ıa de Ejercicios N ◦2

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(1)

Departamento de Matem´

atica y C.C.

Ingenier´

ıa Civil

Gu´

ıa de Ejercicios N

2

Coordinaci´

on de ´

Algebra

Ricardo Santander Baeza

Noviembre de 2011

La matem´atica viene impresa en el cerebro y, s´olo se hace carne cuando palpita en el coraz´on.

1. Objetivo de la gu´ıa

Estimados estudiantes, les proponemos estos ejercicios con el fin de que a trav´es del trabajo que significa analizarlos, com-prenderlos y finalmente resolverlos, consigan en el m´as breve plazo, desarrollar competencias adecuadas que les permitan de manera eficiente iniciar su perfeccionamiento en el arte de enfrentar con ´exito la resoluci´on de situaciones nuevas.

2. Ejercicios Propuestos

2.1. T´opico: Relaciones.

[1] Considere los conjuntosAyB tal queA6=∅ yB6=∅. SiR⊂A×B yS⊂A×B entonces demuestre que, [a] (R∪S)⊂(A×B) yDom(R∪S) =Dom(R)∪dom(S).

[b] (R−S)⊂(A×B) e (Img(R)−Img(S))⊆Img(R−S) [c] (R∩S)⊂(A×B) y (R∩S)−1=R−1∩S−1

[d] (R−S)−1=R−1−S−1

[2] Dado el conjuntoA={a, b, c, d}, y la relaci´onR={(a, b),(a, c),(c, d),(d, a),(d, c)} ⊂A2

. Asociamos aR los modelos: Doble entrada y Matricial, definidos por:

a b c d

a X X

b

c X

d X X

| {z }

Doble entrada ∧    

0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0

  

| {z }

Matricial

Dados los siguientes modelos matriciales

(a)

  

1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

    (b)    

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1

    (c)  

1 0 1 0 1 1 1 1 1

Determine las propiedades que verifican las relaciones definidas por cada uno de ellos.

[3] SiA={1,2,3,4,5,6,7,8}entonces muestre que la relaci´on: [a] R={(x, y)∈A2|

x·y es m´ultiplo de 3}, no es refleja, es sim´etrica y no es transitiva [b] S={(x, y)∈A2|

x+y es m´ultiplo de 3}, no es refleja, es sim´etrica y no es transitiva

[c] Represente ambas relaciones usando el modelo matricial para cada uno de las relaciones definidas en los ´ıtemes anteriores.

(2)

[4] SeaR una relaci´on. Demuestre que

Res transitiva ⇔R◦R⊂R

[5] Diremos que una relaci´onR es circular si verifica la siguiente propiedad. aRb∧bRc=⇒cRa. demuestre que

Rrefleja y circular =⇒R es relaci´on de equivalencia

[6] SeanR⊂A2

yS⊂A2

dos relaciones de equivalencia ¿EsR◦S? una relaci´on de equivalencia [7] SeaN={0,1,2, ...}. SobreN2 si se define la relaci´on siguiente: (m, n)R(m0, n0)⇔n+m0=n0+m.

[a] Demuestre que R es relaci´on de equivalencia enN2.

[b] Determine (m, n), la clase de equivalencia de (m, n) [c] SiN2={(m, n)|(m, n)N2

}y definimosϕ:N2Ztal queϕ((m, n)) =nm. Demuestre queϕes una biyecci´on.

[8] SeaW={(x, y, z)R3|z= 0}. Define enR3 la relaci´on

(x1, y1, z1)R(x2, y2, z2) ⇐⇒ (x1−x2, y1−y2, z1−z2)∈W

• Demuestre queR es una relaci´on de equivalencia • Demuestre queW= (0,0,0)

• DetermineR3=n(x, y, z)|(x, y, z)R3o

[9] SeaW={(x, y, z)R3|x+ 2y+ 3z= 0}. Define enR3 la relaci´on

(x1, y1, z1)R(x2, y2, z2) ⇐⇒ (x1−x2, y1−y2, z1−z2)∈W

• Demuestre queR es una relaci´on de equivalencia • Demuestre queW= (0,0,0)

• DetermineR3=n(x, y, z)|(x, y, z)R3o

[10] SeaW={p(x) =a0+a1x+a2x2∈R2[x]|a0−a1+a2= 0}. Define enR2[x] la relaci´on

p(x)R q(x) ⇐⇒ (p(x)−q(x))∈W

• Demuestre queR es una relaci´on de equivalencia • Demuestre queW= 0 + 0x+ 0x2

• DetermineR2[x] = n

(3)

2.2. T´opico: Funciones.

[1] Sif :R7−→Res una funci´on tal quef(x5) =x21, (∀

x;x∈R). Determinef(x) (∀x;xR).

[2] Sif :R7−→Res una funci´on tal quef(2x+ 1) = 5x−4, (∀x;x∈R). Determine f(x) (∀x;x∈R).

[3] Si definimos f : R−→ R2 tal que f(x) = (x+ 2, 2x−3) entonces muestre quef es una funci´on inyectiva, pero no sobreyectiva

[4] SeanAyB conjuntos no vac´ıos. Si consideramos las funcionesf :A7−→B∧g:B7−→C entonces demuestre que [a] (g◦f) epiyectiva =⇒g epiyectiva.

[b] (g◦f) inyectiva =⇒f inyectiva.

[5] Seaf :R2[x]7−→R3 tal quef((a0+a1x+a2x2)) = (a0−a2, a1+ 2a0, 3a1−a2)

[a] Demuestre quef es una funci´on inyectiva [b] Demuestre quef es una funci´on sobreyectiva

[c] Determinef−1

[6] Sean (a∈R− {0}) y b∈R, fijos. Si definimos la funci´onfab:R7−→Rtal quefab(x) =ax+b.

[a] Demuestre quefabes una biyecci´on.

[b] Determinef−1

[7] ConsidereT :R37−→R3 tal que

T(x, y, z) = (x−y+z, x+y+z, x−y). [a] Demuestre queT es biyectiva

[b] DetermineT−1

[8] ConsidereT :R37−→R3 tal queT(x, y, z) = (xλy+z,2 +λx+y+z, xy+λz).

[a] Determine el conjunto

S = {λ∈R|T es una funci´on biyectiva}

[b] Paraλ∈S determineT−1

[9] Seaf :R2[x]7−→R2[x] tal quef(a0+a1x+a2x2) =a0+a1+ 2a2+ (2a0−a1+a2)x+ (a2−a1)x2

[a] Demuestre quef es biyectiva [b] Determinef−1

[10] Seaf :R2[x]7−→R2[x] tal quef(a0+a1x+a2x2) =a0+a1+ 2λa2+ (2a0−(3 +λ)a1+a2)x+ (a2−a1)x2

[a] Determine el conjunto

S = {λ∈R|T es una funci´on biyectiva}

[b] Paraλ∈S determineT−1 [11] ConsidereT :R3R

(4)

T(a, b, c) = (a+ 2b+ 3c)x2+ (2a+ 5b−4c)x+ (3a+ 7b+ 8c) [a] Determine imagen deT.

[b] Determine siT es biyectiva. Si su respuesta es afirmativa determineT−1. [12] SeaT :R37→R3 tal queT((x1, x2, x3)) = (x1+x2, x2−x3, 2x1−x3)

[a] Demuestre queT es una funci´on biyectiva [b] Demuestre queT◦T es tambi´en biyectiva

[c] Determine (T◦T)−1

2.3. T´opico: Rudimentos de Grupos.

[1] SeaG={a∈R| −1< a <1}. Define enGla operaci´on binaria: ab= a+b

1 +ab [a] Determine (si existe), el elemento neutro respecto de la operaci´on∗

[b] Determine (si existe), el elemento inverso para cada elemento deG. [c] Demuestre que que∗ es una operaci´on conmutativa.

[2] EnR− {1}define la operaci´on binariaa∗b=a+b+ab. [a] Determine si (R− {1},∗) es grupo

[b] Determine, si es posible las soluciones de la ecuaci´on 2∗x∗3 = 7

[3] Seaf :R47−→R3[x] tal quef(x1, x2, x3, x4) = 2x1·x3+ 5x2·x2−x3·x+ 3x4

[a] Demuestre quef es un homomorfismo de grupos [b] Determine ker(f)

[c] DetermineImg(f)

[4] Seaf :MR(2)7−→Rtal que f

x11 x12

x21 x22

= 2x11+ 5x12−x21−x22

[a] Demuestre quef es un homomorfismo de grupos [b] Determine ker(f)

[c] DetermineImg(f)

[5] Seaf :MR(1×3)7−→R2 tal quef x11 x12 x13

= (2x11+ 5x12, x11−x13)

[a] Demuestre quef es un homomorfismo de grupos [b] Determine ker(f)

[c] DetermineImg(f)

[6] Seaf :MR(2×3)7−→MR(2) tal quef

x11 x12 x13

x21 x22 x23

=

(x11−5x12) (x21−x13)

x22 x11+x23

(5)

[a] Demuestre quef es un homomorfismo de grupos [b] Determine ker(f)

[c] DetermineImg(f)

[7] Seaf :MR(2)7−→MR(2) tal queT(A) =AAt

[a] Demuestre quef es un homomorfismo de Grupos [b] ¿f es un isomorfismo?. Justifique su respuesta.

[8] Considere las funciones f : MR(2) 7−→ R2[x] tal que f

a b c d

= bx2 + (

a+c)x y g : R3 7−→ R

2[x] tal que

g(a, b, c) =ax2+

cx−b.

[a] Demuestre, si es posible, quef es un homomorfismo [b] Demuestre, si es posible, queg es un isomorfismo

[c] Demuestre queg−1◦f no es sobreyectiva

[9] Seah:MR(2)7−→MR(2) tal queh

a11 a12

a21 a22

=

a11+ 2a12+ 3a21 a12−a21+a22

a21 a22−a21

.

[a] Demuestre quehes un isomorfismo de grupos [b] Determineh−1

[10] Seah:R2[x]7−→R3 tal queh(a0+a1x+a2x2) = (a0+ 2a1−3a2, a0+a2, a1−3a2)

[a] ¿Eshun isomorfismo?

[b] Si su respuesta es afirmativa exhibah−1

[11] Seah:R37−→R2 un homomorfismo. Demuestre quehno es inyectiva [12] Seah:R27−→R3 un homomorfismo. Demuestre quehno es sobreyectiva

[13] Seah:Rn 7−→Rn un homomorfismo no nulo. Demuestre que sih◦h= 0 entonceshno es inyectiva

[14] Considere (Z,+) y (2Z,+) dos grupos con la adici´on habitual. Demuestre que Zy 2Zson grupos isomorfos.

[15] SeaT :MR(4)7→Rtal queT((aij)) = 4 X

i=1

aii

[a] Demuestre queT es un homomorfismo [b] Demuestre queT no es inyectivo [16] SeaT :R37→R3 tal que

T((x1, x2, x3)) = (x1+x2, x2−x3, 2x1−x3)

[a] Demuestre queT es un isomorfismo

(6)

[17] Si definimos la funci´onf :R3→R3, tal quef(x, y, z) = (x+my−z,2mx+mz, x−my+ (1 +m)z) entonces [a] Muestre quef es un homomorfismo de grupos (∀m;m∈N)

[b] Determine el conjuntoS1={m∈R|f es inyectiva}, y

[c] Determine el conjuntoS2={m∈R|f es sobreyectiva}

[d] Determine el conjuntoS={m∈R|f es isomorfismo}

Figure

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Referencias