DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ECUACIONES DIFERENCIALES
MIREYA GARCÍA – GUÍA Nº 5
Tema: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden superior
Contenido:
Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ecuaciones lineales homogéneas.
Reducción de Orden.
Método de coeficientes constantes.
Dependencia e Independencia de funciones. Wronskiano.
Objetivos:
Identifica y resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales.
Encuentra una segunda solución a partir de una conocida de ecuaciones de segundo orden. Reconoce si un conjunto de funciones es linealmente dependiente o independiente.
Halla Wronskiano de un conjunto de funciones e interpreta su resultado.
Metodología:
Realizar una lectura de la guía con los temas dados. Estudiar los temas presentados en la guía.
Investigar por cuenta propia en otros textos acerca de los temas dados, para que estos sean ampliados.
Realizar los ejercicios propuestos al final de esta guía para así precisar el entendimiento de los temas presentados.
Realizar un trabajo más detallado en la solución de ecuaciones diferenciales homogéneas mediante el método de coeficientes constantes.
Asistir a tutorías tanto presenciales como virtuales para aclarar dudas cerca de los temas dados.
el gran objetivo de esta parte será encontrar soluciones generales de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos y posteriormente de orden superior.
Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden superior es de la forma:
Suponemos que son funciones continuas en la variable en algún intervalo .
Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial lineal de orden superior se define como:
Sujeta a:
En particular una ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene la forma:
Recordemos que para un problema como éste se busca una función definida en algún intervalo , que contiene a que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que se especificaron anteriormente.
Ejemplo:
1. Comprobemos que la función es una solución del problema de valor inicial de la ecuación diferencial lineal de segundo orden:
Como la ecuación diferencial es de segundo orden entonces derivamos dos veces la función y reemplazamos en la ecuación diferencial para así encontrar la igualdad al término , verificando de esta manera que la función dada es solución a la ecuación diferencial.
Tomemos entonces la función
Por tanto la función dada es solución de la ecuación diferencial, luego en algún intervalo que contiene a , por tanto la función dada es la única solución al problema de valor inicial de la ecuación diferencial dada.
Si la ecuación de la forma la función diremos que la ecuación es lineal homogénea, en caso contrario, es decir, entonces la ecuación diferencial es lineal no homogénea. Para determinar la solución a una ecuación diferencial no homogénea debemos primero determinar la solución a la homogénea.
Solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea:
Como dividámoslo entre todos los términos de la ecuación diferencial
Luego la solución general es tal que
Reducción de Orden: Suponga que denota la solución no trivial de la ecuación
y que se define en un intervalo . Se busca una segunda solución , tal que sea un conjunto fundamental linealmente independiente en entonces , la función se determina al sustituir , resolviéndose una ecuación diferencial lineal de primer orden para determine .
En Caso general la ecuación diferencial de la forma
Se encuentra que y
Ejemplo:
La función es una solución de Determine la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo .
Solución: Se dividen entre todos los términos de la ecuación diferencial dada
Se halla la solución , mediante las fórmulas dadas anteriormente, es decir,
La solución general en el intervalo se determina mediante , entonces
Para determinar las funciones en las ecuaciones de orden dos suponemos que existe una solución de la forma tal que:
Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene: entonces
Esta última ecuación recibe el nombre de Ecuación característica, luego determinar la solución de la ecuación homogénea se reduce a resolver la ecuación cuadrática es decir encontrar las raíces del polinomio de grado dos, haciendo uso de la ecuación cuadrática, existen tres casos y por consiguiente tres formas de solución de la ecuación diferencial de segundo orden.
Ecuación Cuadrática a la ecuación es
Caso I si : Las soluciones son reales y distintas, en otras palabras entonces la solución es de la forma
Caso II si : Las soluciones de la ecuación característica son reales e iguales, tiene multiplicidad la raíz de dos Es por eso que , aplicando el método de reducción de orden la solución de conocida es , en otras palabras
Solución general:
Caso III si : Las soluciones son complejas y conjugadas , donde son constantes reales. Por tanto la solución podrá escribirse teniendo en cuenta la forma de Euler
De esta manera la solución general correspondiente al caso III es :
Ejemplo: 1.
La ecuación característica es
Por tanto la solución pertenece al caso I, ya que las raíces son distintas y reales 2.
3. con la condición inicial
La ecuación característica es entonces
Luego la solución corresponde a , como se tiene condición inicial entonces se debe encontrar los valores de las constantes , de tal manera que se deriva la solución obtenida y se reemplaza los valores iniciales de igual manera que en la solución obteniendo un sistema de ecuaciones
Luego, la solución al problema de valor inicial es:
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden superior
Ejemplos:
1. Dada la ecuación diferencial de orden superior determine la solución general. De igual manera que en las de segundo orden se determina la ecuación característica, pero para estás se deberán recurrir a otros métodos como: la división sintética para hallar las raíces de la ecuación y así hallar la solución general.
Para está ecuación la ecuación característica es: por el método de la división sintética las posibles raíces racionales son
Las raíces son distintas reales el cual pertenecen al caso I por tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
.
2. Encuentre la solución de la ecuación diferencial Las posibles raíces racionales son entonces,
Se tiene una multiplicidad de tres caso II, y hay otra raíz que no se repite y es real caso I, por tanto la solución general es:
Para toda en el intervalo; en caso contrario se dice que es linealmente dependiente en Ejemplo: El conjunto de funciones es linealmente independiente en el intervalo ?
Determinamos la combinación lineal donde se hace cero cuando , ya que se uso las identidades trigonométricas
Wronskiano: Suponga que cada una de las funciones poses derivadas. Entonces el determinante se llama Wronskiano de las funciones.
Sean soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden en el intervalo . El conjunto de soluciones es linealmente independiente en el intervalo si y sólo si para toda en el intervalo.
Definición: Cualquier conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden en un intervalo es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo .
Sea un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden en el intervalo . Entonces la solución general de la ecuación es
Ejemplo: Las funciones satisfacen la ecuación diferencial de tercer orden ya que
Para todo valor real , las funciones forman un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo . Se concluye entonces que es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea .
Ejercicios:
1. Utilizando el método de los coeficientes constantes encuentre la solución de la ecuación diferencial
a. e.
b. f. c. g.
d. h.
2. Resuelva cada ecuación diferencial, sujeta a las condiciones iníciales indicadas
a. d. b. e. 1. f.
a. f.
b. g.
c. h. d. i.
e. j.
3. Encuentre una segunda solución de la ecuación diferencial dada conociendo una solución a.
b. c. d. e.
4. Determine si el conjunto de funciones es linealmente independiente en el intervalo a.
b. c. d. e.
5. Compruebe que las funciones que se proporcionan forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica. Forme la solución general.
a. b. c. d.
BIBLIOGRAFÍA
1. Texto Guía: Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores En la Frontera, Nagle,Saff, Zinder, cuarta edición, Pearson Addison Wesley.
2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Kreyzig, volumen II, Tercera edición, Limusa Wiey.
3. Ecuaciones Diferenciales, Braun Martin, Segunda edición, Grupo editorial Iberoamerica.
4. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelo, Dennis Zill, séptima edición, MATH LEARNING, Thomas.
5. Ecuaciones Diferenciales, Takeuchi, Ramiro – Ruiz, Segunda edición, Limusa.
