A dt t dvt a

APUNTES DE FÍSICA III Profesor: José Fernando Pinto Parra

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará.

Cinemática de una partícula sometida a movimiento armónico simple

La base de un movimiento armónico simple consiste en que la magnitud de la única fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional al desplazamiento x de ésta respecto al equilibrio. En un desplazamiento según el eje Ox, esta fuerza es tal que Fx = −

kx donde k es una constante positiva y x la elongación, es decir, la posición de la partícula en cualquier instante respecto de la posición de equilibrio. El signo negativo indica que en todo momento la partícula experimenta una fuerza contraria a su posición (le "empuja" hacia el centro).

)

cos(

)

(

t



A



t





x

Donde:

: es la elongación, es decir, la posición en cualquier instante, respecto de la posición de equilibrio, de la partícula que vibra.

: es la amplitud del movimiento (alejamiento máximo del punto de equilibrio). : es la frecuencia angular; se mide en radianes / segundo.

: Es el tiempo, en segundos, que determina el movimiento.

θ: recibe el nombre de fase inicial e indica el estado de vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como , y por lo tanto el periodo como .

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión x(t) = A.cos(ωt +θ).

Las características de un M.A.S. son:

)

(

)

(

)

(









Asen



t





dt

t

dx

t

v

En este punto, es posible calcular la amplitud A y la fase incial θ del movimiento conociendo su posición x0 y velocidad v0 iniciales. La amplitud se puede calcular entonces teniendo:





2 2 2

0

0

A

cos

x

A

cos

x



















2 2

2 2 0 2 2 2 2 0

0

A

sen

v

sen

A

v

Asen

v













Sumando las dos ecuaciones:

2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2

0

_

(cos





)

_

v

x

A

A

sen

A

v

x















Igualmente, la fase inicial también puede ser calculada a partir de los mismos valores iniciales:

)

arctan(

tan

cos

₀ 0 0 0

x

v

A

Asen

x

v















_

_

_

_

_





Aceleración

La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

)

(

)

cos(

)

(

)

(

2

A

t

2

x

t

dt

t

dv

t

a





















Ecuación del movimiento armónico simple y conservación de fuerzas

Comparando la ecuación (1) y (3) que la aceleración tiene una relación opuesta a la posición y se podría poner:

La aceleración depende de ω y de la posición de la partícula , dado que ω es constante, la aceleración y, por tanto, también la velocidad centrípeta, varían únicamente con la posición de la partícula, lo cual lleva a la conclusión de que la que lo provoca es una fuerza conservativa.

Energía de una partícula en movimiento armónico simple

ONDAS

Hay ondas que no necesitan un medio material para propagarse (agua, cuerda, resorte) y se propagan con facilidad, tal es el caso de las ondas electromagnéticas. Sin embargo, las ondas electromagnéticas se desplazan gracias al desplazamiento de dos cambios a la vez, el campo eléctrico y el magnético. Este tipo de onda electromagnética es la que utilizan las estaciones de radio y televisión. El calor nos llega desde el Sol gracias a las ondas electromagnéticas, ya que éstas atraviesan el espacio vacío.

La mecánica ondulatoria están íntimamente ligados a la física cuántica o a lo que algunos denominan física moderna. Todas las ondas están construidas de la misma forma, de allí que las ondas cuánticas seguirán las mismas reglas que las ondas en general. La mayoría de las personas han tenido experiencia con las ondas, por ejemplo al arrojar una piedra en un tanque de agua se forman ondas, éstas un ejemplo de una amplia variedad de fenómenos físicos que presentan características análogas a las ondas.

El mundo está lleno de ondas: ondas sonoras, mecánicas, tales como la onda que se propaga en una cuerda de una guitarra, ondas sísmicas que pueden transformarse en terremotos, ondas de choque como las que produce por ejemplo un avión cuando supera la velocidad del sonido, ondas electromagnéticas, tales como la luz visible, las ondas de radio, las señales de TV, los rayos X; muchas por todos conocidos y que son usadas para el control de canales de TV, los TE celulares, Direct TV, internet por aire.

Pero sin embargo el concepto de onda es abstracto, puede considerarse como el movimiento de una perturbación, pero este movimiento no debe confundirse con el de las partículas. En el caso particular de las ondas mecánicas, estas requieren para su existencia de una fuente de perturbación, un medio que pueda ser perturbado y alguna conexión física o mecanismo mediante el cual las porciones adyacentes del medio ejerzan influencia entre sí.

En el caso de las ondas electromagnéticas no necesitan de ningún medio, es decir se pueden propagar a través del espacio vacío.

Respondamos entonces la siguiente pregunta ¿Qué es onda?

Son perturbaciones que se producen en un medio material y que se propagan al transcurrir el tiempo.

Clases de onda

Las ondas se clasifican en dos formas:

Atendiendo a la Dirección de Propagación: estas ondas pueden ser transversales y longitudinales.

Ondas transversales

Las ondas transversales son aquellas en las que las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

Ondas longitudinales

Las ondas longitudinales las podemos observar con mayor y mejor facilidad en un resorte, pues cuando éste se deforma y es liberado, se produce una vibración y las partículas del medio se mueven en la misma dirección de propagación (resorte).

Atendiendo al Medio de Propagación: las ondas pueden ser mecánicas y electromagnéticas. Las ondas mecánicas requieren un medio natural o elástico que vibre.

Las ondas electromagnéticas no necesitan un medio material para propagarse, lo hacen una velocidad muy alta de 300.000 Km. / seg (la velocidad de la luz que se la denomina c), el calor del Sol nos llega a través de estas ondas. También las ondas de las estaciones de radio y televisión.

Elementos de una onda

Los elementos de una onda son los siguientes: la cresta, el valle, la longitud de onda y la amplitud.

Amplitud: es la distancia entre el cero o punto de equilibrio y el punto máximo/mínimo de una onda (A) se mide en unidades de distancia.

Longitud de onda: es la distancia entre dos puntos iguales sucesivos de una onda (λ) se mide en unidades de distancia.

Periodo: Es el tiempo (T) que le toma recorrer una longitud de onda o ciclo.

Frecuencia: es la cantidad de periodos (f) que entran en un determinado tiempo, la unidad de frecuencia son los Hertz = Hz = s-1).

T=1

f y E t =1

Esto quiere decir, que el período y la frecuencia son inversos.

El ángulo de fase θ, cada punto de una onda posee una fase definida que indica cuanto ha progresado o avanzado dicho punto a través del ciclo básico de la onda.

Ondas Estacionarias

Ondas viajeras

Son aquellas ondas que se desplazan libremente por el medio, es decir, es una perturbación que varía tanto con el tiempo t como con la distancia x. Por ejemplo, si suponemos que una soga es tan larga como nosotros queramos, la onda que generamos en esta, se propagara indefinidamente por la soga. Las ondas viajeras se dividen en transversales y longitudinales.

Ecuación Clásica de la onda Descripción matemática

Desde un punto de vista matemático, la onda más sencilla o fundamental es el armónico (sinusoidal) la cual es descrita por la ecuación

f

(

x

,

t

)



Asen





t



kx







Que puesta en función de y es de la forma

 

x t  Asen



tkx



y ,

Donde A es la amplitud

k un número de onda angular : El periodo T es el tiempo para un ciclo completo de oscilación de la onda. La frecuencia f. Esto es relacionado por: La

frecuencia angular ω quedando

 

_

  

 

    

  

 



 x

T t Asen t

x

Soluciones Armónicas de la Ecuación Clásica

Teniendo presente la ecuación clásica de la onda, ahora se debe explicar las dos formas en la que la utilizaremos:

Si la una onda avanza en el eje OX en sentido positivo la ecuación a utilizar es:

 





_      _                 x T t Asen kx t Asen t x

y , 2

Si la onda avanzara por el eje OX pero en sentido negativo en la ecuación sólo cambiaría el signo del término en x

 





_                       x T t Asen kx t Asen t x

y , 2

La ecuación de ondas obtenida nos permite conocer la ecuación del movimiento armónico simple que afecta a cualquier punto de la cuerda, en función de su posición x sobre la dirección de propagación OX.

Si la posición del punto A en la dirección de propagación OX es xA y la onda se desplaza hacia la derecha, el movimiento armónico simple del punto A tiene por ecuación















_A

A

t

Asen

t

kx

x

y

(

,

)

La constante



kx

_A





es la fase inicial del movimiento armónico simple producido por la onda en el punto A.

En otro punto B, de posición xB, el movimiento armónico simple tendrá por ecuación:















_B

B

t

Asen

t

kx

x

y

(

,

)

Ahora la fase inicial del movimiento armónico simple es



kx

_B





.

La única diferencia entre las oscilaciones que una misma onda genera en puntos diferentes es que poseen fases iniciales distintas.

Si en la ecuación de ondas, en vez de fijar un valor de la posición en la dirección de propagación, fijamos un valor de instante de tiempo, obtenemos una función y = f(x) que representa el perfil de la onda en el instante de tiempo considerado.

Fase y diferencia de fase

El argumento de la función trigonométrica que aparece en la ecuación de ondas recibe el nombre de fase, magnitud que representaremos por . La fase de una onda varia de un punto a otro, y en cada punto se modifica con el transcurrir del tiempo; es función tanto del instante de tiempo como de la posición.

 



 

 

     _  x_

T t kx

t t

x, 2

Llamamos diferencia de fase entre dos puntos, a la diferencia entre las fases de sus respectivos movimientos armónicos.



2 1



1

2 k x x

 , que se puede escribir de la forma  kx

Decimos que dos puntos afectados por una onda están en fase cuando se encuentran en el mismo estado de vibración. Esta circunstancia se puede caracterizar de dos formas diferentes. La más inmediata es teniendo en cuenta la definición de longitud de onda. Dos puntos están en fase cuando la distancia que los separa es un múltiplo entero de la longitud de onda.



n x 



También podemos afirmar que dos puntos están en fase cuando la diferencia de fase entre ellos es múltiplo de 2π.

  2n



Velocidad de fase. Velocidad de grupo.

Supongamos dos ondas armónicas cuyas ecuaciones son:



t k x



A

y₁ cos₁  ₁ y y₂  Acos



₂tk₂x



con ω1 y ω2 muy parecidos. Como:

T



 2 y

 

2 

k se obtiene que la velocidad es:

k k T

v 

   

  

2 2

Existen dos velocidades diferentes asociadas a las ondas.

La primera es la velocidad de fase vf, la cual indica el valor con la que la onda se propaga, y esta dada por:

f

k

v

_f









La segunda es la velocidad de grupo vg, la cual define la velocidad con la que las variaciones en la forma de la amplitud de la onda se propagan por el espacio (también llamada modulación o envolvente). Esta es la tasa a la cual la información puede ser transmitida por la onda. Está dada por:

k v_g

 

 

La función ω(k), que proporciona ω en función de k, se conoce como la relación de dispersión.

Si ω es directamente proporcional a k, entonces la velocidad de grupo es exactamente igual a la velocidad de fase, como en el caso del vacío.

En este caso la relación de dispersión es c k v

ck g 

   

 

Y como f

c

v

g

v

f

k

v











En caso contrario, la forma de la onda se distorsionará a medida que la misma se propague. Esta dispersión, debida a las diferentes velocidades de fase de los distintos componentes de la onda, es un efecto importante en la propagación de señales a través de fibra óptica y en el diseño de pulsos cortos de láser.

Para este caso 2 2p c2k2 donde ωp es una constante, derivando la ecuación

obtenemos: c k c c k c k c k c k c k c v v c v c v v c k k kdk c d p p g f g g f                               1 * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2        

Lo que implica que vf ≥ c

Es decir, en la ionosfera, aun cuando la velocidad de la fase sea mayor que c, la velocidad de grupo es menor. Esto quiere decir que una señal no puede transmitirse a mayor velocidad que la luz.

Ancho de banda.

Normalmente las señales a transmitir, ya sean datos informáticos, voz, o señales de televisión, son señales que varían en el tiempo, es decir, señales compuestas por muchas frecuencias, llamadas señales analógicas, entonces definimos el ancho de banda (BANDWIDTH) como la anchura, medida en hertz, del grupo de frecuencias que realizan trabajo útil, estas son llamadas frecuencias efectivas y en ellas se encuentra concentrada la mayor energía de la señal.

Puede ser calculado a partir de una señal temporal mediante el análisis de Fourier. 

  



 _{   }

 A sen t sen t sen t sen t 

t

B    7

7 1 5 5 1 3 3 1 )

(

En radiotransmisión, el término ancho de banda se refiere a todo el rango de frecuencias que tenga una onda modulada en amplitud. En cambio, en una onda modulada en frecuencia, el término se aplica en forma más restringida y comprende solo las frecuencias significativas, debido a las muchas frecuencias de banda lateral que tiene una onda de FM. Para determinar el ancho de banda en frecuencia modulada se debe tomar en cuenta el índice de modulación (m), que depende de la diferencia entre las frecuencias límites o frecuencia pico y la frecuencia modulada:

m

f f

m 

BW



2

Nf

mmáx N = número de bandas laterales significativas

fm = frecuencia de la señal modulante (hertz)

Una señal común de voz tiene un ancho de banda de aproximadamente tres kilohertzios (3 kHz); una señal de vídeo de transmisión analógica para televisión (TV) tiene un ancho de banda de seis megahertzios... unas dos mil veces más ancha que la señal de voz.

Los ingenieros de comunicaciones alguna vez lucharon para minimizar los anchos de banda de todas las señales al tiempo que mantenían un nivel mínimo aceptable de rendimiento del sistema. Esto se hacía por al menos dos razones:

Las señales de bajo ancho de banda son menos susceptibles a la interferencia por ruido que las señales de alto ancho de banda y

Las señales de bajo ancho de banda permiten que tenga lugar un mayor número de intercambios de comunicación dentro de una banda especificada de frecuencias.

Pulso

Un pulso es una perturbación de corta duración generada en el estado natural de un punto de un medio material que se transmite por dicho medio. Podemos producir un pulso, por ejemplo, realizando una rápida sacudida en el extremo de un muelle o de una cuerda, lanzando una piedra al agua de un estanque, dando un golpe a una mesa o produciendo una detonación en el aire. Un pulso es una onda solitaria

Un tren de ondas es una onda en la que la perturbación transportada es de larga duración.

Ancho de Pulso

Principio de Superposición.

La presencia de una perturbación ondulatoria en una región del espacio no excluye que otras perturbaciones puedan propagarse en la misma región, aquí se dice existe un a superposición, que desde el punto de vista matemático es simplemente la suma algebraica de las ecuaciones de las perturbaciones que actúan simultáneamente.

 



 



 



 

 

 



_

 

n n n x t y x t y

t x y t x y t x y t x

Y , ₁ , ₂ , ₃ ,  , ,

Desde el punto de vista físico esto quiere decir que si se superponen dos o más perturbaciones mecánicas, el desplazamiento de las partículas del medio de propagación es igual a la suma algebraica de los desplazamientos producidos por cada una de las perturbaciones.

Si las ondas que se superponen fueran electromagnéticas, el principio de superposición implicaría que los campos eléctrico y magnético de la perturbación resultante corresponderían a las sumas vectoriales de los campos eléctricos y magnéticos de estas ondas.

Sean dos ondas, con el mismo número de ondas, amplitud y frecuencia angular, propagándose hacia la derecha con fases diferentes, cuyas ecuaciones de onda son:







t

kx



Asen

y

kx

t

Asen

y

















2 1

Aplicando el principio de superposición, se tiene:



t kx



Asen



t kx



A



sen



t kx



sen



t kx





Asen y

y

Y ₁  ₂              

Aplicando la siguiente identidad trigonométrica:

       

      



2 2

cos

2 a b sen a b

Obtenemos:



 





 



_                            2 2 cos

2A t kx t kx sen t kx t kx

Y      

            _{ }        2 2 cos

2A  sen t kx  Y

Características:

1. La función de onda resultante y es también armónica y tiene la misma frecuencia y longitud de onda que las ondas individuales.

2. La amplitud de la onda resultante es 2A cos(θ/2), y su fase es igual a θ/2. Algunos casos particulares:

1. Interferencia constructiva, ocurre cuando la diferencia de fase es nula, es decir θ=0,2π,4π,6π,8π… ya que θ/2= ±1, tenemos pues las amplitudes se suman y la ecuación se convierte en:

            _{ }   2 2A sen t kx  Y

2. Interferencia destructiva, ocurre si la diferencia de fase es θ=π,3π,5π,7π… ya que θ/2= 0, tenemos que Y(x,t)=0

¿Qué sucederá cuando dos ondas de diferente frecuencia se superpongan? Imagina, por ejemplo, que dos instrumentistas tocan al unísono, produciendo ondas de la misma amplitud pero uno de ellos emite una frecuencia de 40 Hz, mientras el otro la emite de 50 Hz. En esta situación, no se oirá un sonido constante.

Para este caso el análisis matemático es el siguiente:

Consideremos dos ondas de igual amplitud que viajan por un medio en la misma dirección y sentido, pero de frecuencias ligeramente diferentes, w1 y w2, donde las ecuaciones de ondas son las siguientes:



t k x



Asen

y₁  ₁  ₁ y y₂  Asen



₂tk₂x



Aplicamos el principio de superposición y obtenemos



t k x



y Asen



t k x



Asen

y y

Ayudándonos de la identidad trigonométrica                 2 2 cos

2 a b sen a b

senb sena Obtenemos:



 





 



_                          2 2 cos

2_A 1t k1x 2t k2x _sen 1t k1x 2t k2x

Y    





_               

 A t k x sen t kx

Y  

2 2 cos 2 con 2 2 1     2 2 1 k k

k   y   ₁ ₂ k  k₁k₂

Donde la amplitud resultante Ar viene dada por la expresión:

        

 A t k x

A_r

2 2

cos

2 

Lo que permite rescribir la ecuación de la siguiente manera:



t kx



sen

A

Y 2 _r  

Las ondas electromagnéticas

Hasta aquí describíamos las ondas mecánicas, las cuáles corresponden a la perturbación de un medio. El campo eléctrico y el campo magnético son las manifestaciones de las interacciones debidas a las cargas eléctricas, en reposo o en movimiento. En temas anteriores se ha señalado que los campos eléctricos y magnéticos existen simultáneamente y, por tanto, en realidad lo que existe es un campo electromagnético. Las ondas electromagnéticas a diferencia de las mecánicas, no necesita de un medio para sus existencia.

Las ondas electromagnéticas ocurren como consecuencia de dos efectos:

 Un campo magnético variable genera un campo eléctrico.

 Un campo eléctrico variable produce un campo magnético.

Lo que significa que las fuentes de radiación electromagnética son cargas eléctricas aceleradas, es decir, cambian con el tiempo su velocidad de movimiento.

El campo electromagnético es tal, que se propaga en el espacio aunque esté vacío. Se propaga en forma de onda electromagnética a la velocidad de la luz. La propia luz es una onda electromagnética. La importancia de las ondas electromagnéticas radica en su amplio espectro, que permite multitud de aplicaciones, como en las telecomunicaciones, el estudio del Universo, la medicina o la industria.

Tipos de ondas electromagnéticas

Propiedades:

 Las ondas electromagnéticas no necesitan un medio material para propagarse.

 Pueden atravesar el espacio desplazándose en el vacío a una velocidad aproximada de 300.000 km/s a la que se denota con la letra c y se conoce como la velocidad de la luz.

 Todas las radiaciones del espectro electromagnético presentan las propiedades típicas del movimiento ondulatorio, como la difracción y la interferencia.

 Las longitudes de onda van desde billonésimas de metro hasta muchos kilómetros.

 La longitud de onda (λ) y la frecuencia (f) de las ondas electromagnéticas, relacionadas mediante la expresión λ · f = c, son importantes para determinar su energía, su visibilidad, su poder de penetración y otras características.

Espectro Electromagnético:

Los tipos de ondas electromagnéticas descrito anteriormente son los que se conocen como espectro electromagnético, cuya descripción es la siguiente:

 Rayos gamma

Se originan en las desintegraciones nucleares que emiten radiación gamma. Son muy penetrantes y muy energéticas. Su longitud de onda (λ) < 0.1Å, donde 1Å es igual a 10-10 m.

 Rayos X

 Rayos UVA

Se producen por saltos electrónicos entre átomos y moléculas excitados, el Sol es emisor de rayos ultravioleta, que son los responsables del bronceado de la piel, si se recibe en dosis muy grandes puede ser peligrosa. Su longitud de onda se ubica entre 30Å < λ < 4000 Å.

 Luz visible

Es la pequeña parte del espectro electromagnético a la que es sensible el ojo humano, se producen por saltos electrónicos entre niveles atómicos y moleculares. Su longitud de onda se ubica entre 400 ηm < λ < 750 ηm.

Los cables de fibra óptica permiten utilizar la luz visible para transmitir grandes volúmenes de información a grandes distancias, sobre todo con el uso del láser (luz monocromática y coherente).

 Radiación infrarroja

Es emitida por cuerpos calientes y son debidas a vibraciones de los átomos. Su longitud de onda se ubica entre 10-7 m < λ < 10-3 m. La fotografía infrarroja tiene grandes aplicaciones: en medicina (termografías), en la industria textil se utiliza para identificar colorantes, en la detección de falsificaciones de obras de arte, en telemandos, estudios de aislantes térmicos, cocina vitrocerámica halógena, etc.

 Radiación de microondas

Son producidas por vibraciones de moléculas, se utilizan en radioastronomía, en el radar, banda UHF de televisión, enlaces de telefonía móvil y en hornos eléctricos. Su longitud de onda se ubica entre 0.1 mm < λ < 1 m.

 Ondas de radio

Son ondas electromagnéticas producidas por el hombre con un circuito oscilante, se emplean en radiodifusión, las ondas usadas en la televisión y se detectan mediante antenas. Su longitud de onda se ubica entre 1 cm < λ < 1 km.

o Las radioondas más largas se reflejan en la ionosfera y se pueden detectar en antenas situadas a grandes distancias del foco emisor.

o Las ondas medias se reflejan menos en la ionosfera, debido a su gran longitud de onda pueden superar obstáculos, por lo que pueden recorrer grandes distancias. Para superar montañas necesitan repetidores.

Espectro Electromagnético Las ondas electromagnéticas y las telecomunicaciones.

Tras la obtención por parte de Hertz de las ondas electromagnéticas en 1888, varios científicos e inventores en diversos países trabajaron en su desarrollo, es así como el ingeniero e inventor italiano Marconi perfeccionó el sistema y en 1901 consiguió la primera transmisión entre Europa y América.

Los sistemas de modulación más frecuentes son de amplitud modulada AM y frecuencia modulada FM. En el sistema AM, la señal se superpone a la amplitud de la onda portadora. En el sistema FM, la amplitud de la onda portadora se mantiene constante, pero su frecuencia varía según la cadencia de las señales moduladoras. Este sistema reproduce el sonido con mayor fidelidad.

Los usos de las distintas bandas del espectro vienen determinadas por el hecho de que, a mayor frecuencia de la onda, mayor cantidad de información es capaz de transportar. Por esto se utilizan mayores frecuencias en la televisión que envía señales de imagen y sonido, que en la radio que sólo envía señales de sonido.

La absorción y la atenuación de las ondas hace necesario establecer redes de repetidores y radioenlaces, tanto terrestres como desde satélites de comunicaciones, entre los 800 MHz y los 42 GHz en la banda de microondas.

Los teléfonos móviles tienen un emisor-receptor que enlaza con un "radioenlace" que es capaz de recibir y reenviar los mensajes dentro de su zona de cobertura. Los teléfonos móviles utilizan frecuencias entre 900 y 1800 MHz y cada número de móvil corresponde a una frecuencia. Un problema importante es cómo conseguir el mayor número de frecuencias disponibles, evitando las interferencias entre ellas. El uso del teléfono móvil se inició en la Segunda Guerra Mundial y desde entonces se han desarrollado varios sistemas hasta su popularización.

El radar (RAdio Detection And Ranging) utiliza microondas SHF para localizar la posición y la velocidad de los aviones, barcos, nubes u otros objetos. Está formado por una antena que emite pulsos electromagnéticos y que actúa también como receptora de la onda reflejada por el objeto.

Las ecuaciones de Maxwell

El físico británico James Clerk Maxwell estableció la teoría de las ondas electromagnéticas en una serie de artículos publicados en la década de 1860. Maxwell analizó matemáticamente la teoría de los campos electromagnéticos y afirmó que la luz visible era una onda electromagnética.

cuerpo cargado. La diferencia más importante es que la magnitud y la dirección de la fuerza electromagnética dependen de la carga del cuerpo que lo produce y también de su velocidad; por esta razón, la teoría del electromagnetismo es más complicada que la teoría newtoniana de la gravitación, y las ecuaciones de Maxwell son más complejas que la fórmula de Newton para la fuerza gravitacional. Un aspecto común entre la gravitación y el electromagnetismo es la existencia de una aparente acción a distancia entre los cuerpos, acción que tanto disgustaba a Newton. Maxwell no resolvió ese problema, pero inventó un concepto que desde entonces se ha utilizado constantemente en la física: el campo electromagnético.

La interacción electromagnética que está asociada con una propiedad característica de las partículas denominada carga eléctrica y se describe en términos de dos campos: el campo eléctrico E, y el campo magnético B, que ejercen una fuerza sobre una partícula cargada con carga q que se mueve con velocidad v.



E v B



q

F   

Los campos E y B vienen determinados por la distribución de las cargas y por sus movimientos (corrientes).

La teoría del campo electromagnético se puede condensar en cuatro leyes denominadas ecuaciones de Maxwell que se pueden escribir de forma integral de la siguiente forma Ley de Gauss para el campo eléctrico



 

0



q dS E

Ley de Gauss para el campo magnético, no existen polos magnéticos aislados:



BdS 0 Ley de Faraday-Henry, explica el fenómeno de inducción electromagnética

dt d dS B dt

d dl

E    B





Ley de Ampere-Maxwell, define la Fuerza magnética entre corrientes, ondas electromagnéticas

dt d i

dS E dt

d i

dl

B       E

0 0 0 0

0

0    









Al aplicar las ecuaciones de Maxwell a las ondas electromagnéticas en el vacío, es decir, separadas de cualquier corriente o carga eléctrica, i = 0 y q = 0, se obtiene:



EdS 0



BdS 0

dt d dS B dt

d dl

E    B





dt d dS

E dt

d dl

B 00



00 E



   

Algunas soluciones aplicadas a las ondas electromagnéticas son las siguientes: Velocidad de las ondas en el vacío

0 0

1

 



c

La densidad de energía de campo eléctrico (uE) es: 0 2 2 E

u_E  

La densidad de energía de campo magnético (uB) es: 2

0

2 1

B u_B





La densidad total de energía: u₀E2

La relación entre las magnitudes de los campos eléctricos y magnéticos viene dada por:

c E B

La intensidad de energía electromagnética (I) se obtiene con:

0



EB I 

El vector Intensidad se denomina Vector de Poynting

0



B E I  

Finalmente las ecuaciones de las ondas electromagnéticas son las siguientes:

 





 

x t B sen



kx t



B

t kx sen E t x E

m m





 

 