Movimento Plano de um
Corpo Rígido I
Referências:
Dinâmica – Mecânica para Engenharia – Capítulo 16 Autor: R. C. Hibbeler.
Movimento Circular Uniforme
r
q
Numa circunferência, a relação entre o raio r
da circunferência, o arco de circunferência s e o ângulo q (em radianos) compreendido por esse arco é:
s
.
q
r
s
=
O comprimento total da circunferência (seu perímetro) é:
T
r
2
V
=
Velocidade escalar
do ponto P (m/s) velocidade angular (rad/s)
.
r
2
L
=
Se um ponto P percorre a circunferência num tempo T com velocidade escalar constante V, essa velocidade será dada por:
P
r
V
=
ondeT
2
=
O tempo de uma volta, T, é chamado de período do movimento circular.
V
.
q
r
s
=
Velocidade escalar do ponto P:
( )
dt
d
r
dt
dr
r
dt
d
dt
ds
V
=
=
q
=
q
+
q
0
a derivada dr/dt é zero pois, numa circunferência, r é constante.
dt
d
r
V
=
q
V
=
r
.
é a velocidade angular (rad/s) Deslocamento do ponto P:
dt
ds
V
=
Obs: Na expressão acima, q deve ser dado em radianos.
dt
d
q
=
onde
Podemos chegar na mesma relação entre a velocidade escalar constante V do ponto P
ao redor da circunferência usando o cálculo diferencial:
Velocidade Angular, Período e Frequência do Movimento.
A velocidade angular é a taxa de variação da posição angular (ângulo q) com o
tempo. Num movimento circular uniforme, é constante, ou seja, o ponto P em rotação varre ângulos iguais em tempos iguais.
dt
d
q
=
O período T de um movimento circular uniforme é o tempo que um ponto P leva para completar uma volta. Em geral, o período é dado em segundos.
velocidade angular (rad/s)
A frequência f de um movimento circular uniforme é o número de voltas que o ponto
P realiza por segundo. A relação entre o período e a frequência é dada por:
T
f
=
1
frequência (s-1 ou Hz)No movimento circular uniforme, a relação entre o período T, a frequência f e a velocidade angular é dada por:
.
f
2
T
Movimento Circular Uniforme e Aceleração Centrípeta.
a
n
q
P
No movimento circular uniforme, a velocidade escalar V do ponto P, que gira a uma distância r do centro O, é constante, ou seja, o ponto P varre distâncias iguais em tempos iguais.
O
Porém, o vetor velocidade 𝑽 muda de direção a cada ponto da trajetória. Essa mudança de direção, sem mudança no módulo de 𝑽, implica que uma força resultante
perpendicular (normal) à trajetória está agindo sobre P.
r
a
n
Essa força resultante, normal à trajetória, é chamada de força
centrípeta, e produz uma aceleração normal à trajetória, apontando para o centro da circunferência, chamada de aceleração
centrípeta.
2 2
n
r
r
V
a
=
=
Módulo da aceleração normal (centrípeta) (m/s2)
O módulo da aceleração normal, ou centrípeta, é dado por:
Movimento Circular Acelerado
r
q
s
P
V
A aceleração angular mede a taxa de variação da velocidade angular com o tempo:
Num movimento circular acelerado, a velocidade angular com que o ponto P gira muda a cada instante.
dt
d
=
aceleração angular (rad/s2)( )
.
r
a
dt
d
r
a
dt
d
r
dt
dr
dt
r
d
dt
dV
a
t=
=
=
+
→
t=
→
t=
A relação entre a aceleração angular e a aceleração do ponto P, que chamaremos de aceleração tangencial at (pois ela é sempre tangente à circunferência), é dada por:
r
a
t=
aceleração tangencial do ponto P (m/s2)t
→
=
→
=
→
=
0 t 0dt
d
dt
d
dt
d
Um caso particular do movimento circular acelerado ocorre quando a aceleração
angular é constante. Para esse caso, temos um movimento uniformemente acelerado:
=
+
→
+
=
→
+
=
=
t 0 t 0 0 00
t
d
dt
t
dt
d
dt
t
dt
dt
d
0
q
q
q
q qt
0
=
+
2 0 0t
2
t
q
q
=
+
+
1
Movimento Circular Uniformemente Acelerado
(1)
(2)
Isolando t em (1) e substituindo em (2), temos também:
2=
02+
2
(
q
−
q
0)
2Exemplo:
Na figura ao lado, a polia A está conectada a um motor e inicia seu movimento a partir do repouso, com uma aceleração angular constante A = 2 rad/s2. Determine o módulo da velocidade e da aceleração do ponto P da roda B, após esta ter completado uma revolução.
Suponha que a correia de transmissão não escorregue na polia nem na roda.
Resolução:
Convertendo 1 revolução para radianos:
rad 2π rev
1
rad 2
rev
1 =
=
q
BCalculando o deslocamento angular qA da polia A quando a roda B realiza uma revolução, qB.
Como a correia não escorrega, um comprimento S de correia deve se desenrolar tanto da polia
A quando da roda B. Na circunferência, a relação entre comprimento e ângulo é dada por:
q
r
s
=
s
=
r
Aq
A=
r
Bq
B(
0,15m)
qA =(
0,4m)( )
2 qA =16,76radExemplo – Continuação:
Como a aceleração angular da polia A é constante, a velocidade angular 𝜔 dessa polia pode ser calculada usando-se as equações para o movimento uniformemente variado:
(
0)
A 2
0 2
A
2
q
q
=
+
−
q0 = 0;
q = 16,76 rad;
0 = 0;
A = 2 rad/s2. Polia A
(
2rad/s)
(
16,76 rad)
2 2
=
2 A
A=
8,188
rad/s
A correia tem a mesma velocidade V e aceleração tangencial at quando passa pela polia A e pela roda B.
r
V
=
V
=
Ar
A=
Br
BB A A B
r
r
=
B=
3,070
rad/s
r
a
t=
a
t=
Ar
A=
Br
BB A A B
r
r
=
2rad/s
0,75
=
B
Para o ponto P temos então:
m/s
1,23
=
=
B BP
r
V
Velocidade escalar: 2
m/s
0,3
=
=
B Bt
r
a
Aceleração tangencial: 2 m/s 3,77 = = 2 BB n r
a
Aceleração normal:
Exemplo:
Uma corda está enrolada em torno de um disco de raio 0,2 m, que está inicialmente em repouso, quando q = 0. Se uma força é aplicada à corda e fornece a ela uma aceleração 𝑎 = 4𝑡 m/s2 , onde 𝑡 é dado em segundos, determine, como função do tempo:
a) A velocidade angular da roda;
b) A posição angular q da linha 𝑂𝑃 em radianos.
O
P
q
Solução:
𝑎𝑝 𝑡 = 𝛼𝑟
A componente tangencial da aceleração do ponto P na borda do disco é dada por:
4𝑡 = 𝛼0,2 → 𝛼 = 20𝑡 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 no sentido horário.
𝛼 = 𝑑𝜔
𝑑𝑡 → න0
𝜔
𝑑𝜔 = න
0 𝑡
20𝑡 𝑑𝑡 → no sentido horário.
𝜔 = 𝑑𝜃
𝑑𝑡 → න0
𝜃
𝑑𝜃 = න
0 𝑡
10𝑡2 𝑑𝑡 → 𝜃 = 10 3 𝑡
3 𝑟𝑎𝑑
𝜔 = 10𝑡2 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Rotação de um Corpo Rígido em Torno de Um Eixo
À medida que um corpo rígido gira, um ponto P desse corpo desloca-se ao longo de uma trajetória circular, de raio r e centro no ponto O sobre o eixo de rotação
O deslocamento angular dq, a velocidade angular e a aceleração angular serão descritos por vetores, cuja direção e sentido serão dadas pela regra da mão direita.
Direção de dq, e : Ao longo do eixo de rotação.
Sentido de dq, , e : Positivo se a rotação for anti-horária; Negativo se a rotação for horária.
Observação Importante 1: O deslocamento angular dq, a velocidade angular e a aceleração angular são os mesmos para todos os pontos do corpo rígido.
Rotação de um Corpo Rígido em Torno de Um Eixo
q
=
s
r
sen
(
)
Considere um corpo rígido girando ao redor do eixo AA´ que coincide com o eixo z. Um ponto P do corpo gira ao redor do eixo AA´, mantendo sempre uma distância
constante desse eixo, dada por r sen(). O comprimento s do arco descrito por P, quando o corpo realiza uma rotação q, é dado por:
Dividindo ambos os membros por t obtemos, no limite em que t tende a zero (t → 0):
dt
d
sen
r
dt
ds
V
=
=
(
)
q
)
(
sen
r
V
=
A expressão acima representa o módulo do produto vetorial entre o vetor velocidade angular 𝝎 e o vetor posição 𝒓:
q
ω
𝑽 =
𝑑𝒓
O vetor velocidade angular 𝝎 do corpo é um vetor paralelo ao eixo de rotação (no caso, o eixo z) e seu módulo é igual à derivada de q em relação ao tempo t:
onde O vetor aceleração linear 𝒂 do ponto P é dado por:
O vetor d 𝝎 / dt é a aceleração angular do corpo, e é representado por 𝜶:
Assim, o vetor aceleração linear 𝒂 do ponto P pode ser escrito como:
𝝎 = 𝜔
𝒌 = ሶ𝜃
𝒌
𝜃 =
ሶ
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝒂 = 𝑑𝑽 𝑑𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡 𝝎 × 𝒓 𝒂 =
𝑑𝝎
𝑑𝑡 × 𝒓 + 𝝎 × 𝑑𝒓
𝑑𝑡
𝒂 = 𝑑𝝎
𝑑𝑡 × 𝒓 + 𝝎 × 𝑽
𝜶 = 𝛼𝒌 = 𝑑𝜔
𝑑𝑡 𝒌 = 𝑑𝝎
𝑑𝑡
Temos então a seguinte expressão para a aceleração linear: Uma vez que
Usando a seguinte identidade matemática para o produto vetorial triplo:
a expressão para a aceleração linear pode ser reescrita como:
temos
Se o corpo rígido for uma chapa plana, girando em torno de um eixo O que passa pelo seu centro e é perpendicular à chapa, temos que os vetores 𝝎 e 𝒓 são perpendiculares, e a equação (3) fica:
(3)
𝑽 = 𝝎 × 𝒓
𝒂 = 𝜶 × 𝒓 + 𝝎 × 𝑽 → 𝒂 = 𝜶 × 𝒓 + 𝝎 × 𝝎 × 𝒓
𝒂 = 𝜶 × 𝒓 + 𝝎 × 𝝎 × 𝒓
Componente tangencial de 𝒂
Componente normal de 𝒂
𝝎 × 𝝎 × 𝒓 = 𝝎 ∙ 𝒓 𝝎 − 𝝎 ∙ 𝝎 𝒓 𝒂 = 𝜶 × 𝒓 + 𝝎 ∙ 𝒓 𝝎 − 𝝎 ∙ 𝝎 𝒓
𝒂 = 𝜶 × 𝒓 − 𝜔
𝟐𝒓
Componente tangencial de 𝒂
Para os vetores unitários cartesianos
Ƹ𝒊, Ƹ𝒋, e 𝒌 temos:
Ƹ𝒊
Ƹ𝒋
𝒌
Ƹ𝒊 × Ƹ𝒊 = 𝟎 Ƹ𝒋 × Ƹ𝒋 = 𝟎
𝒌 × 𝒌 = 𝟎 Ƹ𝒊 × Ƹ𝒋 = 𝒌
Ƹ𝒋 × 𝒌 = Ƹ𝒊
𝒌 × Ƹ𝒊 = Ƹ𝒋
Revisão - Produto vetorial:
Módulo: representa a área do paralelogramo definido por A e B.
O produto vetorial de dois vetores A e B é um vetor C
perpendicular ao plano definido por A e B .
q
B
A
C
=
A
B
q
sen
AB
=
B
A
Regra da mão direita:
Ƹ𝒋 × Ƹ𝒊 = −𝒌
Rotação de uma Placa Representativa
Para uma placa representativa de um corpo rígido, localizada no plano xy, e que gira em torno do eixo z, temos:
Se 𝜔 > 0 → rotação anti-horária. Se 𝜔 < 0 → rotação horária.
Vetor velocidade angular:
Vetor velocidade do ponto P:
Como e r são perpendiculares, o módulo da velocidade do ponto P será:
r
ω
V
=
Vetor aceleração do ponto P:
Componente tangencial:
Componente normal (centrípeta):
.
r
a
t=
.
2
r
a
n=
𝝎 = 𝜔𝒌
𝑽 = 𝝎 × 𝒓
𝒂 = 𝜶 × 𝒓 − 𝜔
𝟐𝒓
𝒂 = 𝜶 × 𝒓
Equações que Definem a Rotação de um Corpo Rígido em Torno de
um Eixo Fixo:
dt
d
q
=
Velocidade angular: 2 2dt
d
dt
d
q
=
=
Aceleração angular:
Usando a regra da cadeia na derivação de com relação ao tempo, temos:
q
q
q
d
d
dt
d
d
d
dt
d
=
=
=
q
d
d
=
Casos particulares de rotação:
1 - Movimento de rotação uniforme ( = 0):
2 - Movimento de rotação uniformemente acelerado ( = constante):
t
q
q
=
0+
2 0 0
2
1
t
t
q
Classificação dos Movimentos de Corpo Rígido:
Translação:
Rotação:
Todas as partículas do corpo movem-se ao longo de trajetórias paralelas
Todas as partículas do corpo movem-se em planos paralelos, ao longo de círculos centrados em um mesmo eixo fixo, denominado de eixo de rotação.
Movimento Plano Geral
Movimento Plano Geral de um Corpo Rígido:
O movimento plano geral de um corpo rígido pode ser descrito como uma combinação de translação e rotação. Vamos aqui examinar o movimento de dois pontos, A e B, de uma barra. Vamos analisar os movimentos “componentes” dessa barra separadamente, usando uma análise do movimento relativo, que envolve o uso de dois conjuntos de eixos coordenados.
O sistema de coordenadas x, y é fixo e mede a posição absoluta dos pontos A e B sobre o corpo rígido (que representaremos aqui como uma barra). A origem do sistema em translação
x’, y’ está conectada ao ponto base escolhido, que geralmente tem um movimento conhecido
(aqui esse ponto será o ponto A). Os eixos desse sistema de coordenadas transladam em relação ao sistema fixo, mas não giram com a barra.
O x
y
A y’
x’
B
𝒓𝑨
𝒓𝑩
𝒓𝑩/𝑨
Referencial fixo
Referencial em translação
𝒓
𝑩= 𝒓
𝑨+ 𝒓
𝑩/𝑨A y’
x’
𝒓𝑩/𝑨
A y’
x’
𝒓𝑩/𝑨
B
B
𝒅𝒓𝑨 𝒅𝒓
𝑩/𝑨
𝒅𝒓𝑨
𝒅𝒓𝑩
Deslocamento:
Durante um intervalo de tempo 𝑑𝑡, os pontos A e B sofrem deslocamentos 𝑑𝒓𝑨 e 𝑑𝒓𝑩. Podemos considerar o movimento plano geral como: uma translação 𝑑𝒓𝑨 da barra como um todo, seguida por uma rotação da barra em torno do ponto A, de tal modo que o
ponto B sofre um deslocamento relativo 𝑑 Ԧ𝑟𝐵/𝐴. Dessa maneira, o deslocamento de B
devido à translação e rotação será:
𝒅𝒓𝑩 = 𝒅𝒓𝑨 + 𝒅𝒓𝑩/𝑨
devido à translação e rotação
devido à translação de A
devido à rotação em torno de A
Instante: 𝑡
Velocidade:
A relação entre as velocidades dos pontos A e B é dada por: 𝒅𝒓𝑩 𝒅𝒕 =
𝒅𝒓𝑨 𝒅𝒕 +
𝒅𝒓𝑩/𝑨 𝒅𝒕 𝑽𝑩 = 𝑽𝑨 + 𝑽𝑩/𝑨
As velocidades 𝑽𝑨 e 𝑽𝑩 são medidas em relação aos eixos fixos x, y e representam as velocidades absolutas dos pontos A e B, respectivamente. Como o deslocamento relativo é devido à uma rotação, a intensidade de 𝑽𝑩/𝑨 será: 𝑣𝐵/𝐴 = 𝜔𝑟𝐵/𝐴, onde 𝜔 é a velocidade angular do corpo no instante considerado.
Assim, a velocidade de B é determinada considerando-se que a barra inteira realiza translação com velocidade 𝑽𝑨 e rotaciona em torno de A com velocidade angular 𝜔. A adição desses dois efeitos, aplicada a B, resulta em 𝑽𝑩.
=
+
Movimento plano geral
Translação Rotação em torno de A
𝑽𝑨
𝑽𝑩/𝑨
𝑽𝑩
Note que o vetor
Velocidade:
Como a velocidade relativa 𝑽𝑩/𝑨 representa o efeito do movimento circular em torno de A, esse termo pode ser escrito como 𝑽𝑩/𝑨 = 𝝎 × 𝒓𝑩/𝑨. Dessa forma, a velocidade de B será:
𝑽𝑩 = 𝑽𝑨 + 𝝎 × 𝒓𝑩/𝑨
Rolamento Sem Deslizamento:
Vamos ilustra o importante caso de rolamento sem deslizamento considerando o movimento plano de uma roda, disco, cilindro ou esfera (qualquer objeto com perfil circular). Nosso disco ou roda é simétrico, e assim seu centro de gravidade (CM) está localizado no seu centro geométrico (centroide).
Vamos considerar um referencial fixo ao chão, 𝑥𝑦, e um referencial localizado no centro de gravidade da roda ou disco, que se move com ele, 𝑥′𝑦′.
O ponto sobre a roda que está em contato com o chão não escorrega ou desliza.
Para esse sistema, temos a seguinte soma vetorial:
Velocidade em um ponto B qualquer da
roda
=
Velocidade do centrode gravidade (CM)
+
Velocidade do ponto B
em relação ao centro de gravidade (CM)
=
+
Translação do centro de gravidade da roda de raio R.
Velocidade: 𝑽𝑪𝑴
𝑽𝑪𝑴 𝑽𝑪𝑴 𝑽𝑪𝑴 𝑽𝑪𝑴 CM 𝑽𝑪𝑴 CM
Rotação da roda de raio R em torno do centro de gravidade.
Velocidade em qualquer ponto i na borda: 𝒗𝒊 = 𝑹𝝎
CM 𝑽𝑪𝑴
𝝎
𝒗𝟏′ 𝒗𝟐′ 𝒗𝟑′ 𝒗𝟒′ 𝑽𝑪𝑴 𝒗𝟑′ 𝒗𝟐′ 𝑽𝑪𝑴 𝒗 𝟒 ′ 𝑽𝑪𝑴 𝒗𝟏′ 𝑽 𝑪𝑴 1 2 3 4 𝒗𝟐 𝒗𝟒 𝒗𝟑 𝒗𝟏 = 𝟎Movimento combinado de translação e rotação:
rolamento sem deslizamento.
=
+
𝑽𝑪𝑴
𝑽𝑪𝑴
CM
𝑽𝑪𝑴
CM
CM
𝑽𝑪𝑴
𝝎
𝒗𝟏′
𝒗𝟑′ 𝑽𝑪𝑴 𝒗𝟑
′
𝒗𝟏′ 𝑽𝑪𝑴
1 2
3
4
𝒗𝟑
𝒗𝟏 = 𝟎
Para o ponto 1:
𝒓𝟏/𝑪𝑴
1
𝑽𝟏 = 𝑽𝑪𝑴 + 𝝎 × 𝒓𝟏/𝑪𝑴 = 𝑉𝐶𝑀 Ƹ𝒊 + −𝜔𝒌 × −𝑅 Ƹ𝒋
𝝎
𝑽𝟏 = 𝑉𝐶𝑀 Ƹ𝒊 + 𝜔𝑅𝒌 × Ƹ𝒋 = 𝑉𝐶𝑀 Ƹ𝒊 − 𝜔𝑅 Ƹ𝒊
𝑽𝟏 = 0 →
Temos então: 𝑉𝐶𝑀 = 𝑅𝜔
Sinal negativo devido à rotação ser horária
Mas, no ponto (1), a velocidade se anula: 𝑉𝐶𝑀 Ƹ𝒊 − 𝜔𝑅 Ƹ𝒊 = 0
No rolamento sem deslizamento, o módulo da velocidade do CM é igual à 𝑅𝜔.
Para o ponto 3:
3
𝑽𝟑 = 𝑽𝑪𝑴 + 𝝎 × 𝒓𝟑/𝑪𝑴 = 𝑅𝜔 Ƹ𝒊 + 𝑅𝜔 Ƹ𝒊 = 2𝑅𝜔 Ƹ𝒊 = 2𝑉𝐶𝑀 Ƹ𝒊
A engrenagem dupla rola na
cremalheira estacionária mais baixa: a velocidade do seu centro é de 1,2 m/s. Determine (a) a velocidade angular da engrenagem, e (b) as velocidades da da cremalheira superior R e do ponto
D da engrenagem.
Velocidade angular da engrenagem: Uma vez que a engrenagem rola sobre a
cremalheira inferior, seu centro A desloca-se de uma distância igual ao perímetro da circunferencia externa, ou seja: 𝑠𝐴 = 𝜃 𝑟1. Dessa forma, a velocidade de A será:
Exemplo:
𝑣𝐴 = 𝑟1𝜔 → 1,2 = 0,15 . 𝜔 → 𝜔 = 8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 no sentido horário
𝜔 = − 8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝒌
SOLUÇÃO:
Exemplo (continuação):
Velocidade: o movimento de rolamento é decomposto em dois movimentos: uma translação junto com o centro A e uma rotação em torno do centro A. Na translação todos os pontos se deslocam com a mesma velocidade 𝑽𝑨. Na rotação, cada
ponto P da engrenagem desloca-se em torno de A com uma velocidade relativa 𝑽𝑷/𝑨 dada por:
𝑽𝑷 = 𝑽𝑨 + 𝜔𝒌 × 𝒓𝑷/𝑨
onde 𝒓𝑷/𝑨 é o vetor de posição relativa de P em relação a A. Assim, para qualquer ponto P na engrenagem:
𝑽𝑷/𝑨 = 𝜔𝒌 × 𝒓𝑷/𝑨
Exemplo (continuação):
Velocidade da cremalheira superior: a velocidade da cremalheira superior é igual à velocidade do ponto B:
𝑽𝑩 = 𝑽𝑨 + 𝜔𝒌 × 𝒓𝑩/𝑨
𝑽𝑩 = 1,2 𝑚/𝑠 Ƹ𝒊 + −8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝒌 × 0,100 𝑚 Ƹ𝒋
𝑽𝑩 = 1,2 𝑚/𝑠 Ƹ𝒊 + 0,8 𝑚/𝑠 Ƹ𝒊
𝑽𝑩 = 2,0 𝑚/𝑠 Ƹ𝒊 ou 𝑉𝐵 = 2,0 𝑚/𝑠 →
Velocidade do ponto D:
𝑽𝑫 = 𝑽𝑨 + 𝜔𝒌 × 𝒓𝑫/𝑨
𝑽𝑫 = 1,2 𝑚/𝑠 Ƹ𝒊 + −8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝒌 × −0,150 𝑚 Ƹ𝒊
𝑽𝑫 = 1,2 𝑚/𝑠 Ƹ𝒊 + 1,2 𝑚/𝑠 Ƹ𝒋
𝑉𝐷 = 1,679 m/s formando um ângulo de 45º com a direção +Ox.
𝒌 × Ƹ𝒋 = − Ƹ𝒊
onde
𝒌 × Ƹ𝒊 = Ƹ𝒋
Exemplo:
O cilindro na figura ao lado rola sem deslizar sobre a superfície de uma esteira transportadora que está se deslocando a 2 m/s para a direita. Determine a velocidade do ponto A. O cilindro tem uma velocidade angular, no sentido horário, de 15 rad/s no instante mostrado.
Solução:
Como não há deslizamento, o ponto B do cilindro tem a mesma velocidade que a
esteira transportadora. A velocidade angular do cilindro é conhecida, e assim podemos tomar B como ponto base, e aplicar a equação das velocidades:
𝑽𝑨 = 𝑽𝑩 + 𝜔𝒌 × 𝒓𝑨/𝑩 → 𝑽𝑨 = 2 𝑚/𝑠 Ƹ𝒊 + 𝜔𝒌 × 𝒓𝑨/𝑩
𝒓𝑨/𝑩 = 𝒓𝑨 − 𝒓𝑩 = −0,5 𝑚 Ƹ𝒊 − −0,5 𝑚 Ƹ𝒋 → 𝒓𝑨/𝑩 = −0,5 𝑚 Ƹ𝒊 + 0,5 𝑚 Ƹ𝒋
𝑽𝑨 = 2 𝑚/𝑠 Ƹ𝒊 + 𝜔𝒌 × 𝒓𝑨/𝑩 → 𝑽𝑨 = 2 𝑚/𝑠 Ƹ𝒊 + −15 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝒌 × −0,5 𝑚 Ƹ𝒊 + 0,5 𝑚 Ƹ𝒋
Exemplo:
𝒍
𝜽
𝑨
𝑩
𝑽
𝑨
𝑽
𝑩
Na figura ao lado, a barra de ligação, de comprimento 𝑙 = 0,2 m, é guiada por dois blocos em A e B, que se deslocam nas ranhuras fixas. Se a velocidade de A é 2,0 m/s para baixo, determine a velocidade de B no instante em que q = 45º.
Solução: 𝑽𝑩 = 𝑽𝑨 + 𝜔𝒌 × 𝒓𝑩/𝑨
𝑽𝑩 = 𝑣𝐵 Ƹ𝒊
𝑽𝑨 = 𝑣𝐴 Ƹ𝒋 = − 2,0 𝑚/𝑠 Ƹ𝒋
𝒓𝑩/𝑨 = 0,2𝑚 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 Ƹ𝒊 − 0,2𝑚 𝑐𝑜𝑠 45𝑜 Ƹ𝒋
𝑣𝐵 Ƹ𝒊 = − 2,0 𝑚/𝑠 Ƹ𝒋 + 𝜔𝒌 × 0,2𝑚 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 Ƹ𝒊 − 0,2𝑚 𝑐𝑜𝑠 45𝑜 Ƹ𝒋
𝑣𝐵 Ƹ𝒊 = −2,0 Ƹ𝒋 + 0,141𝜔 Ƹ𝒋 + 0,141𝜔 Ƹ𝒊 ቊ 𝑣𝐵 = 0,141𝜔
0 = −2,0 + 0,141𝜔
𝜔 = 2,0
0,141 = 14,2 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑣𝐵 = 2 𝑚/𝑠 →
Centro Instantâneo de Velocidade Nula.
A velocidade de qualquer ponto B localizado sobre um corpo rígido pode ser obtida de uma maneira direta escolhendo o ponto base A para ser um ponto que tem velocidade nula no instante considerado.
Para um corpo tendo um movimento plano geral, o ponto A assim escolhido é chamado de
centro instantâneo de velocidade nula (CI), e ele se encontra no eixo instantâneo de velocidade nula. Para esse ponto, temos que sua velocidade instantânea é zero: 𝑉𝐶𝐼 = 0, e a velocidade
de qualquer outro ponto B sobre o corpo é dada por:
onde 𝜔 é a velocidade angular do corpo e
Ԧ𝑟𝐵/𝐶𝐼 é o vetor posição relativa de B em relação ao CI.
𝑉𝐵 = 𝜔 𝑘 × Ԧ𝑟𝐵/𝐶𝐼
Como 𝜔 e 𝑟𝐵/𝐶𝐼 são sempre perpendiculares, podemos escrever o módulo da velocidade do ponto B como:
𝑣𝐵 = 𝜔 𝑟𝐵/𝐶𝐼
Localização do CI
i – Se a velocidade em dois pontos A e B é conhecida, o centro instantâneo de rotação fica na intersecção das perpendiculares aos vetores de velocidade através de A e B.
ii – Se os vetores de velocidade em A e B
são perpendiculares à linha AB, o centro instantâneo de rotação se encontra na
interseção da reta AB com a linha que une as extremidades dos vetores velocidade em
Exemplo:
𝒍
𝜽
𝑨
𝑩
𝑽
𝑨
𝑽
𝑩
Na figura ao lado, a barra de ligação, de comprimento 𝑙 = 0,2 m, é guiada por dois blocos em A e B, que se deslocam nas ranhuras fixas. Se a velocidade de A é 2,0 m/s para baixo, determine a velocidade de B no instante em que q = 45º.
Solução:
𝑣𝐴 = 𝜔 𝑟𝐴/𝐶𝐼
𝜽
𝑨
𝑩
𝑽
𝑨
𝑽
𝑩
Determinando o CI
CI
𝜔 = 𝑣𝐴 𝑟𝐴/𝐶𝐼 =
2 𝑚/𝑠
0,2 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 𝑚 = 14,1 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑣𝐵 = 𝜔 𝑟𝐵/𝐶𝐼 = 14,1 0,2cos(45𝑜) = 2,0 𝑚/𝑠
Exemplo:
A manivela AB tem uma velocidade angular constante no sentido horário de 2000 rpm.
Para a posição da manivela indicada, determine a velocidade do pistão P.
Solução: C = − = = + = 05 . 76 90 95 . 53 40 D B Continua 20
𝑠𝑒𝑛 40𝑜 =
7,5
𝑠𝑒𝑛 𝛽 → 𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
7,5𝑠𝑒𝑛 40𝑜 20
𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 7,5𝑠𝑒𝑛 40
𝑜
20 = 0,241 → 𝛽 = 13,95
𝑜
𝐵𝐶
𝑠𝑒𝑛 76,05𝑜 =
𝐶𝐷
𝑠𝑒𝑛 53,95𝑜 =
20 𝑠𝑒𝑛 50𝑜
𝐵𝐶 = 25,3 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 21,1 𝑐𝑚
A velocidade 𝑉𝐵 é obtida dos dados de rotação da manivela:
𝜔𝐴𝐵 = 2000 𝑟𝑒𝑣 𝑚𝑖𝑛
𝑚𝑖𝑛 60 𝑠
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑟𝑒𝑣 = 209,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑣𝐵 = 𝐴𝐵 𝜔𝐴𝐵 = 0,075 𝑚 209,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠 = 15,705 𝑚/𝑠
𝑣𝐵 = 𝐵𝐶 𝜔𝐶𝐼 → 15,705 𝑚/𝑠 = 0,253 𝑚 𝜔𝐶𝐼
𝑣𝐷 = 𝐶𝐷 𝜔𝐶𝐼 → 𝑣𝐷 = 0,211 𝑚 62,1 𝑟𝑎𝑑/𝑠 = 13,1 𝑚/𝑠 𝜔𝐶𝐼 = 15,705 𝑚/𝑠
0,253 𝑚 = 62,1 𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝑣𝐷 = 13,1 𝑚/𝑠 →
Exemplo (continuação):
Aceleração:
A relação entre as acelerações dos pontos A e B de um corpo rígido é obtida derivando-se a relação para as velocidades:
𝑑
𝑑𝑡 𝑽𝑩 = 𝑑
𝑑𝑡 𝑽𝑨 + 𝑽𝑩/𝑨 𝒂𝑩 = 𝒂𝑨 + 𝒂𝑩/𝑨
As acelerações 𝒂𝑨 e 𝒂𝑩 são medidas em relação a um referencial fixo x, y, e
representam as acelerações absolutas dos pontos A e B. O termo 𝒂𝑩/𝑨 representa a
aceleração de B em relação a A, medida no referencial em translação x’, y’ com origem no ponto base A. Nesse referencial, o ponto B se desloca ao longo de um arco circular, com raio de curvatura 𝒓𝑩/𝑨. Assim, 𝒂𝑩 pode ser escrita em termos de suas
componentes tangencial e normal:
𝒂𝑩 = 𝒂𝑨 + 𝒂𝑩/𝑨 𝒕 + 𝒂𝑩/𝑨 𝒏
onde 𝒂𝑩/𝑨 𝒕 = 𝜶 × 𝒓𝑩/𝑨 e 𝒂𝑩/𝑨 𝒕 = −𝜔2𝒓𝑩/𝑨
=
+
Aceleração:
𝒂𝑩 = 𝒂𝑨 + 𝜶 × 𝒓𝑩/𝑨 − 𝜔2𝒓𝑩/𝑨
𝒂𝑨 = aceleração do ponto base A do corpo rígido.
𝒂𝑩 = aceleração do ponto B do corpo rígido.
𝜶 = aceleração angular do corpo rígido.
𝜔 = velocidade angular do corpo rígido.
𝒓𝑩/𝑨 = vetor posição relativa do ponto B em relação ao ponto base A.
Exemplo:
𝑉𝐴 = 1,2 𝑚/𝑠
𝑎𝐴 = 3 𝑚/𝑠2
O centro da engrenagem dupla tem uma
velocidade e uma aceleração para a direita de 1,2 m/s e 3 m/s² , respectivamente. A
cremalheira inferior é estacionário. Determine (a) a aceleração angular da
engrenagem, e (b) a aceleração dos pontos B, C
e D.
A expressão da posição em função de q é diferenciada duas vezes para definir a relação entre as acelerações translacional e angular.
Solução:
𝑥𝐴 = 𝑟1𝜃 → 𝑣𝐴 = 𝑟1𝜔 → 𝑎𝐴 = 𝑟1𝛼
𝜔 = 𝑣𝐴 𝑟1 =
1,2 𝑚/𝑠
0,150 𝑚 = 8 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝛼 = 𝑎𝐴 𝑟1 =
3,0 𝑚/𝑠2
0,150 𝑚 = 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠
2
no sentido horário 𝜔 = − 8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝒌
no sentido horário 𝛼 = − 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠Ԧ 2 𝒌
𝒂𝑩/𝑨 𝒏 𝒂𝑨 𝒂𝑩/𝑨 𝒕
A aceleração de cada ponto da
engrenagem é obtida pela adição da aceleração do centro da engrenagem e das acelerações relativas com relação ao centro.
Este último inclui componentes de aceleração normal e tangencial.
𝒂𝑩
Exemplo (continuação):
Continua
𝒂𝑩 = 𝒂𝑨 + 𝜶 × 𝒓𝑩/𝑨 − 𝜔2𝒓𝑩/𝑨
𝒂𝑩 = 3 𝑚/𝑠2 Ƹ𝒊 − 20𝑟𝑎𝑑
𝑠2 𝒌 × 0,100 𝑚 Ƹ𝒋 − 8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 0,100 𝑚 Ƹ𝒋
𝒂𝑩 = 5 𝑚/𝑠2 Ƹ𝒊 − 6,4 𝑚/𝑠2 Ƹ𝒋
𝒂𝑨 𝒂𝑫/𝑨 𝒏 𝒂𝑪
𝒂𝑪/𝑨 𝒕 𝒂𝑪/𝑨 𝒏
15 - 41
Exemplo (continuação):
𝒂𝑪 = 𝒂𝑨 + 𝜶 × 𝒓𝑪/𝑨 − 𝜔2𝒓𝑪/𝑨
𝒂𝑪 = 3 𝑚/𝑠2 Ƹ𝒊 − 20𝑟𝑎𝑑
𝑠2 𝒌 × −0,150 𝑚 Ƹ𝒋 − 8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 −0,150 𝑚 Ƹ𝒋
𝒂𝑪 = 9,6 𝑚/𝑠2 Ƹ𝒋 𝑎𝐶 = 9,6 𝑚/𝑠2
𝒂𝑪/𝑨 𝒕 𝒂𝑨
𝒂𝑪
𝒂𝑫 = 𝒂𝑨 + 𝜶 × 𝒓𝑫/𝑨 − 𝜔2𝒓𝑫/𝑨
𝒂𝑫 = 3 𝑚/𝑠2 Ƹ𝒊 − 20𝑟𝑎𝑑
𝑠2 𝒌 × −0,150 𝑚 Ƹ𝒊 − 8 𝑟𝑎𝑑/𝑠
2 −0,150 𝑚 Ƹ𝒊
𝒂𝑫 = 12,6 𝑚/𝑠2 Ƹ𝒊 + 3,0 𝑚/𝑠2 Ƹ𝒋
A manivela AG do sistema do motor tem uma velocidade angular constante no sentido horário de 2000 rpm.
Para a posição da manivela mostrada,
determine a aceleração angular da biela BD
e a aceleração do ponto D.
Exemplo:
Solução:
A aceleração de B é determinada a partir da velocidade de rotação dada de AB.
A aceleração angular da biela BD e a aceleração do ponto D
será determinada a partir
( ) ( )
D B t D B n BB D B
D a a a a a
a = + = + +
(
)(
)
2 22 AB s m 3289 s rad 4 . 209 m 0,075 0 constante s rad 209.4 rpm 2000 = = = = = = = AB B AB r a
(
)(
i j)
aB = 3289 m s2 −cos40−sen40
Exemplo (continuação):
• As direções das acelerações são determinadas a partir da geometria.
( ) ( )
D B t D B nD a a
a , ,e
Temos que BD = 62.0 rad/s, = 13.95o.
( )
( ) 2 ( )( )2 2s m 769 s rad 0 . 62 0,2m = = = BD n B D BD a
( )
a(
)(
i j)
n B D + −
= 769m s2 cos13.95 sen13.95
( )
aD B t =( )
BD
BD = 0,2
BDA direção de (aD/B)t é conhecida, mas o sentido não,
(
a)
(
BD)
(
i j)
t B D = 05 . 76 cos 05 . 76 sen 2 , 0 i a aD = D
Exemplo (continuação):
( ) ( )
D B t D B n BB D B
D a a a a a
a = + = + +
• As equações componente para a aceleração do ponto D são resolvidas simultaneamente.
Componentes x:
+ − − =
−aD 3289cos40 769cos13.95 0,2
BDsen13.95 + + −
= 3289sen40 769sen13.95 0,2 cos13.95
0 BD
Componentes y:
