ALCULO II Grados en Ingenier´ıa

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(1)

Grados en Ingenier´ıa

Domingo Pestana Galv´an Jos´e Manuel Rodr´ıguez Garc´ıa

—————

(2)
(3)

Definiciones

Unrect´angulo n-dimensional es un conjunto de la forma:

R = [a1,b1]×[a2,b2]×· · ·×[an,bn], con ai <bi, para i = 1, . . . ,n.

Lamedida (n-dimensional) deR es

|R|= (b1−a1)(b2−a2)· · ·(bn−an).

Habitualmente la dimensi´on ser´a n= 2 ´on = 3.

Si n= 2, la medida deR es el ´area de R.

(4)

Definiciones

Unrect´angulo n-dimensional es un conjunto de la forma:

R = [a1,b1]×[a2,b2]×· · ·×[an,bn], con ai <bi, para i = 1, . . . ,n. Lamedida (n-dimensional) deR es

|R|= (b1−a1)(b2−a2)· · ·(bn−an).

Habitualmente la dimensi´on ser´a n= 2 ´on = 3.

Si n= 2, la medida deR es el ´area de R.

(5)

Definiciones

Unrect´angulo n-dimensional es un conjunto de la forma:

R = [a1,b1]×[a2,b2]×· · ·×[an,bn], con ai <bi, para i = 1, . . . ,n. Lamedida (n-dimensional) deR es

(6)

Definiciones

Unapartici´onP del rect´angulon-dimensionalR es una partici´on de cada uno de los intervalos coordenados [ai,bi], de modo que R es la uni´on de subrect´angulos R=

N

[

i=1 Ri.

Sea f una funci´on acotada en un rect´angulon-dimensional R

yP ={Ri}N

i=1 una partici´on deR. Definimos las siguientes

cantidades para i = 1, . . . ,N,

Mi = sup{f(x) :x∈Ri}, mi = inf{f(x) :x∈Ri}.

Lasuma superior asociada a P def y lasuma inferior

asociada a P de f son respectivamente

Uf(P) = N X

i=1

Mi|Ri|, Lf(P) = N X

i=1

(7)

Definiciones

Unapartici´onP del rect´angulon-dimensionalR es una partici´on de cada uno de los intervalos coordenados [ai,bi], de modo que R es la uni´on de subrect´angulos R=

N

[

i=1 Ri. Sea f una funci´on acotada en un rect´angulon-dimensional R yP ={Ri}N

i=1 una partici´on deR. Definimos las siguientes cantidades para i = 1, . . . ,N,

Mi = sup{f(x) :x∈Ri}, mi = inf{f(x) :x∈Ri}.

Lasuma superior asociada a P def y lasuma inferior

asociada a P de f son respectivamente

Uf(P) = N X

Mi|Ri|, Lf(P) = N X

(8)

Definiciones

Unapartici´onP del rect´angulon-dimensionalR es una partici´on de cada uno de los intervalos coordenados [ai,bi], de modo que R es la uni´on de subrect´angulos R=

N

[

i=1 Ri. Sea f una funci´on acotada en un rect´angulon-dimensional R yP ={Ri}N

i=1 una partici´on deR. Definimos las siguientes cantidades para i = 1, . . . ,N,

Mi = sup{f(x) :x∈Ri}, mi = inf{f(x) :x∈Ri}. Lasuma superior asociada a P def y lasuma inferior asociada a P de f son respectivamente

Uf(P) = N

X

i=1

Mi|Ri|, Lf(P) = N

X

i=1

(9)

Definiciones

Teorema

f funci´on acotada en R =⇒ sup P

Lf(P)≤inf

P Uf(P).

Definici´on

Sif es una funci´on acotada enR, decimos que f esintegrableen

R si existe un n´umero realI verificando

sup

P

Lf(P) = inf

P Uf(P) =I

El n´umeroI se llama laintegral (definida)def enR, y se escribe:

I =

Z

R

f =

Z

R

(10)

Definiciones

Teorema

f funci´on acotada en R =⇒ sup P

Lf(P)≤inf

P Uf(P).

Definici´on

Sif es una funci´on acotada enR, decimos que f esintegrableen R si existe un n´umero realI verificando

sup P

Lf(P) = inf

P Uf(P) =I

El n´umeroI se llama laintegral (definida)def enR, y se escribe:

I =

Z

R f =

Z

R

(11)

Definiciones y resultados

Nota:

Tambi´en ser´a frecuente la notaci´on:

I =

Z

R f ==

Z bn

an · · ·

Z b1

a1

f(x1, . . . ,xn)dx1· · ·dxn.

Teorema

Sif es una funci´on acotada enR y existe una sucesi´on de partici´ones {Pn}de R tales que

lim

n→∞Uf(Pn) = limn→∞Lf(Pn) =α ,

entoncesf es integrable en R y adem´as

Z

R

(12)

Definiciones y resultados

Nota:

Tambi´en ser´a frecuente la notaci´on:

I =

Z

R f ==

Z bn

an · · ·

Z b1

a1

f(x1, . . . ,xn)dx1· · ·dxn.

Teorema

Sif es una funci´on acotada enR y existe una sucesi´on de partici´ones {Pn}de R tales que

lim

n→∞Uf(Pn) = limn→∞Lf(Pn) =α , entoncesf es integrable en R y adem´as

Z

R

(13)

Dos teoremas importantes

Teorema

Sif es una funci´on continua en R entoncesf es integrable en R.

Teorema de Fubini

SeaR = [a1,b1]× · · · ×[an,bn] =R1×R2 un rect´angulo n-dimensional, donde R1 = [a1,b1]× · · · ×[aj,bj] y

R2 = [aj+1,bj+1]× · · · ×[an,bn]. Sif es una funci´on integrable en

R entonces

Z

R

f =

Z

R1

Z

R2

f(x,y)dydx =

Z

R2

Z

R1

f(x,y)dxdy,

(14)

Dos teoremas importantes

Teorema

Sif es una funci´on continua en R entoncesf es integrable en R.

Teorema de Fubini

SeaR = [a1,b1]× · · · ×[an,bn] =R1×R2 un rect´angulo n-dimensional, donde R1 = [a1,b1]× · · · ×[aj,bj] y

R2 = [aj+1,bj+1]× · · · ×[an,bn]. Sif es una funci´on integrable en R entonces

Z

R f =

Z

R1

Z

R2

f(x,y)dydx =

Z

R2

Z

R1

f(x,y)dxdy,

(15)

Integraci´on iterada

Ejemplo de integral doble,

Z 3

1

Z 1

0

x e5ydxdy =

Z 3

1

Z 1

0

x e5ydxdy =

Z 3

1

1

2e

5ydy = 1 10(e

(16)

Integraci´on en regiones m´as generales

Si D es una regi´on acotada en Rn yf es una funci´on acotada

enD se define la integral de f en D como

Z

D f =

Z

R f∗,

donde:

R es cualquier rect´angulo n-dimensional que contenga aD,

f∗ es la funci´on definida en todoRn como

f∗(x) =

(

f(x) six ∈D

(17)

Integraci´on en regiones m´as generales

Si D es una regi´on acotada en Rn yf es una funci´on acotada

enD se define la integral de f en D como

Z

D f =

Z

R f∗,

donde:

R es cualquier rect´angulo n-dimensional que contenga aD, f∗ es la funci´on definida en todoRn como

f∗(x) =

(

(18)

Conjuntos de medida cero

Un conjunto Ade Rn se dice que tiene medida cero

(n-dimensional), y lo escribiremos |A|= 0, si para cada ε >0 existe un conjunto finito o numerable de rect´angulos

n-dimensionalesR1,R2, . . . tal que

A⊂R1∪R2∪ · · · y |R1|+|R2|+· · ·< ε .

Si A⊂B y|B|= 0, entonces|A|= 0.

Si Aes un conjunto finito o numerable, entonces|A|= 0.

La uni´on finita o numerable de conjuntos de medida cero tiene medida cero.

(19)

Conjuntos de medida cero

Un conjunto Ade Rn se dice que tiene medida cero

(n-dimensional), y lo escribiremos |A|= 0, si para cada ε >0 existe un conjunto finito o numerable de rect´angulos

n-dimensionalesR1,R2, . . . tal que

A⊂R1∪R2∪ · · · y |R1|+|R2|+· · ·< ε . Si A⊂B y|B|= 0, entonces|A|= 0.

Si Aes un conjunto finito o numerable, entonces|A|= 0.

La uni´on finita o numerable de conjuntos de medida cero tiene medida cero.

(20)

Conjuntos de medida cero

Un conjunto Ade Rn se dice que tiene medida cero

(n-dimensional), y lo escribiremos |A|= 0, si para cada ε >0 existe un conjunto finito o numerable de rect´angulos

n-dimensionalesR1,R2, . . . tal que

A⊂R1∪R2∪ · · · y |R1|+|R2|+· · ·< ε . Si A⊂B y|B|= 0, entonces|A|= 0.

Si Aes un conjunto finito o numerable, entonces|A|= 0.

La uni´on finita o numerable de conjuntos de medida cero tiene medida cero.

(21)

Conjuntos de medida cero

Un conjunto Ade Rn se dice que tiene medida cero

(n-dimensional), y lo escribiremos |A|= 0, si para cada ε >0 existe un conjunto finito o numerable de rect´angulos

n-dimensionalesR1,R2, . . . tal que

A⊂R1∪R2∪ · · · y |R1|+|R2|+· · ·< ε . Si A⊂B y|B|= 0, entonces|A|= 0.

Si Aes un conjunto finito o numerable, entonces|A|= 0. La uni´on finita o numerable de conjuntos de medida cero tiene medida cero.

(22)

Conjuntos de medida cero

Un conjunto Ade Rn se dice que tiene medida cero

(n-dimensional), y lo escribiremos |A|= 0, si para cada ε >0 existe un conjunto finito o numerable de rect´angulos

n-dimensionalesR1,R2, . . . tal que

A⊂R1∪R2∪ · · · y |R1|+|R2|+· · ·< ε . Si A⊂B y|B|= 0, entonces|A|= 0.

Si Aes un conjunto finito o numerable, entonces|A|= 0. La uni´on finita o numerable de conjuntos de medida cero tiene medida cero.

(23)

Conjuntos de medida cero

Por tanto,

La uni´on finita o numerable de curvas en Rn tiene medida

cero si n≥2.

La uni´on finita o numerable de superficies en Rn tiene medida

(24)

Conjuntos de medida cero

Por tanto,

La uni´on finita o numerable de curvas en Rn tiene medida

cero si n≥2.

La uni´on finita o numerable de superficies en Rn tiene medida

(25)

Una caracterizaci´on de la integrabilidad

Teorema

Sea f una funci´on acotada en el rect´angulo R. Entonces f es integrable en R si y s´olo si el conjunto de discontinuidades de f enR tiene medida cero.

Sea f una funci´on acotada en la regi´on acotadaD con

(26)

Una caracterizaci´on de la integrabilidad

Teorema

Sea f una funci´on acotada en el rect´angulo R. Entonces f es integrable en R si y s´olo si el conjunto de discontinuidades de f enR tiene medida cero.

(27)

Propiedades de la integral

Teorema

Sif,g son funciones integrables en la regi´on acotada D yc ∈R,

entonces

f +g es integrable en D, y

Z

D

(f +g) =

Z D f + Z D g,

cf es integrable enD, y

Z

D cf =c

Z

D f,

|f|es integrable en D, y

Z D f ≥ Z D f ,

f g es integrable enD, y

(28)

Medida, ´area y volumen

Definici´on

Si la regi´on acotada D verifica |∂D|= 0, se define la medida deD como|D|=R

D1.

Por tanto, si D ⊂R2,

Z

D

1 es el ´area deD,

siD ⊂R3,

Z

D

(29)

Medida, ´area y volumen

Definici´on

Si la regi´on acotada D verifica |∂D|= 0, se define la medida deD como|D|=R

D1.

Por tanto, si D ⊂R2,

Z

D

1 es el ´area deD, siD ⊂R3,

Z

D

(30)

M´as propiedades de la integral

Teorema

SeaD una regi´on acotada. Si las funcionesf yg son integrables enD y el conjunto {x∈D: f(x)6=g(x)} tiene medida cero, entonces

Z

D f =

Z

D g.

Teorema

Sif es integrable en la regi´on acotadaD ym≤f(x)≤M salvo para un conjunto de puntosx∈D con medida cero, entonces

m|D| ≤ Z

D

(31)

M´as propiedades de la integral

Teorema

SeaD una regi´on acotada. Si las funcionesf yg son integrables enD y el conjunto {x∈D: f(x)6=g(x)} tiene medida cero, entonces

Z

D f =

Z

D g.

Teorema

Sif es integrable en la regi´on acotadaD ym≤f(x)≤M salvo para un conjunto de puntosx∈D con medida cero, entonces

m|D| ≤

Z

D

(32)

M´as propiedades de la integral

Corolario

Seanf,g funciones integrables en la regi´on acotadaD. Si f(x)≥0 salvo en un conjunto de puntosx ∈D con medida cero, entonces

Z

D f ≥0.

Si f(x)≥g(x) salvo en un conjunto de puntos x∈D con medida cero, entonces

Z

D f ≥

Z

(33)

M´as propiedades de la integral

Corolario

Seanf,g funciones integrables en la regi´on acotadaD. Si f(x)≥0 salvo en un conjunto de puntosx ∈D con medida cero, entonces

Z

D f ≥0.

Si f(x)≥g(x) salvo en un conjunto de puntos x∈D con medida cero, entonces

Z

D f ≥

Z

(34)

M´as propiedades de la integral

Teorema

Seaf una funci´on integrable en la regi´on acotadaD. Si f(x)≥0 salvo en un conjunto de puntosx ∈D con medida cero, y existe un puntox0 ∈D conf continua enx0 yf(x0)>0, entonces

Z

D

(35)

M´as propiedades de la integral

Teorema (Teorema del valor medio de la integral)

Seanf continua en la regi´on acotada D yg(x)≥0 salvo en un conjunto de puntosx∈D con medida cero. Si f yg son integrables enD, entonces:

Existec1∈D tal que 1 |D|

Z

D

f =f(c1).

Existec2∈D tal que

Z

D

fg =f(c2)

Z

(36)

M´as propiedades de la integral

Teorema (Teorema del valor medio de la integral)

Seanf continua en la regi´on acotada D yg(x)≥0 salvo en un conjunto de puntosx∈D con medida cero. Si f yg son integrables enD, entonces:

Existec1∈D tal que 1 |D|

Z

D

f =f(c1).

Existec2∈D tal que

Z

D

fg =f(c2)

Z

(37)

M´as propiedades de la integral

Teorema

SeanD una regi´on acotada y f una funci´on definida en D. SiD es la uni´on de las regiones de interiores disjuntosD =D1∪ · · · ∪Dk, con|∂Di|= 0 para i = 1, . . . ,k, entoncesf es integrable en D si y s´olo si es integrable en Di para i = 1, . . . ,k. Adem´as se tiene que

Z

D f =

k

X

i=1

Z

(38)

M´as propiedades de la integral

Definici´on

Una regi´on D⊂Rn se dice sim´etrica con respecto a la variable

xj (1≤j ≤n) si verifica la siguiente propiedad:

(x1, . . . ,xj, . . . ,xn)∈D si y s´olo si (x1, . . . ,−xj, . . . ,xn)∈D.

Definici´on

Una funci´onf definida en D se diceimpar en xj si

f(x1, . . . ,−xj, . . . ,xn) =−f(x1, . . . ,xj, . . . ,xn)

y se dicepar enxj si

(39)

M´as propiedades de la integral

Definici´on

Una regi´on D⊂Rn se dice sim´etrica con respecto a la variable

xj (1≤j ≤n) si verifica la siguiente propiedad:

(x1, . . . ,xj, . . . ,xn)∈D si y s´olo si (x1, . . . ,−xj, . . . ,xn)∈D.

Definici´on

Una funci´onf definida en D se diceimpar en xj si f(x1, . . . ,−xj, . . . ,xn) =−f(x1, . . . ,xj, . . . ,xn) y se dicepar enxj si

(40)

M´as propiedades de la integral

Teorema

SeanD⊂Rn una regi´on sim´etrica con respecto a la variablex j (para alg´un 1≤j ≤n) y f una funci´on integrable enD.

Si f es impar en la variablexj, entonces

Z

D f = 0.

Si f es par en la variablexj y se define

Dj ={x ∈D : xj ≥0},

entonces Z

D f = 2

Z

Dj

(41)

M´as propiedades de la integral

Teorema

SeanD⊂Rn una regi´on sim´etrica con respecto a la variablex j (para alg´un 1≤j ≤n) y f una funci´on integrable enD.

Si f es impar en la variablexj, entonces

Z

D f = 0. Si f es par en la variablexj y se define

Dj ={x ∈D : xj ≥0},

entonces Z

D f = 2

Z

(42)

Cambio de variables

Teorema (Teorema de cambio de variable)

SeanD∗ yD regiones de Rn yT :D∗ −→D una transformaci´on

biyectiva de claseC1. Entonces para todaf integrable enD se

tiene Z

D

f(x)dx =

Z

D∗

f(T(u))|JT(u)|du,

dondex= (x1, . . . ,xn) y u = (u1, . . . ,un) y JT(u) es el determinante de la matriz derivada deT.

Observaci´on 2

(43)

Cambio de variables

Teorema (Teorema de cambio de variable)

SeanD∗ yD regiones de Rn yT :D∗ −→D una transformaci´on

biyectiva de claseC1. Entonces para todaf integrable enD se

tiene Z

D

f(x)dx =

Z

D∗

f(T(u))|JT(u)|du,

dondex= (x1, . . . ,xn) y u = (u1, . . . ,un) y JT(u) es el determinante de la matriz derivada deT.

Observaci´on 2

(44)

Aplicaciones

Volumen de un cuerpo D,

V =

Z Z Z

D

1dxdydz

Masa de un cuerpo D con densidad ρ(x,y,z),

M =

Z Z Z

D

ρ(x,y,z)dxdydz

Valor promedio de una funci´onf en una regi´onD

1

|D| Z

D

f =

R Df R

D1

(45)

Aplicaciones

Volumen de un cuerpo D,

V =

Z Z Z

D

1dxdydz

Masa de un cuerpo D con densidad ρ(x,y,z),

M =

Z Z Z

D

ρ(x,y,z)dxdydz

Valor promedio de una funci´onf en una regi´onD

1

|D| Z

D

f =

R Df R

D1

(46)

Aplicaciones

Volumen de un cuerpo D,

V =

Z Z Z

D

1dxdydz

Masa de un cuerpo D con densidad ρ(x,y,z),

M =

Z Z Z

D

ρ(x,y,z)dxdydz

Valor promedio de una funci´onf en una regi´onD 1

|D|

Z

D f =

R

Df

R

D1

(47)

Aplicaciones

Centro de gravedad

Si un cuerpo ocupa una regi´on del espacio D y en cada punto (x,y,z)∈D su densidad es ρ(x,y,z), se define sucentro de gravedado centro de masa(denotado por (x,y,z)), como

x= 1 M

Z Z Z

D

xρ(x,y,z)dxdydz,

y= 1 M

Z Z Z

D

yρ(x,y,z)dxdydz,

z = 1 M

Z Z Z

D

zρ(x,y,z)dxdydz,

(48)

Aplicaciones

Momento de inercia

Si un cuerpo ocupa una regi´on del espacio D y en cada punto (x,y,z)∈D su densidad es ρ(x,y,z), se define sumomento de inercia respecto del eje E(denotado porIE) como

IE =

Z Z Z

D

dist ((x,y,z),E)2ρ(x,y,z)dxdydz,

donde dist ((x,y,z),E) es la distancia del punto (x,y,z) al ejeE. Recordemos que dist ((x,y,z),X)2=y2+z2,

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Referencias