PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

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Texto completo

(1)

M. C. Carlos Morales Carbajal TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Conceptos generales.

2. Propiedades de la Transformada de Laplace 3. La Transformada inversa de Laplace

4. Solución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones por la Transformada de Laplace.

Conceptos generales.

La Transformada de Laplace es una transformación matemática que transforma una función f(t) en otra función F(S). Una aplicación inmediata consiste en la

transformación de una ecuación diferencial en una ecuación algebraica, la cual es de gran importancia para el futuro ingeniero.

Definición:

La Transformada de Laplace de una función f(t), denotada como L {f(t)}, se define de la siguiente manera:

( )

{ }

=

( )

0

dt t f e t

f st

L

Este tipo de integrales, s conocen como integrales impropias y se desarrolla de la siguiente manera:

→∞ ∞

k

k

0 0

lim

Ejercicios: Encuentre la Transformada de Laplace de las siguientes funciones: 1. f

( )

t =1

(2)

M. C. Carlos Morales Carbajal En general, emplearemos letras minúsculas para representar la función que se va a transformar y la mayúscula correspondiente para denotar su transformada de Laplace.

L {f(t)} =F(s) L{g(t)} =G(s)

(3)

M. C. Carlos Morales Carbajal PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Propiedad # 1.- Propiedad de Linealidad

Si L {f(t)} y L {g(t)} existen, por lo tanto L

{

af

( )

t +bg

( )

t

}

=aL

{ }

f

( )

t +bL

{ }

g

( )

t para toda constante a y b.

Demostración: Consideremos a la función h

( )

t =af

( )

t +bg

( )

t entonces:

( )

{ }

=

∞ −

( )

=

∞ −

[

( )

+

( )

]

=

( )

+

( )

=

{ }

( )

+

{ }

( )

0 0 0

0

t g b t f a dt t g e b dt t f e a dt t bg t af e dt t h e t

h st st st st L L

L

Lo que queremos demostrar.

Ejercicios: encuentre la Transformada de Laplace de las siguientes funciones.

i.

( )

( )

3

6 1 3 cos 2

3

t t t

f = − +

(4)

M. C. Carlos Morales Carbajal

Propiedad # 2 .- Propiedad de Traslación.

Si L

{ }

f

( )

t =F

( )

s por lo tanto L

{

eatf

( )

t

}

=F

(

sa

)

Demostración: Consideremos que L

{ }

f

( )

t =F

( )

s esto es

( )

( )

− =

0

dt t f e s

F st

Entonces definamos a la función f

( )

t como eatf

( )

t y por lo tanto:

( )

{ }

=

{

( )

}

=

[

( )

]

=

−( − )

( )

0

0

dt t f e dt t f e e t f e t

f L at st at s at

L

Además en virtud de

( )

( )

− =

0

dt t f e s

F st

(

)

=

∞ −(− )

( )

0

dt t f e a s

F s at

Finalmente:

( )

{

eatf t

}

=F

(

sa

)

L Lo que queremos demostrar.

Ejercicio. Encuentre:

i.

( )

sen

( )

4t 5

3 3t

e t

f = − −

ii. f

( )

t =− 3t5e2t iii. f

( )

t =etsen2

( )

t

Tarea => Ejercicios 7.1

Capitulo 7 - Pag.304

(5)

M. C. Carlos Morales Carbajal

Propiedad #3.- Derivadas de una transformada.

Consideremos una función f

( )

t de tal forma que:

( )

{ }

f t =F

( )

s L

Entonces se cumple lo siguiente:

( )

{

}

( )

[

F

( )

s

]

ds d t f t n n n n 1 − = L

Demostración: se sabe que L

{ }

f

( )

t =F

( )

s entonces obtenemos la derivada respecto a “s” de F

( )

s , esto es:

( )

( )

[

e f

( )

t dt

]

te f

( )

t dt e

[ ]

tf

( )

t dt

{ }

tf

( )

t ds d dt t f e ds d s F ds

d = st = st = st = st =L

∞ − ∞ − ∞ − ∞ − 0 0 0 0

Por lo tanto se obtiene:

( )

{ }

[

F

( )

s

]

ds

d t

tf =−

L

Aplicando esta última expresión en forma repetitiva, se obtiene:

( )

{

}

{

( )

}

( )

F

( )

s ds d s F ds d ds d t tf t t f t 2 2 2 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡− − = ⋅ =L L

( )

{

}

{

( )

}

( )

F

( )

s ds d s F ds d ds d t f t t t f t 3 3 2 2 2

3 =−

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⋅ =L L

Por inducción matemática, se obtiene la formula general:

( )

{

}

( )

[

F

( )

s

]

ds d t f t n n n n 1 − = L

Ejercicios. Encuentre la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

1. f

( )

t =tcos

( )

3t 2. f

( )

t =tsen

( )

2t

3. Encuentre las siguientes transformadas: a. f

( )

t =tsen

( )

kt

(6)

M. C. Carlos Morales Carbajal Propiedad #4.- La transformada de una derivada

Consideremos la función f

( )

t de tal forma queL

{ }

f

( )

t =F

( )

s entonces se cumple:

( )

{ }

n = n

{ }

( )

n−1

( )

0n−2 ′

( )

0 − (n−1)

( )

0 f f s f s t f s t f L L

Esto quiere decir que:

i. L

{

f

( )

t

}

=sL

{ } ( )

f

( )

tf 0

ii. L

{

f′′

( )

t

}

=s2L

{ }

f

( )

tsf

( )

0 − f

( )

0

iii. L

{

f ′′′

( )

t

}

=s3L

{ }

f

( )

ts2f

( )

0 −sf

( )

0 − f′′

( )

0

Demostración:

i. L

{

f

( )

t

}

=

( )

∞ − 0 dt t f e st

Por el método de integración por partes

u=est dv= f

( )dt

t

dt se

du=− −st v= f

( )

t

( )

=

( )

+

( )

= ′

− ∞ ∞ − ∞ − 0 0 0 dt t f e s t f e dt t f

e st st st -f

( )

s

{ }

f

( )

t

L + 0

Por lo tanto: L

{

f

( )

t

}=

sL

{ } ( )

f

( )

tf 0

ii. L

{

f′′

( )

t

}

=

( )

∞ − ′′ 0 dt t f e st

Por el método de integración por partes

st

e

u= − dv= f′′

( )dt

t dt

se

du=− −st v= f

( )

t

( )

= ′

( )

+ ′

( )

= ′′

− ∞ ∞ − ∞ − 0 0 0 dt t f e s t f e dt t f

e st st st

-

f

( )

0

+

s

[

s

L

{

f

( )

t

}

f

( )

0

]

(7)

M. C. Carlos Morales Carbajal iii. L

{

f ′′′

( )

t

}

=

( )

∞ − ′′′ 0

dt t f e st

Por el método de integración por partes

st

e

u= − dv= f ′′′

( )

t dt dt

se

du=− −st v= f′′

( )

t

( )

= ′′

( )

+ ′′

( )

=

′′′

− ∞ ∞ −

∞ −

0 0 0

dt t f e s t f e dt t f

e st st st -f′′

( )

0 +s

[

s2

{ }

f

( )

tsf

( )

0 − f

( )

0

]

L

Por lo tanto: L

{

f′′

( )

t

}=

s3L

{ }

f

( )

ts2f

( )

0 −sf

( )

0 − f′′

( )

0

En forma general, por sustitución podemos asegurar que la Transformada de

Laplace de la derivada de n-esima de una f

( )

t esta dada por:

( )

{ }

fn t =sn

{ }

f

( )

tsn−1f

( )

0sn−2f

( )

0f(n−1)

( )

0 L

L

En base a la Propiedad #4, la Transformada de Laplace para las derivadas, en función de

( )

t

y , se expresa de la siguiente manera:

i. L

{ }

y′ =sL

{ } ( )

yy0

ii. L

{ }

y′′ =s2L

{ }

ysy

( )

0 − y

( )

0

(8)

M. C. Carlos Morales Carbajal LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

La Transformada Inversa de Laplace, denota por el símbolo L-1, se define de la siguiente manera:

Si f

( )

t es tal que: L

{ }

f

( )

t =F

( )

s entonces se debe cumplir con:

( )

{

F s

} ( )

f t

-1 =

L

Ejemplos:

1)

{ }

4 45! s t =

L , por lo tanto: 1 45! t4 s

- =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ L

2)

{ }

3 1 3

+ = −

s e t

L , por lo tanto: - e t

s

3 1

3

1 =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

+ L

Una propiedad muy importante de la transformada inversa es la “PROPIEDAD DE

LINEALIDAD”, la cual establece lo siguiente:

Si L {f(t)} =F(s) y L {g(t)} = G(s)entonces se debe de cumplir:

( )

( )

{

aF s bG s

}

a -

{

F

( )

s

}

b -

{ }

G

( )

s

-1 L1 L1

L + = + =af

( )

t +bg

( )

t

(9)

M. C. Carlos Morales Carbajal GUÍA PARA OBTENER LA DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES

PARCIALES DE F(s)/G(s)

1. Si el grado de F(s) no es menor que el de G(s), dividir los polinomios para

obtener la forma apropiada. Ejemplo:

( )

( )

s = G s F = − − + − 1 3 5 6 2 2 3 s s s s 1 9 6 6 2 − − + − s s s

2. Expresar G(s) como un producto de factores lineales ps + q o formas cuadráticas

irreducibles a as2 + bs + c, y agrupar los factores repetidos para que G(s) quede

expresado como un producto de factores distintos de la forma (ps + q)m o bien

(as2 + bs + c)n, con m y n enteros no negativos.

3. Aplicar las siguientes reglas.

a. REGLA (A). Por cada factor de la forma (ps + q)m con m 1, la

descomposición en fracciones parciales contiene una suma de m fracciones parciales de la forma;

(

) (

)

(

)

m

m q ps A q ps A q ps A q ps A + + + + + + +

+ 3 K

3 2

2 1

Donde cada numerador Ak es un número real. b. REGLA (B).Por cada factor (as2 + bs + c)n, n 1, donde as2 + bs + c, es

irreducible, la descomposición en fracciones parciales contiene una suma de

n fracciones parciales de la forma;

(

) (

)

(

)

n

n n c s b as B s A c s b as B s A c s b as B s A c s b as B s A + + + + + + + + + + + + + + + + 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1 K

(10)

M. C. Carlos Morales Carbajal SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SISTEMAS DE

ECUACIONES POR LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Dada la ecuación diferencial, se procede de la siguiente manera:

Ejemplos. Resuelva la ecuación diferencial dada utilizando la Transformada de Laplace.

1. y′′+5y′+4y=0, y

( )

0 =1, y

( )

0 =0 2. y′′−6y′+9y=t, y

( )

0 =0, y

( )

0 =1 3. y′′−2y′=etsenh

( )

t, y

( )

0 =0, y

( )

0 =0

1. Se aplica la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, sustituyendo también las condiciones iniciales. Esta transformación ya es, una ecuación pura mente algebraica cuya incógnita es

L { y }.

(11)

Figure

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