FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICO MATEM ´ATICAS LICENCIATURA EN MATEM ´ATICAS
TRANSFORMACIONES DE M ¨
OBIUS:
SU GEOMETR´
IA Y DIN ´
AMICA.
TESIS
QUE PARA OBTENER EL T´ITULO DE LICENCIADO EN MATEM ´ATICAS
PRESENTA
Lizbeth Rojas Mart´ınez
DIRECTORES DE TESIS Dr. Agust´ın Contreras Carreto
Dra. Patricia Dom´ınguez Soto
que es la vida.
Winstons Churchill:
cada una de las personas que forman parte de esta historia. Si es que a´un no lo hecho de manera adecuada quiero dirigirme a cada uno de los seres que he tenido la dicha, gracia y regocijo de conocer ya que forman parte de mi l´ınea de tiempo a´un latente.
En primera estancia a mis padres por crearme, darme educaci´on, cari˜no, humildad y que a pesar de los momentos dif´ıciles que les he hecho pasar, se que despues de una charla motivacional seguida de una lecci´on importante ellos siempre me brindar´an su apoyo, por lo que yo agradezco y quiero a estos seres maravillosos con cada uno de sus defectos y virtudes por que me han apoyado en todo lo que han podido aunque tal vez un poco m´as, as´ı mismo doy las gracias por la tolerancia, respeto y apoyo que cada uno de mis hermanos. A pesar de no ser una persona cari˜nosa con estos seres siempre les estar´e agradecida y tratar´e de seguir aprendiendo para mejorar en esto a lo que muchos le llaman vida.
En seg´unda estancia les agradezco a cada uno de mis compa˜neros, maestros y amigos que logr´e encontrar desde mis primeros a˜nos de vida. Por mencionar algunos de ellos; Daniela, Karla, Gabriela, Julio, Kaled, Chalito, Juan, Beto, Hugo, Memo, Ota˜nez, Daffne. Todos ellos me ense˜naron y cuidaron en alg´un momento, por lo que les doy las gracias por su comprensi´on y cari˜no, de manera muy especial quiero agradecer a Julio por ser uno de mis amigos con los cual podia pelear sin quejas y que a pesar de molestarlo a tal punto de crearle problemas ´el nunca dud´o en brindarme su ayuda. Del mismo modo quiero agradecerle a mi buen amigo Beto quien me brind´o mucho cari˜no, comprensi´on y quien tambien me regal´o demasiados ratos de diversi´on y felicidad, por supuesto me di´o consejos pero no suficientes abrazos, por ´ultimo le agradezco haber estado en un momento crucial de mi vida y no juzgarme por la decisi´on m´as dific´ıl que he tomado. A Daff agradezco su inoportuna acci´on de no concluir un posible fin de mi l´ınea de tiempo.
En la licenciatura doy gracias a mis profesores, compa˜neros y amigos, por supuesto tambien a todos esos seres que no creyeron en mi y me trataron con la poca humanidad que su coraz´on les permiti´o darme, pero a pesar de eso tambien aprend´ı a saber quien no quiero llegar a ser como profesional ni como persona.
n´umero finito y ni siquiera numerable para poder decirte gracias, gracias por; ense˜narme, por dejarme conocerte, cuidarme, rega˜narme, por tus consejos, por escucharme hasta altas horas de la madrugada, por secar litros y litros de lagrimas, en pocas palabras por tu ayuda incondicional en todo lo que podias ayudarme, por supuesto doy gracias por haberte hecho caso de intentar estudiar matem´aticas por que gracias a ti conoc´ı a una maravillosa persona la cual ha estado por mucho tiempo cuid´andome, ayud´andome a crecer en lo personal como en lo academico, a valorarme y quererme, en esta persona tan maravillosa he podido encontrar regocijo, consuelo, paz y tranquilidad. A pesar de no ser compatibles en muchas cosas hemos podido seguir enfrentandonos a diversas situaciones juntos, tomando decisiones tan importantes que incluso han llegado a doler pero lo hemos hecho juntos, como amigos, colegas, compa˜neros de vida que espero de gran parte de ella. Quiero agradecerle por ya estar desde hace m´as de una tercera parte de mi vida, definitivamente a esta persona ni siquera le puedo encontrar una palabra que defina lo mucho que significa para m´ı, pero que sin duda alguna cada uno de los instantes de felicidad desde que he tenido la oportunidad de estar con ´el y cruzar mirada los atesoro en mi mente y coraz´on, estar´e eternamente agradecida por su apoyo, por sus concejos, rega˜nos tambi´en por ayudarme a pelaer contra mis ideas tan obstinas y burdas en cierto momento, gracias por nunca dejarme sola y estar ah´ı cuando lo necesito por tus abrazos, besos, buenos deseos y por a´un creer en mi, doy gracias por mirarte aquella primera vez, espero a´un te pueda seguir viendo en un futuro y estar juntos, por siempre mi amor a primera vista Erick.
Algunos de mis amigos y conocidos dentro de la licenciatura son: Richard, Kike e Ivan lo tres mosqueteros inseparables que me ense˜naron y ayudaron en multiples ocasiones, algunas de las cosas m´as lindas que aprend´ı de ellos fue no ser egoista con el conocimiento, espero poder seguir heredando esa cualidad a alguien m´as, de manera especial a mi sinodal no oficial Richad, gracias por cada minuto de tu tiempo, por tenerme paciencia y ayudarme hasta altas horas de la madrugada, mil m´as un gracias. Moi, Osmart, Jazm´ın, Edgar, Erika, Ame, Juan, To˜nito, Gabriel, Gaby, Gloria, Yeni, Diana, Javi, Ivan, Mike, por supuesto a lo peque˜nos de la nuevas generaciones, todos ellos has sido una parte fundamental de nuevo conocimiento, aventuras, risas y buenos momentos juntos. Les soy mi gratitud por escuchar, por los consejos y abrazos a cada uno de ellos sobre todo cuando me enfret´e a una situacion dif´ıcil. De manera breve quiero agradecer a Jaz por sus correcciones y observaciones para esta parte tan importante para mi. Por ´ultimo y no
a los no oficiales.
´Indice general IX
Introducci´on XI
1. Preliminares 1
1.1. Grupos . . . 1
1.2. Espacios m´etricos . . . 3
1.3. El campo de los n´umeros complejos . . . 5
1.4. Propiedades geom´etricas de las circunferencias . . . 9
2. Geometr´ıa de funciones de variable compleja. 13 2.1. Transformaciones lineales . . . 13
2.2. Grupo de colineaci´on del plano complejo . . . 20
2.3. Dilataci´on y rotaciones . . . 23
2.4. Similitudes . . . 28
2.5. Orientaci´on . . . 33
2.6. Traslaciones y rotaciones . . . 34
2.7. Reflexi´on . . . 40
3. Reflexiones en rectas y circunferencias en el plano euclidiano. 55 3.1. Reflexiones y el grupo de M¨obius . . . 55
3.2. Reflexi´on con respecto de una recta . . . 58
3.3. Reflexiones de circunferencias . . . 63
3.4. Reflexiones y ´angulos . . . 69
3.5. Reflexiones de circunferencias coaxiales . . . 73
4. La acci´on de M¨obius euclidiano M ob+(R2) 79 4.1. Transformaciones de M¨obius elementales . . . 79
4.2. Transformaciones parab´olicas . . . 80
´INDICE GENERAL
4.3. Transformaciones el´ıpticas . . . 82
4.4. Transformaciones hiperb´olicas . . . 85
4.5. Transformaciones loxodr´omicas . . . 88
4.6. Acci´on de subgrupos elementales . . . 88
4.7. Subgrupos par´abolicos . . . 90
4.8. Subgrupo el´ıptico . . . 92
4.9. Subgrupos hiperb´olicos . . . 93
Referencias 97
El objetivo del presente trabajo de tesis es estudiar y desarrollar la geometr´ıa de las transformaciones homogr´aficas, tambi´en llamadas bilineales o de M¨obius, que llevan el nombre del matem´atico August Ferdinand M¨obius, de origen Alem´an.
Las trasformaciones de M¨obius forman un grupo con la operaci´on composici´on por lo que existe una ´ıntima relaci´on con el ´area del ´algebra, esto debido a la geometr´ıa que se genera por medio de las acciones de grupos elementales con respecto a las trasformaciones de M¨obius.
Para estudiar estas transformaciones, en este trabajo se desarrollo su geometr´ıa en el espacio complejo y real. Tambi´en se proporcionan propiedades importantes de las transformaciones de M¨obius.
Este trabajo tiene como inter´es destacar las relaciones que existen entre diversas ´areas de la matem´atica. Hay al menos tres aspectos por los cu´ales este tema resulta de gran inter´es: el primero es la base algebraica porque por medio de esta ´area es posible plantear isomorfismos; el segundo est´a estrechamente relacionado con el primero debido a que es posible dar el aspecto geom´etrico-anal´ıtico, porque las transformaciones de M¨obius son composiciones de funciones anal´ıticas o inversiones; el tercero es la relaci´on top´ologica que hay entre ciertas acciones de grupos y algunas figuras geom´etricas, m´as a´un se puede desarrollar su din´amica.
En este trabajo se centrar´a en el desarrollo de la geometr´ıa que produce cada una de las trasformaciones lineales elementales que componen un trasformaci´on de M¨obius en el plano complejo; tambi´en se desarrolla una parte de su din´amica asociada.
dan propiedades de los n´umeros complejos y de la geometr´ıa Euclidiana bidimensional elemental, como propiedades de cuadril´ateros c´ıclicos, potencia de un punto, familias de circunferencias coaxiales.
En el segundo cap´ıtulo se estudia la geometr´ıa de funciones, esto es, isometr´ıas, similitudes, traslaciones, rotaciones y reflexiones, tales transformaciones son estudiadas con la noci´on de grupo de transformaciones. La forma de visualizar la geometr´ıa a trav´es de grupos se le atribuye al joven Felix Klein que en el a˜no 1972 present´o su famoso “programa de Erlangen”, en el cual establece que: “Una geometr´ıa es el estudio de las propiedades de un espacio que premanecen invariantes bajo un grupo de transfromaciones.” En el tercer cap´ıtulo se estudian las reflexiones con respecto de l´ıneas y de circunferencias, se introduce la noci´on de transformacion de M¨obius euclidiana general, la cual est´a definida por compocici´on finita de reflexiones y algunas de las propiedades de estas transformaciones son: el conjunto de l´ıneas y circunferecias son enviadas en el conjunto de l´ıneas y circunferencias, tambi´en se preservan la medida de ´angulos que se forman entre intersecci´on de l´ıneas al igual que de circunferencia. Se define el grupo de M¨obius euclidiano generalizado, que consiste de todas las transformaciones de M¨obius euclidianas generales y se denota porM ob(R2). Por otro lado dado que una reflexi´on invierte la orientaci´on de los ´angulos, se sigue que una composici´on par de reflexiones conserva dicha orientaci´on. Se define el grupo de M¨obius euclideanoM ob+(R2), el cual consiste de composiciones pares de reflexiones. En el cuarto cap´ıtulo se hace una descripci´on de las ´orbitas de puntos en el plano euclideano bajo iteraciones de estas transformaciones denotados por
Preliminares
En este cap´ıtulo se enunciar´an brevemente resultados y definiciones b´asicas para el desarrollo del tema principal de este trabajo, aclarando que la mayor´ıa de los resultados que se mencionar´an a continuaci´on no ser´an demostrados, se le recomienda al lector consultar las referencias [1], [6], [5], [7].
1.1.
Grupos
Definici´on 1.1. Un conjuntoGcon una operaci´on binaria *, se llamagrupo si satisface las siguientes propiedades:
1.- Para todo a, b∈G, se tiene que a∗b ∈G.
2.- Cualquier elemento, a, b, c ∈ G, se tiene que (a∗b)∗c = a ∗(b ∗c)
(asociatividad).
3.- Existe e ∈ G, tal que e∗a = a = a∗e, para todo a ∈ G (elemento neutro).
4.- Para cada elemento a∈G, existe a0 ∈G, tal que a∗a0 =a0∗a=e (a0 es el elemento inverso dea).
El grupo se denota por (G,∗)
Definici´on 1.2. Sea (G,∗) un grupo, se dice grupo abeliano, si cumple que para cada a, b∈G, se tiene que a∗b=b∗a.
Definici´on 1.3. Sean (G,∗)un grupo y H⊂G, se dir´a queH es subgrupo de G si satisface las siguientes propiedades:
1.1. GRUPOS
1.- Para todo a, b∈H, se tiene que a∗b ∈H.
2.- El elemento neutro e en G, est´a en H.
3.- Para todo a ∈H, se tiene que a−1 ∈H.
El subgrupo se denota por: H ≤G.
Teorema 1.4. [5] Sean (G,∗) un grupo y H ⊂G tal que H, entonces H es subgrupo de G, si y solo si :
1.- El elemento neutro e en G, est´a en H.
2.- Para todo a y b en H, se tiene que ab−1 ∈H.
Definici´on 1.5. Sea H subgrupo de G, se dice que H essubgrupo normal de G si, para todo g ∈G y h∈H, implica que ghg−1 ∈H
Definici´on 1.6. Unarelaci´on R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y.
Observaci´on 1.7. Si (x, y) ∈ R se escribe xRy y se dice que x est´a relacionado cony. En el caso de queX =Y se afirma queR es una relaci´on binaria en X o que R es una relaci´on en X.
Definici´on 1.8. Sean G un grupo, H ≤G y ≡ (o ≡H) la relaci´on sobre G,
definida; as´ı: para todo a, b ∈ G, a ≡ bmodH si ab−1 ∈ H. Esta relaci´on se
llama congruencia m´odulo Hy a≡bmodH, se lee ”a es congruente con b m´odulo H”.
Observaci´on 1.9. La congruencia m´odulo H es de equivalencia y permite clasificar a los elementos de G, debido a que, (G/≡H) ={[a]|a∈G} es una
partici´on de G ([a] es la notaci´on para clase) de euivalencia de a.
Definici´on 1.10. Sean G un grupo, H ≤ G y a ∈ G. El conjunto Ha := {ha|h ∈ H} ⊆ G, se llama clase lateral izquierda de H en G determinada por a. El conjunto aH := {ah|h ∈ H} ⊆ G, se llama clase lateral derecha de H en G determinada por a.
Definici´on 1.11. Si H ≤ G entonces el´ındice de H en G, denotado por
[G : H] (o iG(H)) es el n´umero de clases laterales derechas (izquierdas)
distintas de H en G.
Teorema 1.12. Si G es un grupo de ´ındice 2, entonces G es un subgrupo normal.
Definici´on 1.13. Un anillo conmutativo con identidad es un conjunto R, diferente del vac´ıo, con dos operaciones binarias (∗1,∗2) con las siguientes
propiedades:
1.- (R,∗1) es un grupo abeliano.
2.- Si a, b∈ R, entonces a ∗2 b=b ∗2 a.
3.- Si a, b, c∈ R, entonces a ∗2 (b ∗2 c)=(a ∗2 b) ∗2 c.
4.- Existe un elemento neutro para la operaci´on ∗2, a saber e∈ R, tal que
para cada a∈ R, e∗2a=a∗2e=a.
5.- Si a, b, c∈ R, entonces a ∗2 (b ∗1 c)= (a ∗2 b) ∗1 (a ∗2 c).
Definici´on 1.14. Un campo es un anillo conmutativo con identidad R, si para todo a en R, existe un elemento b en R tal que a∗2b = 1, donde 1 es
el elemento identidad de R.
Definici´on 1.15. Una funci´on φ : Rn −→
Rn es una transformaci´on
ortogonal, si conserve el producto escalar de Rn:
φ(x)·φ(y) = x·y para cada x, y ∈Rn.
Ejemplo 1.16. La transformaci´on antipodal α de Rn, definido por
α(x) =−x, es una transformaci´on ortogonal, debido a que: α(x)·α(y) = (−x)·(−y) =x·y.
1.2.
Espacios m´
etricos
A los conjuntos dotados de una funci´on distancia se les da el nombre de espacios m´etricos, y se le atribuyen al matem´atico franc´es Maurice Fr´echet. Los espacios m´etricos constituyen parte de los fundamentos que son indispensables para el estudio del An´alisis Matem´atico (v´ease [1],[6]).
Al introducir la noci´on de distancia entre los elementos de un conjunto dado, se intentar´a generalizar lo que sucede en la recta real o en el plano complejo. Al trabajar con conjuntos arbitrarios abstractos el problema se traduce en definir lo que se entiende como una distancia entre cualesquiera
1.2. ESPACIOS M´ETRICOS dos elementos del conjunto. En ese sentido se da lugar a la siguiente definici´on.
Definici´on 1.17. Sea X un conjunto diferente del vac´ıo. Una m´etrica (o distancia) en X es una funci´on d : X × X → R, con las siguientes propiedades:
(1) Es no negativa: d(x, y)≥0, para todo (x, y)∈ X × X. (2) Es no degenerada:d(x, y) = 0 si y solo si x=y.
(3) Es sim´etrica: d(x, y) = d(y, x), para cualesquiera x, y ∈ X.
(4) Satisface la desigualdad triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para cualesquiera x, y, z∈ X.
Se considerar´a unespacio m´etricoa la pareja (X, d), donde X 6=∅ y d
es la m´etrica definida. As´ı mismo, siY es un subconjunto no vac´ıo deX, se verifica quedY =dY×Y es una m´etrica paraY. Al espacio (Y, dY) se le llama
subespacio m´etrico de (X, d). Se escribir´a ´unicamente X para denotar al espacio m´etrico, si no es necesario especificar la m´etrica del espacio.
A la funci´on que s´olo cumple (2) y (3) de la definici´on 1.17 pero que cumple la propiedad m´as d´ebil. Six=y, entonces, d(x, y) = 0) se le llamar´a funci´on pseudo-m´etricay al espacio (X, d) se le llamar´aespacio pseudo-m´etrico. Ser un espacio pseudo-m´etrico generaliza el hecho de ser espacio m´etrico, dichos espacios se usan m´as en Topolog´ıa y An´alisis Funcional. Algunos ejemplos de espacios m´etricos son los siguientes:
Ejemplo 1.18. Sea X =R, y la funci´on d : X × X → R+∪ {0}, definida
como;
d(x, y) =|x−y|,para todo (x, y)enX × X
es una m´etrica(o distancia) llamada la m´etrica(o distancia) usual o euclidiana.
Ejemplo 1.19. El espacio m´etrico discreto (X, d), donde la m´etrica discreta d est´a definida para cualesquiera x, y ∈ X como sigue:
d(x, y) = (
1, six6=y
0, six=y.
Definici´on 1.20. Sean (X, dX),(Y, dY) espacios m´etricos. Una funci´on I :
X →Y se dir´a isometr´ıa si cumple lo siguiente:
(i) Preserva distancia,
dY(I(x1), I(x2)) =dX(x1, x2), para cada x1, x2 ∈X.
(ii) La funci´on I es biyectiva.
Teorema 1.21. Toda transformaci´on ortogonal es una isometr´ıa, con la m´etrica euclidiana.
Definici´on 1.22. Sean X un espacio m´etrico no vac´ıo y d, d0 dos m´etricas definidas sobre X. Se dir´a que la m´etrica d es equivalente a la m´etrica d0 si para todo A subconjunto de X, A es d−abierto si y solo siA es d0−abierto1.
Se puede verificar que dado un espacio m´etrico (X, d) existe una m´etrica equivalente ad, digamosd1 tal que para cualesquiera x, y ∈ X, d1(x, y)<1. De lo anterior se puede suponer que cualquier m´etrica satisface que la distancia de cualesquiera dos puntos en su espacio es menor que 1.
1.3.
El campo de los n´
umeros complejos
Los n´umero complejos fueron realmente aceptados gracias a Johann Carl Friedrich Gauss quien fue un matem´atico, astr´onomo, geodesta y f´ısico alem´an. Gauss describi´o al conjunto de los n´umeros complejos desde el punto de vista geom´etrico, donde se considera el conjunto de parejas ordenadas, con entradas en los reales, y dos operaciones binarias definidas, en ese sentido se introducir´a la definici´on formal, v´ease [9].
1Un conjunto B en a se diceη-abierto, si B es abierto respecto a la m´etricaη.
1.3. EL CAMPO DE LOS N ´UMEROS COMPLEJOS
Imagen 1.1: Interpretaci´on geom´etrica de un n´umero complejo.
Definici´on 1.23. Sea C el conjunto definido por:
C = {z = a+ib = (a, b)|a, b ∈ R, i2 = −1}, con dos operaciones binarias
la suma y el producto que se definen como: Si (a, b),(c, d) ∈ C tales que z1 =a+ib, z2 =c+id, se tiene:
z1+z2 = (a+ib) + (c+id) = (a+c) +i(b+d) = (a+c, b+d).
z1·z2 = (a+ib)·(c+id) = (a·c−b·d) +i(a·d+b·c).
Con estas operaciones (C,+,·) es un campo que se llama el campo de los n´umeros complejos.
Imagen 1.3: Interpretaci´on geom´etrica del producto de n´umeros complejos. Observaci´on 1.24.
1. La parte real de un n´umero complejo z = a+ib es a y se denota por; Re(z), la parte imaginaria de z es b y se denota por Im(z).
2. Sia = 0 yb6= 0 el n´umero z =ib, se denomina n´umero imaginario puro.
3. Si a6= 0 y b= 0 el n´umero z =a es un n´umero real.
4. Dos n´umeros complejos son iguales si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria.
Definici´on 1.25. Sea z ∈ C, con z = a+ib, se define el conjugado de un n´umero complejo como z¯=a−ib.
Proposici´on 1.26. [9] Si z ∈C, entonces existe w∈C tal que w2 =z.
La representaci´on geom´etrica de los n´umeros complejos fue gracias a Jean Robert Argand, pero fue inicialmente descrita por el encuestador y matem´atico Noruego-dan´es Caspar Wessel, considerando el eje de las ordenadas por un eje de n´umeros imaginarios y dejando el eje de las abscisas como el eje real. Gracias a ese cambio, es posible dotar a los n´umeros complejos con su propia geometr´ıa.
Definici´on 1.27. La forma trigonom´etrica de un n´umero complejo no cero z =a+ib est´a dada por,z =r(cosθ+isenθ), donde a=rcosθ, b=rsenθ y r=|z|.
1.3. EL CAMPO DE LOS N ´UMEROS COMPLEJOS
Imagen 1.4: Interpretaci´on geom´etrica del conjugado de un n´umero complejo.
Observaci´on 1.28. Si θ es alguno de los argumentos de z, es decir alguno de los ´angulos que forma z (como vector desde el origen) con el eje real. Notar que si θ1 y θ2 son dos argumentos para z, entonces existe k ∈ Z tal
que θ1 =θ2+ 2kπ.
Proposici´on 1.29. [9] Si z1, z2 ∈ C, entonces |z1 · z2| = |z1| · |z2|, y
arg(z1 ·z2) =argz1+argz2+ 2kπ para algun k∈Z. Proposici´on 1.30. [9] F´ormula de De Moivre Si z =r(cosθ+isenθ) y n un entero positivo, entonces
zn=rn(cos(nθ) +isen(nθ)).
Demostraci´on. Si n= 2, por la proposici´on 1.29 se cumple;
z2 =r2(cos(θ+θ) +isen(θ+θ)) =r2(cos2θ+isen2θ).
Ahora sup´ongase que se cumple para n, se demostrar´a que se cumple para
n+ 1.
zn+1=zn·z1
=rn(cos(nθ) +isen(nθ))·z1
=rn(cos(nθ) +isen(nθ))·r1(cosθ+isenθ) =rn+1(cos(nθ+θ) +isen(nθ+θ))
=rn+1(cos(n+ 1)θ+isen(n+ 1)θ).
Corolario 1.31. [9] Sea w un n´umero complejo, diferente de cero, en su representaci´on polar w = r(cosθ+isenθ). Entonces las n-´esimas ra´ıces de w, est´an dadas por los n´umeros complejos
zk = n
√
r(cos(nθ +2πkn ) +isen(nθ + 2πkn )), k = 0,1..., n−1.
Proposici´on 1.32. [9] Si z1, z2 ∈C, entonces se cumple lo siguiente:
1. z1+z2 = ¯z1+ ¯z2.
2. z1·z2 = ¯z1·z¯2.
3. z1z2 = z1z2¯¯, para z2 6= 0.
4. z¯1·z1 =|z1|2. M´as a´un, si z1 6= 0, entonces z1−1 = ¯ z1
|z1|2.
5. z1 = ¯z1 si y solo si z1 es un n´umero real.
6. Re(z1) = z1+ ¯2z1 y Im(z1) = z12i−z1¯.
7. z¯¯1 =z1.
8. |z1·z2|=|z1| · |z2|.
9. |z1 z2|=
|z1|
|z2|, para z2 6= 0.
10. −|z1| ≤ Re(z1) ≤ |z1| y −|z1| ≤ Im(z1) ≤ |z1|; tambi´en,
|Re(z1)| ≤ |z1| y |Im(z1)| ≤ |z1|.
11. |z¯1|=|z1|.
12. |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|.
13. |z1−z2| ≥ ||z1| − |z2||.
1.4.
Propiedades
geom´
etricas
de
las
circunferencias
En esta secci´on se dar´an algunos conceptos, propiedades y resultados que cumplen las circunferencias en el plano euclidiano con ayuda de nociones elementales en geometr´ıa euclidiana como lo son la semejanza de tr´ıangulos, ´angulos inscritos y circunscritos, potencias de un punto, familia de circunferencias coaxiales, etc. Los resultados mencionados en esta secci´on
1.4. PROPIEDADES GEOM´ETRICAS DE LAS CIRCUNFERENCIAS no ser´an demostrados, v´ease una demostraci´on en [4]. Sin embargo, dichos resultados ser´an utilizados en secciones posteriores.
De ahora en adelante, se denotar´a por R2 al plano euclidiano y porL a una l´ınea recta en el plano euclidiano o compejo, por C ⊂R2 una circunferencia con centro en un punto O en el plano euclidiano con radio r > 0 y AB el segmento de A hasta B.
Un ´angulo inscrito es un ´angulo que tiene su v´ertice sobre una circunferencia y sus lados son secantes de la circunferencia.
Teorema 1.33. Si un ´angulo inscrito en una circunferencia y un ´angulo central de la circunferencia abarcan el mimo arco, entonce el ´angulo inscrito vale la mitad del ´angulo central, v´ease la imagen 1.5.
Imagen 1.5: ´Angulo inscrito y ´angulo central.
Definici´on 1.34. A un conjunto de puntos que est´an sobre una misma circunferencia se les llama conc´ıclicos. A un cuadril´atero cuyos v´ertices son conc´ıclicos se le llama cuadril´atero c´ıclico.
Teorema 1.35. Un cuadril´atero es c´ıclico si y solo si cualesquiera dos ´
angulos opuestos son suplementarios, v´ease la imagen 1.6.
Imagen 1.6: Cuadril´atero ciclico.
Ahora se enunciar´an algunas propiedades sobre las circunferencias coaxiales; para ello, se define el eje radical de dos circunferencias, est´e es el lugar geom´etrico de todos los puntos P ∈ R2, tal que las potencias de P, con respecto de las dos circunferencias, son iguales.
Teorema 1.36. Sean C1 yC2 dos circunferencias.
(i) Si C1 y C2 se intersecan, entonces su eje radical es la l´ınea que pasa
por los puntos de intersecci´on.
(ii) Si las dos circunferenciasC1 yC2 son tangentes, entonces su eje radical
es la l´ınea tangente com´un.
(iii) Si C1 y C2 son ajenas, entonces su eje radical es la l´ınea determinada
por los puntos donde concurren los ejes radicales deC1 y C, y de C2 y
C, para cualquier circunferenciaC ⊂R2 que corta a C
1 yC2.
Corolario 1.37. Sean C1,C2 y C3 tres circunferencias en R2, si sus centros
no son colineales, entonces los tres ejes radicales (de C1 y C2; de C1 y C3
y de C2 y C3)son concurrentes en un punto llamado centro radical de las
tres circunferencias.
Definici´on 1.38. Sea F una familia de circunferencias en el plano euclidiano, se dir´a que F es una familia coaxial, si existe una l´ınea tal que es el eje radical de cualesquiera dos miembros de F.
1.4. PROPIEDADES GEOM´ETRICAS DE LAS CIRCUNFERENCIAS En lo que sigue de este cap´ıtulo se enunciar´an algunas definiciones y un resultado relacionados con las Circunferencias coaxiales secantes ajenas.
Definici´on 1.39. El ´angulo entre dos circunferencias, es el ´angulo que forman las tangentes a ambas circunferencias en uno de sus puntos de intersecci´on, v´ease la imagen 1.7.
Imagen 1.7: Regi´on fundamental de una transformaci´on hiperb´olica Observaci´on 1.40. El ´angulo entre dos circunferencias que se intersecan es igual en ambos puntos de intersecci´on.
Definici´on 1.41. A una familia F de circunferencias que pasan por dos puntos fijos se le llama familia secante.
Proposici´on 1.42. El eje radical de una familia secante F es la l´ınea que pasa por los puntos de intersecci´on. M´as a´un la familia es coaxial.
Geometr´ıa de funciones de
variable compleja.
2.1.
Transformaciones lineales
En esta secci´on se estudiar´an transformaciones que tienen la propiedad de ser isometr´ıas en el plano complejo. En geometr´ıa tambi´en se les conoce como transformaciones congruentes o movimientos congruentes.
Teorema 2.1. Sean a, b, c, d en el campo de los n´umeros complejos, y
|a|= |c| = 1, entonces las transformaciones I1, I2 : C−→C definidas como
z 7→ az+b y z 7→ cz¯+d, para todo z ∈ C respectivamente, son isometr´ıas del plano.
Demostraci´on. Observe que tanto I1 y I2 son funciones univaluadas, por
otro lado, para mostrar que son biyectivas, primero se demostrar´a que I1 es
inyectiva. Sean z1, z2 enC tal que z1 6=z2, si I1(z1) =I1(z2), entonces
az1+b=az2+b az1 =az2
z1 =z2.
Como a 6= 0 se sigue que I1 es inyectiva. Por otro lado si w ∈ C, z = w−ab
es tal que I1(z) = w. Por lo tanto I1 es sobreyectiva, as´ıI1 es una funci´on
biyectiva. Procediendo de manera an´aloga se comprueba que I2 es funci´on
biyectiva.
COMPLEJA. 2.1. TRANSFORMACIONES LINEALES
Siz y w son dos puntos en el plano C, entonces
|I1(z)−I1(w)|=|az+b−aw−b|
=|az−aw| =|a(z−w)| =|a||z−w| =|z−w|,
donde|a|= 1. Por otro lado,
|I2(z)−I2(w)|=|cz¯+d−cw¯−d|
=|cz¯−cw¯| =|c(¯z−w¯)|
=|c||z−w| =|z−w| =|z−w|,
donde|c|= 1. Por lo anterior, se verifica que I1 y I2 son isometr´ıas.
Teorema 2.2. Sean z0, z1, w0 y w1 n´umeros complejos, tales que
|z1−z0|=|w1−w0| 6= 0. Entonces, existen dos tipos de transformaciones
T1, T2 :C−→C definidas como, T1(z) =az +b y T2(z) =cz¯+d, para toda
z ∈C respectivamente, tal que para toda i∈ {1,2} y para toda j ∈ {0,1}, se tiene que Ti(zj) =wj con |a|=|c|= 1.
Demostraci´on. Si
w0 =az0+b y w1 =az1+b,
entonces
w1−w0 =a(z1−z0),
esto implica
a= w1−w0
z1−z0 ,
el cociente esta bien definido debido a que |z1−z0| 6= 0. Entonces
|a|=|w1−w0
z1−z0
|= |w1−w0| |z1−z0|
= 1.
La ultima igualdad se garantiza por la hip´otesis. Por otro lado
b=w0−az0 =w0−z0(
w1−w0 z1−z0 ).
De manera an´aloga, si
w0 =cz¯0+d y w1 =cz¯1+d,
entonces
w1−w0 =c( ¯z1−z0¯),
esto implica
c= w1−w0 ¯
z1−z¯0 ,
de ah´ı que,
|c|=|w1−w0 ¯
z1−z¯0
|= |w1−w0| |z¯1−z¯0|
= 1.
La ultima igualdad se garantiza por la hip´otesis, es decir|c|= 1.
Las isometr´ıas son de suma importancia para el desarrollo de la geometr´ıa, la cual es generada por las transformaciones, para ello primero se demostrar´a que toda isometr´ıa es una colineacion en el plano, donde colineaci´on se entender´a como una funci´on que manda rectas en rectas.
Teorema 2.3. Toda isometr´ıa en el plano complejo es una colineaci´on.
Demostraci´on. SeanL una recta en el plano yI :C−→Cuna isometr´ıa. Si
w, v ∈L tal que w6=v, entonces L :=Lwv, es decir, la recta determinada
porw y v. Se probar´a que I(Lw,v) =LI(w)I(v).
Sis ∈I(Lwv), entonces existe z ∈Lwv tal que I(z) =s.
Caso 1. Si z ∈ {wv}, entoncesI(z)∈ {I(w), I(v)}; as´ı, s∈LI(w)I(v).
Caso 2. Si z /∈ {wv}, entonces I(z)∈ {/ I(w)I(v)}; as´ı, sean z, w, v tres puntos colineales diferentes entre s´ı, sobre una l´ıneaL, por lo que uno de los puntos esta entre los otros dos; sin p´erdida de generalidad, sea
w entrez y v, entonces
COMPLEJA. 2.1. TRANSFORMACIONES LINEALES
Como I es una isometr´ıa, entonces su imagen preserva la misma
distancia, por lo cual se tiene que,
|I(z)−I(w)|+|I(w)−I(v)|=|I(z)−I(v)|.
As´ı, I(z), I(w) y I(v) son colineales, de lo contrario formar´ıan un tri´angulo donde la suma de sus dos lados es mayor que el lado restante, esto es;
|I(z)−I(w)|+|I(w)−I(v)|>|I(z)−I(v)|.
Lo cual no ocurre.
Con lo anterior se acaba de probar que para todo isometr´ıa I del plano y para cualesquiera w, v ∈ C, distintos entre s´ı, se tiene: I(L)⊆LI(w)I(v),
por definici´on de isometr´ıa se sigue que; |I−1(w)−I−1(v)| = |I(I−1(w))− I(I−1(v))| = |w−v|, es decir, la inversa de una isometr´ıa tambi´en es una isometr´ıa; luego, I−1(L
I(w)I(v)) ⊆ LI−1(I(w))I−1(I(v)), as´ı I(I−1(LI(w)I(v))) ⊆ I(Lwv), por lo que LI(w)I(v) ⊆ I(Lwv), de lo anterior se concluye que
I(L) =LI(w)I(v). Por lo tanto, toda isometr´ıa es una colineaci´on.
Corolario 2.4. Toda isometr´ıa env´ıa l´ıneas paralelas en l´ıneas paralelas.
Demostraci´on. Sean L1, L2, dos rectas paralelas y I :C−→C una isometr´ıa. Por el Teorema 2.3, se sigue que toda l´ınea es transformada en otra l´ınea, es dec´ır, I(L1) =L01,I(L2) = L02.
Supongamos que L01 y L02 no sean l´ıneas paralelas, por lo que existe, z0 ∈L01∩L02 =I(L1)∩I(L2), esto implica que existen z1 ∈L y z2 ∈L
tal queI(z1) = I(z2) = z0; comoI es inyectiva se sigue que,z1 =z2, es decir, z1 ∈L1∩L2, esto es una contradicci´on. Por lo que se prueba el resultado.
Teorema 2.5. Toda isomet´ıaI :C−→Cest´a determinada de manera ´unica por un tri´angulo dado y ´este es congruente a su imagen .
Demostraci´on. Sean z0, z1,z2 los v´ertices de un tri´angulo e
I(z0) =w0, I(z1) = w1, I(z2) = w2 los puntos im´agenes, se tiene que:
|zi−zj|=|I(zi)−I(zj)|=|wi−wj|,
con i, j = 0,1,2.
Sea z un punto diferente de zi, para todo i= 0,1,2. Observe la paralela a la
que pasa por los puntosz0, z2 en un puntoz00, y la paralela aLz0z2 que pasa
por el puntoz interseca a la l´ınea Lz0z1 en el punto z
0; v´ease la imagen 2.1.
z0
z1 z0
z00 z
z2
Imagen 2.1: Isometr´ıa determinada por un tri´angulo
Siwes la imagen dez bajo la isometr´ıaI y cadazk es enviado a cadawk,
respectivamente, con k = 1,2,3, entonces por el teorema 2.3 y el corolario
2.4, se sigue que las l´ıneasLzz0 y Lzz00 son enviadas en sus correspondientes l´ıneas Lww0 y Lww00, respectivamente, con w0 en la l´ınea Lw
0w1 y w
00 en la l´ınea Lw0w2, de ah´ı se tiene lo siguiente:
|z2−z00|=|w2 −w00|,|z0−z00|=|w0−w00| (2.1)
y
|z0−z0|=|w0 −w0|,|z1−z0|=|w1−w0|. (2.2)
Como las l´ıneas Lw00w
2 y Lw0w son paralelas, por (2.1) y (2.2) se puede
determinar que la posici´on de los puntos w0 y w00 son ´unicos; m´as a´un, la posici´on dewest´a definida de manera ´unica, por lo antes mencionado. Como
z es arbitrario, este teorema queda demostrado.
Teorema 2.6. Si existen exactamente dos isometr´ıas tales que env´ıan dos puntos z0 y z1 en dos puntos imagen w0 y w1, entonces
COMPLEJA. 2.1. TRANSFORMACIONES LINEALES Demostraci´on. De la proposici´on 2.1 y el teorema 2.2, se sigue que las transformaciones que cumplen con la propiedad2.3son isometr´ıas. Solo basta mostrar que no existe otra isometr´ıa con dicha propiedad.
En efecto, se tiene que cualquier isometr´ıa que manda z0 a w0 y z1 enw1 es
una colineaci´on, por lo que la l´ınea recta que pasa por los puntosz0 y z1 es
enviada mediante la isometr´ıa en una l´ınea recta, la cual pasa por los puntos
w0 y w1. Sea z un punto y wsu punto imagen tal que:
|z−z0|=|w−w0|,|z−z1|=|w−w1|. (2.4)
Si z, z0, z1 son colineales, entonces por el teorema 2.3 w, w0 y w1 tambi´en
son colineales. Luego, de las igualdades (2.3) y (2.4), se determina una ´unica posici´on de w sobre la l´ınea que pasa por w0 y w1.
Siz no es colineal a z0 y z1, entonces z0, z1 y z forman un tri´angulo, el cual
es enviado a un tri´angulo con v´ertices enw0, w1 y w, m´as a´un, es congruente
a este, v´ease la imagen2.2. Los v´ertices w0 y w1 son fijos, note que el punto
w0
w
w1
w
Imagen 2.2: Tri´angulos congruentes
w tiene dos posibles posiciones sim´etricas con respecto a la l´ınea Lw0w1.
Por lo que, todo puntoz forma conz0 y z1 una colineaci´on o es un tri´angulo.
Luego, por el teorema2.5, cada uno de estos tripletes; w0, w1 ywdeterminan
una isometr´ıa.
Definici´on 2.7. Se llama transformaci´on directa o positiva a toda transformaci´on que conserve la orientaci´on de los ´angulos, se denota por
M+.
Definici´on 2.8. Se llama transformaci´on inversa o negativa, a toda transformaci´on que cambie orientaci´on de los ´angulos, se denota por M−.
Teorema 2.9. Sea M el conjunto de todas las isometr´ıas del plano, este conjunto est´a determinado por dos conjuntos M+ y M−, donde el conjunto
M+ consiste de todas las isometr´ıas I+ :C−→C definidas como; I+(z) =
az+b con|a|= 1, el conjunto M− es el de todas las isometr´ıasI− :C−→C
de la forma I−(z) =cz¯+d con |c|= 1.
Las transformaciones cambio de coordenadas es otro concepto relacionado con las isometr´ıas y se dar´a la idea geom´etrica por medio de un ejemplo. Sea
F el origen del nuevo sistema y el nuevo eje real se obtiene por medio del “viejo” eje real, por un ´angulo φ.
Se asumir´a el posible eje imaginario, el cual se transforma en un nuevo eje positivo imaginario por medio de una rotaci´on de alg´un ´angulo φ, v´ease la imagen2.1.
Imagen 2.3: Transformaci´on cambio de coordenadas
COMPLEJA. 2.2. GRUPO DE COLINEACI ´ON DEL PLANO COMPLEJO a los valores del nuevo sistema y se asigna sub´ındice cero al viejo valor, por lo que se tiee a z un punto arbitrario tal que z0 =z. En el sistema auxiliar todos los argumentos disminuyen por medio deφ. As´ı, de acuerdo al teorema de De Moivre:
z1 =z[cos(−φ) +isen(−φ)] =z(cosφ−isenφ).
SiF1 =f(cosφ−isenφ), entonces el valor dez2 se obtiene por una diferencia deF1 y z1, es decir,
z2 =z1−F1 =z(cosφ−isenφ) =f(cosφ−isenφ) = az+b.
As´ı, a y b son determinados de manera ´unica por la elecci´on de f, φ, y el
|a|= 1. De manera rec´ıproca, se puede mostrar que, dadosa y b arbitrarios, con |a| = 1, existe una ´unica transformaci´on I+ de coordenadas tal que
I+(z) = az+b.
Otro caso surge si φes de nuevo el ´angulo que hace girar de manera positiva al eje real, pero si el eje imaginario es “movido”por alg´un ´angulo, entonces la nueva posici´on del eje imaginario es negativo. Se puede mostrar que el segundo tipo de transformaciones de coordenada. Est´a dado por la forma de la transformaci´on I−(z) = az¯+b,|a| = 1, se deduce que, I+(z) = az +b y
I−(z) = az¯+b son dos transformaciones diferentes.
2.2.
Grupo de colineaci´
on del plano complejo
En esta secci´on, se omitir´a la restricci´on |a| = 1, la cual se empleo en las transformaciones I+ :
C−→C definidas como, I+z = az +b. La raz´on por la que se ped´ıa esta restricci´on en la secci´on anterior, es debido a que era necesaria para que las transformaciones preserven distancias. De ah´ı que las transformaciones I, I0 :C−→C, definidas como; I(z) = az + b y
I0(z) =az¯+b, son m´as generales si no se pide la condici´on|a|= 1, pero a´un as´ı, preservan algunas propiedades similares a las transformaciones vistas anteriormente. Algunos ejemplos son la semejanza de tri´angulos y figuras en general. Por lo que resultan ser m´as d´ebiles en estas propiedades, esto debido a que la congruencia entre figuras geom´etricas es un t´ermino m´as general que el de semejanza. En esta secci´on se dar´a uno de los tipos m´as simples de transformaciones llamadas traslaciones Tb :C−→C, definidas por;T(z) = z + b. Por el teorema 2.1, las traslaciones son isometr´ıas. Geom´etricamente, v´ease la imagen 2.4 que toda traslaci´on toma cada punto
Imagen 2.4: Traslaci´on
longitud” con respecto a la posici´on del vector ~b, m´as a´un con la misma direcci´on, v´ease la imagen 2.5.
Imagen 2.5: Traslaci´on respecto de~b
Teorema 2.10. Las traslaciones de un plano forman un grupo abeliano T , el cual es isomorfo al grupo de los n´umeros complejos con la adici´on.
Demostraci´on. Para cada b ∈ C, se define Tb :C−→C por Tb(z) = z +b.
As´ı, el conjunto de las traslaciones se define como;
COMPLEJA. 2.2. GRUPO DE COLINEACI ´ON DEL PLANO COMPLEJO
Sean Tb, Tc ∈T, con b, c∈C,
(Tb◦Tc)(z) = Tb(Tc(z))
=Tb(z+c)
= (z+c) +b
=z+ (c+b) =z+b1.
Y b1 =c+b, es dec´ır, (Tb◦Tc)(z) = z+b1, por lo queTb◦Tc∈T .
Recordar que la operaci´on aditiva es asociativa en los C, m´as a´un, la composici´on tambi´en es asociativa.
Sea 0∈C tal que T0(z) =z+ 0 =z, es dec´ır, T0(z) =z. Por lo que T0 es el
elemento neutro enT . Sea Tb ∈T , entonces
z = (Tb◦Tb−1)(z)
=Tb(Tb−1(z))
=Tb−1+b.
Esto implica quez =Tb−1 +b, por lo queTb−1 =z−b, pero T−b =z−b.
Por todo lo anterior se con cluye que (T,◦) es un grupo.
Sea ϕ : (T ,◦) −→ (C,+) definida por; ϕ(Tb) = b. Afirmaci´on: ϕ est´a
bi´en definida. En efecto, si Tb = Tc, entonces ϕ(Tb) =ϕ(Tc), esto implica
b=c, por lo que ϕesta bien definida.
Se afirma que ϕ es un homomorfismo, en efecto dado que se cumple lo
siguiente:
ϕ(Tc◦Tb(z)) =ϕ(Tb+c(z))
=b+c
=ϕ(Tb) +ϕ(Tc).
As´ı,ϕ(Tc◦Tb(z)) =ϕ(Tb) +ϕ(Tc).
Si b = c, entonces ϕ(Tb) = ϕ(Tc), esto implica Tb = Tc, por lo que ϕ es
inyectiva.
2.3.
Dilataci´
on y rotaciones
Una transformaci´on an´aloga a las traslaciones es T : C −→ C definida como; T(z) = az, a ∈ C\ {0}, donde el cambio radica en la operaci´on, ya que en lugar de la adici´on, es la multiplicaci´on. Tenga en cuenta que |a| no necesariamente es 1, este tipo de transformaciones no siempre son isometr´ıas. Estas transformaciones son llamadas rotaciones dilatadas alrededor del cero (dilatar= expandir, extender) v´ease la imagen 2.6, dilatar podr´ıa representar una expansi´on o un estiramiento. La motivaci´on de este t´ermino se aclarar´a en los teoremas siguientes.
Imagen 2.6: Rotaci´on dilatada
Teorema 2.11. Las rotaciones dilatadas de un plano alrededor del cero forman un grupo abeliano D, el cual es isomorfo al grupo de los n´umeros complejos con la operaci´on multiplicaci´on.
Demostraci´on. Para cada b ∈ C. Se define Rb :C −→ C por Rb(z) = bz, el
conjunto D se define como: {Rb|b∈C\ {0}}.
Sean Ra, Rb ∈D, tal que Ra(z) =az, Rb(z) =bz, luego
(Ra◦Rb)(z) = Ra(Rb(z))
=Ra(bz)
=a(bz) = (ab)z =Rab(z),
COMPLEJA. 2.3. DILATACI ´ON Y ROTACIONES
tales que Ra(z) = az, Rb(z) =bz, y Rc(z) = cz, de ah´ı que
Ra((Rb◦Rc)(z)) =Ra(Rbc(z))
=Ra((bc)z)
=a(bcz) = (ab)cz
=Rab(cz)
= (Ra◦Rb)(Rc(z)).
As´ıD es asociativo.
N´otese que sia ∈C\ {0},entonces a−1 ∈
C, luego para todo Ra ∈D, tiene
elemento inverso, en efecto,
z = (Ra◦R−a1)(z)
=a(Ra−1(z)).
As´ı z = a(R−a1(z)) de ah´ı que R−a1(z) = a−1z, Ra−1(z) = a−1z, as´ı, Ra−1 =R−a1.
Por todo lo anterior se concluye que (D,◦) es un grupo. Se afirma que D es abeliano, si Rb, Rc∈D, entonces
(Rb◦Rc)(z) = Rb(cz) = b(cz)
= (bc)z
= (cb)z
=c(bz) =Rc(bz)
= (Rc◦Rb)(z).
Seaφ: (D,◦)−→(C,·) definida como;φ(Rb) =z0.Se afirma queφ esta bien
definida, si Rb =Rc, entonces φ(Rb) =φ(Rc) se tiene quez0 =z00, as´ıφ est´a
bien definida. Se afirma que φ es un homomorfismo. En efecto, si
φ(Rc◦Rb)(z) = φ(Rbc(z))
=z0z00
=φ(Rb)·φ(Rc).
As´ı,φ((Rc◦Rb)) =φ(Rb)·φ(Rc). M´as a´un, φ es biyectiva, porque si z0 =z00
Si b−1z ∈ (
C,+) tal que existe Rb ∈ D, entonces φ(Rb(b−1z)) = z, v´ease la
imagen2.7.
Imagen 2.7: Rotacion dilatada en un plano alrededor del cero
Por lo anterior se concluye que (D,◦)∼= (C,·).
El teorema 2.11 da pie a una motivaci´on para aprender m´as acerca de la estructura de D, para ello vamos a considerar subgrupos de D que son las rotaciones dilatadoras Ta(z) =az con a ∈R\{0}, v´ease la imagen 2.7, estas transformaciones definen una dilataci´on desde el cero, y cuando |a|= 1 se tratar´a de una rotaci´on alrededor del cero, v´ease la imagen 2.8.
Si|a|= 1, a puede ser escrito como
a =cosα+isenα,
donde α = arg(a). Si z = ρ(cosφ + isenφ), entonces az = ρ(cosα +
isenα)(cosφ+isenφ) = ρ(cos(α+φ) +isen(α+φ)), y as´ı, ρ est´a intacto, pero con un aumento en el argumento deα, en otras palabras, una rotaci´on dada porα al rededor del cero.
COMPLEJA. 2.3. DILATACI ´ON Y ROTACIONES Geom´etricamente una dilataci´on desde el cero, env´ıa cada punto z
desplaz´andolo en l´ınea recta, la cual se une desde el cero hasta z.
El sentido de una rotaci´on al rededor del cero es el habitual. Una dilataci´on rotada es una dilataci´on desde el cero, seguida por una rotaci´on al rededor del cero, esto es,
z0 = a
|a|(|a|z),| |a| |a||= 1.
Teorema 2.12. Las dilataciones forman un subgrupo abeliano D∗ de D, y las rotaciones al rededor del cero forman un subgrupo abeliano R de D.
Demostraci´on. Si 0 6=a ∈ R, entonces a−1 ∈ R, y como el producto de dos n´umeros reales es real, se tiene lo siguiente; Ta−1 ◦Tc(z) = a−1cz = dz, con d=a−1cy por el teorema 1.4, se comprueba el resultado para D∗.
Si |a| = |c| = 1, entonces |a−1| = 1 y |ac| = 1. Por otro lado, R y D∗ son subgrupos de un grupo abelianoD.
De manera similar, se considerar´an grupos de isometr´ıas.
Teorema 2.13. Sea M el conjunto de las isometr´ıas en el plano. Entonces
Mes un grupo con la composici´on, el conjuntoM+ de las isometr´ıas directas
es un subgrupo normal deMy el conjuntoM− de isometr´ıas opuestas es una
clase lateral con respecto a M+, pero M y M+ no son abelianos.
Demostraci´on. Para cuales quiera a, b ∈ C e Ia,b+ , Ia,b− : C −→ C, definidas por; Ia,b+(z) = az + b y Ia,b−(z) = az¯ + b, respectivamente.
El conjunto de las isometr´ıas se define como; M := M+ ∪ M−,
donde M+=:{Ia,b+|a, b∈C y |a|= 1} y M− =:{Ia,b−|a, b∈C y |a|= 1}. Se afirma que M la composici´on de dos transformaciones isom´etricas es una transformaci´on isom´etrica, ahora bien; SeanI1, I2 dos isometr´ıas, siz1, z2 ∈C
y w1 = I(z1), w=I(z2), entonces |z1 −z2| = |I1(z1)−I1(z2)| y |w1 −w2| =
|I2(w1)−I2(w2)|, de ah´ı que
|z1−z2|=|(I2 ◦I1)(z1)−(I2◦I1)(z2)|
=|I2(I1(z1))−I2(I1(z1))|
=|I2(w1)−I2(w2)|
=|w1 −w2|.
As´ı,M+ =:{Ia,b+|a, b∈C} es el conjunto de las isometr´ıas directas. Primero
se demostrar´a queM+ es un subgrupo de M. Se afirma que M+ es diferente
del vac´ıo, debido a queI1+,0(z) = 1z+ 0 =z =Id(z), dondeId es la isometr´ıa identidad en M+.
Sean Ia,b+ y Ic,d+ enM+ tales que
((I+)−c,d1◦Ia,b+)(z) = (I+)−c,d1(Ia,b+(z))
= (I+)−c,d1(az+b)
= (I+)c−1,−d(az +b)
=c−1(az +b)−d
= (c−1a)z+ (b−d).
As´ı, (I+)−1
c,d ◦ I
+
a,b ∈ M+ debido a que |c| = 1 y |a| = 1, lo que implica
|c−1a|= 1. Finalmente, por el teorema1.4, se concluye que (M
+,◦)≤(M,◦).
Sea I1−,0 en M, donde I1−,0 es una isometr´ıa esto por el teorema 2.1 y de lo anterior se tiene que:
(Ia,b+ ◦I1−,0)(z) =Ia,b+ (I1−,0(z))
=Ia,b+ (¯z)
=az¯+b
=Ia,b− (z),
donde Ia,b− ∈ M−. Luego por el teorema 2.6, solo hay dos sometr´ıas. As´ı, todas las isometr´ıas en M− pueden ser representadas de la siguente forma;
Ia,b+ ◦I1−,0 =Ia,b−, donde Ia,b+ ∈ M+. Por lo que M− =:{Ia,b+ ◦I1−,0|Ia,b+ ∈ M+}.
De ah´ı queM=M+∪M− =M+∪ {I1−,0◦M+},M− es una partici´on de M, m´as a´un, M− es una clase lateral derecha con respecto aM+. Por tantoM
est´a compuesto por dos clases laterales M+ y M−. Por todo lo anterior se
tiene que M+ es de ´ındice dos en M y por el teorema 1.12, se concluye que M+CM.
Afirmamos que M+ no es abeliano, sean Ia+(z) = az,(|a| = 1) y
(I1+,b)0(z) = z+b, de ah´ı que; (I1+,b)0◦Ia+(z) = az+b yIa+◦(I1+,b)0(z) =az+ab,
para a 6= 1 y b 6= 0. As´ı, (I1+,b)0◦I+
a 6= Ia+◦(I
+ 1,b)
0, por lo que; M
+ no es un
grupo abeliano. M´as a´un, M no es abeliano.
Teorema 2.14. SeaI :Rn −→
Rn una funci´on, las siguientes proposiciones
COMPLEJA. 2.4. SIMILITUDES
(1) Es I una isometr´ıa.
(2) La funci´onI preserva distancia.
(3) Es I de la forma I(x) =Ax+a, donde A es una matr´ız ortogonal y a=I(0).
Demostraci´on. La implicaci´on (1)⇒(2), se da por definici´on de isometr´ıa. Para la implicaci´on (2)⇒(3), se supondr´a queI preserva distancia, luego se define la siguiente funci´onA: Rn −→
Rn, porA(x) :=I(x)−I(0). Primero se demostrar´a que A preserva distancia.
Sean x, y ∈Rn tal que;
|A(x)−A(y)|=|(I(x)−I(0))−(I(y)−I(0))| =|I(x)−I(0)−I(y) +I(0)| =|I(x)−I(y)|
=|x−y|.
M´as a´un, A(0) = I(0)−I(0) = 0. Por tanto A preserva distancia. Observe que|A(x)|=|A(x)−A(0)|=|x−0|=|x|, es decir, |A(x)|=|x|.
Se afirma que A es una transformaci´on ortogonal,
2A(x)·A(y) = A(x)·A(x) +A(y)·A(y)−((A(x)−A(y))·(A(x)−A(y))) =|A(x)|2+|A(y)|2− |A(x)−A(y)|2
=|x|2+|y|2− |x−y|2.
As´ı, existe A matr´ız ortogonal de tama˜non x n tal que I(x) = I(0) +Ax. Para (3.) ⇒ (1). Si I(x) = I(0) +Ax, entonces I es composici´on de una tranasformaci´on ortogonal seguida de una traslaci´on, es decir, I := T ◦φ, donde φ, T : Rn −→
Rn y φ(x) =Ax, T(x) = x+a. Luego por el teorema
1.21 se tiene que φ es una isometr´ıa recordando que las traslaciones son isometr´ıas, por el teorema previo se sigue que I es una isometr´ıa.
2.4.
Similitudes
Definici´on 2.15. Sean (X, dX),(Y, dY) espacios m´etricos y S :X −→Y es
una funci´on, se dir´a similaridad de X en Y, si S cumple lo siguiente:
(i) Cambio de escala;
dY(S(x1), S(x2)) =kdX(x1, x2) para cadax1, x2 ∈X,
donde k >0, es llamado factor de escala de S. (ii) La funci´on S es biyectiva.
Teorema 2.16. Sea S : Rn −→ Rn una funci´on, los siguientes enunciados
son equivalentes.
(1) La funci´on S es una similaridad.
(2) Es S un cambio de escala.
(3) Es S de la forma S(x) = a+kAx, donde A es una matr´ız ortogonal, k es una constante positiva y a=S(0).
La demostraci´on del teorema anterior es an´aloga a la demostraci´on del teorema 2.14.
Ejemplo 2.17. Sea f : C −→ C, definida como; f(z) = az + b, para cualesquiera a, b∈C.
Observaci´on. Si a = a1 +ia2 ∈ C, entonces para todo z ∈ C se tiene que
z =x+iy∈C, a2a1 y z con xy,
a1 a2
−a2 a1
x y
.
Recordar que C es isomorfo a M2x2, es decir,
φ :C−→M2x2,
a=a1+ia2 7→
a1 a2
−a2 a1
,
z =x+iy 7→
x y
−y x
,
az 7→
a1 a2
−a2 a1
x y
−y x
COMPLEJA. 2.4. SIMILITUDES
En particular, si a=|a|eiθ, entonces
az =|a|
cosθ senθ
−senθ cosθ
xy
−yx
.
As´ı, f(z) = |a|Az+b, donde b es una matr´ız y A=
cosθ senθ
−senθ cosθ
.
Con la misma idea que se hizo el ejercio anterior se trabajar´a con las siguientes transformacionesS+, S−:C−→C, definidas como;S+(z) =az+b
yS−(z) =az¯+b, cona6= 0, recordar que no necesariamente el valor absoluto dea es igual a uno. Este tipo de transformaciones se les llamar´a similitudes, donde S+(z) = az +b se llamar´an similitudes directas y S−(z) = az¯+b, son llamadas similitudes opuestas. El siguiente resultado se tiene como consecuencia de lo reci´en mencionado.
Teorema 2.18. Las similitudes forman un grupo S con la composici´on, el conjunto S+ de las similitudes directas forman un subgrupo y las similitudes
opuestas forman una clase, denotada por S−, con respecto a S+, pero ni S ni
S+ son subgrupos abelianos. El conjunto M es un subgrupo deS yM+ es un
subrupo de S+.
Demostraci´on. Sean S+,S− : C −→ C definidas por; S+(z) = az + b y
S−(z) = az¯+b, para cadaa, b∈C. El conjunto de las similaridades se define como; S := S+ ∪S−, donde S+ =: {S+|a, b ∈ C} y S− =: {S−|a, b ∈ C}. Una parte de la demostraci´on de este teorema es an´aloga a la demostraci´on en el teorema 2.13. Por lo que solo resta probar que M es subgrupo de S y que M+ es un subrupo de S+. Como M y S son grupos con la composici´on,
´
unicamente basta mostrar queM⊆S y exhibir que el elemento neutro enS
es el mismo que en M.
SiIa,b∈M, entonces Ia,b∈M+ o Ia,b∈ {I1−,0M+}.
Caso 1. SiIa,b∈M+, entoncesIa,b(z) = az+bcon |a|= 1. Por lo tanto
Ia,b ∈S.
Caso 2. Si Ia,b ∈ {I1−,0◦M+}, entonces
Ia,b(z) =I1−,0◦Ia+1,b1(z)
=I1−,0(a1z+b1)
= 1(a1z+b1) + 0
Por lo tanto,Ia,b∈S.
Observar que S1,0 ∈ S es el elemento neutro, luego para cada Ia,b ∈ M,
se tiene que: S1,0 ◦ Ia,b(z) = S1,0(Ia,b(z)) = S1,0(az + b) = az + b. y Ia,b◦S1,0(z) = Ia,b(S1,0(z)) = Ia,b(z) = az +b. Es decir, S1,0 es el mismo
elemento neutro paraM. La demostraci´on de que M+ es subgrupo de S+ es
an´aloga.
Observaci´on 2.19. El diagrama en la imagen 2.9, resume la relaci´on entre las transformaciones de grupos que han sido mencionados. La pregunta natural es la siguiente, ¿Cu´ales son las similitudes desde el punto de vista geom´etrico? El siguiente teorema responde a esta pregunta y proporciona razones del porque el nombre de similaridades.
Imagen 2.9: Relaci´on entre las transformaciones de grupos
Teorema 2.20. Si z1, z2, z3 son los v´ertices de un tri´angulo, entonces los
v´ertices del tri´angulo son enviados por medio de una similitud directa a sus correspondientes v´ertices w1, w2, w3 en otro tri´angulo si y solo si,
z2−z1
z3−z1
= w2−w1
w3−w1
. (2.5)
Demostraci´on. Sean zk los v´ertices de un tri´angulo, para k = 1,2,3 y
supongase que S es una similitud directa tal que S+ : z 7→ az +b, donde S+(z
k) =wk son los v´ertices de otro tri´angulo, para k= 1,2,3 y a6= 0,
w2−w1 w3−w1
= az2−az1
az3−az1
= z2−z1
COMPLEJA. 2.4. SIMILITUDES
Para la suficiencia se supondr´a la ecuaci´on 2.5, lo cual implica que w3 6=w1.
Ahora, considere la similitud
S1 :C−→C,
S1 :z7→
z−z1 z3−z1
.
La similitud S1 env´ıa; z1 en 0, z2 en zz23−−zz11 y z3 en 1. De manera similar, sea
S2 :C−→C
S2 :z 7→
z−w1 w3−w1
.
De ah´ı que, S2 env´ıa; w1 en 0, w2 en ww23−−ww11 y w3 en 1.
La composici´onS2−1◦S1 es en s´ı mismo una similitud, la cual est´a definida
de la siguiente manera:
S2−1◦S1(z1) =S2−1(0) =w1,
S2−1◦S1(z2) =S2−1(z2−z1
z3−z1
) =S2−1(w2 −w1
w3 −w1
) =w2,
S2−1 ◦S1(z3) = S2−1(1) =w3
As´ı,S2−1◦S1 es similitud directa dado que S1 y S2−1 son similitudes directas
y (S+,◦) es un grupo. De manera expl´ıcita se tiene:
S2−1◦S1 :z7→
w3−w1 z3−z1
(z−z1) +w1.
Una consecuencia inmediata del teorema previo es la siguiente.
Teorema 2.21. Una similitud env´ıa un tri´angulo en un tri´angulo similar.
Demostraci´on. Sean S, S0 : C −→ C similitudes, definidas como; S(z) =
az + b, S0(z) = az¯+b, con a 6= 0 y zk los v´ertices de un tri´angulo para
k = 1,2,3. Por la ecuaci´on (2.5) del teorema 2.20 se sigue que;
Caso 1. Si S(zk) = wk con wk vertices de otro tri´angulo y k = 1,2,3,
entonces
|z2−z1|
|z3−z1|
= |w2−w1| |w3−w1|
Luego, por la ecuaci´on de (2.5), y considerando el valor absoluto, se obtiene;
|z2−z3| |z3−z1|
= |w2−w3| |w3−w1| ,
y dado que
|z1−z2|
|w1−w2|
= |z2 −z3| |w2 −w3|
= |z3−z1| |w3−w1|
,
los tri´angulos son similares.
Caso 2. Si wk =S0(zk) = az¯+b con k = 1,2,3, entonces no podemos
hacer uso del teorema 2.20 debido a que solo es para similitudes
directas. Sin embargo;
w2−w1 w3−w1
= z¯2−z¯1 ¯
z3−z¯1
= z2−z1
z3−z1 ,
esto implica a la ecuaci´on (2.6). El resultado de la prueba es como el caso directo.
2.5.
Orientaci´
on
La raz´on de hacer la distinci´on entre “directo” y “opuesto”, no se ha aclarado geom´etricamente, esto se explicar´a con ayuda de las transformaciones isom´etricas para discutir su orientaci´on. Por el teorema 2.2
existe exactamente una transformaci´on isom´etrica tal que los v´ertices de un tri´angulo dado, y sus correspondientes v´ertices del tri´angulo, son enviados a un tri´angulo congruente al dado. Si la isometr´ıa es directa se dir´a que los tri´angulos tienen la misma orientaci´on. Si es opuesto la orientaci´on sera diferente. En el siguiente teorema se demostrar´a que la propiedad de tener orientaciones iguales es invariante bajo las isometr´ıas.
Teorema 2.22.Seanzk,wk ∈Cconk= 1,2,3, los v´ertices de dos tri´angulos
congruentes y con la misma orientaci´on. Si Ia,b : C −→ C es cualquier
isometr´ıa, entonces los tri´angulos con v´ertices Ia,b(zk) e Ia,b(wk), para cada
COMPLEJA. 2.6. TRASLACIONES Y ROTACIONES Demostraci´on.
Caso 1. Si la orientaci´on de los tri´angulos es la misma, entonces Ia,b+
una isometr´ıa directa tal que Ia,b+(zk) = wk, se tiene lo siguiente
Ia,b(wk) =Ia,b◦Ia,b+(zk)
= (Ia,b◦Ia,b+)◦(Ia,b−1◦Ia,b)(zk)
= (Ia,b◦Ia,b+ ◦I
−1
a,b)◦(Ia,b(zk)).
As´ı,Ia,b+ ∈M+, de acuerdo al teorema2.13,M+es un subgrupo normal
de M, por lo que Ia,b◦Ia,b+ ◦I
−1
a,b ∈ M+. Luego, Ia,b(zk) es enviado en
Iab(wk) mediante una isometr´ıa directa, para cada K = 1,2,3. As´ı, los
tri´angulos con vertices Ia,b(zk) e Ia,b(wk) para cada k = 1,2,3, tienen
la misma orientaci´on.
Caso 2. Si se supone que Ia,b(zk), Ia,b(wk) tienen la misma orientaci´on
y queIa,b+, es una isometr´ıa directa, entoncesIa,b(zk) =Ia,b+ ◦Ia,b(wk) y
zk =Ia,b−1◦Ia,b+ ◦Ia,b(wk), con k= 1,2,3. Usando un argumento similar
al anterior caso se concluye queIa,b−1◦Ia,b+ ◦Ia,b∈M+, pero esto es una
contradicci´on.
Se puede observar que el concepto de orientaci´on est´a dado de manera intuitiva y no mediante una definici´on. Todo lo que se ha logrado es definir la orientaci´on directa u opuesta de tri´angulos congruentes.
2.6.
Traslaciones y rotaciones
geometr´ıa Euclidiana, y las isometr´ıas pueden ser consideradas como el grupo de transformaciones que “pertenecen a la geometr´ıa Euclidiana”, m´as a´un, las similitudes env´ıan cada figura en otra figura similar cuyas dimensiones son |a|, al igual que lo son para la preimagen.
Sea T : C −→ C, definida como T(z) = az +b, si |a| > 1, no se puede considerar una figura y su figura imagen (Se puede llamar a la imagen “una copia amplificada”) como “lo mismo”. Se estar´a de acuerdo en tratar una geometr´ıa s´olo en su forma y no en el tama˜no. Tal geometr´ıa es diferente de la geometr´ıa Euclidiana. Est´a caracterizaci´on en geometr´ıa esta dada por medio grupos de transformaciones, esto es la esencia del “programa Earlangen”, propuesto en 1872 por el matem´atico aleman Felix Klein (1849 - 1925) en su discurso inaugural en la universidad de Earlangen.
En topolog´ıa las transformaci´ones pueden ser de naturaleza muy general, porque la ´unica restricci´on impuesta en las transformaciones es que sean continuas, por ejemplo; el interior de todo c´ırculo y todo tri´angulo, son considerados copias del mismo objeto.
En este trabajo se tratar´a s´olo con la geometr´ıa l´ıneal, en la cual las transformaciones env´ıan rectas en rectas y planos en planos. As´ı, las transformaciones de la geometr´ıa l´ıneal son colineaciones en el plano. M´as adelante se estudiar´a otra geometr´ıa l´ıneal y sus grupos.
Grupo de translaciones y rotaciones
Se iniciar´a con el estudio de las isometr´ıas simples y de las traslaciones. Hasta este momento siempre era dada la preimagen de una transformaci´on y se tenia que dar la imagen. Ahora se har´a de manera inversa, por lo cual ser´ıa interesante saber si hay un elemento del grupo de transformaciones que mande un punto determinado a un punto de la imagen dado.
Si para cada punto z0 existe una transformaci´on en el grupo tal que el cero lo envi´e az0, entonces este grupo de transformaciones se llamar´atransitivo. Un requisito equivalente, aunque aparentemente m´as fuerte para un grupo de transformaciones transitivas, es el tener un punto arbitrario w que sea enviado en otro punto arbitrario w0. Por lo anterior, se tiene el siguiente resultado.
Teorema 2.23. El grupoT de las traslaciones es transitivo y es un subgrupo normal de M+.
Demostraci´on. Sea Tb :C−→C, definida por Tb(z) =z+b enT . Observar
COMPLEJA. 2.6. TRASLACIONES Y ROTACIONES
con la composici´on, se implica que T ≤ M. Por otro lado, la traslaci´on
Tz0(z) =z+z0 env´ıa el cero a z0, as´ı queda probada la transitividad.
Ahora, si Ia,b+ :C −→C definida porIa,b+ (z) = az+b con |a|= 1, Td es una
traslaci´on arbitraria y (Ia,b+)−1(z) = a−1(z−b),entoncesI+
a,b◦Td◦(Ia,b+)
−1(z) =
a[a−1(z−b) +d] +b =z+ad y dado que Ia,b+ ◦Td◦(Ia,b+)−1 =Tad ∈T , para
cada Td, as´ı, Ia,b+ ◦Td◦(Ia,b+)
−1 ⊂T, en consecuencia T CM
+.
Una definici´on m´as general de rotaci´on se dar´a a continuaci´on, no sin antedes decir que en la introducci´on previa las “rotaciones alrededor del cero” encajan en la nueva definici´on.
De manera intuitiva una rotaci´on puede describirse como una isometr´ıa que deja de ser uno y solo un punto en el plano. Si queremos estudiar las rotaciones ser´a ´util considerar tales puntos sin cambios, por lo que se llamar´an “puntos invariantes”.
Definici´on 2.24. Un punto z es llamado punto invariante de una transformaci´on β, si β(z) = z. Una l´ınea L es un l´ınea invariante, si β transforma cada punto de L en un punto de L.
La definici´on de una l´ınea invariante podr´ıa causar problemas, se aclarar´a que no se requiere que cada punto de L sea un punto invariante, en otras palabras, β no solo deja fijos a ´un subconjunto de puntos de L si no m´as bien a todo L, es decir, todo se conserva bajo β.
Las traslaciones que no son la identidad, no tienen puntos invariantes. Algebraicamente esto es equivalente al hecho de que; z = z+b con b 6= 0, no tiene soluci´on. Por lo tanto, es razonable iniciar con el estudio de puntos invariantes para las isometr´ıas directas que no son traslaciones.
Teorema 2.25. Sea Ia,b+ : C −→ C una isometr´ıa definida como Ia,b+(z) =az+b con |a|= 1, a6= 1 y con exactamente un punto invariante
w=b(1−a)−1. (2.7)
As´ı, Ia,b+ puede ser reescrito como;
Ia,b+(z) =a(z−w) +w. (2.8)
Si Rw, Ra : C −→ C son rotaciones definidas; Rw(z) = z+w, Ra(z) = az,
Demostraci´on. Siwes un punto invariante, entonces se tiene quew=aw+b
de la ecuaci´on (2.7). Luego, como la operaci´on es reversible este es el ´unico punto invariante. Ahora, substituyendo se tiene que b =w(1−a) en az+b,
de lo cual se obtiene la transformaci´on (2.8), pero esto puede ser expresado como el resultado de actuar consecutivamente las transformaciones antes mencionadas, dondeR−w1 :C−→C, definida porR−w1(z)aw. As´ı, se tiene que
Ia,b+ =Rw◦Ra◦R−w1.
Imagen 2.10: Isometr´ıa directa
De lo antes mencionado, surge la siguiente pregunta ¿Qu´e significado tiene la geometr´ıa de una isometr´ıa directa que no es una traslaci´on? para responder esta pregunta observe la imagen 2.10, se muestra las tres etapas usadas para la construcci´on de M. El significado geom´etrico de la construcci´on es una rotaci´on alrededor de w por medio de un ´angulo
COMPLEJA. 2.6. TRASLACIONES Y ROTACIONES
Imagen 2.11: Isometr´ıa
directa Imagen 2.12: Rotaci´on
alrededordew
En este caso, a =−1 y z 7→ −z+ 2w, de hecho la definici´on de rotaci´on se adapta a lo dicho antes en la introducci´on, “rotaci´on alrededor del cero”, de este modo se tendr´ıa z 7→ az con |a| = 1. El caso especial de las transformaciones es la identidad, la cual se representa como, z 7→ z, dicha transformaci´on ‘puede considerarse como una rotaci´on alrededor del cero con un ´angulo de cero grados.
Otras formas de ver las isometr´ıas directas son cuandoa6= 1, lo que implica una trasformaci´on de coordenadas.
Si se mueve del origen al punto invariante w donde los nuevos ejes sean paralelos y de igual orientaci´on a los ejes viejos, entonces en el nuevo sistema la isometr´ıa se convierte en z 7→ az. As´ı, la geometr´ıa es m´as sencilla de apreciar en la imagen 2.10. Algebraicamente, la transformaci´on 2.8 implica
Ia,b+(z+w) =az+w, y despu´es las transformaciones de coordenadas giran por medio de Ia(z) =az. Se puede considerar esto como un est´andar para toda isometr´ıa directa que no sea una traslaci´on. Por lo cual se puede apreciar que toda isometr´ıa directa que no sea una traslaci´on, en estos momentos se trata de una rotaci´on alrededor de alg´un punto.
Una definici´on general del t´ermino can´onico ser´ıa de la siguiente manera; sea
Teorema 2.26. El conjunto Rw de las rotaciones alrededor del punto w es
un grupo, y los grupos Rw de todos los valores de w son isomorfos entre s´ı.
Demostraci´on. Por el teorema2.25, se tiene que para todaR ∈Rw se puede
escribir, R = Rw ◦ R0 ◦ R−w1, con R0 ∈ R0. Sean R = Rw ◦ R0 ◦ Rw−1 y
R∗=Rw◦R00◦R−w1 dos rotaciones alrededor de w.
Se probar´a que Rw es un grupo con la composici´on, para ello primero se
mostrar´a queRw es un subgrupo deMpor el teorema1.4, solo basta exhibir
queR−1◦R∗ ∈R
w. As´ı,
R−1◦R∗ = (Rw◦R0◦R−w1)
−1◦(R
w◦R00◦R−w1)
=Rw◦(R0)−1◦R−1◦Rw ◦R00◦R−w1
=Rw◦(R0)−1◦(R−1◦Rw)◦R00◦R−w1
=Rw◦(R0−1◦R00)◦Rw−1.
Por el teorema 2.12 se tiene que, R0 es un grupo, as´ı (R0)−1R0 =R000 ∈R
w,
esto es, R−1R∗ = R
wR000R−w1 ∈ Rw. Como todo subgrupo es un grupo, se
concluye que (Rw,◦) es un grupo.
Sea
β :R0 −→Rw,
definida como
R0 7→Rw◦R0 ◦R−w1.
Se afirma que β est´a bien definida, en efecto; si R00 = R000, entonces
Rw ◦ R00 ◦ R
−1
w = Rw ◦ R000 ◦ R
−1
w . Se demostrar´a que β es biyectiva. Si
Rw ◦ R00 ◦ R
−1
w = Rw ◦ R000 ◦ R
−1
w , entonces R
0
0 = R
00
0, esto porque Rw
es un grupo. Si R0 = Rw ◦ R ◦ Rw−1 en Rw, donde R ∈ R0, entonces
β(R) =Rw◦R0◦R−w1 =R
0.
Por lo anterior se tiene queR◦R∗ puede ser expresado comoR0◦β◦R00◦β
o bien como (R0 ◦R00)◦β, con esto se prueba que β es un isomorfismo. Por lo tanto Rw ∼=R0, y los Rw’s son isomorfos a si mismos.
Corolario 2.27. Los grupos de rotaci´on Rw forman un conjunto completo
de subgrupos conjugados de R en el grupo de todas las isometr´ıas.