Estudio de Dificultades y Errores en Estudiantes de Grado Décimo en la Resolución de Problemas Trigonométricos

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(1)ESTUDIO DE DIFICULTADES Y ERRORES EN ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS. NUBIA PAOLA VEGA VARGAS YEISON ANDRÉS GUERRERO OSORIO. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C., MAYO 2016.

(2) ESTUDIO DE DIFICULTADES Y ERRORES EN ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TRIGONOMÉTRICOS. NUBIA PAOLA VEGA VARGAS Código. 20112145003 YEISON ANDRÉS GUERRERO OSORIO Código 20112145036. Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar por el título de Licenciado(a) en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas. Director: JOSÉ TORRES DUARTE Magister en Docencia. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C., MAYO 2016.

(3) Nota de aceptación ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________. Firma del director José Torres Duarte. ________________________________. Firma del evaluador Edwin Alfredo Carranza. ________________________________.

(4) Agradecimientos Agradecemos a nuestros padres por creer en nosotros y ofrecernos su incondicional apoyo en el transcurso de nuestra carrera universitaria. Agradecemos a nuestro director de trabajo de grado José Torres por su gran colaboración y apoyo a lo largo de la realización de este trabajo..

(5) Dedicatoria Este trabajo está dedicado a todas las personas que nos ayudaron a crecer como personas y docentes en este largo camino. Especialmente a nuestros padres, y amigos que siempre nos apoyaron en el transcurso de nuestra vida universitaria..

(6) Resumen El presente trabajo de grado se desarrolló con el fin de identificar y clasificar los errores y dificultades trigonométricas que presentan los estudiantes de grado décimo, específicamente abordando situaciones problema de resolución de triángulos, utilizando una metodología de análisis cualitativa, transitando por las fases de investigación, identificación del problema, diseño, validación, aplicación, recolección y análisis de resultados, base para la categorización y posterior análisis de los errores y dificultades encontrados. Para el análisis de los resultados se utilizó uno de los organizadores curriculares que plantea Socas (1997) Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la educación secundaria, el cual nos permitió identificar el origen dichos errores, plantear nuevas categorías y finalmente concluir cuales son los principales errores y dificultades que presentan los estudiantes al resolver problemas de este tipo.. Palabras clave Dificultad, error, situación problema, resolución de problemas, resolución de triángulos..

(7) Contenido INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 9 PROBLEMA ............................................................................................................................. 10 OBJETIVOS .............................................................................................................................. 11 General ................................................................................................................................... 11 Específicos ............................................................................................................................. 11 JUSTIFICACIÓN ...................................................................................................................... 12 MARCO TEÓRICO .................................................................................................................. 13 Dificultades ............................................................................................................................ 13 Errores .................................................................................................................................... 14 Resolución de problemas ....................................................................................................... 15 Relación entre dificultades y errores ..................................................................................... 16 Relación resolución de problemas dificultades y errores ...................................................... 17 Teorema de Pitágoras ............................................................................................................. 19 Semejanza de triángulos ........................................................................................................ 20 Teorema del seno y el coseno ................................................................................................ 21 METODOLOGÍA...................................................................................................................... 22 Metodología de investigación ................................................................................................ 22 Fases de la investigación ........................................................................................................ 23 Cronograma ........................................................................................................................... 24 Diseño de la Prueba. .............................................................................................................. 24 Validación de la prueba ......................................................................................................... 30 Aplicación de la prueba ......................................................................................................... 31 ANÁLISIS ................................................................................................................................. 31 Categorías de análisis............................................................................................................. 31 Recolección y análisis de resultados ...................................................................................... 34 CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 71 Bibliografía ................................................................................................................................ 74 Anexos ....................................................................................................................................... 74.

(8) Lista de Tablas Tabla 1 Relación de resolución de problemas Schoenfeld (1992) con dificultades. ................. 19 Tabla 2 Cronograma de actividades. ......................................................................................... 24 Tabla 3 Ejemplos de categoría A1. ............................................................................................ 32 Tabla 4 Ejemplos de la categoria A2 ......................................................................................... 32 Tabla 5 Nomenclatura de evidencias. ........................................................................................ 34 Tabla 6 Errores relacionados con la dificultad A ...................................................................... 43 Tabla 7 clasificación de errores asociados a la dificultad A...................................................... 44 Tabla 8 Errores relacionados con la dificultad B ...................................................................... 57 Tabla 9 clasificación de errores asociados a la dificultad B ...................................................... 58 Tabla 10 Emociones pregunta 1 entrevista ................................................................................ 61 Tabla 11 Emociones pregunta 2 entrevista ................................................................................ 62 Tabla 12 Emociones pregunta 3 entrevista ................................................................................ 63 Tabla 13 Emociones pregunta 4 entrevista ................................................................................ 65 Tabla 14 Emociones pregunta 5 entrevista ................................................................................ 65 Tabla 15 Emociones pregunta 6 entrevista ................................................................................ 66 Tabla 16 Emociones pregunta 1 encuesta.................................................................................. 66 Tabla 17Emociones pregunta 2 encuesta................................................................................... 67 Tabla 18 Emociones pregunta 3 encuesta.................................................................................. 67 Tabla 19 Emociones pregunta 4 encuesta.................................................................................. 68 Tabla 20 Emociones pregunta 5 encuesta.................................................................................. 69 Tabla 21 Emociones pregunta 6 encuesta.................................................................................. 69 Tabla 22 clasificación de errores asociados a la dificultad C .................................................... 70 Lista de Ilustraciones Ilustración 1Relación entre dificultades y errores ..................................................................... 17 Ilustración 2 Autores de resolución de problemas y sus fases .................................................. 18.

(9) 9 INTRODUCCIÓN El presente trabajo de grado busca profundizar en el estudio de dificultades y errores que se pueden presentar en trigonometría, específicamente al tratar de resolver problemas en los que se hagan necesarios encontrar alguno o algunos elementos de triángulos. Esta idea nace de una práctica de aula desarrollada en una institución educativa de Bogotá, donde al abordar este tema y tratar de hacer su posterior análisis se identificó la poca documentación existente respecto a los errores y dificultades que los estudiantes pueden tener al resolver problemas en los cuales tengan que hacer uso de la trigonometría. Se proponen unas posibles categorías de análisis basado en Socas (1997) las cuales son: dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos, asociadas a los procesos de pensamiento matemático y asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. que buscan identificar el origen de las dificultades y errores que se dan en la resolución de problemas trigonométricos, se considera que en el marco de la educación matemática actual no tiene sentido realizar un análisis de errores y dificultades aislando la resolución de problemas, sino que al contrario es fundamental realizar el análisis en contextos problémicos, partiendo de esta idea se realiza el diseño de tres pruebas diferentes que abarcan la semejanza de triángulos, el teorema de Pitágoras y el teorema del Seno y del Coseno, conceptos fundamentales para la resolución de cualquier tipo de triángulo. En el presente documento reportaremos desde el planteamiento del problema asociado a los errores encontrados al abordar problemas de resolución de triángulos, como también la justificación del desarrollo del trabajo y unos objetivos que marcaron el rumbo del presente trabajo Este trabajo se sustenta con un marco teórico donde se reflejan los aspectos más importantes como los errores y dificultades en la matemática, pero también referentes teóricos que definen algunos conceptos matemáticos que se involucran en las situaciones problema, además se presenta el diseño metodológico por fases mostramos las pruebas realizadas, categorías de análisis y una relación entre los errores evidenciados y la teoría que los sustenta, finalmente se plantea un análisis general de los datos y las conclusiones a las que se llegaron con el desarrollo de la presente monografía..

(10) 10 PROBLEMA Como docentes en formación y futuros docentes investigadores, es de gran importancia tener las bases necesarias para analizar los resultados obtenidos antes y después de realizar actividades didácticas en clase, lo ideal sería apoyarse en la teoría existente para identificar y clasificar, por ejemplo, los errores y dificultades que presentan los estudiantes al abordar un problema a partir de la metodología resolución de problemas, posteriormente realizar una planeación y diseño de actividades que potencialicen los conocimientos de los estudiantes y ayuden a superar estos errores y dificultades. Con esta idea el problema a tratar en la presente monografía nació en una de las prácticas intermedias del proyecto curricular LEBEM, ya que a lo largo de la carrera hemos observado que un aspecto importante para cualquier profesor no solo es diseñar actividades de enseñanza aprendizaje, sino también reflexionar sobre los resultados obtenidos al aplicar estas mismas, en la práctica intermedia III (énfasis de gestión en el aula) del periodo 2014-1, desarrollada en grado décimo del colegio OEA, se asignó el trabajo con resolución de triángulos, para abordarlo se utilizaron las metodologías de situaciones didácticas de Brousseau y resolución de problemas, pero al intentar, realizar el análisis de los resultados obtenidos específicamente al buscar teoría que sustente los errores y las dificultades que presentan los estudiantes al abordar este tema, nos encontramos con un gran vacío: la poca y limitada información de la clasificación de los errores y dificultades cuando hablamos de trigonometría. Por esta razón, la idea de este trabajo se centró en poder aplicar actividades y situaciones problema que involucren el tema de resolución de triángulos como tema fundamental de la trigonometría en grado décimo y poder desarrollar una clasificación y análisis de dichos errores y dificultades que presentan los estudiantes al abordar este tipo de problemas matemáticos. De aquí se generó la pregunta: ¿Cuáles son los errores y dificultades (E-D) que presentan los estudiantes en el abordaje y resolución de situaciones problema que involucren la resolución de triángulos en grado décimo?.

(11) 11 OBJETIVOS General Realizar una clasificación y análisis de los E-D que presentan los estudiantes de grado décimo al trabajar problemas de resolución de triángulos a partir de la metodología resolución de problemas. Específicos ● Diseñar un instrumento para identificar y clasificar los E-D presentes al abordar la resolución de triángulos. ● Realizar una clasificación de los E-D encontrados en el desarrollo del instrumento. ● Analizar el origen de los E-D presentes en procesos de enseñanza aprendizaje de resolución de triángulos..

(12) 12 JUSTIFICACIÓN La identificación y clasificación de los errores y dificultades (E-D) que presentan los estudiantes ante determinado objeto matemático, es fundamental para cualquier profesor al realizar las planeaciones de sus prácticas, ya que estas se diseñan de tal manera que ayuden a superarlos, según (Socas ,1997) las dificultades que se presentan en los estudiantes tienen distintos orígenes que pueden ser agrupados en cinco categorías: las que provienen de la complejidad del objeto matemático, las asociadas a los procesos de pensamiento matemático, las que se dan debido al proceso de enseñanza de las matemáticas, las que están ligadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos y por último, las relacionadas con actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas. Este trabajo se desarrolló y abordo tres de estas cinco categorías ya que lo que se busca es realizar una clasificación y análisis de E-D que pueden presentar los estudiantes en cualquier aula de clase, es decir los que se originan por la complejidad del objeto matemático, por los procesos de pensamiento matemático y las asociadas a las actitudes afectivas y emocionales; por tanto no se tendrán en cuenta las ligadas a aspectos didácticos o NEES que presenten los estudiantes. Al indagar en la teoría sobre los E-D presentes en los estudiantes en procesos de enseñanza aprendizaje de la trigonometría, encontramos varias propuestas de enseñanza en las cuales los abordan de manera específica, es decir, como resultado de la aplicación de una secuencia de actividades en las cuales simplemente se mencionan estos mismos y no el ¿Por qué se presentan? o ¿Cuál es su origen?, por otra parte al indagar en textos de didáctica de las matemáticas como: invitación a la didáctica de la geometría, encontramos que tampoco existe una clasificación de estos y se abordan de una manera muy general, como asociándolos con los niveles planteados por Van Hiele, también encontramos un artículo reciente de Escudero y Domínguez (2014) en el cual se evidencia una clasificación de forma general de los errores en el aula de bachillerato, allí presentan algunos errores frecuentes al trabajar trigonometría de manera superficial con algunos ejemplos, por esto consideramos necesario analizar y categorizar los E-D para brindar una base a los docentes a la hora de diseñar y reflexionar sobre sus prácticas educativas..

(13) 13 MARCO TEÓRICO Dificultades El aprendizaje de las matemáticas genera dificultades en los alumnos (Socas, 1997), estas dificultades pueden tener diversos orígenes los cuales están ligados con la complejidad de un objeto matemático, con los procesos de enseñanza o con procesos cognitivos o afectivos de los estudiantes; las dificultades a medida de la práctica se convierten en obstáculos y en los estudiantes se presentan en forma de errores. Socas (1997) estructura las dificultades mediante la agrupación en cinco categorías, las dos primeras hacen referencia a la disciplina como tal "objetos matemáticos y procesos de pensamiento, la tercera ligada a los procesos de enseñanza de las matemáticas, la cuarta en conexión con los procesos cognitivos de los alumnos y una quinta, relacionada con la falta de una actitud racional hacia las matemáticas (Socas, 1997 pág. 126)" Las dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos, se dan básicamente por la forma en cómo se comunican los objetos matemáticos; es decir la combinación del lenguaje nativo con el lenguaje matemático, se pueden generar dificultades debido al uso de términos comunes para hacer referencia a conceptos matemáticos o al usar palabras propias de las matemáticas, las cuales son poco frecuentes en la cotidianidad del estudiante lo cual genera una dificultad; otra dificultad que se puede presentar es cuando la palabra tiene el mismo significado en los dos contextos, entonces el estudiante podría pensar que el término tiene otro significado en las matemáticas. Las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático están representadas en la naturaleza de la lógica matemática, es decir, tal como lo propone Socas (1997) siempre ha existido un temor en cuanto a los aspectos deductivos formales, esto ha generado que las demostraciones formales hayan sido eliminadas de los currículos de matemáticas de secundaria de algunas instituciones, sin embargo es necesario que como docentes reflexionemos sobre este tipo de posturas ya que "los modelos implícitos que generan ciertos modos de pensamiento se convierten en dificultades para el proceso en el conocimiento matemático (Socas, 1997 pág. 133)" entonces de acuerdo a lo propuesto por este autor algunas cosas no se pueden evitar. Pero es nuestro papel como docentes prevenir este tipo de dificultades evidenciadas en los errores..

(14) 14 En lo relacionado a la institución, al currículo, a los métodos de enseñanza se observan las dificultades asociadas a los procesos de enseñanza, es necesario que la institución tenga una organización mediante la cual se busque la reducción de las dificultades que se puedan presentar en el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, para esto resulta indispensable tener en cuenta los recursos, las estructuras, la formación, la capacitación entre otras cosas. Para las dificultades asociadas al desarrollo cognitivo de los alumnos, es necesario considerar aspectos relacionados a la naturaleza de los procesos para de esta forma conocer el nivel de; dificultades, posibles formas de realizar acciones y respuestas (esto es esperado por parte del estudiante); en cuanto a las actitudes afectivas y emocionales, el autor (Socas, 1997) propone que es necesario reconocer el temor que existe hacia y por las matemáticas (por parte de los alumnos) lo cual es considerado como una dificultad que se puede presentar en este proceso ya que los estudiantes se enfrentan a miedos y/o temores lo cual ya es una barrera para el aprendizaje de estas. Errores Los estudios realizados sobre errores en matemáticas según Socas (1997) busca hacer un abordaje de los mismos considerando el papel de estos errores en el conocimiento matemático como algunos procedimientos erróneos, aprovechables didácticamente. Lakatos citado por Socas; M (1997) muestra como las discusiones de los errores encontrados en algunas teoría dejan hacer transformaciones para el enriquecimiento de las mismas. Pues esto permitiría explicar el desarrollo de algunos conceptos y el surgimiento de unas nuevas teorías. Y es importante resaltar que destacados investigadores matemáticos como lo es Cauchy tuvo diferentes errores que se dieron no por falacias sino por la inadecuada interpretación de lo que plateaba. Pero aun así Lakatos tuvo otra concepción de los errores como" concepciones limitadas." Siendo este el auge de la historia de las matemáticas. Sin embargo esta difiere de los errores que presentan los estudiantes puesto que muchos de éstos pueden explicarse a través de los métodos que ellos desarrollan con el tiempo, siendo dichos métodos válidos en algunos casos solamente. Con frecuencia tenemos en Aritmética, Álgebra o Geometría demostraciones aparentemente correctas pero que chocan con la intuición y el sentido común: Son curiosidades o acertijos como: Puedo probar matemáticamente que “4 es igual a 5”..

(15) 15 Una gran variedad de errores son posibles de encontrar cuando de demostraciones se trata, pero en el contexto escolar puede aprovecharse en el abortamiento de las diferentes propiedades que allí están ocultas. Donde lo que se busca es plantear el propio error como un problema matemático. De los errores que se pueden presentar los estudiantes, se realiza una clasificación como plantea Socas (1997): 1. Errores que tienen su origen en ausencia de sentido, en este caso se diferencian tres errores de etapas distintas. ● Errores del álgebra que tienen su origen en la aritmética. ● Errores de procedimientos, el uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de procedimientos”. ● Errores de álgebra debidos a las características propias del lenguaje algebraico. Se diferencian de la primera etapa de errores siendo de naturaleza algebraica a causa de su amplio campo de aplicaciones, que se manifiesta en diferentes procesos matemáticos, tales como: generalización, simplificación, eliminación, complicación estructural y particularización 2.. Errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales.. Resolución de problemas ¿Qué se entiende por resolución de problemas? no existe un acuerdo sobre que es la resolución de problemas matemáticos, dependiendo de las concepciones y posiciones filosóficas que se tengan esta puede tomar diversos significados. Para este trabajo nos basaremos en la concepción de (Andalucía 2010): La resolución de problemas debe entenderse como la esencia fundamental del pensamiento y el saber matemático; y en este sentido, ha de impregnar e inspirar todos los conocimientos que se vayan construyendo en esta etapa educativa, considerándose como eje vertebrador de todo el aprendizaje matemático y orientándose hacia la reflexión, el análisis, la concienciación y la actitud crítica ante la realidad que nos rodea. Tanto en la vida cotidiana como respecto a los grandes problemas que afectan a la humanidad (pág. 2)..

(16) 16 De acuerdo con el autor creemos que la resolución de problemas recoge todos los procesos de interpretación, representación y abstracción de un objeto matemático, siendo una actividad que potencia el desarrollo de estrategias heurísticas y algorítmicas fundamentales no solo en el campo de la matemática si no en cualquier otro contexto. Resolver problemas significa encontrar un camino para salir de una dificultad, para sortear un obstáculo, para alcanzar un objetivo que no sea inmediatamente alcanzable. Resolver problemas es una empresa específica de la inteligencia y la inteligencia es el don específico de los humanos: se puede considerar la resolución de problemas como la actividad más característica del ser humano (D´Amore, 2010 Pág. 20) La resolución de una situación problema no tiene caminos inmediatos, al enfrentaros a un problema muchas veces podemos tomar caminos equivocados, encontrar dificultades cometer errores etc. Lo cual nos ayuda a fortalecer nuestros procesos de razonamiento, y representación fundamentales para llegar a la comprensión de un objeto matemático. Relación entre dificultades y errores Como bien sabemos y como lo plantea Socas (1997) los errores que se presentan al abordar un problema matemático tienen origen por la ausencia de sentido que lo relacionamos con las dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos y los procesos de pensamiento matemático y los errores que tienen origen en actitudes afectivas y emocionales. Por esta razón proponemos la siguiente ilustración donde presentamos la relación que existe entre los errores y las dificultades..

(17) 17. Asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos. Dificultades. Asociadas a los procesos de pensamiento matemático. Asociadas a las actitudes afectivas y emocionales. Errores que tiene origen en la ausencia de sentido. Errores que tiene origen en actitudes afectivas y emocionales. Ilustración 1Relación entre dificultades y errores. Relación resolución de problemas dificultades y errores Para poder relacionar las dificultades con la resolución de problemas, el presente trabajo propone evidenciar la estructura de la resolución de problemas y cómo en esta estructura se reflejan las diferentes dificultades (asociados a la complejidad de los objetos matemáticos, asociados a los procesos de pensamiento matemático y asociadas a las actitudes afectivas y emocionales), además entendiendo los errores con origen en las dificultades estos pueden aparecer en cualquiera de las fases que se proponen. Para identificar las principales características de la resolución de un problema matemático en el aula, Polya (1945) plantea cuatro fases en la que se desarrolla la resolución de problemas; comprensión o interpretación del problema, planificación, ejecución del plan y supervisión, estas fases se han conservado y algunos autores han renombrado pero han mantenido una estrecha relación, en este sentido Schoenfeld (1992), propone una.

(18) 18 caracterización o categorización de las fases que determinan el éxito o fracaso en los procesos de resolución de problemas.. Ilustración 2 Autores de resolución de problemas y sus fases. Partiendo de los diferentes procesos que hacen parte de cada fase, y según las categorías propuestas para las dificultades, se puede evidenciar elementos coincidentes, por lo que se propone la siguiente relación: ● Los elementos constitutivos de las dificultades asociados a la complejidad de los objetos matemáticos se reflejan en la fase uno y dos ● Los elementos constitutivos de las dificultades asociados a los procesos de pensamiento matemático se reflejan en la fase tres. ● Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales que se reflejan en todas las fases.

(19) 19 Por lo anterior el cuadro propuesto según lo dicho se presenta de la siguiente manera apoyándonos en los elementos que propone Schoenfeld (1992). Fase 1. Fase 2. Fase 3. Fase 4. Conocimiento o recursos básicos que incluye definiciones, hechos, fórmulas, algoritmos y conceptos fundamentales asociados con un dominio matemático particular o tema.. Estrategias cognitivas o heurísticas que involucran formas de representar y explorar los problemas con la intención de comprender los enunciados y plantear caminos de solución. Algunos ejemplos de estas estrategias son dibujar un diagrama, buscar un problema análogo, establecer sub-metas, descomponer el problema en casos simples.. Las estrategias metas cognitivas que involucran conocimiento acerca del funcionamiento cognitivo propio del individuo (¿Qué necesito? ¿Cómo utilizo ese conocimiento?) y estrategias de monitoreo y control del propio proceso cognitivo (¿Qué estoy haciendo? ¿Por qué lo hago? ¿A dónde voy?).. Las creencias y componentes afectivos que caracterizan la conceptualización del individuo acerca de las matemáticas y la resolución de problemas, y la actitud y disposición a involucrarse en actividades matemáticas.. Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos. Esta fase se ve reflejada en todo el proceso de interpretación y resolución de problemas. Dificultades asociados a los procesos de pensamiento matemático. Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales Tabla 1 Relación de resolución de problemas Schoenfeld (1992) con dificultades.. Teorema de Pitágoras Históricamente según Piñero y Otros (1998), el teorema de Pitágoras fue descubierto mucho antes de la Grecia Clásica, probablemente relacionados con problemas de agrimensura relativa a un problema probablemente de áreas de cultivo. Una de las demostraciones más importante de este teorema es la proposición 47 del libro I, de Los Elementos de Euclides “en los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrado de los lados que comprenden el ángulo recto” además de ser relevante para el desarrollo y la enseñanza para nuestro objeto matemático ya que en este se observan relaciones de semejanza entre triángulos y congruencia entre ángulos.

(20) 20 El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores que conforman el ángulo recto del triángulo). De esta manera el teorema de Pitágoras es un concepto fundamental para la resolución de triángulos rectángulos ya que nos ayuda a encontrar la hipotenusa o un cateto faltante de un triángulo de este tipo, los casos que se pueden presentar son: -. Dados los dos catetos averiguar la hipotenusa del triángulo. -. Dado un cateto y la hipotenusa averiguar el cateto faltante. Semejanza de triángulos Según Piñeiro & otros (1998) Cuando hablamos de semejanza nos referimos a figuras de distintos tamaños pero con la misma forma, por ejemplo todos los cuadrados y triángulos equiláteros son semejantes entre sí, los triángulos semejantes se define como, “los que tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes proporcionales” (Piñeiro & otros, 1998 pág. 56) De esta definición surge la pregunta ¿Cómo saber o garantizar que dos triángulos son semejantes? De la cual surgen los criterios de semejanzas, se utiliza el Teorema de Tales con.

(21) 21 los que se puede establecer relaciones entre los triángulos y por tanto averiguar medidas de segmentos desconocidos.. Como se ve en la imagen los triángulos AFB y CDH son semejantes por tanto guardan una misma razón entre sus lados, de esta manera se puede establecer la medida de los lados faltantes. Teorema del seno y el coseno El teorema del seno y del coseno nos ayuda a resolver cualquier tipo de triángulo dependiendo los datos que tengamos de este mismo. El teorema del seno establece que: “en cualquier triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Además la razón de proporcionalidad es igual a la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita (Piñeiro & otros 1998 pág. 192) 𝑎 𝑏 𝑐 = = 𝑆𝑒𝑛 𝐴 𝑆𝑒𝑛 𝐵 𝑆𝑒𝑛 𝐶 El teorema del coseno establece que en todo triángulo ABC se verifica: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∗ cos(𝐴) 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎² = cos(𝐴) 2𝑏𝑐 Para utilizar cualquiera de estos teoremas es necesario que el problema suministre al menos tres datos del triángulo de esta manera se pueden presentar cuatro posibles casos de resolución de triángulos los cuales son: . Dados 3 ángulos. . Dados dos lados y el ángulo que los comprende. . Dados dos lados y el ángulo opuesto a estos. . Dado un lado y dos ángulos.

(22) 22. METODOLOGÍA En el trabajo de la recolección, análisis y categorización de los errores y dificultades que surgen en la resolución de problemas trigonométricos, específicamente en la resolución de triángulos. Se llevó a cabo el diseño, validación y recolección de datos, por medio de situaciones problema que permitieron evidenciar posibles dificultades y errores, para lo cual nos basamos en la siguiente metodología y cronograma de actividades. Utilizamos los procedimientos y razonamientos que llevan a cabo 95 estudiantes durante la resolución de diferentes situaciones problema relacionadas con la resolución de triángulos, en un instrumento propuesto basado en tres situaciones problema para detectar los errores en que incurren y las dificultades que encuentran en su ejecución. Además se aplicó una entrevista y encuesta enfocada a determinar las actitudes afectivas y emocionales que tienen los estudiantes frente a la matemática y si por esta razón los estudiantes incurren en errores que se relacionen con esta dificultad. Metodología de investigación La metodología que se emplea es cualitativa ya que está: “Estudia la realidad en su contexto natural, tal y como sucede, intentando sacar sentido de, o interpretar los fenómenos de acuerdo con los significados que tienen para las personas implicadas. La investigación cualitativa implica la utilización y recogida de una gran variedad de materiales—entrevista, experiencia personal, historias de vida, observaciones, textos históricos, imágenes, sonidos – que describen la rutina y las situaciones problemáticas y los significados en la vida de las personas” (Gómez, Flores, & Jiménez, 1996) Dado que en la investigación realizada, se pretendió analizar los errores de los estudiantes que estuvieron sujetos no solo a los procesos cognitivos sino a su contexto cultural, social y a la misma naturaleza de las matemáticas, por esto se buscó recolectar información real que nos permita describir los E-D presentes en los procesos de enseñanza aprendizaje de la resolución de triángulos en la trigonometría..

(23) 23 Fases de la investigación Fase 1: Identificación del problema. El problema surgió de una experiencia de enseñanza con grado décimo 10°, en la cual se identificó la falta de referentes para el análisis didáctico de los procesos de enseñanzaaprendizaje de los estudiantes, específicamente en el análisis de E-D que se presentaron, ya que en el análisis bibliográfico de los errores y dificultades presentes en la resolución de triángulos no se encuentra la adecuada información y clasificación que ayude a los docentes a diseñar actividades para superar estos mismos, por esto surge el interés de analizar y categorizar estos posibles E-D. Fase 2: Diseño de la prueba. Para abordar, identificar y clasificar los E-D se diseñó un instrumento teniendo en cuenta la categorización de estos mismos partiendo de su naturaleza, de tal manera se buscó identificar, analizar y categorizar los E-D que presentan los estudiantes al abordar la resolución de triángulos en la trigonometría, este instrumento se aplicara a estudiantes de grado décimo de manera grupal de esta manera se busca tener suficiente información para realizar procesos de clasificación y análisis de los E-D. Fase 3: Validación de la prueba. Para el proceso de validación de la prueba se recurrió a la aplicación de esta misma en una comunidad académica LEBEM con el fin de identificar posibles errores, gramáticos, estructurales y de contenido que pueda tener esta misma. Fase 4: Aplicación de la prueba. La prueba se aplicó dos sesiones la primera en el colegio parroquial la asunción en grado décimo a 27 estudiantes y la segunda en el colegio claretiano el libertador en dos cursos de grado décimo a 68 estudiantes, los estudiantes se organizaron en grupos de dos y tres integrantes y se les asigno uno de los tres problemas planteados. Para la primera sesión se escogieron 6 estudiantes de manera aleatoria para realizar una entrevista, para la segunda sesión se tomó un grupo de 30 estudiantes a los que se aplicó la encuesta sobre las emociones desarrolladas en el proceso de resolución del problema asignado. Fase 5: Recolección de datos Para la recolección de datos se utilizaron los apuntes y procesos realizados en lápiz y papel por los estudiantes, las grabaciones durante los procesos de resolución, posibles.

(24) 24 discusiones y finalmente las entrevistas y encuestas realizadas a estudiantes escogidos de manera aleatoria. Fase 6: Análisis de datos obtenidos En el proceso de análisis de los resultados obtenidos se relacionaron los errores y dificultades que los estudiantes tuvieron en los procesos de resolución de problemas con las categorías planteadas, además se analizó el surgimiento de categorías no contempladas por los autores utilizados como referentes. Fase 7: Conclusiones Se da respuesta a la pregunta de investigación, a los objetivos planteados para el desarrollo del trabajo. Cronograma Actividades. febrero. marzo. abril. mayo. Antecedentes “teóricos” Presentación de antecedentes Diseño de las pruebas Validación de las pruebas Aplicación de las pruebas Recolección de datos Análisis de datos Conclusiones Correcciones trabajo final. y. ajustes. al. Presentación del trabajo final Tabla 2 Cronograma de actividades.. Diseño de la Prueba. Para el diseño de la prueba se crearon tres situaciones problema que abarcan los tres conceptos matemáticos fundamentales para la resolución de triángulos los cuales son: semejanza de triángulos, teorema de Pitágoras, teorema del seno y del coseno. En el diseño de estas pruebas se tuvo en cuenta: ● El lenguaje común y el contexto de los estudiantes..

(25) 25 ● El lenguaje matemático (palabras propias de la trigonometría y la geometría). ● Las representaciones gráficas y simbólicas de los objetos matemáticos involucrados. ● Los posibles procedimientos algebraicos para la solución de cada problema. ● El trabajo en grupo. ● Las emociones, actitudes y concepciones que pueden tener los estudiantes ante la resolución de una situación problema. Situaciones relacionas con la dificultad 1 y 2. El metro de Bogotá Juan es un ingeniero que ha planteado una propuesta de metro para Bogotá con estaciones representadas con. y las líneas entre estaciones representadas con. así. como se observa en la siguiente imagen.. Las relaciones entre las líneas del metro que propone son: . Centro-Soacha es perpendicular a Soacha-Usme. . Centro-Fontibón es perpendicular a Soacha-Norte. . Fontibón–Norte es perpendicular a Norte-Chía. Juan debe entregar el plano terminado con la medida de las distancias de las líneas de estación a estación, pero solamente ha realizado dos medidas:.

(26) 26 Usme-Centro = 15 Km Soacha-Centro= 12 Km Para las demás medidas solo tiene la siguiente información: . La medida del Centro-Fontibón es la mitad de la medida de Soacha-Usme.. . La medida del Norte-Centro es de dos terceras partes de la medida de Fontibón a Soacha.. . La medida del Norte-Chía es igual a la suma de Norte–Centro con Centro-Fontibón.. 1. Ayúdenle a Juan a calcular las medidas para cada una de las líneas del metro. 2. A Juan le piden realizar una nueva estación de metro con nombre Kennedy, ésta debe estar situada entre la línea Soacha–Centro, de tal manera que su ubicación sea (1/3) de la distancia de Soacha-Centro desde Soacha, con el fin de comunicar la estación Usme con la nueva estación Kennedy, ¿cuál será la longitud de esta nueva línea? El centro comercial En el centro comercial se realiza una nueva distribución de los locales, como se ve en el siguiente plano, además se ubican dos senderos peatonales que cumplen con las siguientes condiciones: . El sendero peatonal 1 de 10 m de longitud es perpendicular al camino de los baños y al. camino del parqueadero. . El sendero peatonal 2 es perpendicular al camino a la Salida/Entrada 3.. 1. Andrea y José se encuentran en el centro comercial. Andrea empieza su recorrido en la Salida/Entrada 2, pasa por el punto de información, luego por los baños y finalmente se devuelve por el sendero peatonal 2, José empieza su recorrido en la Salida/Entrada 2.

(27) 27 pasa por la Salida/Entrada 3 luego por los baños y se devuelve por el sendero peatonal 2.. José dice: -. El recorrido que hice fue más corto que el que hizo Andrea.. Pero Andrea dice: -. No es cierto.. ¿Quién tiene la razón? ¿Por qué? 2. Pedro y Juan tiene una discusión sobre el pago de arriendo más justo. Pedro sostiene que debe pagar la mitad de lo que paga Juan, porque el local de Juan tiene el doble de perímetro que el de él. Juan dice que Pedro solo debe pagar la tercera parte de lo que.

(28) 28 paga él, porque el local de Pedro tiene un perímetro 3 veces más pequeño que el de Juan. ¿Quién tiene la razón? ¿Por qué? 3. Thomas es dueño del local de tecnología y quiere dividir su local para dejar una sección solamente de videojuegos, para esto hacen una nueva pared perpendicular. al. sendero 1 ¿la sección de video juegos es semejante a todo el local de tecnología? La clase de astronomía. En el Colegio Parroquial La Asunción realizan un nuevo proyecto trasversal de astronomía, los profesores de física, biología y matemáticas llevan a sus estudiantes al observatorio astronómico de Bogotá. Al llegar allí el profesor de matemáticas les pide a sus estudiantes que observen la figura de la constelación Phoenix, en ella el profesor resalta la siguiente información: 𝐷𝐹𝐾𝐼 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜. 𝑘 = 4.68 𝑢𝑛𝑑. 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐼, 𝑁, 𝐽 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠. 𝑗 = 12 𝑢𝑛𝑑. ℎ ⫽ 𝑏. 𝑙 = 8.7 𝑢𝑛𝑑. 𝑏 = 2𝑐 ∢𝐹𝐾𝑀 ≈ 𝑐𝑜𝑠. 𝑚 = 13.6 𝑢𝑛𝑑 −1. 0,4539. ∢𝑁𝐼𝐾 = 0,610865 𝑟. 𝑐 = 6.5 𝑢𝑛𝑑.

(29) 29. 1. El profesor de matemáticas pide a los estudiantes resolver cuatro triángulos que hacen parte de la constelación Phoenix: -. DKF. -. KIN. -. MIJ. -. KME. 2. Luis Miguel le dice a su profesor que la distancia de 𝐷𝐽 es de 252.35 und, el profesor le dice que ha cometido un error ¿de dónde crees que sacó el resultado Luis Miguel y cuál crees que fue el error? Entrevista/encuesta relacionada con la dificultad 3 Basándonos en el diseño de la entrevista se realizó siguiendo la propuesto por GómezChacón (2002) quien realiza su investigación a partir del estudio de las funciones cognitivas que están directamente relacionadas con las emociones y afectos que tiene un estudiante, dando a entender que dichas emociones afectan el desarrollo del estudiante cuando se enfrenta con un problema matemático..

(30) 30 Tenido en cuenta el desarrollo la investigación por Gómez se han tenido en cuenta el instrumento de recolección de datos como una especie de entrevista con las siguientes preguntas. 1. ¿Qué emociones has experimentado cuando se te propuso resolver el problema? 2. ¿Qué emociones has experimentado cuando has tratado de resolver el problema? 3. Durante los intentos por resolver el problema ¿te has afanado por lograr una solución elegante? 4. ¿Cuáles fueron tus reacciones al escuchar las estrategias de resolución del problema de tus compañeros/as? 5. ¿Piensas que tus reacciones iniciales hacia el problema están condicionadas por tus experiencias pasadas con las matemáticas o con la resolución de problemas? ¿Cuáles? 6. ¿Tus emociones cambian cuando ya te involucras en el problema?. Validación de la prueba La validación de la prueba se realizó en el programa de formación LEBEM con estudiantes de séptimo semestre. En la aplicación de esta se observó: . Dificultades en recordar y aplicar diferentes teoremas para resolver las situaciones.. . Problemas algebraicos en la manipulación de variables.. . Dificultades al asociar relaciones de semejanza entre triángulos.. . Actitudes de indiferencia ante la solución de los diferentes problemas.. . Asumen posibles estrategias de solución pero no realizan el procedimiento.. Se sugirió: . Ampliación de las imágenes de cada una de las situaciones.. . Involucrar más de un objeto matemático en cada una de las situaciones.. . Manejar grupos de máximo tres integrantes.. . Errores sintácticos en los enunciados y representaciones simbólicas.. . Un mayor nivel de dificultad en una de las situaciones problema..

(31) 31 Aplicación de la prueba La prueba se aplicó en dos sesiones en diferentes colegios la primera sesión se aplicó en el colegio Parroquial la Asunción de Sibaté a 27 estudiantes de grado décimo, se organizaron mesas de trabajo de 3 estudiantes distribuidos de manera aleatoria, conformando 9 grupos de trabajo. A cada grupo se le asignó una situación problema de las 3 posibles y se les pide pensar en voz alta y escribir todos los procedimientos e ideas utilizadas para solucionar la situación asignada, en el proceso de resolución los estudiantes realizaban preguntas a sus compañeros y a la docente relacionadas con las diferentes situaciones, a lo largo de la aplicación se tomaron videos de los procesos realizados por cada grupo de estudiantes. Finalizada la prueba la docente titular escoge 6 estudiantes a los cuales se les realiza la entrevista. Para la segunda sesión las situaciones se aplicaron en el colegio Claretiano el Libertador de Bosa, en dos cursos de grado décimo el curso 10-02 con 32 estudiantes al cual se le asignaron las situaciones problema uno y dos y el curso 10-03 con 36 estudiantes se les asignó la situación problema tres, en los dos cursos se pide trabajar en parejas las situaciones con las indicaciones que no borren ningún procedimiento que realicen y los argumenten. En esta sesión no se realizaron entrevistas si no se propusieron las mismas preguntas en una encuesta al curso 10-03. ANÁLISIS Categorías de análisis Para poder analizar los resultados obtenidos se diseñaron las categorías de análisis estas son tomadas esencialmente de la propuesta que plantea Socas (1997) relacionadas con el lenguaje y los procesos de pensamiento matemático y Gómez-Chacon (2002) relacionadas con actitudes afectivas y emocionales, cabe aclarar que dichas categorías se denominan teóricas, y que gracias a la recolección y análisis de los resultados se generaron unas nuevas categorías denominas emergentes ya que las categorías teóricas no abarcaban la naturaleza especifica de los errores cometidos por los estudiantes. Estas categorías están propuestas por tres tipos de dificultades (A, B, C), a estas se les asocian unos elementos constitutivos (1,2,3,…etc.), como se muestra a continuación: A. Dificultades asociadas a la complejidad (Comprensión y comunicación) de los objetos matemáticos (Socas, 1997. pág. 127).

(32) 32 1) Interpretación de los signos matemáticos a partir del lenguaje común, asociación de conceptos matemáticos al lenguaje común Para este ítem lo relacionamos a los conflictos asociados a la comprensión y comunicación de los objetos matemáticos debido a palabras que tienen un significado en el lenguaje matemático diferente al lenguaje habitual.. Lenguaje Matemático. Escritura. Lenguaje habitual. Raíz. X n = potencia. Potencia. Sen (x). Seno. Tabla 3 Ejemplos de categoría A1.. 2) Palabras específicamente de las matemáticas mal entendidas por ser poco familiares. Lenguaje Matemático. Escritura Hipotenusa. Circunferencia goniométrica. Tabla 4 Ejemplos de la categoria A2.

(33) 33 3) Duda de asociar palabras que tiene un mismo significado en lenguaje habitual como en el matemático. 4) Dificultad en la interpretación del problema reflejados en una representación. (categoría emergente) 5) Confusiones a partir de los símbolos matemáticos ≅ 𝛼 ⊀ ≠ ‖.(categoría emergente) B. Dificultades asociados a los procesos de pensamiento matemático: relacionadas con la lógica matemática (Socas, 1997. pág. 127) 1) Dificultad de establecer una deducción lógica (conjeturas, ejemplos contra ejemplos, etc.) provenientes Estas se establecen mediante las rupturas del pensamiento matemático, es decir dificultades asociadas a resolver problemas con un proceso lógico- matemático, realizar representaciones acertadas del problema o establecer estrategias de solución. Errores del algebra que tienen origen en la aritmética: con estas dificultades podemos asociar los errores que los estudiantes cometen debido a objetos o procedimientos concebidos de manera errónea 2) Dificultad asociada a lógica Social (asociar situaciones habituales con conceptos matemáticos) El intento de asociar situaciones matemáticas con situaciones del contexto cotidiano puede involucrar una actitud crítica del estudiante lo cual dificulta el razonamiento que debe realizar frente a la situación. Por ejemplo en un problema de proporcionalidad, dos obreros construyen una pared en 3 horas, si se tuvieran 9 obreros ¿cuántas paredes construirían? En este caso el trabajo en equipo no genera un trabajo proporcionalidad, si no al trabajo que realiza cada uno de ellos. 3) Rupturas que provocan dificultades por medio de los modos de pensamiento matemático (linealidad).

(34) 34 Este tipo de dificultades se reflejan cuando el modelo lineal queda implícito el cual genera conflicto para los otros modelos como: (a+b)² = a² + b² Sen 5α = 5 sen α 4) Expresar y aplicar un teorema o ecuación incorrecta por los elementos que toma de la representación o simplemente el teorema no es el indicado para resolver el ejercicio.(categoría emergente) C. Dificultades asociadas a las actitudes afectivas y emocionales: (Gómez-Chacon, 2002. Pág. 3) 1) Las emociones que se desarrollan al enfrentarse a un problema matemático que producen rechazo a la situación problema. 2) Las emociones que se desarrollan en los procesos de resolución de un problema matemático que impiden el buen desarrollo o la finalización de la situación problema. 3) Las emociones que se desarrollan al tratar de solucionar un problema en grupo que impiden los acuerdos de solución y producen rechazo a desarrollar el problema. 4) La relación con experiencias pasadas en las matemáticas que producen rechazo a los problemas matemáticos. Recolección y análisis de resultados Para referirnos a las evidencias escritas, videos y encuestas se propone un tipo de nomenclatura que facilita la verificación de la información. Instrumento de recolección Prueba escrita Video Encuesta. Ejemplo de referencia Nomenclatura Situación problema 1 del (S1,G2) grupo de trabajo 2 Video 5 en el minuto 0:15 (V5,T 0:15- 1:20) hasta el minuto 1:20 Encuesta 24 (E,24) No corresponde con ninguna NC categoría Tabla 5 Nomenclatura de evidencias..

(35) 35 Los errores iniciales que se pudieron evidenciar al estar en la prueba con los estudiantes se presentan a continuación, dichos errores se extrajeron de los posibles procedimientos o afirmaciones que decían los estudiantes durante la sesión, es posible que algunos no se reflejen en la pruebas escritas debido a que pudieron borrar dichos procedimientos. Prueba 1 ● No asocian las propiedades en los triángulos, no tienen en cuenta características de los triángulos. ● No conocen las nociones de semejanza y congruencia, discriminan las propiedades y. características de los triángulos semejantes y congruentes. ● Asocian el teorema de Pitágoras para cualquier triangulo. ● Asocian criterios de semejanza con un solo ángulo. ● No asocian la notación correcta en el teorema del seno y coseno. ● Jerarquía de las operaciones simultaneas. Prueba 2 ● Discriminan los triángulos rectángulos en los ejercicios. ● Aplican resolución de triángulos utilizando teorema de Pitágoras. ● Asumen representaciones con conjeturas que no se dice en el planteamiento del problema. ● Dificultad de operaciones y relaciones con números racionales. Prueba 3 ● No realizan la notación de lados a y ángulos A. ● Asumen que para despejar ángulos pueden realizar esta operación. ● Por apariencia asocian ángulos rectos a triángulos cualesquiera. ● Asocian para todo triángulo rectángulo un ángulo de 90° y 2 de 45°. A partir de esta serie de errores encontrados anteriormente y con la intención de sustentarlos, se realiza un análisis más profundo frete a las pruebas escritas y algunos videos que se tomaron mientras los estudiantes desarrollaban la prueba, la siguiente tabla mostrara la evidencia del error cometido una breve explicación y la categoría que justifica el tipo de error..

(36) 36. Errores encontrados en las pruebas relacionados con las dificultades asociadas a la complejidad del objeto matemático Número de Evidencia. Error presentado por los estudiantes.. Categorí a de dificulta d que lo justifica A2. 1. Correspondiente (S1,G12). El error aquí presente se debe a la asociación de semejanza con congruencia, los estudiantes asumen que cuando se refieren al término semejanza es lo mismo que hablar de igualdad o congruencia en áreas.. 2. Correspondiente (S1,G15). Como se evidencia en la imagen los estudiantes entienden la semejanza como: igualdad de perímetro entre triángulos, desconociendo la relación que se debe cumplir entre ellos.. A2. 3. Correspondiente (S1,G20). Como se evidencia en la imagen los estudiantes confunden las nociones de semejanza y congruencia, realizando relaciones de semenjanza entre los ángulos, donde es evidente que los angulos son congruentes no semejantes.. A2.

(37) 37 4. 5. 6. 7. Video 8 (T 0:00 – 0:20). La noción que tienen los estudiantes de Profesor: ¿Qué es lo que entienden por perpendicularidad, no perpendicularidad? permite identificar que los Estudiante 1: ¿no es que sean las líneas opuestas? ángulos que forman dos Profesor: que sean opuestas dices tú, y ¿tú que rectas perpendiculares son entiendes por perpendicularidad? rectos. Estudiante 2: perpendicularidad es que son líneas opuestas paralelas ¡aaa! Paralelas no opuestas Los estudiantes no Correspondiente (V2,T 0.29-0.36) reconocen que es colinealidad. Lizeth: los puntos I, N, J son colineales ¿Qué es colineales? No sé. Correspondiente (V3, T 0:30–1:18). Presentan errores al entender que es un radian y Santiago: el ángulo NKI es igual a 0.64 radianes realizar operaciones para Santiago: un radian es igual a 180 pasar de un sistema de José: 2 pi radianes es igual a 360° medidas a otro (grados a Santiago: un radian es igual a 180 por que una radianes o radianes a circunferencia tiene dos radianes grados). José: si Correspondiente (S1,G11). Como se evidencia en la imagen los estudiantes al interpretar el problema asumieron que la sección de tecnología era una parte del triángulo completo con la forma de un triángulo equilátero y la sección de video juegos un triángulo escaleno.. A2. A2. A2. A4.

(38) 38 8. Correspondiente (S1,G16). 9. Correspondiente (S2,G4). 10. Correspondiente (S3, G2). Como se evidencia en la imagen al interpretar el problema los estudiantes afirmaron que: Andrea recorre solo el sendero peatonal 2 y se devuelve lo cual es incorrecto evidenciándose un problema de lectura de los estudiantes. Como se evidencia en las imágenes los estudiantes a partir de la representación dada realizan una nueva, y de manera errónea ubicaron un ángulo recto en una posición incorrecta, debido a esto al tratar de utilizar el teorema de Pitágoras obtienen un resultado que no corresponde al lado que deseaban hallar.. A4. Como se ve en la imagen los estudiantes asumen que el ángulo GNI es <igual a 90° “por visualización”. A4. De igual manera en la conversación del profesor y los estudiantes y estos afirman que el ángulo es recto solamente por visualización.. (V2,T 0:03 – 0:15). A4.

(39) 39 Estudiante 1: ahí se está manejando un ángulo de 90º Profesor: ¿Por qué? Solamente por la visualización Estudiante 1: si se puede manejar por visualización Profesor: ustedes dicen que ese ángulo que está ahí es recto. 11 Correspondiente ( S3, G10). 12. Correspondiente (S1,G21). Como se ve en la imagen los estudiantes asignan algunos valores erróneos a los ángulos, por tal razón la suma de ellos es superior a 180° por tanto concluyen que el problema no se puede solucionar.. A4. Como se observa en la imagen los estudiantes realizan la representación de un triángulo rectángulo, cuyo único ángulo suministrado es igual a 90° sin embargo los estudiantes asumen que como la suma de los ángulos internos de un triángulo debe ser igual a 180° cada uno de los ángulos faltantes mide 45°.. A4.

(40) 40 13. Correspondiente (S2,G3). A4 Como podemos ver en la imagen los estudiantes utilizaron los datos suministrados en el problema, sin embargo al realizar la representación gráfica no utilizan estos mismos datos, ya que por ejemplo: los triángulos dibujados no son triángulos rectángulos.. 14. 15. Correspondiente (S2,G11). Como se ve en la imagen los estudiantes ubican dos ángulos rectos en el triángulo lo cual muestra una incorrecta interpretación del problema y además la discriminación de una propiedad fundamental de suma de ángulos en cualquier tipo de triangulo.. A4. Correspondiente (V17,T 0:03 –0:44) Los estudiantes confunden Estudiante 1: digamos aquí KME es igual a 4.68 ángulos con segmentos unidades (señala el segmento ME) (lados). Profesora: pero ahí están diciendo de ángulos o de lados Estudiante 2: este es el lado Profesora: estos son ángulos entonces ¿cuál sería el ángulo KME? Estudiante 2: es este, es M. A4.

(41) 41. (señalando el segmento M como el ángulo KME Profesora: entonces ¿Cuánto mide M? Estudiante 1: 13.6 (señalando el segmento MJ) 16. Correspondiente (V2, T 2:37–3:00) Lizeth: el ángulo NIK Juan : N, I, K (señalando los puntos en el plano) Juan: es este (señala el ángulo NIK) Lizeth: no este (señala el ángulo INK). 17. Correspondiente (V4, T 0:38–1:15). No ubican correctamente los ángulos.. A4. (aunque los dos estudiantes hicieron la misma lectura uno de ellos señala el ángulo NIK y y otro el INK como se ve en la imagen al tratar de marcarlos son diferentes ángulos). Los estudiantes aplican teoremas sin analizar las Laura: el segmento j equivale a 12 unidades, el características de los segmento m a 8.5 unidades. triángulos que tienen en la Paula: ahí ya tenemos dos lados. representación ya que por Laura: ahh entonces lo podemos sacar por teorema ejemplo: el teorema de de Pitágoras. Pitágoras no se puede aplicar en cualquier tipo de triangulo.. A4.

(42) 42 18. A5 Correspondiente (S3, G1). 19. Como se ve en la imagen los estudiantes asignan un valor dado para el segmento k = 4.68 unidades con el valor del ángulo con centro en el punto K.. Correspondiente (S3. G3). A5 Como se ve en la imagen los estudiantes asignan un valor dado para el segmento c = 6.5 al punto C que se encuentra en el plano.. 20. Correspondiente (V2, T 3:04–4:10). Lizeth: k ¿Dónde está k? Ronald : esta acá. Los estudiantes confunden los puntos (letras en mayúscula) con segmentos (letras en minúscula).. A5.

(43) 43 Lizeth: esta mediría dos unidades o esta ¿no entiendo? Juan: ¿Qué no entiende? Lizeth : estas medidas de que son ( la estudiante señala las medidas dadas de los segmentos k, j , l, m, c) Juan: de K Lizeth: pues si pero K tiene KE O KM ¿entonces esta medida de que son?. Tabla 6 Errores relacionados con la dificultad A. En la siguiente tabla se organizan los errores evidenciados en las pruebas escritas y videos en el proceso de resolución de problemas, asociando errores que tiene la misma naturaleza relacionados con la complejidad del objeto matemático.. Número evidencia. Error. Categoría. Frecuencia Cantidad Estudiantes. 1,2,3. Error de asociar palabras. Ejemplo confundir semejanza y congruencia.. A2. 16. 4,5,6. Errores por confusiones o desconocimiento de conceptos matemáticos. (Colinealidad, perpendicularidad, radian).. A2. 11. 12,. Errores en aplicar propiedades a las representaciones.. A4. 9. 7, 8,9, 11, 16. Error al representar los datos del problema.. A4. 15. 10. Error al asumir propiedades por visualización.. A4. 12.

(44) 44 13, 14. Errores en las representaciones realizadas del problema.. A4. 26. 17. Errores de aplicar teoremas sin analizar cuando se pueden utilizar.. A4. 17. 15, 18, 19, 20. Errores por confundir símbolos matemáticos.. A5. 13. Tabla 7 clasificación de errores asociados a la dificultad A. Según lo que se pudo evidenciar en cada uno de los errores presentados para esta dificultad, un dato importante a tener en cuenta es que ninguno de los estudiantes, incurrieron en los errores de tipo A1 y A3, se especula que los estudiantes por haber tenido un acercamiento con términos de la trigonometría, no fue usual que asociaran conceptos de la trigonometría con el lenguaje habitual, por esta misma razón se puede decir que tampoco tienen dificultad en distinguir palabras que tienen el mismo significado en el lenguaje habitual y en el matemático. Por otro lado en A2 palabras mal entendidas del lenguaje exclusivamente de las matemáticas, podemos ver que los estudiantes cometen varios errores de este tipo ya que desconocen o confunden el significado de varios términos matemáticos que usualmente se utilizan en trigonometría por ejemplo, en las evidencias 1,2 y 3 vemos que los estudiantes presentan gran confusión al hablar de semejanza y congruencia, el entender congruencia como algo equivalente a la semejanza, este tipo de errores se presentaron con gran frecuencia en el grupo de estudiantes. Además en la evidencia 4 al hablar de colinealidad los estudiantes no tienen una confusión o asociación con otro término sino desconocen totalmente el concepto matemático presentándose preguntas como ¿qué es eso?, en la evidencia 5 respecto a perpendicularidad los estudiantes tienen una definición incompleta de este concepto, es decir la definen como rectas opuestas, pero esta definición no les brinda información sobre los ángulos que se forman entre dichas rectas, de esta manera vemos que aunque estos errores se encuentren en la misma categoría tienen diferencias fundamentales algunos se dan por un completo desconocimiento de las palabras, otros por confusión entre dos conceptos y los últimos por conceptos con definiciones insuficientes. En la categoría A4 que consiste en los errores relacionados con la interpretación errónea del problema y/o en una representación, los errores que se encontraron de este tipo fueron más comunes, sin embargo estos se dan por diversas razones que se explicaran a continuación..

(45) 45 Por tratar de aplicar propiedades en las representaciones: como se ve en la evidencia 12 los estudiantes comprenden que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° sin embargo solo conocen un ángulo igual a 90° por tanto asumen de manera errónea que los dos ángulos restantes son iguales es decir iguales a 45° de esta manera vemos cómo los estudiantes realizan deducciones erróneas partiendo de una propiedad. Errores al representar los datos del problema: en este caso se dio con mayor frecuencia como vemos por ejemplo en la evidencia 8 vemos que los estudiantes no tienen en cuenta uno de los datos suministrados en el problema, es decir en el problema les indican el recorrido que realiza Andrea, sin embargo los estudiantes solo reconocen un fragmento de esta manera desde la interpretación que realizan del problema ignoran algunos datos suministrados y por tanto establecen deducciones erróneas. En la evidencia 9 vemos que los estudiantes al tratar de realizar una nueva representación del problema partiendo de una inicial, confunden datos fundamentales como la ubicación de los ángulos, al intercambiar estos datos y resolver el problema aunque apliquen de manera correcta el teorema de Pitágoras los datos son erróneos. Por otro lado en la evidencia 11 vemos que los estudiantes realizan una interpretación y análisis incorrecto de los datos suministrados, por tanto los ángulos que obtienen de un triángulo son superiores a 180° por tal razón asumen que el problema no se puede solucionar, en lugar de revisar por ejemplo si los procedimientos con los que obtuvieron los datos eran correctos. De esta manera observamos que los estudiantes pueden cometer errores al ignorar datos suministrados en el problema, realizar nuevas representaciones y ubicar incorrectamente en estas los datos suministrados, o interpretar incorrectamente los datos suministrados y establecer conclusiones erróneas. Errores al asumir propiedades por visualización: como se ve en la evidencia 10 los estudiantes asumen que el triángulo que están analizando es rectángulo porque visualmente “parece” que tiene un ángulo recto, por tanto asumen esta deducción como verdadera sin antes realizar una verificación utilizando los datos suministrados en el problema. Errores en las representaciones realizadas del problema: como se ve en la evidencia 13 aunque los estudiantes utilizan los datos suministrados en el problema estos no se ven claramente en la representación gráfica de estos mismos en este caso los estudiantes colocan la medida de los segmentos pero los triángulos que dibujan no son rectángulos es decir la representación de los ángulos no es correcta. Por otra parte en la evidencia 14 los estudiantes.

(46) 46 realizan la representación de un triángulo con dos ángulos rectos, sin embargo en la interpretación simbólica no se ve reflejado este error es decir los sistemas de representación utilizados no se relacionan. De esta manera vemos que los estudiantes pueden realizar representaciones gráficas incorrectas pero aun así procesos algorítmicos correctos. Errores de aplicar teoremas sin analizar cuando se pueden utilizar: en este caso como se ve en la evidencia 17 los estudiantes asumen que pueden utilizar un teorema en este caso el de Pitágoras sin analizar con detenimiento cuales son las características mínimas que debe tener un triángulo para aplicar este mismo. En la categoría A5 errores y confusiones a partir de los símbolos matemáticos: Como vemos en la evidencia 15 los estudiantes tienen confusión en el concepto de ángulo y lado lo que se ve reflejado al tratar de ubicar estos mismos en las representaciones gráficas del problema lo que se repiten en la evidencia 18,19 y 20 en diferentes procedimientos los estudiantes confunden ya sea el concepto de ángulo y segmento debido a la notación de estos mismos ángulos con letras mayúsculas y segmentos con letras minúsculas, lo que se puede presentar al tener asignada el mismo símbolo solo cambiando si es mayúscula o minúscula. Errores encontrados en las pruebas relacionados con las dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático.. Número evidencia. Error presentado por los estudiantes. 1 Correspondiente a la situación 1 grupo 11 (S1,G11). Como se evidencia en la imagen, los estudiantes argumentan su respuesta por medio de la comparación de área de los triángulos, sin tener en cuenta que se debe realizar una comparación de los triángulos según su perímetro.. Categoría de dificultad que lo justifica B1.

(47) 47 2. 3. 4. Correspondiente (S1,G13). Como se ve en la imagen los estudiantes no interpretan correctamente la representación del centro comercial, ya que en el problema la distancia de la salida hasta el punto de información es igual a 8 metros y no a 10 metros.. B1. Correspondiente (S1,G15). Como se ve en la imagen los estudiantes utilizan datos arbitrarios, ya que estos no se dan en la situación problema, sin embargo utilizan estos mismos para realizar procedimientos algebraicos y tratar de llegar a una solución.. B1. Correspondiente (S3, G9). B1 Como se ve en la imagen los estudiantes restan a 180° (la suma de los ángulos internos de un triángulo) con la medida de uno de los lados 6.5 obteniendo como resultado 1735.. 5. B1 Correspondiente (S3, G9). Como se ve en la imagen los estudiantes tratan de convertir unidades a grados, es decir las medidas 6.5und, 4.67und y 10.6und que corresponden a medidas de segmentos, por lo cual pueden estar pensando por ejemplo: que estas no.