El problema del agente

Microeconom´ıa Financiera I

John F. Moreno T.

Universidad Externado de Colombia

Maestr´ıa en Finanzas

Equilibrio Walrasiano competitivo

Consideramos una econom´ıa de intercambio puro en la cual: No hay producci´on.

No hay fricciones

Los agentes cuentan con dotaciones iniciales que intercambian a determinadas tasas de intercambio (precios).

Los agentes son precio aceptantes.

En la situaci´on en la cual agentes competitivos eligen cestas de consumo ´optimas, mediante el intercambio de dotaciones iniciales a unos determinados precios, de forma que Demanda = Oferta se denominaequilibrio Walrasiano competitivo.

El problema del agente

En el contexto de esta econom´ıa los agentes buscan:

max

x∈X : U(x)

Notaci´

on

Se considera inicialmente una econom´ıa con dos agentes y dos bienes de consumo.

Agentes: i=1,2. Bienes: j=1,2.

Dotaciones iniciales del agente i: wi= (wi1,wi2). Precios: q= (q₁,q₂)∈_R2

++

Funci´on de utilidad del agentei: Ui(ci1,ci2), conci∈R2+.

Condiciones de optimalidad

Los agentes seleccionan sus asignaciones ´optimas de entre aquellas que pueden financiar dada su restricci´on presupuestal.

q₁ci1+q2ci2≤q1wi1+q2wi2

Considerando el bien 1 como numerario de la econom´ıa (los precios de los bienes restantes se expresan en t´erminos del precio de este bien), luego:

ci1+ q2

q₁ci2≤wi1+ q2 q₁wi2

y asumiendo queq1=1 se tiene que:

ci1+q2ci2≤wi1+q2wi2

de donde:

ci2=

1

q2

(wi1−ci1) +wi2

Recta de restricci´on presupuestal.

x y

wi2+wqi21

wi2q2+wi1 recta presupuestal

El problema del agente

Para cualquier precioq₂ el agenteielige una cestac∗_i = (c∗_i1,c∗_i2)

que solucione:

max

ci

:Ui(ci1,ci2)

sujeto a:

ci1+q2ci2=wi1+q2wi2

ci1≥0 ; ci2≥0

Utilidad y curvas de indiferencia

Bajo el supuesto de utilidad c´oncava las curvas de indiferencia (curvas de nivel) con convexas.

j=1

j=2

crece

c₁ c2

c∗_i1 c∗_i2

Las curvas de indiferencia son de la formaUi(ci1,ci2) =K, conK constante. El diferencia total es:

∂Ui

∂ci1 dci1+

∂Ui

∂ci2

dci2=0

luego,

−

∂Ui ∂ci1

∂Ui ∂ci2

=dci2

dci1

; TMS de los bienes para el agente i.

La pendiente de la recta presupuestal es:

mpre=−

wi2−w_qi1

2

wi2q2−wi1

=

−wi2q2−wi1

q2

wi2q2−wi1

1

=−1

q2

entonces:

∂Ui ∂ci1

∂Ui ∂ci2

= 1

q2

Esta condici´on resuelve el problema en funci´on deq₂. El cambio en el valor deq2 genera una curva de puntos de tangencia llamada

Condici´

on de vaciado de mercado

Cantidad demandada para cada bien = Oferta agregada del bien

c11+c21=w11+w21 ; vaciado del bien 1.

c12+c22=w12+w22 ; vaciado del bien 2.

En esta econom´ıa se cumple laley de Walras que establece que el vaciado de un mercado se produce autom´aticamente una vez los dem´as est´an vac´ıos.

Sumando las restricciones presupuestales:

c11+q2c12=w11+q2w12 ; i=1

c21+q2c22=w21+q2w22 ; i=2

se tiene que:

(c11−c21)−(w11+w21)

| {z }

vaciado bien 1

+

no es cero

z}|{

q2 [(c12+c22)−(w12+w22)

| {z }

vaciado bien 2

Equilibrio Walrasiano competitivo

El conjunto{q∗;(c∗₁₁,c∗₁₂);(c∗₂₁,c∗₂₂)}constituye un equilibrio Walrasiano competitivo si satisface:

1 _{(Optimalidad:) q}∗_yc∗

i es soluci´on, para cadai, del problema:

max

ci Ui(ci)

sujeto a:

ci1+q2ci2=wi1+q2wi2

ci1≥0 ci2≥0

2 _(Vaciado:)

c11+c21=w11+w21

c12+c22=w12+w22

Ejemplo

i=1,2

j=1,2

Ui(ci1,ci2) =pln(ci1) + (1−p)ln(ci2).

w₁= (1,0) yw₂= (0,1). Hallar:

1 Las demandas walrasianas del agentei. 2 Trazar la curva de oferta para _p=1/2.

El problema de cada agente es:

max

ci

:pln(ci1) + (1−p)ln(ci2)

sujeto a:

ci1+q2ci2=wi1+q2wi2 (dos restricciones) ci1≥0 ci2≥0

El Lagrangiano es:

L =pln(ci1) + (1−p)ln(ci2) +λi(ci1+qci2−wi1−qwi2)

L =pln(ci1) + (1−p)ln(ci2) +λi(ci1+qci2−wi1−qwi2) Las condiciones de primer orden son:

∂L

∂ci1

= p

ci1

+λi=0

L ∂ci2

=1−p

ci2

+λiq=0

L ∂ λi

∂L

∂ci1

= p

ci1

+λi=0 ⇒

p ci1

=−λi (1)

L ∂ci2

=1−p

ci2

+λiq=0 ⇒

1−p ci2

=−λiq (2)

L ∂ λi

=ci1+qci2−wi1−qwi2=0 ⇒ ci1+qci2=wi1+qwi2

(3) Dividiendo (1) entre (2) tenemos:

p/ci1

(1−p)/ci2

= 1

q ⇒

p

1−p ci2 ci1

=1

q (4)

La ecuaci´on (3) puede escribirse como:

ci1+qci2=wi1+qwi2 ⇒ ci1= (wi1+qwi2)−qci2 (5) y reemplazando en (4) se tiene que:

p

1−p ci2 ci1

=1

q ⇒

p

1−p

ci2

(wi1+qwi2)−qci2

=1

q

ci2

(wi1+qwi2)−qci2

=1−p

qp ⇒ qpci2= (1−p)[(wi1+qwi2)−qci2]

qpci2= (wi1+qwi2)−qci2−p(wi1+qwi2) +qpci2

⇒ci2=

1−p

De (5) y el resultado anterior, se tiene que:

ci1= (wi1+qwi2)−qci2⇒ci1= (wi1+qwi2)−q

1−p

q (wi1+qwi2)

⇒ci1=p(wi1+qwi2)

Se tiene entonces que:

ci1=p(wi1+qwi2) ; ci2=

1−p

q (wi1+qwi2)

y comow₁= (1,0) yw₂= (0,1), entonces las demandas walrasianas son:

Agente 1:

(

c11 =p(1+q(0)) =p

c12 =1−qp(1+q(0)) = 1−p

q

Agente 2:

(

c21 =p(0+q(1)) =pq

Si p=1/2las demandas walrasianas de los agente son: Agente 1:

(

c11 =p= 1₂

c12 =1−qp = 1 2q

Agente 2:

(

c₂₁ =pq=q₂

c22 =1−p=1₂

El agente 1 demanda una cantidad constante de 1/2 del bien 1, y por su restricci´on presupuestal solo podr´a demandar 1/2 del bien 2 para todo q.

El agente 2 demanda una cantidad constante de 1/2 del bien 2, y por su restricci´on presupuestal solo podr´a demandar 1/2 del bien 1 para todo q.

c1 c₂

Ag 1 1

2 1

2

Ag 2 c1

c2 1

2

1 2

c∗={ 1 2,

1 2

, 1₂,1₂

Para hallar los precios se revisa la condici´on de vaciado de mercado de cualquiera de los dos bienes (ley de Walras).

c11+c21=w11+w21 ⇒

1 2+

q

2 =1+0 ⇒ q

∗

=1

El equilibrio Walrasiano competitivo cuando p=1₂ es:

1, 1 2, 1 2 , 1 2, 1 2

Ejercicio

Econom´ıa general de intercambio puro

Agentes (I): i=1,2,3, ...,I

Bienes (J+1): j=0,1,2,3, ...,I . El bien 0 es numerario. Dotaciones: wi= (wi0,wi1,wi2, ...,w1J).

Dotaciones de la econom´ıa: w= (w1,w2, ...,wI). Consumos: ci= (ci0,ci1,ci2, ...,c1J).

Consumos de la econom´ıa: c= (c1,c2, ...,cI). Precios: q= (1,q₁,q₂, ...,qJ).

Utilidad: Ui(ci0,ci1, ...,ciJ). Se asume crecientes , derivables y c´oncavas.

Es este contexto, lasasignaciones factibles(c) satisfacen:

I

∑

i=1

ci j≤ I

∑

i=1

wi j ; j=0,1,2, ...,J

Equilibrio Walrasiano

El equilibrio Walrasiano competitivo en la econom´ıaI×(J+1) es

q∗,{c∗_i}I

i=1 , si satisface:

1. (Optimalidad) Dado q∗, para cada agentei,c∗_i es soluci´on del sigui´endote problema de optimizaci´on:

max

ci

Ui(ci)

sujeto a:

J

∑

j=0

q∗_jci j= J

∑

j=0

q∗_jwi j

ci j≥0 ∀j

Equilibrio Walrasiano

2. (Vaciado) A los precios q∗se tiene que: I

∑

i=1

c∗_{i j}=

I

∑

i=1

wi j ∀j

Bajo los supuestos hechos sobre la funci´on de utilidad, y dado que wi j>0para todo i,j, el equilibrio Walrasiano existe y es

Eficiencia Paretiana

Definici´on

Una asignaci´onc={ci}Ii=1 esPareto eficientesi es factible yno

existe otra asignaci´on factiblecˆ={cˆi}Ii=1 tal que:

Ui(cˆi)≥Ui(ci) ∀i

conUi(cˆi)>Ui(ci) para alg´un i.

Comentarios sobre la eficiencia Paretiana

1 _{El concepto de eficiencia Paretiana tiene que ver con} satisfacci´on y no con precios.

2 No hay implicaciones de equidad justicia.

3 _{Para el caso de dos agentes (por ejemplo), la asignaci´on} c∗={c∗₁,c∗₂}es Pareto eficiente si:

∂U1(c∗1)

∂c11

∂U1(c∗1)

∂c12

=

∂U2(c∗2)

∂c21

∂U2(c∗2)

Planificador central

Considerando en generalI agentes y J+1 bienes con el bien 0 numerario, entonces una asignaci´onc∗ es Pareto eficiente si y solo si:

∂Ui(c∗i) ∂ci j ∂Ui(c∗_i)

∂ci0

=

∂Uk(c∗_k) ∂ck j ∂Uk(c∗_k)

∂ck0

parai=1,2, ...,I,k=1,2, ...,I y j=0,i,2, ...,J.

Estas asignaciones pueden caracterizarse mediante un problema de

planificador central. (En la econom´ıa hay una planificados que

selecciona las asignaciones de los agentes de forma centralizada).

Problema del planificador

Dadosλi>0con i=1,2, ...,I, entonces:

max

c I

∑

i=1

λiUi(ci)

sujeto a:

I

∑

i=1

ci≤ I

∑

i=1

wi j ∀j

El Lagrangiano es:

L(c,γ) = I

∑

i=1

λiUi(ci)− J

∑

j=0 γj I

∑

i=1

ci− I

∑

i=1

wi j

!

y las condiciones de primer orden:

∂L

∂ci0

=λi

∂Ui(ci)

∂ci0

−γ0=0

∂L

∂ci j

=λi

∂Ui(ci)

∂ci j

−γj=0 ∀j=1,2, ...,J

∂L

∂ck0

=λk

∂Uk(ck)

∂ck0

−γ0=0 ∀k6=i

∂L

∂ck j

=λk

∂Uk(ck)

∂ck j

−γj=0 ∀k6=i;j=1,2, ...,J

De las condiciones de primer orden se tiene que:

∂Ui(ci) ∂ci j ∂Ui(ci)

∂ci0

=

∂Uk(ck) ∂ck j ∂Uk(ck)

∂c_k0

Primer teorema de bienestar

Bajo los supuestos sobre la funci´on de utilidad (creciente y c´oncava) y dotaciones iniciales no negativas, si(q∗,c∗) son un equilibrio Walrasiano entoncesc∗ es Pareto eficiente.

Equilibrio Financiero-Contexto de certeza

Consideramos una econom´ıa con dos fechast=0yt=1y adem´as: Un solo bien de consumo perecedero (solo se puede consumir cuando esta disponible).

wi= (wi0,wi1) denotan las dotaciones del agenteidel ´unico bien de consumo perecedero en t=0 (wi0) y ent=1 (wi1). ci= (ci0,ci1) denotan los consumos del agente idel ´unico bien de consumo perecedero ent=0(ci0) y ent=1 (ci1).

Los activos financieros

Como los agentes desean consumir ent=0 y ent=1, los activos financieros surgen como mecanismos para resolver el problema de la asimetr´ıa intertempral.

(Activos financieros) En el mercado de capitales existe la posibilidad de prestar dinero entre agentes:

Li: cantidad de dinero que el agenteipresta (Li>0) o pide prestado (Li<0).

r: la tasa de inter´es de estos prestamos.

Li (1+r)Li t=0 t=1

q= (q0,q1) denota los precios del ´unico bien ent=0 yt=1.

Equilibrio financiero

En el contexto anterior, el conjunto

(ci,Li)Ii=1,q,r constituye un equilibrio financiero si satisface:

1. (Optimalidad) Dados(q0,q1,r) para cada agentei,(ci,Li) es soluci´on del problema de optimizaci´on:

max

(ci0,ci1,Li)

Ui(ci0,ci1)

sujeto a:

2. (Vaciado) (q0,q1,r) son tales que, la demanda es igual a la oferta en todos los mercados.

I

∑

i=1

ci0= I

∑

i=1

wi0 vaciado de bienes de consumo ent=0. I

∑

i=1

ci1= I

∑

i=1

wi1 vaciado de bienes de consumo ent=1. I

∑

i=1

Li=0vaciado de mercados de capitales.

Nota:

De las condiciones de equilibrio tenemos que:

q0ci0=q0wi0−Li ⇒ ci0=wi0− Li q₀

q1ci1=q1wi1+Li(1+r) ⇒ ci1=wi1+

Li(1+r) q1

Si asumimos que el precio del bien de consumo esta normalizado a 1 en todo periodo (q0=1,q1=1) (No inflaci´on), entonces:

(

ci0 =wi0−Li

Si se despejaLi y se iguala:

(

Li =wi0−ci0

Li =ci1₁₊−w_ri1

⇒ wi0−ci0=

ci1−wi1

1+r

de donde:

ci0+

1

1+rci1=wi0+

1 1+rwi1

Restricci´on presupuestal intertemporal

Lo anterior tambi´en se tiene si en la econom´ıa hay un ´unico bono b´asico (bono cero cup´on con facial de 1). Denotando porb1 al valor de este bono ent=0y por zi1 al n´umero de unidades que se poseen de este bono ent=0, el problema de los agentes es:

max

(ci0,ci1,zi1)

Ui(ci0,ci1)

sujeto a:

ci0=wi0−zi1b1

ci1=wi1+zi1

ci0≥0 ci1≥0

y la restricci´on presupuestal intertemporal es:

De la restricci´on presupuestal intertemporal ese tiene que:

ci0+

1

1+rci1=wi0+

1

1+rwi1 ⇐⇒ ci1= (1+r)(wi0−ci0) +wi1

c₀ c1

dotaciones Ahorro

prestamos

w0 w1

Equilibrios

Equilibrio Walrasiano

(Opt) Para todoi,ci resuelve:

max ci

Ui(ci)

s.a:

ci0+qci1=wi0+qwi1

ci0≥0 ;ci1≥0

(Vac)

I

∑

i=1

ci0=

I

∑

i=1

wi0;

I

∑

i=1

ci1=

I

∑

i=1

wi1

Equilibrio Financiero

(Opt) Para todoi,(ci.Li)resuelve:

max ci,Li

Ui(ci0,ci1)

s.a:

ci0+

1

1+rci1=wi0+ 1 1+rwi1 ci0≥0 ;ci1≥0

(Vac)

I

∑

i=1

ci0=

I

∑

i=1

wi0 ;

I

∑

i=1

ci1=

I

∑

i=1

wi1 ;

I

∑

i=1

Equivalencia

Se tiene queq,{ci}I_i=1 es un equilibrio Walrasiano si y solo si

r,{(ci,Li)}Ii=1 es un equilibrio financiero conq= 1+1r y Li=wi−ci.

1 _{El equilibrio financiero existe.}

2 _{El equilibrio financiero es Pareto eficiente.}

Ejemplo

ConsideremosUi(ci0,ci1) =ln(ci0) +ρln(ci1), para todoi(ρ denota la tasa de preferencia temporal por consumo). Problema de los agentes:

max

ci0,ci1,Li

: ln(ci0) +ρln(ci1)

s.a:

ci0+

1

1+rci1=wi0+

El lagrangiano es:

L =ln(ci0) +ρln(ci1)−λ(ci0+

1

1+rci1−wi0−

1 1+rwi1)

y las condiciones de primer orden:

∂L

∂ci0

= 1

ci0

−λ =0 ⇒ λ= 1

ci0

(A)

∂L

∂ci1

= ρ

ci1

− λ

1+r =0 ⇒ λ =

(1+r)ρ

ci1

(B)

∂L

∂ λ =ci0+

1

1+rci1−wi0−

1

1+rwi1=0

DeA yBtenemos que: _c1 i0 =

(1+r)ρ

ci1 , y comoci0=wi0−Li y

ci1=wi1+Li(1+r), entonces:

1

wi0−Li

= (1+r)ρ

wi1+Li(1+r)

wi1+Li(1+r) = (1+r)ρ(wi0−Li)

Li(1+r) +Li(1+r)ρ= (1+r)ρwi0−wi1

Li(1+r)(1+ρ) = (1+r)ρwi0−wi1

Li= ρwi0

1+ρ −

wi1

(1+r)(1+ρ)

Econom´ıa con bonos cuponados y acciones

Los agentes pueden comprar o vender ent=0 acciones de una empresa por un valorPA.

El pago de la acci´on ent=1es conocido e igual a XA1, que corresponde al valor liquidado de la empresa por acci´on (la econom´ıa acaba ent=1).

Existen bonos con facial N y tasa cup´on deli%, negociables ent=0por PB.

t=0 t=1

Acci´on PA XA1 Bono PB N(1+i)

El problema del agente

max

ci0,ci1,Li,ZiA,ZiB

:Ui(ci0,ci1)

s.a:

ci0=wi0−Li−(ZiAPA+ZiBPB)

ci1=wi1+Li(1+r) + (ZiAXA1+ZiBN(1+i))

El lagrangiano es:

L =Ui(ci0,ci1) +λi1[ci0−wi0+Li+ (ZiAPA+ZiBPB)] + λi2[ci1−wi1−Li(1+r)−(ZiAXA1+ZiBN(1+i))]

y las condiciones de primer orden:

∂L ∂ci0

=∂Ui(ci) ∂ci0

+λi1=0 ⇒λi1=−∂

Ui(ci) ∂ci0

∂L ∂ci1

=∂Ui(ci) ∂ci1

+λi2=0 ⇒λi2=−

∂Ui(ci) ∂ci1

∂L ∂Li

=λi1+λi2(1+r) =0 ⇒ −

∂Ui(ci) ∂ci0

+ (1+r)∂Ui(ci) ∂ci1

=0

∂L ∂ZiA

=λi1PA−λi2XA1=0 ⇒ −PA ∂Ui(ci)

∂ci0

+XA1

∂Ui(ci) ∂ci1

=0

∂L ∂ZiB

=λi1PB−λi2N(1+i) =0 ⇒ −PB∂ Ui(ci) ∂ci0

+N(1+i)∂Ui(ci) ∂ci1

=0

De lo anterior:

∂Ui(ci)

∂ci0

/∂Ui(ci)

∂ci1

=1+r=XA1

PA

=N(1+i)

PB

luego:

PA= XA1

1+r ; PB=

N(1+i)

1+r

es decir:

Precio=Valor presente de los pagos futuros descontados a la tasar

Notas

Las rentabilidades brutas de los activos son: XA1

PA

=1+r ; N(1+i)

PB

=1+r

luego estos activos son redundantesy representan lo mismo:

la posibilidad de prestar y tomar prestado a la tasar.

Definici´on (Mercado completo)

En una econom´ıa con final ent=1, el mercado se dice completo si existe un bono b´asico (cero cup´on facial 1), o si este es replicable con los activos existentes.

Valoracion de activos financieros

Consideremos ahora una econom´ıa con: Uno bono b´asico de valorb1 ent=0.

Un activo gen´ericoY con precioPY ent=0 y pagoXY1 en t=1.

El problema del agente es:

max

ci0,ci1,Zi1,ZiY

:Ui(ci0,ci1)

s.a:

ci0=wi0−Zi1b1−ZiYPY

ci1=wi1+Zi1+ZiYXY1

El lagrangiano es:

L =Ui(ci0,ci1) +λi1[ci0−wi0+Zi1b1+ZiYPY] + λi2[ci1−wi1−Zi1−ZiYXY1]

y las condiciones de primer orden:

∂L ∂ci0

= ∂Ui ∂ci0

+λi1=0 ⇒λi1=−

∂Ui ∂ci0

∂L ∂ci1

= ∂Ui ∂ci1

+λi2=0 ⇒λi2=−∂

Ui ∂ci1

∂L ∂Zi1

=λi1b1−λi2=0 ⇒ −b1

∂Ui ∂ci0

+∂Ui ∂ci1

=0

∂L ∂ZiY

=λi1PY−λi2XY1=0 ⇒PY ∂Ui ∂ci0

−XY1

∂Ui ∂ci1

=0

De lo anterior:

b₁= ∂Ui

∂ci1

/∂Ui(ci)

∂ci0

; PY

XY1

= ∂Ui

∂ci1

/∂Ui(ci)

∂ci0

luego:

PY =b1XY1= XY1

1+r

Notas:

1 El mercado completo implica la existencia de estructura financiera que permite la valoraci´on.

2 Si el mercado es completo: El equilibrio existe.

Las asignaciones de consumo son Pareto eficientes. Cualquier nuevo activo es redundante.

Los precios se determinan por a CPO del problema del agente. El equilibrio no cambia si se sacan del an´alisis los activo redundantes.

Extensi´

on a m´

ultiples periodos

Consideramos ahora: t=0,t=1 yt=2.

wi2: dotaciones de los agentes en t=2. Bonos:

b_{1 r} 1

1

b2 _r 1

2

b_{12 r} 1

12

El problema del agente es:

max

ci0,ci1,ci2,Zi1,Zi2,Zi12

:Ui(ci0,ci1,ci2)

s.a:

ci0=wi0−(Zi1b1+Zi2b2)

ci1=wi1+Zi1−Zi12b12

ci2=wi2+Zi2+Zi12

ci0≥0 ; ci1≥0 ; ci2≥0

Las condiciones de primer orden llevan a:

−b1 ∂Ui

∂ci0

+ ∂Ui

∂ci1

=0

−b2 ∂Ui

∂ci0

+ ∂Ui

∂ci2

=0

−b12 ∂Ui

∂ci1

+ ∂Ui

∂ci2

=0

de donde:

b₂=b₁b₁₂ es decir, ₍₁₊1_r

2)2 =

1 1+r1

1

1+r12, lo que muestra que el

Las restricciones del problema del agente son entonces:

ci0=wi0−Zi1b1−Zi2b2

ci1=wi1+Zi1

ci2=wi2+Zi2

que en valor presente:

ci0=wi0−Zi1b1−Zi2b2

b1ci1=wi1b1+Zi1b1

b2ci2=wi2b2+Zi2b2

luego:

ci0+b1ci1+b2ci2=wi0+wi1b1+wi2b2

Valoraci´

on

Si hayt=1,2, ...,T periodos, en un ambiente de certeza en el cual existeN bonos complejos (cuponados), que ofrecen un pagoXt j en cadat, y que ent=0tiene un valor Pj, entonces:

1 _{El precio del bono es ´unico y esta determinado la TMS de los} agentes.