PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2001 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

JUNIO - 2001

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- Todas las preguntas se puntúan igual. BLOQUE 1

1-A) Si f

( )

x =ex

(

x2 +6x+9

)

, se pide: a ) Dominio, cortes con los ejes y asíntotas.

b ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

c ) A partir de los resultados anteriores, obtener el menor valor de c para que se cumpla

(

x x

)

c

ex 2 +6 +9 < para todo x > 2.

--- a )

El dominio de la f(x) es R, por ser producto de dos funciones que son continuas y derivables en su dominio, que en ambas es R, lo que hace que f(x) también lo sea.

( )

f R

D

Los puntos de corte con el eje X son para los valores de x que hacen f(x) = 0:

( )

x =e

(

x2 +6x+9

)

=0 ⇒ x2 +6x+9=0

f x , por ser ex ≠0, ∀xR.

(

3

)

0 ;; 3

(

3, 0

)

; ; 0 9

6 2

2 + + = + = =−

A x

x x

x

(2)

( )

0 e 0

(

02 6·0 9

)

1·9 0 B

(

0, 9

)

f = − + + = = ⇒

Las asíntotas de la función son las siguientes:

Horizontales: son los valores finitos que toma la función cuando x tiende a más infinito y a menos infinito.

( )

[

(

)

]

{

}

{

}

. )

( 0

0 2 2 '

. det 6

2 '

. det 9

6 9

6

2 2

función la

de asíntota es

X Eje y

recta La

e x

lím Hopital

L In

e x x

lím Hopital

L

In e

x x x

lím x

x e x

lím x

f x

lím k

y

x x

x x

=

= ∞ = +∞ →

⇒ ⇒

∞ ∞ = + +∞ →

⇒ ⇒

⇒ ⇒

∞ ∞ = + + +∞ → = + + +∞

→ = +∞ →

= −

Verticales: son los valores finitos de x que anulan el denominador.

∈ ∀

x R

ex

,

0 No tiene.

Oblicuas: Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas es necesario que el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador.

En el caso que nos ocupa: no existen asíntotas oblicuas.

b )

( )

x e

(

x x

)

e

(

x

)

e

(

x x

)

e

(

x x

)

f

( )

x f' =− −x 2 +6 +9 + −x 2 +6 = −x − 2 −4 −3 =− −x 2 +4 +3 = '

( )

0

(

4 3

)

0 ;; 4 3 0

' = − − 2 + + = 2 + + =

x x x

x e x

f x .

   

− =

− =

± − = ± − = ± − = − ± − =

1 3 1

2 2

2 4 2

4 4 2

12 16 4

2 1 x x x

( )

x e

(

x x

)

e

(

x

)

e

(

x x

)

f

( )

x f'' = −x 2 +4 +3 − −x 2 +4 = −x 2 +2 −1 = ''

( )

3

[

( )

3 2 ·

( )

3 1

]

(

9 6 1

)

2 0 3

'

' − =e3 − 2 + − − =e3 − − = e3 > ⇒ Mínimo para x=− f

( )

−3 =e3

[

( )

−3 2 +6·

( )

−3 +9

]

=e3

(

9−18+9

)

=0 ⇒ Mínimo: P

(

−3, 0

)

f

( )

1

[

( )

1 2 ·

( )

1 1

]

(

1 2 1

)

2 0 1

'

' − =e+1 − 2 + − − =e − − =− e< ⇒ Máximo para x=− f

( )

e

[

( )

( )

]

e

(

)

e Máximo Q

(

e

)

(3)

Por tratarse de una función continua, tiene que ser, necesariamente:

(

−∞, −3

) (

∪ −1, +∞

)

y Creciente para

(

−1, −3

)

para e Decrecient

c )

Por tratarse de una función decreciente para x > 2, basta que sea f(2) < c:

(

)

3'38 3'38

39 ' 7

25 25 ;

; 9 12 4 ; ; 9 2 · 6

22 2 2

2 + + < + + < > ≅ = > −

c e

c c e

c e

(4)

1-B) Se considera la función

( )

( )

2 1

4 −

= sen x x

f , se pide:

a ) Puntos de corte con los ejes. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo que toma la función f(x)?

b ) Estudio de la continuidad y derivabilidad de f(x) en el intervalo

(

0, π

)

.

---

a ) Puntos de corte con los ejes. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo que toma la función f(x)?

Cortes con el eje X: f(x) = 0:

( )

( )

( )

( )

(

k

)

k Z

x k

x k

x

k x x

sen x

sen x

sen x

f

∈ ∀ ± + =

± + = ±

+ =

± + =

= =

− =

=

, 2 3 12 24 ;

; 12 8 2 ;

; 3 2 2 4

; ; º 60 º 90 2

4 2

1 4 ;

; 0 2 1 4 ;

; 0 2 1 4 0

π π

π π π

π π

π

Los puntos de corte son:

· ··· 0

, 24 7 ;

; 0 , 24 11 1

; ; 0 , 24 17 ;

; 0 , 24 13 1

; ; 0 , 24 5 ; ; 0 , 24 0

   

   

   

 

   

 

− =

   

   

   

  

  

  ⇒

=

   

   

   

  

  

  ⇒

=

π π

π π

π π

F E

k

D C

k B

A k

El corte con el eje Y se produce para x = 0:

( )

      ⇒

= − = − =

2 1 , 0 2

1 2 1 2

1 0

0 sen P

f .

La función tendrá un máximo cuando la expresión sen 4

( )

x tenga el mayor valor posible de signo negativo, o sea, cuando sen

( )

4x =−1:

(

k

)

k Z

x k

x k

k

x= + = + = + = 3+4 , ∀ ∈

8 ;

; 2 8 3 ; ; 2 2 3 º 360 · º 270

4 π π π π π

Los puntos máximos son los que tienen las siguientes abscisas:

· ··· 8

1 ;

; 8 7 1

; ; 8 3

0 ⇒ = π = ⇒ = π =− ⇒ =−π

= x k x k x

(5)

Los puntos mínimos, dado el carácter de función de valor absoluto, son los valo-res de ordenada cero, o sea, los puntos de corte determinados anteriormente.

b )

La función es continua en R por ser la diferencia de dos funciones continuas en R. Para estudiar la derivabilidad de la función en el intervalo

(

0, π

)

tendremos en cuenta que la función

( )

( )

2 1

4 −

= sen x x

f es periódica cuya periodicidad se obtiene con-siderando que el periodo de sen x es 2π , por consiguiente el periodo de la función que estamos estudiando es:

2 ;

; 2

4 = π → =π

x T x

T .

Teniendo en cuenta lo anterior, la función puede redefinirse de la forma siguiente:

( )

( )

( )

Z k k

x k si

x sen

k x

k si

x sen x

f ∀ ∈

      

+ ≤ < + +

+ ≤ < + −

=

2 24 13 2

24 5 2

1 4

2 24 5 2

24 2

1 4

π π π

π

π π π

π

.

La representación gráfica aproximada de la función es la expresada en el dibujo:

De la observación de la figura se deduce la no derivabilidad de la función en los puntos de corte con el eje X, se forman “picos”, lo que evidencia la desigualdad de la derivada por los lados de cada uno de los puntos considerados.

Para justificar la no derivabilidad vamos a considerar el punto de abscisa

24

π = x ,

que se produce para k = 0; es

( )

( )

( )

      

≥ −

< +

− =

24 2

1 4

24 2

1 4

π π

x si x

sen

x si x

sen x

f (por lo expuesto

anterior-mente no consideramos necesario demostrar la continuidad en este punto).

O 1324π

24

π

-1

X 2

π

= T

24 17π

24 25π 24

7π − 24 11π − 24

19π − 24 23π −

Y

-2 -3

1 2 3

(6)

( )

( )

( )

( )

[ ]

( )

[ ]

  

  

 

  

  

 

= =

=

− = −

= −

=

      

≥ < −

=

+ −

3 2 2

3 · 4 6 cos 4 '

3 2 2

3 · 4 6 cos 4 '

24 4

cos 4

24 4

cos 4

'

24 24

π π

π π

π π

f f

x si x

x si x x

f

( )

[ ]

[ ]

( )

( )

( )

24 '

' 24 f 24 f x no es derivable para x como esperábamos

f π ≠ π ⇒ = π

⇒ − +

(7)

BLOQUE 2

2-A) Si

    

 

    

 

+ + =

b a

a b

a b

b a

A

0 0

0 1 0

0 0 1

0 0

, se pide:

a ) Probar que para cualquier valor de a y b, rango A≥2.

b ) Determinar un par de valores reales de a y b para los cuales sea rango A = 3 y otro par de valores de a y b de forma que rango A = 4.

--- a )

Debemos estudiar los casos en que a = 0, b = 0 y b = -1. Considerando los meno-res M1 y M2 cormeno-respondientes a las zonas sombreadas de la matriz:

(

)

2

2 2

1 2 1

0 ;

; 1

1 0

1

M b b a b M M

b b

a b

M = + = = = =

+ +

= .

Independientemente del valor de a, si b = 0 es M1 ≠0 y si b = -1 es M2 ≠0, lo cual demuestra que

2

, ∈ ⇒ ≥

a b R Rango A

b )

Desarrollando el determinante de A, por ejemplo, por los menores adjuntos de la primera columna:

(

)

(

)

(

b

)

b A

a

b a b b

b a

a a

b a

a b

b b

b a

a b

a a A

= +

+ − =

= +

+ =

+ +

− +

=

2 2 4

2 2

· 1

0 · 1 0

· 0

0 1

0 0

· 1 0

0 1

0 0 ·

Para que Rango A = 3 tiene que ser:

a4 +

(

b+1

)

2 · b2 =0 ;; a4 =

(

b+1

)

2 · b2 ;; a2 =

(

b+1

)

· b

Basta con dar valores a b y obtener los correspondientes valores de a, por

ejem-    

 

    

 

+ + =

b a

a b

a b

b a

A

0 0

0 1 0

0 0 1

(8)

plo:

··· 2

2 ;

; 6 2

; ; 2 1

; ; 0

0 ⇒ = = ⇒ =± = ⇒ =± =− ⇒ =±

= a b a b a b a

b

Para que Rango A = 4 es 4

(

)

2 2 4

(

)

2 2

· 1 ;

; 0 ·

1 b a b b

b

a + + ≠ ≠ +

− , que se cumple

para infinitos valores, por ejemplo:

··· 3

2 ;

; 5 2

; ; 3 1

; ; 1

0 ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = =− ⇒ =

= a b a b a b a

b

(9)

2-B) a ) Sea la matriz           − − − = 5 2 3 3 3 6 7 a a a

A . Averiguar se existe algún valor real de a de

for-ma que A2 −3A=−2I, siendo I la matriz identidad.

b ) Sea A cualquier matriz cuadrada tal que A2 −3A=−2I. Probar que A tiene inversa utilizando la ecuación dada para expresar A-1 en función de A.

--- a ) 2 2 2 2 2 2 2 2 18 19 10 2 3 6 6 3 3 6 3 6 21 3 22 12 7 15 49 25 6 18 10 2 3 15 6 21 15 3 18 6 3 9 3 21 30 3 42 12 7 18 3 49 5 2 3 3 3 6 7 · 5 2 3 3 3 6 7 · A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A A =           − − + + − − − + − − − − + − = =           + − − − + − + + − − − + − + + − − − + − + =           − − −           − − − = = A a a a a a a A 3 15 6 9 9 3 9 18 3 21 5 2 3 3 3 6 7 · 3

3 =−

          − − − − − − =           − − − − = − ; ; 2 0 0 0 2 0 0 0 2 15 6 9 9 3 9 18 3 21 18 19 10 2 3 6 6 3 3 6 3 6 21 3 22 12 7 15 49 2 3 2 2 2 2           − − − =           − − − − − − +           − − + + − − − + − − − − + − ⇒ − = − a a a a a a a a a a a a a a a I A A           − − − = ⇒ = ⇒           − − − =           − − + − − − − − − − + − 5 2 6 3 2 3 6 2 7 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 18 34 16 2 3 3 6 3 6 6 6 12 3 4 12 4 15 28 2 2 2 A a a a a a a a a a a a a b )

Sabiendo que para cualquier matriz A se cumple que A2 −3A=−2I, se puede ha-cer lo siguiente:

(

)

(

)

(

)

2 3 ; ; 2 3 · 2 3 · ; ; 2 3

· A 1 I A

A I I A I A I A A I I A

A = − = = = −

(10)

BLOQUE 3

3-A) Se considera la recta

  

− = −

= − ≡

3 0

z y

y x

r y el plano π ≡2x+ yz+1=0, se pide:

a ) Determinar el punto P de intersección de r con π, y el punto Q en que la recta r corta al eje OZ.

b ) Determinar el punto R que es simétrico de Q con respecto de π y la ecuación de la recta r’ simétrica de r respecto del plano π.

c ) Calcular el área del triángulo de vértices P, Q y R. --- a )

El punto P de intersección de r con π es la solución del sistema que forman:

⇒   

− = −

= + −

  

− = −

− = −

  

− = − +

− = −

= →

    

− = − +

− = −

= −

    

= + − + ≡

  

− = −

= − ≡

1 3

3

1 3

3

1 2

3

1 2

3 0

0 1 2

3 0

z x

z x

z x

z x

z x x

z x x

y

z y x

z y

y x

z y x

z y

y x r

π

(

1, 1, 4

)

4 ; ; 1 3 ; ; 1 3

; ; 1 ;

; 2

2x= x=y= xz=− + =z z= ⇒ P

El punto Q intersección de r con OZ se obtiene teniendo en cuanta que el eje OZ

tiene por ecuación

  

= = ≡

0 0

y x

OZ : 3

(

0, 0, 3

)

0 0

3 0

Q z

y x OZ

z y

y x r

=

      

  

= = ≡

  

− = −

= − ≡

.

b )

Un vector normal al plano π ≡2x+ yz+1=0 es: n =

(

2, 1, −1

)

La recta t es la que pasa por el punto

(

0, 0, 3

)

Q y es perpendicular al plano π, por lo tanto su vector director pude ser el normal del

plano, y entonces su ecuación es

    

− =

= = ≡

λ λ

λ

3 2

z y x

t .

El punto M, intersección del plano π con la recta t, tiene que satisfacer las ecuaciones de ambos, por lo tanto:

π Q(0, 0, 3)

R(x, y, z) M

(11)

(

)

+ = + + + = = = ⇒ − + ⇒        = + − + ≡      − = = = ≡ 3 1 ; ; 2 6 ; ; 0 1 3 4 ; ; 0 1 3 2 · 2 0 1 2 3 2 λ λ λ λ λ λ λ λ π λ λ λ z y x z y x t       ⇒ = = − = = = = = = 3 8 , 3 1 , 3 2 3 8 3 1 3 ; ; 3 1 ; ; 3 2

2 x y z z M

x λ λ

Para que M sea el punto simétrico de Q con respecto a π , tiene que cumplirse que:

(

) (

)

;; 3 8 , 3 1 , 3 2 , , 3 , 0 , 0 3 8 , 3 1 , 3 2 ; ;       − = −       − = − ⇒

=MR M Q R M x y z

QM ⇒       − − − =       −       − − − =       − − − 3 8 , 3 1 , 3 2 3 1 , 3 1 , 3 2 ; ; 3 8 , 3 1 , 3 2 3 3 8 , 0 3 1 , 0 3 2 z y x z y x       ⇒                   = → − = − = → − = = → − = ⇒ 3 7 , 3 2 , 3 4 3 7 3 8 3 1 3 2 3 1 3 1 3 4 3 2 3 2 R z z y y x x

La recta r’ simétrica de r con respecto a π es la que pasa por los puntos P(1, 1, 4)

y 

     3 7 , 3 2 , 3 4

R . Su vector director es cualquier vector v que sea linealmente dependien-te del vector PR:

(

)

(

1, 1, 5

)

3 5 , 3 1 , 3 1 4 3 7 , 1 3 2 , 1 3 4 4 , 1 , 1 3 7 , 3 2 , 3

4 =

      − − =       − − − = −       = −

=R P v

PR

La recta pedida r’ dada por unas ecuaciones paramétricas es

     − = − = + = ≡ λ λ λ 5 4 1 1 ' z y x r . c )

Los vectores de origen P que determinan el triángulo son:

(

) (

) (

)

      − − = = − − − = − = − = = 3 5 , 3 1 , 3 1 ; ; 1 , 1 , 1 4 , 1 , 1 3 , 0 ,

0 v PR

P Q PQ

u .

(12)

( )

PQR PQR

S u k

j i

k j i j

i k k j i k

j i k

j i S

= ≅

= + + =

+ − + =

+ − =

= + − =

− − + + − =

− = − −

− − − =

2 2

2 2

3 5 3 1 3 1

25 ' 1 14 · 3 1 1 9 4 · 3 1 1 3 2

· 3 1 3

2 · 3 1

2 6 4 · 6 1 5 5

· 6 1

5 1 1

1 1 1 · 6 1 1 1 1 · 2 1

(13)

3-B) Se considera la recta

  

= +

= + ≡

5 4

3 2

z y

z x

r y el plano π ≡3xy+2z=1, se pide:

a ) Comprobar que r y π son paralelos. b ) Calcular la distancia entre r y π.

c ) Determinar, explicando el procedimiento utilizado, dos rectas distintas que estén contenidas en π y sean paralelas a r.

--- a )

Para que la recta

  

= +

= + ≡

5 4

3 2

z y

z x

r y el plano π ≡3xy+2z=1 sean paralelos es ne-cesario que el sistema que forman sea incompatible, es decir: que no tengan ningún pun-to en común.

El sistema que forman es

    

= + −

= +

= +

1 2 3

5 4

3 2

z y x

z y

z x

.

Las matrices de coeficientes y ampliada son

  

 

  

 

− =

  

 

  

 

− =

1 5 3

2 1 3

4 1 0

2 0 1

'

2 1 3

4 1 0

2 0 1

M y

M .

El rango de M es: = − + = ⇒

= 2 6 4 0

2 1 3

4 1 0

2 0 1

M Rango M = 2 .

Para determinar el rango de M’ consideramos, en primer lugar, el determinante formado por las columnas

{

C1, C2, C4

}

:

≠ − = + − = −

⇒ 1 9 5 3 0

1 1 3

5 1 0

3 0 1

'

M

Rango Rango M’ = 3 .

le Incompatib Sistema

M Rango M

Rango =2 ;; '=3 ⇒

. , como teníamos que demostrar paralelos

son plano

el y r recta

La π

b )

(14)

Sabiendo que la distancia del punto P0

(

x0, y0, z0

)

al plano genérico de ecuación 0

= + + +

Ax By Cz D

π es

(

)

2 2 2

0 0 0 0,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ +

+ + + =

π . Aplicando la fórmula al

plano π ≡3xy+2z−1=0 y al punto P(1, 1, 1) es:

(

) (

)

( )

(

π

)

π

π 0'80 ,

14 14 3

14 3

4 1 9

1 2 1 3

2 1 3

1 1 · 2 1 · 1 1 · 3 ,

,

2 2

2 u d r

P d r

d = = ≅ =

+ +

− + − = +

− +

− + − =

=

c )

La recta

  

= +

= + ≡

5 4

3 2

z y

z x

r expresada por unas ecuaciones paramétricas es:

    

= − =

− = ≡

− = −

= =

λ λ λ λ

λ λ

z y x r y

x

z 5 4

2 3 4

5 ; ; 2 3 ;

; .

Un vector director de r puede ser, por ejemplo, v =

(

2, 4, −1

)

.

Todas las rectas que tengan por vector director a v =

(

2, 4, −1

)

son paralelas a r; para que estas rectas paralelas estén contenidas en π, basta con determinar dos puntos de π ≡3xy+2z=1, por ejemplo, A(1, 0, -2) y B(0, 1, 1).

Las rectas pedidas pueden ser

    

− =

+ = = ≡

    

− − =

= + = ≡

λ λ λ

λ λ

λ

1 4 1 2 '

' 2

4 2 1 '

z y x r y z

y x

r .

Figure

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Referencias

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