INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSTGRADO E INVESTIGACIÓN
Localización Óptima
de Subestaciones de Distribución
de la Energía Eléctrica
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS
CON ESPECIALIDAD EN
INGENIERÍA DE SISTEMAS
PRESENTA
ING. RAMÓN FIGUEROA LEDESMA
México, D.F., Mayo de 2005
DIRECTOR DE TESIS:
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
COORDINACIÓN GENERAL DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
CARTA CESION DE DERECHOS
En la Ciudad de México, Distrito Federal, el día 21 del mes de abril del año 2005, el (la) que
suscribe
ING.
RAMÓN FIGUEROA LEDESMA
alumno(a) del
Programa de Postgrado en
Ingeniería de Sistemas
con número de registro
A020513,
adscrito a la Sección de Estudios de
Posgrado e Investigación de la ESIME Unidad Zacatenco, manifiesta que es autor(a) intelectual del
presente Trabajo de Tesis bajo la dirección del
M. EN C. EFRAÍN JOSÉ MARTÍNEZ ORTÍZ
y cede
los derechos del trabajo intitulado:
“LOCALIZACIÓN ÓPTIMA DE SUBESTACIONES DE
DISTRIBUCIÓN DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA”
al Instituto Politécnico Nacional para su difusión,
con fines académicos y de investigación.
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, graficas o datos del trabajo
sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la
siguiente dirección:
[email protected]
.
Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del
mismo.
Índice
Pag
Índice
i
Relación de Figuras
iv
Listado de Tablas
v
Dedicatoria
vii
Agradecimientos
viii
Resumen
ix
Abstract
x
Glosario
xi
Capítulo 1. Marco Teórico
1
1.1 Introducción.
2
1.1.1 Los sistemas eléctricos de potencia.
3
1.1.1.1 Sistema de Distribución
4
1.1.1.2 Procesos sustantivos de un sistema eléctrico
4
1.1.2 Planeación de sistemas eléctricos de distribución.
5
1.1.2.1 Problemas
5
1.1.2.1.1 Localización, tamaño y cobertura de subestaciones de
distribución
6
1.1.3 La ubicación y capacidad (tamaño) óptima de subestaciones de
distribución desde el enfoque de sistemas.
7
1.2 Estado del arte. 9
1.3 Justificación. 12
1.4 Objetivos. 13
1.4.1. Objetivo Principal.
13
1.4.2. Objetivos Parciales.
13
1.5 Marco teórico. 14
1.5.1 Planeación en los sistemas eléctricos de distribución14
1.5.2 Consideraciones para la planeación de subestaciones14
1.5.2.1 Tamaño de la Subestación
15
1.5.2.2 Capacidad operativa del transformado en condiciones
normales.
15
1.5.2.3 Capacidad de sobrecarga del transformador ante
Contingencias
15
1.5.2.5 Localizaciones nuevas
15
1.5.2.6 Limitación en las series de equipos
16
1.5.2.7 Desarrollo geográfico de la zona y restricciones
eléctricas.
16
1.5.2.8 Derechos de vía para alimentadores futuros
16
1.5.2.9 Respaldo local vs. enlaces de alimentadores
16
1.5.3 Optimización matemática
17
1.5.3.1 Programación lineal
17
1.5.3.2 Programación no lineal
18
1.5.3.3 programación cuadrática
19
1.6 Marco Metodológico. 20
1.6.1 Definición del problema
21
1.6.2 Formulación de un modelo matemático.
21
1.6.3 Obtención de una solución a partir del modelo.
21
1.6.4 Prueba del modelo y mejoramiento.
22
1.6.5 Preparación para aplicar el modelo.
22
1.6.6 Implantación.
22
1.7 Resumen del capitulo.
23
Capítulo 2. Modelación
24
2.1
Introducción.
25
2.2 Definición del problema.
26
2.2.1 Delimitación.
26
2.2.2 Planteamiento.
26
2.3 Formulación del modelo matemático.
27
2.3.1 Submodelo de Pérdidas de energía en la red de distribución.
31
2.3.2 Submodelo de Inversión en la Línea de Transmisión.40
2.3.3 Submodelo de Pérdidas en la Línea de Transmisión.40
2.3.4 Determinación del modelo integral.
43
2.4 Desarrollo de un procedimiento. 45
2.5 Prueba y mejoramiento del modelo.
45
2.6 Preparación para aplicar el modelo e Implementación. 45
2.7 Resumen del capítulo. 46
Capítulo 3. Implementación – Caso de Estudio
47
3.1 Introducción
48
3.2 Determinación de la zona de estudio
49
3.2.1 Análisis del Estado actual
49
3.2.2 Análisis en el mediano plazo
50
3.3 Modelado de la zona de estudio
53
3.3.1 Consideraciones
53
3.3.2 Modelo matemático
55
3.4 Resultados
56
3.4.1 Submodelo de Pérdidas en la Red de Distribución
56
3.4.2 Submodelo de Inversión en la Línea de Transmisión
58
3.4.3 Submodelo de Pérdidas en la Línea de Transmisión
58
3.4.4 Selección de la Localización y Cargabilidad óptima de la nueva
Subestación
59
3.5 Análisis de Resultados
60
3.6 Resumen del capítulo.
63
Conclusiones y Recomendaciones
64
Recomendaciones para trabajos futuros
67
Referencias Bibliográficas
68
Referencias Portal Web
74
Anexo A. Complemento teórico
A-1
A.1 Metodologías de planeación de subestaciones
A-1
A.2 Técnicas de programación matemática
A-5
a.2.1 Problemas estructurados para redes
A-5
a.2.2 El problema de transporte
A-5
Anexo B. Herramientas de programación cuadrática
B-1
B.1 Solver de Excel
B-1
B.1.1 Algoritmo y Método
B-1
B.1.2 Definir y resolver un problema con solver
B-2
B.2 Matlab
B-5
B.2.1 La función quadprog
B-5
B.2.2 Algoritmo
B-7
B.2.3 Métodos quasi-newton
B-8
b.2.4 Implementación del sqp
B-12
Anexo C. Resultados de la ejecución del modelo de programación
cuadrática mediante Solver de Excel y MatlabRelación de Figuras
Número Nombre Pag
Figura 1.1 Pirámide contextual de la tesis. 2
Figura 1.2 Modelo formal de un sistema eléctrico de potencia 3
Figura 1.3 Procesos sustantivos de un Sistema Eléctrico. 4
Figura 1.4 Problemas fundamentales de la Planeación del Sistema de Distribución 5
Figura 1.5 Enfoque holístico de la ubicación y capacidad de subestaciones 7
Figura 1.6 Consideraciones en la planeación de subestaciones de distribución. 16
Figura 1.7 Metodología general de un estudio de investigación de operaciones. 20
Figura 1.8 Metodología empleada. 21
Figura 2.1 Secuencia de uso de los modelos para la Planeación de un Sistema de
Distribución. 27
Figura 2.2 Esquema representativo del modelo para la determinación óptima de
la localización y dimensionamiento de una Subestación de Distribución.
30
Figura 2.3 Esquema representativo del submodelo de pérdidas en la red de
Distribución. 32
Figura 2.4 Comportamiento diario y anual de la demanda eléctrica de una carga
típica residencial. 35
Figura 3.1 Delimitación de la zona de estudio del sistema de distribución. 49
Figura 3.2 Estado Operativo Actual. 51
Figura 3.3 Pronóstico en el mediano plazo del estado operativo. 52
Figura 3.4 Modelado Esquemático de la Zona de Estudio. 53
Figura 3.5 Ubicación esquemática de la nueva subestación Zaragoza en el punto
óptimo. 60
Figura 3.6 Áreas de servicio de la situación actual y el estado óptimo de
cobertura en el año 0. 61
Figura A.1 Método tradicional de Planeación A3
Figura A.2 Método recomendado de Planeación A4
Figura A.3 Proceso de planeación integrada. A5
Figura A.4 Representación de red del problema de transporte. A8
Figura B.1 Método BFGS en la función de Rosenbrock's. B9
FFF
Listado de Tablas
Número Nombre Pag
Tabla 1.1 Técnicas empleadas en la planeación de subestaciones 11
Tabla 1.2 Datos en un modelo de programación lineal – Asignación de
recursos a actividades.
18
Tabla 1.3 Metodología general de investigación de operaciones A9
Tabla 3.1 Características Eléctricas de la Zona de Estudio – Estado
Operativo Actual
A9
Tabla 3.2 Estado Operativo en el Mediano Plazo, 5 años. 20
Tabla 3.3 Recursos y Demandas del modelo esquemático del caso de estudio
50
Tabla 3.4 Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente en
miles de $/A2 de la alternativa 1.
51
Tabla 3.5 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, en el año 0 de la alternativa 1.
54
Tabla 3.6 Cargabilidad Óptima resultante de las Subestaciones, del año 0
al año 30 de la alternativa 1.
55
Tabla 3.7 Costo Total de las Pérdidas Eléctricas En la Red de
Distribución de la alternativa 1, en el año 0 resultante del Programa Solver.
56
Tabla 3.8 Costo Total a Valor Presente del las Pérdidas Eléctricas en la Red de Distribución de las tres alternativas, con los resultados del Programa Solver de Excel.
57
Tabla 3.9 Costo Total de Inversión en la Línea de Transmisión. 57
Tabla 3.10 Costo Total a Valor Presente de las Pérdidas Eléctricas en la Línea de Transmisión.
58
Tabla 3.11 Costo Total a Valor Presente de las Pérdidas Eléctricas en la Línea de Transmisión.
58
Tabla 3.12 Características Eléctricas de la Zona de Estudio – Estado Operativo Óptimo, en el año 0
59
Tabla 3.13 Comparativo de la Situación Actual con el Estado Operativo Óptimo, en el año 0
59
Tabla A.1 Costos y Requerimientos para el problema de transporte. 61
Tabla A.2 Coeficientes de las restricciones para el problema de
transporte.
62
Tabla C1 Demandas Pronosticadas en cada nodo en A de la zona de Estudio.
C1
Tabla C2 Capacidad de Suministro Disponibles (Recursos) en A de la zona
de Estudio.
C2
Tabla C3 Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente en
miles de $/ A2 de la alternativa 2.
Número Nombre Pag
Tabla C4 Costo de pérdidas por unidad del cuadrado de la corriente en
miles de $/ A2 de la alternativa 3.
C3
Tabla C.5 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 1 al año 30 de la alternativa 1, resuelto con Solver.
C4
Tabla C.6 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 0 al año 30 de la alternativa 2, resuelto con Solver.
C5
Tabla C.7 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 0 al año 30 de la alternativa 3, resuelto con Solver.
C6
Tabla C.8 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 0 al año 30 de la alternativa 1, resuelto con Matlab.
C7
Tabla C.9 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 0 al año 30 de la alternativa 2, resuelto con Matlab.
C8
Tabla C.10 Valor de las corrientes (incógnitas) resultantes, del año 0 al año 30 de la alternativa 3, resuelto con Matlab.
C9
Tabla C.11 Cargabilidad Óptima de las Subestaciones, del año 1 al año 30 de la alternativa 1, con Solver.
C10
Tabla C.12 Cargabilidad Óptima de las Subestaciones, del año 0 al año 30 de la alternativa 2, con Solver.
C11
Tabla C.13 Cargabilidad Óptima de las Subestaciones, del año 0 al año 30 de la alternativa 3, con Solver.
C12
Tabla C.14 Cargabilidad Óptima de las Subestaciones, del año 0 al año 30 de la alternativa 1, con Matlab.
C13
Tabla C.15 Cargabilidad Óptima de las Subestaciones, del año 0 al año 30 de la alternativa 2, con Matlab.
C14
Tabla C.16 Cargabilidad Óptima de las Subestaciones, del año 0 al año 30 de la alternativa 3, con Matlab.
C15
Tabla C.17 Costo Total de las Pérdidas Eléctricas en la Red de
Distribución, del año 0 al año 30 de las alternativas 1, 2 y 3, con Solver.
C16
Tabla C.18 Costo Total de las Pérdidas Eléctricas en la Red de
Distribución, del año 0 al año 30 de las alternativas 1, 2 y 3, con Matlab.
C17
Tabla C.19 Costo Total a Valor Presente del Submodelo de Pérdidas
Eléctricas en la Red de Distribución de las tres alternativas, con los resultados del Programa Solver de Excel.
C18
Tabla C.20 Costo Total a Valor Presente del Submodelo de Pérdidas
Eléctricas en la Red de Distribución de las tres alternativas, con los resultados del Programa Matlab.
C19
Tabla C.21 Costo Total a Valor Presente del Submodelo de Pérdidas en la Línea de Transmisión de las tres alternativas, con los resultados de Cargabilidad del Programa Solver de Excel.
C20
Dedicatoria
Agradecimiento
Paty
Por el cariño, comprensión y apoyo que me brindas.
El desarrollo del intelecto da talento, el amor pone
pasión y tesón en donde nos desenvolvamos. Gracias
por que me permites compartir este sueño contigo.
Mamá y en memoria de mi Padre
Siempre agradeceré el hermoso legado de superación,
y el amor que he recibido de ustedes. Cuando en una
familia se inculcan valores y principios universales
en la formación de una persona, no puede existir
otro resultado que la excelencia en su
comportamiento y desempeño ante la sociedad. Por
ese legado, el amor y apoyo, Gracias.
Mi familia
Agradezco su fortaleza y ánimo. He recibido grandes
enseñanzas de ustedes. Siempre contaran conmigo.
Prof. Efraín Martínez Ortiz
Con admiración y respeto, gracias por su
incondicional disposición en guiar el desarrollo de
este trabajo, por sus conocimientos y experiencias
vertidas durante mi estancia en la maestría.
A mis profesores:
Prof. Leopoldo Galindo S.
Prof. Elvira Ávalos V.
Prof. Luis M. Hernández S.
Prof. Jorge Reyes B.
Ustedes han contribuido en mi formación esencial en
esta etapa. Gracias por sus enseñanzas, ahínco y fe
en nosotros. Son orgullo y personalidad de nuestra
querida Institución Politécnica.
Prof. Leopoldo Galindo S.
Por sus consejos y conocimientos que nos imparte, le
retribuyo con admiración un reconocimiento por
haber sido un excelente maestro, una gran persona y
un amigo. Gracias.
IPN y ESIME
A mi querida escuela y comunidad Politécnica les
agradezco la oportunidad que me brindaron por
pertenecer al selecto y privilegiado grupo de
estudiantes de la mejor escuela de profesionales y
especialistas técnicos en el ámbito nacional e
internacional.
México
Gracias por mantener instituciones públicas como el
IPN e incentivar a los programas de postgrado para
la especialización de estudiantes. Solo con la cultura
este país crecerá y vencerá los males que aquejan a
nuestra sociedad.
Resumen
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La planeación de la distribución de la energía eléctrica es una tarea compleja donde los planificadores deben asegurar que exista una adecuada capacidad en la subestación (capacidad en el transformador) y capacidad en el alimentador (capacidad en distribución).
Este trabajo se enfoca en el problema de la localización de subestaciones del sistema de distribución, describiéndose un nuevo método y definiéndose un modelo matemático. Ha sido desarrollado una metodología para obtener una solución óptima considerando una función objetivo no lineal con restricciones lineales para un sistema de distribución de energía eléctrica a gran escala. El modelo está clasificado dentro del problema de programación cuadrática y es optimizada a través de la minimización de la función del costo de las pérdidas eléctricas en la red de distribución. Este es un problema combinatorio, por que el número de soluciones posibles se incrementa de acuerdo al tamaño del problema, es decir, al número de elementos a asignar.
Abstract
O
O
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y
y
Power distribution planning is a complex task in which planners must ensure that there is adequate substation capacity (transformer capacity) and feeder capacity (distribution capacity).
This work focus in the distribution system substations location problem, describing a new method and defining a mathematics model. A methodology has been developed to obtain an optimal solution by considering a non linear objective function with linear constraints for a large scale electric energy distribution system. The model is classified within quadratic program problem and is to be optimised through electric losses cost function minimisation in the distribution network. This is a combinatorial problem, this is because the number of possible solutions grows in relation to the size of the problem, this is, the number of elements to be assigned.
The optimal location, size, the service area associated, the expansion plan and the electric losses cost of substations in the power distribution systems are determined with this model. Also, this work is useful for long-range planning studies. The effectiveness of the proposed methodology is demonstrated by its successful application to a 80 km2 urban area served by 6 distribution substations with 30 demand points in a zone of the Mexico City. The contundent from the results in this work concludes that proper distribution plans can be reached by the proposed method in a simple, fast and efficient manner, providing basis for the decisions to the distribution system planning engineers.
Glosario
Planeación: Es un proceso retroalimentado mediante el cual un problema se detecta, define y valora
su relevancia, así como el diseño de fines deseados, políticas o estrategias adecuadas a la solución, organización y evaluación de todo el comportamiento.
Modelos: “Subrogados” del mundo real, que nos ayudan a comprender como funcionan. Se espera que
los administradores no “equivoquen el modelo por la realidad” y manejen el modelo, en vez de la situación efectiva, perteneciente al mundo real. Los modelos de decisión se utilizan para convertir entradas en salidas y elegir alternativas que satisfacen los objetivos del autor de decisiones.
Sistemas: Ensambles real o ideado o conjunto de elementos relacionados “que se han identificado
como de interés especial”.
Optimización: El valor máximo de la función objetivo, que puede lograrse en un sistema cerrado –
claramente un subóptimo, cuando el sistema que se evalúa es un subsistema abierto, colocado en el contexto de un sistema mayor.
Subestación: Conjunto de equipos y dispositivos que permite cambiar los parámetros de la energía
eléctrica, tensión, corriente y/o frecuencia, o bien conservarlos dentro de ciertas características.
Transformador: Es una máquina estática que tiene la función de transmitir mediante un campo
electromagnético de corriente alterna, la energía eléctrica de un sistema con determinada tensión, a otro sistema con tensión deseada.
Alimentador (También Red de Distribución o Circuito): Es el conjunto de instalaciones menores a
34.5 kV encargadas de entregar la energía eléctrica a los usuarios a los niveles de tensión normalizados y en las condiciones de seguridad y calidad exigidas por los reglamentos y normas
Algoritmo: Un procedimiento por pasos, que en un determinado numero de ellos produce el óptimo.
Pérdidas eléctricas: Las pérdidas eléctricas originadas a fenómenos físicos se denominan pérdidas
Metodología Evolucionada de
Localización Óptima de
Subestaciones de Distribución
de la Energía Eléctrica
Me todolog ía Ac tua l
O p e ra c ió n satisfac to ria
Re duc c ió n d e c o sto s d e la C ia Suministra d o ra
Me jo ra lig e ra e n la C a lid a d d e se rvic io a l c lie nte
C a rg a b ilid a d e mpíric a d e la SE Pla n d e e xp a nsió n e mpíric o
Mode lo Propue sto
G ran Fle xib ilidad O p e ra tiva
Minimizac ió n d e c o sto s d e la Cia Suministra d o ra
Ce ntro d e G e ne ra c ió n
Esta c ió n d e tra nsmisió n d e g ra n c a p a c id a d
G ra nd e s c lie nte s ind ustria le s
Esta c ió n d e sub tra nsmisió n
Ho sp ita le s
Sub e sta c ió n Tip o c lie nte
Pe q ue ño s c lie nte s ind ustr4ia le s Re d Prima ria
d e d istrib uc ió n S
Suubbeessttaacciióónnddee
d
diissttrriibbuucciióónn
Co me rc io s
Clie nte s re sid e nc ia le s
Líne a s d e Tra nsmisió n
Me jo ra sig nific ativa e n la C a lid a d d e se rvic io a l c lie nte C a rg a b ilid a d ó ptima d e la SE Pla n d e e xp a nsió n e mpíric o -ó ptimo
S
Suubbeessttaacciióónn
d
deeddiissttrriibbuucciióónn
“Los sistemas deben planearse, no debe
permitirse que solo sucedan”.
John P. Van Gigch.
Capítulo 1
Marco Teórico
1.1 Introducción.
En este capítulo se entra en materia con la problemática bajo estudio, proporcionando las bases con un tratado puntual para resolverlo empleando una metodología de investigación de operaciones a través de técnicas de programación matemática. La figura 1.1 muestra el marco contextual del problema objeto de estudio.
Establecer un modelo que determine el lugar óptimo de las subestaciones de distribución
para abastecer la demanda eléctrica al mínimo costo posible.
Sistemas Eléctricos
Generar Transmitir Transformar Distribuir Comercializar
Procesos
Planear Diseñar Construir Operar Mantener y controlar
Planeación
de Sistemas de Distribución
Subestación Red MT Transformador Red BT Acometida
Problemas
Fundamentales de Subestaciones
Núm Lugar Tamaño Área de Tiempo Servicio
Localización óptima de Subestaciones de Distribución
de la energía eléctrica
Figura 1.1.- Pirámide contextual de la tesis.
2
[image:17.612.171.495.415.672.2]1.1.1 Los Sistemas Eléctricos de Potencia.
La energía se manifiesta en varias formas, entre ellas la energía mecánica, térmica, química, eléctrica, radiante o atómica. Todas las formas de energía pueden convertirse en otras formas mediante los procesos adecuados. En el proceso de transformación puede perderse o ganarse una forma de energía, pero la suma total permanece constante, que es lo que dicta el principio de conservación de la energía[104].
Hoy en día, la electricidad es, sin lugar a dudas, el principal motor que impulsa las actividades en cualquier país y permite su desarrollo.
Un sistema eléctrico de potencia (SEP), es el conjunto de cceennttrraalleess ggeenneerraaddoorraas, de s llíínneeaass ddee t
trraannssmmiissiióónn interconectadas mediante cceennttrrooss ddee ttrraannssffoorrmmaacciióónn ((ssuubbeessttaacciioonneess)) y rreeddeess ddee d
diissttrriibbuucciióónn esenciales para el suministro de energía eléctrica. La figura 1.2 representa el modelo formal de un sistema eléctrico de potencia.
Sistema de distribución
Industria
Pabellones comerciales
Hospitales
Edificios corporativos
Viviendas
Cliente Transmisión
Generación Entorno
Sistema de Distribución
Subestación
[image:18.612.72.541.341.631.2]Transformador Red Secundaria Red Primaria
La Generación, es donde se produce la energía eléctrica, por medio de centros de producción (o conversión de la energía). Las líneas de Transmisión, son los elementos encargados de transmitir o transportar la energía eléctrica desde los centros de generación hasta las Subestaciones de distribución, a través de distintas etapas de transformación de la tensión, por medio de las estaciones de transformación.
1.1.1.1 Sistema de Distribución
El Sistema de Distribución, se compone de los siguientes elementos o subsistemas: 1) Subestación de distribución,
2) Alimentadores o circuitos primarios, 3) Transformador,
4) Red secundaria, y
5) Acometida y equipo de medición.
Los alimentadores (Redes de Distribución), son el conjunto de instalaciones menores a 34.5 kV encargadas de entregar la energía eléctrica a los clientes en niveles de tensión normalizados y en las condiciones de seguridad y calidad establecidas por los reglamentos y normas[42].
1.1.1.2 Procesos sustantivos de un sistema eléctrico.
En los sistemas eléctricos existen procesos sistemáticos para poder proporcionar el suministro adecuado de calidad del fluido eléctrico. Dentro de estos procesos se encuentran la Planeación, el Diseño, la Construcción, la Operación y el Mantenimiento y Control. La figura 1.3 representa a estos procesos de manera secuencial en su ejecución.
Planeación
Diseñar
Construir Operar
Mantener y Controlar
PROCESO
Figura 1.3.- Procesos sustantivos de un sistema eléctrico.
4
1.1.2 Planeación de sistemas eléctricos de distribución
Un sistema eléctrico debe cumplir por lo menos con los siguientes objetivos:
1) Suministrar un servicio con calidad, manteniendo las fluctuaciones de la tensión dentro de los límites permisibles especificados, dentro de las restricciones de medio ambiente, políticas regulatorias y reglamentaciones establecidas.
2) Garantizar una alta continuidad y confiabilidad en el suministro para los usuarios, brindando un servicio a precios competitivos.
Un buen plan de expansión del sistema de distribución, asegurará cumplir los objetivos citados. El proceso de planeación requiere planes de corto y de largo plazo para la expansión del sistema, basados en análisis de ingeniería que incorporen los objetivos principales. El plan a largo plazo es una serie de vistas de “qué pasa sí” del sistema. Un registro escrito del plan de largo plazo evitará acciones inoportunas y la construcción de instalaciones que puedan volverse innecesarias prematuramente[31].
1.1.2.1 Problemas
En la figura 1.4 se muestra los objetivos de la planeación de un sistema de distribución:
Establecer planes ante contingencias
Localización de equipo de seccionamiento y
coordinación de protecciones
Ubicación y tamaño de capacitores en
derivación
Cálculo de la Confiabilidad
Diseño binomio transformador - red
secundaria
Expansión de la red primaria y selección del
calibre Incremento de
capacidad en Subestaciones
U Ubbiiccaacciióónn,,
t taammaaññoo yy c
coobbeerrttuurraa ddee llaa S
Suubbeessttaacciióónn
Pronóstico de la demanda
Recalibración y reconfiguración de
red primaria Determinación del
[image:20.612.170.452.393.671.2]comportamiento eléctrico
Cada problema de la planeación del sistema de distribución tiene una gran importancia. No obstante, es clave como punto de partida haber localizado y dimensionado la subestación de distribución, expandido la red primaria con la respectiva selección económica de su calibre, y haber diseñado el binomio transformador – red secundaria de manera óptima. Una vez logrado esto, se puede garantizar que los problemas restantes impactaran en un grado mínimo.
1.1.2.1.1 Localización, tamaño y cobertura de subestaciones de distribución
Este problema consiste en determinar la localización y la capacidad de transformación de las subestaciones de distribución y establecer su área óptima de servicio, es decir, donde se deben situar los límites entre subestaciones adyacentes en la red de alimentación primaria. El costo de hacer conexiones a la red de subtransmisión también deberá considerarse. El problema consiste en minimizar los costos, que incluyen los costos de capital de la subestación y el costo de pérdidas de potencia y energía en la red de transformadores de alimentación primaria.
En el caso de planear la demanda creciente de carga, el problema será dinámico y requerirá de una decisión sobre el tiempo más apropiado para realizar las instalaciones. En términos matemáticos, este es un tipo especial de problema combinatorio que consiste en seleccionar opciones de un gran número de alternativas. A menudo, se le denomina como el “problema de la mochila” y también sucede en situaciones relacionadas con cargamentos y problemas de localización de fábricas o bodegas. La técnica matemática conocida como el método de ramificación y acotamiento se ha aceptado generalmente como la técnica más eficiente para manejar este problema de optimización.
La localización de la subestación se considera una parte fundamental en la planeación de los sistemas de distribución a largo plazo, dado que éstas son el enlace entre los sistemas de distribución y subtransmisión.
Así mismo, la localización y el tamaño de las subestaciones primarias por lo general se determinan sin considerar detalladamente la red de alimentación primaria, sin embargo, algunos modelos han hecho intentos de una optimización global de subestaciones y segmentos primarios de alimentación[31].
6
1.1.3 La ubicación óptima de subestaciones de distribución desde el enfoque de
sistemas.
El enfoque de sistemas es un método de investigación, una forma de pensar, que enfatiza el sistema total, en vez de sistemas componentes [92]. Con la metodología del enfoque de sistemas
y su panorama ilimitado, se identificará dentro del contexto el problema central de este trabajo: la ubicación óptima de subestaciones de distribución, como se ilustra en la figura 1.5.
[image:22.612.67.542.205.431.2]Plan Nacional de Desarrollo Desarrollo social y humano Crecimiento con calidad Orden y respeto Programa del Sector Eléctrico ‘
Figura 1.5. Enfoque holístico de la ubicación y capacidad óptima de subestaciones.
La ubicación óptima de las subestaciones de distribución es representada como un sistema abstracto. Este Sistema contiene subsistemas o elementos interrelacionados (interrelaciones internas) para lograr el objetivo del sistema. Los subsistemas son:
Subsistema de Condiciones Físicas: Se refiere a las dimensiones mínimas necesarias de un terreno para poder construir una subestación y la posibilidad de encontrar rutas factibles donde se haga pasar las líneas de alimentación (líneas de transmisión) a la subestación. Desde luego, también se observan las condiciones geográficas del lugar que puedan presentar un problema para la ubicación de la subestación, como barrancas, montañas, lagos, ríos, entre otros.
Subsistema de Análisis Técnico: Este subsistema estudia la factibilidad técnica de localizar la subestación en una determinada área. Se toma en cuenta el cálculo de los parámetros que como la regulación de tensión, las pérdidas técnicas de energía, la capacidad operativa del transformador, entre otros.
‘ ‘ ‘ ‘ ‘ Ubicación y capacidad óptima de
Subsistema de Evaluación económica: Cuantifica económicamente el costo total de ubicar una subestación nueva en cada área alternativa.
Subsistema de Impacto Ambiental: Evalúa el impacto ambiental que una subestación efectuaría en regiones donde se cuidan las áreas ecológicas y la estética.
Subsistema de Aspectos legales: Investiga el estado legal como se encuentran los terrenos para adquirirlos y construir la subestación, así como la factibilidad de conseguir derechos de vía de la línea de transmisión que la alimente. También se revisa el derecho de uso de suelo, y en su caso, realizar las gestiones para cambiarlo.
Subsistema Otros. Pueden suscitarse eventualidades que se deben contemplar en alguna zona que se pretenda ubicar subestaciones nuevas, como pueden ser aspectos sociales, políticos, culturales, entre otros.
El sistema pertenece a un entorno bien definido y se interrelaciona (interrelaciones externas) tanto con otros aspectos restantes de la planeación del sistema de distribución (Suprasistema), como con los diversos planes o proyectos del entorno correspondientes a otras empresas e instituciones del propio sector eléctrico y de otros sectores incluyentes holísticamente dentro del Plan Nacional de Desarrollo del País.
8
1.2 Estado del Arte.
La información en la literatura relativa al tamaño y localización óptima de subestaciones es amplia, algunos emplean técnicas de programación matemática, técnicas heurísticas y simulación para resolver el problema. Se describen brevemente a continuación los más relevantes:
Crawford y Holt[13] desarrollaron un modelo de programación lineal utilizando el algoritmo de
transporte para optimizar el área de servicio de cada Subestaciones de Distribución, minimizando el producto de la demanda en una celda y su distancia a la subestación que la alimenta. Previamente, mediante el algoritmo de Dijkstra, calculan los costos asociados al problema de transporte. Este modelo es estático y solo optimiza áreas de servicio.
En los trabajos de Backlund y Bubenkc y Shelton y Mahmoud[85] se utilizan técnicas de
programación entera mixta. El objetivo del modelo es encontrar ubicaciones capacidades y áreas de servicio de Subestaciones de Distribución, para conseguir minimizar la suma de los costos; pero mientras este modelo es estático en el tiempo, el modelo de Shelton y Mahmoud[85]
es dinámico. Este ultimo utiliza un paquete de programación comercial, por lo que es bastante limitado, ya que sólo permite emplear pocas variables y es lento en su ejecución, ya que el algoritmo por ser de tipo general no toma en cuenta la estructura particular del problema.
Masud[61], mediante un proceso iterativo, define áreas óptimas de servicio y optimiza la
capacidad de las subestaciones y su transferencia de carga. El problema de capacidad se formula como un problema binario, mientras el de transferencia de carga como un problema lineal. El modelo resuelve sólo una etapa, no considera la representación de la red primaria y puede manejar hasta 33 alternativas de subestaciones.
Adams y Laughton[1] basan su método en una interpretación del modelo de transporte con costo
fijo para cuya solución utilizan un programa comercial; solo se aplica a pequeños ejemplos.
El modelo de Thompson y Wall[93] determine localizaciones óptimas para Subestaciones de
Distribución empleando un algoritmo de ramificación y acotación; como subproblema soluciona una serie de problemas de transbordo. El modelo trabaja con un máximo de 30 subestaciones y 1500 alimentadores sin considerar su costo fijo.
Un modelo dinámico fue desarrollado por Northcote, Cumming y Wall[67]. La metodología que
modelos interrelacionados con los modelos de la localización de Subestaciones de Distribución y el de alimentadores, proveen soluciones parciales a un modelo de optimación dinámica. Los dos primeros modelos fueron desarrollados por E. Masud[61], y el de alimentadores por Wall[93].
Gonen y Foote[39] y Sun Farris et al[88] formularon un problema de programación entera mixta y lo
resuelven a través de la técnica de Ramificación y acotación. Gonen resuelve un problema con 113 variables y Sun con 200; estas variables representan subestaciones o alimentadores con su costo fijo, pero mientras el modelo de Gonen es estático, el de Sun es pseudodinámico. El modelo de Sun se ejecutó para un problema de 250 nodos y 500 ramas.
Existen otros artículos como el de Baldwin et al, Munasinghe et al[64], Ponnavaikko y Prakasa[72],
que hacen uso combinado de técnicas de optimación y simulación para resolver el problema de planeación de un Sistema de Distribución. Últimamente han aparecido algunas referencias que utilizan las técnicas anteriores, auxiliados por sistemas expertos que aceleran su convergencia. Existen referencias como la de Kagan[48] y Dai Hongwei[15], donde se hace uso de técnicas de
descomposición para problemas a gran escala, empleándose la descomposición de Bender que fracciona los problemas en dos subproblemas principales.
En los artículos anteriores a los 90’s, los estudios reportados manejaban un número muy limitado de variables de decisión. De la década de los 90’s a la actualidad las computadoras se desarrollaron vertiginosamente con posibilidades de solucionar problemas mas complejos y con mayor cantidad de variables. Además, la mayoría de los artículos de 1990 en adelante son dinámicos, es decir, incluyen subproblemas para pronóstico de la carga manejando con esto el tiempo como una variable adicional a las establecidas.
En resumen, la mayoría de los artículos recopilados emplean la Programación Entera Mixta usando la técnica de ramificación y acotamiento, en conjunto con el Problema de Trayectoria más corta y el de Transporte y/o Transbordo. Hay estudios donde solucionaron el problema mediante Búsqueda Heurística. Algunos otros, basados en modelos no lineales utilizan la Programación no lineal, y otros en cuyos modelos integran una gran cantidad de variables, emplearon técnicas de descomposición (Bender, Relajación Lagrangeana o Dantzig Wolfe). Muy Pocos modelos hicieron uso de Algoritmos Genéticos y Sistemas Expertos. En todos los artículos, concuerdan en que la función objetivo sea la minimización de los costos fijos de las instalaciones que resulten óptimas y de los costos variables relativos a la operación y explotación del sistema de distribución.
10
La tabla 1.1 resume las técnicas empleadas por cada referencia (REF) consultada y los objetivos buscados en cada uno de ellas. En la tabla, las abreviaturas significan lo siguiente: número de subestaciones (No. SE), la localización de la subestación (LOC SE), la capacidad de la subestación (CAP SE), el área de servicio (AREA SERV), el tiempo en que se deberá construir una nueva subestación (TIEMPO), la trayectoria de la red de distribución primaria (RUTA RED) y el calibre del conductor del circuito primario de distribución (CAL COND). El número indicado en la columna de referencia (REF), corresponde al número progresivo de referencia de la Bibliografía.
Tabla 1.1
Técnicas empleadas en la planeación de subestaciones de distribución
OBJETIVOS MODELO
REF No.
SE LOC SE CAP SE AREA
SERV TIEMPO
RUTA RED
CAL COND
TÉCNICA ESTÁTICO
DINÁMICO PSEUDODINÁMICO
1 PFR TC + PT ESTATICO
2 PFR TC + PT ESTATICO
3 DINAMICO
4 PEM ESTATICO
7 RH
8 PEM + PT ESTATICO
9 PEM
10 PEM
11 PEM + PFR + PT + TD PSEDODIN
12 PEM DINAMICO
13 PFR + PT
14 PNL DINAMICO
16 PEM + PNL + RH
17 AG ESTATICO
18 PME + PNL + AG ESTATICO
19 TD + RH ESTATICO
20
22 PME + PT DINAMICO
23 RH ESTATICO
24 PNL ESTATICO
26 RH ESTATICO
27 PEM + TD
28 SE + RH
29 PNL PSEUDODI
30 RH ESTATICO
32 PT + PEB DINAMICO
35 DINAMICO
36 PT
37 SE + RH ESTATICO
38 PEM + TDRL DINAMICO
39 PEM PSEDODIN
41 PNL DINAMICO
42 RH
43 PEMNL + TDB
CLAVE:
PFR TC Problema de Flujo en Redes con la Trayectoria más Corta PEM Programación Entera Mixta
PNL Programación No Lineal RH Reglas Heurísticas
PT Problema de Trasporte o Transbordo
TDRL Técnica de Descomposición de Relajación Lagrangeana GRAD Gradiente
TDB Técnica de Descomposición de Bender AG Algoritmo Genético
TF Técnica Fuzzy
1.3 Justificación.
El incremento continuo de la demanda de energía eléctrica y el crecimiento poblacional en áreas urbanas y conurbanas servidas, requieren de un proceso continuo de instalación y construcción de infraestructura como líneas de transmisión, de ampliación o construcción de subestaciones, instalación de alimentadores de distribución, entre otros. Para poder atender a los futuros requerimientos de carga, se necesitan de un buen desempeño sistemático de los procesos de la planeación, el diseño, la construcción, la operación y el control y mantenimiento de las instalaciones de un sistema eléctrico.
La planeación representa la primera etapa de análisis en la elaboración de un programa o plan de actividades durante un periodo de tiempo determinado. Un buen modelo de planeación debe ser totalmente integral.
Uno de los problemas fundamentales en la planeación de los sistemas de distribución es determinar el tamaño y la localización óptima de las subestaciones de distribución, incluyendo la ampliación de las subestaciones existentes, que asegure el abastecimiento del servicio con la carga pronosticada del área bajo estudio. En estas decisiones intervienen también muchos factores como los valores permisibles de operación, la regulación de la tensión, la capacidad térmica de los conductores, las limitaciones geográficas y/o ambientales, los recursos económicos implicados, el uso de suelo, derechos de vía, el impacto social, entre otras, que dificultan la labor de planeación en los sistemas de distribución.
A la fecha, en la planeación de los sistemas de distribución, se emplea una metodología heurística con resultados satisfactorios, pero no se determinan ubicaciones ni tamaños
“óptimos” de Subestaciones de Distribución. Por todo lo expuesto anteriormente, es necesario
establecer un Modelo matemático que determine la localización óptima de Subestaciones de Distribución de la energía eléctrica, cumpliendo con los criterios permisibles de operación, al mínimo costo total y mejorando el rendimiento de los equipos y dispositivos e impactando en una mejor calidad del servicio eléctrico que se brinda al cliente.
12
1.4 Objetivo.
1.4.1 Objetivo General.
Establecer la Localización Óptima de Subestaciones de Distribución de la Energía Eléctrica, considerando los aspectos más relevantes e impactando en una mejor calidad del servicio.
1.4.2 Objetivos Específicos.
)
Establecer las consideraciones necesarias para determinar la Localización Óptima de Subestaciones de Distribución de la Energía Eléctrica (LOSDEE),)
Determinar una metodología que ayude a diseñar en forma óptima un modelo de LOSDEE,)
Formular un modelo matemático de LOSDEE, e1.5 Marco Teórico.
1.5.1 Planeación en los Sistemas Eléctricos de Distribución
La planeación asegura que la empresa no esté solamente apagando fuegos año tras año. Generalmente, se requiere de programas de computadora a fin de realizar estudios amplios para ooppttiimmiizzaarr en forma precisa detalles particulares del sistema sobre bases económicas.
La magnitud y complejidad de las interrelaciones entre las variables que intervienen en la planeación de un sistema de distribución, hacen imposible evaluar exhaustivamente todas las alternativas que se presentan al planificador y diseñador de estos sistemas. El desarrollo de nuevas tecnologías y equipos, el avance de nuevas herramientas y técnicas de análisis matemático, así como la accesibilidad a los equipos de computación para la captación, almacenamiento y procesamiento de la información, permiten automatizar el procedimiento de planeación y diseño de los sistemas de distribución.
La utilización de los SSiisstteemmaassddeeAAppooyyoo aallaassDDeecciissiioonneess nos puede ayudar a incorporar ideas en el proceso de planeación y toma de decisiones. Esta corriente la definen como una extensión de la IInnvveessttiiggaacciióónn ddee ooppeerraacciioonneess.. Por otro lado, la dificultad cada vez mayor de obtener capital para financiar futuras inversiones hace imperativo el empleo de las técnicas de la programación matemática en la planeación para encontrar alternativas óptimas o subóptimas[59].
Retos: A menudo se argumenta que los Sistemas de Distribución sólo pueden ser planeados
mes a mes, porque los requerimientos de conexiones de clientes se conocen con poca anticipación. Ante este escenario de cambios es necesario contar con una base de datos detallada y computarizada, que permita su fácil y pronta actualización. El sistema de distribución cambia continuamente, cada día se conectan nuevos usuarios, es necesario construir nuevas líneas e instalar transformadores. Dado esta dinámica, a su extensión y al número de componentes, llaappllaanneeaacciióónnddeellSSiisstteemmaaddeeddiissttrriibbuucciióónneessnnuumméérriiccaammeenntteemmáássccoommpplleejjaaqquueellaa d
dee oottrrooss ssuubbssiisstteemmaass ddeellsseeccttoorr eellééccttrriiccoo; sin embargo, se emplean en su planeación menos herramientas analíticas que para planear la expansión de la generación o transmisión[59].
1.5.2 Consideraciones para la planeación de Subestaciones de Distribución
La planeación a largo plazo desarrolla una estrategia robusta para atender las necesidades de entrega de potencia, donde las compañías minimicen gastos logrando un bbaallaanncceeóóppttiimmooeennttrree
i
innvveerrssiioonneess ddee ccaappiittaallyy ccoossttooss ooppeerraattiivvooss ddee llaass ppéérrddiiddaass. Un plan robusto que tiene niveles razonables de flexibilidad puede adaptarse a cambios imprevistos[59].
14
1.5.2.1 Tamaño. El tamaño de las subestaciones de distribución está mayormente determinado por las tensión del servicio de distribución y clasificaciones normalizadas de la línea del alimentador[59].
1.5.2.2 Capacidad operativa del transformado en condiciones normales. Los
transformadores de potencia clase distribución, tienen etapas múltiples de enfriamiento con una clasificación de capacidad para cada modo operacional sin exceder un aumento predeterminado en la temperatura del transformador. Operar al transformador fuera del desempeño especificado lo fatigará y acortará su vida[59].
1.5.2.3 Capacidad de sobrecarga del transformador ante Contingencias. Los
transformadores presentan demandas de potencia cíclica. Los transformadores pueden ser “Sobrecargados” seguramente por determinado tiempo ante una emergencia eléctrica sin acortar indebidamente la vida de servicio de la unidad [59].
Transferencia limitada. Se tiene que diseñar un sistema que facilite transferencia de carga de
la subestación sobrecargada hacia subestaciones aledañas dentro de un tiempo asignado, a fin de garantizar la continuidad del servicio al cliente y prevenir interrupciones más prolongadas [59].
1.5.2.4 Expandibilidad vs. Tamaño. El diseño de la subestación deberá tomar en
consideración: la carga inicial esperada, los prospectos de crecimiento de carga, las capacidades de respaldo de otras subestaciones, etc. Estos y otros factores afectan el tamaño de la subestación diseñada y su costo. Si los prospectos para crecimiento tienden hacia arriba, una propiedad adicional puede ser obtenida más tarde para expandir la subestación[59].
1.5.2.5 Localización nueva. Idealmente, una subestación de distribución deberá colocarse en
el centro de carga del área a ser servida. Eléctrica y financieramente, esta debería ser la mejor decisión ya que las pérdidas son minimizadas y las líneas de distribución son óptimamente cortas. Ubicar la subestación ha llegado a ser una negociación delicada que busca el balance para operar eficientemente al más bajo costo y ser un “Buen vecino” del cliente. Puede requerirse colocar una subestación en una lugar mmeennooss óóppttiimmo para preservar el hábitat. La o gente cree que el equipo fácilmente podría estar oculto en una pequeña construcción. Debe contemplarse la accesibilidad para el mantenimiento y para ubicar rutas de distribución de la subestación a los consumidores. La gente prefiere subestaciones pequeñas, cubiertas por vegetación y con muros atractivos. Algunos factores más importantes involucrados en la localización de la subestación son: UUssoo ddee ssuueelloo,, TTaammaaññoo ffííssiiccoo ddee llaa ssuubbeessttaacciióónn,, A
Acccceessiibbiilliiddaadd,, EEssttééttiiccaa –– aammbbiieennttaalleess,, PPoollííttiiccaass llooccaalleess,, EEssttrruuccttuurraa eenn LLíínneeaa AAéérreeaa vvss.. CCaabbllee
S
Suubbtteerrrráánneeoo[59]
.
1.5.2.6 Limitación en las clasificaciones de equipos. Algunos componentes (transformador) deberán dimensionarse para operar en contingencias de carga más críticos, tal que pueda llevar temporalmente la carga transferida de otro transformador fallado. Los interruptores, el bus conductor y otros equipos deberán también dimensionarse para el peor caso de contingencia[59].
1.5.2.7 Desarrollo geográfico de la zona y restricciones eléctricas. Las limitaciones de tipo
físico y eléctrico restringen el número de alimentadores. Los factores eléctricos son: capacidad disponible del sistema de transmisión local; la capacidad del transformador; el voltaje de servicio de distribución y la capacidad de las redes de distribución. Son limitaciones físicas: La disponibilidad de rutas de alimentadores; obstáculos naturales como lagos, ríos, barrancas; las leyes ambientales restringen ciertos cruceros; así como supercarreteras y parques [59].
1.5.2.8 Derechos de vía. El derecho de vía para alimentadores futuros de la subestación
deberá considerarse en las etapas formativas del proyecto de la subestación nueva[59].
1.5.2.9 Respaldo local vs. enlaces de alimentadores. Los alimentadores deberán diseñarse
de forma que brinden respaldo a los consumidores[59].
La figura 1.6 presenta en forma esquemática estas consideraciones necesarias para la planeación de subestaciones de distribución mencionadas anteriormente.
Respaldo local y enlaces entre la red
primaria
Derecho de vía para la red primaria
Desarrollo geográfico de la zona y restricciones eléctricas
Limitación en las capacidades de diseño de los
equipos FFaaccttoorreessppaarraa
u
ubbiiccaarrllaa S
Suubbeessttaacciióónn
Expandibilidad vs.
Tamaño
Capacidad de Sobrecarga ante
Contingencias Capacidad Operativa
en condiciones normales T
Taammaaññoooo C
Caappaacciiddaadd ddee l
laaSSuubbeessttaacciióónn Tensión de
Operación
Consideraciones para la Planeación de Subestaciones de
[image:31.612.144.485.428.642.2]Distribución
Figura 1.6. Consideraciones en la planeación de subestaciones de distribución.
16
1.5.3 Optimización matemática.
“Optimizar” es perfeccionar algo hasta que se logre lo “mejor”. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones, no es posible lograr lo óptimo y se decide aceptar el mejor resultado factible o subóptimo (concepto “satisfizar”). El problema de optimización es ennccoonnttrraarr vvaalloorreess ddee llaass v
vaarriiaabblleess qquuee mmiinniimmiicceenn oo mmaaxxiimmiizzaann llaa ffuunncciióónn oobbjjeettiivvoo mmiieennttrraass ssee ssaattiissffaaggaann llaass r
reessttrriicccciioonneess[43]..
Los problemas de optimización se constituyen por tres ingredientes básicos:
• Una ffuunncciióónnoobbjjeettiivvoo la cual queremos minimizar o maximizar.
• Un grupo de variables o iinnccóóggnniittaassque afectan el valor de la función objetivo.
• Un grupo de rreessttrriicccciioonneess,, donde las incógnitas toman ciertos valores pero excluyen otros.
1.5.3.1. Programación lineal.
El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de forma que debe asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la mmeeddiiddaagglloobbaallddeeeeffeeccttiivviiddaadd. Este tipo de problemas se puede resuelven mediante la aplicación del método simplex
Modelo en notación matricial.
∑
= = n j j jx c Z 1Maximizar …(1.1)
Sujeta a las restricciones:
n j x m i b x a j n j i j ij , , 2 , 1 0 , , 2 , 1 1 K K = ≥ = =
∑
= donde,Z = valor de la medida de le efectividad,
xj = nivel de actividad j (para j = 1, 2, …, n),
cj = incremento en Z obtenido al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j,
bi = cantidad de recurso i para asignar a las actividades (para i=1,2, …, m) y
El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de las actividades, siendo x1, x2, …, xn las variables de decisión. Como se resume en la tabla 1.2, los
valores de cj, biy aij (para i=1,2, …,m y j=1,2, …, n) son las constantes de entrada al modelo[43].
Tabla 1.2
Datos en un modelo de programación lineal – Asignación de recursos a actividades. Consumo de recursos por unidad de actividad
Actividad Recurso
1 2 … n
Cantidad de recursos disponibles
1 a11 a12 … a1n b1
2 a21 a22 … a2n b2
: … … … … :
M am1 am2 … amn bm
Contribución a Z por unidad de actividad c1 c2 … cn
1.5.3.2 Programación no lineal
El problema de programación no lineal consiste en encontrar x=(x1, x2, … , xn) para:
Maximizar f(x), …(1.2)
Sujeta a
gi(x) ≤ bi, para i = 1, 2, … , m
x ≥ 0
donde f(x) y las gi(x) son funciones dadas de n variables de decisión.
No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en algunos casos especiales importantes de este problema[43].
Una forma de clasificar los métodos de solución de la programación no lineal, de manera general, es en algoritmos directos o indirectos. Como ejemplo de los métodos directos están los algoritmos de gradiente y el de combinaciones lineales. En los métodos indirectos, el problema original se sustituye por otro del cual se determina el óptimo. Como ejemplo de estos casos están la programación cuadrática, la programación separable y la programación estocástica.
Algoritmos con restricción. No existe algoritmo general para manejar modelos no lineales,
dado el comportamiento errático de las funciones no lineales. Quizá el resultado mas general aplicable al problema es el de las condiciones KKT. Con los métodos indirectos se resuelve el problema no lineal manejando uno o mas programas lineales derivados del programa original. Los métodos directos manejan el problema en su forma original. Algunos métodos indirectos incluyen la programación separable, cuadrática, geométrica, y estocástica[43].
18
1.5.3.3. La Programación cuadrática
Los problemas de programación cuadrática tienen restricciones lineales, pero la función objetivo f(x) es cuadrática. La única diferencia entre éstos y un problema de programación lineales que algunos términos de la función objetivo incluyen el cuadrado de una variable o el producto de dos variables, es decir, xi2 y xixj (i≠j).
La programación cuadrática es muy importante, en parte por que las formulaciones de este tipo surgen de manera natural en muchas aplicaciones como el problema de la selección de una cartera con inversiones riesgosas[43].
Usando la notación matricial, el problema es encontrar x para
Maximizar f(x) = cx – ½ xT Qx, …(1.3)
sujeta a :
A x ≤ b
x ≥ 0
Donde c es un vector renglón y x y b son vectores columna. Q y A son matrices y el superíndice
T
denota la transpuesta. Las qij (elementos de Q) son constantes dadas tales que qij = qji ( que
es la razón para que aparezca el factor ½ en la función objetivo). Al realizar las multiplicaciones entre vectores y matrices indicadas, la función objetivo se expresa en términos de estas qij, las
cj (elementos de c) y las variables, como sigue:
∑ ∑
∑
= = =
−
=
−
=
ni n
j
j i ij n
j
j j
T
Q
x
c
x
q
x
x
x
cx
x
f
1 1
1
2
1
2
1
)
(
…(1.4)Si i = j en esta doble suma, entonces xi xj = xj2, así – ½ qjj es el coeficiente de xj2. Si i ≠ j,
entonces – ½ ( qij xi xj + qji xj xi ) = -qij xi xj, de manera que –qij es el coeficiente total del
producto de xi y xj.
Se dispone de varios algoritmos para el caso especial de un problema de programación cuadrática en donde la función objetivo es una función cóncava. Uno de estos algoritmos es el
1.6 Marco Metodológico.
[image:35.612.204.388.172.352.2]La metodología empleada en este estudio es una ampliación de la metodología general para realizar un estudio de investigación de operaciones, mostrada en la figura 1.7 y explicada en el cuadro 1.3.
Sistema
(Problemática, mundo real)
Solución Modelo
Decisión
Figura 1.7 Metodología general para un estudio de Investigación de Operaciones.
Tabla 1.3
Metodología General de Investigación de operaciones
Fases Actividades Resultado
1. Modelación Abstracción de la realidad, diagnóstico de la
problemática Modelo Matemático
2.Simulación y/o optimización
Diseño de alternativas de solución Diseño, elección de algoritmos
Solución aproximada del modelo
3.Implementación Pruebas y adecuación de las soluciones Decisiones sobre el sistema 4. Control y
retroalimentación
Diseño de controles sobre los parámetros
del modelo Modelo retroalimentado
La metodología empleada en este estudio de investigación de operaciones, mostrada en la figura 1.8, contiene las siguientes etapas:
1. Definición del problema de interés y recolección de los datos relevantes. 2. Formulación de un modelo matemático que represente el problema. 3. Desarrollo de un procedimiento para derivar una solución al problema 4. Prueba del modelo y mejoramiento.
5. Preparación para la aplicación del modelo prescrito. 6. Implantación[43].
20
Implantación
Preparación
Prueba Desarrollo de un procedimiento
Formulación del modelo Definición
[image:36.612.206.393.95.263.2]del problema
Figura 1.8 Metodología empleada.
1.6.1. Definición del problema.
La mayor parte de los problemas prácticos que enfrenta unequipo de investigación de operaciones es su descripción, al principio de una manera vaga e imprecisa. La primera actividad a realizar es estudiar el sistema relevante y desarrollar un resumen bien definido del problema por analizar, que incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc[43].
1.6.2. Formulación de un modelo matemático.
Se construye un modelo matemático entérminos de símbolos con sistemas de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que represente la esencia del problema. El modelo matemático puede expresarse entonces como el problema de elegir los valores de las variables de decisión de manera que se maximice la o minimice la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. El modelo matemático describe un problema en forma mucho mas concisa, ayuda a revelar las relaciones importantes causa-efecto e indica con claridad que datos adicionales son importantes para el análisis. También, facilita el manejo del problema en su totalidad y al mismo tiempo el estudio de sus interrelaciones. Por otro lado, un modelo es una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y suposiciones de simplificación si se desea que el modelo sea susceptible de resolverse[43].
