Operaciones con fracciones algebraicas
14
0
0
Texto completo
(2) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. 3. Halla el valor de P(x) para que las fracciones sean equivalentes: a). x +1 P( x) = 2 x x − 2x ( x + 1)( x 2 − 2 x) ( x + 1) ⋅ x ⋅ ( x − 2) = = ( x + 1)( x − 2) = x 2 − 2 x + x − 2 ⇒ P( x) = x 2 − x − 2 P( x) = (*) x x. (*) Factorizamos x 2 − 2 x = x( x − 2). x + 4 x3 + 4x 2 − x − 4 = x−3 P( x). b). P( x) =. ( x − 3)( x 3 + 4 x 2 − x − 4) ( x − 3)( x + 4)( x 2 − 1) = = ( x − 3)( x 2 − 1) ⇒ P( x) = x 3 − 3x 2 − x + 3 (*) ( x + 4) ( x + 4). (*) Factorizamos x3 + 4 x 2 − x − 4 Posibles raíces enteras = {divisores de − 4 } = {±1, ± 2,±4}. 1. +4. −1. −4. 1. −4 0. 0 −1. +4 0. −4. c). ⇒ −4 es raíz ⇒ ( x + 4) es factor y x 3 + 3x 2 − x − 4 = ( x + 4) ⋅ ( x 2 − 1). x 2 − 10 x 3 + 8 x 2 − 10 x − 80 = P( x) x 2 + 13x + 40 P( x) =. ( x 2 − 10)( x 2 + 13x + 40) ( x 2 − 10)( x + 5)( x + 8) = ⇒ P( x) = ( x + 5) x 3 + 8 x 2 − 10 x − 80 (*) ( x + 8)( x 2 − 10). (*) Factorizamos x 2 + 13 x + 40. x 2 + 13 x + 40 = 0 ⇒ x =. − 13 ± 169 − 160 − 13 ± 3 x = −5 = = ⇒ x 2 + 13 x + 40 = ( x + 5)( x + 8) 2 2 x = − 8 . (*) Factorizamos x 3 + 8 x 2 − 10 x − 80 Posibles raíces enteras = {divisores de − 80 } = {±1, ± 2,±4,±5,±8,±10,±16,±20,±40,±80}. 1. +8. − 10. 1. −8 0. 0 −10. −8. − 80 + 80 0. ⇒ −8 es raíz ⇒ ( x + 8) es factor y x 3 + 8 x 2 − 10 x − 80 = ( x + 8) ⋅ ( x 2 − 10). 2.
(3) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. 4. ¿Cuánto debe valer “a” para que las fracciones algebraicas sean equivalentes? a). 5x 5 x 2 + ax = 2 2 x − 6 2 x + 2 x − 24 5 x 2 + ax =. 5 x(2 x 2 + 2 x − 24) 5 x ⋅ 2( x − 3)( x + 4) = = 5 x( x + 4) = 5 x 2 + 20 x ⇒ a = 20 (*) ( 2 x − 6) 2( x − 3). (*) Factorizamos 2 x 2 + 2 x − 24 = 2( x 2 + x − 12). − 1 ± 1 + 48 − 1 ± 7 x = 3 = = ⇒ x 2 + x − 12 = ( x − 3)( x + 4) ⇒ 2 2 x = −4 ⇒ 2 x 2 + 2 x − 24 = 2( x − 3)( x + 4) x 2 + x − 12 = 0 ⇒ x =. (*) Factorizamos 2 x − 6 = 2( x − 3). b). x − a x 2 − 2 x − 35 = x + 2 x 2 + 7 x + 10 x−a=. ( x + 2)( x 2 − 2 x − 35) ( x + 2)( x + 5)( x − 7) = = ( x − 7) ⇒ a = 7 x 2 + 7 x + 10 ( x + 2)( x + 5). (*) Factorizamos x 2 − 2 x − 35. x 2 − 2 x − 35 = 0 ⇒ x =. 2 ± 4 + 140 2 ± 12 x = 7 = = ⇒ x 2 − 2 x − 35 = ( x + 5)( x − 7) 2 2 x = − 5 . (*) Factorizamos x 2 + 7 x + 10 x 2 + 7 x + 10 = 0 ⇒ x =. c). − 7 ± 49 − 40 − 7 ± 3 x = −2 = = ⇒ x 2 + 7 x + 10 = ( x + 2)( x + 5) 2 2 x = −5. x − 8 x 2 − 10 x + 16 = x+a x2 + x − 6 x+a=. ( x − 8)( x 2 + x − 6) ( x − 8)( x + 3)( x − 2) = = ( x + 3) ⇒ a = 3 x 2 − 10 x + 16 ( x − 8)( x − 2). (*) Factorizamos x 2 + x − 6 x2 + x − 6 = 0 ⇒ x =. − 1 ± 1 + 24 − 1 ± 5 x = 2 = = ⇒ x 2 + x − 6 = ( x + 3)( x − 2) 2 2 x = −3. (*) Factorizamos x 2 − 10 x + 16 x 2 − 10 x + 16 = 0 ⇒ x =. 10 ± 10 − 64 10 ± 6 x = 8 = = ⇒ x 2 − 10 x + 16 = ( x − 8)( x − 2) 2 2 x = 2 . 3.
(4) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. 5. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas 10 x − 15 y 5 ⋅ (2 x − 3 y ) 2 x − 3 y a) = = 10 − 5 y 5 ⋅ (2 − y ) 2− y. b). (. ). 6 x 3 + 12 x 6 x ⋅ x 2 + 2 x2 + 2 = = 6 x ⋅ (1 − x ) 1− x 6x − 6x 2. 2a 3 + 2a 2 2a 2 ⋅ (a + 1) a + 1 c) = = 2a 3 − 4a 2 2a 2 ⋅ (a − 2 ) a − 2. d). ( (. ) ). x5 − x3 x3 ⋅ x2 −1 = =x x4 − x2 x2 ⋅ x2 −1. 4x 4 y − 8x 3 y 4 x 3 y ⋅ (x − 2) x − 2 = = e) 4 x 3 y 2 − 8 x 3 y 4 x 3 y ⋅ ( y − 2) y − 2. f). 3ab 2 − 3b 2 3b 2 ⋅ (a − 1) a − 1 = 2 = 3b 3 − 3b 2 3b ⋅ (b − 1) b − 1. g). x +1 x +1 1 = = 2 x − 1 ( x + 1) ⋅ ( x − 1) x − 1. h). (x − 2) ⋅ (x + 2) = x + 2 x2 − 4 = 2 x−2 x − 4x + 4 ( x − 2 )2. i). 9 − a2 (3 − a ) ⋅ (3 + a ) = − (a − 3) ⋅ (3 + a ) = − (3 + a ) = − 3 − a = 2 a ⋅ (a − 3) a ⋅ (a − 3) a a a − 3a. j). x(x − 2) x−2 = 2 x x (x − 2). k). a2 − 9 (a − 3)(a + 3) a − 3 = = 2 a+3 a + 6a + 9 (a + 3) 2. l). (a − 5) ⋅ (a + 5) = a − 5 a 2 − 25 = 2 a+5 a + 10a + 25 (a + 5)2. m). y2 − y y ⋅ ( y − 1) 1 = 2 = 3 2 y −y y ⋅ ( y − 1) y. 2. 4.
(5) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. n). o). ( x + 4 )2 ( x − 4 )2 x 2 − 16. =. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. (x + 4)2 ⋅ (x − 4)2 = (x + 4) ⋅ (x − 4) = x 2 − 16 (x + 4) ⋅ (x − 4). 3x 2 − 3x 3 x ⋅ ( x − 1) 3 x ⋅ ( x − 1) 1 = = = 2 3 2 2 3 x − 6 x + 3 x 3 x ⋅ ( x − 2 x + 1) 3 x ⋅ ( x − 1) x −1. x 4 + x 3 + x 2 x 2 ⋅ ( x 2 + x + 1) x 2 p) = = 3x 2 + 3x + 3 3 ⋅ ( x 2 + x + 1) 3. q). x3 − 4 x x ⋅ ( x 2 − 4) x ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 2) x − 2 = = = 2 3 2 2 x + 4 x + 4 x x ⋅ ( x + 4 x + 4) x+2 x ⋅ (x + 2). 6. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a 2 + 4a a ⋅ (a + 4) a = = a) 2 a − 16 (a − 4) ⋅ (a + 4) a − 4. (x − 2) ⋅ (x + 2) = x + 2 x2 − 4 = b) 2 x−2 x − 4x + 4 ( x − 2 )2 c). a 2 − 1 (a − 1) ⋅ (a + 1) a + 1 = = a ⋅ (a − 1) a a2 − a. d). ( y − 3) ⋅ ( y + 3) = y − 3 y2 − 9 = 2 y+3 y + 6y + 9 ( y + 3) 2. e). y2 − y y ⋅ ( y − 1) 1 = 2 = 3 2 y −y y ⋅ ( y − 1) y. f). 3x 2 − 3 x 3x ⋅ ( x − 1) x − 1 = = 3x 2 + 6 x 3 x ⋅ (x + 2) x + 2. g). 3b 2 − 15b 3b ⋅ (b − 5) 3b = = 2 2 b−5 b − 10b + 25 (b − 5). h). a 2 − 10a a ⋅ (a − 10) a = = 2 a − 100 (a − 10) ⋅ (a + 10) a + 10. i). x 2 − 12 x + 36 (x − 6) x−6 = = 2 (x − 6) ⋅ (x + 6) x + 6 x − 36 2. 5.
(6) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. (. )(. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. ). j). x 4 −16 x2 − 4 ⋅ x2 + 4 x2 + 4 = = x x3 − 4x x ⋅ x2 − 4. k). 2x + 4 2 ⋅ (x + 2) 2 = = 2 3x + 6 x 3 x ⋅ (x + 2) 3x. l). 5a 3 + 5a 5a ⋅ a 2 + 1 5 = 2 = a4 + a2 a ⋅ a2 +1 a. (. ( (. ). ) ). (. ). x 3 + 2 x 2 + x x ⋅ x 2 + 2 x + 1 x ⋅ ( x + 1) x ⋅ ( x + 1) x 2 + x m) = = = = 3x + 3 3 ⋅ ( x + 1) 3 ⋅ ( x + 1) 3 3 2. n). b3 − b 2 b 2 ⋅ (b − 1) b 2 ⋅ (b − 1) b = = = 3 2 b − b b ⋅ (b − 1) b ⋅ (b − 1) ⋅ (b + 1) b + 1. o). x2 − 4x + 3 ( x − 1)( x − 3) 1 = = 3 2 x − 6 x + 11x − 6 (*) ( x − 1)( x − 3)( x − 2) x − 2. (*) Factorizamos x 2 − 4 x + 3 x2 − 4x + 3 = 0 ⇒ x =. 4 ± 16 − 12 4 ± 2 x = 3 = = ⇒ x 2 − 4 x + 3 = ( x − 1)( x − 3) 2 2 x = 1 . (*) Factorizamos x3 − 6 x 2 + 11x − 6 Posibles raíces enteras = {divisores de − 6 } = {±1, ± 2,±3,±6}. 1. −6. + 11. −6. 1. +1 −5 −5 +6. −6 0. 1. ⇒ 1 es raíz ⇒ ( x − 1) es factor y x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 = ( x − 1) ⋅ ( x 2 − 5 x + 6) polinomio de 2º grado. x 2 − 5x + 6 = 0 ⇒ x =. 5 ± 25 − 24 5 ± 1 x = 3 = = ⇒ x 2 − 5 x + 6 = ( x − 3)( x − 2) 2 2 x = 2. Por tanto, x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = ( x − 1)( x − 3)( x − 2). p). b 2 − 3b + 2 (b − 1)(b − 2) b − 1 = = b 2 − b − 2 (b + 1)(b − 2) b + 1. (*) Factorizamos b 2 − 3b + 2. b 2 − 3b + 2 = 0 ⇒ b =. 3 ± 9 − 8 3 ± 1 b = 2 = = ⇒ b 2 − 3b + 2 = (b − 1)(b − 2) 2 2 b = 1 6.
(7) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. (*) Factorizamos b 2 − b − 2 b2 − b − 2 = 0 ⇒ b =. 1 ± 1 + 8 1 ± 3 b = 2 = = ⇒ b 2 − b − 2 = (b + 1)(b − 2) 2 2 b = −1. 1 3( x − 2) x + ( x + 1) 3x − 2 x − 7 x − 2 3 q) = = 3 x( x − 2)( x + 2) x − 4x 3. 2. 1 3 x + ( x + 1) 3x 2 + 4 x + 1 3 = x ( x + 2) x 2 + 2x. (*) Factorizamos 3 x3 − 2 x 2 − 7 x − 2 Posibles raíces enteras = {divisores de − 2 } = {±1, ± 2}. 3. −2. −7. 3. +6 +4. +8 +1. 2. −2 +2 0. ⇒ 2 es raíz ⇒ ( x − 2) es factor y 3x 3 − 2 x 2 − 7 x − 2 = ( x − 2) ⋅ (3x 2 + 4 x + 1) polinomio de 2º grado. 1 − 4 ± 16 − 12 − 4 ± 2 x = − 1 2 3x + 4 x + 1 = 0 ⇒ x = = = 3 ⇒ 3 x + 4 x + 1 = 3 x + ( x + 1) 6 6 3 x = −1 2. 1 1 Por tanto, x3 − 6 x 2 + 11x − 6 = ( x − 2) ⋅ 3 x + ( x + 1) = 3( x − 2) x + ( x + 1) 3 3 (*) Factorizamos x 3 − 4 x = x( x 2 − 4) = x( x − 2)( x + 2). r). x 3 +3 x 2 − 13x − 15 ( x − 3)( x + 1)( x + 5) x + 5 = = ( x + 1)( x − 3)( x + 3) x + 3 x3 + x 2 − 9x − 9. (*) Factorizamos x 3 + 3 x 2 − 13 x − 15 Posibles raíces enteras = {divisores de − 15 } = {±1, ± 3,±5,±15}. 1. +3. − 13. + 15. 1. +3 +6. + 18 +5. + 15 0. 3. ⇒ 3 es raíz ⇒ ( x − 3) es factor y x 3 + 3 x 2 − 13x − 15 = ( x − 3) ⋅ ( x 2 + 6 x + 5) polinomio de 2º grado. x2 + 6 x + 5 = 0 ⇒ x =. − 6 ± 36 − 20 − 6 ± 4 x = −1 = = ⇒ x 2 + 6 x + 5 = 3( x + 1)( x + 5) 2 2 x = −5. Por tanto, x3 + 3 x 2 − 13 x − 15 = ( x − 3)( x + 1)( x + 5). 7.
(8) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. (*) Factorizamos x3 + x 2 − 9 x − 9 Posibles raíces enteras = {divisores de − 9 } = {±1, ± 3,±9}. 1. +1. −9. −9. 1. −1 0. 0 −9. +9 0. −1. ⇒ −1 es raíz ⇒ ( x + 1) es factor y x3 + x 2 − 9 x − 9 = ( x + 1) ⋅ ( x 2 − 9) polinomio de 2º grado. x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3) Identidad notable. Por tanto, x 3 + x 2 − 9 x − 9 = ( x + 1)( x − 3)( x + 3). s). x3 − 4x x ( x 2 − 4) x( x − 2)( x + 2) x − 2 = = = 3 2 2 x+2 x + 4 x + 4 x x ( x + 4 x + 4) x ( x + 2) 2. (*) Factorizamos x 3 − 4 x = x( x 2 − 4) = x( x − 2)( x + 2) (*) Factorizamos x 3 + 4 x 2 + 4 x = x( x 2 + 4 x + 4) = x( x + 2) 2. a 3 − 12a + 16 (a + 4)(a − 2) 2 (a + 4)(a − 2) a 2 + 2a − 8 = = = 2 a 3 − 10a 2 + 32a − 32 (a − 2)(a − 4) 2 (a − 4) 2 a − 8a + 16. t). (*) Factorizamos a 3 − 12a + 16 Posibles raíces enteras = {divisores de 16 } = {±1, ± 2,±4,±8,±16}. − 12. + 16. − 4 + 16 1 −4 +4. − 16 0. 1 −4. 0. ⇒ −4 es raíz ⇒ ( a + 4) es factor y a 3 − 12a + 16 = (a + 4) ⋅ (a 2 − 4a + 4) polinomio de 2º grado. a − 4 a + 4 = ( a − 2) 2. 2. Identidad notable. Por tanto, a 3 − 12a + 16 = (a + 4)(a − 2) 2 (*) Factorizamos a 3 − 10a 2 + 32a − 32 Posibles raíces enteras = {divisores de − 32 } = {±1, ± 2,±4,±8,±16,±32}. 1 − 10. + 32 − 32. +2 −8. − 16 + 32 + 16 0. 2. 1. ⇒ 2 es raíz ⇒ ( a − 2) es factor y a 3 − 10a 2 + 32a + 32 = (a − 2) ⋅ (a 2 − 8a + 16) polinomio de 2º grado. a − 8a + 16 = (a − 4) 2. 2. Identidad notable. Por tanto, a 3 − 10a 2 + 32a + 32 = (a − 2)(a − 4) 2 8.
(9) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. 7. Efectúa las siguientes operaciones:. (x − 1) ⋅ (x + 1) = 9 x ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1) = x + 1 9x x 2 − 1 9x a) ⋅ = ⋅ 2 3x − 3 3x 3 ⋅ ( x − 1) x 3x 2 9 x 2 ⋅ ( x − 1). b). ( x + 2 ) = 2 ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 2 ) = 2 ⋅ ( x + 2) = 2 x + 4 2x − 6 x2 + 4x + 4 2 ⋅ ( x − 3) ⋅ 2 = ⋅ 2 x − 4 x − 6 x + 9 ( x − 2 ) ⋅ ( x + 2 ) ( x − 3)2 ( x − 2 ) ⋅ ( x + 2 ) ⋅ ( x − 3)2 ( x − 2 ) ⋅ ( x − 3) x 2 − 5 x + 6. c). x − 3 x 2 − 9 ( x − 3) ( x − 3) ⋅ ( x + 3) x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 3) : 2 = : = =1 x x x ⋅ ( x + 3) x ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 3) x + 3x. d). x + 5 x 2 − 25 ( x + 5) ( x − 5) ⋅ ( x + 5) ( x − 5) ⋅ ( x + 5) (x + 5) = x 2 + 10 x + 25 ⋅ 2 = ⋅ = = x − 5 x + 25 ( x − 5) x 2 + 25 (x − 5) ⋅ x 2 + 25 x 2 + 25 x 2 + 25. 2. 2. 2. (. ). (. 2. ). x 2 − 9 x 4 − x 3 ( x − 3) ⋅ ( x + 3) x 3 ⋅ ( x − 1) x 3 ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 1) e) 3 ⋅ = ⋅ = = x+3 x ⋅ ( x − 3) x − x 2 x 2 − 3x x 2 ⋅ ( x − 1) x 3 ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 3) x2 −1 x 2 + 2 x + 1 ( x − 1) ⋅ ( x + 1) (x + 1) (x − 1) ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 2) ⋅ (x + 2) = : : = = 2 2 2 (x − 2) ⋅ (x + 2) x − 4x + 4 x −4 (x − 2) (x − 2)2 ⋅ (x + 1)2 2. f). =. g). (x − 1) ⋅ (x + 2) = x 2 + 2 x − x − 2 = x 2 + x − 2 (x − 2 ) ⋅ (x + 1) x 2 + x − 2 x − 2 x 2 − x − 2. (2 x − 1) : 4 x = (2 x − 1) ⋅ x 2 ⋅ (x + 2) = 2 x − 1 2x − 1 4x : = 4 4 x 2 ⋅ (x + 2) x 2 + 2 x x 3 + 2 x 2 x ⋅ (x + 2 ) x 2 ⋅ (x + 2). 3a + 3 a 2 − 2a + 1 3 ⋅ (a + 1) (a − 1) = 3 ⋅ (a + 1) ⋅ (a − 1) = 3 = 1 ⋅ = ⋅ h) 2 12a − 12 a −1 12 ⋅ (a − 1) (a − 1) ⋅ (a + 1) 12 ⋅ (a + 1) ⋅ (a − 1)2 12 4 2. i). x 2 − 5 x + 6 x 2 + 3 x − 10 : x 2 + 11x + 24 x 2 − 4 x − 21. 2. ( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x + 5) : = Factorizamos ( x + 8)( x + 3) ( x + 3)( x − 7 ) Operamos los polinomios =. ( x − 2)( x − 3)( x + 3)( x − 7) ( x − 3)( x − 7) x 2 − 7 x − 3x + 21 x 2 − 10 x + 21 = = = = ( x + 8)( x + 3)( x − 2)( x + 5) simplificamos ( x + 8)( x + 5) operamos x 2 + 5 x + 8 x + 40 x 2 + 13 x + 40. j). x 2 + x − 20 x 2 − 3 x − 40 : x2 + 6x + 8 x3 + x 2. ( x + 5)( x − 4) ( x + 5)( x − 8) ( x + 5)( x − 4) x 2 ( x + 1) : = = Factorizamos ( x + 2)( x + 4) x 2 ( x + 1) Operamos ( x + 2)( x + 4)( x + 5)( x − 8) los polinomios =. ( x − 4) x 2 ( x + 1) ( x 3 − 4 x 2 )( x + 1) x 4 + x3 − 4 x3 − 4 x 2 = = = simplificamos ( x + 2)( x + 4)( x − 8) Operamos ( x 2 + 6 x + 8)( x − 8) x 3 − 8 x 2 + 6 x 2 − 48 x + 8 x − 64 =. =. x 4 − 3x3 − 4 x 2 x 3 − 2 x 2 − 40 x − 64 9.
(10) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. k). TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. b 2 + 2b − 3 b 2 − 4b + 4 ⋅ b 3 − 6b 2 + 12b − 8 b2 − 1. (b − 1)(b + 3) (b − 2) 2 (b − 1)(b + 3)(b − 2) 2 ⋅ = = Factorizamos (b − 2)3 (b − 1)(b + 1) (b − 2)3 (b − 1)(b + 1) los polinomios =. b+3 b+3 = 2 (b − 2)(b + 1) b − b − 2. l). 3 x + 9 x3 + 8 x 2 + 21x + 18 : x −3 x2 − 9. 3( x + 3) ( x + 3) 2 ( x + 2) 3( x + 3) 2 ( x − 3) 3 : = = 2 Factorizamos x−3 ( x + 3)( x − 3) ( x − 3)( x + 3) ( x + 2) x + 2 los polinomios =. 8. Opera y simplifica: a). 5x 4x 5 x( x − 1) − 4 x( x + 1) 5 x 2 − 5 x − 4 x 2 − 4 x x 2 − 9 x − = = = 2 x +1 x −1 (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1) x −1. b). 5 + 2x − 3 5 + 2x −3 − 3 ⋅ ( x + 2 ) + 1 ⋅ (5 + 2 x ) − 3 x − 6 + 5 + 2 x − x − 1 + 2 = + = = = x − 2 x − 4 ( x − 2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) (x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2) x 2 − 4. c). 2x 2x −3 −3 − 3 ⋅ ( x + 3) − 2 x ⋅ ( x + 2 ) − 2 = − = = (x − 2)(x + 2)( x + 3) x − 4 x + x − 6 ( x − 2 )( x + 2) ( x − 2 )( x + 3) 2. − 3x − 9 − 2 x 2 − 4 x − 2x2 − 7 x − 9 − 2x2 − 7x − 9 − 2x2 − 7 x − 9 = = = = (x − 2)(x + 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 2)( x + 3) ( x 2 − 4)( x + 3) x3 + 3x 2 − 4 x − 12 d). e). 2 2 11 2 2 11 2 ⋅ ( x + 3) − 2 ⋅ ( x − 3) − 11 − − 2 = − − = = x − 3 x + 3 x − 9 ( x − 3) ( x + 3) ( x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 3) 2 x + 6 − 2 x + 6 − 11 1 = 2 = (x − 3)(x + 3) x −9. x2 x x2 −x x2 x x2 x x 2 + x(x + 1) − = − = + = + = = x 2 − 1 1 − x x 2 − 1 x − 1 x 2 − 1 x − 1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1) ( x − 1)( x + 1) x2 + x2 + x 2x2 + x = = (x − 1)(x + 1) x 2 − 1. f). (x − 2)(x + 2) + 1 = x 2 − 4 + 1 = x 2 − 3 x−2 1 x−2 1 + 2 = + = x + 2 x + 4 x + 4 ( x + 2 ) ( x + 2 )2 ( x + 2 )2 ( x + 2 )2 x 2 + 4 x + 4. g). 5 1 2x − 3 3 5 1 2 x − 3 3 5( x + 1) + 1(4 x ) − 4(2 x − 3) − 3 x( x + 1) + − 2 − = + − − = = 4 x x + 1 x + x 4 4 x ( x + 1) x( x + 1) 4 4 x(x + 1). =. 5 x + 5 + 4 x − 8 x + 12 − 3x 2 − 3x − 3x 2 − 2 x + 17 = 4 x( x + 1) 4x 2 + 4x. 10.
(11) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. h). x −1 8 1 x −1 8 1 3 x( x + 3)( x − 1) + 8 x 2 − 1( x + 3) + − 2 = + − 2 = = x 3x + 9 3x x 3( x + 3) 3 x 3 x 2 ( x + 3) =. i). ). 3 x 3 − 3 x 2 + 16 x 2 − 2 x − 6 3 x 3 + 13 x 2 − 2 x − 6 = 6 x 2 ( x + 3) 6 x 3 + 18 x 2. x−2 x+3 3− x x−2 x+3 3− x 2( x − 2) − 6( x + 3) + 3(3 − x ) − + = − + = = 6 x + 6 2 x + 2 4 x + 4 6( x + 1) 2( x + 1) 4( x + 1) 12( x + 1) =. k). (. 3 x x 2 + 2 x − 3 + 8 x 2 − x − 3 3 x 3 + 6 x 2 − 9 x + 8 x 2 − x − 3 3 x 3 + 14 x 2 − 10 x − 3 = = 3 x 2 ( x + 3) 3 x 2 ( x + 3) 3x 3 + 9 x 2. x −1 8 1 x −1 8 1 3x 2 ( x − 1) + 2 x 2 ⋅ (8) − 2( x + 3) + − = + − = = 2 x + 6 3 x + 9 3x 2 2( x + 3) 3( x + 3) 3x 2 6 x 2 ( x + 3) =. j). TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. 2 x − 4 − 6 x − 18 + 9 − 3 x − 7 x − 13 = 12( x + 1) 12 x + 12. 2 3 4 2 3 4 − 2 − 2 = − − = 2 (x − 1)(x + 1) (x − 1)2 x + 2 x + 1 x − 1 x − 2 x + 1 ( x + 1) 2. (. ) (. ) (. ). 2( x − 1) − 3( x − 1)( x + 1) − 4( x + 1) 2 x 2 − 2x + 1 − 3 x 2 − 1 − 4 x 2 + 2x + 1 = = = (x − 1)2 (x + 1)2 (x − 1)2 (x + 1)2 2. =. 2. 2 x 2 − 4 x + 2 − 3x 2 + 3 − 4 x 2 − 8 x − 4 − 5 x 2 − 12 x + 1 = (x − 1)2 (x + 1)2 (x − 1)2 (x + 1)2. 9. Opera y simplifica:. a a (a + 1)(a + 2) − a 2 a + 2 + a a 2 + 2a + a + 2 − a 2 2a + 2 a +1 : : a) − : 1 + = = = a + 2 a + 2 a(a + 2) a(a + 2) a a+2 a+2 =. b). 3a + 2 2a + 2 (3a + 2) ⋅ (a + 2) = 3a + 2 = 3a + 2 : = a (a + 2 ) a + 2 a ⋅ (a + 2 ) ⋅ (2a + 2 ) a (2a + 2 ) 2a 2 + 2a. ( y − 1) ⋅ ( y + 1) + 2 y2 −1 5y 1 2 5y 1 ⋅ + 2 : = ⋅ : = y − 1 y + 2 y − 9 y + 3 ( y − 1) ( y + 2) ( y − 3) ⋅ ( y + 3) ( y + 3) =. 2( y − 1) ⋅ ( y + 1) 5 y ⋅ ( y + 3) 2( y + 1) 5y 2( y + 1)( y − 3) + 5 y ( y + 2 ) + = + = = ( y − 1) ⋅ ( y + 2) ( y − 3) ⋅ ( y + 3) ( y + 2) ( y − 3) ( y + 2)( y − 3). (. ). 2 y 2 − 3 y + y − 3 + 5 y 2 + 10 y 2 y 2 − 6 y + 2 y − 6 + 5 y 2 + 10 y 7 y 2 + 6 y − 6 = = = ( y + 2)( y − 3) ( y + 2)( y − 3) y2 − y − 6. 11.
(12) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. (x + 2) x x−3 x+2 x 1 x−3 1 ⋅ − = − c) − 2 − = ⋅ x 2 ( x − 2 ) ( x − 2 )(x + 2 ) 2 x −2 x −4 x 1 ⋅ ( x + 2 ) − 1 ⋅ ( x − 3) ( x + 2 ) x x + 2 − x + 3 ( x + 2 ) x (x + 2) − x = 5 ⋅ ⋅ = − = − = ⋅ x 2 ( x − 2 )( x + 2 ) x 2 (x − 2 )( x + 2 ) x 2 ( x − 2 )( x + 2 ) . =. 5( x + 2) x 5 x 10 − x 2 ( x − 2) 10 − x 3 + 2 x 2 − x 3 + 2 x 2 + 10 − = − = = = (x − 2 )(x + 2)x 2 x(x − 2) 2 2 x(x − 2 ) 2x 2 − 4x 2x 2 − 4x. x−2 x2 x − 2 1⋅ (x + 2) − x 2 − (x − 2) 1 1 1 − x2 ⋅ 2 − = − − = = x−2 x − 4 x + 2 ( x − 2 ) ( x − 2 )( x + 2 ) ( x + 2 ) (x − 2)(x + 2) 2. d). 1 − 2( x − 2 ) x − x + 2 − x − x − 4x + 4 x + 2 − x − x + 4 x − 4 − 2 x + 5x − 2 2 − 2x + 1 = = = = = ( ∗ ) (x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2) x+2 2. (∗). (. 2. ). 2. 2. 2. −5+3 1 = − 4 = 2 − 5 ± 25 − 16 − 5 ± 9 − 5 ± 3 − 2x 2 + 5x − 2 = 0 ⇔ x = = = = −4 −4 −4 −5−3 = =2 −4 . 5 x x 2 − 1 3 − 6 x 5 x ( x − 1)( x + 1) 3 − x ( x − 1)( x + 1) 3 6 e) + − = + − = − = ⋅ ⋅ ⋅ x x −1 x −1 2 x x −1 2 x 1− x x −1 2 − x( x − 1)( x + 1) 3 − x( x + 1) 3 − x 2 ( x + 1) − 6 − x 3 − x 2 − 6 = − = − = = 2( x − 1) x 2 x 2x 2x x 3 − x x 2 − x + 1 x 2 + 2 x + 4 x( x − 1)( x + 1) x 2 − x + 1 x2 + 2x + 4 : f) 3 ⋅ 2 = ⋅ : ( x + 1)( x 2 − x + 1) x( x − 1) ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) = x3 − 8 x +1 x − x x( x − 1) x 2 − x + 1 x( x − 1)( x 2 − x + 1) 1 1 1 2 : : ⋅ = 2 = 1: = x−2 ( x − 2) ( x − x + 1) x( x − 1) ( x − 2) ( x − x + 1) x( x − 1) ( x − 2) 1 1 1 1 1 x −1 x − 2 3 + 1 2x − 2 − x + 2 4 x g) + ⋅ − = = ⋅ − = − 2 ⋅ − 2 x x − 1 3x 2x x 3x x (x − 1)( x + 1) 3 x 2 x ( x − 1)( x + 1). (. ). 4x 1 2 1 2( x − 1)( x + 1) − 3x 2 x 2 − 1 − 3x 2 x 2 − 2 − 3x − = − = = = = 3x( x − 1)( x + 1) 3x( x − 1)( x + 1) 3 x( x − 1)( x + 1) 6 x 2 ( x − 1)( x + 1) 3 x ( x − 1)( x + 1) 2 x 2 − 3 x − 2 2 x 2 − 3x − 2 = = 3x( x 2 − 1) 3x3 − 3x. =. 2 2 1 (1 + x ) − (1 − x ) 1 + x − 1 + x 1 + x − 1 1 + x 1 − x 1 + x : h) − : − 1 ⋅ 1 − = ⋅ = 1 − x 1 + x 1 − x 1 + x (1 − x )(1 + x ) 1 − x 1 + x . 12.
(13) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. (. 1 + 2 x + x2 − 1 − 2 x + x2 = (1 − x )(1 + x ) =. i). TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. ) : . 2 x x 1 + 2 x + x 2 − 1 + 2 x − x 2 2x2 = ⋅ = : 1− x (1 − x )(1 + x ) 1 + x (1 − x)(1 + x) . 4x 2x 2 4 x(1 − x )(1 + x ) 4x 2 : = 2 = 2 = (1 − x )(1 + x ) (1 − x )(1 + x ) 2 x (1 − x )(1 + x ) 2 x x. x2 + x x x 1 2 = = x2 − = x2 − x : = x − x x +1− x 1 x +1 1 1− x +1 x +1 x +1 2 2 2 2 = x − (x + x ) = x − x − x = − x x. x2 −. x −1 − x +1 x +1 + x −1. j). =. = x2 −. x2 + 1 x2 −1 x2 +1 x2 −1. x −1 x2 +1 − (x + 1) (x − 1)(x + 1) = = x +1 x2 +1 + (x − 1) (x − 1)(x + 1). (x − 1)2 − 1⋅ (x 2 + 1) (x − 1)(x + 1) (x + 1)2 + 1⋅ (x 2 + 1) (x − 1)(x + 1). x2 − 2x +1 − x2 −1 (x − 1)(x + 1) = 2 = x + 2x + 1+ x2 + 1 (x − 1)(x + 1). − 2x − 2x −x = = 2 2 2x + 2x + 2 2 x + x + 1 x + x + 1 2. (. ). 10. Demuestra las siguientes identidades: 2x 1 1 1 a) + ⋅ − 1 = 1+ x 1− x2 x x 1 1 − x 1 − x + 2x 1 − x (1 + x ) ⋅ (1 − x ) = (1 + x )(1 − x ) = 1 2x ⋅ ⋅ + = = x (1 + x )(1 − x )x x (1 + x ) (1 − x )(1 + x ) x (1 + x )(1 − x ) x (1 + x )(1 − x ). 1 x −2 x−3 1 b) − − : = 2x − 5 x −3 x−2 x −3 x−2 2 2 1 ( x − 2 ) − ( x − 3) ( x − 2 ) − ( x − 3) x−2 x −3 1 : − : − = = x − 3 x − 2 x − 3 x − 2 ( x − 3)( x − 2 ) ( x − 3)( x − 2 ) . x2 − 4x + 4 − x2 + 6x − 9 x − 2 − x + 3 2x − 5 1 : = = : = (x − 3)(x − 2) ( x − 3)( x − 2) ( x − 3)( x − 2) ( x − 3)( x − 2) (2 x − 5)(x − 3)(x − 2) = 2 x − 5 = (x − 3)(x − 2). c). a2 −1 a 2 + 2a + 1 : =1 a 2 − 3a + 2 a 2 − a − 2 13.
(14) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. a2 −1 a 2 + 2a + 1 (a − 1)(a + 1) (a + 1) 2 (a − 1)(a + 1) 2 (a − 2) : = : = =1 a 2 − 3a + 2 a 2 − a − 2 (a − 1)(a − 2) (a + 1)(a − 2) (a − 1)(a − 2)(a + 1) 2. 14.
(15)
Documento similar
Cuando multiplico o divido el numerador y el denominador por un mismo número obtengo una fracción equivalente. Tema: fracciones equivalentes. DESAFÍO MATEMÁTICO Lee
Los objetos matemáticos llamados fracciones permiten que las personas se entiendan al hablar de trozos, partes o porciones, tanto si se
Y si se toman del largo del terreno, ¿Qué parte del ancho se debe elegir para que la huerta siga ocupando la misma área y mantenga su forma rectangular.. ¿Es posible tomar
Entre dos fracciones con igual denominador, la fracción mayor es la que tiene mayor de numerador.. Entre dos fracciones con igual numerador, la fracción mayor es la que
Usando teoría de Galois y teoría de grupos finitos, daremos una demostración del teorema que solo usa un resultado de Análisis real, que se prueba en cualquier curso elemental de
Resolución de problemas mediante la suma, resta, multiplicación y/o división de
OA 7: Demostrar que comprenden las fracciones propias: › representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica › creando grupos de fracciones equivalentes _simplificando y
Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del
