Gráfica de y = 2 sin (x)

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(1)

5

Las Funciones Trigonométricas

Sección 5.5

(2)

Introduction

Las gráficas trigonométricas siguen las

mismas reglas de transformación en el

plano que las gráficas de otras funciones.

Por ejemplo, para graficar

f(x) = a sin x ó g(x) = a cos x,

podemos tomar las coordenadas de

(3)

Gráfica de y = 2 sin (x)

Podemos observar que en ambos casos el largo de

un ciclo (o sea el periodo de la función) es

𝟐𝝅.

(4)

Gráfica de y =

1

2

sin (x)

Podemos observar que en ambos casos el largo de

un ciclo (o sea el periodo de la función) es

𝟐𝝅.

(5)

Amplitud

Para cualquier a ≠ 0, la gráfica de

y = a sin x

tiene la misma forma y los mismos ceros (int-x)

que la gráfica del y = sin x.

El

signo y el valor absoluto de a

determinan si se

(6)

Amplitud (cont.)

La

amplitud

de la

gráfica o, de manera

equivalente, la

amplitud de la función

f (x) = a sin (x) está

dada por |a|.

Gráficamente, es

𝑦𝑚𝑎𝑥−𝑦𝑚𝑖𝑛

(7)

Ejemplo

Construya la gráfica de y = 3cos x y determine su

amplitud.

Podemos observar que en ambos casos el largo de

un ciclo (o sea el periodo de la función) es

𝟐𝝅.

(8)

Desplazamiento vertical

Ahora consideramos

y

= sin

x

+ d

y

= cos

x + d

Nota que la amplitud de ambas gráficas es

Amplitud = |

a

|= 1

Partimos de las tablas básicas que hemos

usado anteriormente, ya que según las

expresiones, debemos buscar el valor de sin

(9)

Gráfica de y = cos (x) + 3

Podemos observar que en ambos casos el largo de

un ciclo (o sea el periodo de la función) es

𝟐𝝅.

(10)

Identifique la gráfica de

g(x) = sin (x) - 2

(11)

Amplitud y Periodo

Ahora consideramos

y

=

a

sin

bx

y

y

=

a

cos

bx

Para a y b real, diferente de cero

Amplitud = |

a

|

Si

b

> 0 , podemos identificar el periodo de

(12)

Ejemplo

Determinar el periodo y la amplitud de

y

= 3 sin 2

x.

Luego, construya su gráfica.

Solución:

Usando a = 3 y b = 2 tenemos que

Amplitud = 3

Periodo = 2π

|b|

(13)

Solución (cont)

x 3sin2x

(14)

Ejemplo

Solución:

amplitud

periodo

Entonces, hay un ciclo completo de

amplitud 2 en el intervalo [0, 4π].

(15)

Solución (cont)

x 2cos(0.5x)

(16)

Ejemplo

Hallar la amplitud y el periodo de

y

= 2 sin (–3

x

),

luego trace su gráfica.

Solución:

Primeramente debemos notar que como sin

(–3

x

) ,

–sin(3

x

)

, una expresión equivalente para la

función es

y

= –2 sin (3

x

)

amplitud =

Periodo

= Como b = 3, el periodo es ,

Hay un ciclo completo de la gráfica que tiene amplitud

igual a 2 en el intervalo .

El hecho de que

a<0

implica que la gráfica es una

(17)

Solución (cont)

x -2sin(3x)

0

𝜋 6 𝜋

3 𝜋

2 2𝜋

3

0

2 0 -2

0

Hay un ciclo completo de la gráfica en el intervalo

(18)

Ejemplo

Trazar la gráfica de

y

= 2 sin (

x)

+ 3.

Es importante notar que esto es diferente a

y

= 2 sin

x

+ 3

Es una traslación

vertical de

(19)

Obtener la ecuación de la forma

f(x)

=

a

cos(

bx

)

para a < 0, b > 0

Amplitud:

Los máximos y mínimos de y son 4 y – 4, respectivamente .

Por lo tanto, la amplitud = 4.

Pero como a<0, trataremos la gráfica como una reflexión y usaremos

Periodo

:

Como un ciclo de la gráfica del coseno ocurre en el intervalo [0,2],

el periodo es 2 . Por lo tanto,

2𝜋 = 2𝑏

𝒃 = 𝝅

a = - 4

(20)

Cambio de fase

Consideraremos la gráfica de

y

=

a

sin(

bx

+

c

).

Igual que antes,

amplitud es |

a

|

periodo es 2π

|

b

|

Además,

cambio de fase

–c

b

Un intervalo que contiene un ciclo de la

gráfica es

(21)

Ejemplo

Para

𝒚 = 𝟑𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 +

𝝅

𝟐

Hallar

o

la amplitud

o

el periodo

o

el cambio de fase

o

un intervalo que contiene un ciclo de la gráfica

o

trace un ciclo completo de la gráfica. Incluya una

tabla de valores que muestre los interceptos, el

mínimo y el máximo de la función en ese

(22)

Solución (cont)

Para

𝒚 = 𝟑sin 2𝑥 +

𝜋

2

la amplitud es

el periodo es

el cambio de fase

𝒄

𝒃

=

Un intervalo que

contiene un ciclo de

la gráfica se puede

encontrar en:

= −𝝅 𝟐 ∙

𝟏

𝟐 = − 𝝅 𝟒

3

𝟐𝝅

𝟐

=

π

(23)

Solución (cont)

x y

−𝜋

4 0

x y

−𝜋

4 0

0 3

x y

−𝜋

4 0

0 3

𝜋

4 0

x y

−𝜋

4 0

0 3

𝜋

4 0

𝜋 2

x y

−𝜋

4 0

0 3

𝜋

4 0

𝜋

2 -3

x y

−𝜋

4 0

0 3

𝜋 4 0 𝜋 2 -3 3𝜋 4

x y

−𝜋

4 0

0 3

𝜋 4 0 𝜋 2 -3 3𝜋 4 0

Una tabla de valores que muestre

los interceptos, el mínimo y el

máximo de la función en este

intervalo es:

3𝜋

4 − −𝜋4

4 =

(24)

Solución (cont. sin

calculadora grafica)

x y

−𝜋

4 0

Si x = −𝜋4 entonces

𝑦 = 3sin 2𝑥 + 𝜋 2

𝑦 = 3sin 2 −𝜋 4 +

𝜋 2

𝑦 = 3sin −2𝜋 4 +

𝜋 2 𝑦 = 3 sin −𝜋

2 + 𝜋 2 𝑦 = 3sin 0 = 0

Si x = 0 entonces

𝑦 = 3sin 2(0) + 𝜋 2

𝑦 = 3 sin 0 + 𝜋 2

𝑦 = 3 sin 𝜋 2 𝑦 = 3

x y

−𝜋

4 0

0 3 Si x = 𝜋4

entonces

𝑦 = 3sin 2 𝜋 4 +

𝜋 2

𝑦 = 3sin 2𝜋 4 +

𝜋 2 𝑦 = 3 sin 𝜋

2 + 𝜋 2 𝑦 = 3sin 2𝜋 = 0

x y

−𝜋

4 0

0 3

𝜋

4 0

x y

−𝜋

4 0

0 3

𝜋

4 0

𝜋 2

x y

−𝜋

4 0

0 3

𝜋

4 0

𝜋

2 -3

x y

−𝜋

4 0

0 3

𝜋 4 0 𝜋 2 -3 3𝜋 4

x y

−𝜋

4 0

0 3

(25)

Solución (cont)

(26)

Solución (cont)

(27)

Obtener una ecuación de

la forma

y

=

a

sin (

bx + c

)

Obtendremos la ecuación para a > 0, b > 0, y el valor real positivo menor para c.

Amplitud:

Los máximos y mínimos de y son 5 y –5, respectivamente por lo

tanto

Periodo:

Como un ciclo de la gráfica ocurre en el intervalo [–1, 3], el periodo es 3 – (–1) = 4

Por lo tanto, podemos hallar b:

Note que la escala NO es trigonométrico.

(28)

Obtener la ecuación de la

forma

y

=

a

sin (

bx + c

)

La gráfica dada se ha obtenido desplazando la

gráfica

𝑦 = 5sin

𝜋𝑥

2

hacia la izquierda una unidad.

Por lo tanto,

Cambio de fase

5sin

.

2

2

y

x

𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠 − 𝑐

(29)

Ejemplo

Obtener una

ecuación de la

forma

y = a sin (bx + c)+d

Obtendremos la ecuación para

a > 0, b > 0, el valor real positivo más pequeño para c, y d igual al desplazamiento vertical

Amplitud: la gráfica muestra desplazamienlto vertical. Por lo tanto, la amplitud está dada por

𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛

2 = 3 − (−1)2

= 4

2 = 2

(30)

Ejemplo (cont)

Obtener la ecuación

de la forma

y = a sin (bx + c)+d

Periodo:

Un ciclo de la

gráfica ocurre en el

intervalo [

𝜋

2

,

𝜋

]. Entonces

el periodo es

𝝅 −

𝝅

𝟐

=

𝝅 𝟐

Por lo tanto,

2𝜋

𝑏

=

𝜋

2

4𝜋 = 𝜋𝑏

𝒃 = 𝟒

Cambio de fase:

No hay cambio de fase

Desplazamiento vertical :

(31)

Ejemplo (cont)

Obtener la

ecuación de la

forma

y = a sin (bx + c)+d

Por lo tanto la

ecuación podría ser:

y

=

2

sin (

4x

) + 1

En resumen: a= 2

(32)
(33)

Hallar la ecuación de la forma

y = a cos(bx + c)

(solución)

𝒂 = 𝟑 𝟒 − −

𝟑

𝟒 ÷ 𝟐

periodo= 2𝜋3 − −𝜋3 = 𝜋

2𝜋

𝑏 = 𝜋 2𝜋 = 𝜋𝑏

cambio de fase e𝑠

𝜋

3 hacia la izquierda

− 𝑐

𝑏 = − 𝜋 3 −𝑐

2 = − 𝜋 3

Amplitud = 𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛

2

𝒂 = 𝟑 𝟒

(34)

Hallar la ecuación de la forma

y = a cos(bx + c)

(solución continuada)

𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔:

𝒚 =

𝟑

𝟒

𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 +

𝟐𝝅

𝟑

En resumen:

a =

𝟑𝟒

Figure

tabla de valores que muestre los interceptos, el  mínimo y el máximo de la función en ese

tabla de

valores que muestre los interceptos, el mínimo y el máximo de la función en ese p.21

Referencias

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