Examen de Cálculo Diferecial e Integral 08 09

(1)

IES Pedro de Tolosa [1] Matemáticas II

Opción A

Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Sea la función f x

( )

=2 4x −x

a. Estudiar su continuidad y derivabilidad. b. Dibujar su gráfica.

c. Calcular el área del recinto acotado por la gráfica y= f x

( )

, las rectas x=0, x=5 y el eje OX.

( )

2

(

₍

4

)

₎

4

( )

8 ₂ 2 2 4

2 4 4 2 8 4

x x si x x x si x

f x f x

x x si x x x si x

− ≤

  ₋ _≤

 

=_ ⇒ ₌_

− >  − >

 



Las dos ramas de la función son parábolas, con lo que sabemos que son continuas y derivables en todos los puntos salvo quizás en x=4. Estudiemos, en ese punto, la continuidad y derivabilidad de la función.

( )

(

)

( )

(

)

( )

2

4 4

2

4 4

lim lim 8 2 0

4 0 ; lim 4 lim

lim lim 2 8 0

4

x x

f x x x

f f x f f x f x es

f x x x

continua en x f x es continua x

− −

+ +

→ →

= − =

= = ⇒ ₌ ⇒

= − =

= ⇒ _{∀ ∈}ℝ

( )

(

) ( )

(

) (

)

(

)

(

)

( )

(

) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2

0 0 0 0

2

0 0 0 0

4 4 8 4 2 4 0 2 8

4 lim lim lim lim 2 8 8

4 4 2 4 8 4 0 2 8

4 lim lim lim lim 2 8 8

4 4 4

h h h h

f h f h h h h

f h

h h h

f h f h h h h

f h

h h h

f f f x no es derivable en x

− − − −

+ + + +

− _→ _→ _→ _→

+ _→ _→ _→ _→

− +

+ − + − + − − −

′ = = = = − − = −

+ − + − + − +

′ = = = = + =

′ ≠ ′ ⇒ ₌

Vamos a representar gráficamente la función teniendo en cuenta que está compuesta por dos trozos de parábolas.

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

)

2

8 2 0, 0 4 , 0

8 4 2,8

2 8 0, 0 4 , 0

4 8 2 , 8

y x x corta al eje OX en los puntos y

y x tiene un máximo en el punto

la gráfica se correspondería con la parábola de trazo rojo

y x x corta al eje OX en los mismos puntos y

y x tiene un mínimo en el punto

la

= −

′ = − ⇒

= −

′ = − ⇒ ₋

( )

(

]

(

)

, 4 4 ,

gráfica se correspondería con la parábola de trazo azul

La gráfica de f x la representamos en negro y se obtiene a partir

de la primera parábola en el intervalo y de la segunda

en

(2)

(

)

(

)

3 4 3 5

4 5

2 2 2 2

0 4

2 2

8 2 2 8 4 4

3 3

128 250 128

64 0 100 64 26

3 3 3

El área pedida se corresponde con la zona coloreada

x x

A= x− x dx+ x − x dx=_ x − _ +_ − x _ =

   

      

=_ − _− + _ − _{ } − − _=

   

∫

Calcula:

(

)

(

)

( )

2

2 3

2

1 1

) lim ) ln )

2 cos

x

sen x sen x

a b x x dx c dx

x x

x

π →

−

⋅

+

∫

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

1 cos 2 cos 1 2 1

ˆ

) lim lim lim lim

2 cos 2 2

cos cos

1

) ln ln 2 ln ln ln

2 2 2

1

ln 2 ln

2

x x x x

sen x sen x sen x sen x x sen x x sen x

a L Hopital

x sen x sen x

x x

x x x

b x x dx x x dx x x x dx

x

u x du x dx

x x

dv xdx v

π π π π

→ → → →

− ₌ − ₌ _′ ₌ − ₌ − ₌

− −

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ =



= ⇒ ₌ _⋅



= ⇒ =

∫

տ

( )

(

)

2

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1

2

2 2

3 2 2

2

3 2

1 ln

2 1

ln ln ln ln

2 2 2 2 2 4

1 1 1 1 2 1 1

) ln ln 2

2 2 2 4 2 2 4

1 ( )

2 2

u x du dx

x x

dv xdx v

x x x x x x

x x dx x x C

x

x x

c dx dx dx dx dx x x C

x x x x x x

A Mx N A M x Nx

x x x x

  

= ⇒ ₌

   

  

   ₌ _⇒ ₌ 

   

   

 

= −_ − ⋅ _= − + +

 

= − = − = − + +

+ + +

= + =

+ +

∫

տ

(

2

)

0 ₁ ₁

, 2

0 2 2

2

0

2 1

A M

A N x x

N A

+ =

 _

= = −

+  

⇒_ = ⇒_

+ _ ₌ _ ₌

(3)

Se consideran las curvas y=x2 e y=a, donde a es un número real con 0< <a 1. Ambas curvas se cortan en un punto

(

x y₀, ₀

)

con abscisa positiva. Hallar a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde x=0 hasta x= x₀ es igual a la encerrada entre ellas desde x= x₀ hasta x=1.

(

)

(

)

0 0

0

1 2

3 3

2 0

1 0

0

0 1

3 3

1 ₂

0

2 0

3 3

0 0

" "

3 3

1

3 3 3

1 1

3 3 3 3

x x

x

Se trata de encontrar el valor de a para que A A

x x

A a x dx ax ax

x x

A x a dx ax a ax

x x

entonces ax a ax a

=

 

= − =_ − _ = −

 

   

= − =_ − _ = − −_ − _

   

− = − − + ⇒ ₌

∫

Sea la función

( )

1

1 t f t

e =

+

Se define la función

( )

0

sen x

g x =

∫

f t dt. Calcula

( )

0

lim x

g x x →

( )

( ) (

)

( )

0

0 0

0 0 0

0 0

1 cos

cos

1 1

cos 1 1

ˆ

lim lim lim

1 1 1 1 2

0 0

senx

senx senx

senx

x x x

g x f t dt g f t dt

x

según el teorema fundamental del cálculo integral g x x

e e

g x g x x

entonces L Hopital

x e

→ → →

= ⇒ ₌ ₌

′ = ⋅ =

+ +

′ ′

= = = = =

+ +

∫

տ

(4)

Opción B

Sea la función f x

( )

=x sen x2

(

− +4

)

17. Demuestra que la función derivada f′

( )

x posee al menos una raíz real en el intervalo

(

0 , 4

)

.

( )

[ ]

( )

(

)

( )

2

; 0, 4 0, 4 0 4

0 0 0 4 17 17

4 16 0 17 17

f x es una función continua y derivable en por ser suma y producto de funciones continuas

y derivables en particular f x es continua en y derivable en y además f f

f sen

entonces estamos en las cond

=

= ⋅ − + =

= ⋅ + =

ℝ

( )

[ ]

0 0, 4 0 0 , , 0, 4 .

. 0, 4

iciones del teorema de Rolle por lo que podemos concluir que

existe x tal que f x f x posee al menos una raiz en el intervalo

También puede resolverse aplicando el th de Bolzano a f x en el intervalo

′ ′

∈ = ⇒

′

Dada la parábola y= −4 x2, se considera el triángulo rectángulo T r

( )

formado por los ejes coordenados y la recta tangente a la parábola en el punto de abscisa x=r, con r>0.

a. Hallar r para que T r

( )

tenga área mínima.

b. Calcular el área de la región limitada por la parábola, su tangente en el punto de abscisa

1

x= , y el eje vertical.

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

2

2 2

, 4 ; 2 2

4 2 , 2 4

0

0, 4

2 4

tg tg

tg

Calculemos la recta tangente a la parábola en el punto x r

punto de tangencia P r r y x m y r r

r y r r x r r y rx r

cortamos la recta con los ejes de coordenadas

x

a r OY a r

y rx r

b r

=

′ ′

= − = − ⇒ ₌ _{= −}

≡ − − = − − ≡ = − + +

=



= ⇒_ ⇒ ₌ ₊

= − + +



=

∩

( )

(

)

( )

(

)

2

2 ₂ 2

0 ₄

, 0 2

2 4

4

4 ₄

2 _,

2 4

y _r

OX b

r

y rx r

El triángulo T r tiene por base b y por altura a

r

r _r

r

la función área será A r A r

r

=

  ₊ 

⇒_ ⇒ ₌_ _

= − + +  



+ ⋅ + ₊

= =

(5)

( )

(

) (

)

( )

(

) (

)

(

)(

)

2

2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

16 4 4 4

; ; 0

16

2

16 4 4 4 0 4 4 3 4 0 3 4 0

3 2

0

3

r r r

Busquemos el mínimo de la función área A r A r

r

r r r r r r r

como r el área del triángulo es mínima cuando r

+ − +

′ = ′ =

+ − + = ⇒ ₊ _{− =} ⇒ _{− =} ⇒ _{= ±}

> ⇒ ₌

( )

(

)

(

)

(

)

1 1

2 2

0 0

1 3

2

0

1,3

2 5

2 5 4 2 1

1

3 3

La recta tangente a la parábola en el punto es

y x

el área pedida es la región sombreada A

A x x dx x x dx

x

x x

= − +

 

= _ − + − − _ = − + =

 

= − +  =

 

∫

Calcula:

5 ₂

0

4 5

) 1 3 ) lim

3 6 x x x x x

a x x dx b

→+∞ + ⋅ +

+

∫

(

)

(

)

3 2 1

2

5

2 ₃

5 5

2 2

0 0

0 1 3

1 1 1 16 1 1 128 2

) 1 3 6 1 3 7

3 3 3

6 6 6 6 3 3

2 2 2

4 5

4 5 6 6 0 0

) lim ( 6 ) lim 0

3 6 3 0 1

1 6

x x

x

x x

x

a x x dx x x dx

b dividiendo todo por

→+∞ →+∞

 ₊    _ _

   

⋅ + = + = = − = _ − _=

 

  _ _  

 

  ₊     

+ ₌ ₌     ₌ + ₌

+   ₊ +

   

(6)

IES Pedro de Tolosa [6] Matemáticas II Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se considera la función

( ) (

)

2

2 1

4 1

x f x

x

− =

+

a. Calcula las asíntotas, los puntos extremos y esboza la gráfica de f x

( )

.

b. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f x

( )

y la recta de ecuación 4x+5y− =5 0.

( ) ( ) ( )

(

)

( )

( ) ( )

(

) (

)

2

2 2

2 ₂

2

2 2

2

2 2

2 1

, 4 1 0

4 1

4

2 1 4 4 1

lim lim lim 1 1

1

4 1 4 1 ₄

8 4 4 1 8 4 4 1

4

x x x

x

La función f x no tiene asíntotas verticales puesto que Dom f x x

x x x _x _x

y es asíntota horizontal

x x

x no tiene asíntota oblicua

x x x x x

f x

→∞ →∞ →∞

−

= = + ≠

+

− +

− ₌ − + ₌ ₌ _⇒ ₌

+ + ₊

− + − − +

′ =

ℝ

(

)

(

)

( )

(

) (

)

(

)

(

)

( )

2

2 2

2

2 2 2 ₃

4 3

2 2

16 4 1

; 0 16 4 0

2

1 4 1

1 1 1

0 , 0

32 4 1 2 4 1 8 16 4 96 128 2 2 2

;

1 1 1

4 1 4 1 ₀ _{, 2}

2 2 2

x

f x x x

x x

f en x hay un mínimo

x x x x x _x _x

f x

x x _f _{en x} _{hay un máximo}

f x corta a los ejes en

− _′

= = ⇒ − = ⇒ = ±

+ +

 _′′ _> _⇒ ₌  

   



+ − + − ₋     

′′ = = 

   

+ +  _{′′ −} _< _⇒ _{= −} ₋

   

 _ _ _ _



( ) 1 ( )

(

2

)

3 3

0 , 1 , 0 ; 0 32 3 4 0 ; 0 , , .

2 2 2

.

los puntos y f x x x en x x x hay puntos de inflexión

Dibujamos las gráficas y calculamos el área pedida

  _′′ ₌ _⇒ ₋ ₌ ₌ ₌ _{= −}

 

 

( )

₍

₎

( )

₍

₎

2 1

1 1 ₂ 1 ₂

2 0

0 0

0

2 ₂

2

2 2 2 2

2 1

1 5 4 1 1 3 ln 5 5ln 5 4 5ln 5 4

5 2 ln 4 1 1

2 5 4 1 5 2 5 2 10 5

2 1 4 4 1 4 1 8 1

1 ln 4 1

4 1 4 1 4 1 2 4 1 2

x x

A dx dx x x x x A

x

x x x x x

dx dx dx dx dx x x

x x x x

−

− − −

  _ _    

= _ _ − = _ − _ −_ − + _ = − −_ _= ⇒ ₌

+

     

− − +  

= =  −  = − = − +

+ +  +  +