Colegio Universitario Boston Funciones

(1)

122 Función Lineal.

Si f función polinomial de la forma o , donde y

son constantes reales se considera una función lineal, en esta nos la pendiente o

sea la inclinación que tendrá la gráfica de la función, y nos indica la intersección de la función con el eje de las . Se utiliza el término lineal puesto que la gráfica de f

es una línea recta.

Análisis de la monotonía según la pendiente.

 Si la pendiente es positiva es decir , la función es estrictamente

creciente.

 Si la pendiente es negativa es decir , la función es estrictamente

decreciente.

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4

f x = 2 x+1

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4

(2)

123

 Si la pendiente es igual a cero es decir, , la función es constante.

Dados dos puntos , podemos obtener el valor de la pendiente

utilizando la siguiente fórmula:

Para calcular el valor de la intersección con el eje , se aplica la fórmula:

Ejemplo.

1. Determine la ecuación de la recta que contiene a los puntos .

Realizamos el cálculo del valor de la pendiente.

Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto anterior, y cualquiera de los puntos dados.

Por lo tanto la ecuación de la recta es .

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4

(3)

124

2. Determine la ecuación de la recta que contiene a los puntos .

Por lo tanto la ecuación de la recta es .

Práctica

Función lineal

143. La función dada por con es

A. biyectiva

B. constante

C. estrictamente creciente D. estrictamente decreciente

144. Si _{es una función tal que} y , entonces

la función es

A. identidad B. creciente

C. constante

(4)

125

145. Si es una función lineal con _{y se cumple que es}

una , , entonces el criterio de es

A.

B.

C.

D.

146. La ecuación de la recta que pasa por los puntos corresponde

a

A.

B.

C.

D.

147. El criterio de la función lineal a la que pertenecen los puntos

es

A.

B.

C.

D.

148. La ecuación de una recta que contiene los puntos es

A.

B.

C.

(5)

126

149. La ecuación de la recta que contiene al punto e interseca al eje “y” en

corresponde a

A.

B.

C.

D.

150. Si es una función lineal con y entonces la

función es el valor de es

A. B. C. D.

151. La recta que interseca el eje y en y el eje x en es

A.

B.

C.

D.

152. Si es una función lineal tal que y , entonces el criterio

de es

A.

B.

C.

(6)

127

153. De acuerdo con los datos de la grafica de la función real “f”, ¿Cuál es la pendiente de la recta?

A.

B.

C.

D.

154. De acuerdo con los datos de la grafica, el criterio de la función “g” corresponde a

A.

B.

C.

D.

155. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal ,

entonces la función se clasifica como:

A. Identidad

B. Creciente

C. Constante

D. Decreciente

156. Si _{es una función creciente entonces se cumple con}

certeza que k pertenece al conjunto A.

B.

C.

D.

2 3

(7)

128

157. Considere la siguiente gráfica de la función lineal “f”.

De acuerdo con los datos de la grafica de la función real “f

I. El ámbito de f es

R

II. La gráfica de f interseca al eje “y” en 2,0

III. f es estrictamente creciente

De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?

A. Solo la I y la II B. Solo la I y la III C. Solo la II y la III D. La I, la II y la III

158. El criterio de una función lineal “f”, a cuyo grafico pertenecen los puntos

es

A.

B.

C.

D.

159. Si es una función tal que y entonces se cumple que:

A.

B.

C.

D.

2 3

f

x y

1

(8)

129

160. Considere la siguiente gráfica de la función lineal “f”.

De acuerdo con los datos de la grafica dada, de las funciones , ¿Cuál es

con certeza, estrictamente creciente?

A. B. C. D.

161. Considere la siguiente gráfica de la función lineal.

De acuerdo con los datos de la grafica dada, la pendiente de la recta de la función equivalente a

A.

B.

C.

D.

1

h

g

y

4

2

f

x 2

-2

m

1 y

x

b

(9)

130

162. Si pertenecen al grafico de una función lineal f , considere

las siguientes proposiciones.

I. f es estrictamente creciente. II. El ámbito de f es

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A. Ambas

B. Ninguna

C. Solo la I D. Solo la II

A. Identidad

B. Creciente

C. Constante

D. Decreciente

164. Para que la función sea creciente se debe cumplir que:

A.

B.

C.

D.

165. Si y , ¿Cuál es el valor de b?

A.

B.

C.

(10)

131

166. Para que la función , sea decreciente se debe cumplir

que:

A.

B.

C.

D.

167. ¿Cuál es la ecuación de la recta a cuyo grafico pertenecen los puntos ?

A.

B.

C.

D.

168. Si es una función tal que y entonces

es:

A. Identidad

B. Creciente

C. Decreciente

D. Constante

169. Si ¿Cuál es el valor de ?

A.

B.

C.

(11)

132

y

x -4

2

170. ¿Cuál es el criterio de la función lineal descrita por la siguiente gráfica?

A.

B.

C.

D.

171. Si es una función lineal y pertenecen a la función,

entonces _es

A. Identidad B. Constante C. Decreciente D. Creciente

172. La ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene por

pendiente a -3 es la siguiente:

A.

B.

C.

D.

A. Identidad

B. Creciente

C. Constante

(12)

133

174. Para que la función sea decreciente se debe cumplir que:

A.

B.

C.

D.

175. La ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene por pendiente

a es la siguiente:

A.

B.

C.

D.

176. Si y , ¿Cuál es el valor de b?

A.

B. 17

C.

D.

177. Para que la función , sea creciente se debe cumplir

que:

A.

B.

C.

(13)

134

178. ¿Cuál es la ecuación de la recta a cuyo grafico pertenecen los puntos ?

A. B. C. D.

179. Si ¿Cuál es el valor de m?

A.

B.

C.

D.

Intersecciones con los Ejes

1. Intersección con el eje y

Para encontrar la intersección con el eje , debemos cambiar el término que

tenga a la es decir la variable independiente por cero y despejar a , en

la ecuación que nos queda.

Por otro lado si la ecuación de la recta es de la forma , bastara con

tomar el par ordenado .

Ejemplos.

1. Determine la intersección con el eje de las para la función dada por .

(14)

135

Por lo tanto la intersección con el eje de las , viene dada por el par

ordenado .

Notemos que la función dada es de la forma , donde el valor de la

constante corresponde a -8.

ordenado .

Intersección con el eje x

Para encontrar la intersección con el eje , debemos cambiar el término que

tenga a la es decir la variable dependiente por cero y despejar a , en la

ecuación que nos queda.

Por otro lado si la ecuación de la recta es de la forma , bastara con

tomar el par ordenado .

Ejemplos.

(15)

136

ordenado .

Notemos que la función dada es de la forma , donde el valor de la

constante corresponde a y el valor de la constante corresponde a .

Entonces

ordenado .

Práctica

Intersecciones

.

180. La gráfica de la función dada por , interseca al eje “ ” en

A.

B.

C.

D.

181. Los puntos de intersección con los ejes de la recta dada por , son

A.

B.

C.

(16)

137

182. Si la pendiente de una recta es y el punto , pertenece a ella, entonces

dicha recta interseca al eje en el punto

A.

B.

C.

D.

183. La gráfica de la función dada por , interseca al eje “x” en el punto

A.

B.

C.

D.

184. Si la pendiente de una recta es y el punto , pertenece a ella, entonces

dicha recta interseca al eje en el punto

A.

B.

C.

(17)

138

185. El punto de intersección de la recta definida por con el eje “ ”

corresponde a

A.

B.

C.

D.

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Rectas paralelas

Dos o más rectas que pertenezcan al mismo plano se consideran paralelas si y solo si sus pendientes poseen el mismo valor, gráficamente dos rectas paralelas nunca se

intersecan. En otras palabras si es de la forma y es de la forma

y entonces podemos afirmar que .

El símbolo significa “paralelo o paralela a”.

Ejemplo.

1. Determine si las rectas definidas por y

son paralelas.

Para determinar si las rectas son paralelas debemos conocer el valor respectivo de sus pendientes, por lo cual vamos a transformar las ecuaciones

dadas a ecuaciones de la forma .

a.

(18)

139 b.

Por lo que

Entonces ambas rectas son paralelas pues

Gráficamente podemos ver que ambas rectas no se intersecan.

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por y que es paralela a la

recta dada por

Inicialmente determinemos el valor de la pendiente de la recta dada.

4

2

-2

-4

-5 5

(19)

140

De lo anterior tenemos que la pendiente de la recta dada es , lo cual nos indica que la pendiente de la recta que buscamos también va a ser , pues como conocíamos inicialmente que ambas rectas son paralelas.

Ahora averigüemos el valor de la intersección con el eje .

Finalmente tenemos que la ecuación de la recta dada es .

Rectas perpendiculares

Dos rectas que pertenezcan al mismo plano se consideran perpendiculares si y solo

si el producto de sus pendientes es igual a , gráficamente dos rectas

perpendiculares se intersecan formando entre si un ángulo de . En otras palabras

si es de la forma y es de la forma y

entonces podemos afirmar que .

Además, si tenemos la podemos encontrar la con la formula:

Ejemplo.

1. Determine si las rectas definidas por y son

perpendiculares.

Para determinar si las rectas son perpendiculares debemos conocer el valor respectivo de sus pendientes, por lo cual vamos a transformar las ecuaciones

(20)

141

a.

Por lo que

b.

Por lo que

Entonces ambas rectas son perpendiculares pues , veamos

Gráficamente podemos ver que ambas rectas no se intersecan.

4

2

-2

-4

-5 5

(21)

142

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por y que es perpendicular

a la recta dada por

Inicialmente determinemos el valor de la pendiente de la recta dada.

De lo anterior tenemos que la pendiente de la recta dada es , lo cual nos

indica que la pendiente de la recta que buscamos también va a ser , pues

como conocíamos inicialmente que ambas rectas son perpendiculares.

Ahora averigüemos el valor de la intersección con el eje .

Finalmente tenemos que la ecuación de la recta dada es

Intersección entre dos Rectas

Por conocimientos previos sabemos que la intersección de dos rectas es un punto, el cual obtenemos al calcular la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas. Esta solución corresponde a un par ordenado de la forma , el cual

(22)

143 Ejemplo.

1. Determine el punto de intersección para las rectas dadas por

y

Resolveremos el sistema utilizando el método de reducción

Tomemos el siguiente sistema

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema

Por lo tanto y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuación

del sistema obtenemos que el valor de es .

Lo que nos indica que el punto de intersección de las rectas es Gráficamente tenemos:

6

4

2

-2

-5 5 10

A : (3,00, 1,00)

g x = 5 x-14 f x = 3 x-8

(23)

144

Práctica

Rectas Paralelas y Perpendiculares

186. Una recta paralela a la recta dada por corresponde a

A. B. C.

D.

187. La pendiente de una recta paralela con la ecuación es

A.

B.

C.

D.

188. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por es

A.

B.

C.

D.

+

189. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por es

A.

+

B.

C.

(24)

145

190. Si los puntos pertenecen a la recta lentonces la pendiente de una

recta perpendicular a la “l” es

A. B.

C.

D.

191. La ecuación de una recta que contiene el punto y es perpendicular a la

recta dada por está dada por

A.

B.

C.

D.

192. Una ecuación de la recta a la que pertenece el punto _{y es}

perpendicular a la recta dada por es

A.

B.

C.

D.

193. La ecuación de una recta perpendicular a la recta _{y que}

contiene al punto es

A.

B.

C.

(25)

146 194. Considere la siguiente gráfica.

De acuerdo con los datos de la grafica dada, si l₁ll l₂, entonces la pendiente de l₁ es A.

B. C. D.

195. Considere la siguiente gráfica.

De acuerdo con los datos de la grafica dada, si la recta l2 esta dada por

¿Cuál es el punto de intersección de las rectas ?

A.

B.

C.

D.

l1

l2

y

2

x 2

4

l1

l2

y

-3

x 2

(26)

147

196. Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto , si la ecuación de

una de las recta es entonces la ecuación de la otra recta es

A.

B.

C.

D.

197. Una ecuación de la recta que contiene el punto _{y es paralela a la recta}

es

A.

B.

C.

D.

198. El valor de para que la recta sea paralela a la recta

es

A.

B.

C.

D.

199.Considere la siguiente gráfica adjunta, si entonces la ecuación que

define a la recta es

A. B. C. D.

-1

3

l1

l2

y

-6

x 1

(27)

148

200. Las rectas definidas por y son paralelas

entonces el valor de es igual a

A.

B.

C.

D.

201. Considere la siguiente gráfica, De acuerdo con los datos de la gráfica, la ecuación de una recta perpendicular a la recta es

A.

B.

C.

D.

202. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, ¿Cuál es una ecuación que

define a la recta

l

A.

B.

C.

D.

-1 3

1 2

l

y

2

x 1

2 4

l

y

2

(28)

149

203. Analice las pendientes de las siguientes de rectas.

I. II. III.

De estas rectas ¿cuales son perpendiculares a la recta ?

A. Todas

B. Ningunas

C. Solo la II y III D. Solo la I y II

204. Sean funciones lineales paralelas. Si

entonces podemos afirmar que:

A.

B.

C.

D.

205. Si las funciones y representan rectas

paralelas, entonces el valor de k es:

A. B. C. D.

206. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto y que es paralela a

la recta de que pasa por los puntos

(29)

150

207. De las rectas y se puede afirmar que:

A. Son paralelas

B. Son perpendiculares

C. Son paralelas a la recta

D. Son perpendiculares a la recta

208. Si ¿Cuáles de ellas son

perpendiculares?

A. B. C.

D. Ninguna

209. Para las funciones el valor de en la

intersección de ambas es:

A. 4

B. -4

C.

D.

210. En la siguiente figura están representadas las graficas de dos funciones lineales perpendiculares. El criterio f es:

A.

B.

C.

(30)

151

211. Sean funciones lineales de paralelas. Si

entonces podemos afirmar que:

A.

B.

C.

D.

212. Si las funciones representan

rectas paralelas, entonces el valor de k es:

A. B. C. D.

213. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto y que es paralela a

la recta de que pasa por los puntos

A.

B.

C.

D.

214. Si ¿Cuáles de ellas son

perpendiculares?

A.

B.

C.

(31)

152 215. Dada la siguiente grafica.

¿Cuál es la ecuación de la recta que interseca al eje y en ?

A. + 2

B. + 4

C.

D. + 1

216. De las rectas y se puede afirmar que:

A. Son paralelas

B. Son perpendiculares

C. Son paralelas a la recta

D. Son perpendiculares a la recta

217. Halle la ecuación de la recta que pasa por (-1,5) y es perpendicular a la recta

.

A. + 7 = 0

B. 3 x — 2 y — 7 0 C. 3 x — 2 y + 13 = 0 D. 2 x + 3 y + 17 = 0

4

x y

(32)

153

218. Analice las pendientes de las siguientes de rectas.

I. II. III.

De estas rectas ¿cuales son paralelas a la recta ?

A. Todas

B. Ningunas

C. Solo la II y III D. Solo la I y II

219. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a , pasa por ?

A.

B.

C.

D.

220. La recta que pasa por es perpendicular a la está representada

por la ecuación:

A.

B.

C.

D.

221. Las rectas dadas por se intersecan en el punto:

A.

B.

C.

(33)

154

222. Las rectas definidas por se intersecan en el

punto:

A.

B.

C.

D.

223. Considere las siguientes ecuaciones, correspondientes a dos rectas.

¿Cuál es el punto de intersección de esas rectas?

A.

B.

C.

D.

Función Inversa

Si es una función tal que define al dominio de la función y define al codominio de la función, y además se considera una función biyectiva, es decir donde el codominio y el ámbito son iguales y que además todo elemento del ámbito se relaciona únicamente con un elemento del dominio. Entonces se define a la inversa de como la función que relaciona los elementos de ámbito de con los elementos del dominio de .

La inversa de una función se denota por , , .

(34)

155 Ejemplos.

1. Si es una función biyectiva, denota la función inversa de .

Si entonces .

Por otra parte:

Si entonces

Por lo que el gráfico de una función y el de su inversa corresponden a

y

2. Si es una función lineal biyectiva y son elementos de f

entonces determine la ecuación de la inversa de .

3 12

f

3 12

1

(35)

156

Como nos indica el ejercicio los pares ordenados pertenecen al grafico de la función por lo que inicialmente los convertiremos a pares de la inversa.

Por lo tanto la ecuación de la inversa es

.

3. Si es biyectiva tal que , entonces calcule el valor de .

En este caso como podemos ver se nos da el criterio de la función para que

calculemos la imagen la inversa. En este caso el elemento representa a una

imagen de la función, por lo cual basta con igualar la ecuación de a .

Por lo tanto .

4. Si es una función biyectiva tal que , entonces determine el

criterio de la inversa.

En este caso como podemos ver se nos da el criterio de la función para que

calculemos el criterio de la inversa.

(36)

157

Como sabemos la función inversa plantea una relación entre el ámbito por

esto es válido intercambiar la variable dependiente con la independiente.

Y finalmente despejamos la variable independiente.

Por lo tanto el criterio de la inversa es

.

Práctica

224. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal

entonces la pendiente de corresponde a

A.

B.

C.

D.

225. Si es una función dada por

,

la pendiente de la gráfica de la función

inversa de es A.

B.

C.

(37)

158

226. Si los puntos pertenecen al gráfico de la función lineal

entonces el criterio de la función inversa de es

A.

B.

C.

D.

227. Si es una función biyectiva con dominio

R

,entonces el criterio

de es

A.

B.

C.

D.

228. Si entonces la función inversa de corresponde a

A.

B.

C.

D.

229. Si es una función y _{entonces la función inversa de es}

A.

B.

C.

(38)

159

230. Si entonces la preimagen de en corresponde a

A.

B.

C.

D.

231. Si y es la inversa de entonces corresponde a

A.

B.

C.

D.

232. Si es una función dada por entonces

corresponde a

A. 6

B.

C.

D.

233. Si es una función dada por entonces es

A.

B.

C.

(39)

160

234. De acuerdo con los datos de la grafica de la función inversa de , se puede afirmar que

A.

B.

C.

D.

235. De acuerdo con los datos de la grafica de la función inversa de , ¿Cuál es el criterio de la función inversa?

A.

B.

C.

D.

236. Si los puntos pertenecen al grafico de la función

entonces la pendiente de corresponde a:

A. B.

C.

D.

237. Si es una función biyectiva tal que ; entonces es igual

a: A. B. C. D. 2 1 f x y 3 1

4 _f

x y

(40)

161

238. Si es biyectiva, entonces la inversa de la función esta dad por:

A.

B.

C.

D.

239. Si la función f es biyectiva tal que , entonces es igual a:

A. B. C. D.

240. Si los puntos pertenecen al grafico de f , entonces la pendiente

de es :

A.

B.

C.

D.

241. Si entonces la pendiente de es igual a:

A.

B.

C.

(41)

162

242. La inversa de la función dada por , corresponde a:

A.

B.

C.

D.

243. Si la función f es biyectiva tal que , entonces es igual

a:

A. B. C. D.

244. Si los puntos pertenecen al grafico de f , entonces la el

criterio de es :

A.

B.

C.

D.

245. Si es una función lineal tal que y entonces el

criterio de es:

A.

B.

C.

(42)

163 3

y

x

-3 y

x

246. La función inversa de está dada por:

A.

B.

C.

D. a

247. Si la función f es biyectiva tal que , entonces la grafica de

es:

A. B.

C. D.

y

x 3

y

x

(43)

164

248. Si , entonces la preimagen de – en corresponde a:

A. B. C. D.

249. Si , entonces la preimagen de – en corresponde a:

A. B. C. D.

250. Si los puntos y pertenecen al gráfico de una función lineal f

entonces la pendiente de corresponde a:

A.

B.

C.

D.

251. Si los puntos pertenecen al gráfico de la función lineal f,

entonces:

A.

B.

C.

(44)

165

252. Si , entonces f 1( 1)es igual a:

A.

B.

C.

D.

253. Si f es una función lineal tal que , entonces:

A.

B.

C.

D.

Función Cuadrática

Si f función polinomial de la forma , con constantes

reales y , se considera una función cuadrática. Se utiliza el término cuadrática

pues la variable independiente de mayor exponente se encuentra elevada al cuadrado. Gráficamente una función cuadrática dibuja a una parábola.

Al realizar el estudio de una función cuadrática debemos considerar sus diferentes características, las cuales analizaremos a continuación.

Concavidad.

(45)

166 Veamos esto gráficamente.

a. Si es positivo es decir .

Como se puede observar en la gráfica la parábola abre hacia arriba.

b. Si es negativo es decir .

Como se puede observar en la gráfica la parábola abre hacia abajo. 6

4

2

-2

-5 5

f x = 2 x2+5 x+3

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-6 -4 -2 2 4 6

(46)

167 Discriminante.

Un valor indispensable en el estudio de la función cuadrática es el discriminante, pues con este valor podemos enterarnos en cuantas ocasiones interseca la grafica de la función al eje , además que forma parte en el cálculo de el vértice de la función valor que estudiaremos mas adelante, el discriminante se define por la fórmula:

Intersección con los ejes.

Intersección eje .

Para realizar el cálculo de la intersección o las intersecciones de una función

cuadrática con el eje , resolvemos la ecuación , donde el

valor de las soluciones de la misma serán las intersecciones con el eje.

Si analizamos el valor del discriminante tenemos que:

a. Si la función intersecará al eje es dos ocasiones.

b. Si la función intersecará al eje en una ocasión.

c. Si la función no intersecará al eje.

Ejemplos. 1.

Identificamos los valores de las constantes

Realizamos el cálculo del discriminante.

Por lo tanto lo que nos indica que la función intersecará al eje en dos

ocasiones.

(47)

168 Por lo que las

Gráficamente se representa así:

2.

Por lo tanto lo que nos indica que la función intersecará al eje en una

ocasión.

La solución de la ecuación es 1

Por lo que la

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

(48)

169 Gráficamente se representa así:

3.

Por lo tanto loque nos indica que la función no intersecará al eje.

Gráficamente se representa así: 6

4

2

-2

-5 5

f x = x2-2 x +1

6

4

2

-5 5

(49)

170 Intersección eje .

Para conocer el par ordenado donde la función interseca al eje , basta

tomar .

Ejemplos. 1.

De aquí tenemos que , por lo que la intersección con es .

Vértice.

Se define al vértice como el par ordenado que representa al punto más bajo o al punto mas alto en la gráfica de la función cuadrática, este comportamiento del vértice quedara determinado por el valor de la constante .

De aquí que si el valor de es un número positivo, es decir la gráfica de la función es cóncava hacia arriba, el vértice representa al punto mínimo de la función. Pero si

es un número negativo lo que significa que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo, el vértice representa al punto máximo de la función.

Para realizar el cálculo del vértice utilizamos la siguiente fórmula: 6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

(50)

171 Ejemplos.

1. Determine las coordenadas del vértice de la función .

Identificamos los valores de .

, ,

Calculamos el valor de las coordenadas del vértice.

Esto nos indica que es el punto mínimo de la función puesto que el valor de .

Gráficamente se tendría que:

6

4

2

-2

-5 5

A: (2.01, -1.00) f x = x2_{-4 x +3}

(51)

172 Eje de simetría.

Es la recta vertical definida por la coordenada del vértice, la cual nos divide la gráfica de la función en dos partes iguales y la cual obtenemos con la fórmula:

Ejemplo.

Para la función , determine el eje de simetría.

Gráficamente se puede observar que divide a la grafica de la parábola en dos

partes iguales.

Dominio.

Recordemos que una función cuadrática es de tipo polinomial por lo que: 6

4

2

-2

-5 5 10

x =2

A: (2.01, -1.00) f x = x2_{+-4 x+3}

(52)

173 Intervalos de monotonía y ámbito.

Para realizar el estudio de la monotonía y el ámbito, debemos dividir este estudio en dos casos.

a. Si , es decir cóncava hacia arriba.

La grafica de la función será creciente en el intervalo

La grafica de la función será decreciente en el intervalo

El ámbito de la función será el intervalo

Ejemplo.

Para la función , determine loa monotonía y el ámbito.

Realizamos el calculo de las coordenadas “x” y “y” del vértice.

y

6

4

2

-2

-5 5 10

x =2

A: (2.01, -1.00) f x = x2_{+-4 x+3}

(53)

174

b. Si , es decir cóncava hacia abajo.

La grafica de la función será creciente en el intervalo

El ámbito de la función será el intervalo

Ejemplo.

Para la función , determine loa monotonía y el ámbito.

Realizamos el calculo de las coordenadas “x” y “y” del vértice.

y

6

4

2

-2

-5 5 10

h y = 3

x = 3

A: (3.02, 4.00)

(54)

175

Práctica

254. Si la gráfica dada corresponde a la función cuadrática, entonces se cumple que

A. y

B. y

C. y

D. y

255. De acuerdo con los datos de la gráfica en la que _se

cumple que

A. y c

B. y

C. y

D. y

256. De acuerdo con los datos de la gráfica en la que

considere las siguientes proposiciones.

De ellas son Verdaderas.

A. Solo la I y la II B. Solo la II y la III C. Solo la I y la III D. Solo la III

f

x y

f

y

x

f

y

x I.

(55)

176

257. La gráfica de la función interseca al eje en los puntos

A.

B.

C.

D.

258. La gráfica de la función interseca al eje en los puntos

A.

B.

C.

D.

259. La gráfica de la función interseca al eje en

A. B. C. D.

260. La gráfica de la función interseca al eje en

A. B. C. D.

261. La gráfica de la función dada por

A. No interseca al eje

B. No interseca al

C. Interseca al eje en dos puntos

(56)

177

262. El eje de simetría de la función es la recta con ecuación

A. B. C. D.

263. En la gráfica de la función dada por el vértice corresponde a

A. B. C. D.

264. El Vértice de la función dada por es

A.

B.

C.

D.

265. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es estrictamente creciente es

A.

B.

C.

D. f

1

-1

(57)

178

266. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “ ” es estrictamente decreciente es

A.

B.

C.

D.

267. De acuerdo con los datos de la gráfica, es verdadero que la función “ ” es

A. Creciente en

B. Creciente en

C. Decreciente en

D. Decreciente en

268. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “ ” es estrictamente creciente es

A.

B.

C.

D.

3

f

6

-3

x y

2 f 5

-3

x y

-3

f 4

-1 x

(58)

179

269. Para la función dada por considere las siguientes

proposiciones.

De ellas son Verdaderas.

A. Solo la I B. Solo la II

C. Ambas

D. Ninguna

270. Un intervalo en donde la función dada por es decreciente

en

A.

B.

C.

D.

271. Un intervalo en el cual la función dada por

es estrictamente creciente es

A.

B.

C.

D.

I. es creciente en el intervalo

(59)

180

272. Un intervalo en el que la función es decreciente

corresponde a

A.

B.

C.

D.

273. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es

A.

B.

C.

D.

274. Dada la gráfica de la función “f” podemos afirmar que el ámbito o rango de “f”

es

A.

B.

C.

D.

1

f

2

-1

x y

0

f

1

(60)

181

275. El ámbito de la función con dominio corresponde a

A.

B.

C.

D.

276. Si , el ámbito de “ ” corresponde a

A.

B.

C.

D.

277. El ámbito de la función dada por corresponde a

A.

B.

C.

D.

278. Si “f” es una función dada por , entonces para todo

, se cumple que

A.

B.

C.

(61)

182

279. La función , con , es estrictamente decreciente para

toda que pertenezca al conjunto:

A.

B.

C.

D.

280. El conjunto de todas las imágenes de la función es igual a:

A.

B.

C.

D.

281. El vértice de la parábola descrita por la función

es el par ordenado:

A.

B.

C.

D.

282. La grafica de la función interseca al eje de

las ordenadas en el punto:

A.

B.

C.

(62)

183

283. Si es el punto mínimo de la grafica de una función cuadrática de en

, entonces el ámbito de la función esta dado por:

A.

B.

C.

D.

284. La función — , es estrictamente creciente para toda

que pertenezca al siguiente conjunto:

A. B.

C.

D.

285. La función , es estrictamente decreciente para

toda que pertenezca al conjunto:

A.

B.

C.

D.

286. El ámbito de la función — , es igual a:

A.

B.

C.

(63)

184

287. El ámbito de la función es igual a:

A.

B.

C.

D.

288. El ámbito de la función — — es igual a:

A.

B.

C.

D.

289. La función — — es positiva para toda

que pertenezca al conjunto:

A.

B.

C.

D.

290. Para la función f con — , se cumple que para toda

que pertenezca a:

A.

B.

C.

(64)

185

291. El vértice de la función — — — es el par

ordenado:

A.

B. —

C. —

D. —

292. El vértice de la función — es el par

ordenado:

A.

B.

C.

D. —

293. El vértice de la parábola dada por la función , es el par

ordenado:

A. —

B.

C. —

D. —

294. Si – es el vértice de la función – ,

entonces ¿cuál es el valor de ?

A.

B.

C.

(65)

186

295. El eje de simetría de la parábola dada por –

está dado por:

A.

B.

C. D.

296. La gráfica de la función es cóncava hacia

arriba e interseca al eje x en dos puntos; entonces se cumple que:

A. –

B. –

C. –

(66)

187

Soluciones.

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

1 C 26 B 51 A 76 C

2 B 27 C 52 D 77 B

3 C 28 C 53 A 78 A

4 D 29 B 54 B 79 D

5 C 30 C 55 B 80 C

6 C 31 A 56 C 81 B

7 D 32 B 57 C 82 C

8 C 33 D 58 B 83 C

9 C 34 A 59 C 84 B

10 B 35 C 60 A 85 B

11 A 36 D 61 C 86 D

12 C 37 C 62 D 87 A

13 C 38 C 63 A 88 B

14 A 39 A 64 B 89 D

15 C 40 A 65 D 90 C

16 D 41 A 66 C 91 D

17 D 42 D 67 A 92 B

18 D 43 D 68 B 93 A

19 C 44 B 69 C 94 B

20 A 45 D 70 B 95 A

21 B 46 B 71 A 96 C

22 A 47 B 72 B 97 A

23 D 48 A 73 B 98 D

24 A 49 A 74 D 99 C

(67)

188

101 D 126 A 151 A 176 B

102 D 127 D 152 C 177 B

103 B 128 D 153 C 178 A

104 D 129 D 154 D 179 D

105 A 130 D 155 D 180 A

106 D 131 A 156 D 181 B

107 D 132 B 157 B 182 C

108 II 133 A 158 A 183 A

109 A 134 D 159 C 184 C

110 D 135 C 160 C 185 D

111 B 136 A 161 C 186 D

112 C 137 A 162 B 187 B

113 B 138 B 163 D 188 C

114 C 139 C 164 A 189 C

115 C 140 C 165 C 190 D

116 B 141 B 166 A 191 A

117 C 142 C 167 B 192 C

118 A 143 B 168 C 193 D

119 C 144 C 169 C 194 A

120 A 145 C 170 B 195 D

121 B 146 C 171 C 196 A

122 C 147 A 172 D 197 C

123 D 148 D 173 C 198 B

124 D 149 C 174 C 199 D

(68)

189

201 D 226 D 251 D 276 C

202 B 227 B 252 B 277 B

203 D 228 A 253 C 278 D

204 D 229 A 254 A 279 D

205 B 230 C 255 C 280 D

206 D 231 C 256 C 281 A

207 B 232 B 257 B 282 D

208 C 233 B 258 A 283 B

209 A 234 B 259 B 284 C

210 B 235 D 260 A 285 D

211 D 236 A 261 B 286 A

212 A 237 C 262 D 287 D

213 B 238 B 263 C 288 C

214 A 239 C 264 C 289 A

215 C 240 A 265 A 290 A

216 B 241 B 266 D 291 B

217 D 242 B 267 A 292 C

218 B 243 B 268 C 293 B

219 A 244 D 269 A 294 B

220 A 245 D 270 B 295 A

221 A 246 A 271 B 296 C

222 C 247 A 272 C 297

223 A 248 D 273 A 298

224 A 249 C 274 D 299