01. Sabiendo que el diámetro de la tierra es cuatro veces el de la Luna y que la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es seis veces la de la superficie lunar, ¿cuántas veces es mayor la masa de la Tierra que la de la Luna?
Relacionando los valores de la gravedad,
T
2 2
T T T L T T
2 L
L L T L L
2 L M G
g R M R M 1 M
6 96
M
g G M R M 16 M
R
02. ¿Hasta qué altura sobre a superficie terrestre hay que subir para que la intensidad del campo gravitatorio se reduzca en un 25%?. ¿Hasta qué profundidad hay que descender para que ocurra lo mismo?
A esa altura
11 24
6 6
T
T 2 T
T
M 6,67·10 ·5,98·10
g 0,75g 7,35 G R h 7,37·10 m h 10 m
7,35 (R h)
Dentro de la esfera terrestre la gravedad varía linealmente con la altura, luego habrá que
descender hasta que el radio de la esfera sea 0,75RTes decir 1592,5 km
03. Júpiter tiene un diámetro 12 veces mayor que el terrestre y su masa es 320 veces mayor. Calcular: a) La relación entre las densidades
3 3
J J T J T J T
3 3
T T J T J T J
M V M R M R
M 320 0,185
V M V M R M R 12
b) La relación entre las velocidades de escape
J T J
J T
J T T
2G M 2G·320 M v
v 5,16 v 5,16
R 12R v
04. Si la densidad de la Tierra es de 5500 kg/m3, calcular el valor de su radio sabiendo que la gravedad
media al nivel del mar vale 9,8 m/s2. Calcular el valor de la gravedad a una altura sobre la Tierra
equivalente a la longitud del radio encontrado.
3 T
T T
T 2 2 T T
T T
4 R
M 3 4 3g
g G G G R R 6377,5km
3 4 G
R R
la masa es 3 24
T T
4
M R 5,976·10 kg 3
a esa altura la gravedad vale
T
2
T
2 T2 2T
T T T
M M M
g G G G 2,45ms
4R
R h R R
05. Desde el suelo se dispara verticalmente un proyectil de 20 kg de masa con una velocidad de 5,0 km s-1.
a) Representa gráficamente en función de la distancia r al centro de la Tierra las energías cinética y potencial gravitatoria del proyectil si no hay perdidas de energía por rozamiento, para r mayor que el radio terrestre. Escalar el eje de energías en MJ y el eje de distancias en km.
b) Si el rozamiento del aire consume el 22% de la energía cinética inicial del proyectil, ¿qué altura máxima alcanzará?
Datos: G = 6,67 10-11 N m2 kg-2 Masa de la Tierra = 5,98·1024 kg radio Tierra = 6371 km.
a) ver problema 11
2
T T
PFIN PINI T
T T T T
M m M m 1 1 1
W E E G G G M m mv
R h R R R h 2
2
8 6
T T T
1 1 1 v
3,13·10 h 1,59·10 m
R R h 2 G M
Si pierde un 22% en rozamiento, se le comunica al cuerpo un 78% de la energía
2
PFIN PINI T
T T
1 1 1
W E E G M m 0,78· mv
R R h 2
2
8 6
T T T
1 1 1 v
0,78· 2,44·10 h 1,17·10 m
R R h 2 G M
06. La masa de la Luna es de 6.5.1022 kg, y su radio 16.105 m. ¿Qué distancia recorrerá un cuerpo en un
segundo en caída libre hacia la Luna, si se le abandona en un punto próximo a su superficie?
La gravedad lunar es L 2
L 2
L M
g G 1,69ms R
y el espacio recorrido es 2
L 1
e g t 0,85m 2
07. Consideramos la Tierra como una esfera homogénea (densidad constante) en cuya superficie g0=9,8
m/s2. Debido a una explosión nuclear, desaparece un tercio de la masa del planeta situada en la parte
más externa, manteniendo la homogeneidad. Calcular el valor de g en la nueva superficie.
La masa del nuevo planeta es 3 3
N T T N
2 2 4 4
M M R R
3 3 3 3
de donde 0,87RT RN
y la gravedad en la nueva superficie es N T 2
N 2 2 2 2 T
N T
M 0,67 M 0,67
g G G g 8,67ms
R 0,87 R 0,87
08. Dos masas puntuales de 5 kg y 10 kg, se encuentran en los puntos de coordenadas (0, 1) y (0, 7). Calcular:
a) la intensidad del campo gravitatorio en el punto (4, 4)
b) el trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg desde el punto (0, 4) hasta el punto (4, 4), indicando la interpretación física que tiene el signo del trabajo calculado.
11 11 1
5
5 2 2 2
5
11 11 1
10
10 2 2 2
10
m 5
g G 6,67·10 1,33·10 Nkg
r 3 4
m 10
g G 6,67·10 2,66·10 Nkg
r 3 4
Las dos forman un ángulo de 36,87º (tg=0,75) con la horizontal, luego
11 1
x 10 5
12 1
y 10 5
g g cos36,87º g cos36,87º 3,19·10 Nkg g g sen36,87º g sen36,87º 7,98·10 Nkg
11 12
g 3,19·10 i 7,98·10 j
También podíamos haber dicho que 2 2 11 11
TOT
g (3,19) (0,798) ·10 3,28·10 Nkg , que forma un ángulo
de
12
11
7,98·10
arctg 14,04º
3,19·10
con la parte negativa del eje de las X.
El trabajo es la diferencia de energía potencial entre los dos puntos:
11 (4,4) (0,4)
10·1 5·1 10·1 5·1
W E E G G G G 3G 5G 2G 1,33·10 J
5 5 3 3
g10
09. Dos planetas esféricos tienen la misma masa, M1 = M2, pero la aceleración de la gravedad en la
superficie del primero es cuatro veces mayor que en la del segundo. Calcula la relación entre los radios de los dos planetas, R1/R2, y entre sus densidades medias.
Relacionamos los valores de g
1
2
1 2 2
1 1 1 2 2 1
2
2 2 2 1 1 2
2 2
2 M g G
R g M R R R 1
4
M g M R R R 2
g G
R
La relación entre las densidades será:
3 3
1 2
3
1 1 2 1 2
3
2 2 1 2 1
2 1
4
M R
M V 3 M R
1·2 8 4
M V M R M R
3
10. Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, siendo sus órbitas de distinto radio. ¿Cuál de los dos se moverá con mayor velocidad? ¿Por qué?
La velocidad con la que se mueve un satélite en su órbita es:
2
A CP 2
G M
Mm v
F F G m v
R R
R
1 2
2 1
v R
v R si R2 R1, entonces v1v2
lo que quiere decir que el de órbita de más radio se mueve más despacio.
11. Representa gráficamente en función de la distancia r al centro de la Tierra las energías cinética y potencial gravitatoria de un proyectil si no hay pérdidas de energía por rozamiento, para r mayor que el radio terrestre.
La energía potencial es T
P
M m
E G
r
la energía cinética 2 T
C
G M m
1 1
E mv
2 2 r
y la total T
T C P
G M m 1
E E E
2 r
12. Plutón describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Indique para cada una de las siguientes magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto más alejado del Sol) comparado con el perihelio (punto más próximo al Sol):
a) momento angular respecto a la posición del Sol b) momento lineal
c) energía potencial d) energía mecánica.
El momento angular es constante, no hay fuerzas exteriores.
A P A A P P
L L mv r mv r luego A P
P A
P A
mv r
1 p p
mv r
La energía potencial PP P A
PP PA
PA P
A Mm G
E r r
1 E E
Mm
E G r
r
La energía mecánica es la misma en todos los puntos de la trayectoria, se trata de un campo conservativo. RT
ET
EC
EP
rP rA
13. Consideremos los puntos extremos de una órbita elíptica alrededor del Sol. Una de las distancias es el doble de la otra. Calcular la excentricidad de la elipse y la relación entre sus velocidades.
3 1
2 2
a d c d
La excentricidad de la elipse es e c 1 0,33
a 3
el momento angular se mantiene constante:
A A A A A
P P P P P
L r mv 2 v v 1
1
L r mv v v 2
14. Determina la variación de la energía potencial de la Luna, correspondiente a su interacción gravitatoria con el Sol y la Tierra, entre las posiciones del eclipse de Sol y eclipse de Luna. Suponer circulares tanto la órbita de la Tierra alrededor del Sol como la de la Luna alrededor de la Tierra.
Datos: T-S=1,5·1011 m ; L–T = 3,8·108 m ; M
L= 7,35·1022 kg ; MS=1,99·1030 kg; G=6,67·10-11 N m2 kg-2.
S L T L
P EC LUNA PS PT
TS LT LT
S L T L
P EC SOL PS PT
TS LT LT
M M M M
E E E G G
R R R
M M M M
E E E G G
R R R
y sustituyendo, tenemos los valores
31 31
P EC LUNA P EC SOL
E 6,495·10 J E 6,527·10 J
15. Un astronauta de 100 kg de masa está en la superficie de un asteroide de forma esférica, de 2,4 km de diámetro y de densidad media 2,2 g cm-3. Determinar con qué velocidad debe impulsarse el astronauta
para abandonar el asteroide. El astronauta carga ahora con una mochila de 40 kg ¿le será más fácil salir ahora del asteroide? ¿Por qué?
Se trata de la velocidad de escape
3
2 1
4 3
G R
G M 4
v G R 1,88ms
R R 3
y no depende de la masa del individuo
16. Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 días terrestres en recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5,27·108
m, calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno. Aplicando la tercera ley de Kepler:
2 2 2 2
9
R T
T
3 3 8 3 3
R T T
T T 4,52 15,9
; R 1,22·10 m
R R (5,27·10 ) R
Las dos fuerzas son la misma: FA FCP
2 3 2
2 26
S R
R R S
2 2 2
R R R
M m 4 4 R
G m R m R ; M 5,674·10 kg
R T G T
17. La Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 1,52·1011
m y su velocidad orbital es 2,92·104 m/s. Calcular:
a) El momento angular de la Tierra respecto al Sol.
b) La velocidad orbital en el perihelio. (distancia al Sol 1,47·1011m).
SOL Afelio
Perihelio
a c
d 2d
vA
vP
SOL
SOL
L T
L T
Eclipse de Luna
Eclipse de Sol
FA
El momento angular es L r mv 1,52·10 ·5,98·10 ·2,92·10 11 24 4 2,65·10 kgm s40 2 1
El momento angular es constante en todos los puntos. En el perihelio:
11 24 40 2 1
4 1
L r mv 1,47·10 ·5,98·10 ·v 2,65·10 kgm s
v 3,02·10 ms
18. Un satélite de comunicaciones está situado en órbita geoestacionaria circular en torno al ecuador terrestre. Calcular:
a) Radio de la trayectoria, aceleración tangencial del satélite y trabajo realizado por la fuerza gravitatoria durante un semiperiodo.
b) Campo gravitatorio y aceleración de la gravedad en cualquier punto de la órbita. a) La fuerza de atracción es la fuerza centrípeta:
2 2 2
2
O 3
A C 2 2 O 2
O
O O
4 R
Mm v M G M T
F F G m G R 42265km
R
R R T 4
La velocidad del satélite es constante, luego aT=0 m·s-2
La aceleración normal es distinta de cero.
El trabajo es cero porque los dos puntos están en la misma superficie equipotencial.
b) la gravedad en la órbita es:
24
11 2
2 6 2
O
5,98·10 M
g G 6,67·10 0,22m·s
R (42,265·10 )
19. La nave espacial Discovery describía en torno a la Tierra una órbita con una velocidad de 7,62 km s-1
a) ¿A qué altitud se encontraba?
b) ¿Cuál era su período? ¿Cuántos amaneceres contemplaban cada 24 horas los astronautas que viajaban en el interior de la nave?
La velocidad de un satélite en su órbita es
11 24
6 1
2 3 2
G M G M 6,67·10 ·5,98·10
v R 6,87·10 m·s
R v (7,62·10 )
y la altura es h 6,87·10 66,7·106 1,7·10 m5
el periodo es
6
3
2 R 2 ·6,87·10
T 5661,9s
v 7,62·10
, como el día tiene 86400 s verían 15,2 amaneceres (unos
días 15 y otros 16)
20. Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares de radios 2·108 m y
8·108 m respectivamente. Calcula la relación entre sus velocidades (tangenciales) respectivas.
La velocidad de cada satélite en su órbita es
A B
B A
v R
G M 1
v
R v R 2
21. Fobos (1,1·1016 kg) es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9380 km de radio,
respecto al centro del planeta, con un periodo de revolución de 7,65 horas. El otro satélite de Marte, Deimos (2,4·1015 kg), gira en una órbita de 23460 km de radio. Calcular:
a) La masa de Marte.
b) El período de revolución de Deimos.
c) El módulo del momento angular de Fobos respecto al centro de Marte. FA
Masa Fobos = 1,1·1016 kg; Masa Deimos = 2,4·1015 kg
a)
2 2 2 3
2
23
A C 2 2 2
4 R 4 R
M m v M
F F G m G M 6,43·10 kg
R
R R T G T
b) F3 D3 3D 3
D F
2 2 3 3
F D F
R R R 23460
T T 7,65 30,26h
T T R 9380
c) el momento angular es
2
26 2 2
F F
F F F F
F 2 M ·R
L R ·M ·v 2,21·10 kg·m ·s T
22. La masa de un planeta se puede calcular si, mediante observaciones astronómicas, se conoce el radio de la órbita y período de rotación de alguno de sus satélites. Razonar físicamente por qué (suponer órbitas circulares y utilizar las leyes de la mecánica).
2 3 2
2 PLANETA
PLANETA
2 2 2
M m 4 4 R
G m R m R; M
R T G T
23. Una de las lunas de Júpiter describe una órbita prácticamente circular con un radio de 4,22·108 m y
un período de 1,53·105 s. Deducir los valores de:
a) el radio de la órbita de otra de la lunas de Júpiter cuyo período es de 1,44·106 s.
b) la masa de Júpiter.
a) Aplicamos la tercerea ley de Kepler,
2
2 2 2 6
8 9
1 2 3 2 3
2 1
3 3 2 5
1 2 1
T T T 1,44·10
R R ·4,22·10 1,881·10 m
R R T 1,53·10
b)
2 3 2
2 JUPITER
JUPITER
2 2 2
2 8 3
27
JUPITER 11 5 2
M m 4 4 R
G m R m R M
R T G T
4 (4,22·10 )
M 1,898·10 kg
6,67·10 (1,53·10 )
24. En una galaxia lejana, se detecta un planeta que recorre una órbita de radio semejante al de Plutón en un tiempo equivalente a un año terrestre, por lo que los astrónomos deducen que gira alrededor de una estrella más masiva que el Sol. ¿Es correcta esta deducción? Razona por qué.
Para cualquier planeta,
2 2 3
2
2 2 2
Mm v 4 4 R
G m m R M
R
R T G T
Para Plutón,
2 3 P
SOL 2
p 4 R M
G T
y para el planeta X,
2 3 P ESTRELLA 2
T
4 R
M
G T
Dividiendo:
2 ESTRELLA P 2
SOL T
M T
M T y como TP TT MESTRELLA MSOL
25. Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El 1 describe una órbita circular de radio 1·1011 m con un período de 2 años, mientras que el 2 describe una órbita
elíptica cuya distancia más próxima es 1·1011 m y la más alejada es 1,8·108 Km.
a) Obtener el período de rotación del planeta 2 y la masa de la estrella
Para el paneta 2 utilizamos la media de las distancias y aplicamos Kepler 3
2 2 2 3 2 8 3
1 2 1 2
2
3 3 3 8 3
1 2 1
T T T R 2 ·(1,4·10 )
T 3,31años
R R R (1·10 )
Para el planeta 1
2 2 3 2 3
2
19
E 1 1 1 1
1 E
2 2
1
1 1
G M m v v R R 4 R
m M 5,50·10 kg
R G G
R T G
En los dos puntos el momento angular es el mismo
AF AF AF PE AF
PE PE PE AF PE
L mv r v r
1 1,8
L mv r v r
26. Un sistema estelar binario está constituido por dos estrellas de igual masa que se mueven describiendo una órbita circular alrededor de un punto que se encuentra a medio camino entre ellas (se mueven con la misma velocidad y en todo instante se encuentran en posiciones diametralmente opuestas). Si la distancia entre las estrellas es de 360 millones de kilómetros y tardan el equivalente a 5 años terrestres en describir una órbita completa, calcular la masa de las estrellas.
Las estrellas giran alrededor de su centro de masas con un radio de 180·109 m
2 3
2 2 3 2 9 3
2
29
CDM 1
CDM
2 2 2
G M m mv M v R R 4 R 4 (180·10 ) 1,40·10 kg
R G G
R T G (5·365·86400) G
Luego la masa de cada estrella es la mitad, 28
ESTRELLA
