El trabajo persistente
caracteriza al “Usachino”
Una Soluci ´on de la Pep 1 de ´
Algebra II
M ´odulo Basico
Profesor Ricardo Santander Baeza
Departamento de Matem ´atica y Ciencia de la Computaci ´on Universidad de Santiago de Chile
28 de Noviembre del 2013
1
Si A
=
1 a a
2(
a
3+
6
)
1 1
1
(
1
+
6a
)
1 2
4
(
8
+
3a
)
1 3
9
(
27
+
2a
)
∈
M
R(
4
)
entonces determine el conjunto
S
=
{
a
∈
R
|
A
∈
U
(
M
R(
4
))}
Soluci ´on. Estudiamos entonces al conjunto pedido, es decir
a
∈
S
⇐⇒
a
∈
R
∧
A
∈
U
(
M
R(
4
))
⇐⇒
a
∈
R
∧
det
(
A
)
6=
0
(
1
)
Conforme a lo obtenido en
(
1
)
, debemos estudiar det
(
A
)
, para concluir, si es posible, lo pedido. As´ı que
det(A) = det
1 a a2 (a3+6)
1 1 1 (1+6a)
1 2 4 (8+3a)
1 3 9 (27+2a)
(l2→l2−l1) (l3→l3−l1) (l4→l4−l1)
= det
1 a a2 (a3+6)
0 (1−a) (1−a2) (1−a3+6(a−1))
0 (2−a) (4−a2) (8
−a3+3a
−6)
0 (3−a) (9−a2) (27−a3+2a−6)
= det
(1−a) (1−a2) (1
−a3+6(a
−1)) (2−a) (4−a2) (8−a3+3a−6) (3−a) (9−a2) (27
−a3+2a
−6)
=det
(1−a) (1−a2) ((1
−a)(a2+a+1) +6(a
−1)) (2−a) (4−a2) ((2−a)(a2+2a+4) +3(a−2)) (3−a) (9−a2) ((3
−a)(a2+3a+9) +2(a
−3))
Si a=1, a=2 y a=3 entonces det(A) =0. Luego 16∈S, 26∈Sy 36∈S. Ahora si a6=1, a6=2 y a6=3 entonces
det(A) = (1−a)(2−a)(3−a)det
1 (1+a) (a2+a−5)
1 (2+a) (a2+2a+1)
1 (3+a) (a2+3a+7)
((l2→l2−l1)
l3→l3−l1)
= (1−a)(2−a)(3−a)det
1 (1+a) (a2+a−5)
0 1 (a+6)
0 2 (2a+12)
= 2(1−a)(2−a)(3−a)det
1 (1+a) (a2+a−5)
0 1 (a+6)
0 1 (a+6)
= 0
Luego, det(A) =0, (∀a;a∈R)y de(1)sigue que,
2 Si consideran el sistema de ecuaciones lineales,
x1 + x2 + 2x3 + x4 = 1
−2x2 = −2
x1 + 3x2 + x3 − 2x4 = 3
2x1 + 4x2 + 2x3 + λx4 = λ−1
(∗)
Entonces determine el conjunto
B = {λ∈R|(∗)no tiene soluci ´on}
Soluci ´on. debemos conforme a nuestras t ´ecnicas estudiar al conjuntoBentonces
λ∈B ⇐⇒ λ∈R ∧ (∗)no tiene soluci ´on
Luego, Si(A|B)es la matriz ampliada asociada a(∗)entonces de acuerdo al Teorema del Rango.
λ∈B ⇐⇒ λ∈R ∧ ρ(A|B)6=ρ(A)
As´ı que procedemos a “escalonar(A|B)”:
(A|B) =
1 1 2 1 | 1
0 −2 0 0 | −2
1 3 1 −2 | 3
2 4 2 λ | (λ−1)
(l3→l3−l1) (l4→l4−2l1)
1 1 2 1 | 1
0 −2 0 0 | −2
0 2 −1 −3 | 2
0 2 −2 (λ−2) | (λ−3)
(l2→ −12l2)
=
1 1 2 1 | 1
0 1 0 0 | 1
0 2 −1 −3 | 2
0 2 −2 (λ−2) | (λ−3)
(l1→l1−l2) (l3→l3−2l2) (l4→l4−2l2)
1 0 2 1 | 0
0 1 0 0 | 1
0 0 −1 −3 | 0
0 0 −2 (λ−2) | (λ−5)
(l3→ −l3)
=
1 0 2 1 | 0
0 1 0 0 | 1
0 0 1 3 | 0
0 0 −2 (λ−2) | (λ−5)
(l1→l1−2l3) (l4→l4+2l3)
1 0 0 −5 | 0
0 1 0 0 | 1
0 0 1 3 | 0
0 0 0 (λ+4) | (λ−5)
Llega la hora del an ´alisis: Siλ=−4 entonces
(A|B) ∼
1 0 0 −5 | 0
0 1 0 0 | 1
0 0 1 3 | 0
0 0 0 0 | −9
Por otra parte, siλ6=−4 entonces
(A|B) ∼
1 0 0 −5 | 0
0 1 0 0 | 1
0 0 1 3 | 0
0 0 0 1 | λ−5
λ+4
(l1→l1+5l4) (l3→l3−3l4)
1 0 0 0 | 5λ−25
λ+4
0 1 0 0 | 1
0 0 1 0 | −3λ−15
λ+4
0 0 0 1 | λ−5
λ+4
Luego,ρ(A) =ρ(A|B) =4 y entonces tenemos soluci ´on y ´unica. Por tanto
3 SeaVun espacio vectorial real yα={v1,v2,v3} ⊂Vtal que vi=6 0Vpara i=1,2,3. Si definimos el conjuntoβ={w1,w2,w3}tal que
wj= j X
i=1
(−1)ivi, para j=1,2,3 entonces demuestre, si es posible, que
βConjunto linealmente independiente enV =⇒ αConjunto linealmente independiente enV
Soluci ´on. En este caso tenemos las siguientes cuestiones:
1. Por demostrar que (P.d.q)α={v1,v2,v3}es un conjunto linealmente independiente, es decir P.d.q.
a1v1+a2v2+a3v3=0V=⇒a1=a2=a3=0 (unicamente)
2. La informaci ´on que tenemos para “gestionar”es en primer lugar queβ={w1,w2,w3}es un conjunto linealmente independiente, es
decir
c1w1+c2w2+c3w3=0V=⇒c1=c2=c3=0 (unicamente)
3. En segundo lugar, observamos que existe una estrecha relaci ´on entre los vs y los ws, pues
w1 = −v1 ⇐⇒ v1=−w1
w2 = −v1+v2 ⇐⇒ v2=−w1+w2
w3 = −v1+v2−v3 ⇐⇒ v3=w2−w3
4. Finalmente con toda esta gesti ´on de la informaci ´on procedemos a organizar una respuesta:
a1v1+a2v2+a3v3=0V
usando 3.
=⇒ a1(−w1) +a2(−w1+w2) +a3(w2−w3) =0V =⇒ −a1w1−a2w1+a2w2+a3w2−a3w3=0V =⇒ (−a1−a2)w1+ (a2+a3)w2−a3w3=0V
sigue de 2.
=⇒
−a1−a2 = 0
a2+a3 = 0
−a3 = 0
=⇒a3=0∧a2=0∧a1=0
4 Si A=
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
∈MR(3)tal que det(A)6=0 entonces demuestre, si es posible, que para cada(x,y,z)∈R3existen escalares
a1,a2y a3tales que:
(x,y,z) = a1(x1,y1,z1) +a2(x2,y2,z2) +a3(x3,y3,z3)
Soluci ´on. Aqu´ı el caso es el siguiente:
1. P.d.q. para cada(x,y,z)∈R3existen escalares a
1,a2y a3tales que tiene soluci ´on la ecuaci ´on
(x,y,z) = a1(x1,y1,z1) +a2(x2,y2,z2) +a3(x3,y3,z3)
2. La informaci ´on dura que tenemos es que det(A)6=0.
3. Si queremos resolver la ecuaci ´on debemos estudiar sus posibles soluciones, y entonces si hay soluci ´on para(x,y,z)∈R3deber´ıa
suceder en primer lugar que:
(x,y,z) = a1(x1,y1,z1) +a2(x2,y2,z2) +a3(x3,y3,z3)
= (a1x1+a2x2+a3x3,a1y1+a2y2+a3y3,a1z1+a2z2+a3z3)
En segundo lugar por la definici ´on de igualdad enR3, sigue que
a1x1+a2x2+a3x3 = x
a1y1+a2y2+a3y3 = y
a1z1+a2z2+a3z3 = z =⇒
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
| {z }
A
a1
a2
a3
=
x y z
det=(A)6=⇒0
a1
a2
a3
=
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
−1
| {z }
A−1
x y z
