Dossier cuarto op b

243 

Texto completo

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Matemáticas

4º ESO

(Opción B)

Colegio Santa María del Carmen

Alicante

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(3)

Índice de contenidos

Introducción ...3

Objetivos generales de Matemáticas para la ESO ...4

Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción B ...5

Competencias básicas...6

Metodología ...8

Índice de unidades y temporalización ...9

Criterios de calificación ...10

Unidad 1: Trigonometría básica ...11

Unidad 2: Resolución de triángulos...27

Unidad 3: Vectores...43

Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos ...61

Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales ...89

Unidad 6: Inecuaciones...107

Unidad 7: Límites de sucesiones ...133

Unidad 8: Estudio de las funciones ...151

Unidad 9: Tipos de funciones...181

Unidad 10: Cálculo de derivadas ...199

Unidad 11: Combinatoria...215

Apéndice: Lenguaje matemático ...241

Introducción

El material que tienes en las manos es una guía didáctica para el seguimiento del curso. A través de las explicaciones teóricas, sus numerosos ejercicios, más otros que te pro-pondremos durante el curso, queremos conseguir que esta guía te sirva de ayuda, no sólo para comprender los fundamentos de las Matemáticas, sino que pretendemos que te lle-gue a interesar esta materia tanto como a tus profesores, e incluso, consigas quererla tan-to como la queremos nosotros.

Aquí encontrarás los objetivos, contenidos, criterios de evaluación (acordes a la Ley Or-gánica de Educación 2/2006, de 3 de mayo, y que se concretan en el REAL DECRETO, BOE, 1631/2006, de 29 de diciembre, en el DECRETO 112/2007. DOGV, de 20 de julio), así como su contribución a la adquisición de las competencias básicas (o aprendizajes que se consideran imprescindibles), la metodología empleada y la temporalización de las unidades didácticas que necesitas conocer para el correcto aprovechamiento del curso que ahora comienzas.

Te rogamos que sepas disculpar los posibles errores que pudieras encontrar en esta guía, y que no dudes en comunicárnoslos a los profesores para que podamos mejorarla en futu-ras versiones.

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Objetivos generales de Matemáticas para la ESO

La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades:

1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de ar-gumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana, con el fin de comunicarse de manera clara, concisa y precisa.

2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situa-ciones de la vida diaria.

3. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemá-ticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados.

4. Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificables y que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados, todo ello de la forma más adecuada, según la situación planteada. 5. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálcu-los, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos ma-temáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes.

6. Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geométricas entre ellas; adquirir una sensibilidad progresiva ante la belleza que generan.

7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenado-res, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje.

8. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseveran-cia en la búsqueda de soluciones.

9. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identifica-ción y resoluidentifica-ción de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado.

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riendo desde las distintas materias de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica.

12. Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura: tanto desde un pun-to de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales co-mo la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consuco-mo, la igualdad entre los sexos o la convivencia pacífica.

Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción B

1. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización.

2. Expresar verbalmente con precisión y rigor, razonamientos, relaciones cuantitativas e informa-ciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático.

3. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico.

4. Calcular el valor de expresiones numéricas de números racionales (basadas en las cuatro ope-raciones elementales y las potencias de exponente entero que contengan, como máximo, tres operaciones encadenadas y un paréntesis), aplicar correctamente las reglas de prioridad y hacer un uso adecuado de signos y paréntesis.

5. Simplificar expresiones numéricas irracionales sencillas (que contengan una o dos raíces cua-dradas) y utilizar convenientemente la calculadora científica en las operaciones con números re-ales, expresados en forma decimal o en notación científica y aplicar las reglas y las técnicas de aproximación adecuadas a cada caso; valorar los errores cometidos.

6. Dividir polinomios y utilizar la regla de Ruffini y las identidades notables en la factorización de polinomios.

7. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita e inter-pretar gráficamente los resultados.

8. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

9. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas, y para las indirectas en situaciones reales.

10. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal, y las relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver problemas trigonométricos de contexto real, con la ayuda, si es preciso, de la calculadora científica.

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12. Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que pue-de representarlas y aproximar e interpretar la tasa pue-de variación a partir pue-de una gráfica, pue-de da-tos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica.

13. Representar gráficamente e interpretar las funciones constantes, lineales, afines o cuadrá-ticas por medio de sus elementos característicos (pendiente de la recta, puntos de corte con los ejes, vértice y eje de simetría de la parábola) y las funciones exponenciales y de propor-cionalidad inversa sencillas por medio de tablas de valores significativas, con la ayuda, si es preciso, de la calculadora científica.

14. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadísticos más usuales en distribuciones unidimensionales y valorar cualitativamente la representativi-dad de las muestras utilizadas.

15. Determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimento aleatorio, simple o compuesto; utilizar la Ley de Laplace, los diagramas de árbol, las tablas de contingencia u otras técnicas combinatorias para calcular probabilidades simples o compuestas.

16. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferentes si-tuaciones y problemas de la vida cotidiana.

Competencias básicas

En el marco de la propuesta realizada por la Unión Europea, se han identificado ocho competencias básicas:

1. Competencia en comunicación lingüística. 2. Competencia matemática.

3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 4. Tratamiento de la información y competencia digital.

5. Competencia social y ciudadana. 6. Competencia cultural y artística.

7. Competencia para aprender a aprender. 8. Autonomía e iniciativa personal.

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desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio contribuye a profundizar la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. La modelización constituye otro referente en esta misma dirección. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comporta-miento, regularidades e invariantes, a partir de las que poder hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo.

Por su parte, la incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas, contribuye a mejorar el tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. No menos importante resulta la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de las alumnas y alumnos.

Las Matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística ya que son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y es-crita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de ense-ñanza y aprendizaje de las Matemáticas, y en particular en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos reali-zados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir con-jeturas gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto.

Las Matemáticas contribuyen a la competencia cultural y artística porque el mismo cono-cimiento matemático es expresión universal de la cultura, siendo, en particular, la geo-metría parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para des-cribir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonom-ía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia.

Los propios procesos de resolución de problemas contribuyen de forma especial a fomen-tar la autonomía e iniciativa personal porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre controlando al mismo tiempo los proce-sos de toma de decisiones. También, las técnicas heurísticas que desarrolla constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de razonamiento y consolida la ad-quisición de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender tales como la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo.

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Metodología

En la primera sesión de cada unidad didáctica, los profesores trataremos de motivar al alumnado sobre la materia de la que se trate, evaluando los conocimientos previos me-diante preguntas orales, ejemplos, curiosidades...

Según la naturaleza del tema, se optará por dar o no el esquema de la unidad en las pri-meras sesiones o al final del tema (para fijar conceptos y aclarar ideas).

En general, los profesores explicamos los contenidos nuevos del tema en la pizarra y, al final de cada sesión se pide al alumnado que realice varios ejercicios (tanto de la parte explicada como de contenidos anteriores) para que pueda practicar.

Al día siguiente, se comentan las soluciones, se resuelven dudas, y se hacen en la pizarra los ejercicios que han presentado mayor dificultad.

El día previo a la realización de la prueba escrita, se intenta repasar (si hay tiempo) los conceptos y procedimientos más importantes vistos en clase.

En la última sesión, se realiza una prueba escrita de los contenidos explicados. Para conseguir los objetivos propuestos en cada unidad:

− los profesores proponemos numerosos ejercicios (en la pizarra) que el alumno debe realizar para la correcta asimilación de los mismos. Aquellos ejercicios que no formen parte de este dossier, se responden en la libreta del alumno.

− se pregunta al alumnado (casi a diario, y al azar) sobre conceptos y procedimien-tos del tema o de temas anteriores.

− es habitual la realización de ejercicios que han aparecido en exámenes anteriores (con muy buena acogida por parte de los alumnos).

− siempre que haya tiempo, se suelen hacer “simularos” de exámenes que no tie-nen carácter evaluador, pero que permite al alumnado tener una idea mucho más clara de lo que se les va a pedir.

Eventualmente se propondrán a los alumnos exposiciones voluntarias de una parte de alguna unidad didáctica, nueva o de repaso, para que sea el alumno quien la explique al resto de compañeros. Estas exposiciones son siempre individuales. El alumno podrá con-tar con cualquier material de apoyo que requiera: libros, apuntes, transparencias, video proyector... La elección de los alumnos para la realización de estas exposiciones siempre quedará a criterio del profesor.

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Índice de unidades y temporalización

Primera evaluación (del 15 de septiembre al 5 de diciembre):

Unidad 1: Trigonometría básica ...(10 sesiones)

Unidad 2: Resolución de triángulos ...(11 sesiones)

Unidad 3: Vectores ...(8 sesiones)

Segunda evaluación (del 9 de diciembre al 2 de marzo):

Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos ...(9 sesiones)

Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales ...(8 sesiones)

Unidad 6: Inecuaciones ...(10 sesiones)

Tercera evaluación (del 3 de marzo al 25 de mayo):

Unidad 7: Límites de sucesiones...(9 sesiones)

Unidad 8: Estudio de las Funciones...(8 sesiones)

Unidad 9: Tipo de funciones ...(8 sesiones)

Unidad 10: Cálculo de derivadas ...(7 sesiones)

Unidad 11: Combinatoria...(8 sesiones)

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Criterios de calificación

Por encima de la rigidez de los porcentajes, estará siempre presente la flexibilidad de la eva-luación acorde con las características y necesidades concretas que cada alumno presente.

Evaluación inicial

Durante las primeras sesiones del curso se realiza una prueba-diagnóstico inicial con los contenidos del curso anterior. Una calificación de Apto en esta prueba permitirá superar la materia caso de que estuviera pendiente del curso anterior.

Evaluaciones trimestrales:

− Ocasionalmente, y no a todos los alumnos, podrá hacerse un seguimiento del tra-bajo diario (mirar la libreta de clase) que puede llegar a determinar el aprobado o no de la materia. ( ± 5 %)

− Interés demostrado por el alumno a través de preguntas en clase, exposición de trabajos, corrección de actividades, etc.: 10 %

− Pruebas escritas tras cada Unidad Didáctica: 90 %

− Exposiciones voluntarias en clase (+ 1 punto).

Desde que acaba la 3ª evaluación hasta el comienzo de la evaluación final, y siempre que las circunstancias del horario lo permitan, es decir, que se disponga de horas suficientes, se adelantará materia, que será evaluable (si hay suficientes horas lectivas) en la evalua-ción final a través de una prueba escrita.

Evaluación final:

Se calculará la media aritmética de las tres evaluaciones. El alumno-a recuperará los exámenes suspendidos, pero, en todo momento, los profesores favoreceremos el avance progresivo del alumno o alumna. Cada alumno o alumna podrá subir la calificación final, si la global está aprobada a la nota inmediatamente superior, siempre y cuando la califica-ción numérica de la global tenga las décimas superiores a 5. Si el alumno-a no consigue el Apto, tiene una nueva oportunidad de aprobar la asignatura en la convocatoria de sep-tiembre, en este caso, con TODA la asignatura y previa entrega de los trabajos previstos para las vacaciones de verano. En todo momento, y en especial a la hora de la evaluación final se tendrá en cuenta de que los mínimos exigidos en esta opción son más altos que los de la opción A.

Recuperar la materia pendiente:

El alumno o alumna dispone de dos oportunidades durante el curso para superar la mate-ria si la tuviera pendiente de 3º de ESO:

1. Aprobando la prueba inicial (con contenidos de 3º de ESO) que se realiza en du-rante las primeras sesiones de curso.

2. Aprobando, al menos, una evaluación en el presente curso.

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[La elegancia de los teoremas geométricos es] directamente proporcional al número de ideas que en ellos vemos, e inversamente proporcional al esfuerzo requerido para comprenderlos.

George Polya (matemático húngaro, 1887 – 1985)

Unidad 1:

(12)
(13)

Unidad 1: Trigonometría básica...15

1.1 Introducción ...15

1.2 Medida de ángulos...15

1.3 Razones trigonométricas ...16

1.4 Uso de la calculadora...17

1.5 Relaciones trigonométricas fundamentales ...18

1.6 Ángulos notables ...19

1.6.1 Reglas nemotécnicas ...20

1.7 Ampliación del concepto de ángulo ...20

1.7.1 Ángulos mayores de 360º...20

1.7.2 Esfera goniométrica...20

1.7.3 Signo de las razones trigonométricas...21

1.7.4 Razones trigonométricas (directas) de un ángulo cualquiera ...21

1.7.5 Ángulos situados en distintos cuadrantes con razones iguales...22

1.8 Resolución de problemas...23

Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Utilizar, indistintamente, grados y radianes en las operaciones

− Realizar cálculos trigonométricos

− Calcular distancias y ángulos en triángulos rectángulos

− Usar la terminología específica de la trigonometría

− Utilizar con soltura la calculadora con operaciones trigonométricas

Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:

− Utilizar tanto el sistema sexagesimal como el radián para expresar la medida de los ángulos y efectuar operaciones con ellos, con y sin calculadora (C1, C2, C3 y C4).

− Analizar las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángu-los rectángutriángu-los y expresarlas mediante las razones trigonométricas para apli-carlas a la resolución de los problemas de triángulos (C1, C2, C7 y C8)

− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).

− Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una ar-gumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigo-nométricos (C1 y C2).

(14)

Criterios de evaluación

− Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rec-tángulo

− Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del cual se conoce una cual-quiera de ellas

− Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo con ayuda de las de otro que pertenece al primer cuadrante

− Aplica las relaciones fundamentales para la resolución de problemas

− Aplica el cálculo de razones trigonométricas a la resolución de problemas rela-cionados con las matemáticas, las otras ciencias o la vida cotidiana

Contenidos conceptuales

− Grados, minutos y segundos como unidades de medida angular. Radianes

− Relación entre los grados sexagesimales y los radianes

− Seno, coseno y tangente de un ángulo agudo

− Cosecante, secante y cotangente de un ángulo agudo

− Relaciones fundamentales

− Ampliación del concepto de ángulo: mayores que 360°. Esfera goniométrica

− Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

− Ángulos suplementarios y opuestos: razones

Contenidos procedimentales

− Expresión de la medida de un ángulo en radianes (grados sexagesimales) cuando se conoce su medida en grados sexagesimales (radianes)

− Cálculo de las razones trigonométricas ángulos agudos de un triáng. rectángulo

− Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo utilizando la calculadora científica

− Cálculo del valor de un ángulo mediante la calculadora científica y conociendo una de sus razones trigonométricas

− Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo conociendo una de ellas

(15)

Utilizada, básicamente, para el cálculo de distancias, la trigono-metría es un conjunto de fórmulas que nos permitirán resolver muchos problemas con aparente difícil solución (altura de una cometa, altura de las pirámides, distancias entre estrellas... )

1.1 Introducción

Como ya sabes metría es un sufijo que significa medida o medición. También conoces que tri es un prefijo que significa tres.

Pero quizá no conozcas que gono significa ángulo (polígono, octógono).

Así pues, la trigonometría es el estudio (medidas) de los elementos de un triángulo.

1.2 Medida de ángulos

Se utilizan fundamentalmente dos unidades: el grado sexagesimal, y el radián. En este curso utilizaremos la primera, por ser más sencilla y conocida, pero ten en cuenta, en el Bachillerato se utilizarán, preferentemente, los radianes.

Grado sexagesimal

Es el arco que se obtienen al dividir la circunferencia en 360 partes. Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos.

Radián

Es el arco que se obtiene al dividir la circunferencia entre su radio.

longitud

2

2

radio

r

rad

r

π

π

=

=

Relación entre ambas unidades

Una circunferencia tiene

2

π

rad

, es decir:

2

π

rad

=

360º

, o bien

π

rad

=

180º

, o bien

90º

2

rad

π

=

Ejemplo: ¿cuántos radianes son

200

°

?

10

200

200

3' 49

180º

9

rad

rad

rad

π

π

° =

°

=

Ejercicio 1

Obtén los radianes correspondientes a los siguientes grados:

) 180

a

° =

)

305

b

° =

)

45

(16)

Ejercicio 2

Obtén los grados correspondientes a los siguientes radianes:

)

a

π

rad

=

1

)

2

b

rad

=

) 1

c

rad

=

1.3 Razones trigonométricas

Dado el triángulo rectángulo superior se definen las razones trigonométricas del ángulo

α

:

sen

cateto opuesto

a

hipotenusa

c

α

=

=

cos

cateto contiguo

b

hipotenusa

c

α

=

=

tg

cateto opuesto

a

cateto contiguo

b

α

=

=

Ejercicio 3

Determina tú las razones trigonométricas del mismo triángulo, pero referidas al ángulo

β

:

¿Extraes alguna conclusión?

β

(17)

zón inversa:

1

cosec

sen

hipotenusa

cateto opuesto

α

α

=

=

sec

1

cos

hipotenusa

cateto contiguo

α

α

=

=

1

cotg

tg

cateto contiguo

cateto opuesto

α

α

=

=

Ten en cuenta que las razones trigonométricas son adimensionales: no tienen unidades.

Ejercicio 4

Halla las tres razones trigonométricas principales del siguiente triángulo (ángulos

α

y

β

):

Mira de nuevo el triángulo del ejercicio 4. Imagina que uno de los lados del triángulo fuera desconocido, ¿cómo lo solucionarías?

Existe una alterativa, que pasa por utilizar sólo las razones trigonométricas, pero, para ello, es necesario utilizar la calculadora científica.

1.4 Uso de la calculadora

Es fundamental que, para todos los cálculos que realicemos durante esta unidad y la siguiente, en la pantalla de tu calculadora aparezca el acrónimo: DEG, que correspon-de con la abreviatura anglosajona correspon-de degree (grados); existen otras dos formas: RAD, para los radianes, y GRAD, para grados centesimales (en un ángulo recto hay 100º). Debes localizar las teclas sen (o sin si está en inglés), cos, y tg (o tan). En general, y con la opción Shift (o INV, o 2º operador) podrás acceder a las inversas, es decir:

sen-1, cos-1 y tg-1 que sirven, como veremos después, para obtener los ángulos. Te ofrecemos unos resultados “redondos“ para que puedas comprobar tus operaciones:

sen 30º

=

0 '5

;

tg 45º 1

=

;

cos 60º

=

0 '5

;

sen 90º 1

=

¿Y si tenemos, por ejemplo

sen

1

0 '5

2

(18)

Debes utilizar la función inversa que decíamos antes:

Si

sen

1

0 '5

2

α

= =

, entonces

α

=

arcsen 0 '5

=

30

°

, que se lee: “alfa es el arco cuyo seno es 0’5”

Ejercicio 5

Con ayuda de la calculadora obtén los ángulos pedidos:

)

sen

0 '5

a

α

=

α

=

3

)

cos

2

b

β

=

β

=

)

tg

1

c

γ

=

γ

=

2

)

sen

2

d

ω

=

ω

=

1.5 Relaciones trigonométricas fundamentales

Vamos a ver tres de ellas. Si continúas tus estudios de Bachillerato en alguna modali-dad de Ciencias, verás algunas más, y las correspondientes demostraciones:

I.

sen

2

α

+

cos

2

α

=

1

II.

sen

tg

cos

α

α

α

=

III. 2

2

1

1 tg

cos

α

α

+

=

Ejercicio 6

Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

1

)

sen

tg

a

x

x

=

3 2

)

sen

sen

cos

b

x

+

x

x

=

sec

)

cosec

tg

x

c

x

x

=

2

cos

)

1 sen

x

d

x

=

(19)

Simplifica al máximo esta expresión:

(

) (

2

)

2

sen

α

+

cos

α

+

sen

α

cos

α

=

1.6 Ángulos notables

Se trata de unos ángulos especiales que requieren un tratamiento diferenciado. Son ángulos notables:

0 ,

°

30º ,

45º ,

60

°

y

90

°

Teniendo en cuenta que el seno es la ordenada y el coseno es la abscisa, se deduce fácilmente que

sen 0

° =

0

y que

cos 90

° =

0

.

Para obtener (sin calculadora) las razones de

30º ,

45º

y

60

°

nos vamos a apoyar en una escuadra y un cartabón:

Ejercicio 8

Procedimiento para obtener las razones fundamentales de

30º

y

60

°

(sin calculadora):

Ejercicio 9

(20)

1.6.1 Reglas nemotécnicas

A fin de recordar las razones trigonométricas de los ángulos notables podemos utilizar las siguientes reglas:

ángulo

0

°

30

°

45

°

60

°

90

°

seno

0

2

1

2

2

2

3

2

4

2

Ejercicio 10

Completa tú las casillas vacías:

ángulo

0

°

30

°

45

°

60

°

90

°

coseno

0

2

tangente

0

4

1

3

1.7 Ampliación del concepto de ángulo

Hasta ahora nos hemos limitado a ángulo comprendidos entre 0 y 90º. ¿Cuánto vale el seno de 100º? ¿y el de 750º? ¿están acotados los valores? ¿existen los ángulos nega-tivos? Responderemos a estas y otras cuestiones en los siguientes apartados.

1.7.1 Ángulos mayores de 360º

Para calcular las razones trigonométricas de ángulos mayores que 360º, se divide entre 360º y se toma el resto de la división.

Ejemplo:

¿sen 750 ?

°

;

750

2

30

360

= +

360

;

1

sen 750

sen 30

2

° =

° =

1.7.2 Esfera goniométrica

Llamaremos esfera goniométrica a la de radio unidad.

Al ser el radio 1, el seno de α es AB, es decir, la ordenada.

El coseno de α es OA, es decir, la abscisa.

(21)

Según en qué cuadrante de la circunferencia se encuentre el ángulo, el seno y el cose-no tendrán un sigcose-no u otro:

Ejercicio 11

Estudia los signos de la tangente:

¿Qué signos tendrán las otras tres razones trigonométricas?

(22)

1.7.5 Ángulos situados en distintos cuadrantes con razones iguales

Ángulos suplementarios (suman 180º):

Tienen igual el seno:

(

)

sen

α

=

sen 180º

α

Las restante razones son iguales pero de signo contrario:

(

)

cos

α

= −

cos 180º

α

;

(

)

tg

α

= −

tg 180º

α

Ángulos que difieren en 180º:

Tienen igual la tangente:

(

)

tg

α

=

tg 180º

+

α

Las restante razones son iguales pero de signo contrario:

(

)

sen

α

= −

sen 180º

+

α

;

(

)

cos

α

= −

cos 180º

+

α

Ángulos opuestos:

Tienen igual el coseno:

( )

cos

α

=

cos

α

(los ángulos que se miden en el sentido de las agujas del reloj son negativos).

Las restante razones son iguales pero de signo contrario:

( )

sen

α

= −

sen

α

;

(23)

Obtén, sin calculadora, el seno y el coseno de los ángulos:

120 , 210

°

°

y

300

°

El ángulo auxiliar α es de 60º. Las razones de trigo-nométricas de 120º son las

mismas que las de α con los signos

correspondien-tes.

3

sen120

sen 60

2

° =

° =

1

cos120

cos 60

2

° = −

° =

1.8 Resolución de problemas

Ejercicio 13

Obtén el valor de la hipotenusa y los dos ángulos agudos del siguiente triángulo:

Ejercicio 14

Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan.

(24)

Ejercicio 15

Completa la tabla. Utiliza la teclas de memoria de la calculadora para obtener cálculos lo más exactos posibles.

α

74º

α

sen

α

cos

0’94

α

tg

1’28

α

cosec

α

sec

α

cotg

Ejercicio 16

Halla la medida del ángulo que forman la diagonal de un cubo y la diagonal de una de las caras, si las dos parten de un mismo vértice. (Solución: α ≅ °35 16 ' )

Ejercicio 17

(25)

Calcula la altura de una torre sabiendo que la sombra que proyecta es de 108 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 50º sobre el horizonte. (Solución: 128’71 m)

Ejercicio 19

Calcula la altura de un árbol sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30º, y si nos acercamos 10 metros, la observamos bajo un án-gulo de 60º:

Ejercicio 20

Comprueba las siguientes identidades notables:

1 tg

)

sen

cos

sec

a

α

α

α

α

+

=

+

2 2

1

)

sen

1 cotg

b

α

α

=

(26)

Ejercicio 21

Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y ésta forma 60º con el sue-lo. ¿A qué altura vuela la cometa?

Ejercicio 22

Halla razonadamente a qué altura vuela el avión de la figura: (no supongas que en el avión hay un ángulo recto)

En las siguientes direcciones puedes encontrar más información y ejercicios de trigonometría:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/Indice_ra zones_trigonometricas.htm

(27)

Los teoremas han de ser nobles, sorprendentes, elegantes, intrigantes, rigurosos, creativos ... y, sobre todo, comprensibles.

H. Zeeman (físico)

(28)

Dirección muy interesante:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0058-02/ed99-0058-02.html

(29)

Unidad 2: Resolución de triángulos ...31 2.1 Teorema de la altura ...31 2.2 Teorema del cateto ...32 2.3 Teorema generalizado de Pitágoras ...34 2.4 Teorema del seno ...35 2.5 Teorema del coseno ...36 2.6 Resolución de problemas...37

Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Resolver cualquier triángulo: obtener distancias y ángulos

− Calcular áreas de triángulos

− Aplicar teoremas nuevos basados en la trigonometría

− Utilizar con soltura la calculadora en cálculos trigonométricos

Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:

− Saber representar, plantear y resolver problemas de geometría haciendo uso de los teoremas relativos a los triángulos y de los instrumentos de medida y cálculo adecuados. (C1, C2, C3, C4, C6, C8)

− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).

− Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una ar-gumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigo-nométricos (C1 y C2).

− Cultivar la sensibilidad, la creatividad y el apasionamiento estético son objetivos de algunos de los apartados de esta unidad (C6).

− Las técnicas de trabajo que los alumnos deben aplicar, así como su responsa-bilidad, perseverancia, creatividad y autocrítica en el momento de realizarlo, llevan a las competencias para aprender a aprender (C7), y a la autonomía e iniciativa personales (C8).

(30)

Criterios de evaluación

− Resuelve triángulos (rectángulos o no) mediante la utilización de los teoremas vistos

− Calcula áreas de triángulos y figuras poligonales previamente trianguladas me-diante la aplicación de las herramientas trigonométricas apropiadas a cada ca-so

− Calcula distancias geométricas y resolver situaciones topográficas mediante la resolución de triángulos cualesquiera

Contenidos conceptuales

− Resolución de un triángulo

− Teorema de la altura

− Teorema del cateto

− Teorema generalizado de Pitágoras

− Teorema del seno

− Teorema del coseno

− Radio y apotema de un polígono regular

− Fórmula básica para calcular el área de un triángulo

Contenidos procedimentales

− Resolución de triángulos rectángulos: conocidos dos lados, conocidos un lado y un ángulo agudo

− Obtención de razones trigonométricas mediante la calculadora.

− Cálculo de distancias: lados, apotemas, radios...

− Obtención de razones trigonométricas en triángulos cualesquiera

− Cálculo del área de un triángulo conocidas la base y la altura correspondientes

(31)

Con los conocimientos aprendidos en el tema anterior más una serie de teoremas que veremos en esta unidad, podremos resol-ver cualquier triángulo, es decir, sin ninguna restricción, aresol-verigua- averigua-remos cualquier distancia o ángulo de cualquier triángulo.

NOTA 1: Durante toda la unidad utilizaremos la siguiente nomenclatura: los 3 ángulos de cualquier triángulo los representaremos por las letras griegas α, β y γ, o con las letras mayúsculas A, B y C en los vértices, y las longitudes de los lados opuestos a cada uno de los ángulos las representaremos con las letras minúsculas a, b y c.

NOTA 2: Para conseguir la máxima precisión y exactitud en los cálculos, es muy im-portante que no sustituyamos ningún dato hasta el final de cada ejercicio. Así, siguien-do el mismo criterio del resiguien-dondeo visto en cursos anteriores, conseguiremos tener to-dos las mismas soluciones y nos permitirá comparar nuestros resultato-dos.

NOTA 3: Por resolver un triángulo entendemos averiguar el resto de elementos, ya sean ángulos, lados, apotemas... que no conozcamos.

2.1 Teorema de la altura

Válido exclusivamente para triángulos rectángulos.

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

2

(32)

2.2 Teorema del cateto

Válido exclusivamente para triángulos rectángulos.

Ejercicio 1

En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indica-dos por letras (ambos triángulos son rectángulos en A):

El cuadrado de un cateto es igual al produc-to de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.

2

(33)

Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las proyec-ciones y la altura sobre la hipotenusa:

Ejercicio 3

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 cm y 25 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos:

Ejercicio 4

(34)

2.3 Teorema generalizado de Pitágoras

Válido para cualquier tipo de triángulo (rectángulo o no). Observa los siguientes dibujos:

El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble produc-to de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.

2 2 2

2

a

=

b

+

c

cm

El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadra-dos de los otros lacuadra-dos más el doble pro-ducto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.

2 2 2

2

a

=

b

+

c

+

cm

Ejercicio 5

Demuestra estos teoremas utilizando tus conocimientos de álgebra y el teorema de Pitágoras:

Ejercicio 6

(35)

Para triángulos no rectángulos. Se cumple que:

sen

sen

sen

a

b

c

α

=

β

=

γ

o también puede adoptar esta otra forma equivalente:

sen

sen

sen

a

b

c

α

=

β

=

γ

Ejercicio resuelto

Resuelve el triángulo:

Fíjate que sólo el dibujo ya ofre-ce varias pistas: el lado a deberá ser menor que el lado b, y am-bos deben ser menores que 10;

α también debe ser menor de 45º.

Relacionamos el ángulo de 100º con el lado de 10, y el ángulo de 45º con el lado des-conocido b. Aplicando el teorema del seno:

sen 100º

sen 45º

10

=

b

; en esta ecuación todo es conocido menos el lado b que

despe-jamos:

sen 45º

10

sen 100º

b

=

; sustituyendo:

b

=

7 '18

. Como

α

+

100

º

+

45

º

=

180

º

, tenemos que

35º

α

=

Por último, para obtener el lado a volvemos a aplicar el teorema del seno relacionando este lado con su ángulo opuesto, y el lado que mide 10 con el ángulo de 100º:

sen 100º

sen 35º

10

=

a

; despejamos:

sen 35º

10

sen 100º

a

=

; con lo que

a

=

5 '82

Ejercicio 7

(36)

Ejercicio 8

Resuelve el triángulo del que conocemos

C

=

30º

,

b

=

25

cm

,

c

=

18

cm

:

2.5 Teorema del coseno

Para triángulos no rectángulos. Se cumple que:

Intercambiando adecuadamente ángulos y lados, obtenemos los otros dos teoremas análogos al anterior:

b

2

=

a

2

+ −

c

2

2

ac

cos

β

y

c

2

=

a

2

+

b

2

2

ab

cos

γ

Ejercicio 9

Dos amigos parten de un mismo punto A, siguiendo direcciones que forman entre sí un ángulo de 35º. Después de caminar 10 km y 8 km, respectivamente, ¿cuál es la distan-cia que los separa?

2 2 2

2

cos

(37)

Ya has comprobado que existen bastantes teoremas entorno a los triángulos.

Te aconsejamos que, a la hora de resolver un ejercicio, y nada más empezar, determi-nes si el triángulo a estudiar es rectángulo o no, ya que esto simplificará mucho los cál-culos. Si por los datos del ejercicio, no es posible determinar ningún ángulo recto, aun-que lo parezca visualmente, no lo supongas tú, y aplica los teoremas para triángulos cualesquiera.

Ten en cuenta que un triángulo rectángulo, aunque admita cualquier teorema de los aquí expuestos, tiene (al menos para este curso) sus teoremas específicos: teorema de Pitágoras, de la altura, del cateto y la definición de razones trigonométricas (estudiadas en el tema anterior); por otro lado, si el triángulo es cualquiera, deberás utilizar: el teo-rema del seno, del coseno o el generalizado de Pitágoras.

Otro dato que puede ayudarte es que, para cualquier triángulo, conociendo tres datos, entre lados y ángulos (a excepción de los tres ángulos), podremos conseguir sólo con la aplicación de los teoremas del seno y el coseno, todos los demás elementos.

Por último, no olvides que, para cualquier triángulo, la suma de sus ángulos siempre suma 180º (o

π

radianes).

Ejercicio 10

Completa:

Datos Teorema...

Para triángulos rectángulos:

Dos de los tres lados

Ambas proyecciones sobre la hipotenusa Proyección e hipotenusa

Un lado y un ángulo agudo cualquiera Lado y su proyección

Altura sobre la hipotenusa y una proyección Hipotenusa y un lado

Para triángulos cualesquiera:

Dos lados y el ángulo que forman Dos lados y otro ángulo

Dos lados y la proyección de uno sobre el otro Dos ángulos y un lado

(38)

Ejercicio 11

Resuelve el triángulo del que se conoce

a

=

20

m

,

B

= °

45

,

C

=

30º

:

Ejercicio 12

En un triángulo se conocen los lados

a

=

2

cm

,

c

=

2 3

cm

y el ángulo

C

=

60º

. Cal-cula el ángulo

A

y el lado b:

Ejercicio 13

(39)

En un triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado

b

=

4

cm

sobre el lado

8

c

=

cm

. El tercer lado mide

a

=

6

cm

.

Ejercicio 15

Calcula el radio y la apotema de un octógono regular de lado 10 cm:

(40)

Ejercicio 16

Calcula el área del triángulo siguiente sabiendo que

a

=

1

m

,

B

=

30º

y

C

=

45º

:

Ejercicio 17

Al comienzo de este apartado de resolución de problemas, hemos dicho que, con sólo tres datos y con los teoremas del seno y el coseno, se puede averiguar el resto de ele-mentos de cualquier triángulo. ¿Cuántos datos se necesitarán para el caso de los trián-gulos rectántrián-gulos?

Ejercicio 18

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 8 cm y 4’5 cm. Calcula la medida de los catetos y el área del triángulo (no utilices el teo-rema de Pitágoras):

(41)

En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es de 32º y el perímetro es 100 cm. Halla sus tres lados.

Ejercicio 20

Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada uno de los lados iguales es de 33º. (Sin Pitágoras).

(área del trapecio: A B b h

2 ) ( +

(42)

Ejercicio 21

Calcula x:

Ejercicio 22

Un edificio y un árbol tienen 12 y 4 m de altura respectivamente y sus pies están situa-dos a 20 m de distancia. ¿En qué punto situado entre los pies del árbol y del edificio se debe colocar un recipiente con comida para que los pájaros que están en la copa del árbol y los que están en la cima del edificio lo tengan a igual distancia? (Puedes utilizar cualquier teorema)

Más información en:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Resolucion_triangulos_oblicuangul os/Resolucion_TO_indice.htm

(43)

No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real. Nikolay Lobachevsky (científico ruso, 1792 – 1830)

(44)
(45)

Unidad 3: Vectores ...47 3.1 Vectores...47 3.1.1 Características de un vector ...47 3.2 Componentes de un vector ...49 3.3 Operaciones con vectores ...51 3.3.1 Suma de vectores...51 3.3.2 Resta de vectores...52 3.3.3 Producto de un escalar por un vector...52 3.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores...54 3.3.5 Producto vectorial...58 3.3.6 Resumen de los productos ...60 3.4 Direcciones web...60

Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Conocer los vectores: partes, formas de representación

− Operar con vectores algebraica y gráficamente

− Nuevas operaciones específicas de los vectores

− Dominar su terminología específica

Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:

− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).

− Utilizar los vectores para expresar cantidades de magnitudes físicas vectoriales del mundo que nos rodea, como las fuerzas, velocidades… (C1, C2, C3).

(46)

Criterios de evaluación

− Efectúa operaciones con vectores interpretando los resultados

− Opera con vectores dados en coordenadas

− Utiliza el producto escalar para el cálculo de módulos y ángulos de vectores

− Aplica el cálculo vectorial a la resolución de problemas

− Obtiene el ángulo que forman dos vectores

Contenidos conceptuales

− Vector fijo en el plano: módulo, dirección y sentido

− Punto de aplicación

− Vectores equipolentes

− Vector libre en el plano

− Componentes de un vector. Coordenadas cartesianas de un punto

− Operaciones con vectores: suma, resta y producto de un número real por un vector

− Operaciones de forma analítica y gráfica

− Producto escalar

− Producto vectorial: regla de la mano derecha

− Ángulo de dos vectores

Contenidos procedimentales

− Representación gráfica de vectores

− Determinación gráfica de la suma, resta y producto por un número real de dos vectores libres

− Expresión de un vector como suma de otros dos

− Cálculo del producto escalar de dos vectores dados por sus coordenadas car-tesianas

− Cálculo del módulo y el ángulo de un vector dado por sus coordenadas carte-sianas

− Cálculo del producto vectorial aplicando la regla de la mano derecha

(47)

Existen muchas magnitudes (altura, masa, longitud) que se de-terminan con un número: son las llamadas magnitudes escalares. Pero hay otras (fuerza, velocidad, aceleración) que, para que queden bien expresadas, no basta con dar un número. Son las llamadas magnitudes vectoriales. En este tema aprenderemos las formas de representación de los vectores y a operar con ellos.

3.1 Vectores

Vector: es un segmento orientado. Lo representaremos por AB, donde A en el origen y

B es el extremo, o por

v

.

3.1.1 Características de un vector

Módulo: es la longitud del vector. Se representa en entre barras,

v

. Dirección: es la recta que lo contiene.

Sentido: es que va del origen al extremo del vector. Otro parámetro utilizado es el punto de aplicación del vector:

Todos los vectores que ves en la figura de la derecha tienen igual módulo, dirección y sentido, pero distinto punto de aplicación. Este tipo de vectores se denominan vectores equipolentes.

Mientras no se diga lo contrario, el punto de aplicación de un vector no será determinante, es decir, podremos mover libremente cada vector si lo creemos necesario, sin importar-nos dónde empieza o acaba.

Consideraremos, por tanto, que un vector es libre. El curso que viene profundizarás más en estos y otros conceptos: base, cambio de base, base canónica...

A

B

(48)

Ejercicio 1

a) Dibuja dos vectores con distinto módu-lo, misma dirección y mismo sentido que el vector dado:

b) Dibuja dos vectores con distinto módu-lo, misma dirección y sentido contrarios que el vector dado:

c) Dibuja dos vectores con el mismo mó-dulo y distinta dirección que el vector da-do:

d) Dibuja dos vectores con el mismo mó-dulo, mismo sentido y distinto punto de aplicación que el vector dado:

Ejercicio 2

a) ¿El módulo de un vector, puede ser un número real negativo? b) ¿Existe algún vector sin dirección ni sentido?

c) ¿Cuándo dos vectores son equipolentes?

d) Dos vectores de distinta dirección, ¿pueden ser opuestos? e) ¿Cuándo un vector es nulo?

(49)

Observa el vector de la figura y las coordenadas cartesianas de los puntos origen y ex-tremo del mismo:

Las coordenadas del origen del vector (es decir, el punto A) son:

(

2, 2

)

, y las del extremo (punto B) son:

( )

5, 4

.

Así, a través de sus coordenadas, queda determinado inequívocamente el vector

AB

, aunque existe otra forma más sencilla de manejar esto; el vector

AB

tiene de componentes

( )

7, 2

.

Puede verse como los catetos en un triángulo rectángulo donde el vector es la hipotenusa.

Gráficamente, y partiendo del origen del vector, hemos de “avanzar” 7 unidades y “su-bir” 2 para alcanzar el extremo, por tanto:

v

=

( )

7, 2

.

Si no disponemos del vector dibujado, deberemos recurrir a la expresión analítica. Es sencillo pasar de coordenadas a componentes; sólo hay que restar las coordenadas correspondientes del extremo y del origen.

Ejemplo: dadas las coordenadas

A

= −

(

2, 2

)

, y

B

=

( )

5, 4

, determina las componen-tes del vector

AB

:

( )

(

5

2 , 4

2

)

(

7, 2

)

AB

=

− −

=

Ejercicio 3

Conociendo los puntos

A

=

( )

2, 3

,

B

=

(

1, 1

)

y

C

= −

(

2, 4

)

, calcula las compo-nentes de los vectores:

)

a

AB

=

)

b

AC

=

)

c

CA

=

)

d

BA

=

)

e

CB

=

(50)

Ejercicio 4

Halla, gráfica y analíticamente, las componentes de los vectores

AB

y

CD

:

Si nos fijamos en cómo se construye fácilmente un triángulo rectángulo a partir de un vector, deduciremos, apoyándonos en el teorema de Pitágoras, cómo obtener su módulo.

Ejercicio 5

Halla el módulo de los siguientes vectores:

a

=

( )

1, 2

y

b

=

(

6,

8

)

Ejercicio 6

Dado el vector

v

=

(

5, 12

)

, obtén el módulo del vector.

(51)

Dados los siguientes vectores:

u

=

( )

3, 0

,

v

=

( )

2, 1

,

w

=

(

2, 2

)

y

x

=

(

2 '5, 2

)

, ¿cuál tiene mayor módulo?

Ejercicio 8

Halla las componentes del vector

v

sabiendo que su módulo es 5 y el ángulo que for-ma con la horizontal (eje de abscisas) es

30

°

:

3.3 Operaciones con vectores

La mayoría de las operaciones pueden realizarse de forma analítica (basándonos en las componentes de los vectores) o de forma gráfica.

3.3.1 Suma de vectores

Analíticamente: sólo hay que sumar las componentes correspondientes de los vectores: Ejemplo: dados los vectores

u

=

( )

3, 4

y

v

= − −

(

4, 1

)

, obtén su suma:

Sea

s

el vector suma:

s

=

(

3

+ −

( )

4 , 4

+ −

( )

1

)

= −

(

1, 3

)

(52)

La suma es el vector que tiene como origen el origen del primero y como extremo el extremo del segundo.

Ejercicio 9

¿Es posible que la suma de dos vectores no nulos sea el vector nulo?

3.3.2 Resta de vectores

Es similar a la operación anterior. Analíticamente, cambiaremos la suma por una resta, y gráficamente, obtendremos el vector opuesto (mismo módulo y dirección, y sentido contrario) del segundo sumando y realizaremos la suma con este nuevo vector de la manera ya conocida.

3.3.3 Producto de un escalar por un vector

En el ámbito de los vectores, a los números reales se les denominan escalares.

Analíticamente: sólo hay que multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector:

Ejemplo: dado el vector

v

=

(

8, 1

)

, obtén

2

v

Sea

r

el vector resultado:

r

=

2

v

=

2 8, 1

(

− =

) (

16, 2

)

(53)

Representa los vectores

u

=

( )

3, 5

,

v

= −

(

1, 1

)

y

w

=

(

2,

3

)

y realiza gráficamente las siguientes operaciones:

a u

)

+

v

,

b v

)

+

w

,

c v

)

w

,

d u

)

+ −

w v

a) b)

c) d)

Ejercicio 11

Dados los vectores

u

=

(

1,

3

)

,

v

=

(

4,

2

)

y

w

=

( )

1, 1

calcula analíticamente las componentes de los siguientes vectores:

)

a

u

+ =

v

b

)

w v

− =

)

c

u

+ − =

v

w

d

)

2

v

− =

u

)

3

(54)

3.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores

Primera definición

El producto escalar de dos vectores

u

y

v

se designa por

u v

y se obtiene del si-guiente modo:

( )

cos

,

u v

⋅ = ⋅ ⋅

u v

u v

El producto escalar es conmutativo.

Pese a lo que parezca, el resultado de esta operación es un número real, y, por tanto, el resultado podrá ser positivo, negativo o nulo.

Ejercicio 12

Atendiendo a la definición, ¿en qué casos el producto escalar de dos vectores es nulo?

Ejercicio 13

¿Podemos obtener el producto escalar de un vector por sí mismo?

Ejercicio 14

Calcula el producto escalar de los vectores

u

y

v

sabiendo que

u

=

2

,

v

=

3

y que forman un ángulo de

30

°

.

Ejercicio 15

(55)

Se sabe que el producto escalar de dos vectores no nulos es cero; ¿qué se puede decir de las direcciones de los vectores?

Segunda definición

Si los vectores

u

y

v

vienen expresados por sus componentes, es decir,

u

=

(

x y

1

,

1

)

e

(

2

,

2

)

v

=

x y

, el producto escalar se define de la siguiente forma:

Ejercicio resuelto

Dados los vectores

u

=

(

2, 1

)

,

v

=

( )

7, 3

y

w

= −

(

2, 4

)

, halla las siguientes opera-ciones:

a

)

u v

;

b

)

u v w

( )

;

c

)

u v v w

⋅ + ⋅

(

) ( )

( )

)

2, 1

7, 3

2 7

1 3 14 3 11

a

u v

⋅ =

− ⋅

= ⋅ + − ⋅ = − =

( )

(

) ( ) (

) (

) ( )

( )

)

2, 1

7, 3

2, 4

2, 1

5, 7

10

7

3

b

u v w

⋅ +

=

+ −

=

− ⋅

= + − =

( ) ( )

(

)

)

11

2

2

1 4

11

4 4

11 8 3

c

u v u w

⋅ + ⋅ = + ⋅ − + − ⋅

= + − − = − =

Los apartados b) y c) prueban (no demuestran) la propiedad distributiva del producto respeto de la suma.

Recuerda que disponemos de dos definiciones para el cálculo del producto escalar de dos vectores. Habrás de decidir tú cuál de ellas es la más adecuada, dependiendo de los datos que tengas.

Ejercicio 17

Dados los vectores

u

=

( )

1, 3

,

v

= −

(

1, 1

)

y

w

=

( )

6, 0

, calcula los productos escalares:

)

a

u v

⋅ =

)

b

u w

⋅ =

)

c

v w

⋅ =

(¡Ojo! se parece a una suma, pero no lo es)

1 2 1 2

(56)

(Continuación)

)

d

v u

⋅ =

)

e

w u

⋅ =

¿Qué conclusión puede sacarse de los apartados a) y d) o de los apartados b) y e)?

El producto escalar cumple, entre otras, las siguientes propiedades: Conmutativa:

u v

⋅ = ⋅

v u

Asociativa:

( )

u v w u v w

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

( )

Distributiva del producto respecto a la suma:

u v w

⋅ +

( )

= ⋅ + ⋅

u v u w

Dicho de otro modo, los vectores (en lo referente al producto escalar) se comportan como los números reales frente al producto.

Ejercicio 18

Sean

u

y

v

dos vectores de módulos 2 y 4, respectivamente, y de producto escalar -3. Calcula los siguientes productos escalares:

(

)

)

2

a

u

u v

− =

(

)

2

)

3

b

u v

=

Ejercicio 19

Figure

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