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NIVERSIDADA
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IDALGOINSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
MAESTRÍA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
“Relación entre el sentido numérico y pensamiento
alge-braico en el bachillerato”
Presenta:
Juan Luis Téllez López
Dirigido Por:
Dr. Fernando Barrera Mora
Dr. Aarón Reyes Rodríguez
Dedicatorias
A mis padres,
Gracias por su amor, trabajo y sacrificio en todos estos años. Gracias a ustedes he logrado llegar hasta aquí́ y convertirme en lo que soy. Gracias por su apoyo en todas las decisiones que he tomado a lo largo de mi vida y por darme la libertad de desenvolverme como ser humano.
A mis hermanos,
Diego, Jesús, Rogelio y Daniela, quienes han puesto su confianza en mí y son una fuente de inspiración para lograr cada una de mis metas, aspiro ser un ejemplo para ustedes, espero verlos crecer y lograr todos objetivos.
A mis directores de tesis,
Agradezco su paciencia, regaños, pero sobre todo por compartir conmigo un poco de su conocimiento, han inspirado mi vida profesional y son un ejemplo muy grande para mí. Adquiero el compromiso de seguir preparándome y continuar aplicando sus enseñanzas.
A mis alumnos,
Quienes participaron de este proyecto de manera desinteresada y entusiasta. Gracias por apoyarme con su talento, por sus interrogantes y su paciencia. Sin ustedes sencillamente este trabajo no hubiera sido posible.
Norma, Marlen y Viridiana,
Infinitas gracias por su tiempo, fueron parte esencial de este proyecto. Sin su ayuda no hubiera sido posible realizarlo, gracias además por estar conmigo en momentos difíciles en los que sencillamente solo necesitaba un abrazo.
En memoria de Araceli,
Resumen
El desarrollo del pensamiento algebraico es a menudo un desafío, ya que requiere construir habilidades para representar números y operaciones de una manera general. Particularmente, la generalización es difícil para muchos estudiantes, debido a que implica identificar regularidades y establecer relaciones, es decir, identificar estructuras. En este sentido, un antecedente importante para promover el pensamiento algebraico consiste en el desarrollo del sentido numérico, debido a que este es esencial para que los estudiantes den significado a los números y a las operaciones que realizan con estos.
Este trabajo tiene como objetivo documentar la influencia del sentido numérico en el desarrollo del pensamiento algebraico, para lo cual se proponen tareas de identificación y generalización de patrones, diseñadas tomando como referencia el Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático y el enfoque de aprendizaje vía resolución de problemas. Las tareas fueron diseñadas con la finalidad de ayudar a los estudiantes a explorar diferentes formas de razonar, cuantificar, generalizar, simbolizar y, a su vez, que favorezcan los procesos de reflexión y comunicación de ideas.
Abstract
The development of algebraic thinking es often a challenge, since it requires building skills to represent numbers and operations in a general way. Particularly, generalization is difficult for many students, since it involves identifying regularities and establishing relationships, that is, identifying structures. In this sense, an important antecedent to promote algebraic thinking consists in the development of number sense, because this is essential for the students to give meaning to numbers and operations that they perform with numbers.
The aim of this work is to document the influence of number sense in the development of algebraic thinking, for which tasks of identification and generalization of patterns are proposed, designed by taking into account the Cycle to observe learning with understanding and the learning approach via resolution of problems. The tasks were designed in order to help students explore different ways of reasoning, quantifying, generalizing, symbolizing and, in turn, favoring the processes of reflection and communication of ideas.
ÍNDICE
1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN ... 12
1.1. Introducción ... 12
1.2. Justificación ... 13
1.3. Revisión de la literatura ... 14
1.4. Planteamiento del problema ... 17
2. MARCO CONCEPTUAL ... 19
2.1. Introducción ... 19
2.2. Dimensión Ontológica ... 20
2.2.1. Concepción de las matemáticas ... 20
2.2.2. Aprendizaje de las matemáticas ... 21
2.2.3. Sentido numérico ... 22
2.2.4. Pensamiento algebraico ... 23
2.3. Dimensión Epistemológica ... 24
2.4. Dimensión Didáctica ... 25
2.4.1. Aprendizaje con entendimiento ... 26
2.4.2. Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático... 26
3. METODOLOGÍA ... 28
3.2. Participantes ... 28
3.3. Tareas y escenarios de instrucción ... 29
3.4. Descripción de las tareas ... 29
3.4.1. Diseño de las tareas ... 29
3.4.2. Tarea “Alan el impaciente” ... 30
3.4.3. Tarea “El depósito de agua” ... 33
3.4.4. Tarea “La tira de papel”. ... 35
3.5. Recolección de la información y análisis de datos ... 39
4. RESULTADOS ... 43
4.1. Introducción ... 43
4.2. Resultados de la tarea “Alan el impaciente” ... 43
4.2.1. Equipo 1 ... 43
4.2.2. Equipo 2 ... 49
4.3. Resultados de la tarea “El depósito de agua”... 53
4.3.1. Equipo 1 ... 53
4.3.2. Equipo 2 ... 55
4.4. Resultados de la tarea “La tira de papel” ... 58
4.4.1. Equipo 1 ... 58
5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES ... 64
5.1. Introducción ... 64
5.2. Respuesta a las preguntas de investigación ... 64
5.3. Reflexiones finales ... 73
5.4. Limitaciones y recomendaciones ... 74
6. Referencias ... 75
Apéndice A: Oficio de autorización para que los estudiantes participaran en el proyecto de investigación. ... 81
Apéndice B: Hojas de trabajo tarea uno ... 82
Apéndice C: Hojas de trabajo tarea dos... 97
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático . ... 27
Figura 3.1 Captura de la animación del problema ... 33
Figura 4.1 Primera tabulación realizada tarea 1 (E1) ... 44
Figura 4.2 Segunda tabulación realizada tarea 1 (E1) ... 44
Figura 4.3 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E1) ... 45
Figura 4.4 Operación personas atendidas antes que él. ... 45
Figura 4.5 Tercer tabulación realizada tarea 1 (E1) ... 46
Figura 4.6 Cuarta tabulación realizada tarea 1 (E1) ... 46
Figura 4.7 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E1) ... 47
Figura 4.8 Primera fórmula tarea 1 (E1) ... 47
Figura 4.9 Segunda fórmula obtenida tarea 1 (E1)... 49
Figura 4.10 Tercer fórmula obtenida tarea 1 (E1) ... 49
Figura 4.11 Primera tabulación realizada tarea 1 (E2) ... 49
Figura 4.12 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E2) ... 50
Figura 4.13 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E2) ... 51
Figura 4.14 Segunda tabulación realizada tarea 1 (E2) ... 52
Figura 4.15 Primeras fórmulas propuestas tarea 1 (E2) ... 52
Figura 4.17 Primer tabulación realizada tarea 2 (E1) ... 54
Figura 4.18 Operaciones con fracciones tarea 2 (E1)... 55
Figura 4.19 Operaciones con fracciones tarea 2 (E2)... 56
Figura 4.20 Primer tabulación tarea 2 (E2) ... 56
Figura 4.21 Primer tabulación realizada tarea 3 (E1) ... 58
Figura 4.22 Conjetura obtenida tarea 3 (E1) ... 59
Figura 4.23 Segunda tabulación obtenida “modificación” tarea 3 (E1) ... 60
Figura 4.24 Primera tabulación obtenida tarea 3 (E2) ... 61
Figura 4.25 Descomposición de números en primos tarea 3 (E2) ... 62
Figura 4.26 Primera fórmula tarea 3 (E2) ... 62
Figura 4.27 Segunda fórmula obtenida “modificación” tarea 3 (E2) ... 63
Figura 5.1 Divisiones realizadas para representar los números en forma decimal. ... 68
Figura 5.2 Descomposición en primos ... 69
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 3.1 Indicadores de reconocimiento de sentido numérico ... 41
Tabla 3.2 Indicadores de reconocimiento de pensamiento algebraico. ... 42
Tabla 5.1 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 1 de ambos equipos. .... 65
Tabla 5.2 Resumen de hallazgos encontrados en la solución de la tarea 2 de ambos equipos. .... 66
Página | 12
1.
EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
1.1.Introducción
El sentido numérico y el pensamiento algebraico están estrechamente ligados y por ello, las problemáticas de aprendizaje de ambos comparten ciertas similitudes. En cuanto al sentido numérico, éste comienza a desarrollarse al abordar tareas que involucran operaciones aritméticas básicas y se extiende hasta la teoría de números (Rico, Castro, Castro, y Coriat, 1997). Algunos aspectos importantes del pensamiento algebraico consisten en identificar regularidades, así como expresar y generalizar relaciones, verbalmente y simbólicamente. Por otra parte, el estudio de las funciones es central en el aprendizaje del pensamiento algebraico, así como sus antecedentes fundamentales que son el razonamiento proporcional, la variación y los procesos de generalización (Butto y Rojano, 2010).
El pensamiento algebraico es importante en la formación matemática de los estudiantes, ya que es un antecedente indispensable para comprender otras áreas de la disciplina y otras ciencias y se encuentra estrechamente ligado con la capacidad de entender conceptos y las relaciones entre ellos, pero sobre sobre todo con la capacidad de utilizarlos de manera flexible para resolver problemas (NCTM, 2000). En este contexto, la investigación en educación matemática ha identificado que una de las mayores dificultades para profundizar en la comprensión del pensamiento algebraico es la falta de habilidades propias del sentido numérico, las cuáles son esenciales al resolver problemas, puesto que es necesario comprender las relaciones entre cantidades variables, al establecer proporciones y al realizar operaciones útiles para resolver una situación problemática con herramientas matemáticas (Castro, 2012). Particularmente, entre estas habilidades resulta esencial el entendimiento de la igualdad como signo de relación, por mencionar solo un ejemplo (Faulkner, 2009).
Página | 13 tienen con los números. Esto es un indicador de que el sentido numérico tiene relación estrecha con el pensamiento algebraico.
1.2.Justificación
Aprender matemáticas implica entender conceptos, ideas y procesos de la disciplina, ya que el entendimiento de los conceptos matemáticos es necesario para modelar fenómenos y tomar decisiones fundamentadas. En este contexto, el aprendizaje de las matemáticas requiere que los estudiantes “hagan matemáticas” y no solo apliquen procedimientos rutinarios o algoritmos, es decir, la instrucción escolarizada debiera equilibrar la comprensión conceptual y las habilidades procedimentales para operar con expresiones algebraicas (Schoenfeld, 1992; Barrera & Reyes, 2016). Sin embargo, tradicionalmente se prioriza que los estudiantes adquieran destreza para realizar procedimientos rutinarios, los cuales en gran medida se encuentran desvinculados de las situaciones problemáticas que los originan, ocasionando dificultades de comprensión conceptual (Castro, 2012) y en dificultades para desarrollar un pensamiento algebraico (Papini, 2003).
La falta de comprensión conceptual en álgebra se ha evidenciado a través de los resultados de PISA1, prueba en la cual México ocupa uno de los últimos lugares entre los países miembros de la OCDE. Según los últimos resultados de PISA 2015, México obtuvo un promedio de 408 puntos en matemáticas el cuál es comparable con lo obtenido en esta misma prueba en el año 2006, que fue de 406 puntos, por lo que no se observan mejoras en la formación matemática de los estudiantes mexicanos evaluados, además México se sitúa por debajo del promedio de la OCDE (493 puntos) (Márquez, 2017; Poy, 2016; OECD, 2016). Esta problemática destaca la necesidad de hacer cambios en las formas en cómo se aprende matemáticas. Uno de estos cambios consistiría en fomentar el aprendizaje con entendimiento en lugar de centrar la atención en únicamente en el desarrollo de fluidez procedimental, ya que de acuerdo con Hiebert et al.
1 La prueba PISA (Programme for International Student Assessment) es un estudio realizado por la Organización
Página | 14 (1997), el entendimiento es importante porque cuando se entiende algo, ese algo se puede utilizar para resolver problemas o generar nuevo conocimiento. Así, promover el entendimiento de los números y sus operaciones resulta esencial para desarrollar formas algebraicas de pensar, ya que poseer sentido numérico implica entender las cantidades, relacionarlas y operar con ellas flexiblemente (NCTM, 2010).
Por lo anterior, este trabajo tiene como objetivo explorar y analizar la relación entre el sentido numérico y el pensamiento algebraico, mediante la implementación de tareas de identificación y generalización de patrones, bajo la hipótesis de que el conocimiento de los números y su conceptualización influye en la estructuración del pensamiento algebraico.
1.3.Revisión de la literatura
Diversos estudios en educación matemática han analizado la relación entre el conocimiento de los estudiantes sobre números, operaciones y el desarrollo del pensamiento algebraico. Por ejemplo, Filloy y Rojano (1989) analizaron respuestas de estudiantes de segundo año de secundaria (octavo grado) quienes se iniciaban en el aprendizaje del álgebra. En dicho estudio se analizaron las estrategias y métodos que los estudiantes implementan para resolver ecuaciones lineales, centrando la atención en operaciones con números representados por variables. Los resultados indican que los errores cometidos por los estudiantes cuando operan con los modelos algebraicos, no pueden corregirse dentro del propio contexto algebraico, sino que se debe poner atención en cómo los estudiantes interpretan los problemas y cómo utilizan los procedimientos algebraicos. Así, se tiene la posibilidad de buscar estrategias didácticas que permitan al estudiante corregir sus errores, ya que a menudo las expresiones algebraicas se operan mediante reglas, pero sin referencia directa con algún significado.
Página | 15 ecuación fue alto. Cabe señalar que en varios casos las respuestas se obtuvieron intuitivamente. Los autores consideran que los errores cometidos por los estudiantes son producto de una ruptura entre el álgebra y la aritmética. Sin embargo, estas no son ramas aisladas, sino que el álgebra generaliza a la aritmética. Por lo que el objeto de estudio de ambas son las propiedades de los números y relaciones numéricas. Entonces, no tiene sentido tratarlas como si fueran dos cosas distintas y más bien lo que los autores señalan como ruptura es la dificultad para generalizar.
Por otra parte, Booker y Windsor (2010) realizaron una investigación cualitativa, basada en una metodología de diseño de investigación (design research), con estudiantes de séptimo grado, pertenecientes a una comunidad de nivel socioeconómico bajo, el trabajo consistió en identificar si la resolución de problemas puede ayudar a desarrollar el pensamiento algebraico. Se propusieron tareas en donde se requería calcular perímetros, áreas y, posteriormente, identificar y generalizar patrones. Para la solución de las tareas los estudiantes utilizaron diversas formas de representación: diagramas, tablas y gráficos, lo que les permitió observar patrones y formular conjeturas; así como observar regularidades que más tarde utilizaron para generalizar resultados. De esta manera, se promovió el pensamiento algebraico al dotar de significados a los procesos simbólicos que suelen abordarse de forma algorítmica.
Página | 16 Por otra parte, Olmedo, Galíndez, Peralta, y Di Bárbaro (2015) mencionan que los estudiantes que terminan la educación media han adquirido cierta habilidad para manipular expresiones algebraicas de manera descontextualizada. Bajo este supuesto, realizaron una investigación con profesores de matemáticas en formación, a quienes propusieron realizar despejes de ecuaciones y operaciones con expresiones algebraicas. Los errores más comunes fueron confusiones de signos, al determinar la jerarquía de operaciones, o al aplicar leyes de exponentes; uso inadecuado del signo igual, entre otros. Los futuros profesores muestran dificultades, tanto en el uso del lenguaje algebraico como del natural, que impiden el desarrollo de flexibilidad para interpretar símbolos, así como para darles significado, y desarrollar fluidez procedimental.
En contraste Guzmán (2013) señala que es posible plantear actividades que permitan potenciar la observación, reconocimiento de regularidades y patrones, que se describen en lenguaje común, con el objetivo de que un estudiante de primaria, cree, desarrolle y argumente soluciones de tareas, y así estimular el pensamiento matemático. La investigación enfatiza que el pensamiento algebraico es una habilidad que debe introducirse desde una edad temprana, para que el estudiante desarrolle progresivamente formas de pensar y razonar, basadas en realizar abstracciones y generalizaciones. En esta investigación se propusieron cuatro tareas, (i) triángulos de Sierpinsky, (ii) diagonales en polígonos, (iii) salto de la rana y (iv) misioneros y caníbales.
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1.4.Planteamiento del problema
Con base en la literatura revisada se identificó que la mayoría de los estudios centran la atención en el aspecto operacional del álgebra, específicamente en la resolución de ecuaciones, es decir, se enfatiza la aplicación de reglas algebraicas y el dominio de las técnicas de manipulación simbólica. Por otro lado, algunos trabajos analizan el aprendizaje del álgebra desde su aplicación en contextos reales. Otros resultados indican que los estudiantes muestran dificultades para justificar y comunicar resultados. Hay casos donde se utilizan tareas con patrones con la finalidad de desarrollar el pensamiento matemático y apoyar la comprensión del concepto de función.
La mayoría de los trabajos consultados no analizan la relación entre el sentido numérico y el pensamiento algebraico. Por otro lado, la investigación en educación matemática ha obtenido evidencia de que conocer conceptos no es garantía de que estos se puedan aplicar para resolver problemas, por lo tanto, se debe promover el desarrollo de habilidades que permitan una construcción gradual del sentido numérico, como resultado de explorar y relacionar números, al resolver problemas en una amplia variedad de contextos (Greeno, 1991). Cabe señalar que para apoyar el desarrollo del pensamiento algebraico es necesario entender la relación entre el pensamiento algebraico y el sentido numérico, particularmente el uso del signo de igualdad como símbolo de relación. La capacidad de llevar a cabo flexiblemente cálculos mentales, estimación numérica y razonamiento cuantitativo son aspectos fundamentales del pensamiento numérico. Pensar algebraicamente, por otra parte, implica un cambio respecto del pensamiento numérico ya que el nivel de abstracción es mayor, considerando que esta forma de pensamiento parte de identificar, generalizar y representar patrones simbólicamente (Papini, 2003).
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2.
MARCO CONCEPTUAL
2.1.Introducción
En todo proceso de investigación es importante explicitar aquellas ideas, principios y acuerdos con base en los cuales se analiza e interpretan las unidades de observación (Lester, 2005). Todas las ideas, conceptos o abstracciones incluidas en el marco servirán como justificación de los aspectos metodológicos considerados como relevantes en una investigación. Es decir, mediante el marco se vincula el problema con la metodología, con el proceso de análisis de datos y los mecanismos para obtener conclusiones. Existen tres principales tipos de marco de investigación: teórico, práctico o conceptual.
De acuerdo con Eisenhart (1991) un marco teórico está integrado por conceptos, ideas o puntos de vista de una teoría formal, como la epistemología genética de Piaget o la teoría sociocultural de Vygotsky. Por otra parte, un marco práctico orienta la investigación de acuerdo con la experiencia del investigador y “lo que funciona”, según su práctica profesional. Mientras tanto, un marco conceptual es una estructura de conceptos, ideas o puntos de vista que orientan la investigación, además de establecer relaciones entre los conceptos elegidos para determinar su influencia en el análisis e interpretación de un problema. Un elemento central de todo marco conceptual lo constituyen las justificaciones de por qué los conceptos seleccionados, así como sus relaciones, son relevantes para entender el problema de investigación.
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2.2.Dimensión Ontológica
Esta dimensión es importante ya que se establece la conceptualización de matemáticas y del aprendizaje que orientó el diseño e implementación de las tareas. Existen diversas perspectivas acerca de lo que son las matemáticas. Por un lado, algunos consideran a la disciplina como una ciencia exacta y acabada; otros, por el contrario, afirman que es una ciencia en constante cambio y que hacer matemáticas consiste en analizar el entorno para encontrar regularidades susceptibles de ser estudiadas mediante herramientas y un lenguaje matemático (Steen, 1988).
2.2.1. Concepción de las matemáticas
Es importante considerar la relevancia histórica y social a las matemáticas, ya que estas son parte importante de nuestra cultura. La matemática es una ciencia en continua evolución y crecimiento, cuya aplicación en la vida cotidiana permite reconocer patrones, interpretar fenómenos y tomar decisiones fundamentadas (Godino, Batanero, y Font, 2003). La matemática, está integrada por ideas y técnicas que permiten analizar situaciones o fenómenos reales y, por ende, resolver problemas. En este contexto, consideramos que aprender matemáticas consiste en desarrollar formas matemáticas de pensar; esto es, ver el mundo a través de los lentes de un matemático (Schoenfeld, 1992). En resumen, en este trabajo consideramos que se aprende matemáticas al resolver problemas que representan un reto intelectual para los estudiantes y no únicamente dificultades procedimentales o de cálculo (Gabardo, 2010; Polya, 1985).
Página | 21 fundamental de la actividad matemática. Por otro, lado, el interrelacionar ideas matemáticas con situaciones reales o hipotéticas puede apoyar la construcción de un aprendizaje con entendimiento.
2.2.2. Aprendizaje de las matemáticas
Aprender matemáticas a menudo se relaciona con la aplicación de conceptos, procedimientos rutinarios y algoritmos en la resolución de problemas. No obstante, desde una perspectiva de resolución de problemas, es importante que los estudiantes hagan matemáticas en contextos variados, de forma que puedan aplicar sus conocimientos previos de maneras flexibles y novedosas, lo cual a su vez puede, despertar el interés por aprender. En este sentido el aprendizaje vía resolución de problemas se centra en los procesos de pensamiento y no en los resultados, por lo que el aprender, mediante este enfoque, significa establecer una conexión entre lo que ya se sabe y el nuevo conocimiento (Aninat, 2004).
En el aprendizaje de las matemáticas, la solución de problemas es un aspecto crucial en el proceso de enseñanza y aprendizaje, ya que permite potenciar el desarrollo de las capacidades de cada estudiante, dado que la construcción de conexiones entre los conocimientos previos y el nuevo conocimiento es el eje central del aprendizaje y no la ejecución de procedimientos rutinarios o algoritmos carentes de significado. En este sentido, todo problema debe ser un desafío, cuya solución pueda encontrarse utilizando métodos diversos y no únicamente de forma operacional o algorítmica. Al respecto, tareas de reconocimiento de patrones pueden permitir a los estudiantes utilizar formas diversas de representar la información, así como explicar cómo un cambio en una cantidad provoca un cambio en otra cantidad. En otras palabras, los problemas con patrones son útiles para promover las capacidades, destrezas y habilidades de los estudiantes para identificar regularidades, así como abstraer esas regularidades y generalizarlas (Alonso & Martínez, 2003; Polya, 1985; Schoenfeld, 1992).
Página | 22 determinar regularidades y elaborar modelos del mundo real (Lesh & Doerr, 2003). Es decir que aprender a pensar matemáticamente significa ver el mundo a través del lente de un matemático (Schoenfeld, 1992). De ahí que el proceso de instrucción, desde una perspectiva de resolución de problemas, debiera orientarse a proponer tareas no rutinarias, que involucren la identificación de patrones. La identificación de patrones permitirá a los estudiantes analizar casos particulares y, a partir de estos, obtener el término general, llevando a cabo procesos de abstracción, generalización y simbolización. Es decir, las tareas con patrones favorecen el entendimiento de relaciones entre objetos matemáticos y la identificación de estructuras (Merino, 2013).
2.2.3. Sentido numérico
La comprensión que un estudiante tiene sobre los números y las operaciones, así como la fluidez y flexibilidad para utilizarlos en la solución de problemas se conoce como sentido numérico. El sentido numérico también incluye la habilidad para realizar cálculos mentales, capacidad para determinar magnitudes y estimar resultados (Greeno, 1991). El sentido numérico puede describirse como intuición numérica, que se identifica cuando los estudiantes establecen con facilidad relaciones numéricas y se conoce el efecto relativo de operar con números (Reys B. J., 1994). Según El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos (NCTM, 2010) es posible caracterizar al sentido numérico por cinco componentes principales: (i) el significado del número, (ii) relaciones numéricas, (iii) tamaño de los números, (iv) operaciones con los números y (v) cantidades.
En el aspecto didáctico, las tareas para desarrollar sentido numérico deben permitir que los estudiantes interpreten, comuniquen y procesen información al usar números y operar con ellos. No obstante, esta habilidad no es algo que se enseñe en un apartado o momento específico, ya que el sentido numérico es complejo y multifacético, además de que se desarrolla y madura con la experiencia (Reys B. J., 1994) . El sentido numérico es una forma de pensar que debe estar presente en todos los momentos de la formación matemática de los individuos (Berch, 2005).
Página | 23 son comunes en sectores amplios de la población adulta (Barrera y Reyes, 2013). No obstante, la habilidad para operar con fracciones o números enteros no es evidencia de un sentido numérico, sino más bien de habilidad para aplicar procedimientos algorítmicos, los cuales muchas veces carecen de significado. La falta de sentido numérico se hace evidente cuando un estudiante no es capaz de argumentar por qué ciertos resultados, o las operaciones utilizadas para obtenerlos, son razonables (Reys & Der-Ching, 1998; Mcintosh, Reys, & Reys, 1992). Así, un ambiente de instrucción propicio para desarrollar sentido numérico requiere de condiciones que permitan a los estudiantes realizar exploraciones; contrastar, discutir y comunicar ideas, así como desarrollar formas matemáticas de pensar y de razonar, así como fomentar el pensamiento crítico y el razonamiento numérico (Yang, 2003). Aunado a esto, es crucial entender que la intuición para manejar los números y sus relaciones es una habilidad que se adquiere de manera gradual, como consecuencia de resolver problemas, visualizar cantidades en contextos diversos y de realizar flexiblemente operaciones con números (Barrera & Reyes, 2013; Reys B. J., 1994).
En este contexto, los estudiantes comenzarán a adquirir sentido numérico a medida que participen en actividades que requieran pensar en términos numéricos y establecer relaciones con información cuantitativa de su vida cotidiana ya que la habilidad numérica no se origina por casualidad, sino que se desarrolla y madura con la experiencia (Reys B. J., 1994).
2.2.4. Pensamiento algebraico
Página | 24 pensamiento algebraico supone una manera particular de pensar acerca de los objetos matemáticos y las relaciones entre ellos (Butto & Rojano, 2010).
Es común, que en la educación escolarizada se inicie el aprendizaje del álgebra a partir de actividades de naturaleza algorítmica, donde se introduce simbología y reglas operacionales de las representaciones algebraicas, las cuales parecen distintas de aquellas que se aplican a los números naturales, enteros o racionales. Es decir se hace una distinción entre la aritmética y álgebra lo cual provoca una separación artificial entre estas disciplinas, omitiendo el hecho de que en ambos casos se aplican las mismas reglas para operar con números específicos o números indeterminados representados por literales (Barrera & Reyes, 2016; Molina, Ambrose, & Castro, 2004). En este sentido, el pensamiento algebraico constituye una forma particular de entender las matemáticas y de extender su conocimiento hacia la generalidad de fenómenos tal como lo hacen los matemáticos (Windsor, 2010; Schoenfeld, 1992). De acuerdo con la NTCM (2010) el pensamiento algebraico se relaciona con identificar patrones, relaciones y funciones, las cuales proporcionan la base para el desarrollo de habilidades para que los estudiantes entiendan, describan y, analicen los fenómenos de su entorno.
La población en general sostiene una concepción restringida en la que entender algebra consiste en manipular variables o realizar operaciones con expresiones simbólicas. Un docente que sostiene esta concepción desconoce que este tipo de instrucción fomentará un estudio descontextualizado, abrupto, disfuncional, tardío, y superficial del álgebra escolar. Es por esto que se necesita entender que el desarrollo del pensamiento algebraico requiere tiempo para desarrollarse y sobre todo que se propongan tareas que fomenten la observación de las relaciones numéricas, justificar procedimientos, modelar problemas, describir patrones y representar simbólicamente la generalidad (Kaput y Blanton, 2000).
2.3.Dimensión Epistemológica
Página | 25 características del escenario de instrucción y estas, a su vez, son guiadas por los antecedentes teóricos, enfoques interpretativos y juicios del docente (Barrón, 2015).
En este trabajo se ha adoptado una postura socio constructivista, asumiendo que cada individuo construye su propio conocimiento de forma activa, es decir que el estudiante es quien da sentido a la información que procesa y genera ideas las cuales, a su vez, utiliza para construir nuevo conocimiento. Por esta razón, el conocimiento no debe considerarse como una copia de la realidad externa, sino una construcción individual que ocurre mediante una modificación de los esquemas (conocimientos previos) que cada individuo posee. Así, aprender es un proceso que consiste en formar estructuras conceptuales cada vez más robustas, integrando o conectando conocimientos previos con nuevos conocimientos (Lerman, 2014). Otros aspectos importantes para considerar son los aspectos cognitivos, sociales y afectivos de una persona, puesto que cuando un individuo interactúa con otros en una comunidad de aprendizaje, el conocimiento se reestructura y reorganiza como resultado de esta interacción social. Por lo anterior, la participación de los estudiantes en procesos de reflexión y comunicación de ideas es crucial para que construyan nuevo conocimiento, ya que este no es recibido pasivamente, sino que es procesado y construido activamente (Ernest, 2010).
2.4.Dimensión Didáctica
Página | 26 Es importante que las tareas a las que se enfrentan los estudiantes les permitan plantear preguntas, usar diversos recursos y estrategias de solución de manera tal que se establezcan conexiones entre los conocimientos previos y los nuevos conocimientos, apoyadas por el contexto en el que las tareas son presentadas (Barrera-Mora y Santos-Trigo, 2000). Lo anterior con la finalidad de que los estudiantes desarrollen hábitos para encontrar sentido o significado a los conceptos y por ende desarrollar entendimiento (Schoenfeld, 1992).
2.4.1. Aprendizaje con entendimiento
Desde la concepción constructivista del aprendizaje de las matemáticas la resolución de problemas es fundamental para que los estudiantes puedan desarrollar un entendimiento de los conceptos y procedimientos matemáticos (Godino, Batanero, & Font, 2003), ya que de otra manera se limita la capacidad de los estudiantes para aplicar los contenidos con flexibilidad (Schoenfeld, 1992). Cuando un estudiante entiende algo, está en posibilidad de movilizar ese conocimiento para resolver problemas, lo cual, a su vez favorece la interrelación de los conocimientos previos con los nuevos (entendimiento). En el desarrollo de entendimiento la conexión entre ideas y concepto es crucial. Por otra parte, los procesos que intervienen en esta construcción de entendimiento son: (i) la reflexión que posibilita que se establezcan conexiones nuevas a partir de las establecidas previamente (ii) la comunicación permite socializar el conocimiento, contrastar las ideas de otros, reflexionar sobre ellas, mejorarlas y construir ideas propias (Hiebert et al., 1997).
2.4.2. Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático.
Página | 27 de observación se identifican las relaciones entre los datos del problema y las incógnitas, lo que implica un proceso de reflexión acerca de lo observado. En la fase de plantear conjeturas los estudiantes, a partir de la observación de regularidades, buscan encontrar patrones que puedan generalizar. Por último, en la fase de justificación de resultados los estudiantes deben comunicar sus conjeturas para reflexionar sobre ellas y mejorarlas por lo que se debe tener una actitud inquisitiva y de ser necesario volver a pasar por todas las fases anteriores.
Página | 28
3.
METODOLOGÍA
3.1.Introducción
La metodología empleada en el desarrollo de esta investigación es cualitativa, debido a que los objetivos que se han planteado están relacionados con la comprensión de significados relacionados con el aprendizaje del álgebra, así como factores que influyen en este. Específicamente, se busca determinar cómo el sentido numérico influye en el desarrollo del pensamiento algebraico. Es decir, identificar las diferentes formas de pensar y razonar de los estudiantes al resolver tareas de identificación y generalización de patrones (Salgado, 2007; Martinez, 2006).
3.2.Participantes
Como ya se expuso anteriormente, se adoptó el enfoque socio-constructivista para orientar el diseño e implementación de las tareas. El trabajo en equipo se fomentó ya que la participación en una comunidad de práctica (Wenger, McDermott y Snyder, 2002) es fundamental para promover la construcción de significados considerados como compartidos. Así mismo, se promovió la reflexión y comunicación de ideas para favorecer el desarrollo de entendimiento matemático. Por otra parte, el papel del docente consistió en formular preguntas y realizar sugerencias para afrontar las problemáticas que surgieron durante el proceso de implementación de las tareas (Barrón, 2015; Ernest, 2010; Lerman, 2014).
Página | 29 Los estudiantes en cada grupo se asignaron al azar para tener una composición no intencional y mixta de los grupos, en cuanto a género y nivel de conocimientos.
3.3.Tareas y escenarios de instrucción
Las tareas que se utilizaron en este trabajo de investigación se diseñaron de forma que el estudiante transitara por cada una de las fases del ciclo de aprendizaje con entendimiento (Barrera & Reyes, 2016). Se buscó que las tareas permitieran a los estudiantes dar significado a los procesos matemáticos al trabajar en contextos variados y utilizar diversos métodos para dar solución al problema (Schoenfeld, 1992; Aninat, 2004; Polya, 1985; Alonso & Martínez, 2003). Cada tarea se diseñó con la intención de que el estudiante trabajara con cantidades y estimaciones, además de que desarrollara procesos de abstracción, generalización y simbolización.
3.4.Descripción de las tareas
3.4.1. Diseño de las tareas
Las tareas se diseñaron como juegos lúdicos donde se busca la participación activa de los estudiantes para abordar los problemas planteados en situaciones que pudiesen explorar, reflexionar y compartir experiencias, que les permitan identificar patrones numéricos de una secuencia figural. Uno de los elementos metodológicos importantes en el presente trabajo se basa en las etapas del Ciclo para observar el desarrollo del entendimiento matemático descrito en el capítulo anterior. Por lo que, cada una de las tareas permitieron:
• Identificar, representar información: Para esto cada una de las tareas requirió de material concreto (Imágenes, hojas de colores, animaciones etc.) para representar la situación que se les propuso en cada una de las tareas, lo que posteriormente daría pauta para registrar dicha información en tablas o gráficas.
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• Formular conjeturas: Una vez que el estudiante resolvió casos particulares se planteó en cada una de las tareas una serie de preguntas que permitieran la reflexión acerca de las regularidades observadas para que el estudiante pueda generalizar los patrones.
• Justificar y comunicar resultados: En este punto resultó crucial que las tareas se desarrollaran en equipo ya que el discutir las ideas permitió que los estudiantes tuvieran una postura inquisitiva y pudieran aceptar o rechazar las conjeturas planteadas.
Cabe señalar que las tareas se diseñaron de forma tal que los estudiantes tuvieran un problema inicial que resolver y se propusieron una serie de preguntas que el aplicador realizaba cuando ser observaban dificultades al contestar para guiar al entendimiento del problema y su generalización.
3.4.2. Tarea “Alan el impaciente”
El enunciado del problema y la pregunta uno, se entregó en una hoja de trabajo a partir de la pregunta dos plantearon al equipo según lo que los estudiantes realizaban y de acuerdo a sus dudas.
Alan es un estudiante que está formado en la fila de control escolar y se encuentra al final de una fila de estudiantes esperando para ser atendido. Hay 50 alumnos delante de él. Pero como es muy impaciente, cada vez que es atendido el que está hasta el frente, Alan se escabulle dos lugares hacia adelante, excepto cuando solo queda una persona delante del él, sólo se escabulle un lugar y queda al frente de la fila.
1. ¿Cuántos estudiantes serán atendidos antes de Alan? Intente dar una respuesta mentalmente.
Página | 31 observación y comunicación de ideas para apoyar el proceso de generalización. Por ejemplo, se les sugirió:
2. Si solo hay 3 estudiantes delante de Alan ¿Cuántos estudiantes serán atendidos antes?
3. Si son 6 los que están antes ¿Cuántos estudiantes serán atendidos antes que él?
Para representar el problema pudieron utilizar figuras. Además, se sugirió registrar la información en una tabla. Se pretendía que esta forma de organizar la información sirviera como base para poder contestar preguntas tales como las siguientes:
4. ¿Puedes predecir cuantos estudiantes serán atendidos antes que él cuando hay 50 estudiantes delante de él?
5. ¿Qué estrategias utilizaste para dar la respuesta?
6. ¿Cómo podías predecir la respuesta para cualquier número de estudiantes en la fila?
7. ¿Pueden explicar el significado de la fórmula encontrada y su relación con el problema planteado?
Las preguntas anteriores sirvieron como base para el desarrollo de la actividad, no obstante, el docente realizó otros cuestionamientos a los estudiantes con el fin de apoyar el proceso de reflexión y por consiguiente el estudiante pudiera plantear sus conjeturas, generalizar, comunicar y justificar resultados. También se pidió que los participantes justificaran la validez de la regla o conjeturas a las que llegaban. Al respecto, el docente planteó preguntas tales como:
8. Si atendieron a 13 estudiantes antes que Alan ¿Cuántos estaban formados en la fila?
Página | 32 10.Si había 296 estudiantes formados delante de Alan ¿Cuántos fueron atendidos antes? ¿Y si
había 7695?
Una vez que se logró comprender el problema, se propuso un cambio al problema como sigue: Alan, conforme pasa el tiempo, se vuelve más impaciente. Vea cómo cambia la regla si Alan se pasa tres lugares cada vez. Recuerda que Alan llegará al frente de la fila, aunque al último pase menos de tres estudiantes. Si el estudiante ha comprendió cómo funciona la regla que previamente encontró, debería poder explicar los casos siguientes:
11.¿Qué pasa si avanza 4 lugares?
12.¿Qué pasa si avanza 10 lugares?
Para terminar la actividad se pidió a los estudiantes explicar sus resultados, con la finalidad de fomentar el proceso de comunicación de ideas.
Tabla 1. Características relevantes de la tarea “Alan el impaciente”.
Contenidos matemáticos
importantes en el proceso
de solución
Operaciones con números reales, función y ecuación lineal.
Procesos matemáticos Identificación y representación de información, resolución de casos
particulares, formular conjeturas, justificar y comunicar resultados.
Condiciones de aplicación La tarea fue diseñada para realizarse en equipo de 2 a 5 estudiantes. El
tiempo para abordar la tarea fue dos horas.
Material Se usaron de 21 figuras que representen a los estudiantes del problema,
hojas de trabajo y es permitido el uso de calculadoras o graficadoras
Rol del docente Guía vía formulación de preguntas.
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3.4.3. Tarea “El depósito de agua”
El enunciado del problema y la pregunta uno, se entregó en una hoja de trabajo a partir de la pregunta dos plantearon al equipo según lo que los estudiantes realizaban y de acuerdo a sus dudas.
Si se tiene un depósito de agua, el cual tiene una llave, que al abrirla lo llena en 30 minutos, y otra llave más que tarda en llenarlo 15 minutos.
Figura 3.1 Captura de la animación del problema
1. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si se abren las dos llaves al mismo tiempo?
Se pidió a los participantes, en primera instancia, responder a la pregunta sin hacer cálculos y luego se observó la estrategia que siguieron para encontrar la solución del problema. Cuando se identificó que tenían dificultades para responder, se les hicieron preguntas como las siguientes:
2. ¿Qué parte del depósito se habrá llenado después de trascurrir un minuto?
Página | 34 Con lo anterior se guio a la resolución de casos particulares y se fomentó la observación y reflexión, además el estudiante pudo utilizar la animación interactiva (elaborada en GeoGebra) para comprobar sus resultados (Figura 3.1). Se pidió, además, que justificaran sus conjeturas y una vez que comprendieron el problema se solicitó generalizar el resultado, preguntando:
4. ¿Existe alguna fórmula que permita calcular el tiempo de llenado de un recipiente para un tiempo de llenado (𝑡1) de la primera llave y un tiempo de llenado (𝑡2) para la segunda llave?
Otra versión del problema sería plantear que pasaría, si se tiene una tercera llave que llena el depósito en 10 minutos y preguntar a los estudiantes:
5. ¿En cuánto tiempo se llenará él depósito si se abren las tres llaves de manera simultánea?
6. ¿Hay algún cambio en la fórmula? ¿Cuál?
Si el estudiante comprendió el problema debería responder estos últimos planteamientos, además de justificar sus conjeturas.
Tabla 2. Características relevantes de la tarea “El depósito de agua”.
Contenidos matemáticos
importantes en el proceso
de solución
Función y ecuación lineal, proporción directa e inversa, mínimo común múltiplo,
máximo común divisor y operaciones con números reales.
Procesos matemáticos Identificación y representación de información, resolución de casos particulares,
formular conjeturas, justificar y comunicar resultados.
Condiciones de aplicación La tarea fue diseñada para realizarse en equipo de 2 a 5 estudiantes. El tiempo
para abordar la tarea fue dos horas.
Material Se usó una animación elaborada en GeoGebra y hojas de trabajo.
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Fuente: Elaboración propia.
3.4.4. Tarea “La tira de papel”.
El enunciado del problema, la pregunta dos a la cuatro, se entregó en una hoja de trabajo, así como la tabla a partir de la pregunta cinco se plantearon al equipo según lo que los estudiantes realizaban y de acuerdo a sus dudas. Es importante señalar que cuando se pregunta por las líneas observadas se hace referencia a los dobleces observados al desdoblar la tira.
Toma una hoja de papel y corta a la mitad por la parte más angosta de la hoja. Toma una mitad y la otra guárdala. Dobla una de las tiras a la mitad, por la parte más larga, y luego desdobla.
1. ¿Cuántas partes se observan en la tira al desdoblarse?
2. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira al ser desdoblada?
Dobla nuevamente la tira a la mitad. Ahora repita la operación de manera que ha realizado dos dobleces sobre la tira.
3. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?
Página | 36 Repite este proceso y completa la siguiente tabla:
Número de veces que se
dobla la tira
Partes que se observan al
des-doblar la tira.
Líneas que se observan al
desdoblar la tira.
1 2 3 4 5 10 15
Se permitió que los estudiantes exploraran el problema, y el docente observó las estrategias que utilizaron para dar respuesta a los cuestionamientos. Una vez que reflexionaron y plantearon sus conjeturas se les pidió que contestaran los siguientes cuestionamientos: Si se observan 128 partes en la tira al desdoblarla:
5. ¿Cuántas veces se dobló?
6. ¿En cuántas partes está dividida una tira en la que se observan 255 líneas?
7. ¿Cuántas partes se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?
8. ¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando la misma se ha doblado n veces?
Una vez que los estudiantes respondieron las preguntas anteriores. Se les pidió que justificaran sus conjeturas y explicaran el funcionamiento de su expresión.
Página | 37 Toma la tira que te sobró al inicio y dobla en tres partes iguales
9. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?
10.¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada?
Dobla de nuevo en partes iguales y sin desdoblar, dobla la tira a la mitad. Contesta lo siguiente:
11.¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?
12.¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada?
Si se realizó los dobleces de manera correcta la tira deberá observarse como la siguiente imagen:
Vuelve a doblar la tira como se tenía y luego sin desdoblar dobla a la mitad cada vez, completa la siguiente tabla:
Número de veces que se
do-bla la tira
Partes que se observan al
des-doblar la tira.
Líneas que se observan al
desdoblar la tira.
Página | 38 Una vez que los estudiantes comprendieron el problema se les preguntó lo siguiente:
Si se observan 192 partes en la tira al desdoblarse
13.¿Cuántas veces se ha doblado?
14.¿Cuántas partes se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?
15.¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?
Se pidió a los estudiantes que explicaran cual es la diferencia entre la expresión de la versión A y la versión B del problema, además que explicaran las regularidades observadas en el proceso de doblado.
Tabla 3. Características relevantes de la tarea “La tira de papel”.
Contenidos matemáticos
importantes en el proceso
de solución
Función exponencial, leyes de exponentes, operaciones con números reales.
Procesos matemáticos Identificación y representación de información, resolución de casos particulares,
formular conjeturas, justificar y comunicar resultados.
Condiciones de aplicación La tarea fue diseñada para realizarse en equipo de 2 a 5 estudiantes. El tiempo
para abordar la tarea fue dos horas.
Material Se usaron hojas de colores, hojas de trabajo, tijeras, regla y usar calculadora o
graficadora está permitido.
Rol del docente Guía vía formulación de preguntas.
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3.5. Recolección de la información y análisis de datos
La recopilación de la información se llevó a cabo mediante grabaciones de video, las anotaciones que realizó el docente durante la implementación de las tareas, y las hojas de trabajo de cada uno de los estudiantes que participaron en la actividad. La información obtenida fue cualitativa, es decir información en forma de palabras, íconos o imágenes para interpretar la forma de pensar y razonar de los estudiantes, la cual fue de utilidad para determinar la posible influencia del sentido numérico sobre aspectos esenciales del pensamiento algebraico.
Como se expuso anteriormente, el sentido numérico es la capacidad que un estudiante tiene para establecer relaciones, dotar de significados y operar con números, además entender las cantidades, magnitudes, estimar resultados y argumentar acerca de estos (Greeno, 1991; NCTM, 2010; Reys & Der-Ching, 1998; Mcintosh, Reys, & Reys, 1992). Con base a lo anterior se determinaron indicadores que sirvieron para evaluar los argumentos y acciones que los estudiantes realizaron para dar solución a las tareas.
Los indicadores que se presentan en la tabla 3.1 fueron diseñados para obtener evidencia de aspectos que caracterizan al sentido numérico mostrado por los estudiantes, como grupo; por lo tanto, los mismos pueden no ser de utilidad para evaluar de manera individual a los estudiantes. Cabe mencionar que las tareas no tuvieron el propósito de demostrar el dominio del sentido numérico, sino que se pretendió obtener evidencia indirecta de este y conocer cómo el sentido numérico puede influir en el aprendizaje del algebra.
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Tabla 3.1 Indicadores de reconocimiento de sentido numérico
Nivel Descripción
Deficiente
El argumento o la evidencia escrita indican una mala interpretación de la información
numérica obtenido en tablas o gráficas. Los números pueden presentarse, pero no están
relacionados en el argumento. Puede incluir adjetivos tales como: "muchas", "pocas",
"la mayoría", etc. Hace afirmaciones no apoyadas en el significado causal del evento,
los números aparecen sin comparaciones que apoyen al significado, los números
pre-sentados no los utiliza para dar un argumento coherente.
Suficiente
En el argumento o la evidencia escrita hay ocasiones en que la información no es
con-creta o se utiliza de manera incorrecta. Presenta los números de manera efectiva, pero
carecen de sustento sobre el significado causal del evento. Hace malas interpretaciones
tales como de comparación, relaciones causa efecto etc.
Bueno
El argumento o la evidencia escrita se basa en una certeza numérica sólida y coherente,
solo ocasionalmente hace referencias poco concretas. Explica los métodos usados, hace
comparaciones o relaciones causa efecto, es capaz de estimar resultados. Puede que no
se exploren todos los aspectos posibles de un hecho.
Excelente
El argumento o la evidencia escrita es de alta calidad, la interpretación numérica es
completa, considera toda la información disponible, realiza operaciones de manera
correcta, explora completamente los métodos y se explican correctamente. No hay
errores en la interpretación ni de relación causa efecto.
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Tabla 3.2 Indicadores de reconocimiento de pensamiento algebraico.
Nivel Descripción
Deficiente
Pueden tener una mala interpretación del problema que además impide dar una
explica-ción al mismo. Los estudiantes realizan cálculos y ponen especial atenexplica-ción en las
reali-zaciones de operaciones y la obtención de resultado numérico. El razonamiento
ma-yormente orientado a resolución de casos particulares.
Suficiente
Justifica en términos de casos particulares, explican la estructura de cada método en
términos numérico - aritmético. Utiliza una explicación verbal y muestra evidencia de
entendimiento de las relaciones. Muestra poca habilidad para generalizar los objetos
matemáticos.
Bueno
Se justifica de modo general el funcionamiento del fenómeno en ocasiones pude omitir
información, logra generalizar los objetos matemáticos de completa o parte del
fenó-meno mediante una función o relación. Utiliza símbolos algebraicos para representar
números y es capaz de operar con ellos. Justifica de manera verbal y usa algunos
argu-mentos matemáticos para explicar el fenómeno.
Excelente
Logra entender de manera completa el fenómeno sin omitir información, generaliza los
objetos matemáticos, establece relación entre ellas y precisa un modelo mediante una
función. Es capaz de operar con las variables y de modificar el modelo establecido a
partir de condiciones nuevas. El entendimiento del problema es tal que es capaz de
argumentar matemáticamente.
Página | 43
4.
RESULTADOS
4.1.Introducción
En este capítulo se detallan los hallazgos encontrados al momento de implementar las tareas propuestas en el presente trabajo. Durante el proceso de implementación se realizaron cuestionamientos específicos a los estudiantes, en función de las observaciones que el docente realizó sobre el trabajo de cada uno de ellos, o en apoyo al entendimiento de la actividad. Es importante señalar que la participación de los estudiantes fue voluntaria y se les informó que se trataba de una investigación para la realización de una tesis de maestría.
El análisis se realizó por cada tarea, en lo consiguiente la tarea uno (T1) se refiere a la tarea “Alan el impaciente”, la tarea dos (T2) “El depósito de agua” y la tarea tres (T3) a “La tira de papel”. Así mismo el desarrollo de cada tarea será analizado por cada equipo lo cuales serán nombrados Equipo 1 (E1) y Equipo 2 (E2) respectivamente. Los nombres de los estudiantes fueron remplazados por pseudónimos como Estudiante 1, 2, 3, …10, respectivamente, con el fin de proteger la identidad de los participantes. En lo subsecuente, nos referiremos a la evidencia de sentido numérico y pensamiento algebraico con los indicadores: deficiente, suficiente, bueno o excelente, acorde a lo descrito en la tabla 3.1 y 3.2 incluidas en el capítulo 3.
4.2.Resultados de la tarea “Alan el impaciente”
Para la primera actividad se entregó a los estudiantes una hoja de trabajo y los equipos se colocaron alrededor de una mesa de trabajo. Se les proporcionaron hojas blancas para realizar notas, y se les indicó que no borraran sus anotaciones. Durante la actividad hubo además una persona que grabó en video el desarrollo de la actividad.
4.2.1. Equipo 1
Página | 44 pensaran en un problema más simple comenzaron a registrar los datos en una tabla (Figura 4.1), no obstante, uno de los integrantes argumentó que ese registro no serviría ya que siempre se obtenía el mismo resultado, lo que los llevó a tener una segunda versión de la tabla (Figura 4.2) y esto les permitió da una primera respuesta, se les preguntó ¿Ya saben cómo se comporta? La respuesta fue que eran 20 las personas atendidas.
Figura 4.1 Primera tabulación realizada tarea 1 (E1)
Figura 4.2 Segunda tabulación realizada tarea 1 (E1)
Página | 45 operaciones aritméticas, acerca de las cuales no son capaces de argumentar su pertinencia, tal como se puede observar en la siguiente trascripción (Figura 4.3).
Profesor: ¿Ya vieron cómo se comporta?
Estudiante 1: Atiende a 20 personas [antes de Alan].
Profesor: ¿y cómo le hizo para saber?
Estudiante 3: Jugamos el de 10 y lo fuimos pasando y después nos dios un resultado de 4 per-sonas y lo multiplicamos, cuatro por cinco.
Profesor: ¿Y cómo sabe que así se comporta? ¿Cómo sabía que multiplicar por cinco? O ¿Có-mo asegura que eso ayuda a resolver el problema?
Estudiante 2: es que eso nos daba.
Estudiante 3: Entonces hay que jugarlo más.
Estudiante 5: Ponlo de 20 muñecos.
Figura 4.3 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E1)
Figura 4.4 Operación personas atendidas antes que él.
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Figura 4.5 Tercer tabulación realizada tarea 1 (E1)
Figura 4.6 Cuarta tabulación realizada tarea 1 (E1)
Página | 47 el número de estudiantes atendidos eran 16 y pedían que el docente les dijera si su resultado era correcto, pero se les indicó que ellos debían comprobar o justificar el resultado (Figura 4.7).
Profesor: ¿Y si sabe eso entonces cuantos serían atendidos si son 50 entonces?
Estudiante 5: 16
Profesor: ¿Por qué?
Estudiante: Por lo que les estoy diciendo, si a la fila le sumas 3 atienden a uno más. Los saltos de Juan, o no sé cómo se llame, no los conté porque no los pedía.
Figura 4.7 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E1)
En este caso, la evidencia de sentido numérico es apenas “suficiente” ya que a pesar de encontrar una regularidad numérica los estudiantes no utilizaron argumentos para justificar el procedimiento de solución, Además, las operaciones aritméticas están desconectadas del problema pese a que pueden operar numéricamente. En general este equipo tuvo dificultades para elaborar argumentos y en ocasiones se interpretó de manera incorrecta la información. La evidencia de pensamiento algebraico puede calificarse como “deficiente” ya que únicamente pueden argumentar en base a los casos particulares y no logran sustentar una explicación basada en la evidencia numérica.
Página | 48 Cuando se les pidió a los participantes que, si podían predecir el número de estudiantes que eran atendidos antes que Alan para cualquier cantidad de personas en la fila, comenzaron a explorar su argumento anterior, logrando deducir que debían dividir entre 3 para encontrar el número de estudiantes atendidos antes que Alan. No obstante, notaron que para algunos casos la división no era exacta y argumentaban que no se debía tomar en cuenta los decimales a lo que se les preguntó ¿Por qué razón? Y no fueron capaces de argumentar. La sugerencia fue que redondearan y probaran para casos particulares con el fin de comprobar si lo obtenido era correcto. El principal obstáculo, observado es que dudaron como redondear correctamente los números, utilizaban la palabra infinito para referirse a una cifra periódica, aunque tenían la concepción correcta. Dichos errores llevaron a obtener un primer acercamiento a la fórmula (Figura 4.8) la cuál descartaron después de probarla. Se observó poca habilidad para relacionar números con literales ya que dicha expresión es igualada a 1 y los estudiantes no son capaces de explicarla.
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Figura 4.9 Segunda fórmula obtenida tarea 1 (E1)
Figura 4.10 Tercer fórmula obtenida tarea 1 (E1)
En cuanto al pensamiento algebraico puede categorizarse como “suficiente” ya que los estudiantes logran establecer la relación entre variables y son capaces de utilizar dicha expresión, además explican que dividen entre 3 porque observan que así cambia en la tabla construida y suman 1 porque consideran a Alan que también está formado en la fila. Lo cual da evidencia que pueden justificar de manera verbal el funcionamiento de su fórmula y utilizando algunos argumentos matemáticos. Cabe mencionar que los estudiantes no lograron terminar la actividad en el tiempo establecido y lograron encontrar una sola fórmula y tampoco lograron generalizar para una cantidad k de brincos y n de alumnos formados.
4.2.2. Equipo 2
Cuando se les pidió a los estudiantes que dieran una respuesta intuitiva a la pregunta ¿Cuántos estudiantes fueron atendidos antes que él? Los estudiantes luego de pensar un momento argumentaron que podían ser 24 o 25. Después de resolver casos particulares los estudiantes obtuvieron la tabla que se muestra en la figura 4.11. Cuando se preguntó a los participantes si podían decir ¿Cuántos estudiantes estaban formados? refirieron que estaban calculándolo, no obstante,
revisando las videograbaciones los estudiantes ya había
Página | 50 se atendía una persona más y en ese momento los estudiantes comienzan en buscar una fórmula para contestar el cuestionamiento antes incluso de darles la instrucción de generalizar. Sin embargo, cuando se les preguntó si podría decir ¿Cuantos eran atendidos si eran 50? ellos utilizaron un argumento similar al Equipo 1 ya que al observar su tabla y ver que cuando eran 10 se atendían 4 personas ellos refirieron que era posible multiplicar 4 * 5 y su respuesta fue 20.
Profesor: ¿Ya podrían saber? ¿Cuántas personas fueron atendidas si son 50?
Estudiante 6: Ya sacamos patrones nada más nos falta poner la fórmula.
Profesor; ah ya se adelantaron a sacar una fórmula. Y ¿Cuántos serían entonces si son 50?
Estudiante 7: No falta la fórmula.
Profesor: Aunque no tengan la fórmula.
Estudiantes: Ah ok.
Estudiante 6: Si de 10 son 4 personas atendidas.
Estudiante 7: Multiplicamos eso por 5.
Estudiante 8: Ajá, son 20. Cuatro 4 * 5 = 20.
Profesor: Y ¿Cómo asegura que es eso?
Estudiante 6: ¿Contamos? Es que va a ser mucho.
Estudiante 9: Si.
Estudiante 7: sí es mucho. Y es que podemos hacerlo, sacar de 25 y multiplicarlo por dos y llegar a la misma conclusión. Pero yo siento que necesariamente tendríamos que sacar una fórmula.
Profesor: Sí ya tienen una tabla y ya tienen casos prueben con esos, prueben con esa hipótesis. Y vean si para estos que ya tienen se cumple. Si se cumple para esos entonces, puede ser.
Figura 4.12 Primer fragmento de trascripción tarea 1 (E2)
Como se puede leer en la Figura 4.12 los estudiantes basándose en parte de lo que han observado en la tabla contestaban la pregunta, no obstante, pese a que habían hecho un registro eficiente, y referían que habían encontrado patrones debido a que habían observado un comportamiento en la tabla, aunque no utilizan ese supuesto para explicar su respuesta, por lo que esta carece de un argumento que establezca relación entre la regularidad observada y su respuesta. Por lo tanto, la evidencia de sentido numérico en este caso puede categorizarse como “deficiente”, así mismo el pensamiento algebraico es categorizado como “deficiente” debido a que argumenta bajo casos particulares y la explicación verbal carente de sustento basado en evidencia numérica.
Página | 51 número de personas que eran atendidas había que dividir el número de personas formadas en la fila entre 3. Con la finalidad de ver si habían comprendido el problema se les preguntó lo siguiente: ¿Cuántas personas estaban formadas en la fila si habían sido atendidos 21 estudiantes antes que Alan? La Figura 4.13 muestra el fragmento de la trascripción.
Profesor: ¿Cuántos fueron atendidos antes si estaban 50?
Estudiante 6: 17
Profesor: Ok muy bien. Y entonces ¿Cuántas personas estaban formadas si los que se atendie-ron fueatendie-ron 21?
Estudiante 6: Ok.
Estudiante 9: Mmm
Estudiante 7: 21 entre 3 = 7.
Estudiante 9: ¡No! 21 por 3
Estudiante 7: ¡No! 21 entre 3
Profesor: No pasaron 21.
Estudiante 9: Ah había 21 personas o fueron atendidas.
Profesor: Fueron atendidas 21 personas.
Estudiante 6: Tenemos que sacar cuantas estaban formadas.
Estudiante 9: 63.
Profesor: ¿63?
Estudiante 9: Ajá.
Profesor: ¿Cómo le hizo para eso?
Estudiante 9: Porque multiplico esto por 3.
Estudiante 7: Ósea haciendo la operación inversa para sacar el número de personas.
Figura 4.13 Segundo fragmento de trascripción tarea 1 (E2)
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Figura 4.15 Primeras fórmulas propuestas tarea 1 (E2)
Cuando a los estudiantes se les pidió que encontraran alguna fórmula o regla para cualquier número de estudiantes que estuvieran formados los estudiantes tenían claro el concepto de redondear, pero no sabían cómo incluirlo en su fórmula ya que para los registros de la tabla que se observa en la figura 4.11 ellos dividían entre 3 y al tratar de redondear no arrojaba los resultados para todos sus casos. Al sugerirles que incluyeran a Alan dentro de su análisis, ellos generaron la tabla que se observa en la Figura 4.14 no obstante, ellos argumentaban que necesitaban obtener números exactos lo que los hizo desistir de su idea.
Después, los estudiantes propusieron expresiones algebraicas para evitar que la fórmula arrojara números decimales (Figura 4.15); no obstante, se percataron que no funcionaban al probar con casos particulares, también es de hacer notar que los integrantes del equipo habían encontrado la expresión que se puede observar en la figura 4.16 la cuál solucionaba el problema acorde a la tabla de la figura 4.14, no obstante, no la argumentan ya que sostenían que la expresión no podía arrojar números decimales.
Figura 4.16 Segunda fórmula propuesta tarea 1 (E2)
En esta última etapa de la actividad el sentido numérico puede categorizarse como “bueno” ya que sin problema logran establecer la relación numérica entre el problema y el resultado de hecho son capaces de predecir resultados para casos particulares. No obstante, no logran generalizar
