MOVIMIENTOS EN EL PLANO

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MOVIMIENTOS EN EL PLANO

1.

Introducci´

on

La palabra Geometr´ıa, procede de “Tierra” y “medida”. Pronto estudi´o la medida de otras cosas a parte de la Tierra. As´ı que en un primer momento:

LaGeometr´ıaera el estudio de las propiedades de los objetos que se pueden medir.

Nosotros nos vamos a quedar en laGeometr´ıa Plana, que estudia s´olo propiedades (longitudes, ´

areas, per´ımetros, medida de ´angulos,...) de objetos en el plano (segmentos, pol´ıgonos, ´angulos,...).

2.

¿Qu´

e son los Movimientos?

Unatransformaci´on del planoes una “manera de mover” los puntos del plano.

Si tenemos un objeto en el plano (punto, segmento, curva, pol´ıgono,...) al objeto obtenido tras aplicar una transformaci´on se le denomina hom´ologo.

Figura 1: Esta transformaci´on, mueve todos los puntos 3 unidades a la izquierda. El punto hom´ologo deP = (3,3) esP0 = (−1,3)

(2)

Unmovimiento del planoes una transformaci´on del plano (“manera de mover” todos los puntos del plano) sin alterar distancias (si dos puntos est´an a una determinada distancia, sus hom´ologos deben estar a esa misma distancia).

La transformaci´on de la figura 1, es un movimiento. Pero por ejemplo la siguiente transfor-maci´on no lo es:

Figura 3: Cada punto se ha movido al doble de su distancia del origen de coordenas. El “efecto ´optico” es que las im´agenes se hacen m´as grandes.

Como no alteran distancias,los movimientos mueven todos los puntos del plano sin deformar nada. Para recalcar esto y distinguirlos del resto de transformaciones (que tambi´en “mueven” los puntos) se les llamamovimientos r´ıgidos, ya que mueven los puntos “r´ıgidamente”.

A veces da la sensaci´on de que los movimientos no mueven los puntos, si no queson los ejes los que se mueven (como en la figura 1).

Los movimientos no deforman las figuras, ni variando sus dimensiones como en la figura 3, ni haciendo otros tipos de deformaciones como la del siguiente ejemplo:

Figura 4: En esta trasformaci´on, no s´olo no se preservan distancias, si no que el hom´ologo de la esfera ni si quiera es una figurasemejante, con las mismas proporciones.

De hecho, la definici´on moderna de la Geometr´ıa del plano es: la rama de las Matem´aticas que estudia las propiedades que no var´ıan respecto a los movimientos del plano, longitudes, ´areas, ´

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Hay un teorema muy importante que dice que:

Los ´unicos movimientos son: las traslaciones, los giros, las simetr´ıas respecto a una recta y las simetr´ıas deslizantes.

A estudiar esos movimientos b´asicos dedicaremos las siguientes secciones.

La ´ultima secci´on trata de c´omo se combinan los movimientos (qu´e “sale” cuando haces un giro y despu´es una simetr´ıa, etc.). Los movimientos tienen una “estructura algebraica” fascinante. Tambi´en haremos alg´un comentario sobre frisos y mosaicos, que no son si no la aplicaci´on o “uso” de movimientos en motivos ornamentales.

3.

Traslaciones

Unatraslaci´ones una transformaci´on en la que todos los puntos se mueven las mismas unidades en el eje horizontal y las mismas unidades en el eje vertical. Por ejemplo, la transformaci´on de la figura 1,es una traslaci´on de 3 unidades a la izquierda (todos los puntos se mueven 3 unidades a la izquierda) mientras que la transformaci´on siguiente

Figura 5: Cada punto se mueve 2 unidades a la derecha y una unidad hacia arriba.

4.

Giros

Ungirode ´anguloαy centro un puntoP es el movimiento que. . . bueno no requiere explicaci´on. La ´unica precauci´on que hay que tomar es indicar en qu´e sentido se realiza el giro. Por ejemplo:

Figura 6: En esta transformaci´on se representa un giro de centroPy ´angulo 45oen sentido antihorario

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5.

Simetr´ıa Respecto a una Recta

Una simetr´ıa respecto a una recta es el movimiento que env´ıa cada punto P a otro punto P0 que est´a (1) en la recta perpendicular ary que pasa porP (2) a la misma distancia derqueP.

Figura 7: Aqu´ı podemos ver el hom´ologo de este mu˜neco, tras la simetr´ıa respecto a la recta de puntos.

Todos los puntos en la recta correspondiente quedan en el mismo lugar tras aplicar el movimiento.

6.

Simetr´ıa Deslizante

Unasimetr´ıa deslizantees el movimiento que se obtiene al combinar una simetr´ıa respecto a una recta con una traslaci´on en la direcci´on marcada por la recta.

Figura 8: Aqu´ı podemos ver el hom´ologo de este platillo volante respecto a la simetr´ıa deslizante, cuya recta de reflexi´on es la l´ınea discontinua (paralela al ejeOX y en la que la traslaci´on es de dos unidades a la derecha.

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7.

Comentarios Finales

Las combinaciones de los movimientos anteriores, vuelven a ser movimientos. Esto de “aplicar primero un movimientoT y luego otro movimientoS” se llamacomponerlos movimientosT yS. Estudiar cu´al es el movimiento resultante con cada posible composici´on es tambi´en muy interesante. De hecho hay algo as´ı como una “tabla de multiplicar” de las composiciones de movimientos:

Traslaci´on Giro Simetr´ıa Sim. Desliz. Traslaci´on Traslaci´on Giro Sim./Sim. Desliz. Sim/Sim. Desliz.

Giro Giro Traslac./Giro Sim./Sim. Desliz. Sim/Sim. Desliz. Simetr´ıa Sim./Sim. Desliz. Sim./Sim. Desliz. Traslac./Giro Traslac./Giro Sim. Desliz. Sim./Sim. Desliz. Sim./Sim. Desliz. Traslac./ Giro Traslac./Giro

Siempre que se habla de movimientos es obligado hablar defrisos y mosaicos, motivos decora-tivos muy relacionado con los movimientos. El efecto visual de los mismos ha inspirado profusamente a arquitectos y artistas desde la antig¨uedad.

Simplific´andolo mucho, mucho, elijamos una figura C en el plano que llamaremos regi´on fun-damental.

Figura 9: En la figura 9(a) hemos elegido un tri´angulo equil´atero, en la 9(b) un cuadrado.

Ahora elijamos un conjunto de movimientos. Vamos a representar en el plano a C y a todas sus hom´ologas mediante los movimientos que hemos elegido y sus inversos.

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Hacemos lo mismo con las nuevas figuras que han aparecido, y as´ı sucesivamente.

Figura 11: Vemos como, a fuerza de representar m´as y m´as hom´ologos, vamos recubri´endo m´as y m´as superficie (si sigui´eramos, en el caso de la 11(a) cubrir´ıamos una tira de plano, y en la 11(b) todo el plano.

Si hemos elegido bien la regi´on fundamental, y el conjunto de movimientos, podremos hacer esto de forma que:

(1) Los sucesivos hom´ologos no se solapan entre s´ı.

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Ejercicios

1. Encuentra el hom´ologo de los puntos (1,1) y (0,1) mediante una simetr´ıa respecto (a) al eje OX, (b) al eje OY, (c) a la bisectriz del primer cuadrante.

2. Encuentra un giro G1 respecto del origen y otro giroG2 respecto de otro punto tales que si

primero aplicamos el movimiento G1 y luego aplicamos el movimiento G2 no obtengamos el

mismo resultado que si primero aplicamos el movimientoG2y luego aplicamos el movimiento

G1.

3. Encuentra dos rectas que pasen por el origen tales que, si haces una simetr´ıa respecto a una de ellas y luego una simetr´ıa respecto a la segunda, obtengas un giro alrededor del origen.

4. Encuentra dos rectas tales que, si haces una simetr´ıa respecto a la primera y despu´es una simetr´ıa respecto a la segunda, el resultado obtenido sea una traslaci´on.

5. Dada la simetr´ıa deslizante respecto al ejeOX y en la que cada punto del mismo se traslada 2 unidades a la derecha: (a) Calcula su movimiento inverso y justif´ıcalo mediante un dibujo (b) Dibuja en unos ejes coordenados el tri´angulo rect´anguloABC de v´erticesA= (0,0), B= (2,0), C = (0,1), y despu´es en esos mismos ejes su hom´ologo A0B0C0 respecto de la simetr´ıa deslizante, y luego el hom´ologo de su hom´ologo, A00B00C00, y por ´ultimo el hom´ologo, del hom´ologo del hom´ologo.

Figure

Figura 2: Esta transformaci´ on, deja fijos todos los puntos del semiplano inferior, y mueve una unidad a la izquierda todos los puntos del semiplano superior

Figura 2:

Esta transformaci´ on, deja fijos todos los puntos del semiplano inferior, y mueve una unidad a la izquierda todos los puntos del semiplano superior p.1
Figura 1: Esta transformaci´ on, mueve todos los puntos 3 unidades a la izquierda. El punto hom´ ologo de P = (3, 3) es P 0 = (−1, 3)

Figura 1:

Esta transformaci´ on, mueve todos los puntos 3 unidades a la izquierda. El punto hom´ ologo de P = (3, 3) es P 0 = (−1, 3) p.1
Figura 3: Cada punto se ha movido al doble de su distancia del origen de coordenas. El “efecto ´ optico” es que las im´ agenes se hacen m´ as grandes.

Figura 3:

Cada punto se ha movido al doble de su distancia del origen de coordenas. El “efecto ´ optico” es que las im´ agenes se hacen m´ as grandes. p.2
Figura 4: En esta trasformaci´ on, no s´ olo no se preservan distancias, si no que el hom´ ologo de la esfera ni si quiera es una figura semejante, con las mismas proporciones.

Figura 4:

En esta trasformaci´ on, no s´ olo no se preservan distancias, si no que el hom´ ologo de la esfera ni si quiera es una figura semejante, con las mismas proporciones. p.2
Figura 6: En esta transformaci´ on se representa un giro de centro P y ´ angulo 45 o en sentido antihorario

Figura 6:

En esta transformaci´ on se representa un giro de centro P y ´ angulo 45 o en sentido antihorario p.3
Figura 5: Cada punto se mueve 2 unidades a la derecha y una unidad hacia arriba.

Figura 5:

Cada punto se mueve 2 unidades a la derecha y una unidad hacia arriba. p.3
Figura 7: Aqu´ı podemos ver el hom´ ologo de este mu˜ neco, tras la simetr´ıa respecto a la recta de puntos.

Figura 7:

Aqu´ı podemos ver el hom´ ologo de este mu˜ neco, tras la simetr´ıa respecto a la recta de puntos. p.4
Figura 8: Aqu´ı podemos ver el hom´ ologo de este platillo volante respecto a la simetr´ıa deslizante, cuya recta de reflexi´ on es la l´ınea discontinua (paralela al eje OX y en la que la traslaci´ on es de dos unidades a la derecha.

Figura 8:

Aqu´ı podemos ver el hom´ ologo de este platillo volante respecto a la simetr´ıa deslizante, cuya recta de reflexi´ on es la l´ınea discontinua (paralela al eje OX y en la que la traslaci´ on es de dos unidades a la derecha. p.4
Figura 10: En la figura 10(a) hemos elegido s´ olo una traslaci´ on para mover nuestro tri´ angulo, en la figura 10(b) dos traslaciones para mover nuestro cuadrado

Figura 10:

En la figura 10(a) hemos elegido s´ olo una traslaci´ on para mover nuestro tri´ angulo, en la figura 10(b) dos traslaciones para mover nuestro cuadrado p.5
Figura 9: En la figura 9(a) hemos elegido un tri´ angulo equil´ atero, en la 9(b) un cuadrado

Figura 9:

En la figura 9(a) hemos elegido un tri´ angulo equil´ atero, en la 9(b) un cuadrado p.5
Figura 11: Vemos como, a fuerza de representar m´ as y m´ as hom´ ologos, vamos recubri´ endo m´ as y m´ as superficie (si sigui´ eramos, en el caso de la 11(a) cubrir´ıamos una tira de plano, y en la 11(b) todo el plano.

Figura 11:

Vemos como, a fuerza de representar m´ as y m´ as hom´ ologos, vamos recubri´ endo m´ as y m´ as superficie (si sigui´ eramos, en el caso de la 11(a) cubrir´ıamos una tira de plano, y en la 11(b) todo el plano. p.6

Referencias

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