PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE – 2013 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES

SEPTIEMBRE – 2013

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Contesta de una manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se valora-rán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por los alumnos. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.

OPCIÓN A

1º) a ) Dada la matriz

     

   

− + =

a a a

a a a

A

0 1

3 1 0

2 2

, calcula su rango en función de α.

b ) Calcular A-1 para α = 1.

--- a )

(

)

+

(

+

)

(

)

= − + + − + =

= −

+

= a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

A 1 3 2 2 1 6 3 2 2

0 1

3 1 0

2 2

2 2 2

3 2

(

a

)

a

(

a

)

a R

a a

a + = + = ⇒ = → + > ∀ ∈ = 3 8 2 8 0 0 2 8 0, .

Para α≠ 0 → Rango A = 3

Para α = 0 es 2

0 0 1

0 1 0

0 2 0

= ⇒

     

   

= Rango A

A .

Para α = 0 → Rango A = 2 b )

Para α = 1 es

     

    =

1 0 1

3 0 0

2 3 1

A . Para hallar la inversa de A se utiliza el método de

(2)

(

)

{

}

{

→ −

}

⇒ 

 

 

  

  ⇒

⇒   

 

  

 

= 2 3 2 2 1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

3 0 0

1 0 1

2 3 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1

3 0 0

2 3 1

/I F F F F F

A

{

→ −

}

⇒   

 

  

 

⇒   

  

→ − →

⇒   

 

  

 

− − −

1 1 2

3 1

3 1 3

1 3 1 3

3 1 3

2 3 1 2

3

0 0

0 0 0 1

1 0 0

1 0

2 3 1

0 1 0

1 0 1

0 0 1

3 0 0

1 3 0

2 3 1

F F F F

F

F F

  

 

  

 

− − − =

⇒   

 

  

 

− − −

⇒   

  

− →

− →

⇒   

 

  

 

⇒ −

0 0

1 0

0 0

1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0

0 1 0 0

1 0 0

1 0

1 0 1

3 1

3 1 9 1 3 1

3 1 1

3 1

3 1 9 1 3 1

3 1

3 3 1 2 2

3 1 1

3 1

3 1 3

1 3

1 A

F F F

F F F

.

(3)

2º) a ) Discuta para que valores de α el sistema

(

) (

)

(

)

(

)

   

= − − +

= − +

= − + +

a az y a x

a az x a

y a x a

2 2

1

0 1 2 3

es compatible.

b ) Resuélvalo en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.

--- a )

Las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:

     

   

− −

− +

− +

=

a a

a a

a a

M

2 2

0 1

0 1 2 3

y

     

   

− −

− +

− +

=

a a a a

a a

a a

M

0

2 2

0 1

0 1 2 3

' .

El rango de M en función de α es el siguiente:

(

) (

+ −

)(

+

) (

+ +

)(

)

=

− = − −

− +

− +

= 2 2 1 2 3 1 2 1

2 2

0 1

0 1 2 3

a a

a a

a a a

a a

a

a a

a a

M

(

)

+

(

+ − − + − + −

)

=− + +

(

+ −

)

=

= 2a 2a 1 aa2 3a 2a 6 2a2 a 2a 1 4a2 2a a3a2 2a 7

(

3 2 5

)

0 ;; 0 ;; 3 2 5 0 ;; 5

2 3 7 2 3 2

4 2+ + 3+ 2− = 3− 2− = 2− − = 1= 2− − =

= a a a a a a a a a a a a a a

3 5 3 2 1 ;; 6

8 2 6

64 2 6

60 4

2± + = ± = ± = =

= a a

a .

ado er

Compatible incógnitas

n M

Rango M

Rango a

a a

Para 1 ' 3 º det min

0

3 5

= = =

⇒     

    

≠ − ≠

Nótese que, por ser C3 = - C4, los rangos de M y M’ son iguales para cualquier valor real de α.

Para α = 0 es ⇒      

   

− − =

0 2 2

0 0 1

0 1 3

M Rango M = 2.

Para α = -1 es ⇒      

   

− − =

1 3 2

1 0 0

0 3 2

(4)

Para α = 5/3 es ⇒      

   

− −

− =

3 5 3 1

3 5 3

8 3 7 3 14

2 0

0

M Rango M = 2.

ado er

in Compatible incógnitas

n M

Rango M

Rango a

a a

Para 1 ' 2 º det min

0

3 5

< = =

⇒     

    

= − =

=

El sistema es compatible para cualquier valor real de α. b )

Resolvemos en los casos de compatible indeterminado:

Para α = 0 es R

z y x Solución y

x x y x

∈ ∀

    

= = =

⇒     

= −

= = −

λ λ

, 0 0

:

0 2 2

0 0 3

.

Para α = -1 es λ 3λ

2 ; ; ;

; 0 3 2 1 3

2

1 0 3 2

= =

= − ⇒     

− = + −

− =

= −

y x

y x z

y x

z y x

.

R z

y x

Solución ∀ ∈

    

− =

= =

λ λ λ

,

1 : 32

Para α = 5/3 es

    

= − −

= −

= +

3 5 3 5 3 1

3 5 3 5 3 8

3 7 3 14

2

0

z y x

z x

y x

, equivalente al sistema

    

= − −

= −

= +

5 5 6

5 5 8

0 2

z y x

z x

y x

.

Despre-ciando la tercera ecuación y haciendo x=λ; λ

2

− =

y , λ λ λ 5λ

8 1 ;

; 8 5 5 ; ; 5 5 2

6 + − z= z=− + z=− + .

R z

y x

Solución ∀ ∈

    

+ − =

− = =

λ λ λ λ

,

1 2 :

5 8

(5)

3º) Sea la función f

( )

x =sen(2x)−x. Demostrar que la función f(x) tiene exactamente tres ceros en el intervalo 

  

 

2 , 2

π

π . O sea, debe probar que existen exactamente tres

va-lores de x en el intervalo    

 

2 , 2

π

π tales que f(x) = 0.

---

La función f

( )

x =sen(2x)−x, además de pasar por el origen por ser f(0) = 0, tam-bién es simétrica con respecto al origen, por ser f

( )

x =sen(−2x)+x=xsen

( )

2x =−f(x).

De lo anterior se deduce que uno de los ceros es para x1 = 0.

La función f(x) es continua y derivable en su dominio, que es R, por lo cual le es aplicable el teorema de Bolzano a cualquier intervalo real que se considere.

El teorema de Bolzano se puede enunciar de la siguiente forma: “Si una función f es continua en un intervalo cerrado [α, b] y en los extremos de éste toma valores de dis-tinto signo, entonces existe al menos un valor c

(

a, b

)

tal que f

( )

c =0”.

Los máximos y mínimos relativos que tiene la función en el intervalo considerado son los siguientes.

Para que una función tenga un extremo relativo es condición necesaria que se anule su primera derivada:

( )

x x

( )

x x arc k x k k Z

f = − = ⇒ = = =2 ±60º;; = ±30º, ∀ ∈ 2

1 cos 2

; ; 2 1 2 cos 0 1 ) 2 ( cos 2

' π π .

Las únicas soluciones pertenecientes al intervalo son

6 º 30 1

π

= =

x y

6 º 30 2

π

− = − =

x .

Para diferenciar los máximos de los mínimos se recurre a la segunda derivada; si es positiva para los valores que anulan la primera se trata de un mínimo y, si es negati-va, de un máximo.

( )

( )

6 .

0 3 2 2

3 · 4 3 4

'' )

2 ( 4

'' π6 π =− < ⇒ =−π

  

  

− =

     

= −

= sen x f sen Máx para x

x

f .

Por simetría con respecto al origen:

6 . para x

Mín .

( )

1'09

6 3 3 2 2

3 3 3 º 60 3

3 3

3

6 ≅

− = − = + −

= + −

=

     

− −

     

− =

−π sen π π sen π π sen π π π

(6)

    

 

6 3 3 2 , 3

. A π π

Máx . Por simetría:

  

 

6 2 3 3 , 3

. B π π

Mín .

Aplicando el teorema de Bolzano a los valores extremos del intervalo − −  6 , 2

π

π :

( )

( )

( )

       

< − = + − = + −

=       −       =

> = + = + −

=       − − = −

0 6

3 3 6

2 3 2

3 6

3

0 2 2 0 2 2

6 2

π π π

π π

π

π π π

π π

π

π π

sen sen

f

sen sen

f

Esto implica que

la función f(x) tiene un cero para un valor x2, tal que:

6

2 2

π π < <

x y, por simetría, el

tercer cero para x3, tal que:

2

6 3

π π < <

x .

Teniendo en cuenta lo anterior y, en particular la continuidad de f(x), queda de-mostrado que:

( )

( )

6 6

, 0 2

, 2

2 π π  1= 1=−π 3

  

 

=sen x x en son x x y x

x f de raíces únicas

Las

(7)

4º) Haga un dibujo del recinto limitado por las curvas

( )

2

1 x 4 x

y = − e y2

( )

x =x2. Calcular el área de este recinto.

---

Las dos parábolas son funciones simétricas con respecto al eje de ordenadas.

Los puntos de corte con los ejes de las curvas son:

Eje X → y =0:

( )

(

)

    

− → − =

→ =

= − =

0 , 2 2

0 , 2 2

0 4

2 1 2

B x

A x

x

y .

( )

0, 0 0

0 2

O x

x

y= = ⇒ = ⇒ .

Eje Y: 0 4 2 4 (0, 4)

C y

x y

x= ⇒ = − → = ⇒

→ .

Los puntos de corte entre las curvas son los siguientes:

(

2, 2

)

;; 2

(

2, 2

)

2 2

; ; 4 2 ; ;

4 1 2

2 2

2 2

E x

D x

x x

x

x = = = ⇒ =− → − = →

− .

La representación gráfica de la situación se puede observar en el gráfico adjunto.

Teniendo en cuenta las simetrías de las funciones, el área pedida es la siguiente:

(

)

[

]

(

)

(

)

 =

  

 

− =

− =

− − =

− −

=

2

0 3 2

0

2 2

0

2 2 2

0

2 2

3 2 · 4 · 2 4 · 2 · 4

· 2 · 4

·

2 x x dx x x dx x dx x x

S

S u = =

=       =

    

  

− =

    

  

−     

  

= 2

3

3 2 16 3 2 · 2 8 3 1 1 · 2 8 3

2 2 2 2 · 4 0 3 2 2 2 ·

4 .

**********

Y

A

O

f(x)

S

4

-2 1

X

B

C

2

D E

2

(8)

OPCIÓN B

1º) Consideremos el punto P(1, 2, 3) y la recta

1 1 2

1 3

2 = + =

x y z

r .

a ) Calcular la ecuación general del plano π que contiene al punto P y a la recta r. b ) Calcular el punto simétrico del punto P respecto a la recta r.

--- a )

Un punto y un vector director de r son Q(2, -1, 1) y vr =

(

3, 2, 1

)

.

Los puntos P y Q determinan el vector:

(

2, −1,1

) (

− 1, 2, 3

) (

= 1, −3, −2

)

= − = =PQ Q P

w .

(

)

0 ;;

2 3

1

1 2 3

3 2 1

,

; =

− −

− − − ≡

z y

x w v P r

π

(

1

) (

2

) (

9 3

) (

2 3

) (

3 1

) (

6 2

)

0 ;;

(

1

) (

7 2

) (

11 3

)

0 ;;

4 − + − − − − − + − + − = − − + − − − =

x y z z x y x y z

0 20 11 7 0

33 11 14 7

1+ − − + = ⇒ ≡ − + − =

+

x y z π x y z .

b )

La expresión de r dada por unas ecuaciones paramétricas es:     

+ =

+ − =

+ = ≡

λ λ λ

1 2 1

3 2

z y x

r .

El plano π', perpendicular a r por P(1, 2, 3), es el que tiene como vector normal a vr =

(

3, 2, 1

)

y contiene al punto P:

(

)

3·1 2·2 3 0 ;;

3 , 2 , 1

0 2

3 '

= + + +

⇒   

= + + + ≡

D P

D z y x π

− = =

+ =

+ +

+4 3 0 ;; 10 0 ;; 10

3 D D D

0 10 2

3

'≡ + + − =

⇒ π x y z .

El punto N de intersección de la recta r con el plano π' es el siguiente:

N P(1, 2, 3)

(9)

(

2 3

)

(

1 2

) (

1

)

10 0 ;; · 3 1 2 1 3 2 0 10 2 3 ' = − + + + − + + ⇒             + = + − = + = ≡ = − + + ≡ λ λ λ λ λ λ π z y x r z y x       − ⇒                   = + = − = + − = = + = ⇒ = = − = − + + + − + 14 19 , 14 4 , 14 43 14 19 14 5 1 14 4 14 10 1 14 43 14 15 2 14 5 ; ; 0 5 14 ; ; 0 10 1 4 2 9 6 N z y x λ λ λ λ λ .

Para que P’ sea el punto simétrico de P con respecto a r, tiene que cumplirse que:

(

) (

)

;; 14 19 , 14 4 , 14 43 , , 3 , 2 , 1 14 19 , 14 4 , 14 43 ; ; ' '       − − = −       − − = − ⇒

=NP N P P N x y z

(10)

2º) a ) Discutir para que valores de α y b el sistema

(

)

(

)

   

= − +

+ = −

− = + + −

b z a ay

b a az y

b a az ay x a

2 3

2 5 1

es

compati-ble.

b ) Resuélvalo en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.

--- a )

Las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:

     

   

− − −

=

a a

a a a a

M

2 3 0

2 1 0

5 1

y

     

   

+ −

− − −

=

b b a

b a

a a

a a a a

M

2 3 0

2 1 0

5 1

' .

El rango de M en función del parámetro α es el siguiente:

(

)(

)

+

(

) (

= −

)

(

− +

)

=

= − − −

= 2 2

6 2 1 1

6 2

1 2

3 0

2 1 0

5 1

a a a

a a a a

a a

a a a a

M

(

a

)

(

aa+

)

= a = aa+ = a= ± − ⇒ aR

=

12 48 1 1 ; ; 0 2 6

; ; 1 ; ; 0 2 6

1 1 2

2

.

ado er

Compatible incóg

n M

Rango M

Rango R

b a

Para 1 ⇒ = '=3= º .⇒ det min

     

∈ ≠

Para α = 1 es

     

   

+ − − =

b b b

M 1

1

1 3 0

2 1 0

1 5 0

' . El rango de M’ en función del parámetro b es

el siguiente: − + =− +

( ) ( ) ( ) ( )

− + + + − − + − = −

= b b b b b b

b b b

M 10 1 31 61 51

1 3

1 2 1

1 1 5 '

(

)

4 1 0

4 1 5 20 5 5

5 6 6 3 3 1

10 + − + + + − − − − = − = − = ⇒ =

= b b b b b b b b b .

ado er

in Compatible incóg

n M

Rango M

Rango b

a

Para 1 ' 2 º . det min

4

1 ⇒ = = < ⇒

     

= ≠

le Incompatib M

Rango M

Rango b

a

Para ⇒ = = ⇒

     

≠ =

3 ' ;

; 2 1

(11)

b )

El sistema es compatible indeterminado cuando α = 1 y b = ¼. El sistema resulta ser el siguiente:

    

= +

= −

= +

4 1 4 5 4 3

3 2 5

z y

z y

z y

. Despreciando la segunda ecuación y resolviendo por

reduc-ción:

2 1 4

1 4

3 4 1 2

1 4

1 4 3

4 1 4 3

; ; ;

; ;

; 2 3

5 3

5

− = =

+ =

= ⇒    − = − −

= + 

  = +

= +

z z

y y

z y

z y z

y z y

.

R z

y x

Solución ∀ ∈

    

− =

= =

λ λ

, :

2 1 4 1

(12)

3º) Sea la función

( )

2 1 1 1 − − − = x x x f .

a ) Calcular los extremos de la función f(x).

b ) Estudiar cuando la función f(x) es cóncava o convexa.

--- a )

Para que una función tenga un extremo relativo en un punto es condición necesa-ria que se anula su primera derivada en ese punto.

( )

( )(

)

2 3 1 2 1 1 2 2 1 1 1

2 − +

− = − − + − − = − − − = x x x x x x x x x f .

( ) ( ) ( )

(

)

( )

2 3 ; ; 0 3 2 0 ' 2 3 3 2 2 1 3 2 ' 2 2 2

2 ⇒ = ⇒ − = =

+ − − = − − −

= f x x x

x x x x x x x f .

Para diferenciar los máximos de los mínimos se recurre a la segunda derivada; si es positiva para los valores que anulan la primera se trata de un mínimo y, si es negati-va, de un máximo.

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

+

)

(

)

= − − + − = + − − + − − − + − = 3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3 3 2 · 2 2 3 · 2 2 3 3 2 · 2 3 · 2 · 3 2 2 3 · 2 '' x x x x x x x x x x x x x x f

(

) (

)

(

)

(

)

(

− +

)

= − + − = + − − + − + − = + − + − − + − = 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 14 18 6 2 3 18 24 8 4 6 2 2 3 9 12 4 · 2 2 3 · 2 x x x x x x x x x x x x x x x x

(

)

(

)

f ( )x

x x x x '' 2 3 7 9 3 2 3 2 2 = + − + − − = .

( ) Mín

f => ⇒

< < =      − + − =       − + − + − =       +       + − − =         + −               + −       − = 0 0 0 4 1 13 2 27 4 8 18 9 14 27 2 27 2 2 9 4 9 7 2 27 4 27 · 2 2 2 3 · 3 2 3 7 2 3 · 9 2 3 · 3 2

'' 3 3 3 3

2 2 2 3 .

( )

      ⇒ ⇒ = + = − − = − − −

= , 4

2 3 . 4 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 3 1 2

3 Mín P

f .

b )

(13)

( )

(

)

(

)

      

+ =

− = ⇒ ± = − ± = =

+ − =

+ −

+ − −

⇒ =

6 7 9

6 7 9

6 7 9 6

84 91 9 ; ; 0 7 9 3 ; ; 0 2 3

7 9 3 2 0

''

2 1 2

3 2

2

x x x

x x x

x

x x x

f .

Teniendo en cuenta que:

1º - El dominio de la función es D

( )

fR

{ }

1, 2 , lo que supone que el dominio se divide en los intervalos

(

−∞,1

)

,

( )

1, 2 y

(

2, +∞

)

.

2º - Que el único extremo relativo (mínimo) se produce para 2 3

=

x y que

06 ' 1 6

7 9

1 ≅

− =

x y 1'94

6 7 9

2 ≅

+ =

x .

3º - f ( )=− <0 ⇒ Concavidad ( )∩

8 14 0

'' .

4º) – El valor de f ''

( )

x , x>2, por ejemplo x = 3: ( )

(

)

(

)

0

8 14

2 3 · 3 3

7 3 · 9 3 · 3 2 3

'' 3

2 2

< − = +

+ − −

=

f .

los periodos de concavidad y convexidad son los siguientes:

( )

( )

(

)

∪

(

+∞

)

  

   + ∪     

 

∪ ∞ − ⇒ ∩ ⇒

< , 2 2,

6 7 9 6

7 9 , 1 1 , 0

'' : f x Concavidad

( )

( )

  

 

+

⇒ ∪ ⇒ >

6 7 9 , 6

7 9 0

'' : f x Convexidad

(14)

4º) Calcular la siguiente integral indefinida:

+ −

= dx

x x

x

I 3 12 · .

---

(

)

= −+

+ −

= dx

x x

x dx

x x

x

I ·

1 1 ·

1

2 2

3 .

(

)

(

) (

(

)

)

(

+

)

=

+ + + + = +

+ + + + =

+ + + = + −

1 1

1 1

1 1

1

2

2 2

2

2 2

2

x x

Cx B Bx Ax Ax x

x

Cx x

B x

Ax x

C x

B x A x

x x

(

)

(

)

(

)

2 ;; 2

1 1 0 1

2 2

− = =

⇒ →     

− =

= +

= + ⇒ +

+ + + +

= A C

B B A

C A x

x

B x B A x C A

.

= + −

− =

+ − −

= +

=

2

· 2 1

1 1 2 · 1 ·

1 2 ·

1 2

2 2

3 dx L x x dx L x

x dx x dx x dx x x

x I

(

x

)

x C I

x L C x x

x

L + + =

+ = + − − +

= − 1

1 1

1

2 2

2 1

.

Figure

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Referencias

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