Dossier cuarto op b

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(1)Matemáticas 4º ESO Opción B. Matemáticas 4º ESO (Opción B). Colegio Santa María del Carmen Alicante Profesora: Victoria Alfosea 1.

(2) Matemáticas 4º ESO Opción B. 2.

(3) Matemáticas 4º ESO Opción B. Índice de contenidos. Introducción .........................................................................................................................3 Objetivos generales de Matemáticas para la ESO ..............................................................4 Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción B .......................................................5 Competencias básicas.........................................................................................................6 Metodología .........................................................................................................................8 Índice de unidades y temporalización ..................................................................................9 Criterios de calificación ......................................................................................................10 Unidad 1: Trigonometría básica .....................................................................................11 Unidad 2: Resolución de triángulos................................................................................27 Unidad 3: Vectores.........................................................................................................43 Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos .......................................................................61 Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales .....................................................89 Unidad 6: Inecuaciones................................................................................................107 Unidad 7: Límites de sucesiones .................................................................................133 Unidad 8: Estudio de las funciones ..............................................................................151 Unidad 9: Tipos de funciones.......................................................................................181 Unidad 10: Cálculo de derivadas .................................................................................199 Unidad 11: Combinatoria..............................................................................................215 Apéndice: Lenguaje matemático ..................................................................................241. Introducción El material que tienes en las manos es una guía didáctica para el seguimiento del curso. A través de las explicaciones teóricas, sus numerosos ejercicios, más otros que te propondremos durante el curso, queremos conseguir que esta guía te sirva de ayuda, no sólo para comprender los fundamentos de las Matemáticas, sino que pretendemos que te llegue a interesar esta materia tanto como a tus profesores, e incluso, consigas quererla tanto como la queremos nosotros. Aquí encontrarás los objetivos, contenidos, criterios de evaluación (acordes a la Ley Orgánica de Educación 2/2006, de 3 de mayo, y que se concretan en el REAL DECRETO, BOE, 1631/2006, de 29 de diciembre, en el DECRETO 112/2007. DOGV, de 20 de julio), así como su contribución a la adquisición de las competencias básicas (o aprendizajes que se consideran imprescindibles), la metodología empleada y la temporalización de las unidades didácticas que necesitas conocer para el correcto aprovechamiento del curso que ahora comienzas. Te rogamos que sepas disculpar los posibles errores que pudieras encontrar en esta guía, y que no dudes en comunicárnoslos a los profesores para que podamos mejorarla en futuras versiones. Profesores de 4º de ESO. 3.

(4) Matemáticas 4º ESO Opción B. Objetivos generales de Matemáticas para la ESO La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de argumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana, con el fin de comunicarse de manera clara, concisa y precisa. 2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situaciones de la vida diaria. 3. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados. 4. Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificables y que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados, todo ello de la forma más adecuada, según la situación planteada. 5. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. 6. Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geométricas entre ellas; adquirir una sensibilidad progresiva ante la belleza que generan. 7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje. 8. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones. 9. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado. 10. Manifestar una actitud positiva muy preferible a la actitud negativa ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que les permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las Matemáticas. 4.

(5) Matemáticas 4º ESO Opción B 11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas materias de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica. 12. Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura: tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad entre los sexos o la convivencia pacífica.. Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción B 1. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización. 2. Expresar verbalmente con precisión y rigor, razonamientos, relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático. 3. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico. 4. Calcular el valor de expresiones numéricas de números racionales (basadas en las cuatro operaciones elementales y las potencias de exponente entero que contengan, como máximo, tres operaciones encadenadas y un paréntesis), aplicar correctamente las reglas de prioridad y hacer un uso adecuado de signos y paréntesis. 5. Simplificar expresiones numéricas irracionales sencillas (que contengan una o dos raíces cuadradas) y utilizar convenientemente la calculadora científica en las operaciones con números reales, expresados en forma decimal o en notación científica y aplicar las reglas y las técnicas de aproximación adecuadas a cada caso; valorar los errores cometidos. 6. Dividir polinomios y utilizar la regla de Ruffini y las identidades notables en la factorización de polinomios. 7. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita e interpretar gráficamente los resultados. 8. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 9. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas, y para las indirectas en situaciones reales. 10. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal, y las relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver problemas trigonométricos de contexto real, con la ayuda, si es preciso, de la calculadora científica. 11. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas.. 5.

(6) Matemáticas 4º ESO Opción B 12. Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que puede representarlas y aproximar e interpretar la tasa de variación a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. 13. Representar gráficamente e interpretar las funciones constantes, lineales, afines o cuadráticas por medio de sus elementos característicos (pendiente de la recta, puntos de corte con los ejes, vértice y eje de simetría de la parábola) y las funciones exponenciales y de proporcionalidad inversa sencillas por medio de tablas de valores significativas, con la ayuda, si es preciso, de la calculadora científica. 14. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadísticos más usuales en distribuciones unidimensionales y valorar cualitativamente la representatividad de las muestras utilizadas. 15. Determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimento aleatorio, simple o compuesto; utilizar la Ley de Laplace, los diagramas de árbol, las tablas de contingencia u otras técnicas combinatorias para calcular probabilidades simples o compuestas. 16. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana.. Competencias básicas En el marco de la propuesta realizada por la Unión Europea, se han identificado ocho competencias básicas: 1. Competencia en comunicación lingüística. 2. Competencia matemática. 3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 4. Tratamiento de la información y competencia digital. 5. Competencia social y ciudadana. 6. Competencia cultural y artística. 7. Competencia para aprender a aprender. 8. Autonomía e iniciativa personal. Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos están orientados a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. Conviene señalar que no todas las formas de enseñar Matemáticas contribuyen por igual a la adquisición de la competencia matemática: el énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o la misma selección de estrategias para la resolución de un problema, determinan la posibilidad real de aplicar las Matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana.. 6.

(7) Matemáticas 4º ESO Opción B La discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio contribuye a profundizar la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. La modelización constituye otro referente en esta misma dirección. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comportamiento, regularidades e invariantes, a partir de las que poder hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo. Por su parte, la incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas, contribuye a mejorar el tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. No menos importante resulta la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de las alumnas y alumnos. Las Matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística ya que son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, y en particular en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos realizados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir conjeturas gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto. Las Matemáticas contribuyen a la competencia cultural y artística porque el mismo conocimiento matemático es expresión universal de la cultura, siendo, en particular, la geometría parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para describir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonomía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia. Los propios procesos de resolución de problemas contribuyen de forma especial a fomentar la autonomía e iniciativa personal porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. También, las técnicas heurísticas que desarrolla constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de razonamiento y consolida la adquisición de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender tales como la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. La aportación a la competencia social y ciudadana desde la consideración de la utilización de las matemáticas para describir fenómenos sociales. Las matemáticas, fundamentalmente a través del análisis funcional y de la estadística, aportan criterios científicos para predecir y tomar decisiones. También se contribuye a esta competencia enfocando los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, lo que permite de paso valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios como formas alternativas de abordar una situación.. 7.

(8) Matemáticas 4º ESO Opción B. Metodología. En la primera sesión de cada unidad didáctica, los profesores trataremos de motivar al alumnado sobre la materia de la que se trate, evaluando los conocimientos previos mediante preguntas orales, ejemplos, curiosidades... Según la naturaleza del tema, se optará por dar o no el esquema de la unidad en las primeras sesiones o al final del tema (para fijar conceptos y aclarar ideas). En general, los profesores explicamos los contenidos nuevos del tema en la pizarra y, al final de cada sesión se pide al alumnado que realice varios ejercicios (tanto de la parte explicada como de contenidos anteriores) para que pueda practicar. Al día siguiente, se comentan las soluciones, se resuelven dudas, y se hacen en la pizarra los ejercicios que han presentado mayor dificultad. El día previo a la realización de la prueba escrita, se intenta repasar (si hay tiempo) los conceptos y procedimientos más importantes vistos en clase. En la última sesión, se realiza una prueba escrita de los contenidos explicados. Para conseguir los objetivos propuestos en cada unidad: − los profesores proponemos numerosos ejercicios (en la pizarra) que el alumno debe realizar para la correcta asimilación de los mismos. Aquellos ejercicios que no formen parte de este dossier, se responden en la libreta del alumno. − se pregunta al alumnado (casi a diario, y al azar) sobre conceptos y procedimientos del tema o de temas anteriores. − es habitual la realización de ejercicios que han aparecido en exámenes anteriores (con muy buena acogida por parte de los alumnos). − siempre que haya tiempo, se suelen hacer “simularos” de exámenes que no tienen carácter evaluador, pero que permite al alumnado tener una idea mucho más clara de lo que se les va a pedir. Eventualmente se propondrán a los alumnos exposiciones voluntarias de una parte de alguna unidad didáctica, nueva o de repaso, para que sea el alumno quien la explique al resto de compañeros. Estas exposiciones son siempre individuales. El alumno podrá contar con cualquier material de apoyo que requiera: libros, apuntes, transparencias, video proyector... La elección de los alumnos para la realización de estas exposiciones siempre quedará a criterio del profesor. Las preguntas que realizan los alumnos son muy valoradas por parte de los profesores, así como el esfuerzo, el interés, trabajo en este dossier.... 8.

(9) Matemáticas 4º ESO Opción B. Índice de unidades y temporalización. Primera evaluación (del 15 de septiembre al 5 de diciembre): Unidad 1: Trigonometría básica .....................................................(10 sesiones) Unidad 2: Resolución de triángulos ..............................................(11 sesiones) Unidad 3: Vectores ..........................................................................(8 sesiones). Segunda evaluación (del 9 de diciembre al 2 de marzo): Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos .....................................(9 sesiones) Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales ...................(8 sesiones) Unidad 6: Inecuaciones ..................................................................(10 sesiones). Tercera evaluación (del 3 de marzo al 25 de mayo): Unidad 7: Límites de sucesiones....................................................(9 sesiones) Unidad 8: Estudio de las Funciones...............................................(8 sesiones) Unidad 9: Tipo de funciones ...........................................................(8 sesiones) Unidad 10: Cálculo de derivadas ....................................................(7 sesiones) Unidad 11: Combinatoria.................................................................(8 sesiones). El número de sesiones es un dato aproximado, ya que depende de numerosos factores. En cada evaluación hay más sesiones de las programadas aquí. Se pretenderá comenzar las unidades de la segunda y tercera evaluación antes de su comienzo oficial, así conseguiremos avanzar materia a la vez que evitaremos la coincidencia de exámenes al final de las evaluaciones.. 9.

(10) Matemáticas 4º ESO Opción B. Criterios de calificación Por encima de la rigidez de los porcentajes, estará siempre presente la flexibilidad de la evaluación acorde con las características y necesidades concretas que cada alumno presente.. Evaluación inicial Durante las primeras sesiones del curso se realiza una prueba-diagnóstico inicial con los contenidos del curso anterior. Una calificación de Apto en esta prueba permitirá superar la materia caso de que estuviera pendiente del curso anterior.. Evaluaciones trimestrales: − Ocasionalmente, y no a todos los alumnos, podrá hacerse un seguimiento del trabajo diario (mirar la libreta de clase) que puede llegar a determinar el aprobado o no de la materia. ( ± 5 %) − Interés demostrado por el alumno a través de preguntas en clase, exposición de trabajos, corrección de actividades, etc.: 10 % − Pruebas escritas tras cada Unidad Didáctica: 90 % − Exposiciones voluntarias en clase (+ 1 punto). Desde que acaba la 3ª evaluación hasta el comienzo de la evaluación final, y siempre que las circunstancias del horario lo permitan, es decir, que se disponga de horas suficientes, se adelantará materia, que será evaluable (si hay suficientes horas lectivas) en la evaluación final a través de una prueba escrita.. Evaluación final: Se calculará la media aritmética de las tres evaluaciones. El alumno-a recuperará los exámenes suspendidos, pero, en todo momento, los profesores favoreceremos el avance progresivo del alumno o alumna. Cada alumno o alumna podrá subir la calificación final, si la global está aprobada a la nota inmediatamente superior, siempre y cuando la calificación numérica de la global tenga las décimas superiores a 5. Si el alumno-a no consigue el Apto, tiene una nueva oportunidad de aprobar la asignatura en la convocatoria de septiembre, en este caso, con TODA la asignatura y previa entrega de los trabajos previstos para las vacaciones de verano. En todo momento, y en especial a la hora de la evaluación final se tendrá en cuenta de que los mínimos exigidos en esta opción son más altos que los de la opción A.. Recuperar la materia pendiente: El alumno o alumna dispone de dos oportunidades durante el curso para superar la materia si la tuviera pendiente de 3º de ESO: 1. Aprobando la prueba inicial (con contenidos de 3º de ESO) que se realiza en durante las primeras sesiones de curso. 2. Aprobando, al menos, una evaluación en el presente curso. El alumno,a deberá tener siempre presente que no podrá examinarse en la prueba final de junio de 4º de ESO si no tiene previamente aprobada la asignatura correspondiente del año anterior. Si se diera esta situación, el alumno,a deberá superar el(los) examen(es) del curso(s) anterior(es) antes de poderse examinar del curso actual. Esto será válido para las convocatorias de junio y septiembre. 10.

(11) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. [La elegancia de los teoremas geométricos es]. directamente proporcional al número de ideas que en ellos vemos, e inversamente proporcional al esfuerzo requerido para comprenderlos.. George Polya (matemático húngaro, 1887 – 1985). Unidad 1: Trigonometría básica 11.

(12) Matemáticas 4º ESO Opción B. 12. Unidad 1: Trigonometría básica.

(13) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Índice de la unidad. Unidad 1: Trigonometría básica.....................................................................................15 1.1 Introducción .........................................................................................................15 1.2 Medida de ángulos...............................................................................................15 1.3 Razones trigonométricas .....................................................................................16 1.4 Uso de la calculadora...........................................................................................17 1.5 Relaciones trigonométricas fundamentales .........................................................18 1.6 Ángulos notables .................................................................................................19 1.6.1 Reglas nemotécnicas ....................................................................................20 1.7 Ampliación del concepto de ángulo .....................................................................20 1.7.1 Ángulos mayores de 360º..............................................................................20 1.7.2 Esfera goniométrica.......................................................................................20 1.7.3 Signo de las razones trigonométricas............................................................21 1.7.4 Razones trigonométricas (directas) de un ángulo cualquiera........................21 1.7.5 Ángulos situados en distintos cuadrantes con razones iguales.....................22 1.8 Resolución de problemas.....................................................................................23 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ... − Utilizar, indistintamente, grados y radianes en las operaciones − Realizar cálculos trigonométricos − Calcular distancias y ángulos en triángulos rectángulos − Usar la terminología específica de la trigonometría − Utilizar con soltura la calculadora con operaciones trigonométricas. Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad: − Utilizar tanto el sistema sexagesimal como el radián para expresar la medida de los ángulos y efectuar operaciones con ellos, con y sin calculadora (C1, C2, C3 y C4). − Analizar las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos y expresarlas mediante las razones trigonométricas para aplicarlas a la resolución de los problemas de triángulos (C1, C2, C7 y C8) − Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se recibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3). − Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigonométricos (C1 y C2). − Cultivar la sensibilidad, la creatividad y el apasionamiento estético son objetivos de algunos de los apartados de esta unidad (C6).. 13.

(14) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Criterios de evaluación − Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo − Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del cual se conoce una cualquiera de ellas − Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo con ayuda de las de otro que pertenece al primer cuadrante − Aplica las relaciones fundamentales para la resolución de problemas − Aplica el cálculo de razones trigonométricas a la resolución de problemas relacionados con las matemáticas, las otras ciencias o la vida cotidiana. Contenidos conceptuales. − Grados, minutos y segundos como unidades de medida angular. Radianes − Relación entre los grados sexagesimales y los radianes − Seno, coseno y tangente de un ángulo agudo − Cosecante, secante y cotangente de un ángulo agudo − Relaciones fundamentales − Ampliación del concepto de ángulo: mayores que 360°. Esfera goniométrica − Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera − Ángulos suplementarios y opuestos: razones. Contenidos procedimentales − Expresión de la medida de un ángulo en radianes (grados sexagesimales) cuando se conoce su medida en grados sexagesimales (radianes) − Cálculo de las razones trigonométricas ángulos agudos de un triáng. rectángulo − Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo utilizando la calculadora científica − Cálculo del valor de un ángulo mediante la calculadora científica y conociendo una de sus razones trigonométricas − Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo conociendo una de ellas − Expresión de un ángulo mayor que 360° como suma de un número entero de vueltas completas y un ángulo menor que 360°. 14.

(15) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Unidad 1: Trigonometría básica Utilizada, básicamente, para el cálculo de distancias, la trigonometría es un conjunto de fórmulas que nos permitirán resolver muchos problemas con aparente difícil solución (altura de una cometa, altura de las pirámides, distancias entre estrellas... ). 1.1 Introducción Como ya sabes metría es un sufijo que significa medida o medición. También conoces que tri es un prefijo que significa tres. Pero quizá no conozcas que gono significa ángulo (polígono, octógono). Así pues, la trigonometría es el estudio (medidas) de los elementos de un triángulo.. 1.2 Medida de ángulos Se utilizan fundamentalmente dos unidades: el grado sexagesimal, y el radián. En este curso utilizaremos la primera, por ser más sencilla y conocida, pero ten en cuenta, en el Bachillerato se utilizarán, preferentemente, los radianes. Grado sexagesimal Es el arco que se obtienen al dividir la circunferencia en 360 partes. Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos. Radián Es el arco que se obtiene al dividir la circunferencia entre su radio.. longitud 2π r = = 2π rad radio r Relación entre ambas unidades Una circunferencia tiene 2π rad , es decir:. 2π rad = 360º , o bien π rad = 180º , o bien Ejemplo: ¿cuántos radianes son 200° ? 200° = 200°. π rad 180º. π 2. =. rad = 90º. 10π rad ≅ 3'49rad 9. Ejercicio 1 Obtén los radianes correspondientes a los siguientes grados:. a ) 180° = b) 305° = c) 45° = 15.

(16) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Ejercicio 2 Obtén los grados correspondientes a los siguientes radianes:. a ) π rad = b). 1 rad = 2. c) 1rad =. 1.3 Razones trigonométricas. β. α Dado el triángulo rectángulo superior se definen las razones trigonométricas del ángulo. sen α =. cateto opuesto a = hipotenusa c tg α =. cos α =. α. :. cateto contiguo b = hipotenusa c. cateto opuesto a = cateto contiguo b. Ejercicio 3 Determina tú las razones trigonométricas del mismo triángulo, pero referidas al ángulo. ¿Extraes alguna conclusión?. 16. β. :.

(17) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Para cada una de las razones trigonométricas anteriores existe su correspondiente razón inversa:. cosec α =. 1 hipotenusa = sen α cateto opuesto cotg α =. sec α =. 1 hipotenusa = cos α cateto contiguo. 1 cateto contiguo = tg α cateto opuesto. Ten en cuenta que las razones trigonométricas son adimensionales: no tienen unidades.. Ejercicio 4 Halla las tres razones trigonométricas principales del siguiente triángulo (ángulos. α y β ):. Mira de nuevo el triángulo del ejercicio 4. Imagina que uno de los lados del triángulo fuera desconocido, ¿cómo lo solucionarías? Existe una alterativa, que pasa por utilizar sólo las razones trigonométricas, pero, para ello, es necesario utilizar la calculadora científica.. 1.4 Uso de la calculadora Es fundamental que, para todos los cálculos que realicemos durante esta unidad y la siguiente, en la pantalla de tu calculadora aparezca el acrónimo: DEG, que corresponde con la abreviatura anglosajona de degree (grados); existen otras dos formas: RAD, para los radianes, y GRAD, para grados centesimales (en un ángulo recto hay 100º). Debes localizar las teclas sen (o sin si está en inglés), cos, y tg (o tan). En general, y con la opción Shift (o INV, o 2º operador) podrás acceder a las inversas, es decir: sen-1, cos-1 y tg-1 que sirven, como veremos después, para obtener los ángulos. Te ofrecemos unos resultados “redondos“ para que puedas comprobar tus operaciones:. sen 30º = 0 '5 ; tg 45º = 1 ; cos 60º = 0 '5 ; sen 90º = 1 ¿Y si tenemos, por ejemplo. sen α =. 1 = 0 '5 , podremos averiguar que α = 30° ? 2 17.

(18) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Debes utilizar la función inversa que decíamos antes:. Si. sen α =. 1 = 0 '5 , entonces α = arcsen 0 '5 = 30° , que se lee: “alfa es el arco 2. cuyo seno es 0’5”. Ejercicio 5 Con ayuda de la calculadora obtén los ángulos pedidos:. a ) sen α = 0 '5 → α =. 3 2. b). cos β =. c). tg γ = 1 → γ =. d ) sen ω =. →. 2 2. β=. → ω=. 1.5 Relaciones trigonométricas fundamentales Vamos a ver tres de ellas. Si continúas tus estudios de Bachillerato en alguna modalidad de Ciencias, verás algunas más, y las correspondientes demostraciones:. I. sen. 2. α + cos 2 α = 1. II. tg α =. sen α cos α. Ejercicio 6 Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:. a ) sen x ⋅. 1 = tg x. b) sen 3 x + sen x ⋅ cos 2 x = c). sec x = cosec x ⋅ tg x. cos 2 x d) = 1 − sen x. 18. (Pista: intenta que el numerador se “parezca” al denominador). III. 1 + tg. 2. α=. 1 cos 2 α.

(19) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Ejercicio 7 Simplifica al máximo esta expresión:. ( sen α + cos α ) + ( sen α − cos α ) 2. 2. =. 1.6 Ángulos notables Se trata de unos ángulos especiales que requieren un tratamiento diferenciado. Son ángulos notables: 0°, 30º , 45º , 60° y 90° Teniendo en cuenta que el seno es la ordenada y el coseno es la abscisa, se deduce fácilmente que sen 0° = 0 y que cos 90° = 0 . Para obtener (sin calculadora) las razones de 30º , en una escuadra y un cartabón:. 45º y 60° nos vamos a apoyar. Ejercicio 8 Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 30º y 60° (sin calculadora):. Ejercicio 9 Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 45º (sin calculadora):. 19.

(20) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. 1.6.1 Reglas nemotécnicas A fin de recordar las razones trigonométricas de los ángulos notables podemos utilizar las siguientes reglas: ángulo seno. 0° 0 2. 30° 1 2. 45° 2 2. 60° 3 2. 90° 4 2. 0°. 30°. 45°. 60°. 90° 0 2. 0 4. 1 3. Ejercicio 10 Completa tú las casillas vacías: ángulo coseno. tangente. 1.7 Ampliación del concepto de ángulo Hasta ahora nos hemos limitado a ángulo comprendidos entre 0 y 90º. ¿Cuánto vale el seno de 100º? ¿y el de 750º? ¿están acotados los valores? ¿existen los ángulos negativos? Responderemos a estas y otras cuestiones en los siguientes apartados.. 1.7.1 Ángulos mayores de 360º Para calcular las razones trigonométricas de ángulos mayores que 360º, se divide entre 360º y se toma el resto de la división. Ejemplo: ¿sen 750° ? ;. 750 30 1 = 2+ ; sen 750° = sen 30° = 360 360 2. 1.7.2 Esfera goniométrica Llamaremos esfera goniométrica a la de radio unidad. Al ser el radio 1, el seno de ordenada.. α. El coseno de. α es AB, es decir, la. α es OA, es decir, la abscisa.. Por semejanza de triángulos, la tangente de. 20. α es CD..

(21) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. 1.7.3 Signo de las razones trigonométricas Según en qué cuadrante de la circunferencia se encuentre el ángulo, el seno y el coseno tendrán un signo u otro:. Ejercicio 11 Estudia los signos de la tangente: ¿Qué signos tendrán las otras tres razones trigonométricas?. 1.7.4 Razones trigonométricas (directas) de un ángulo cualquiera Observa el siguiente dibujo:. 21.

(22) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. 1.7.5 Ángulos situados en distintos cuadrantes con razones iguales Ángulos suplementarios (suman 180º):. Tienen igual el seno:. sen α = sen (180º −α ). Las restante razones son iguales pero de signo contrario:. cos α = − cos (180º −α ) ; tg α = − tg (180º −α ). Ángulos que difieren en 180º:. Tienen igual la tangente:. tg α = tg (180º +α ). Las restante razones son iguales pero de signo contrario:. sen α = − sen (180º +α ) ; cos α = − cos (180º +α ). Ángulos opuestos:. Tienen igual el coseno:. cos α = cos ( −α ). (los ángulos que se miden en el sentido de las agujas del reloj son negativos). Las restante razones son iguales pero de signo contrario:. sen α = − sen ( −α ) ; tg α = − tg ( −α ). 22.

(23) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Ejercicio 12 Obtén, sin calculadora, el seno y el coseno de los ángulos: 120°, 210° y 300°. El ángulo auxiliar α es de 60º. Las razones de trigonométricas de 120º son las mismas que las de α con los signos correspondientes.. 3 2 −1 cos120° = − cos 60° = 2. sen120° = sen 60° =. 1.8 Resolución de problemas Ejercicio 13 Obtén el valor de la hipotenusa y los dos ángulos agudos del siguiente triángulo:. Ejercicio 14 Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan.. 27º 15 m. 23.

(24) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Ejercicio 15 Completa la tabla. Utiliza la teclas de memoria de la calculadora para obtener cálculos lo más exactos posibles.. α. 74º. sen α cos α. tg α. 0’94 1’28. cosec α sec α. cotg α. Ejercicio 16 Halla la medida del ángulo que forman la diagonal de un cubo y la diagonal de una de las caras, si las dos parten de un mismo vértice. (Solución: α ≅ 35° 16 ' ). Ejercicio 17 Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura correspondiente a la hipotenusa:. 24.

(25) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Ejercicio 18 Calcula la altura de una torre sabiendo que la sombra que proyecta es de 108 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 50º sobre el horizonte. (Solución: 128’71 m). Ejercicio 19 Calcula la altura de un árbol sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30º, y si nos acercamos 10 metros, la observamos bajo un ángulo de 60º:. Ejercicio 20 Comprueba las siguientes identidades notables:. a). 1 + tg α = sen α + cos α sec α. b). 1 = sen 2 α 2 1 + cotg α. 25.

(26) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 1: Trigonometría básica. Ejercicio 21 Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y ésta forma 60º con el suelo. ¿A qué altura vuela la cometa?. Ejercicio 22 Halla razonadamente a qué altura vuela el avión de la figura: (no supongas que en el avión hay un ángulo recto). En las siguientes direcciones puedes encontrar más información y ejercicios de trigonometría: http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2001/razonestri/index.htm http://usuarios.lycos.es/arquillos/trirel5.pdf http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/trig.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/Indice_ra zones_trigonometricas.htm Actividad con el JClic: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=3115 (muy interesante). 26.

(27) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Los teoremas han de ser nobles, sorprendentes, elegantes, intrigantes, rigurosos, creativos ... y, sobre todo, comprensibles.. H. Zeeman (físico). Unidad 2: Resolución de triángulos 27.

(28) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Dirección muy interesante:. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0058-02/ed99-0058-02.html. Al final del tema encontrarás otras direcciones de Internet que, seguro, te ayudarán a ampliar conocimientos y a practicar lo aprendido en esta unidad.. 28.

(29) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Índice de la unidad. Unidad 2: Resolución de triángulos ...............................................................................31 2.1 Teorema de la altura ............................................................................................31 2.2 Teorema del cateto ..............................................................................................32 2.3 Teorema generalizado de Pitágoras ....................................................................34 2.4 Teorema del seno ................................................................................................35 2.5 Teorema del coseno ............................................................................................36 2.6 Resolución de problemas.....................................................................................37. Objetivos: en esta unidad aprenderás a .... − Resolver cualquier triángulo: obtener distancias y ángulos − Calcular áreas de triángulos − Aplicar teoremas nuevos basados en la trigonometría − Utilizar con soltura la calculadora en cálculos trigonométricos. Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:. − Saber representar, plantear y resolver problemas de geometría haciendo uso de los teoremas relativos a los triángulos y de los instrumentos de medida y cálculo adecuados. (C1, C2, C3, C4, C6, C8) − Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se recibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3). − Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigonométricos (C1 y C2). − Cultivar la sensibilidad, la creatividad y el apasionamiento estético son objetivos de algunos de los apartados de esta unidad (C6). − Las técnicas de trabajo que los alumnos deben aplicar, así como su responsabilidad, perseverancia, creatividad y autocrítica en el momento de realizarlo, llevan a las competencias para aprender a aprender (C7), y a la autonomía e iniciativa personales (C8). − Utilizar las nuevas tecnologías para efectuar representaciones precisas de las figuras y cuerpos geométricos (C2, C4, C8).. 29.

(30) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Criterios de evaluación. − Resuelve triángulos (rectángulos o no) mediante la utilización de los teoremas vistos − Calcula áreas de triángulos y figuras poligonales previamente trianguladas mediante la aplicación de las herramientas trigonométricas apropiadas a cada caso − Calcula distancias geométricas y resolver situaciones topográficas mediante la resolución de triángulos cualesquiera. Contenidos conceptuales. − Resolución de un triángulo − Teorema de la altura − Teorema del cateto − Teorema generalizado de Pitágoras − Teorema del seno − Teorema del coseno − Radio y apotema de un polígono regular − Fórmula básica para calcular el área de un triángulo. Contenidos procedimentales. − Resolución de triángulos rectángulos: conocidos dos lados, conocidos un lado y un ángulo agudo − Obtención de razones trigonométricas mediante la calculadora. − Cálculo de distancias: lados, apotemas, radios... − Obtención de razones trigonométricas en triángulos cualesquiera − Cálculo del área de un triángulo conocidas la base y la altura correspondientes − Cálculo del área de un triángulo conocidos sus lados. 30.

(31) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Unidad 2: Resolución de triángulos Con los conocimientos aprendidos en el tema anterior más una serie de teoremas que veremos en esta unidad, podremos resolver cualquier triángulo, es decir, sin ninguna restricción, averiguaremos cualquier distancia o ángulo de cualquier triángulo.. NOTA 1: Durante toda la unidad utilizaremos la siguiente nomenclatura: los 3 ángulos de cualquier triángulo los representaremos por las letras griegas α, β y γ, o con las letras mayúsculas A, B y C en los vértices, y las longitudes de los lados opuestos a cada uno de los ángulos las representaremos con las letras minúsculas a, b y c.. NOTA 2: Para conseguir la máxima precisión y exactitud en los cálculos, es muy importante que no sustituyamos ningún dato hasta el final de cada ejercicio. Así, siguiendo el mismo criterio del redondeo visto en cursos anteriores, conseguiremos tener todos las mismas soluciones y nos permitirá comparar nuestros resultados. NOTA 3: Por resolver un triángulo entendemos averiguar el resto de elementos, ya sean ángulos, lados, apotemas... que no conozcamos.. 2.1 Teorema de la altura Válido exclusivamente para triángulos rectángulos. El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.. h2 = m ⋅ n. 31.

(32) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. 2.2 Teorema del cateto Válido exclusivamente para triángulos rectángulos. El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.. a 2 = mb ; c 2 = nb. Ejercicio 1 En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados por letras (ambos triángulos son rectángulos en A):. 32.

(33) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Ejercicio 2 Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las proyecciones y la altura sobre la hipotenusa:. Ejercicio 3 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 cm y 25 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos:. Ejercicio 4 Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro lo divide en dos segmentos, uno de los cuales mide 20 cm. Calcula la medida de la cuerda.. 33.

(34) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. 2.3 Teorema generalizado de Pitágoras Válido para cualquier tipo de triángulo (rectángulo o no). Observa los siguientes dibujos:. El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.. El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.. a 2 = b 2 + c 2 − 2cm. a 2 = b 2 + c 2 + 2cm. Ejercicio 5 Demuestra estos teoremas utilizando tus conocimientos de álgebra y el teorema de Pitágoras:. Ejercicio 6. b = 6 '6 cm y las proyecciones de los lados b y a sobre c miden: m = 4 '6 cm y n = 13'4 cm . Calcula el lado a: En un triángulo cualquiera, se tienen los siguientes datos:. 34.

(35) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. 2.4 Teorema del seno Para triángulos no rectángulos. Se cumple que:. sen α sen β sen γ = = a b c o también puede adoptar esta otra forma equivalente:. a b c = = sen α sen β sen γ. Ejercicio resuelto Resuelve el triángulo: Fíjate que sólo el dibujo ya ofrece varias pistas: el lado a deberá ser menor que el lado b, y ambos deben ser menores que 10; α también debe ser menor de 45º.. Relacionamos el ángulo de 100º con el lado de 10, y el ángulo de 45º con el lado desconocido b. Aplicando el teorema del seno:. sen 100º sen 45º = ; en esta ecuación todo es conocido menos el lado b que despe10 b jamos:. b = 10. sen 45º ; sustituyendo: b = 7 '18 . Como α + 100º +45º = 180º , tenemos que sen 100º. α = 35º Por último, para obtener el lado a volvemos a aplicar el teorema del seno relacionando este lado con su ángulo opuesto, y el lado que mide 10 con el ángulo de 100º:. sen 35º sen 100º sen 35º = ; despejamos: a = 10 ; con lo que a = 5'82 sen 100º 10 a Ejercicio 7 En el ejercicio anterior, y una vez hallado el lado b, ¿por qué no lo hemos escogido junto con el ángulo de 45º para resolver el ejercicio?. 35.

(36) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Ejercicio 8 Resuelve el triángulo del que conocemos C = 30º , b = 25 cm , c = 18 cm :. 2.5 Teorema del coseno Para triángulos no rectángulos. Se cumple que:. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α. Intercambiando adecuadamente ángulos y lados, obtenemos los otros dos teoremas análogos al anterior:. b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β y c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ. Ejercicio 9 Dos amigos parten de un mismo punto A, siguiendo direcciones que forman entre sí un ángulo de 35º. Después de caminar 10 km y 8 km, respectivamente, ¿cuál es la distancia que los separa?. 36.

(37) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. 2.6 Resolución de problemas Ya has comprobado que existen bastantes teoremas entorno a los triángulos. Te aconsejamos que, a la hora de resolver un ejercicio, y nada más empezar, determines si el triángulo a estudiar es rectángulo o no, ya que esto simplificará mucho los cálculos. Si por los datos del ejercicio, no es posible determinar ningún ángulo recto, aunque lo parezca visualmente, no lo supongas tú, y aplica los teoremas para triángulos cualesquiera. Ten en cuenta que un triángulo rectángulo, aunque admita cualquier teorema de los aquí expuestos, tiene (al menos para este curso) sus teoremas específicos: teorema de Pitágoras, de la altura, del cateto y la definición de razones trigonométricas (estudiadas en el tema anterior); por otro lado, si el triángulo es cualquiera, deberás utilizar: el teorema del seno, del coseno o el generalizado de Pitágoras. Otro dato que puede ayudarte es que, para cualquier triángulo, conociendo tres datos, entre lados y ángulos (a excepción de los tres ángulos), podremos conseguir sólo con la aplicación de los teoremas del seno y el coseno, todos los demás elementos. Por último, no olvides que, para cualquier triángulo, la suma de sus ángulos siempre suma 180º (o π radianes).. Ejercicio 10 Completa: Datos. Teorema.... Para triángulos rectángulos: Dos de los tres lados Ambas proyecciones sobre la hipotenusa Proyección e hipotenusa Un lado y un ángulo agudo cualquiera Lado y su proyección Altura sobre la hipotenusa y una proyección Hipotenusa y un lado Para triángulos cualesquiera: Dos lados y el ángulo que forman Dos lados y otro ángulo Dos lados y la proyección de uno sobre el otro Dos ángulos y un lado Tres lados. 37.

(38) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Ejercicio 11 Resuelve el triángulo del que se conoce a = 20 m , B = 45° , C = 30º :. Ejercicio 12 En un triángulo se conocen los lados a = 2 cm , c = 2 3 cm y el ángulo C = 60º . Calcula el ángulo A y el lado b:. Ejercicio 13 Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido es de 60º. Calcula los otros dos ángulos: (Pista: piensa en un objeto de uso común que tiene esas características). 38.

(39) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Ejercicio 14 En un triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado b = 4 cm sobre el lado. c = 8 cm . El tercer lado mide a = 6 cm .. Ejercicio 15 Calcula el radio y la apotema de un octógono regular de lado 10 cm: Pista: ¿conoces algún ángulo?. 39.

(40) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Ejercicio 16 Calcula el área del triángulo siguiente sabiendo que a = 1 m , B = 30º y C = 45º : (Recuerda la definición de altura). Ejercicio 17 Al comienzo de este apartado de resolución de problemas, hemos dicho que, con sólo tres datos y con los teoremas del seno y el coseno, se puede averiguar el resto de elementos de cualquier triángulo. ¿Cuántos datos se necesitarán para el caso de los triángulos rectángulos?. Ejercicio 18 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 8 cm y 4’5 cm. Calcula la medida de los catetos y el área del triángulo (no utilices el teorema de Pitágoras):. 40.

(41) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Ejercicio 19 En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es de 32º y el perímetro es 100 cm. Halla sus tres lados.. Ejercicio 20 Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada uno de los lados iguales es de 33º. (Sin Pitágoras). (área del trapecio: A =. ( B + b) h) 2. 41.

(42) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 2: Resolución de triángulos. Ejercicio 21 Calcula x:. Ejercicio 22 Un edificio y un árbol tienen 12 y 4 m de altura respectivamente y sus pies están situados a 20 m de distancia. ¿En qué punto situado entre los pies del árbol y del edificio se debe colocar un recipiente con comida para que los pájaros que están en la copa del árbol y los que están en la cima del edificio lo tengan a igual distancia? (Puedes utilizar cualquier teorema). Más información en: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Resolucion_triangulos_oblicuangul os/Resolucion_TO_indice.htm http://descartes.cnice.mec.es/aplicaciones_geometria.php#Trigonometría. 42.

(43) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real. Nikolay Lobachevsky (científico ruso, 1792 – 1830). Unidad 3: Vectores 43.

(44) Matemáticas 4º ESO Opción B. 44. Unidad 3: Vectores.

(45) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. Índice de la unidad. Unidad 3: Vectores ........................................................................................................47 3.1 Vectores...............................................................................................................47 3.1.1 Características de un vector..........................................................................47 3.2 Componentes de un vector ..................................................................................49 3.3 Operaciones con vectores ...................................................................................51 3.3.1 Suma de vectores..........................................................................................51 3.3.2 Resta de vectores..........................................................................................52 3.3.3 Producto de un escalar por un vector............................................................52 3.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores.............................54 3.3.5 Producto vectorial..........................................................................................58 3.3.6 Resumen de los productos............................................................................60 3.4 Direcciones web...................................................................................................60. Objetivos: en esta unidad aprenderás a .... − Conocer los vectores: partes, formas de representación − Operar con vectores algebraica y gráficamente − Nuevas operaciones específicas de los vectores − Dominar su terminología específica. Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:. − Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se recibe es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3). − Utilizar los vectores para expresar cantidades de magnitudes físicas vectoriales del mundo que nos rodea, como las fuerzas, velocidades… (C1, C2, C3). − Reconocer la utilidad de las representaciones vectoriales y saber interpretarlas en múltiples aspectos de nuestra vida diaria: señales de tráfico, mapas meteorológicos, diagramas de flujo, etc. (C1, C2, C3, C4, C5).. 45.

(46) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. Criterios de evaluación. − Efectúa operaciones con vectores interpretando los resultados − Opera con vectores dados en coordenadas − Utiliza el producto escalar para el cálculo de módulos y ángulos de vectores − Aplica el cálculo vectorial a la resolución de problemas − Obtiene el ángulo que forman dos vectores. Contenidos conceptuales. − Vector fijo en el plano: módulo, dirección y sentido − Punto de aplicación − Vectores equipolentes − Vector libre en el plano − Componentes de un vector. Coordenadas cartesianas de un punto − Operaciones con vectores: suma, resta y producto de un número real por un vector − Operaciones de forma analítica y gráfica − Producto escalar − Producto vectorial: regla de la mano derecha − Ángulo de dos vectores. Contenidos procedimentales. − Representación gráfica de vectores − Determinación gráfica de la suma, resta y producto por un número real de dos vectores libres − Expresión de un vector como suma de otros dos − Cálculo del producto escalar de dos vectores dados por sus coordenadas cartesianas − Cálculo del módulo y el ángulo de un vector dado por sus coordenadas cartesianas − Cálculo del producto vectorial aplicando la regla de la mano derecha − Cálculo del ángulo de dos vectores mediante la fórmula del producto escalar. 46.

(47) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. Unidad 3: Vectores Existen muchas magnitudes (altura, masa, longitud) que se determinan con un número: son las llamadas magnitudes escalares. Pero hay otras (fuerza, velocidad, aceleración) que, para que queden bien expresadas, no basta con dar un número. Son las llamadas magnitudes vectoriales. En este tema aprenderemos las formas de representación de los vectores y a operar con ellos.. 3.1 Vectores Vector: es un segmento orientado. Lo representaremos por AB , donde A en el origen y B es el extremo, o por. v. B. v A. 3.1.1 Características de un vector Módulo: es la longitud del vector. Se representa en entre barras,. v.. Dirección: es la recta que lo contiene. Sentido: es que va del origen al extremo del vector. Otro parámetro utilizado es el punto de aplicación del vector: Todos los vectores que ves en la figura de la derecha tienen igual módulo, dirección y sentido, pero distinto punto de aplicación. Este tipo de vectores se denominan vectores equipolentes. Mientras no se diga lo contrario, el punto de aplicación de un vector no será determinante, es decir, podremos mover libremente cada vector si lo creemos necesario, sin importarnos dónde empieza o acaba. Consideraremos, por tanto, que un vector es libre. El curso que viene profundizarás más en estos y otros conceptos: base, cambio de base, base canónica.... 47.

(48) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. Ejercicio 1 a) Dibuja dos vectores con distinto módu- b) Dibuja dos vectores con distinto módulo, misma dirección y mismo sentido que lo, misma dirección y sentido contrarios el vector dado: que el vector dado:. c) Dibuja dos vectores con el mismo mó- d) Dibuja dos vectores con el mismo módulo y distinta dirección que el vector da- dulo, mismo sentido y distinto punto de do: aplicación que el vector dado:. Ejercicio 2 a) ¿El módulo de un vector, puede ser un número real negativo? b) ¿Existe algún vector sin dirección ni sentido? c) ¿Cuándo dos vectores son equipolentes? d) Dos vectores de distinta dirección, ¿pueden ser opuestos? e) ¿Cuándo un vector es nulo? f) El módulo de un vector ¿siempre es un número real positivo?. 48.

(49) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. 3.2 Componentes de un vector Observa el vector de la figura y las coordenadas cartesianas de los puntos origen y extremo del mismo: Las coordenadas del origen del vector (es. ( −2, 2 ) , y las del extremo (punto B) son: ( 5, 4 ) . decir, el punto A) son:. Así, a través de sus coordenadas, queda determinado inequívocamente el vector. AB , aunque existe otra forma más sencilla de manejar esto; el vector AB tiene de componentes ( 7, 2 ) . Puede verse como los catetos en un triángulo rectángulo donde el vector es la hipotenusa. Gráficamente, y partiendo del origen del vector, hemos de “avanzar” 7 unidades y “subir” 2 para alcanzar el extremo, por tanto: v = ( 7, 2 ) .. Si no disponemos del vector dibujado, deberemos recurrir a la expresión analítica. Es sencillo pasar de coordenadas a componentes; sólo hay que restar las coordenadas correspondientes del extremo y del origen. Ejemplo: dadas las coordenadas A = ( −2, 2 ) , y B = ( 5, 4 ) , determina las componentes del vector AB :. AB = ( 5 − ( −2 ) , 4 − 2 ) = ( 7, 2 ) Ejercicio 3 Conociendo los puntos A = ( 2, 3 ) , B = (1, − 1) y C = ( −2, 4 ) , calcula las componentes de los vectores:. a). AB =. b). AC =. c ) CA = d). BA =. e) CB = ¿Cuáles de los vectores anteriores son opuestos?. 49.

(50) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. Ejercicio 4 Halla, gráfica y analíticamente, las componentes de los vectores AB y CD :. Si nos fijamos en cómo se construye fácilmente un triángulo rectángulo a partir de un vector, deduciremos, apoyándonos en el teorema de Pitágoras, cómo obtener su módulo.. Ejercicio 5 Halla el módulo de los siguientes vectores: a = (1, 2 ) y b = ( 6, − 8 ). Ejercicio 6 Dado el vector v = ( 5, 12 ) , obtén el módulo del vector.. ¿podríamos averiguar la dirección, es decir, el ángulo que forma el vector con la horizontal?. 50.

(51) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. Ejercicio 7 Dados los siguientes vectores: u = ( 3, 0 ) , v = ( 2, 1) , w = ( 2, 2 ) y x = ( 2 '5, 2 ) , ¿cuál tiene mayor módulo?. Ejercicio 8 Halla las componentes del vector v sabiendo que su módulo es 5 y el ángulo que forma con la horizontal (eje de abscisas) es 30° :. 3.3 Operaciones con vectores La mayoría de las operaciones pueden realizarse de forma analítica (basándonos en las componentes de los vectores) o de forma gráfica.. 3.3.1 Suma de vectores Analíticamente: sólo hay que sumar las componentes correspondientes de los vectores: Ejemplo: dados los vectores u = ( 3, 4 ) y v = ( −4, − 1) , obtén su suma:. (. ). Sea s el vector suma: s = 3 + ( −4 ) , 4 + ( −1) = ( −1, 3 ) Gráficamente: trasladamos (sólo cambia el punto de aplicación, conservándose, por tanto, módulo, dirección y sentido) el segundo vector de manera que coincida su origen con el extremo del segundo.. 51.

(52) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. La suma es el vector que tiene como origen el origen del primero y como extremo el extremo del segundo.. Ejercicio 9 ¿Es posible que la suma de dos vectores no nulos sea el vector nulo?. 3.3.2 Resta de vectores Es similar a la operación anterior. Analíticamente, cambiaremos la suma por una resta, y gráficamente, obtendremos el vector opuesto (mismo módulo y dirección, y sentido contrario) del segundo sumando y realizaremos la suma con este nuevo vector de la manera ya conocida.. 3.3.3 Producto de un escalar por un vector En el ámbito de los vectores, a los números reales se les denominan escalares. Analíticamente: sólo hay que multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector: Ejemplo: dado el vector v = ( 8, − 1) , obtén 2v Sea r el vector resultado: r = 2v = 2 ( 8, −1) = (16, −2 ). Gráficamente: multiplicaremos el módulo tantas veces como indique el escalar. La dirección se conserva. Si el escalar es positivo, conservaremos el sentido; si es negativo, pondremos el sentido contrario.. 52.

(53) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. Ejercicio 10 Representa los vectores u = ( 3, 5 ) , v = ( −1, 1) y w = ( 2, − 3 ) y realiza gráficamente las siguientes operaciones: a ) u + v , b ) v + w , c ) v − w , a). b). c). d). d) u + w − v. Ejercicio 11 Dados los vectores u = (1, − 3 ) , v = ( 4, − 2 ) y w = (1, 1) calcula analíticamente las componentes de los siguientes vectores:. a) u + v =. b). c) u + v − w =. d ) 2v − u =. e). w + 3u =. w−v =. f ) u + w − 5v =. 53.

(54) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. 3.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores Primera definición El producto escalar de dos vectores u y guiente modo:. v se designa por u ⋅ v y se obtiene del si-. ( ). u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos u , v El producto escalar es conmutativo.. Pese a lo que parezca, el resultado de esta operación es un número real, y, por tanto, el resultado podrá ser positivo, negativo o nulo.. Ejercicio 12 Atendiendo a la definición, ¿en qué casos el producto escalar de dos vectores es nulo?. Ejercicio 13 ¿Podemos obtener el producto escalar de un vector por sí mismo?. Ejercicio 14 Calcula el producto escalar de los vectores u y. v sabiendo que u = 2 , v = 3 y que. forman un ángulo de 30° .. Ejercicio 15 Sabemos que u = 3 y que u = −2v . Calcula u ⋅ v . (Pista: dibuja los vectores). 54.

(55) Matemáticas 4º ESO Opción B. Unidad 3: Vectores. Ejercicio 16 Se sabe que el producto escalar de dos vectores no nulos es cero; ¿qué se puede decir de las direcciones de los vectores?. Segunda definición Si los vectores u y. v vienen expresados por sus componentes, es decir, u = ( x1 , y1 ) e. v = ( x2 , y2 ) , el producto escalar se define de la siguiente forma:. u ⋅ v = x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2. (¡Ojo! se parece a una suma, pero no lo es). Ejercicio resuelto Dados los vectores u = ( 2, − 1) , v = ( 7, 3) y w = ( −2, 4) , halla las siguientes operaciones: a). ( ). u ⋅ v ; b) u v ⋅ w ; c) u ⋅ v + v ⋅ w. a) u ⋅ v = ( 2, − 1) ⋅ ( 7, 3) = 2 ⋅ 7 + ( −1) ⋅ 3 = 14 − 3 = 11. (. ). b) u ⋅ v + w = ( 2, − 1) ⎡⎣( 7, 3) + ( −2, 4) ⎤⎦ = ( 2, −1) ⋅ ( 5, 7 ) = 10 + ( −7 ) = 3 c) u ⋅ v + u ⋅ w = 11 + ⎡⎣2 ⋅ ( −2) + ( −1) ⋅ 4⎤⎦ = 11 + ( −4 − 4) = 11 − 8 = 3 Los apartados b) y c) prueban (no demuestran) la propiedad distributiva del producto respeto de la suma. Recuerda que disponemos de dos definiciones para el cálculo del producto escalar de dos vectores. Habrás de decidir tú cuál de ellas es la más adecuada, dependiendo de los datos que tengas.. Ejercicio 17 Dados los vectores u = (1, 3) , v = ( −1,1) y w = ( 6, 0 ) , calcula los productos escalares:. a) u ⋅ v = b) u ⋅ w = c) v ⋅ w = (Sigue → ) 55.

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