04 matriz inversa y determinante presentacion pdf

Texto completo

(1)

Tema 4: matriz inversa y determinante

Matem ´atica II

(2)

´Indice

1

Matriz invertible

Definici ´on y propiedades

C ´omputo de la matriz inversa

2

Determinante de una matriz

(3)

´Indice

1

Matriz invertible

Definici ´on y propiedades

C ´omputo de la matriz inversa

2

Determinante de una matriz

(4)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

Observaciones preliminares

Dada una matriz

cuadrada

A

, buscamos una

matriz

inversa

A

1

del mismo tama ˜no.

Queremos que

A

−1

A

=

I

=

1

· · ·

0

..

.

. .. ...

0

· · ·

1

donde

I

es llamada

matriz identidad

.

El producto

A

−1

A

no debe tener efecto alguno sobre

ning ´un vector:

A

−1

Ax

=

Ix

=

x

(5)

Observaciones preliminares

Dada una matriz

cuadrada

A

, buscamos una

matriz

inversa

A

1

del mismo tama ˜no.

Queremos que

A

−1

A

=

I

=

1

· · ·

0

..

.

. .. ...

0

· · ·

1

donde

I

es llamada

matriz identidad

.

El producto

A

−1

A

no debe tener efecto alguno sobre

ning ´un vector:

A

−1

Ax

=

Ix

=

x

(6)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

Observaciones preliminares

Dada una matriz

cuadrada

A

, buscamos una

matriz

inversa

A

1

del mismo tama ˜no.

Queremos que

A

−1

A

=

I

=

1

· · ·

0

..

.

. .. ...

0

· · ·

1

donde

I

es llamada

matriz identidad

.

El producto

A

−1

A

no debe tener efecto alguno sobre

ning ´un vector:

A

−1

Ax

=

Ix

=

x

(7)

Observaciones preliminares

Dada una matriz

cuadrada

A

, buscamos una

matriz

inversa

A

1

del mismo tama ˜no.

Queremos que

A

−1

A

=

I

=

1

· · ·

0

..

.

. .. ...

0

· · ·

1

donde

I

es llamada

matriz identidad

.

El producto

A

−1

A

no debe tener efecto alguno sobre

ning ´un vector:

A

−1

Ax

=

Ix

=

x

(8)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

Definici ´on de matriz invertible

Definici ´on 1

La matriz cuadrada

A

es

invertible

si existe una matriz

A

−1

tal

que

A

−1

A

=

I

y

AA

−1

=

I

¡No todas las matrices cuadras tienen inversa!

Si

A

no es

invertible se dice que es

singular

.

Dada una matriz cuadrada

A

lo primero que hay que

preguntarse es: ¿A

es invertible?

(9)

Definici ´on de matriz invertible

Definici ´on 1

La matriz cuadrada

A

es

invertible

si existe una matriz

A

−1

tal

que

A

−1

A

=

I

y

AA

−1

=

I

¡No todas las matrices cuadras tienen inversa!

Si

A

no es

invertible se dice que es

singular

.

Dada una matriz cuadrada

A

lo primero que hay que

preguntarse es: ¿A

es invertible?

(10)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

Definici ´on de matriz invertible

Definici ´on 1

La matriz cuadrada

A

es

invertible

si existe una matriz

A

−1

tal

que

A

−1

A

=

I

y

AA

−1

=

I

¡No todas las matrices cuadras tienen inversa!

Si

A

no es

invertible se dice que es

singular

.

Dada una matriz cuadrada

A

lo primero que hay que

preguntarse es: ¿

A

es invertible?

(11)

Definici ´on de matriz invertible

Definici ´on 1

La matriz cuadrada

A

es

invertible

si existe una matriz

A

−1

tal

que

A

−1

A

=

I

y

AA

−1

=

I

¡No todas las matrices cuadras tienen inversa!

Si

A

no es

invertible se dice que es

singular

.

Dada una matriz cuadrada

A

lo primero que hay que

preguntarse es: ¿

A

es invertible?

(12)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

Seis observaciones acerca de la matriz inversa

1

Si

A

es invertible, la soluci ´on del sistema de ecuaciones

lineales

Ax

=

b

es

x

=

A

−1

b

, ya que multiplicando

Ax

=

b

por

A

−1

se obtiene

x

=

A

−1

Ax

=

A

−1

b

.

2

La inversa existe si y solo si rango(

A

) =

n

. Pero, con el

m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan, podemos

siempre resolver

Ax

=

b

sin calcular expl´ıcitamente

A

−1

.

3

La matriz

A

no puede tener dos inversas diferentes.

Supongamos que

BA

=

I

y que tambi ´en

AC

=

I. Entonces

B

=

C

(13)

Seis observaciones acerca de la matriz inversa

1

Si

A

es invertible, la soluci ´on del sistema de ecuaciones

lineales

Ax

=

b

es

x

=

A

−1

b, ya que multiplicando

Ax

=

b

por

A

−1

se obtiene

x

=

A

−1

Ax

=

A

−1

b.

2

La inversa existe si y solo si rango(

A

) =

n

. Pero, con el

m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan, podemos

siempre resolver

Ax

=

b

sin calcular expl´ıcitamente

A

−1

.

3

La matriz

A

no puede tener dos inversas diferentes.

Supongamos que

BA

=

I

y que tambi ´en

AC

=

I. Entonces

B

=

C

(14)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

Seis observaciones acerca de la matriz inversa

1

Si

A

es invertible, la soluci ´on del sistema de ecuaciones

lineales

Ax

=

b

es

x

=

A

−1

b, ya que multiplicando

Ax

=

b

por

A

−1

se obtiene

x

=

A

−1

Ax

=

A

−1

b.

2

La inversa existe si y solo si rango(

A

) =

n

. Pero, con el

m ´etodo de eliminaci ´on de Gauss-Jordan, podemos

siempre resolver

Ax

=

b

sin calcular expl´ıcitamente

A

−1

.

3

La matriz

A

no puede tener dos inversas diferentes.

Supongamos que

BA

=

I

y que tambi ´en

AC

=

I

. Entonces

B

=

C

(15)

Seis observaciones acerca de la matriz inversa

4

Supongamos que existe un vector

x

6

=

0

tal que

Ax

=

0

.

Entonces

A

no es invertible. Ninguna matriz puede

convertir

0

en

x

.

Si

A

es invertible,

Ax

=

0

solo puede

tener la soluci ´on

x

=

A

−1

0

=

0

.

5

Una matriz de 2

×

2 es invertible si y solo si

ad

bc

6=

0

a

b

c

d

−1

=

1

ad

bc

d

−b

−c

a

(16)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

Seis observaciones acerca de la matriz inversa

4

Supongamos que existe un vector

x

6=

0

tal que

Ax

=

0.

Entonces

A

no es invertible. Ninguna matriz puede

convertir

0

en

x.

Si

A

es invertible,

Ax

=

0

solo puede

tener la soluci ´on

x

=

A

1

0

=

0

.

5

Una matriz de 2

×

2 es invertible si y solo si

ad

bc

6

=

0

a

b

c

d

1

=

1

ad

bc

d

b

c

a

(17)

Seis observaciones acerca de la matriz inversa

6

Una

matriz diagonal

es invertible si ninguno de los

coeficientes diagonales es 0.

Si

A

=

d

1

. ..

d

n

=

A

−1

=

1

/

d

1

. ..

1

/

d

n

(18)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

Matriz con filas o columnas duplicadas

Ejemplo 1

La matriz

A

=

1 2

1 2

no es invertible.

Se comprueba que

ad

bc

es igual a 2

2

=

0.

Si hacemos que

x

=

2

1

se comprueba que

Ax

=

0.

Si restamos la primera fila a la segunda obtenemos la

matriz escalon equivalente

R

=

1 2

0 0

, de donde resulta

(19)

Matriz con filas o columnas duplicadas

Ejemplo 1

La matriz

A

=

1 2

1 2

no es invertible.

Se comprueba que

ad

bc

es igual a 2

2

=

0.

Si hacemos que

x

=

2

1

se comprueba que

Ax

=

0.

Si restamos la primera fila a la segunda obtenemos la

matriz escalon equivalente

R

=

1 2

0 0

, de donde resulta

(20)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

Matriz con filas o columnas duplicadas

Ejemplo 1

La matriz

A

=

1 2

1 2

no es invertible.

Se comprueba que

ad

bc

es igual a 2

2

=

0.

Si hacemos que

x

=

2

1

se comprueba que

Ax

=

0

.

Si restamos la primera fila a la segunda obtenemos la

matriz escalon equivalente

R

=

1 2

0 0

, de donde resulta

(21)

Matriz con filas o columnas duplicadas

Ejemplo 1

La matriz

A

=

1 2

1 2

no es invertible.

Se comprueba que

ad

bc

es igual a 2

2

=

0.

Si hacemos que

x

=

2

1

se comprueba que

Ax

=

0

.

Si restamos la primera fila a la segunda obtenemos la

matriz escalon equivalente

R

=

1 2

0 0

, de donde resulta

(22)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

La inversa del producto

Inversa del producto

AB

Si

A

y

B

son invertibles, tambi ´en lo es

AB

. La inversa del

producto

AB

es

(

AB

)

1

=

B

−1

A

−1

Inversa de

AB

(

AB

)(

B

−1

A

−1

) =

ABB

−1

A

−1

=

AIA

−1

=

AA

−1

=

I

Inversa de

ABC

(orden revertido)

(23)

La inversa del producto

Inversa del producto

AB

Si

A

y

B

son invertibles, tambi ´en lo es

AB

. La inversa del

producto

AB

es

(

AB

)

1

=

B

−1

A

−1

Inversa de

AB

(

AB

)(

B

−1

A

−1

) =

ABB

−1

A

−1

=

AIA

−1

=

AA

−1

=

I

Inversa de

ABC

(orden revertido)

(24)

Matriz invertible Definici ´on y propiedades

La inversa del producto

Inversa del producto

AB

Si

A

y

B

son invertibles, tambi ´en lo es

AB

. La inversa del

producto

AB

es

(

AB

)

1

=

B

−1

A

−1

Inversa de

AB

(

AB

)(

B

−1

A

−1

) =

ABB

−1

A

−1

=

AIA

−1

=

AA

−1

=

I

Inversa de

ABC

(orden revertido)

(25)

La inversa de la transpuesta

Inversa de la trasnpuesta

A

T

Si

A

es invertible, tambi ´en lo es

A

T

. La inversa de la

transpuesta

A

T

es

(26)

Matriz invertible

C ´omputo de la matriz inversa

´Indice

1

Matriz invertible

Definici ´on y propiedades

C ´omputo de la matriz inversa

2

Determinante de una matriz

(27)

Invertir

A

de 3

×

3 con Gauss-Jordan

A

=

2

1

0

1

2

1

0

1

2

A

−1

=

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

−1

0

−1

2

−1

0

−1

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

−1

0

−1

2

−1

0

−1

2

?

?

?

=

1

0

0

2

−1

0

−1

2

−1

0

−1

2

?

?

?

=

0

1

0

2

−1

0

−1

2

−1

(28)

Matriz invertible

C ´omputo de la matriz inversa

Invertir

A

de 3

×

3 con Gauss-Jordan

A

=

2

1

0

1

2

1

0

1

2

A

−1

=

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

1

0

1

2

1

0

1

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

−1

0

−1

2

−1

0

−1

2

?

?

?

=

1

0

0

2

−1

0

−1

2

−1

0

−1

2

?

?

?

=

0

1

0

2

−1

0

−1

2

−1

(29)

Invertir

A

de 3

×

3 con Gauss-Jordan

A

=

2

1

0

1

2

1

0

1

2

A

−1

=

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

1

0

1

2

1

0

1

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

1

0

1

2

1

0

1

2

?

?

?

=

1

0

0

2

1

0

1

2

1

0

1

2

?

?

?

=

0

1

0

2

1

0

1

2

1

0

1

2

(30)

Matriz invertible

C ´omputo de la matriz inversa

2

1

0 1 0 0

1

2

1 0 1 0

0

1

2 0 0 1

f

2

+ (

1

/2

)

f

1

;

2

−1

0

1 0 0

0

3

/2

−1

1

/2

1 0

0

−1

2

0 0 1

;

f

3

+ (

2

/3

)

f

2

;

2

−1

0

1

0 0

0

3

/2

−1

1

/2

1 0

0

0

4

/3

1

/3

2

/3

1

f

2

+ (

3

/4

)

f

3

;

;

2

−1

0

1

0

0

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

f

1

+ (

2

/3

)

f

2

;

2

0

0

3

/2

1

1

/2

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

;

;

;

(

1

/2

)

f

1

;

(

2

/3

)

f

2

;

(

3

/4

)

f

3

;

1 0 0

3

/4

1

/2

1

/4

0 1 0

1

/2

1

1

/2

0 0 1

1

/4

1

/2

3

/4

(31)

2

1

0 1 0 0

1

2

1 0 1 0

0

1

2 0 0 1

f

2

+ (

1

/2

)f

1

;

2

1

0

1 0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

1

2

0 0 1

;

f

3

+ (

2

/3

)

f

2

;

2

−1

0

1

0 0

0

3

/2

−1

1

/2

1 0

0

0

4

/3

1

/3

2

/3

1

f

2

+ (

3

/4

)

f

3

;

;

2

−1

0

1

0

0

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

f

1

+ (

2

/3

)

f

2

;

2

0

0

3

/2

1

1

/2

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

;

;

;

(

1

/2

)

f

1

;

(

2

/3

)

f

2

;

(

3

/4

)

f

3

;

1 0 0

3

/4

1

/2

1

/4

0 1 0

1

/2

1

1

/2

0 0 1

1

/4

1

/2

3

/4

(32)

Matriz invertible

C ´omputo de la matriz inversa

2

1

0 1 0 0

1

2

1 0 1 0

0

1

2 0 0 1

f

2

+ (

1

/2

)f

1

;

2

1

0

1 0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

1

2

0 0 1

;

f

3

+ (

2

/3

)f

2

;

2

1

0

1

0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

0

4

/3

1

/3

2

/3

1

f

2

+ (

3

/4

)

f

3

;

;

2

−1

0

1

0

0

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

f

1

+ (

2

/3

)

f

2

;

2

0

0

3

/2

1

1

/2

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

;

;

;

(

1

/2

)

f

1

;

(

2

/3

)

f

2

;

(

3

/4

)

f

3

;

1 0 0

3

/4

1

/2

1

/4

0 1 0

1

/2

1

1

/2

0 0 1

1

/4

1

/2

3

/4

(33)

2

1

0 1 0 0

1

2

1 0 1 0

0

1

2 0 0 1

f

2

+ (

1

/2

)f

1

;

2

1

0

1 0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

1

2

0 0 1

;

f

3

+ (

2

/3

)f

2

;

2

1

0

1

0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

0

4

/3

1

/3

2

/3

1

f

2

+ (

3

/4

)f

3

;

;

2

1

0

1

0

0

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

f

1

+ (

2

/3

)

f

2

;

2

0

0

3

/2

1

1

/2

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

;

;

;

(

1

/2

)

f

1

;

(

2

/3

)

f

2

;

(

3

/4

)

f

3

;

1 0 0

3

/4

1

/2

1

/4

0 1 0

1

/2

1

1

/2

0 0 1

1

/4

1

/2

3

/4

(34)

Matriz invertible

C ´omputo de la matriz inversa

2

1

0 1 0 0

1

2

1 0 1 0

0

1

2 0 0 1

f

2

+ (

1

/2

)f

1

;

2

1

0

1 0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

1

2

0 0 1

;

f

3

+ (

2

/3

)f

2

;

2

1

0

1

0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

0

4

/3

1

/3

2

/3

1

f

2

+ (

3

/4

)f

3

;

;

2

1

0

1

0

0

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

f

1

+ (

2

/3

)f

2

;

2

0

0

3

/2

1

1

/2

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

;

;

;

(

1

/2

)

f

1

;

(

2

/3

)

f

2

;

(

3

/4

)

f

3

;

1 0 0

3

/4

1

/2

1

/4

0 1 0

1

/2

1

1

/2

0 0 1

1

/4

1

/2

3

/4

(35)

2

1

0 1 0 0

1

2

1 0 1 0

0

1

2 0 0 1

f

2

+ (

1

/2

)f

1

;

2

1

0

1 0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

1

2

0 0 1

;

f

3

+ (

2

/3

)f

2

;

2

1

0

1

0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

0

4

/3

1

/3

2

/3

1

f

2

+ (

3

/4

)f

3

;

;

2

1

0

1

0

0

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

f

1

+ (

2

/3

)f

2

;

2

0

0

3

/2

1

1

/2

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

;

;

;

(

1

/2

)f

1

;

(

2

/3

)f

2

;

(

3

/4

)f

3

;

1 0 0

3

/4

1

/2

1

/4

0 1 0

1

/2

1

1

/2

0 0 1

1

/4

1

/2

3

/4

(36)

Matriz invertible

C ´omputo de la matriz inversa

2

1

0 1 0 0

1

2

1 0 1 0

0

1

2 0 0 1

f

2

+ (

1

/2

)f

1

;

2

1

0

1 0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

1

2

0 0 1

;

f

3

+ (

2

/3

)f

2

;

2

1

0

1

0 0

0

3

/2

1

1

/2

1 0

0

0

4

/3

1

/3

2

/3

1

f

2

+ (

3

/4

)f

3

;

;

2

1

0

1

0

0

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

f

1

+ (

2

/3

)f

2

;

2

0

0

3

/2

1

1

/2

0

3

/2

0

3

/4

3

/2

3

/4

0

0

4

/

3 1

/

3 2

/

3

1

;

;

;

(

1

/2

)f

1

;

(

2

/3

)f

2

;

(

3

/4

)f

3

;

1 0 0

3

/4

1

/2

1

/4

0 1 0

1

/2

1

1

/2

0 0 1

1

/4

1

/2

3

/4

(37)

A

z

}|

{

2

1

0

1

2

1

0

1

2

A

−1

z

}|

{

3

/

4

1

/

2

1

/

4

1

/

2

1

1

/

2

1

/

4

1

/

2

3

/

4

=

I

z

}|

{

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(38)

Matriz invertible

C ´omputo de la matriz inversa

Repaso de ideas clave

1

La inversa cumple que

AA

−1

=

I

y que

A

−1

A

=

I

.

2

A

de

n

×

n

es invertible si y solo si rango

(

A

) =

n

.

3

Si

Ax

=

0

para un vector no nulo

x, entonces

A

no es

invertible.

4

Para calcular

A

−1

hay que aplicar el m ´etodo de

(39)

Repaso de ideas clave

1

La inversa cumple que

AA

−1

=

I

y que

A

−1

A

=

I.

2

A

de

n

×

n

es invertible si y solo si rango

(

A

) =

n

.

3

Si

Ax

=

0

para un vector no nulo

x, entonces

A

no es

invertible.

4

Para calcular

A

−1

hay que aplicar el m ´etodo de

(40)

Matriz invertible

C ´omputo de la matriz inversa

Repaso de ideas clave

1

La inversa cumple que

AA

−1

=

I

y que

A

−1

A

=

I.

2

A

de

n

×

n

es invertible si y solo si rango

(

A

) =

n

.

3

Si

Ax

=

0

para un vector no nulo

x

, entonces

A

no es

invertible.

4

Para calcular

A

−1

hay que aplicar el m ´etodo de

(41)

Repaso de ideas clave

1

La inversa cumple que

AA

−1

=

I

y que

A

−1

A

=

I.

2

A

de

n

×

n

es invertible si y solo si rango

(

A

) =

n

.

3

Si

Ax

=

0

para un vector no nulo

x, entonces

A

no es

invertible.

4

Para calcular

A

1

hay que aplicar el m ´etodo de

(42)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

´Indice

1

Matriz invertible

Definici ´on y propiedades

C ´omputo de la matriz inversa

2

Determinante de una matriz

Propiedades de los determinantes

(43)

Observaciones preliminares

El determinante de una

matriz cuadrada

A

es

un n ´umero

.

El determinante de

A

se escribe como

det(

A

)

o tambi ´en

como

|A|.

(44)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

Observaciones preliminares

El determinante de una

matriz cuadrada

A

es

un n ´umero

.

El determinante de

A

se escribe como

det(

A

)

o tambi ´en

como

|A|

.

(45)

Observaciones preliminares

El determinante de una

matriz cuadrada

A

es

un n ´umero

.

El determinante de

A

se escribe como

det(

A

)

o tambi ´en

como

|A|

.

(46)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

El determinante de la matriz identidad

Propiedad 1

El determinante de la matriz identidad

I

de

n

×

n

es 1.

1 0

0 1

=

1

y

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

1

y

(47)

Intercambio de dos filas o de dos columnas

Propiedad 2

El determinante cambia de signo cuando dos filas (o dos

columnas) son intercambiadas.

det

a

b

c

d

=

a

b

c

d

=

ad

cb

det

c

d

a

b

=

c

d

a

b

(48)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

El determinante es una funci ´on lineal de cada l´ınea

Propiedad 3

El determinante es una

funci ´on lineal de cada l´ınea

por

separado (las dem ´as l´ıneas se mantienen sin cambio).

1

Multiplicando la fila 1 de

A

por el n ´umero

t

ta tb

c

d

=

t

a

b

c

d

2

Sumando la fila 1 de

A

a la fila 1 de

A

0

a

+

a

0

b

+

b

0

c

d

=

a

b

c

d

+

a

0

b

0

c

d

(49)

El determinante es una funci ´on lineal de cada l´ınea

Propiedad 3

El determinante es una

funci ´on lineal de cada l´ınea

por

separado (las dem ´as l´ıneas se mantienen sin cambio).

1

Multiplicando la fila 1 de

A

por el n ´umero

t

ta tb

c

d

=

t

a

b

c

d

2

Sumando la fila 1 de

A

a la fila 1 de

A

0

a

+

a

0

b

+

b

0

c

d

=

a

b

c

d

+

a

0

b

0

c

d

(50)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

El determinante es una funci ´on lineal de cada l´ınea

Propiedad 3

El determinante es una

funci ´on lineal de cada l´ınea

por

separado (las dem ´as l´ıneas se mantienen sin cambio).

1

Multiplicando la fila 1 de

A

por el n ´umero

t

ta tb

c

d

=

t

a

b

c

d

2

Sumando la fila 1 de

A

a la fila 1 de

A

0

a

+

a

0

b

+

b

0

c

d

=

a

b

c

d

+

(51)

Matriz con una fila (o una columna) repetida

Propiedad 4

Si dos filas (o dos columnas) de

A

son iguales, entonces

det

(

A

) =

0.

det

a b

a b

=

a b

a b

=

ab

ab

=

0

det

p

p

q

q

=

p

p

q

q

(52)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

Matriz con una fila o columna de ceros

Propiedad 5

Una matriz

A

que tenga una fila (o una columna) llena de ceros

tendr ´a det

(

A

) =

0.

(53)

Determinante de una matriz triangular

Propiedad 6

Si

A

es triangular, entonces det

(

A

) =

a

11

a

22

· · ·

a

nn

(el producto

de los coeficientes diagonales).

si es triangular

a

b

0

d

=

ad

y tambi ´en

a

0

c

d

=

ad

si es diagonal

a

11

0

a

22

. ..

0

a

nn

(54)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

Sumar o restar el m ´ultiplo de una fila a otra

Propiedad 7

Sumar o restar el m ´ultiplo de una fila de

A

a otra fila de

A

no

cambia el valor de det

A

.

f

2

tf

1

;

a

b

c

ta d

tb

=

a

b

c

d

Conclusi ´on:

El determinante de

A

no cambia cuando aplicamos la

t ´ecnica de eliminaci ´on hasta encontrar una matriz

triangular

U

equivalente a

A

.

Entonces det

A

=

det

U

.

(55)

Sumar o restar el m ´ultiplo de una fila a otra

Propiedad 7

Sumar o restar el m ´ultiplo de una fila de

A

a otra fila de

A

no

cambia el valor de det

A

.

f

2

tf

1

;

a

b

c

ta d

tb

=

a

b

c

d

Conclusi ´on:

El determinante de

A

no cambia cuando aplicamos la

t ´ecnica de eliminaci ´on hasta encontrar una matriz

triangular

U

equivalente a

A

.

Entonces det

A

=

det

U.

(56)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

Sumar o restar el m ´ultiplo de una fila a otra

Propiedad 7

Sumar o restar el m ´ultiplo de una fila de

A

a otra fila de

A

no

cambia el valor de det

A

.

f

2

tf

1

;

a

b

c

ta d

tb

=

a

b

c

d

Conclusi ´on:

El determinante de

A

no cambia cuando aplicamos la

t ´ecnica de eliminaci ´on hasta encontrar una matriz

triangular

U

equivalente a

A

.

Entonces det

A

=

det

U

.

(57)

Sumar o restar el m ´ultiplo de una fila a otra

Propiedad 7

Sumar o restar el m ´ultiplo de una fila de

A

a otra fila de

A

no

cambia el valor de det

A

.

f

2

tf

1

;

a

b

c

ta d

tb

=

a

b

c

d

Conclusi ´on:

El determinante de

A

no cambia cuando aplicamos la

t ´ecnica de eliminaci ´on hasta encontrar una matriz

triangular

U

equivalente a

A

.

Entonces det

A

=

det

U

.

(58)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

Ejemplo 2

Dada

A

=

2

4

2

4

9

3

2

3

7

, encontrar el n ´umero det

(

A

)

multiplicando los

pivotes

de la matriz triangular

U

.

A

=

2

4

−2

4

9

−3

−2

−3

7

f

2

(

4

/

2)

f

1

;

2

4

2

0

1

1

2

3

7

;

f

3

(

−2

/

2)

f

1

;

2 4

2

0 1

1

0 1

5

f

3

(

1

/

1)

f

2

;

2 4

2

0 1

1

0 0

4

=

U

Entonces

(59)

Ejemplo 2

Dada

A

=

2

4

2

4

9

3

2

3

7

, encontrar el n ´umero det

(

A

)

multiplicando los

pivotes

de la matriz triangular

U

.

A

=

2

4

2

4

9

3

2

3

7

f

2

(

4

/2

)

f

1

;

2

4

−2

0

1

1

−2

−3

7

;

f3

(

−2

/2

)

f1

;

2 4

−2

0 1

1

0 1

5

f3

(

1

/1

)

f2

;

2 4

−2

0 1

1

0 0

4

=

U

Entonces

(60)

Determinante de una matriz Propiedades de los determinantes

Ejemplo 2

Dada

A

=

2

4

2

4

9

3

2

3

7

, encontrar el n ´umero det

(

A

)

multiplicando los

pivotes

de la matriz triangular

U

.

A

=

2

4

2

4

9

3

2

3

7

f

2

(

4

/2)

f

1

;

2

4

2

0

1

1

2

3

7

;

f3

(

−2

/2

)

f1

;

2 4

−2

0 1

1

0 1

5

f3

(

1

/1

)

f2

;

2 4

−2

0 1

1

0 0

4

=

U

Entonces

(61)

Ejemplo 2

Dada

A

=

2

4

2

4

9

3

2

3

7

, encontrar el n ´umero det

(

A

)

multiplicando los

pivotes

de la matriz triangular

U

.

A

=

2

4

2

4

9

3

2

3

7

f

2

(

4

/2)

f

1

;

2

4

2

0

1

1

2

3

7

;

f

3

(

−2

/2)

f

1

;

2 4

2

0 1

1

0 1

5

f3

(

1

/1

)

f2

;

2 4

−2

0 1

1

0 0

4

=

U

Entonces

Figure

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