LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

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(1)

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

xc significa que x toma valores cada vez más próximos a c. Se lee “x tiende a c”.

Por ejemplo: 0; 1,9; 0,5; 1,4; 0,8; 1,1; 0,95; 1,01; 0,999; … Es una secuencia de números cada vez más próximos a 1. Escribimos x1.

x

c

 significa que x toma valores cada vez más próximos a c, pero menores que c. Se lee “x tiende a c por la izquierda”.

Por ejemplo, la secuencia: 0; 0,5; 0,8; 0,95; 0,99; … Está formada por números menores que 1 y cada vez más próximos a 1. Escribimos x

1

.

x

c

 significa que x toma valores cada vez más próximos a c, pero mayores que c. Se lee “x tiende a c por la derecha”.

Por ejemplo, la secuencia: 2; 1,5; 1,1; 1,01; 1,001; … Escribiremos x

1

.

Si x

c

, entonces x toma valores variables. Como consecuencia la función f(x) también toma valores variables. El comportamiento de f(x) cuando x

c

, se expresa así:

lim

f

(

x

)

c

x (límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda)



f

(

x

)

lim

c

x Cuando x

c

, f(x) toma valores cada vez más grandes, llegando a superar cualquier valor, por grande que sea.

Ejemplo:

2

1

1

)

(

x

x

f

x 0 0,9 0,99 …

f(x) 1 100 10000 …



1

(

)

x

f

lim

x



f

(

x

)

lim

c

x Cuando x

c

, f(x) toma valores cada vez “más negativos”.

Ejemplo:

1

1

)

(

x

x

f

x 0 0,9 0,99 …

f(x) -1 -10 -100 …



1

(

)

x

f

lim

x

L

x

f

lim

c

x

(

)

Cuando xc, f(x) toma valores cada vez más próximos al número L.

Ejemplo:

f

(

x

)

x

2

5

x 0 0,9 0,99 …

f(x) 5 5,81 5,9801 …

6

)

(

1

f

x

lim

(2)

lim

f

(

x

)

c

x (límite de f(x) cuando x tiende a c por la derecha)

El significado es similar al del

lim

f

(

x

)

c

x y los comportamientos que pueden darse son idénticos a los

que hemos visto para x

c

.

lim

f

(

x

)

c

x(límite de f(x) cuando x tiende a c)

Es el comportamiento de la función cuando x se aproxima a c, sin importar si es por la derecha o por la izquierda.

Si

lim

f

x

lim

f

x

L

c x c

x

(

)

(

)

, decimos que

lim

xc

f

(

x

)

L

.

Análogamente, cuando los dos límites laterales son + ó -.

Si los dos límites laterales no toman el mismo valor, se dice que no existe el

lim

f

(

x

)

c

x .

LÍMITES EN EL INFINITO

Para expresar que x toma valores cada vez más grandes, ponemos x+. Se lee “x tiende a más infinito”.

Por ejemplo, si x toma los valores 10, 100, 1000, 10000, …, decimos que x+.

lim

f

(

x

)

x (límite de f(x) cuando x tiende a más-infinito)



 

f

(

x

)

lim

x Cuando x+, los valores de f(x) crecen cada vez más.



 

f

(

x

)

lim

x Cuando x+, los valores de f(x) son cada vez más “negativos”.

L

x

f

lim

x

(

)

Cuando x+, los valores de f(x) son cada vez más próximos a un número L.

Ejemplo:

5

3

2

)

(

2 2

x

x

x

f

x 10 100 1000 …

f(x) 1,876 1,9987 1,99999987 …

2

)

(

 

f

x

lim

x

existe

no

x

f

lim

x

(

)

Cuando x+, los valores de f(x) ni crecen ni decrecen indefinidamente,

ni se acercan cada vez más a ningún número.

(3)

lim

f

(

x

)

x (límite de f(x) cuando x tiende a menos-infinito)

El significado es similar al del

lim

f

(

x

)

x y los comportamientos que pueden darse son idénticos a los

que hemos visto para x+.

LÍMITES: CASOS POSIBLES

Límites infinitos cuando x tiende a un número finito

x

0:



(

)

lim

0

x

f

x x



(

)

lim

0

x

f

x x



(

)

lim

0

x

f

x x



(

)

lim

0

x

f

x x



(

)

lim

0

x

f

x

x

lim

(

)



0

x

f

x x

Límites finitos en el infinito:

L

x

f

x

lim



(

)

L

x

f

(4)

Límites infinitos en el infinito:



 

(

)

lim

f

x

x x

lim



f

(

x

)





 

(

)

lim

f

x

x x

lim



f

(

x

)



OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones tales que existan

lim

f

(

x

)

a

x y

lim

xa

g

(

x

)

y c un número real, (a puede ser un

valor real o ), entonces:

PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES

)

(

)

(

)

)(

(

f

g

x

lim

f

x

lim

g

x

lim

a x a

x a

x

 Suma Adición

)

(

)

)(

(

f

x

lim

f

x

lim

a x a

x

Opuesta

)

(

)

(

)

)(

(

f

g

x

lim

f

x

lim

g

x

lim

a x a

x a

x

 Diferencia

)

(

(

)

)(

·

(

f

g

x

lim

f

x

lim

g

x

lim

a x a x a

x

 

Producto Multiplicación

)

(

1

)

)(

1

(

x

f

lim

x

f

lim

a x a

x

Inversa

)

(

)

(

)

)(

(

x

g

lim

x

f

lim

x

g

f

lim

a x

a x a

x

 

Cociente

)

(

·

)

)(

·

(

c

g

x

c

lim

g

x

lim

a x a

x

 Producto por un

número Multiplicación por un número

c

c

lim

a

x

Constante

f

(

x

)

g

·

lim

f

(

x

)

g

lim

a x a

x

 Compuesta Composición

a

x

lim

a

x

Identidad

( )

) (

)

(

)

(

limg x

a x x g a x

a x

x

f

lim

x

f

lim

(5)

Estas relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones definidas con números reales o las definidas al añadir los elementos + y -. En caso contrario no es posible obtener el límite del primer miembro a partir de los límites del segundo.

Cuando esto ocurre se dice que el cálculo del límite no está determinado o es indeterminado. Esta expresión, no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación directa de los teoremas tal y como están enunciados es imposible. Los casos de indeterminación son los siguientes:

Racionales Exponenciales

k/0, /, 0·, -, 0/0 

1

,

0, 0

0

Si al calcular un límite se presenta alguno de estos casos, conviene transformar la expresión de la función en otra equivalente a la que sí puedan aplicarse los teoremas de los límites.

CÁLCULO DE LÍMITES

A través de las correspondientes gráficas, resulta fácil comprender los límites más sencillos:

FUNCIÓN CONSTANTE: f(x)=K

K

K

x

x

lim

0

; x

lim



K

K

; x

lim



K

K

FUNCIÓN IDENTIDAD: f(x)=x

0

0

lim

x

x

x

x

; x

lim



x



; x

lim



x



FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE NATURAL n

x

x

f

(

)

, n є N, n ≥ 2

n n x

x

lim

0

x

x

0 ; 



n x

lim

x

n n x

x

lim

0

x

x

0 ; 



n

x

lim

x

; 



n x

lim

x

FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO n

n

x

x

x

f

(

)

1

 , - n є

Z

, n ≥ 2

n n x

x

x

x

0

1

1

lim

0

 (con

x

0

0

);

0

1

lim

  n

x

x

;



n

x

x

1

lim

0

n n x

x

x

x

0

1

1

lim

0

 (con

x

0

0

);

0

1

lim

  n

x

x

;



n

x

x

1

lim

0 ;



n

x

x

1

lim

(6)

FUNCIÓN EXPONENCIAL x

a

x

f

(

)

, a > 0, a ≠ 1

x

a

x

f

(

)

, a > 1

0 0

lim

x x

x

x

a

a

; 



x

x

lim

a

;

lim



0

x

x

a

x

a

x

f

(

)

, 0 < a < 1

0 0

lim

x x

x

x

a

a

;

lim



0

x

x

a

; 



x x

lim

a

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

f

(

x

)

log

a

x

, a > 0, a ≠ 1

x

x

f

(

)

log

a , a > 1

0

log

log

lim

0

x

x

a

a x

x

(con

x

0

0

);



  a

x

x

lim

log

; x  a

x



log

lim

0

x

x

f

(

)

log

a , 0 < a < 1

0

log

log

lim

0

x

x

a

a x

x

(con

x

0

0

);



  a

x

x

lim

log

; x  a

x



log

lim

0

Cálculo de límites de una función en un punto

1. El límite de una constante, en cualquier punto, es ella misma:

k

k

lim

a

x

2. El límite de una función polinómica, f(x)=P(x), cuando xa, coincide con P(a).

)

(

)

(

x

P

a

P

lim

a

x

Ejemplo:

3

3

2

5

2

3

3

·

2

2

5

8

12

5

1

2

x

x

lim

x

3. El límite de un cociente de polinomios, f(x)=P(x)/Q(x), cuando xa, coincide P(a)/Q(a) si P(a)0 y Q(a)0.

)

(

)

(

)

(

)

(

a

Q

a

P

x

Q

x

P

lim

a

(7)

Ejemplo:

2

3

1

lim

1

lim

1

1

lim

1 2 1 2

1

  

x

x

x

x

x

x

x x x 4. Indeterminación

0

0

a) La indeterminación 0/0 de funciones racionales desaparece descomponiendo en factores el numerador y el denominador y simplificando.

b) La indeterminación 0/0 de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la expresión radical conjugada.

Ejemplo:



lim

1

2

1

1

1

lim

1

1

lim

2 1 2 2 2 1 2 4

1

 

x

x

x

x

x

x

x x x

5. Indeterminación k/0

El caso k/0, k0, no suele tomarse como indeterminado ya que el límite, si existe, es siempre + ó -. Se calculan los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite + ó -; en caso contrario no existe el límite.

Ejemplo:

No

existe

el

límite

x

x

IND

K

x

x x x







      

0

1

1

1

lim

0

1

1

1

lim

)

(

0

1

1

lim

1 1 1

6. La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la diferencia a una única expresión.

7. La indeterminación 0· se resuelve transformándolas en las de tipo 0/0.

Ejemplos:

1

3

3

4

4

2

4

4

3

2

3

)

(

0

0

12

16

7

6

5

2 2 3 2 2 3 2 3 2 3

3

 

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

x

lim

IND

x

x

x

x

x

x

lim

x x x



  

3

5

2

9

5

3

5

2

3

5

3

5

)

(

0

0

2

3

5

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x x



3

1

12

4

3

5

2

3

5

2

2

2

)

(

0

0

3

5

2

4

2 2 2 2 2 2 2

2

 

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

lim

IND

x

x

x

x

lim

x x x

No

existe

el

ite

(8)





 

1

4

1

1

)

(

0

0

1

4

·

1

)

(

·

0

1

4

·

1

1 2

1 2

1

x

x

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x

x

1



4

6

1

x

x

lim

x

Cálculo de límites en el infinito

1. El límite de un polinomio cuando x es  ó - según que el signo del coeficiente del término de mayor grado sea positivo o negativo.

Ejemplos:

a)



5

3

lim

x

2

x

x b)

lim



3

2

1



2

x

x

x

c)



2

3

lim

x

4

x

3

x d)

lim

18

3

x

x no existe

Ejercicios:

a)

2

3

1

x

x

lim

x b)

3

1

2



x

x

lim

x c)

3

1

2

x

x

lim

x

d)

2

3

1



x

x

lim

x e)

3

1

3

x

x

lim

x f)

3

1

3



x

x

lim

x

g)

3

3

1

x

x

lim

x h)

3

1

3



x

x

lim

x

2. Indeterminación

La indeterminación

desaparece dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x.

 Podemos dar la siguiente regla para hallar límites (x+) de funciones racionales:

...

...

)

(

)

(

mn

bx

ax

x

Q

x

P



 

)

(

gra

)

(

gra

)

(

gra

)

(

gra

0

)

(

gra

)

(

gra

)

(

)

(

)

(

x

Q

de

do

x

P

de

do

si

b

a

x

Q

de

do

x

P

de

do

si

x

Q

de

do

x

P

de

do

si

IND

x

Q

x

P

lim

x

 También podemos resolverlos tomando únicamente los términos de mayor grado tanto del numerador como del denominador.

n m

x n

m

x

bx

ax

lim

bx

ax

lim

  

(9)

Ejemplos

4

1

1

1

1

4

lim

)

(

1

1

4

lim

2 2 2 2

   

x

x

x

IND

x

x

x

x x

10

7

3

1

2

5

3

lim

2 2 3

x

x

x

x

x

x



10

3

2

5

lim

2

x

x

x

3. La indeterminación -

(a) La indeterminación - de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función por la expresión radical conjugada.

(b) La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la diferencia a una única expresión.

Ejemplo:





 

2

3

2

2 4 2 3

x

x

x

x

lim

x

4. La indeterminación 0· se resuelve transformándola en una del tipo

.

5. Límites cuando x-

Se calculará el límite cuando x de la expresión que resulte de cambiar x por –x en la función.

Ejemplo:

 

 

    

5

3

lim

5

·

3

lim

5

3

lim

x

2

x

x

2

x

x

2

x

x x x Ejemplos:



    

3

5

(

)

3

3

3

5

2 2

x

lim

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x x

3

(

)

3

1

0

2 3 2

    

x

lim

x

x

lim

IND

x

x

lim

x x x

2

3

2

3

)

(

6

2

1

5

3

2 2 2 2

   

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x

1

·

3

0

·

(

)

3

(

)

1

2 2

2

       

x

x

lim

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

IND

x

x

x

lim

x x x x



    

x

x

x

(10)

El número “e” Sea x

x

x

f

 

1

1

)

(

. ¿Cuál es el límite de esta función cuando x  ?

Calcularemos algunos términos:

X 100,00 1000 1000000 10000000 f(x) 2,70481… 2,71692… 2,71828047… 2,71828169…

Aunque cada término calculado es mayor que los anteriores, el crecimiento es tan lento que es razonable pensar que es convergente. Su límite es un número irracional y se le nombra con la letra e:

e=2,71828… La expresión del paréntesis tiende a 1 y el exponente tiende a .

Es decir:

e

x

x x

 

 

1

1

lim

Utilizando este límite, podemos resolver indeterminaciones de la forma: si

(

)

1

f

x

lim

a

x y



g

(

x

)

lim

a

x , entonces:

 

(

)

1

lim

g(x)

a

x

f

x

, de la siguiente manera:

Ejemplo:

             2 2 2 2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

lim

lim

lim

lim

x x x x x x x

x

x

x

x

x

x

x

IND

x

x

      2 1 2 2 2 1 2 · 1 2 2 1 2 · 1 2 · 2 1

lim

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

lim

lim

lim

e

x

x

x

x x x x x x x x x x x x x













                

Fórmula obtenida por el procedimiento anterior:

Si

(

)

1

f

x

lim

a

x y

lim

xa

g

(

x

)



, entonces:

 ( )1· ( ) )

(

)

(

g x lim f x g x a x a x

e

x

f

lim

  

, tanto si a es un número real como si es  .

Ejemplo:

1

0

2

3

5

3

1 2 3 32 36

2 3 5 3 2 2 2 2 2 2





                      

e

e

e

e

x

x

lim

x x lim x x lim x x x lim x x x x x

Ejemplo:

  6

6 1 3 1 2 2 0 0 0

1

3

1

x

e

e

e

lim

x x lim x x lim x x x

x

    

(11)

EJERCICIOS PROPUESTOS

8.- Calcula los siguientes límites: 1)

8

2

6

5

lim

2 2

2

x

x

x

x

x 2)

4

5

2

3

5

lim

2 3 2 3

1

x

x

x

x

x

x

x 3) 3 2

2 3 4

0

5

4

3

4

lim

x

x

x

x

x

x

 4)

1

1

lim

3 1

x

x

x 5)





x

x

x

x

x

1

2

5

3

lim

2 2 3

6)





 

1

3

1

5

3

lim

2 2 2 3

x

x

x

x

x

x

7)





3

9

3

3

3

lim

2 3

x

x

x

x

x

x 8)

x

x

x

x

7

lim

2 0

 9)

2

5

10

4

lim

3 2

2

2

x

x

x

x

x 10) 2 3

2

1

2

lim

  





x

x

x

x

11) x

x x

x

x

3

2

3

lim

  





 

12) 2

2

3

lim

x x

x

x





 

  13) x x

x

x

x

 

4

5

3

lim

2 14) x

x

x

x

x

x

 

3

1

lim

2 2 15)

x

x

x

1

1

lim

0 16)

x

x

x

x

  2

lim

17)

2

2

2

lim

2

x

x

x 18)

x

x

x

x

1

lim

0 19)

1

2

2

1

lim

2

1

x

x

x

x

SOLUCIONES: 1) - 1/6 2) -4 3) -3/4 4) 3 5)

6) -2 7) 6 1 8) 7 9) -4/9 10) 3

e

11) 1/2 12) 0 13)

14) 2

e

15) 2 16) +1 17) ¼ 18) 0 19)

LÍMITES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Calcula los siguientes límites:

1º)

lim

cos

1

x

x  2º)







                             

tgx

tgx

IND

x

senx

tgx

x x x x 2 2 2 2

lim

lim

0

1

cos

lim

lim

   

3º)

lim

1

2

3

(12)

ASÍNTOTAS

 Si

lim ( )

xa

f x

 

, a

R, la recta x = a, es una asíntota vertical. Para determinar si f(x) tiende a más o menos inifinito, en x = a, habría que calcular los límites laterales y así determinamos la posición de la curva respecto a la asíntota. En las funciones racionales se busca en los valores de x que son raíces del denominador.

 Si

lim

f

x

b

x

(

)

, b

R, la recta y = b es

una asíntota horizontal.

Cálculo de asíntotas oblicuas:

Por ser una asíntota oblícua tendrá por ecuación y = mx + n, donde “m” indica la pendiente de la recta y “n” la ordenada en el origen. (m  0 y m , n ).

Los valores de “m” y “n” se obtienen calculando los siguientes límites:

x

x

f

lim

m

x

)

(

 

y

n

lim

f

x

mx

x

 

(

)

 Para estudiar la posición de la gráfica respecto de las asíntotas oblicuas y horizontales calculamos los límites cuando x de la diferencia entre la función y la asíntota. Si el resultado es positivo, la función está encima de la asíntota, y si es negativo, está debajo.

 Si una función tiene una asíntota horizontal, entonces no tiene asíntota oblicua.

Ejemplos:

 La asíntota vertical de la función

2

)

(

x

x

x

f

es la recta x = 2







 

 

 

0

2

2

0

2

2

)

(

0

2

2

2 2

2

x

x

lim

x

x

lim

IND

x

x

lim

(13)

 La asíntota horizontal de la función

x

x

x

f

2

1

3

)

(

es la recta

2

3

y

2

3

2

1

3



x

x

lim

x

2

3

2

1

3



x

x

lim

x

Posición de la gráfica respecto de la asíntota:

 

 

0

2

1

2

3

2

1

3

x

lim

x

x

lim

x

x

La gráfica está debajo

 

 

0

2

1

2

3

2

1

3

x

lim

x

x

lim

x

x

La gráfica está encima

 La asíntota oblicua de la función

2

3

6

8

3

)

(

2

x

x

x

x

f

es la recta y = x - 2

1

2

3

6

8

3

2

3

6

8

3

2 2 2

  

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

lim

m

x

x

2

2

3

6

6

2

3

6

8

3

2





  

x

x

lim

x

x

x

x

lim

n

x x

Posición de la gráfica respecto de la asíntota:

 

 





0

2

3

2

)

2

(

2

3

6

8

3

2

x

lim

x

x

x

x

lim

x

x

La gráfica está debajo

 

 





0

2

3

2

)

2

(

2

3

6

8

3

2

x

lim

x

x

x

x

lim

x

x

La gráfica está encima

Observaciones prácticas acerca de las asíntotas horizontales y verticales:

- Las funciones polinómicas tienen ramas infinitas, pero no tienen asíntotas horizontales y tampoco verticales.

- Las fracciones algebraicas tienen asíntota horizontal si el numerador y el denominador tienen el mismo grado. En ese caso, es la misma asíntota por la izquierda que por la derecha.

- Las fracciones algebraicas tienen tantas asíntotas verticales como raíces tenga el denominador, salvo que el numerador tenga alguna de esas raíces; en tal caso conviene, previamente, simplificar la fracción.

- Las expresiones con radicales pueden tener dos asíntotas horizontales.

(14)

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Continuidad de una función en un punto:

La idea intuitiva de continuidad implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma.

Una función y = f(x) es continua en un punto x = a si se cumplen las tres condiciones siguientes: a) La función está definida en x = a; es decir, existe f(a).

b) Existe el límite de la función f(x) en x = a.

c) Los dos valores anteriores coinciden, es decir,

lim

f

(

x

)

f

(

a

)

a

x

.

Si una función no es continua en un punto x=a, se dice que es discontinua en dicho punto. Algunas razones por las que una función puede ser discontinua en un punto son las siguientes:

La continuidad o discontinuidad de una función en un punto exige estar definida la función en él. Por ejemplo, la función f(x) = 1/x no es continua no discontinua en x = 0 ya que no está definida. (Sin embargo, vamos a hablar de discontinuidad en ese punto).

Si nos restringimos a los valores que toma una función a la derecha del punto x = a o a la izquierda, se habla de continuidad por la derecha o continuidad por la izquierda.

Discontinuidades

Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo o no está definida.

El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él, se llama verdadero valor de la función en el mismo.

Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. El valor

)

(

)

(

x

lim

f

x

f

lim

a x a

x   

se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.

Ejemplos:

1

3

1

1

1

)

(

2

x

si

x

si

x

x

x

f

(15)

a)



lim

1

2

1

1

1

lim

1

1

lim

1 1

2

1

 

x

x

x

x

x

x

x x

x ; luego existe

lim

x1

f

(

x

)

2

.

b) f(1) = 3; luego la función está definida en x = 1. c) Los dos valores anteriores no coinciden.

Por tanto, la función tiene una discontinuidad evitable en x = 1. Para que la función fuera continua en x = 1, debería ser f(1) = 2. Podemos redefinir la función dando a la función el valor 2 en x =1.

 ¿Qué valor debemos dar a la función

3

6

5

)

(

2

x

x

x

x

f

en x = 3 para que sea continua? La función no está definida en x = 3. Veamos cuál es el límite de la función en x = 3:



3

lim

2

1

2

3

lim

)

(

lim

3 3

3

 

x

x

x

x

x

f

x x

x Para que la función fuera continua en x = 3,

debería ser f(3) = 1.

 Consideremos la función signo de x definida por:

0

1

0

0

0

1

)

(

x

si

x

si

x

si

x

sig

¿Qué sucede en x = 0? a)

lim

(

)

1

0

sig

x

x y

1

)

(

lim

0

sig

x

x . Los límites laterales no coinciden. Luego la función tiene

una discontinuidad inevitable en el punto x = 0 de salto 2.

Funciones continuas

Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos y cada uno de los puntos del intervalo. Se dice que una función es continua cuando lo es en todos y cada uno de los puntos de su dominio de definición.

Figure

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Referencias

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