Ejemplo 6 : Demuestre que Zxn dx √ 1 − x2 = −x

C´

alculo Diferencial e Integral - Integraci´

on por partes.

Prof. Farith J. Brice˜

no N.

Objetivos a cubrir

C´

odigo : MAT-CDI.6

•

Integraci´

on : Integraci´

on por partes.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1

: Integre

Z

x

3

ln

x dx

Soluci´on : Hacemos

u= lnx _{−−−−−−−−−−−→}Al derivar du=1

x dx

dv=x3_{dx Al integrar}

−−−−−−−−−−−−→ v=

x4

4 La integral se transforma en

Z

x3lnx dx=x

4

4 lnx− Z

x4

4 1

x dx= x4

4 lnx− 1 4

Z

x3dx= x

4

4 lnx−

x4

16+C.

Por lo tanto,

Z

x3lnx dx=x

4

4 lnx−

x4

16+C.

F

Ejemplo 2

: Integre

Z

x

2

cos

x dx

Soluci´on : Hacemos

u=x2 _{Al derivar}

−−−−−−−−−−−→ du= 2x dx

dv= cosx dx Al integrar

−−−−−−−−−−−−→ v= senx

La integral se transforma en

Z

x2_{cosx dx=x}2_senx−

Z

2xsenx dx=x2_senx−2

Z

xsenx dx

Resolvemos la nueva integral Z

xsenx dx, integramos otra vez por partes. Hacemos

u=x _{−−−−−−−−−−−→}Al derivar du=dx

dv= senx dx Al integrar

−−−−−−−−−−−−→ v=−cosx

y obtenemos

Z

xsenx dx=−xcosx−

Z

−cosx dx=−xcosx+ Z

cosx dx=−xcosx+ senx+C1,

entonces,

Z

x2cosx dx=x2senx−2 (−xcosx+ senx+C1) =x2senx+ 2xcosx−2 senx+C,

as´ı, la familia de primitivas es

Z

x2cosx dx=x2senx+ 2xcosx−2 senx+C.

F

Ejemplo 3

: Integre

Z

sen

2

x dx

Soluci´on : Observemos que

Z

sen2x dx= Z

senxsenx dx.

Integramos por partes, hacemos

u= senx _{−−−−−−−−−−−→}Al derivar du= cosx dx

dv= senx dx Al integrar

La integral se transforma en

Z

sen2x dx=−senxcosx−

Z

−cosxcosx dx=−senxcosx+ Z

cos2x dx

=−senxcosx+ Z

1−sen2x

dx=−senxcosx+ Z

dx−

Z

sen2x dx

como Z

dx=x+C1, tenemos que

Z

sen2x dx=−senxcosx+x−

Z

sen2x dx+C1 =⇒

Z

sen2x dx+ Z

sen2x dx=−senxcosx+x+C1,

de aqu´ı,

2 Z

sen2x dx=−senxcosx+x+C1 =⇒

Z

sen2x dx=1

2(−senxcosx+x+C1). Por lo tanto,

Z

sen2x dx= 1

2senxcosx+ 1 2x+C

F

Ejemplo 4

: Integre

Z

e

√

x

_dx

Soluci´on : Hacemos el cambio de variable

p=√x; dp= 1

2√x =⇒ 2p dp=dx

y la integral nos queda

Z

e √

x _dx=Z _2pep_{dp= 2}Z _pep_dp

integramos por partes, hacemos

u=p _{−−−−−−−−−−−→}Al derivar du=dp

dv=ep_{dp Al integrar}

−−−−−−−−−−−−→ v=e

p_,

la integral se transforma,

Z

pepdp=pep−

Z

epdp=pep−ep+C1,

como p=√x, se tiene

Z

e √

x_{dx= 2}√

xe √

x_−e√x_+C

1

= 2e

√

x √_x−1 +C,

es decir,

Z

e √

x_{dx= 2e}√x √_x−1 +C.

F

Ejemplo 5

: Integre

Z

csc

3

x dx

Soluci´on : Escribimos la integral como

Z

csc3x dx= Z

csc2xcscx dx.

Integramos por partes, hacemos

u= cscx _{−−−−−−−−−−−→}Al derivar du=−cscxcotx dx

dv= csc2_{x dx Al integrar}

−−−−−−−−−−−−→ v=−cotx,

La integral se transforma en

Z

csc3x dx= cscx(−cotx)−

Z

(−cotx) (−cscxcotx) dx=−cscxcotx−

Z

cscxcot2x dx,

es conocido que

as´ı,

Z

csc3x dx=−cscxcotx−

Z

cscxcot2x dx=−cscx cotx−

Z

cscx csc2x−1

dx

=−cscxcotx−

Z

csc3x dx+ Z

cscx dx=−cscxcotx−

Z

csc3x dx+ ln|cscx−cotx|+C,

es decir,

Z

csc3x dx=−cscxcotx−

Z

csc3x dx+ ln|cscx−cotx|+C,

de aqu´ı,

2 Z

csc3x dx=−cscxcotx+ ln|cscx−cotx|+C,

con lo que,

Z

csc3_{x dx=−}1

2cscxcotx+ 1

2ln|cscx−cotx|+C.

F

Ejemplo 6

: Demuestre que

Z

_x

n

_dx

√

1

−

x

2

=

−x

n−1

p

1

−

x

2

_{+ (}

_n

₋

₁₎

Z

x

n−2

p

1

−

x

2

_dx

Demostraci´on : Escribimos la integral como

Z _xn_dx

√

1−x2 =

Z

xn−1 √ x

1−x2 dx

Integramos por partes, hacemos

u=xn−1 _{Al derivar}

−−−−−−−−−−−→ du= (n−1)xn

−2 _dx

dv=√ x

1−x2 dx −−−−−−−−−−−−→Al integrar v=− √

1−x2_.

La integral se transforma en

Z

xndx

√

1−x2 =x

n−1₋p

1−x2₋

Z

−p1−x2_(n−1)xn−2_dx=−xn−1p

1−x2_{+ (n−1)}

Z

xn−2p1−x2_dx

entonces,

Z _xn_dx

√

1−x2 =−x

n−1 p

1−x2_{+ (n−1)}

Z

xn−2 p1−x2_dx.

F

Ejercicios

1. Calcular las siguientes integrales

1

.

Z

xe

x

dx

2

.

Z

x

e

x

dx

3

.

Z

x

2

−x

dx

4

.

Z

x

sen

x dx

5

.

Z

t

cos

t dt

6

.

Z

xe

2x

dx

7

.

Z

_x

2

e

3x

dx

8

.

Z

x

2

3

x

dx

9

.

Z

x

2

sen

xdx

10

.

Z

t

3

sen

t dt

11

.

Z

ln

x dx

12

.

Z

arctan

x dx

13

.

Z

arcsen

x dx

14

.

Z

4

x

ln 2

x dx

15

.

Z

_√

x

ln

x dx

16

.

Z

x

arctan

x dx

17

.

Z

x

arcsen

x dx

18

.

Z

x

3

e

x2

dx

19

.

Z

cos

2

x dx

20

.

Z

θ

cos 3

θ dθ

21

.

Z

x

5

cos

x

3

dx

22

.

Z

t

2

+ 5

t

+ 6

cos 2

t dt

23

.

Z

sec

3

θ dθ

24

.

Z

e

x

sen

x dx

25

.

Z

sen 3

x

cos 5

x dx

26

.

Z

27

.

Z

x

2

ln

x dx

28

.

Z

_ln

_x

√

x

dx

29

.

Z

e

5x

cos 2

x dx

30

.

Z

cos

x

2

cos

x

3

dx

31

.

Z

z

2

e

3z

dz

32

.

Z

t

2

e

−t/2

dt

33

.

Z

e

at

cos

bt dt

34

.

Z

x

2

−

2

x

+ 5

e

−x

dx

35

.

Z

_{x dx}

sen

2

_x

36

.

Z

x

ln

1

−

x

1 +

x

dx

37

.

Z

x

2

arctan 3

x dx

38

.

Z

5

x

sen 5

x dx

39

.

Z

ln

2

x dx

40

.

Z

e

√

x

_dx

₄₁

_.

Z

e

ax

sen

bx dx

42

.

Z

ln

x

p

1 +

x

2

_dx

43

.

Z

sen (ln

x

)

dx

44

.

Z

y

3

e

−y2

dy

45

.

Z

x

cos

x

sen

2

_x

dx

46

.

Z

3

x

cos

x dx

47

.

Z

x

5

e

x2

dx

48

.

Z

_ln

2

_t

t

2

dt

49

.

Z

_{ln (ln}

_x

₎

x

dx

50

.

Z

x

2

−

2

x

+ 3

ln

x dx

51

.

Z

t

3

e

t

dt

52

.

Z

p

x

2

_{+ 1}

_dx

₅₃

_.

Z

x

tan

2

2

x dx

54

.

Z

x

(arctan

x

)

2

dx

55

.

Z

ln

x

x

3

dx

56

.

Z

arcsen

√

θ

√

1

−

θ

dθ

57

.

Z

sen

2

x

e

x

dx

58

.

Z

cos

x

cos

2

(3

x

)

dx

59

.

Z

x

csc

2

x dx

60

.

Z

x

tan

−1

x dx

61

.

Z

cos

2

(ln

x

)

dx

62

.

Z

cos

t

ln (sen

t

)

dt

63

.

Z

(ln

x

)

2

dx

64

.

Z

sen

√

x dx

65

.

Z

x

2

cos 3

x dx

66

.

Z

x

cos

2

x

sen

x dx

67

.

Z

sec

5

θ dθ

68

.

Z

x dx

cos

3

₍

_x

2

₎

69

.

Z

xe

x

(

x

+ 1)

2

dx

70

.

Z

(arcsen

x

)

2

dx

71

.

Z

x

3

ln

x dx

72

.

Z

t

sen 4

t dt

73

.

Z

x

2

sen 2

x dx

74

.

Z

sec

5

(

ax

+

b

)

dx

75

.

Z

x

5

x

dx

76

.

Z

θ

sec

2

θ dθ

78

.

Z

sec

3

(

ax

+

b

)

dx

79

.

Z

z

cos 2

z dz

80

.

Z

x

sen

2

x dx

81

.

Z

e

−θ

cos 3

θ dθ

82

.

Z

xa

x

dx

83

.

Z

_ln

_{x dx}

√

1

−

x

84

.

Z

arccos

z dz

85

.

Z

sen 2

t

sen 4

t dt

86

.

Z

sen 2

t

ln cos

7

t

dt

87

.

Z

xe

2x

dx

√

1

−

e

2x

88

.

Z

t

3

arctan 2

t dt

89

.

Z

x

arcsen

x

√

1

−

x

2

dx

90

.

Z

x

arcsen

x

q

(1

−

x

2

₎

3

dx

91

.

Z

x

ln

x dx

√

1

−

x

2

92

.

Z

sen 2

x

ln sen

4

x

cos

5

x

dx

93

.

Z

sen 2

x

ln

cos

1/2

_x

sen

1/3

_x

!

dx

94

.

Z

sen (2

ax

) ln (tan

ax

)

dx

95

.

Z

sen 2

x

ln sen

5

x

dx

96

.

Z

sen

x

ln

cot

x

2

dx

97

.

Z

cos 2

x

ln (sen

x

+ cos

x

)

dx

98

.

Z

cos

x

ln sen

−2

x

cos

3

x

dx

99

.

Z

sen

x

ln sen

4

x

cos

5

x

dx

100

.

Z

_arcsen

4

_t

_{ln arcsen}

3

_t

√

101

.

Z

cos

bx

ln (sen

n

bx

cos

m

bx

)

dx

102

.

Z

sen

bx

ln (sen

n

bx

cos

m

bx

)

dx

103

.

Z

x

senh

2

x

2

dx

104

.

Z

1

−1

cosh

2

x dx

105

.

Z

senh

√

x dx

106

.

Z

3

t

senh 3

t dt

107

.

Z

e

at

cosh

bt dt

108

.

Z

x

5

cosh

x

3

dx

109

.

Z

csc

3

x dx

110

.

Z

_x

3

_dx

√

1

−

x

2

111

.

Z

_x

5

_dx

√

1

−

x

2

112

.

Z

_x

7

_dx

√

1

−

x

2

2. Demostrar la f´

ormula de reducci´

on

Z

cos

n

x dx

=

1

n

cos

n−1

_x

_sen

_x

₊

n

−

1

n

Z

cos

n−2

x dx

3. Demostrar la f´

ormula de reducci´

on

Z

(ln

x

)

n

dx

=

x

(ln

x

)

n

−

n

Z

(ln

x

)

n−1

dx

4. Demostrar la f´

ormula de reducci´

on

Z

x

n

e

x

dx

=

x

n

e

x

−

n

Z

x

n−1

e

x

dx

5. Demostrar la f´

ormula de reducci´

on

Z

x

2

+

a

2

n

dx

=

x x

2

₊

_a

2

n

2

n

+ 1

+

2

na

2

2

n

+ 1

Z

x

2

+

a

2

n−1

dx,

con

n

6

=

−

1

2

.

6. Demostrar la f´

ormula de reducci´

on

Z

sec

n

x dx

=

tan

x

sec

n−2

_x

n

−

1

+

n

−

2

n

−

1

Z

sec

n−2

x dx,

con

n

6

= 1.

Respuestas: Ejercicios

1.1. (x−1)ex_{+C; 1.2. −(x+ 1)e}−x_{+C; 1.3. −(1 +xln 2)}2−x

ln2₂+C; 1.4. senx−xcosx+C;

1.5. cost+tsent+C; 1.6. (2x−1)e2₄x+C; 1.7. − 2 27+

2 9x+

1 3x

2

e−3x+C; 1.8. 3x

2

ln3₃−_ln22x₃+ x 2 ln 3

+C;

1.9. 2 cosx+ 2xsenx−x2_{cosx+C; 1.10. 6tcost−6 sent−t}3_{cost+ 3t}2_{sent+C; 1.11. x(lnx−1) +C;}

1.12. xarctanx−1 2ln x

2_{+ 1}

+C; 1.13. xarcsenx+√1−x2_{+C; 1.14. (2 lnx+ 2 ln 2−1)x}2_+C;

1.15. 2₃(lnx−1)x3/2_{+C; 1.16.} 1

2arctanx− 1 2x+

1 2x

2_{arctanx+C; 1.17.} 1 2x

2_arcsenx−1

4arcsenx+ 1 4x

√

1−x2_+C;

1.18. 1₂ex2 x2−1

+C; 1.19. 1₂cosxsenx+1₂x+C; 1.20. 1₉cos 3θ+1₃θsen 3θ+C;

1.21. 1₃cos x3

+1₃x3_{sen x}3

+C; 1.22. 5₄cos 2t+11₄ sen 2t+1₂tcos 2t+5₂tsen 2t+1₂t2_{sen 2t+C;}

1.23. 1₂secθtanθ+1₂ln|secθ+ tanθ|+C; 1.24. e₂x(senx−cosx) +C; 1.25. ₁₆5 sen 3xsen 5x+₁₆3 cos 3xcos 5x+C;

1.26. 1 2xsen

2_x+1

4cosxsenx− 1

4x+C; 1.27. 1 3x

3 _lnx−1 3

1.29. e₂₉5x(5 cos 2x+ sen 2x) +C; 1.30. −12 5 cos

x

2

sen x₃

+18₅ sen x₂ cos x₃

+C; 1.31. 1₃e3z 2 9−

2 3z+z

2 +C;

1.32. −2e−t/2 8 + 4t+t2

+C; 1.33. _a2e₊at_b2(acosbt+bsenbt) +C; 1.34. −e−x x2+ 5

+C;

1.35. −xcotx+ ln|senx|+C; 1.36. 1₂x2_ln1−x x+1

−x+ tanh−1x+C; 1.37. 1₃x3_{arctan 3x−} 1 18x

2₊ 1 162ln x

2₊1 9

+C;

1.38. _ln25₅₊₂₅x ((ln 5) sen 5x−5 cos 5x) +C; 1.39. x ln2x−2 lnx+ 2

+C; 1.40. 2e √

x √_x−1 +C;

1.41. _a2e+axb2(asenbx−bcosbx) +C; 1.42. arctanx−2x+xln

x√x2_{+ 1+C; 1.43.} 1

2x(sen (lnx)−cos (lnx)) +C;

1.44. −1 2e

−y2 _{1 +y}2

+C; 1.45. −xcscx+ ln|cscx−cotx|+C; 1.46. _ln23x₃₊₁(senx+ (ln 3) cosx) +C;

1.47. 1−x2₊1 2x

4

ex2_{+C; 1.48. −}1

t 2 + 2 lnt+ ln

2_t

+C; 1.49. (ln (lnx)−1) lnx+C;

1.50. 1₂x2−3x−1 9x

3_{+ 3x−x}2₊1 3x

3

lnx+C; 1.51. 6t−6−3t2+t3

et+C; 1.52. 1₂x√x2_{+ 1 +}1 2senh

−1_x+C;

1.53. x₂tan 2x−1₄ln|sec 2x| −x₂2 +C; 1.54. x2₂+1arctan2_{x−xarctanx+}1 2ln x

2_{+ 1}

+C; 1.55. − 1₂ + lnx 1 2x2+C;

1.56. 2√θ−2√1−θarcsen√θ+C; 1.57. e−x 1

10cos 2x− 1

5sen 2x− 1 2

+C;

1.58. 1₂senx+₃₅3 cosxsen 6x− 1

70senxcos 6x+C; 1.59. −xcotx+ ln|senx|+C; 1.60. 1

2arctanx−

x

2 +

x2

2 arctanx+C;

1.61. 1₂x+₁₀1xcos (2 lnx) +1₅xsen (2 lnx) +C; 1.62. (ln (sent)−1) sent+C; 1.63. x ln2x−2 lnx+ 2 +C;

1.64. 2 sen√x−2√xcos√x+C; 1.65. 2₉xcos 3x− 2

27sen 3x+ 1 3x

2_{sen 3x+C; 1.66.} 1 3senx−

1 9sen

3_x−x

3cos 3_x+C;

1.67. 1₄tanθsec3_θ+3

8secθtanθ+ 3

8ln|secθ+ tanθ|+C; 1.68. 1 4sec x2

tan x2

+1₄lnsec x2

+ tan x2 +C;

1.69. _xe₊₁x +C; 1.70. xarcsen2_{x−2x+ 2}√_1−x2_{arcsenx+C; 1.71. (4 lnx−1)}x4 16+C;

1.72. ₁₆1 sen 4t−1

4tcos 4t+C; 1.73. 1 4cos 2x+

1

2xsen 2x− 1 2x

2_{cos 2x+C;}

1.74. ₄1_atan (ax+b) sec3_{(ax+b) +} 3

8asec (ax+b) tan (ax+b) +

3

8aln|sec (ax+b) + tan (ax+b)|+C;

1.75. 5x x

ln 5− 1 ln2₅

+C; 1.76. θtanθ−ln|secθ|+C; 1.77. ;

1.78. ₂1_asec (ax+b) tan (ax+b) +₂1_aln|sec (ax+b) + tan (ax+b)|+C; 1.79. 1₄cos 2z+1₂zsen 2z+C;

1.80. 1₄x2−1 8cos 2x−

1

4xsen 2x+C; 1.81.

e−θ

10 (3 sen 3θ−cos 3θ) +C; 1.82. a

x x

lna−

1 ln2_a

+C;

1.83. −2√1−x(lnx)−4 tanh−1√_{1−x+ 4}√_{1−x+C; 1.84. zarccosz−}√_1−z2_+C;

1.85. −1

3sen 2tcos 4t+ 1

6cos 2tsen 4t+C; 1.86. 7 cos 2_t 1

2−ln|cost|

+C; 1.87. (1−x)√1−e2x₊1 2ln √ 1−e2x−1 √

1−e2x+1

+C;

1.88. ₃₂1t− 1 24t3−

1

64arctan 2t+ 1

4t4arctan 2t+C; 1.89. − √

1−x2_{arcsenx+x+C; 1.90.} arcsen_√ x

1−x2 −tanh

−1_x+C;

1.91. (1−lnx)√1−x2_{+ ln}

1−√1−x2

x

+C; 1.92. 2 sen2_{x(2 ln|senx| −1) + 5 cos}2_x 1

2−ln|cosx|

+C;

1.93. 1₂cos2_x 1

2−ln|cosx|

+1₃sen2_x 1

2−ln|senx|

+C; 1.94. _a1sen2_{(ax) ln|tan (ax)|+}1

aln|cos (ax)|+C;

1.95. 5 sen2_{x ln|senx| −}1 2

+C; 1.96. −2 lncos x

2

+ 2 sen2 x

2

lncot x

2

+C;

1.97. 1₂(senx+ cosx)2 ln (senx+ cosx)−1₂

+C; 1.98. senxln

cos3_x sen2_x

−1

−3 ln|secx−tanx|+C;

1.99. 4 ln|cscx−cotx|+ 9 cosx−5 cosxln sen4_xcos5_x

+C; 1.100. 3₄arcsen5_{x ln}

arcsenx−1

5

+C;

1.101. −m+n b senbx+

1

bln (sen

n_bxcosm_{bx) senbx−}m b ln

1−senbx

cosbx

+C;

1.102. m+_bncosbx−1_bln (senn_bxcosm_{bx) cosbx+}n bln

1−cosbx

senbx

+C; 1.103.

1 8senh 2x

2

1.105. 2√xcosh√x−2 senh√x+C; 1.106. ₉₋3_lnt23(3 cosh 3t−(ln 3) senh 3t) +C; 1.107.

eat

b2−a2(bsenhbt−acoshbt) +C;

1.108. x3

3 senh x 3

−1 3cosh x

3

+C; 1.109. −1

2cscxcotx+ 1

2ln|cscx−cotx|+C; 1.110. − 1 3

√

1−x2 _{2 +x}2 +C;

1.111. − 1 15

√

1−x2 _4x2_{+ 3x}4_{+ 8}

+C; 1.112. − 1 35

√

1−x2 _8x2_{+ 6x}4_{+ 5x}6_{+ 16} +C;

Bibliograf´ıa

1.

Purcell, E. - Varberg, D

: “C´

alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica”. Novena Edici´

on. Prentice Hall.

2.

Stewart, J.

: “C´

alculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

C´

alculo Diferencial e Integral - Integraci´

on por partes.

Prof. Farith Brice˜

no

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