable varón y mujer y consideramos por ejemplo que nos interesa que sea varón, la variable que mide el número de varones en cada familia

de hijos verifica . (De forma dual se podría hacer considerando como éxito ser mujer. Hágase como ejercicio).

a) En este caso nos interesa que tenga varones, es decir la probabilidad de

éxito será

. Por tanto la variable que

mide el número de familias que tienen varones verifica que

y en consecuencia, el número de familias que esperamos cumplan esta condición será

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7

b) En este caso nos interesa que tenga o varones, es decir la probabilidad

de éxito será

. Por

tanto la variable que mide el número de familias que tienen o varones

verifica que y en consecuencia, el número de familias que esperamos cumplan esta condición será

c) En este caso nos interesa que no tenga ninguna mujer, es decir 4 varones,

luego la probabilidad de éxito será

. Por tanto

la variable que mide el número de familias que no tienen ninguna mujer

verifica que

y en consecuencia, el número de familias que

esperamos cumplan esta condición será

d) En este caso nos interesa que haya al menos varón, luego la probabilidad de éxito será

Por tanto la variable que mide el número de familias que no tienen ninguna

mujer verifica que

y en consecuencia, el número de familias

que esperamos cumplan esta condición será

Ejercicio 4.- Sea una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros y Calcular:

a)

b)

c)

d)

e)

(8)

8 a) b) c) d) e)

Ejercicio 5.- En un estudio de mercado una empresa ha determinado que el de los consumidores son clientes habituales de sus productos. Si se toman al azar

consumidores, calcular:

a) La probabilidad de que se encuentren como máximo de tales clientes. b) La probabilidad de que se encuentren como mínimo clientes.

c) La probabilidad de que se encuentren entre 4 y clientes. d) El número esperado de clientes.

e) La desviación típica de la distribución.

Como se consideran consumidores, quiere decir que el experimento de seleccionar un consumidor y ver si es o no cliente nuestro se realiza veces y por supuesto que un consumidor sea o no cliente nuestro no influye en ningún otro, por lo que asumimos la independencia. Por otra parte, nuestro éxito (ser cliente nuestro) tiene una probabilidad de por lo que la variable que cuenta el número de clientes que hay entre los diez consumidores elegidos verifica

y por lo

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9

aprovechamos el resultado del apartado anterior para hacer menos cálculos.

c)

d)

e) Obtengamos primero la varianza y a continuación la desviación típica

Ejercicios propuestos:

1) En una oficina pública hay 10 administrativos. Se sabe que la probabilidad que soliciten un día de permiso es 0,2. Se pide calcular:

a) La Probabilidad que un día determinado lo soliciten más de tres.

b) La Probabilidad que un día determinado lo soliciten por lo menos cuatro.

2) Se sabe que un determinado medicamento produce la mejoría de cierta enfermedad a dos de cada tres enfermos. Se aplica este medicamento a 7 enfermos y se pide:

a) Calcule la probabilidad que mejoren 4 personas.

b) Calcule la probabilidad que al menos mejoren 3 personas.

2)

3) Una urna contiene cuatro bolas rojas y seis bolas blancas. Se saca una bola, se anota el color y se devuelve a la urna. Suponiendo que esa experiencia se repite cinco veces, se pide:

a) Calcular la probabilidad de obtener dos bolas rojas.

b) Calcular la probabilidad de obtener como máximo dos bolas rojas.

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10

4) Se sabe que la probabilidad de que un opositor apruebe una determinada oposición a la Administración Pública es 0,6. Cuatro amigos se presentan a dicha oposición, se pide:

a) Probabilidad de que al menos tres de los cuatro amigos aprueben. b) Probabilidad de que a lo sumo dos de los cuatro amigos aprueben.

5) La probabilidad de que un alumno que empieza sus estudios termine su carrera es del . Si en un curso se encuentran 10 alumnos, se pide:

a) Calcular la probabilidad de que terminen 2

b) Calcular el número más probable de alumnos que terminen

6) Sea una variable aleatoria binomial de la que se sabe que y que . Calcular:

a) La tabla que expresa la distribución de probabilidad. b) La probabilidad del suceso: .

c) Calcula razonadamente la Moda y comprueba que corresponde al valor de la variable de máxima probabilidad.

7) Lanzamos un dado, cuyas caras están numeradas del 1 al 6.

a) Calcular la probabilidad de obtener al menos un 5 en cuatro lanzamientos. b) Calcular la probabilidad de no obtener número menor que 5 en tres

lanzamientos.

8) De una ciudad se conoce que en las pasadas elecciones generales, de los

votantes, lo hicieron al partido A. El día de la votación se tomó una muestra aleatoria de 5 votantes. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que al menos uno haya votado al partido A. b) Calcular la probabilidad de que alguno haya votado al partido A.

c) Calcular la probabilidad de que ninguno haya votado a otro partido.

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11

10) Se sabe que en un ministerio el de los empleados son funcionarios, y el

contratados. Se seleccionan aleatoriamente 10 empleados para formar una comisión. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que haya en dicha comisión menos de 8 contratados.

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12 POISSON.-

La distribución de Poisson es la encargada de contar el número de veces que ocurre un determinado suceso si se ha fijado una determinada unidad (casi siempre de tiempo). Así pues, nos servirá para contar el nº de nacimientos en Torrecárdenas en un día, el nº de accidentes de tráfico mortales en un fin de semana en España, etc.

Esta distribución depende de un solo parámetro que habitualmente se denota como .

Se dice que una variable aleatoria sigue una distribución de Poisson con parámetro

Cuando su función de cuantía viene dada por:

Obsérvese que no hay un valor máximo para la variable.

Por ejemplo, si nos dicen que el número de nacimientos diarios en Torrecardenas sigue una Poisson con parámetro entonces que obtengamos la probabilidad de que en un determinado día nazcan 2 niños será:

Se demuestra que

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Mientras que la probabilidad de que en un turno vayan 30 enfermos será:

Ejercicio 1. Sea calcular:

a)

b)

c)

d)

Basta con aplicar la fórmula que nos da la función de cuantía

Y que en nuestro caso será

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 2. El número medio de solicitudes de préstamos que recibe una entidad bancaria es de por día. Suponiendo que las solicitudes de préstamo sigan una distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que:

a) En un día se reciban más de solicitudes.

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Nos están diciendo que la variable que cuenta el número de solicitudes diarias sigue una Poisson con parámetro , luego

c)

d) En este caso se está cambiando la unidad de medida del día a la hora. Pero lo que nos interesa no son las horas del día sino el total de horas que el banco está abierto, es decir desde las hasta las horas son un total de 5 horas. Luego la variable que mide el número de solicitudes de préstamo por hora será una Poisson con parámetro por lo que

Ejercicio 3. Los accidentes de trabajo, , que se producen en una fábrica por semana siguen una Ley de Poisson de forma que

Se supone que hay independencia entre los accidentes ocurridos en dos semanas distintas cualesquiera. Calcular:

e) La media y la varianza de la distribución.

f) Número máximo de accidentes en el de las semanas. g) Probabilidad de que no haya ningún accidente en semanas.

h) Probabilidad de que en una semana haya dos accidentes y en la siguiente otros dos.

i) Si se sabe que en una semana ha habido al menos un accidente, probabilidad de que en ella no haya habido más de tres.

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15 de donde

Luego ya sabemos que por lo que tanto la media como la varianza de esta distribución será . (Recordemos que en una Poisson el parámetro coincide con la media y con la varianza).

f) Tenemos que hallar un valor de forma que y sin embargo

Para esto vamos a probar con diferentes posibilidades hasta que encontremos el valor apropiado. Empecemos por ejemplo con

que satisface la primera condición. Veamos la segunda

que no supera por lo que habrá que probar con el siguiente

Que ya si supera por lo que el valor pedido será

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h) Como partimos del hecho de que lo que ocurra en una semana es independiente de lo que ocurra en cualquier otra, entonces la probabilidad de que haya dos accidentes en una semana y otros dos en la siguiente será el producto de la probabilidad de que haya dos accidentes en una semana por la probabilidad de que haya otros dos en la siguiente, que como son iguales será su cuadrado

i) En este caso nos piden una probabilidad condicionada (las dos cosas afetan a la misma semana.

1. Ejercicio 4.- Entre los 100 aspirantes a unas plazas de técnicos superiores en la Administración Pública, 40 son mujeres. Si seleccionamos una muestra aleatoria, con reemplazamiento, de 40 aspirantes. Obtener la probabilidad de que como mucho 5 sean mujeres.

En este caso el experimento aleatorio es la elección de un opositor para ver si es hombre o mujer. Este experimento se realiza 40 veces y por ser con reemplazamiento, se hace en condiciones de independencia. Estamos interesados en el suceso ser mujer. Como la composición de los aspirantes es de 40 mujeres y 60 hombre, entonces la probabilidad de éxito será de por lo que la variable que cuenta el número de

mujeres elegidas sigue una binomial y nos están pidiendo

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Podemos calcularlo mediante una aproximación a través de la variable y por lo tanto

Que también es una lata pero mucho más manejable que el anterior.

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1) Sabiendo que es una variable aleatoria de Poisson con parámetro , calcular .

2) Sabiendo que es una variable aleatoria de Poisson tal que .

a) Calcular el valor de .

b) Calcular el valor de .

3) Si las llamadas telefónicas siguen una Ley de Poisson con una frecuencia media por minuto de valor , se pide:

a) Halla la probabilidad de que ocurra exactamente una llamada en un intervalo de minutos.

b) Halla la probabilidad de que ocurran a lo sumo dos llamadas en dicho intervalo.

4) Sabiendo que es una variable aleatoria de Poisson de parámetro y que además , se pide calcular (Nota: calcular con un solo decimal)

5) Se sabe que el número medio de ciudadanos que solicitan información en una oficina pública es de 10 cada hora. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que soliciten información más de 7 ciudadanos en 1 hora.

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6) Se conoce que en la central telefónica de una localidad se recibe un promedio de 480 llamadas por hora. Sabiendo además que la instalación tienen una capacidad que puede atender a lo sumo 12 llamadas por minuto, se pide:

Calcular la probabilidad de que en un determinado minuto no sea posible dar línea a todos los clientes que la soliciten.

7) El número de personas que llegan en una hora a una ventanilla de una oficina de la Agencia Tributaria, sigue una distribución de Poisson con media 7. Se conoce que si acuden a la ventanilla más de 5 personas en una hora se forma cola. Se pide a) Calcular la probabilidad de que se forme cola en una ventanilla en una hora

determinada.

b) Sabiendo que en la oficina hay 10 ventanillas independientes, calcular la probabilidad de que en una hora determinada se forme cola en 7 de las 10 ventanillas.

8) Se sabe que los errores que comete un administrativo de una oficina pública sigue una distribución de Poisson de media 3 errores cada 2 días de trabajo. Se pide: a) Probabilidad de que cometa más de 2 errores en los próximos 2 días. b) Probabilidad de que cometa entre 2 y 4 errores en los próximos 2 días.

c) Probabilidad de que cometa menos de 3 errores al día siguiente.

9) Se conoce que la centralita telefónica de una oficina pública recibe en promedio 10 llamadas cada 8 minutos. Suponiendo que el número de llamadas siga una distribución de Poisson:

a) Calcular la Moda y la Varianza de la distribución.

b) Calcular la probabilidad de que se reciban al menos 5 llamadas en los próximos 8 minutos.

c) Calcular la probabilidad de que se reciban menos de 5 llamadas en los próximos 2 minutos.

10) Suponiendo que el promedio de alumnos que llegan a una fotocopiadora cada 5 minutos sigue una Ley de Poisson de parámetro , se pide:

a) Expresa simbólicamente la función de probabilidad y la función de distribución. Calcula la Media, la Moda y la Varianza.

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c) Calcular la probabilidad de que en los próximos 10 minutos lleguen a la fotocopiadora menos de 8 alumnos.

11) Sabiendo que el número de veces que, en promedio, suena un teléfono móvil en una clase de dos horas sigue una Ley de Poisson de parámetro , se pide: a) Calcular la probabilidad de que en una clase de 2 horas no suene.

b) Calcular la probabilidad de que en una clase de 2 horas, suene por lo menos 2 veces.

c) Calcular la probabilidad de que en una clase de 2 horas y 40 minutos suene como máximo 3 veces.

12) Sabiendo que el número de huelgas anuales en una determinada empresa se puede modelizar mediante Ley de Poisson de media , se pide:

a) Calcular la probabilidad de que el próximo año haya al menos una huelga. b) Calcular la probabilidad de que en los últimos 10 años haya habido al menos

una huelga.

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DISTRIBUCION GEOMETRICA.-

El planteamiento en una geométrica, va a ser similar al realizado en la binomial, en el sentido de que estaremos interesados en la ocurrencia de un determinado suceso

y que en caso de ocurrencia diremos que ha sido un éxito. En cambio si no ocurre será un fracaso

En esta distribución vamos a realizar el experimento, en condiciones de independencia, tantas veces como sea necesario hasta la consecución de éxito, entonces se dice que la variable aleatoria que cuenta el número de experimentos realizados seguirá una distribución geométrica con probabilidad de éxito . Se denotará como

Su función de cuantía será:

Tengamos en cuenta que estamos realizando el experimento hasta que se produzca un éxito. Así pues, si esto ocurre en el ésimo experimento, es porque en los primeros experimentos ha habido fracasos y por independencia, la probabilidad será

. Si a esto añadimos que la probabilidad de que en el ésimo experimento

tengamos un éxito es obtenemos la expresión anteriormente descrita, donde ahora los experimentos pueden ser desde uno en adelante (no hay tope superior).

Por ejemplo si consideramos el experimento de lanzar un dado hasta que salga un número mayor que cuatro. La variable que mide el número de lanzamientos será:

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Por lo que si nos piden la probabilidad de que sean necesarias 3 realizaciones, tendremos:

Veamos cuales son las principales características de esta distribución, es decir su media y su varianza

Si bajo el mismo planteamiento realizado para esta distribución, en lugar de preocuparnos por el número de realizaciones del experimento nos preocupamos por el número de fracasos necesarios para la consecución del éxito tendremos entonces otra variable aleatoria que obviamente está relacionada con la variable que cuenta el número de experimentos necesarios

por lo tanto todo lo visto para la variable es útil para el conocimiento de la variable aunque lógicamente no es idéntico, hay una translación.

Así

pero la varianza es invariante a translaciones

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Veamos algunos ejemplos de la distribución Geométrica. Recordemos que

quiere decir que cuenta el número de veces que hay que realizar un experimento aleatorio (en condiciones de independencia), para que un determinado suceso (que denominaremos éxito) ocurra, siendo la probabilidad de éxito.

Ejercicio 1. Sea calcular:

a)

b)

c)

d)

Basta con aplicar la fórmula que nos da la función de cuantía

Y que en nuestro caso será

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 2.- En un laboratorio que contiene 100 productos químicos, de los que 25 son derivados del carbono, se van introduciendo alumnos para que elijan un producto al azar, se toma nota y se reintegra el producto a su sitio. Hallar la probabilidad de que sean necesarios 10 alumnos para la obtención de un producto que sea derivado del carbono.

En este caso el experimento aleatorio es la elección de un producto químico de entre los 100 que hay. Como esta elección se realiza al azar, suponemos que todos son equiprobables, por lo que cada producto tiene

como probabilidad de ser elegido y

por lo tanto como hay 25 productos derivados del carbono, la probabilidad de que se elija un producto derivado del carbono será de

por lo que si realizamos este

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de un éxito entonces la variable que cuenta el número de alumnos que pasan a

elegir un producto sigue una geométrica y nos están pidiendo

Ejercicio 3.- Pepe y Luis van a practicar lanzamientos a puerta. Pepe es portero y Luis

lanza los penaltis. Se sabe que la probabilidad de que Luis marque gol es de . Hallar la probabilidad de que Pepe pare 5 penaltis antes de que por fin Luis marque su gol.

En este caso el experimento es lanzamiento del penalti cuya probabilidad de éxito es de y lo realizamos hasta que se produzca dicho éxito. Nos piden la probabilidad de

que le paren 5 penaltis, es decir, que se produzcan 5 fracasos. Para poder utilizar lo que sabemos de la geométrica, debemos transformar la pregunta en número de experimentos, es decir número de lanzamientos, que serán los 5 que para Pepe más el

que marca Luis, o sea 6 lanzamientos. Estamos pues ante una geométrica y nos piden

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DISTRIBUCION UNIFORME.

La distribución uniforme es aquella cuya función de densidad es constante a lo largo de un intervalo y que eso conlleva que su definición sea

pero

Por tanto su función de distribución será

Obsérvese que si un intervalo está contenido en el principal entonces

es decir, la probabilidad de que la variable se mueva en un intervalo dado es el cociente entre la longitud de este intervalo y la longitud del intervalo de definición de la variable.

Si el intervalo no está contenido en el intervalo de definición, entonces primero lo restringiremos a su intersección con el intervalo de definición y ya estamos en el caso anterior.

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En cuanto a la mediana

Ejercicio 1. La cantidad (en kg) demandada a una empresa textil durante un cierto periodo de tiempo se distribuye uniformemente entre y . Determina para dicho periodo de tiempo:

a) La probabilidad de que la cantidad demandada no supere los .

b) La probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre y .

c) La demanda esperada

En este caso

e)

a)

b)

Ejercicio 2. Una variable aleatoria verifica que su media es y su desviación típica es . Hallar

a) Los valores de y . b) .

a) Sabemos que en una uniforme y

. Como nos

dicen la media y la desviación típica, elevando al cuadrado la desviación típica obtenemos la varianza y por consiguiente

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luego y

b) Si entonces luego

Ejercicio 3.- El tiempo, en minutos, que tarda una persona para ir de su casa al trabajo oscila entre y minutos. Si debe llegar al trabajo a las de la mañana, ¿A qué hora debe salir de casa para tener una probabilidad de de no llegar tarde?

Si la variable aleatoria mide el tiempo que tarda en llegar al trabajo entonces

por lo tanto nos están pidiendo que valor verifica que

Si el tiempo máximo a tardar son minutos, entonces la hora máxima de salida será

EJERCICIOS PROPUESTOS.-

1) Un alumno de la UAL que desea tomar un autobús de la línea L llega a la parada de la UAL en cualquier instante. Sabiendo que de esa parada sale cada 20 minutos un autobús que recorre la línea L se pide:

a) La función de densidad de ”tiempo de espera hasta que salga el próximo autobús de la línea L”. Comprueba que está bien definida.

b) La función de distribución de la variable aleatoria . Utilízala para calcular:

.

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2) El tiempo en minutos que emplea un funcionario para ir desde su domicilio a la oficina de trabajo oscila entre 20 y 30 minutos. Debe estar en la oficina a las 8 de la mañana. Se pide:

a) Calcular a qué hora debe salir de su domicilio, para tener una probabilidad de 0.9 de no llegar con retraso.

b) Calcular: y . c) Calcular y .

3) Dados dos números reales y tales que , se sabe que en el intervalo

la variable aleatoria continua se distribuye uniformemente con

y . Se pide:

a) Calcula la función de densidad de . Dibújala. b) Calcula y .

c) Calcula la Mediana de la distribución.

4) Se conoce que el tiempo que emplea Juan en ir desde su casa a clase varía de forma uniforme entre y minutos. Sabiendo que debe llegar a clase a las horas, se pide:

a) Calcular la probabilidad de que tarde más de minutos. b) Calcular la probabilidad de que tarde entre y minutos.

c) Calcular la hora de salida de su casa, para tener una probabilidad de de llegar puntualmente.

5) El domicilio de un funcionario dista de su oficina de trabajo Todos los días, de forma uniforme, desayuna en un punto intermedio y aleatorio del trayecto. Se pide:

a) Calcular la distancia media desde su domicilio hasta el punto . b) Calcular la distancia media desde su oficina hasta el punto .

c) Calcular la probabilidad de que el punto diste más de tres veces de su domicilio que desde su oficina.

6) La cotización de cierre diaria de un determinado tipo de acciones en la Bolsa de Madrid tiene una distribución uniforme entre y pesetas.

a) Calcula la probabilidad de que un día la cotización de cierre supere las pesetas.

b) Calcular el porcentaje de días que presentaron una cotización de cierre entre

y pesetas.

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d) Entre los días que la cotización de cierre ha sido superior a pesetas, ¿cuál es el porcentaje de los mismos en los que la cotización ha oscilado entre

y pesetas?

7) Desiderio tiene esta mañana una entrevista de trabajo, y después ha quedado con una amiga en la plaza del Educador entre las dos y media y las tres de la tarde. Se pide:

a) Calcula la probabilidad de que Desiderio llegue en cualquier momento a partir de las tres menos cuarto.

b) Calcula la probabilidad de que llegue exactamente a las tres menos veinticinco. c) Calcula la hora que la amiga espera que llegue Desiderio.

d) Si la amiga llega a la plaza del Educador a las dos y cuarto, calcula la probabilidad de que el tiempo que esté sola hasta la llegada de Desiderio sea inferior a veinticinco minutos.

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Distribución exponencial negativa.

Ya hemos visto que una distribución exponencial negativa es aquella cuya función de densidad viene dada por

y se utiliza para medir el tiempo de espera hasta la ocurrencia de algún suceso.

Está relacionada con la Poisson de la siguiente forma. Si mide el nº de veces que ocurre un suceso en una determinada unidad temporal y entonces la variable aleatoria que mide el tiempo (en la misma unidad temporal elegida para la Poisson) de espera hasta que ocurra por primera vez el suceso objeto de nuestro interés sigue una exponencial negativa con el mismo parámetro, .

Sabemos que su función de distribución es

y su esperanza y varianza: y

Ejercicio 1.- Se sabe que la variable que mide el tiempo que tarda en fundirse una bombilla (en horas de funcionamiento) sigue una exponencial negativa .

a) Hallar la probabilidad de que una bombilla dure como mucho horas. b) Hallar la probabilidad de que una bombilla dure más de horas. c) Hallar la probabilidad de que dure entre y horas. d) Hallar su media y su varianza.

Su función de distribución será luego

a)

b)

c)

d)

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Ejercicio 2.- Se sabe que . Hallar el valor de sabiendo que

tomando logaritmos neperianos

Ejercicio 3.- Se sabe que el número de llamadas que recibe un departamento de reparaciones sigue una ley de Poisson de promedio llamadas por hora. Comenzando en un momento aleatoriamente seleccionado, calcula la probabilidad de que la primera llamada no se reciba antes de media hora.

Si denotamos a la variable que cuenta el número de llamadas por hora entonces luego la variable que mide el tiempo de espera (en horas) hasta la primera llamada sigue una exponencial negativa . Por tanto nos piden

Ejercicios Propuestos.-

1) Los días de vitalidad de un determinado tipo de flores se miden por una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial negativa de parámetro . Determinar: a) La función de densidad.

b) La función de distribución. c) La Esperanza.

d) La Mediana. e) La Varianza

f) La Desviación Típica. g) El coeficiente de Variación.

h) La proporción de flores que se marchitan en los 7 primeros días.

i) La probabilidad de que una determinada flor continúe con vitalidad a los 9 días, sabiendo que han transcurrido cinco días y aún tiene vitalidad. Interpreta el resultado.

2) Se conoce que el tiempo en días que emplea la Empresa SERVIRAPID en servir pedidos a domicilio es una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial negativa con Media 5 días. Se pide:

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b) Se sabe que han transcurrido dos días y un cliente aún no ha recibido su pedido. Calcular la probabilidad de que tenga que esperar al menos 2 días más.

c) Utiliza la función de Supervivencia para calcular la Interpreta el resultado.

3) Se sabe que el tiempo en días que está en exposición un determinado coche hasta su adquisición es una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial negativa de la que se conoce que: .

a) Calcula el parámetro de la distribución. Determina la función de densidad y comprueba que está bien definida.

b) Se conoce que dicho coche lleva 10 días en la exposición. Calcula la probabilidad de que tenga que estar otros 10 días más.

c) Determina la función de distribución. Utilízala para calcular la . Interpreta el resultado.

4) Se conoce que el tiempo que tarda un autobús en llegar a una determinada parada sigue una distribución exponencial negativa con Media minutos. Se pide:

a) Si a una persona que está en dicha parada le quedan minutos para llegar puntual a su lugar de trabajo, y cuando sube al autobús sabe que tarda minutos, ¿cuál es la probabilidad de llegar puntual a su trabajo?

b) Si otra persona llega a dicha parada cuando han transcurrido minutos desde que pasó el autobús, calcula la probabilidad de que tenga que esperar al menos minutos hasta que llegue el próximo autobús.

5) Sabiendo que en un libro hay en promedio 5 erratas por página, calcular la probabilidad de que haya entre media y una página entre dos erratas consecutivas.

6) Se sabe que a una Consejería llegan aleatoria e independientemente ciudadanos por hora, se pide:

a) Utilizando la distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que en el próximo minuto no llegue ningún ciudadano.

b) Utilizando la distribución de Exponencial Negativa, calcular la probabilidad de que el próximo ciudadano no llegue en el próximo minuto.

7) Se conoce que a la centralita telefónica de una oficina pública llegan aleatoria e independientemente un promedio de llamadas por hora.

a) Utilizando la distribución de Poisson, obtener la probabilidad de que en los próximos

segundos no llegará ninguna llamada.

b) Utilizando la distribución de Exponencial Negativa, obtener la probabilidad de que la próxima llamada no llegará en los próximos segundos.

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a) Utilizando la distribución de Exponencial Negativa, encontrar la probabilidad de que el próximo coche no llegará dentro de medio minuto.

b) Utilizando la distribución de Poisson, calcular la probabilidad ningún coche llegue dentro del próximo medio minuto.

9) Una fábrica utiliza dos métodos y para fabricar bombillas. Por el método se fabrican el de las bombillas y la variable aleatoria que mide su tiempo de duración sigue una exponencial negativa de Media horas. Por el método se fabrican el restante de las bombillas y la variable aleatoria que mide su tiempo de duración sigue una exponencial negativa de Media horas. Si consideramos a como la variable aleatoria que mide el tiempo de duración de las bombillas, sea cual sea su método de fabricación. Se pide:

a) Elegida al azar una bombilla, calcular la probabilidad de que su duración sea al menos de horas.

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33 DISTRIBUCION NORMAL.-

Es el único ejemplo de modelo continuo que vamos a ver.

Es una distribución muy importante porque hay muchos fenómenos de la vida real que se adaptan a este esquema y porque es una distribución límite que nos permite su utilización para efectuar aproximaciones.

En principio veremos la distribución normal es aquella cuya función de densidad está definida como

cuya gráfica será

(34)

34

Y por simetría se ve claramente que

Pasemos a realizar algunos ejercicios

Ejercicio 1. Sea . Hallar:

e) . f) . g) . h)

i)

j)

f) Basta con mirar en la tabla en la fila del y en la columna del y obtenemos que

g) Como es un valor negativo habrá que utilizar la fórmula , es decir

(35)

35

i) Como es negativo pero como entonces

j) En este caso nos piden la imagen en un punto con más de dos decimales, luego habrá que interpolar. Los valores más próximos que si están en las tablas son

y por lo que para un incremento en abscisas de le corresponde un incremento en ordenadas de Para el incremento que buscamos le corresponderá en ordenadas un incremento y por una regla de tres tenemos que luego

y en

consecuencia la imagen que buscamos será

Esto dijimos que lo podemos hacer por un procedimiento más burdo pero más rápido. Si el incremento en abscisas es aproximadamente la tercera parte del incremento de unidades entonces debe ocurrir lo mismo en ordenadas. Para un incremento en ordenadas de entonces su tercera parte es el valor de que buscamos y esto aproximadamente nos da que en este caso ha coincidido pero que en general habrá una pequeña diferencia que no nos va a importar.

k) Para esto buscamos y

. Así pues el incremento en abscisas se puede aproximar por o por y como el incremento en ordenadas es de

entonces el incremento buscado será aproximadamente de por lo que diremos que y por tanto

Ejercicio 2. Sea . Hallar

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Estamos con una distribución continua por lo que las probabilidades sobre puntos son y por lo tanto es lo mismo que nos pregunten o . Así pues

(36)

36

f)

g)

h)

i)

j)

Ejercicio 3.- Sea . Hallar

a)

b)

c)

d)

e)

f)

a)

b)

c)

d)

1 0.5=2 1.5 0.5=20.93320.6915=0.3753

e)

f)

La tabla también se puede utilizar en sentido contrario, es decir resolver la ecuación

siendo el valor conocido. En este caso se trata de buscar el valor de en el interior de la tabla la variable tomará el valor definido por la fila y columna a la que pertenece .

(37)

37 a) Valor de para que

b) Valor de para que

c) Valor de para que

d) Valor de para que

e) Valor de para que

f) Valor de para que

a) buscamos en el interior de la tabla y encontramos este valor que está en la fila correspondiente al y la columna del por lo que será

b) . Como la imagen es menor que entonces no se puede buscar directamente en la tabla por lo que habrá qu aplicar la propiedad que nos dice que luego y buscando en el interior de la tabla obtenemos que de donde

c) y la tabla nos dice que

d) que es menor que

por lo que = y la tabla nos dice

e) . Buscando en el interior de la tabla, no hay ningún valor que nos de por lo que buscamos los que lo encierran, obteniendose que

y por lo que a un incremento en abscisas de le corresponde un incremento en ordenadas de por lo que, a un incremento en ordenadas de le corresponderá un incremento en abscisas y por una regla de tres,

y en definitiva . El

cálculo de lo podíamos haber hecho de una forma más comoda aunque menos precisa, redondeando, diciendo que el incremento en ordenadas para el valor buscado es aproximadamente la tercera parte del incremento entre los valores de la tabla por lo que lo podemos aproximar por la tercera parte de .

f) . Por ser menor que entonces y en las tablas encontramos y . Como está aproximadamente en el centro entre y entonces consideraremos en el centro entre y . Y en definitiva

(38)

38 Ejercicio2 Sea . Hallar

a) Mediana b)

c)

d) Valor de para que

e) Valor de para que

a) La mediana es aquel valor que divide a la población en dos partes iguales, es decir y en nuestro caso este valor es el primero que aparece en la tabla y corresponde al origen,

b) En este caso , mirando en la tabla tenemos y por lo que tomaremos

c) de donde y por el apartado anterior,

de donde

d) luego la información que nos dan es de donde

y mirando en las tablas y aproximando obtenemos

e)

luego la información que nos dan es de donde

y mirando en las tablas y aproximando obtenemos

Pasemos ahora a definir una normal general. Si una variable es porque su densidad viene dada por

y sabemos que y

Finalmente sabemos que si entonces la variable sigue una distribución normal tipificada, es decir

(39)

39 Ejercicio 3. Sea . Hallar

a)

b)

c)

d)

e)

a) Como la variable es una normal que no es la estándar, entonces para poder

utilizar las tablas habrá que tipificar la variable, mediante la expresión puesto que en nuestro caso y sabiendo que luego

sin más que mirar en las tablas.

b) Análogamente,

c)

d)

e) P

Ejercicio 4 Sea . Hallar

a) Mediana b)

c)

a) luego y por lo tanto obteniéndose que

b) luego y por lo tanto obteniéndose que

(40)

40

Ejercicio 5. Se sabe que la temperatura durante mayo está distribuida normalmente con media y desviación típica . Hallar la probabilidad de que la temperatura durante mayo esté

1) entre y

2) por debajo de

3) Que temperatura verifica que el de los días hace una temperatura inferior a ella.

4) Que temperatura verifica que el de los días hace una temperatura superior a ella.

Nos están diciendo que

1)

2)

3) luego por las tablas,

4) luego por las tablas,

Ejercicio 6.- Un especialista en ictiología tropical estudia la supervivencia de un cierto tipo de pez en aguas contaminadas. Después de una serie de experimentos, estima que la vida media de este tipo de pez, después de ser colocado en aguas contaminadas, es de 90 días con una desviación típica de 20 días. En apariencia, la distribución de los días sobrevividos es normal. ¿Cuál es la probabilidad de que un pez que está vivo al cabo de 110 días sobreviva más de 120 días?

Sea la variable que mide los días de vida de este pez. Entonces . Nos piden

(41)

41

y que el 84.13% mide más de 7 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que un coleóptero dado mida más de 10 mm?

La variable que mide la longitud de estos coleópteros sigue una distribución normal con parámetros desconocidos, es decir pero sabemos que y que por lo tanto

Habrá que resolver el sistema sumando

por lo que Si aceptamos que entonces

EJERCICIOS PROPUESTOS.-

1) En una fábrica de vigas de hormigón, se conoce que el Peso de las mismas se distribuye normalmente, siendo el peso medio de y la Desviación Típica de

. Se pide:

a) Calcular el porcentaje de vigas que pesan menos de . b) Calcular el porcentaje de vigas que pesan más de .

c) Calcular el porcentaje de vigas que pesan entre y .

2) En una determinada ciudad residen familias. Se sabe que el gasto anual por familia en Tasas Municipales sigue una distribución normal de Media

y Desviación Típica . Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que escogida al azar una familia, su gasto en tasas municipales supere las .

b) Escogida al azar una familia, calcular la probabilidad de que, su gasto en tasas municipales no se desvíe de la media en más de .

(42)

42

3) Se conoce que los litros de agua que ingiere diariamente cada persona de una población de habitantes se distribuye normalmente. Sabiendo además que

de esas personas ingieren menos de litro diario, y que ingieren más de litros diarios, calcular la Media y la Desviación Típica de la distribución.

4) La estatura de funcionarios sigue una distribución . Se pide: a) Calcular el número de funcionarios con estatura entre y cm. b) Calcular el número de funcionarios con estatura mayor que cm.

c) Calcular la estatura máxima que representa el del total de los que menos miden.

5) La Administración Pública convoca a concurso una plaza, a la que se presentan aspirantes. Las puntuaciones obtenidas en la prueba se agrupan en una escala de a puntos. Se sabe que las puntuaciones obtenidas por los aspirantes sigue una distribución normal de Media y que el de los presentados ha alcanzado puntuación superior a . Se pide:

a) Desviación Típica de la distribución.

b) Número de aspirantes que han obtenido menos de puntos.

c) Número de aspirantes que han obtenido puntuación superior a puntos.

6) Una empresa ha fabricado piezas metálicas, cuyo peso se distribuye normalmente. Se conoce que de ellas pesan menos de , y que también hay que pesan más de . Determinar la Media y la Desviación Típica de la distribución

7) Se conoce que la variable aleatoria sigue una distribución normal de Media y Desviación Típica ; es decir: . Calcular el porcentaje de mediciones que hay:

a) Por debajo de: . b) Por encima de: . c) Por encima de: .

8) Se sabe que la variable aleatoria sigue una distribución normal de Media CERO

y Desviación Típica: . Se conoce además que: . Se pide calcular:

a) La Desviación Típica.

(43)

43

9) Se sabe que la estatura del colectivo formado por todos los funcionarios de una Delegación Provincial sigue una distribución normal de media y desviación típica . Se pide:

a) Calcular el porcentaje de funcionarios, cuya estatura se desvía como máximo

de la esperada.

b) Calcular la estatura máxima que debe tener un funcionario para poder asegurar que el porcentaje de funcionarios más altos que él sea del .

10) Una Oficina Pública ha realizado un estudio en un barrio periférico de una ciudad, y ha encontrado que la edad media sigue una distribución normal de Media años con una Desviación Típica de años. Se pide

a) Calcular el porcentaje de personas por encima de los años. b) Calcular el porcentaje de personas por debajo de los años.

c) Calcular las dos edades alrededor de la Media que cubren el de las edades.

11) Se sabe que la estatura de la población formada por todos los funcionarios de una Oficina Pública se distribuye según una . Se toma una muestra aleatoria de funcionarios de dicha oficina. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que la Media muestral esté comprendida entre

y la media poblacional.

b) Calcular la probabilidad de que la Media muestral tenga un valor superior a

.

12) A todos los funcionarios de una Delegación Provincial se les ha aplicado un test. De los resultados se conoce que el de las calificaciones son como mínimo de

puntos y que el de las calificaciones son como máximo de puntos. Suponiendo que las calificaciones se modelizan por una distribución normal, se pide

a) Calcular la Media y la Desviación Típica de las calificaciones.

b) Calcular la calificación máxima del de las calificaciones inferiores.

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