1. Plan de curso 758 Calculo Vectorial

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Texto completo

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

VICERRECTORADO ACADEMICO

SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO ÁREA MATEMÁTICA

PLAN DE CURSO

I. Identificación

Nombre CÁLCULO VECTORIAL Código 758

U.C: 6

Carrera MATEMÁTICA Código 126

Semestre IV

Prelaciones: Cálculo Diferencial Requisito: Ninguno

Autor: Profª Belkys Escobar Prof. José Ramón Gascón Asesoría

Diseño Académico: Profª. Noret Calzadilla Profª. Wendy Guzmán

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II. FUNDAMENTACIÓN

El curso Cálculo Vectorial para estudiantes de la Licenciatura en Matemática responde al ajuste del nuevo diseño curricular de la carrera de Matemática de la UNA. Es un curso de Cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables que tiene como propósito:

• Manejar con propiedad los conceptos y resultados básicos de Cálculo

diferencial e integral de funciones de varias variables

• El uso de software matemático como un instrumento para verificar el trabajo del estudiante y una herramienta como futuro docente y/o asesor.

• Aplicación de las técnicas del Cálculo de varias variables en diferentes áreas.

Concebimos al curso de Cálculo Vectorial como un curso de carácter teórico-práctico con énfasis en la resolución de problemas matemáticos. Estos problemas pueden surgir de situaciones provenientes de la Física, Economía, Industria, etc. y al interpretarlos correctamente se traducen en el lenguaje de la matemática. En particular los problemas con diversas variables son enfrentados en este curso y estos problemas son los más frecuentes en la práctica.

La matemática nos sirve como el lenguaje adecuado para describir situaciones y modelar las mismas. Una vez situado nuestro problema en el contexto matemático el estudiante puede aplicar las herramientas y técnicas de esta ciencia para resolver el mismo. Luego, la solución de problemas matemáticos y la capacidad para traducir problemas provenientes de otras áreas al lenguaje matemático debe ser uno de los objetivos primordiales del curso. Enseñar estas destrezas no es fácil en el marco de la Educación a Distancia por ello se incluyen gran cantidad de ejemplos y aplicaciones en el “medio maestro”. La existencia de un libro de problemas, que usa herramientas informáticas, junto con el libro de Texto y la bibliografía complementaria ayudará al estudiante a desarrollar su habilidad en la solución de problemas.

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3 ello se incluye en el texto de la UNA y la bibliografía complementaria una discusión amplia de las ideas matemáticas y su relación con las aplicaciones. Todas estas razones justifican el carácter fundamental y obligatorio de este curso en la formación de las características profesionales comunes en el futuro matemático egresado de nuestra Universidad.

En el Cálculo diferencial e Integral vemos la generalización de una serie de conceptos y resultados del Cálculo diferencial e integral de una variable coronándose los mismos con diversas versiones del Teorema Fundamental del Cálculo (Green, Stokes y Gauss). Aspiramos que al terminar nuestro curso el estudiante maneje los resultados fundamentales del Cálculo Diferencial e Integral desde el punto de vista teórico.

El futuro matemático debe manejar con razonable soltura los cómputos involucrados en el Cálculo de derivadas parciales, integrales múltiples, etc. Esperamos que pueda ser capaz de verificar su trabajo mediante el uso de algún software matemático. Creemos que el manejo de esta herramienta le va a ser de utilidad cuando enfrente la preparación de los cursos que enseñará en el futuro o en la asesoría que pueda realizar en empresas.

El material instruccional que el estudiante UNA manejará en este curso consiste:

¾ Libro de Texto de la UNA Matemática IV Ing. (735), Vol. I y II, escrito por el Prof. Mauricio Orellana,

¾ Cálculo (Conceptos y Contextos), de James Stewart, Editorial Thomson.

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III. PLAN DE EVALUACION

ASIGNATURA: Cálculo Vectorial COD: 758 CRÉDITOS: 06 - LAPSO: 2010-1 Semestre: V CARRERA: EDUCACIÓN

MENCIÓN MATEMÁTICA

Responsable: Lic. Belkys Escobar

Teléfono: 5552-080/081

Correo electrónico:

bescobar@ciberesquina.una.edu.ve

MOMENTO OBJETIVOS MODALIDAD

PRIMERA PARCIAL

Módulos 1 y 2

Obj. 1 AL 4

DESARROLLO SEGUNDA

PARCIAL

Módulos 2 y 3

Obj. 5 AL 8

INTEGRAL Módulos 1 al 3 Obj. 1 AL 8

M U O OBJETIVOS EVALUABLES EN LA ASIGNATURA

1

1 1 Aplicar los conceptos de dominio, rango, curvas de nivel, límite y continuidad en la solución de problemas.

2 2 Aplicar el concepto de derivada direccional, derivada parcial y la diferencial de una función de varias variables, así como sus propiedades en la resolución de problemas..

3 3 Aplicar la fórmula de Taylor y el cálculo de puntos críticos de una función de varias variables en la resolución de problemas.

2 4 4 Aplicar el concepto de campo escalar en la solución de problemas. 5 5 Aplicar el concepto de campo vectorial en la solución de problemas.

3

6 6 Aplicar los conceptos de integral de línea de funciones de varias variables en la solución de problemas.

7 7 Aplicar los conceptos de integral doble y triple de funciones de varias variables en la solución de problemas.

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Objetivo 1 2 3 4 5 6 7 8 Peso máximo: 37

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ORIENTACIONES GENERALES

• Además de la atención que te brinda tu asesor en el centro local, si lo deseas, también puedes recibir realimentación del profesor encargado de este curso, a través del correo electrónico:

bescobar@ciberesquina.una.edu.ve.

• Para el logro del objetivo general propuesto realiza las lecturas de los diferentes módulos del libro de texto así como de la bibliografía complementaria.

• Utiliza un cuaderno o carpeta donde sintetices los contenidos de los temas y ejercicios propuestos, esto te

permitirá sistematizar tu estudio.

• Realiza con seriedad las actividades de autoevaluación propuestas y en caso de encontrar serias dificultades con alguna sección recurre a tu asesor.

• El uso del software matemático sugerido en el curso (Programa matemático MuPad o Programa matemático Maple 8), se limitará a verificar el trabajo realizado por el estudiante y nunca como substituto de su trabajo

personal.

• Consulta acerca de diversos tópicos del curso, uso de software matemático etc., en la serie de sitios Web señalados en la bibliografía

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IV. DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN DEL CURSO

Objetivo Contenido Módulo I

Unidad 1: Funciones De ℜn EN ℜm

1. Aplicar los conceptos de dominio, rango, curvas de nivel, límite y continuidad en la solución de problemas.

Unidad 2: Cálculo diferencial de funciones de ℜn EN ℜm

2.-Aplicar el concepto de derivada direccional, derivada parcial y la diferencial de una función de varias variables, así como sus propiedades en la resolución de problemas.

Unidad 3: Extremos y fórmula de Taylor

3. Aplicar la fórmula de Taylor y el Cálculo de puntos críticos de una función de varias variables en la resolución de problemas.

Módulo II

Unidad 4: Campos escalares

4.- Aplicar el concepto de campo escalar en la solución de problemas.

El espacio IRn y su topología. Dominio y rango de funciones de varias variables. Curvas de nivel. Límite y continuidad. Aplicaciones.

La derivada direccional. La derivada parcial. La diferencial y sus aplicaciones. Cálculo de la matriz jacobiana. La regla de la cadena y sus aplicaciones. Derivación implícita. Teoremas de la función inversa y la función implícita.

Fórmula de Taylor para funciones de varias variables. Aplicaciones. Cálculo de máximos y mínimos. La matriz hessiana y sus aplicaciones. Problemas de optimización con restricciones: multiplicadores de Lagrange.

Definición y motivación física de campo escalar. El gradiente y las curvas de nivel. El Laplaciano y sus aplicaciones.

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Objetivo Contenido

Unidad 5: Campos Vectoriales

5. Aplicar el concepto de campo vectorial en la solución de problemas.

Módulo III

Unidad 6:Integrales curvilíneas o de línea

6. Aplicar los conceptos de integral de línea de funciones de varias variables en la solución de problemas.

Unidad 7: Integrales dobles e integrales triples

7. Aplicar los conceptos de integral doble y triple de funciones de varias variables en la solución de problemas.

Unidad 8: Integrales de superficie

8. Aplicar los conceptos de integral superficie y los teoremas de: Green-Riemann , de la Divergencia y de Stokes en la solución de problemas.

Los conceptos de divergencia y rotacional de un campo vectorial. Potenciales escalares y vectoriales. Campos conservativos. El operador rotacional y divergencia en coordenadas curvilíneas.

El concepto de integral de línea. Diversas aplicaciones: el concepto de trabajo. Integral de línea de un gradiente y su interpretación física.

El concepto de integral doble. Regiones planas de integración y su descripción. Cálculo de áreas y volúmenes. El concepto de integral triple. Coordenadas polares y cambios generales de coordenadas en una integral múltiple: el determinante jacobiano. Aplicaciones.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

1.- Aplicar los conceptos de dominio, rango, curvas de nivel, límite y continuidad en la solución de problemas.

Material instruccional : Impreso:

• Libro de Texto UNA:”Matemática IV Ingeniería” M. Orellana

• “Cálculo (conceptos y contextos)” . Stewart, Thompson (1999).

• Cálculo Vectorial Problemario. Escobar B, Gutierrez F. (2009). Unidad 1

Actividades:

• Lea con atención el objetivo de aprendizaje de la Unidad 1 para conocer lo que debe aprender.

• Lea la Unidad 1 en el libro de Texto de la UNA y como lectura complementaria el capítulo 9 del libro de Stewart. También

recomendamos la lectura de las secciones 11.1 y 11.2 del libro de Stewart.

Trabaje el proyecto: geometría del tetraedro (pag.674) • Realice los ejercicios propuestos y resueltos del libro de Texto a

medida que avanza en la lectura del material. También trabaje con los problemas del libro de Stewart de las secciones indicadas. Identifique posibles puntos difíciles del texto para trabajar con su asesor.

• Consulte la unidad 1 del problemario para ampliar las explicaciones sobre el tema. Con ejemplos desarrollados paso a paso y disponer de mayor cantidad de ejercicios para resolver.

Realice los test de autoevaluación del libro. Use el programa. Maple 8 o MuPad para verificar sus Cálculos y resultados, nunca como substituto de su trabajo...

En relación a la evaluación formativa: el estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en el libro de texto, así como los ejercicios de autoevaluación.

En el libro del Prof. Stewart encontrará problemas para resolver y al final del libro ubicará las respuestas de los problemas con números impares. Al solucionarlos y autoevaluarse, podrá reforzar el aprendizaje de los contenidos tratados.

Igualmente, en el problemario son propuestos una serie de ejercicios en cada unidad cuya respuesta se ubica al final de este para que el estudiante pueda chequear sus aciertos o desaciertos

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 2. Aplicar el

concepto de derivada direccional, derivada parcial y la diferencial de una función de varias variables, así como sus propiedades en la resolución de problemas.

Material instruccional : Impreso:

• Libro de Texto UNA:”Matemática IV Ingeniería” M. Orellana

• “Cálculo(conceptos y contextos)” Prof. Stewart, Thompson 1999

• Cálculo Vectorial Problemario. Escobar B, Gutierrez F. (2009). Unidad 2

Actividades:

• Lea detenidamente el objetivo de aprendizaje de la Unidad 2 del texto UNA, para conocer lo que debe aprender.

• Lea la Unidad 2 en el libro de Texto de la UNA y las secciones 11.3, 11.4, 11.5 y 11.6 del libro de Stewart.

• Realice los ejercicios propuestos y resueltos del libro de Texto a medida que avanza en la lectura del material. Identifique posibles puntos difíciles del texto para trabajar con su asesor. Trabaje los problemas de las secciones 11.3, 11.4 11.5 y 11.6 del libro de Stewart.

• Revise detalladamente los 34 ejemplos desarrollados en la unidad 2 del problemario para identificar los procesos inherentes en cada tema.

Realice los test de autoevaluación del libro. Use el programa. Maple 8 o MuPad para verificar sus Cálculos y resultados, nunca como substituto de su trabajo.

En relación a la evaluación formativa: realice los ejercicios propuestos en el libro de texto, así como los ejercicios de autoevaluación.

En el libro del Prof. Stewart encontrará problemas para resolver y al final del libro ubicará las respuestas de los problemas con números impares. Al solucionarlos y autoevaluarse, podrá reforzar el aprendizaje de los contenidos tratados.

Igualmente, en el problemario son propuestos una serie de ejercicios en cada unidad, cuya respuesta se ubica al final de este para que ud. pueda chequear sus aciertos o desaciertos

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

3. Aplicar la fórmula de Taylor y el Cálculo de puntos críticos de una función de varias variables en la resolución de problemas.

Material instruccional : Impreso:

• Libro de Texto UNA:”Matemática IV Ingeniería” M. Orellana

• “Cálculo(conceptos y contextos)” Prof. Stewart, Thompson 1999

• Cálculo Vectorial Problemario. Escobar B, Gutierrez F. (2009). Unidad 3

Actividades:

• Lea atentamente el objetivo de aprendizaje de la Unidad 3 para conocer lo que debe aprender.

• Lea la Unidad 3 en el libro de Texto de la UNA y también las secciones 11.7 y 11.8 del libro del Prof. Stewart.

Trabaje en el proyecto de aplicación del contenedor de basura del libro del Prof. Stewart.

• Realice los ejercicios propuestos y resueltos del libro de Texto a medida que avanza en la lectura del material. Identifique posibles puntos difíciles del texto para trabajar con su asesor. Trabaje los problemas de las secciones 11.7 y 11.8 del libro del Prof. Stewart. • Revise las orientaciones y explicaciones sobre aspectos claves, así

como los diferentes ejemplos desarrollados paso a paso en la unidad N°3 del Problemario.

Realice los test de autoevaluación del libro. Use el programa. Maple8 o MuPad para verificar sus Cálculos y resultados, nunca como substituto de su trabajo.

En relación a la evaluación formativa: realice los ejercicios propuestos en el libro de texto, así como los ejercicios de autoevaluación.

En el libro del Prof. Stewart encontrará problemas para resolver y al final del libro ubicará las respuestas de los problemas con números impares. Al solucionarlos y autoevaluarse, podrá reforzar el aprendizaje de los contenidos tratados.

Igualmente, en el problemario son propuestos una serie de ejercicios en cada unidad, cuya respuesta se ubica al final de este para que ud. pueda chequear sus aciertos o desaciertos.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 4. Aplicar el

concepto de campo

escalar en la solución de problemas.

Material instruccional : Impreso:

• Libro de Texto UNA:”Matemática IV Ingeniería” M. Orellana

• “Cálculo(conceptos y contextos)” Prof. Stewart, Thompson 1999

• Cálculo Vectorial Problemario. Escobar B, Gutierrez F. (2009). Unidad 4

Actividades:

• Lea detalladamente el objetivo de aprendizaje de la Unidad 3 para conocer lo que debe aprender.

• Lea la Unidad 4 en el libro de Texto de la UNA y también la sección 11.6 (gradiente). Realice los ejercicios propuestos y resueltos del libro de Texto a medida que avanza en la lectura del material. Identifique posibles puntos difíciles del texto para trabajar con su asesor. Trabaje los problemas del libro de Stewart de la sección indicada.

• Detalle los 11 ejemplos desarrollados en la unidad 4 del problemario a fin de ampliar sus referencias para el desarrollo de problemas en los que aplique el concepto de campo escalar igualmente desarrolle los ejercicios propuestos para mejorar sus habilidades en el tema.

Realice los test de autoevaluación del libro. Use el programa. Maple8 o MuPad para verificar sus Cálculos y resultados, nunca

En relación a la evaluación formativa: realice los ejercicios propuestos en el libro de texto, así como los ejercicios de autoevaluación.

En el libro del Prof. Stewart encontrará problemas para resolver y al final del libro ubicará las respuestas de los problemas con números impares. Al solucionarlos y autoevaluarse, podrá reforzar el aprendizaje de los contenidos tratados.

Igualmente, en el problemario son propuestos una serie de ejercicios en cada unidad, cuya respuesta se ubica al final de este para que ud. pueda chequear sus aciertos o desaciertos.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

5. Aplicar el concepto de campo vectorial en la solución de problemas.

Material instruccional : Impreso:

• Libro de Texto UNA:”Matemática IV Ingeniería” M. Orellana

• “Cálculo(conceptos y contextos)” Prof. Stewart, Thompson 1999

• Cálculo Vectorial Problemario. Escobar B, Gutierrez F. (2009). Unidad 5

Actividades:

• Lea atentamente el objetivo de aprendizaje de la Unidad 3 para conocer lo que debe aprender.

• Lea la Unidad 5 en el libro de Texto de la UNA y como lectura complementaria las secciones 13.1 y 13.5 del libro del Prof. Stewart. • Realice los ejercicios propuestos y resueltos del libro de Texto a

medida que avanza en la lectura del material. Trabaje los problemas del libro de Stewart en las secciones indicadas. Identifique posibles puntos difíciles del texto para trabajarlos con su asesor.

• Revise la unidad N° 5 del problemario en el ubicará diferentes ejemplos desarrollados detalladamente que facilitaran su comprensión y sus habilidades para la solución de problemas.

Realice los test de autoevaluación del libro. Use el programa. Maple8 o MuPad para verificar sus Cálculos y resultados, nunca como substituto de su trabajo.

En relación a la evaluación formativa: realice los ejercicios propuestos en el libro de texto, así como los ejercicios de autoevaluación. En el libro del Prof. Stewart encontrará problemas para resolver y al final del libro ubicará las respuestas de los problemas con números impares. Al solucionarlos y autoevaluarse, podrá reforzar el aprendizaje de los contenidos tratados.

Igualmente, en el problemario son propuestos una serie de ejercicios en cada unidad, cuya respuesta se ubica al final de este para que ud. pueda chequear sus aciertos o desaciertos.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 6. Aplicar los

conceptos de integral de línea de funciones de varias

variables en la solución de problemas.

Material instruccional : Impreso:

• Libro de Texto UNA:”Matemática IV Ingeniería” M. Orellana

• “Cálculo(conceptos y contextos)” Prof. Stewart, Thompson 1999

• Cálculo Vectorial Problemario. Escobar B, Gutierrez F. (2009). Unidad 6

Actividades:

• Lea atentamente el objetivo de aprendizaje de la Unidad 6 (Modulo III) para conocer lo que debe aprender.

• Lea la Unidad de aprendizaje 6 en el libro de Texto de la UNA y como lectura complementaria, las secciones 13.2 y 13.3 del libro del Prof. Stewart

• Realice los ejercicios propuestos y resueltos del libro de Texto a medida que avanza en la lectura del material. Identifique posibles puntos difíciles del texto para trabajarlos con su asesor.

• Detalle los 11 ejemplos desarrollados paso a paso en la unidad N° 6 del problemario y desarrolle el mayor número de los 14 ejercicios propuestos para afianzar sus habilidades en la solución de problemas con diferente nivel de dificultad.

Realice los test de autoevaluación del libro. Use el programa. Maple8 o MuPad para verificar sus Cálculos y resultados, nunca como substituto de su trabajo.

En relación a la evaluación formativa: realice los ejercicios propuestos en el libro de texto, así como los ejercicios de autoevaluación.

En el libro del Prof. Stewart encontrará problemas para resolver y al final del libro ubicará las respuestas de los problemas con números impares. Al solucionarlos y autoevaluarse, podrá reforzar el aprendizaje de los contenidos tratados.

Igualmente, en el problemario son propuestos una serie de ejercicios en cada unidad, cuya respuesta se ubica al final de este para que ud. pueda chequear sus aciertos o desaciertos.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

7. Aplicar los conceptos de integral doble y triple de funciones de varias

variables en la solución de problemas.

Material instruccional : Impreso:

• Libro de Texto UNA:”Matemática IV Ingeniería” M. Orellana

• “Cálculo (conceptos y contextos)” Prof. Stewart, Thompson 1999.

• Cálculo Vectorial Problemario. Escobar B, Gutierrez F. (2009). Unidad 7

Actividades:

• Lea con atención el objetivo de aprendizaje de la Unidad 7 (Modulo III) para conocer lo que debe aprender.

• Lea la Unidad de aprendizaje 7 en el libro de Texto de la UNA y como lectura complementaria el capítulo 12 del libro del Prof. Stewart.

• Realice los ejercicios propuestos y resueltos del libro de Texto a medida que avanza en la lectura del material. Identifique posibles puntos difíciles del texto para trabajarlos con su asesor.

• Consulte la unidad N° 7 del problemario para ampliar las explicaciones a través de los ejercicios incorporados en este y desarrolle el mayor número de ejercicios propuestos en la unidad.

Realice los test de autoevaluación del libro. Use el programa Maple8 o MuPad para verificar sus Cálculos y resultados, nunca como substituto de su trabajo.

7.3 En relación a la evaluación formativa: realice los ejercicios propuestos en el libro de texto, así como los ejercicios de autoevaluación.

En el libro del Prof. Stewart encontrará problemas para resolver y al final del libro ubicará las respuestas de los problemas con números impares. Al solucionarlos y autoevaluarse, podrá reforzar el aprendizaje de los contenidos tratados.

Igualmente, en el problemario son propuestos una serie de ejercicios en cada unidad, cuya respuesta se ubica al final de este para que ud. pueda chequear sus aciertos o desaciertos

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 8. Aplicar los

conceptos de integral superficie y los teoremas de Green-Riemann y de la Divergencia en la solución de

problemas.

Material instruccional : Impreso:

• Libro de Texto UNA:”Matemática IV Ingeniería” M. Orellana

• “Cálculo (conceptos y contextos)” Prof. Stewart, Thompson 1999.

• Cálculo Vectorial Problemario. Escobar B, Gutierrez F. (2009). Unidad 8

Actividades:

• Lea atentamente el objetivo de aprendizaje de la Unidad 8 (Modulo III) para conocer lo que debe aprender.

• Lea la Unidad de aprendizaje 8 en el libro de Texto de la UNA y como lectura complementaria las secciones 13.4, 13.6, 13.7 y 13.8 del libro del Prof. Stewart. Realice los ejercicios propuestos y resueltos del libro de Texto a medida que avanza en la lectura del material. Identifique posibles puntos difíciles del texto para trabajarlos con su asesor.

• Consulte la unidad N° 8 del problemario para ampliar las explicaciones a través de los ejercicios incorporados en este y desarrolle el mayor número de ejercicios propuestos en la unidad.

Realice el proyecto de investigación histórica: tres hombres y dos teoremas del libro del Prof. Stewart (pag.978).

Realiza los test de autoevaluación del libro. Use el programa Maple 8 o MuPad para verificar sus Cálculos y resultados, nunca como substituto de su trabajo.

En relación a la evaluación formativa: realice los ejercicios propuestos en el libro de texto, así como los ejercicios de autoevaluación.

En el libro del Prof. Stewart encontrará problemas para resolver y al final del libro ubicará las respuestas de los problemas con números impares. Al solucionarlos y autoevaluarse, podrá reforzar el aprendizaje de los contenidos tratados.

Igualmente, en el problemario son propuestos una serie de ejercicios en cada unidad, cuya respuesta se ubica al final de este que ud. pueda chequear sus aciertos o desaciertos

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V. BIBLIOGRAFÍA

Obligatoria

Escobar B, y Gutiérrez F (2009) Cálculo Vectorial. Problemario. Caracas: UNA

Orellana. M. (1990).”Matemática IV Ingeniería”, Tomos I y II, Caracas. Universidad Nacional Abierta.

Stewart, J. Thompson. (1999). Cálculo: conceptos y contextos, Thompson.

Complementaria

J. Marsden y Tromba. (1198). “Cálculo Vectorial”,; Quinta Edición Addison-Wesley-Longman .

“Larson, Hoestler y Edwards, (1999). Cálculo”,Vol. II, Sexta Edición McGraw Hill

Direcciones electrónicas

http://maple-8.softonic.com/

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