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requiere inicialmente un dominio (para f) con un tipo especial de orden. Iniciamos primero con la generalizacion de la estructura (no algebraica) de´ , es decir de la estructura de orden.

Conjuntos Dirigidos, Redes 4.1 DEFINICION:

Sobre órdenes tomamos:

i Un conjunto parcialmente ordenado es una pareja ( X,< ) en donde X es un conjunto y < es una relacion transitiva en X´

ii Un conjunto dirigido ( X,< ) es un conjunto parcialmente ordenado ( X,< ) tal que si n, m−X, entonces existe p−X tal que p > n y p > m.

iii Una Dred, digamos f, en un conjunto X, es una funcion f: D X´ p en donde D es un conjunto dirigido. Una Dred f tambien se´ denota { f( d ) }d D− , o xd D− si f( d ) œ x .d

iii En particular un Dred en un espacio topologico ( X, ) es un´ g Dred en el conjunto X. Es decir que una Dred en un espacio, es una pareja ( f, ) en donde f: D X es una red y ( X, ) es ung p g espacio topologico´

iv Un morfismo f: ( X,< ) ( Y,< ) entre conjuntos dirigidos es unap función f: X Y tal que Mp a −Y, Nb −X tal que d > N f( d ) < M,p a d−X.

Ahora bien los conjuntos dirigidos completan en una categoría considerando como morfismos las funciones que “preservan las colas": dados conjuntos dirigidos ( X,< ) y ( Y,< ) decimos que una funcion f: X ´ p Y “preserva colas" si Ma −Y, existe N−X tal que n>N f( n ) > M.p Naturalmente la cola a partir de N" en ( X,< ) es el conjunto denotado ( no es notacion usual ) [ N,´ ∞ ) dado por

[ N,∞ ) œ { n−X n > N } ±

Así que f: ( X,< ) ( Y,< ) “preserva colas" se cumple N de 4.1.p Se tiene entonces que

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Los conjuntos dirigidos como objetos y las funciones que preservan colas entre ellos, junto con la composicion de funciones forman una´ categoría

4.3 NOTACION:

A la categoría de los conjuntos dirigidos y las funciones que preservan colas se le denota DIR

Note ahora que si ( X,< ) es un conjunto dirigido, entonces para cada A©X, A hereda el orden de X. Es decir se forma < en A como “x < y en A Ç x < y en X" x,ya −X. Sin embargo nada garantiza que ( A,< ) es un conjunto dirigido. Por otro si ( A,< ) es un conjunto dirigido nada garantiza que la inclusion: i: ( A,< ) ( X,< ) preserva colas. Tenemos un nombre´ p especial para cuando esos dos casos se cumplen:

Subconjunto Dirigido, Sub-red 4.4 DEFINICION:

i Sea ( X,< ) un conjunto dirigido. Sea A©X. Diremos que A tiene una estructura de subconjunto dirigido ( o que A es un subconjunto dirigido de X ) si

a ( A,< ) es un conjunto dirigido y

b i: ( A,< ) ( X,< ) es un morfismo de DIR ( es decir preservap colas ) .

ii Una subred de una Dred f en un conjunto X es una Ared g en X tal que

a A es un subconjunto dirigido de D b f | A œ g

La Categoría de las Redes sobre X

Ahora fijamos un espacio topologico X y consideramos todas las redes en´ X. Definimos un morfismo F de una red f: ( D,< ) X en una red g:( E,< )p p X como un morfismo F ( D,< ) ( E,< ) en DIR tal que el siguienteÀ p diagrama conmuta.

g

f

F

X

E

D

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4.5 PROPOSICION:

Si RED ( X ) denota a las redes sobre X como objetos, como morfismos F: f g a las funciones F: Dom f Dom g que son morfismosp p de conjuntos dirigidos tales que g‰F œ f y como composicion la´ composicion de funciones, entonces RED( X ) es una categoría ´ Sucede que RED( X ) permite en gran medida caracterizar internamente al espacio X. Sabemos que los elementos de RED( X ) son funciones f: ( D,< ) X pero no existe hasta ahora una relacion directa entre < y lap ´ topología de X. Puede uno esperar que la topología de X tenga algun tipo´ de orden que se conecte con < de D por medio de f. Esto sucede de manera “local". Para esto notemos primero:

Vecindades 4.6 DEFINICION:

Sea ( X, ) un espacio topologico y xg ´ −X. A©X se dice una vecindad de X si existe un abierto O tal que x−O©A el conjunto de todas las vecindades de X. Se denotara por ( x ) ( o ( x, ) cuando sea´ " " g necesario enfatizar la topología ).

Las propiedades de las vecindades son muy simples. 4.7 PROPOSICION:

Para un espacio ( X, ) y un punto xg −X se tiene

i ( x, ) es una familia IF ( es decir cerrado para intersecciones" g finitas )

ii "( x, ) es cohereditaria. Es decir que si Ag −"( x, ) yg BªA Bp −"( x, )g

iii ( (x)," ª ) es un conjunto dirigido Bases de Vecindades 4.8 DEFINICION:

i Un subconjunto T de "( x, ) se dice una base de g "( x, ) sig a B−"( x, ), existe Ag −T tal que A©B

ii "( x, ) se dice g Icontable si tiene una base contable

iii ( X, ) se dice g Icontable si ( x, ) es " g Icontable xa −X Por ejemplo en un espacio métrico X { V (x) n1 } forma un sistema

n ± −

fundamental de vecindades de x−X. Por tanto los espacios métricos son Icontables.

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i Sea { x }d d D− una red en X. Sea 6 −X. Decimos que es un punto6 límite de { x }d d D− si para cada V−"( ) existe N6 −D tal que d > N p xd−V.

ii Si f es una red en X denotamos por lim f al conjunto de todos los puntos límites de f. Tambien usaremos lim x para el conjunto de´

d−D d

los puntos límites de { x }d d D−

Puesto que las redes sobre X están en una categoría, y por tanto conectados por morfismos uno se pregunta si un morfismo entre redes preserva límites. No necesariamente. La relacion es similar ( y´ generalizara ) al caso de las subsucesiones. Si un punto es límite de una´ sucesion entonces lo es de cualquier subsucesion.´ ´

Note que x−lim f ( en donde f: D X es una red ) si y solo si Vp a −"( x ), b d−Domf tal que f( d,∞ )©V. Sean f,g redes sobre X y suponga que denotamos fg, si existe un morfismo F: f g.p

Sean f, g redes sobre X. Si fg entonces lim g©lim f. DEMOSTRACION:

Suponga que F: ( D,< ) p ( E,< ) es un morfismo de DIR tal que el siguiente diagrama conmuta.

g

f

F

X

( E,< )

( D,< )

Suponga que x−lim g. Veamos que x−lim f. Sea V−"( x ), entonces b e−E tal que g( e,∞ © ) V. Pero puesto que F preserva colas, db −D tal que F[ d,∞ © ) [ e,∞ ) así que f[ d,∞ œ ) gF[ d,∞ ) ©g[ e,∞ ) © V. Luego x−lim f

En particular 4.11 COROLARIO:

Si f es una subred de g en X entonces lim g © lim f. DEMOSTRACION:

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i Considere un espacio ( X, ) y defina en X la relacion ag ´ µ" b Ç (" a,X ) œ ( b,X ) . Claramente " µ" es una relacion de equivalencia.´ Entonces para una red cualquiera f: ( D,< ) X, ap −lim fÇb−lim f y por tanto lim f es una clase saturada por µB , es decir reunión de clases de equivalencia. En particular si g œ{ X, } entonces [ a ]9

œ X y lim f œ X para cualquier red f: D X.p

ii Considere ( X, P( X ) ) . Entonces { x } es una vecindad de x y por tanto para una red f: D X , se tiene que xp −lim f Ç existe una cola en la fibra de x. En tal caso lim fœ { x } ( o lim f œ x )

Note que no puede haber mas puntos límites porque:

4.13 LEMA:

Si existe una cola de f: ( D,< ) X que está en la fibra de Ap ©X, entonces ninguna cola esta en la fibra de X´ A.

DEMOSTRACION:

Si f[ a,∞ ) ©A y f[ b,∞ ) ©B, entonces existe c−D con c > a y c > b así que f( c )−A y f( c ) −B, luego A∩BÁ0. De hecho f[ c,∞ ) ©A∩B Pasamos ahora a caracterizar subconjuntos especiales de los espacios topologicos usando convergencia. Iniciamos con lo mas elemental a saber´ los conjuntos abiertos.

Caracterización de Abiertos (Interior)

Recordemos que A−"( X, ) si Og b −g tal que x−O©A, y A se llama la vecindad de x. Ahora en la misma situacion tambien diremos que ´ ´ “x es un punto interior de A". El conjunto de todos los puntos interior de A se denota A int( A ) o o . Las propiedades de A son:o

4.14 PROPOSICION: Para A©X se tiene i Ao©A.

ii A es abierto.o iii A©B Ap o©B.o

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vi A o œ ∪ { B | B©A y B−g }.

DEMOSTRACION:

i y ii son claros puesto que xa −A, 0 tal que xo b x −0x©A luego Ao 0 A. Además es inmediato que 0 A. Así pues Ao o 0 y

x Ao x Ao x Ao

©- © - © œ

-− − −

x x x

es abierto. En cuanto a iv es claro porque si B−g y B©A, entonces la condicion x´ −B xp −B©A, B−g Xp −A. En cuanto a v, A es abiertoo o luego si AœA A es abierto. Ahora supuesto que A es abierto y Ao p ©A, por iv, A©A. Así que Ao œA.. iii y vi quedan como ejercicio.o

Una palabra acerca de los numerales de la proposicion 4.14.´

Realmente el conjunto de propiedades i, ii, iv, es equivalente a la propiedad vi como el lector puede verificar. Pero i, ii, y iv corresponden a la lectura de una propiedad a saber: A o es el conjunto abierto más grande contenido en A. vi es simplemente una manera facil de demostrarlo.´ Pasamos ahora a la caracterizacion de los abiertos. Para eso demos´ inicialmente algunos conjunto dirgidos que serán útiles

4.15 LEMA:

Sea ( X, g ) un espacio topologico y a´ −X. Sea "a una base cualquiera de vecindades de a−X. Entonces "a es un conjunto dirigido para OPÇO©P

Sea A©X. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. i A es abierto

ii A œ Ao

iii a x−A, A−"( x )

iv a x−A, red xa d D% en X, se tiene que x− lim xd ( b −D tal que

d−D p $

d > x$p d−A). DEMOSTRACION:

i Ç ii Ç iii es claro de la propiedad de A subrayada arriba.

Veamos que iii Çiv . Que iii iv es inmediato. Para demostrar que iv p p iiii demostramos que µiii p µiv .

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Ahora tomemos P œ ga y f: D X construida así:p

Si O−ga tomemos xo−OA que existe por µiii . Entonces f es una red, converge al punto a y ninguna cola en D tiene imagen en A ( de hecho f( D )©XA )

Puntos de Acumulación

Damos a continuacion la caracterizacion corriente y tambien por medio de´ ´ ´ redes, de puntos que luego definiremos como puntos de acumulacion de´ un conjunto.

Sea A©X y a−X. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

i a V−"( a ), V∩( A { a } ) Á9

ii bxd D− con xd−A { a } tal que a− lim xd

d−D

DEMOSTRACION:

i ii Suponga que toda vecindad de a tiene puntos en A distintos de a.p Sea Dœgaœ{ Otg ±a−O } y para cada O−ga, sea x uno

elemento de O∩( A{ a } ). Entonces xo−ga es una red en A { a } y claramente a−lim x .

d−D d

ii i Suponga ii y tome Vp −"( a ) . Entonces b$−D tal que d > $ p xd−V. Pero como xd−A { a }, entonces xd− V∩( A { a } ) 4.18 DEFINICION:

Sea A©X, a−X. Si a y A cumplen las propiedades equivalentes de 4.17, entonces se dice que a es un punto de acumulacion de A. El´ conjunto de todos los puntos de acumulacion de A ´ se denota A'.

Adherencia de un Conjunto, Frontera

El dual del concepto de “interior" de un conjunto es de adherencia. La caracterizacion es la siguiente´

Sea X un espacio topológico y A©X. Sea

A { B X | B es cerrado y B A }

_{œ ∩} _© _ª

Entonces i A ª A ii A es cerrado

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Según i, ii y iii existe “el conjunto cerrado mas pequeño que contiene a A",´ a saber A . En términos algebráicos A es "el cerrado en X, generado por A".

4.20 DEFINICION:

i A se llama la “Adherenica de A" y si a−A , se dice que “a es un punto adherente a A".

ii Se llama la frontera de A y se denota por A al conjunto de los` puntos x de X tales que Va −"( x ), V∩AÁ9 y V∩( XA ) Á9. iii En ( XA ) se llama el exterior de A y se denota Ext A.

Se tienen entonces los siguientes resultados 4.21 PROPOSICION:

Si A©X entonces

i X œ Int( A ) ∪‰ Int ( XA ) ∪ `‰ AœA o ∪Ext A∪ `A. ii A œ XInt( XA ) œXExt A.

ii A œ Ao∪ `‰ A

iv A œ A'∪A œ { a−X | Va −"( a ), V∩AÁ9 } v A œ { a−X | a−lim X para alguna red X ©A }

d−D d d D−

DEMOSTRACION:

i Son inmediatas las afirmaciones Int( A ) ∩Int( XA ) œ , Int( A )9 ∩ `A œ ( Como A9 ` œ ` ( xA ) ), Int( XA )∩ `Aœ9 por tanto son ciertas las disjunciones de la formula. Así mismo es obvio´ que XªInt( A )∪‰Int( XA )∪ `‰ A.

En cuanto a la otra inclusion sea x´ −X y suponga que xÂInt ( A ) y xÂInt ( XA ) y veamos que entonces x− `A. En efecto si V−"( X ) como xÂInt ( A ) entonces V∩( XA ) Á9 y como xÂ Int ( XA ) entonces V∩AÁ9. Como V fue escogida arbitrariamente x− `A.

ii Esta es la primera formula que da una manera directa de “calcular"´ la adherencia de A. Veamos pues que XInt ( XA ) œ B es el menor conjunto cerrado que contiene a A. Que B es cerrado es evidente. Ahora como

Int ( XA ) ©XA Xp Int ( XA ) ©A

es decir BªA. Suponga que C es cerrado y CªA. Entonces XC es abierto y XC©XA luego XC©Int ( XA ) Cp ªXInt ( XA ) œ B. Así pues CªB. C cumple pues las propiedades de A . Entonces

A X Int ( X A )

œ

iii Es inmediato de i y ii

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Si x−A por iii xo −A . Si xÂA entonces Vo a −"( x ), V∩( X-A ) œ 9 y como x−A' entonces también V∩( A { x } ) Á9 y V∩AÁ9 y por ende x− `A©A . Se tiene entonces que A' ∩A©A .

Sea x−A entonces x−A o xo − `A. Si x−A xo p −A© A∪A'. Si x− `A p VV−"( x ) V∩AÁ9, V∩ ( XA ) Á0. Como ademas x´ −A entonces, xo −Int ( XA ) y por tanto existe W−"( x ) tal que W©XA así pues xÂA y W∩V−"( x ) y entonces

9Á( W∩V )∩Aœ( W∩V )∩(A{ x }) ©V∩( A { x } ) Por tanto V∩( A { x } ) Á9 y x−A'. Se tiene pues que

A A A'.

© ∪

La igualdad A œ { a−X | Va −"( a ), V∩AÁ9 } se deja como ejercicio.

v Suponga que: a−AœAo∪ `A. Si a−A tome Do œga y Oa −ga, xoœa. Entonces

D−ga g

O−D

d−D d d "

b$−D tal que d> $ p xd−V. Así pues xd−V∩A ie V∩AÁ9. Como esto pasa para cada V−"( a ) entonces a−A ( por iv ) Caracterizando A se tienen caracterizados los conjuntos cerrados.

d−D d

DEMOSTRACION:

i ii Si A es cerrado entonces A es el menor cerrado que contiene a A yp entonces A œA.

iv v Suponga que xp d−D es una red tal que xd−A. Si lim x d œ

d−D 9

entonces lim x A Si por otra parte a lim X, entonces bien

d−D d© −d−A

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v i Para esto demostramos p µ p µi v . Así pues suponga que A no es cerrado. Entonces XA no es abierto. Existe pues b−XA que no es punto interior. Es decir que Va −"( b ), V∩AÁ9. Así pues para cada elemento O−gb existe xo−O∩A. Se tiene pues que xo b es una red en A, pero b lim x por tanto lim x A o o

b b

−g − ©y

O−g O−g

Continuidad por Redes

Consideremos a continuacion la categoría de los espacios Haussdorff y´ las funciones continuas que denotaremos H y la compararemos con TOP. Iniciamos haciendo notas que la continuidad se puede caracterizar tambien por medio de límites de redes.´

Sean X, Y espacios topologicos y f: X Y una funcion. Entonces las´ p ´ siguientes afirmaciones son equivalentes

i f es continua

DEMOSTRACION: i ii es obvia.p

ii ii Suponga xp −lim r. Sea V−"( f( x ) ), entonces existe W−"( x ) con f( W )©V. Pero como W−"( x ) entonces existe $−D tal que d$ r( d )p −W fr( d )p −V. Así pues dado V−"( f( x ) ), b −$ D tal que d$ fr( d ) p −V. Es decir f( x ) −lim( f‰r )

iii i Veremos que bajo iii la imagen recíproca de un cerrado en V es unp cerrado en X y lo hacemos usando 4.21 v . Sea pues B un cerrado en Y. Sea xd−D una red en f ( B ). Entonces

1

d−D d−D

1

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PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

1 Halle A, A , , A' para cada uno de los conjuntos A descritos:o ` i A œ en .™ ‘

ii A œ en . ‘ iii A œ en .™ ‚ iv A œ en . ‚

v A œ { ( xiy ) | Ax + By +C œ 0 } con A,B,C en .‚

vi A œ Conjunto finito en con la topología de complemento‘ finito.

vii A œ en en la topología discreta™ ‘ viii A œ en en la topología grosera.™ ‘

2 De una red que converja a todos los puntos de un espacio infinito.´ Una que converja exactamente en dos puntos.

3 Suponga que A es una separacion de X ( es decir A´ ©X, AÁX, A es abierto y cerrado ) . Decida si es cierto o falso: Si f es una red f: D X tal que f( D )p ©A, entonces lim f©A.

4 Muestre que ( ) : P( X ) P( X ) para un espacio X es un operador0 _p tal que

i ( A ) 0 0 _œ A.o

ii ( A∩B ) 0 œ A0∩B .0 iii ( A∩B )0ªA0∪B .0

5 Un operador “ de interior" en un conjunto X, es una funcion I: P( X )´ p P( x ) tal que:

ii Cada topología define un operador de interior Int tal que Int( A ) œ A .0

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ii Defina "operador de adherencia".

iii Complete la categoría AD de los operadores de adherencia. iv Relacione en TOP operadores de adherencia y topologías. 7 Muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes para una

funcion f: X Y.´ p i f es continua

ª

iv f ( A ) 1 o f ( A )1

o

©

Verifique que es una topología. Una red xg d D− "está eventualmente en C" si Nb −D tal que d > N xp d C− . Muestre que b−lim xd D− Çxd