Perspectiva didáctica de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, mediante la integración de marcos algebraico, geométrico y numérico

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(1)Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AS. Y. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. PERSPECTIVA DIDÁCTICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, MEDIANTE LA INTEGRACIÓN DE MARCOS ALGEBRAICO, GEOMÉTRICO Y NUMÉRICO. AUTOR: Br. FANNY EVELYN BLAZ FERNANDEZ. ASESOR: Mg. ROSA MORENO PACHAMANGO. BI. BL. IO TE. TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS. Trujillo - Perú 2014. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. AS. Y. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. PERSPECTIVA DIDÁCTICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, MEDIANTE LA INTEGRACIÓN DE MARCOS ALGEBRAICO, GEOMÉTRICO Y NUMÉRICO. BI. BL. IO TE. TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS AUTOR: Br. FANNY EVELYN BLAZ FERNANDEZ. ASESOR: Mg. ROSA MORENO PACHAMANGO. Trujillo - Perú 2014. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Jurado. Mg. José Diaz Leiva Vocal. BI. BL. IO TE. Dr. Guillermo Ramirez Lara Presidente. Mg. Rosa Moreno Pachamango Asesor. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Dedicatoria. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La presente tesis está dedicada a Dios todopoderoso por permitirme llegar en este momento tan especial en mi vida. Por darme la fuerza para seguir adelante y darme la sabiduria y el entendimiento para cumplir mis metas.. A mis padres Luis Alberto Blaz Vera y Consuelo Fernández Olivera, mis amados padres. Gracias por su amor y constante apoyo por haberme inculcado siempre al estudio y al progreso.. A mi esposo Henry Burgos, por haberme brindado siempre su amor, paciencia y apoyo incondicional.. A mis hermanos Arturo, Janet y Mirtha por su apoyo moral desde el inicio hasta. BI. BL. IO TE. la culminación de mis estudios.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Agradecimiento. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En la presente página, hago extensivo mi más profundo agradecimiento a la Profesora Mg. ROSA MORENO PACHAMANGO, asesora del presente trabajo, por su maniesta y constante colaboración en el desarrollo del mismo. Así mismo, muestro mi amistad y simpatía para todas las personas que de una u otra manera. BI. BL. IO TE. hicieron posible el feliz término de éste trabajo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Presentación. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Señores miembros del jurado:. En cumplimiento a lo estipulado en el reglamento de Grados y Títulos de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Nacional de Trujillo, es un honor presentar a vuestra consideración el presente trabajo intitulado:. PERSPECTIVA DIDÁCTICA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, MEDIANTE LA INTEGRACIÓN DE MARCOS ALGEBRAICO, GEOMÉTRICO Y NUMÉRICO Con el propósito de obtener el Título Profesional de Licenciado en Matemáticas.. IO TE. Esperando que vuestro criterio sea de comprensión por algunos errores u omisiones involuntarios al momento de su elaboración, acepto honestamente vuestro. BI. BL. dictamen, el cual me guiará para mejorar en el futuro.. El Autor. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Lista de Símbolos. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. y = f (x). :. Función de una variable independiente. y 0 = f (x, y). :. Derivada de primer orden. y 00 = f (x, y) : R f (x)dx :. Derivada de segundo orden. F. :. Fuerza. :. Constante del resorte. :. Contantes. :. Incremento constante en la fórmula de Euler. K Ci. BI. BL. IO TE. h. Integral de una función. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Jurado. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Índice general. Dedicatoria. Agradecimiento Presentación. Lista de Símbolos Resumen Abstract. Introducción. IO TE. 1. Preliminares. iii. iv. v. vi. vii. x. xi. xii. 1. Delimitacion del Problema de Investigación . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2.. Justicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3.. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. BL. 1.1.. 1.4.. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.5.. Revisión de Literatura de las EDO. 1.6.. Transposición Didáctica. 5 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.7.. Uso de las Nuevas Tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.8.. Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. 13. BI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 1.10. Modelación Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 1.11. Método de Resolución de Problemas. 2.1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. 2. Juego de Marcos. Y. Transposición Didáctica. AS. 1.9.. ix. El Modelo Didáctico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 29 37. 51. Sugerencias. 52. Referencias Bibliográcas. 53. BI. BL. IO TE. Conclusiones. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Resumen. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En el presente trabajo presentamos un estudio de la problemática de la enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales de primer orden, se ilustra las dicultades que se pueden presentar cuando se busca la coordinación de los registros de representación gráco, numérico y algebraico en una situación tradicional de enseñanza. En el marco de esa problemática se diseñaran actividades de exploración e integración e interpretación de las soluciones desde el marco geométrico mediante el estudio de las isóclinas y campo de direcciones, para el marco algebraico, describiremos la solución para Ecuaciones de variable separable, Ecuaciones homogéneas, Ecuaciones exactas y Ecuaciones lineales de primer orden, y para el marco numérico estudiaremos la obtención de la solución con los métodos numéricos de Euler, Euler mejorado y Runger Kutta, complementados con el software Winplot, como recursos tecnológicodidáctico. La estrategia planteada para la enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales. IO TE. Ordinarias de primer orden, busca mostrar la importancia de la interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales de primer orden y las familias de soluciones a través de una percepción cenestésica y didáctica con los otros dos marcos propuestos. BI. BL. para su estudio.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Abstract. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. In this work we present a study of the problematic of the teaching of rst-order dierential equations, the problems that can occur when coordination is illustrated records representing graphical, numerical and algebraic be looking at a traditional teaching situation . In the context of this problem exploration and integration and interpretation of the solutions from the geometric context by studying the isoclines and direction eld to the algebraic framework to design, describe the solution for variable-separable equations, homogeneous equations, exact and linear equations of rst order, and numerical framework for study equations obtaining the numerical solution of Euler, Euler improved methods and Runger Kutta, supplemented with Winplot software such as technological and educational resources. The strategy proposed for the teaching of rst-order ODE, seeks to show the importance of the geometric interpretation of dierential equations of rst order and the families of. IO TE. solutions through a kinesthetic awareness and teaching with the other two proposed. BI. BL. frameworks for study .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Introducción. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La teoría de las ecuaciones diferenciales es una rama del análisis matemático de gran trascendencia e importancia, pues ellas modelan innumerables procesos de la vida real. Sabemos que una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus funciones derivadas, su solución permite estudiar las características de los sistemas que ellas modelan y muchas veces una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas. Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a diversas ramas de la ciencia como la Ingeniería, Física, Biología, etc. de modo que los esfuerzos de los cientícos generalmente se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de solución y la expresión de las soluciones en forma adecuada. De este modo, los primeros métodos de solución fueron los algebraicos y los numéricos. Los métodos algebraicos permiten expresar la solución de una ecuación diferencial ordinaria, de. y = f (x),. es decir como una función de la variable independiente, y los. IO TE. la forma. segundos tienen como objetivo calcular valores que toma la solución en una serie de puntos. Al conjunto de estos valores se lo denomina solución numérica. Los métodos analíticos como cambios de variable entre otros, no son necesariamente. BL. los más adecuados cuando el problema es complicado. Por otro lado muchas ecuaciones diferenciales, aunque tengan solución, esta no es expresable en términos de. BI. funciones elementales, por eso la necesidad de recurrir a métodos alternativos a los algebraicos obedece a que la gran mayoría de las ecuaciones diferenciales no pueden ser resueltas satisfactoriamente en forma exacta. Por otra parte, la implementación de técnicas numéricas ecientes requiere previamente el estudio cualitativo de las. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xiii. 1. Y. soluciones que consiste en analizar las propiedades de las soluciones de una ecuación. AS. diferencial sin resolverla, permitiendo obtener gran cantidad de información acerca de las soluciones, aún sin conocerlas. Los métodos numéricos, si bien son ecaces. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. para aportar una solución aproximada de algún problema especíco, no resultan adecuados para la discusión global del conjunto de todas las soluciones, sin embargo, en la práctica y con el desarrollo de la informática, muchas de las ecuaciones diferenciales se resuelven por medio de métodos numéricos entre los que destaca como pionero el Método de Euler, seguido del Método de Runge Kutta, entre otros. Desde la perspectiva de la enseñanza, las ecuaciones diferenciales constituye un curso de exigencia obligatoria para las ingenierías, su enseñanza como se muestra en las numerosas investigaciones realizadas (Artigue, 1992; Zandieh. &. McDonald,. 1999; Rasmussen, 2001, Moreno Moreno, M., 2000; Moreno, M. y Azcárate, C. 2003; Moreno, J. y Laborde, C. 2003, etc) se limita, en la mayoría de casos, al marco algorítmico-algebraico, es por ello que los investigadores ponen de maniesto que esta manera de enseñarlas no contribuye signicativamente a la comprensión de las ecuaciones diferenciales en general y por ende se observa en los estudiantes una falta de motivación para su estudio. Este proceder tanto en el docente como en los estudiantes se debe a una característica común en los programas de estudio y los libros texto, en los que predomina el escenario algebraico (con sus variantes), sólo en algunos casos existe un acercamiento hacia el aspecto numérico y geométrico. Esto. IO TE. ha traído como consecuencia, que se tenga una visión muy parcial de los métodos que existen para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, pues frecuentemente en el estudio de los modelos determinísticos, se requiere establecer articulaciones. BL. entre los diferentes escenarios. Desde el punto de vista del aprendizaje no sólo inuyen los contenidos que se. BI. tratan en el aula, el enfoque de la enseñanza puede limitar la comprensión de los estudiantes y el uso qyue estos hagan de los conceptos matemáticos. Un ejemplo de ello se puede encontrar en el estudio de los casos realizados por Rasmussen y Kwon. 1 Estudio que tiene su base en las ideas de Poincaré y Lyapunov. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xiv. Y. (2007) en el que los estudiantes aprendieron métodos analíticos, grácos y numéricos. AS. para resolver problemas sobre las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias pero estudiaron cada uno de estos métodos de forma aislada. Como consecuencia los estudiantes. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. no establecieron las conexiones apropiadas entre las distintas representaciones ni relacionaron las propiedades matemáticas asociadas con cada una de ellas. Basados en la descripción de la realidad del proceso enseñanza-aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias llegamos a plantear el siguiente problema:. ¾Es posible mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden desde la perspectiva de la integración de Marcos algebraico, geométrico y numérico para estudiantes de ingenieria en la Universidad Nacional de Trujillo? En el presente trabajo de tesis, tomamos como referencia los aportes dados por Douady [8] con la teoría de Juego de Marcos para la articulación de los escenarios: algebraico, numérico y geométrico de la solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, como parte de la Ingeniería Didáctica, metodología que propone tres ejes de estudio fundamentales para la realización del trabajo en el aula: Un análisis a priori (historia de las ecuaciones diferenciales ordinarias), la concepción. IO TE. de enseñanza de nuestro docentes y el análisis de los productos logrados. Así mismo, se recurre al uso de medios tecnológicos, como recurso didáctico para facilitar la. BI. BL. comprensión de los contenidos.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Capítulo 1. Preliminares. 1.1. Delimitacion del Problema de Investigación Las matemáticas, además de ser una disciplina con sus propias reglas de funcionamiento, es una ciencia que inuye en el desarrollo de muchas otras disciplinas que necesitan de su uso para resolver problemas. Esto, unido al hecho de que la mayor parte de la docencia de matemáticas en los niveles universitarios no va dirigida hacia futuros matemáticos sino hacia profesionales que necesitarán utilizarlas como herramientas (Selden. &. Selden, 2001), hace que resulten de interés las investigacio-. nes sobre la forma en que los estudiantes universitarios desarrollan y utilizan los. IO TE. conceptos matemáticos estudiados para resolver problemas y qué tipo de estrategias y razonamientos emplean en el proceso de resolución.. La gran cantidad de contenidos matemáticos utilizados en la resolución de problemas de otras disciplinas cientícas hace necesaria una limitación del trabajo. Los. BL. conceptos de función, límite, derivada e integral han sido ampliamente estudiados por la comunidad de investigación y se han formulado nuevas propuestas de instruc-. BI. ción para introducir estos conceptos en el aula que incluyen el uso de tecnología y/o el tratamiento de diferentes sistemas de representación con el n de robustecer el conjunto de signicados asociados a cada uno de los conceptos. La enseñanza y el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias también. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Delimitacion del Problema de Investigación. 2. Y. ha sido objeto de estudio en los últimos años. Una revisión de estas investigaciones. AS. permite identicar una serie de dicultades que enfrentan los estudiantes a la hora de resolver problemas sobre las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: establecer una. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. denición formal y presentar ejemplos, utilizar las deniciones en un nuevo contexto de conocimiento o analizar el comportamiento de las funciones solución cuando estas vienen expresadas de forma implícita. También se relaciona la búsqueda de algoritmos con el fracaso de los estudiantes a la hora de realizar tareas en las que se requiere el uso de diferentes sistemas de representación o de conceptos de otras áreas de las matemáticas como el álgebra lineal.. Algunas investigaciones han planteado modelos alternativos de enseñanza de las ecuaciones diferenciales. Artigue, M. (1992) propone una Ingeniería Didáctica que plantea un análisis cognitivo, epistemológico y didáctico como base para la construcción de una secuencia de enseñanza. En el caso de la Educación Matemática Realista se propone el uso de actividades reales para el estudiante, de manera que tengan sentido para él, y estableciendo ciertas normas de interacción en el aula que promuevan el desarrollo de argumentos y justicaciones matemáticas válidas (Rasmussen & Blumenfeld, 2007; Rasmussen & Keynes, 2003; Rasmussen & King, 2000). Artigue (2001) establece que muchas de las dicultades con las que se encuentra el estudiante se asocian a las discontinuidades que se presentan en el proceso de enseñanza, pues es allí donde surgen algunas pregunta: ¾qué ocurre con la relación. IO TE. evidente entre los conceptos de derivada y de ecuación diferencial? En la mayoría de los currículos estos conceptos aparecen incluso en distintas materias. ¾Qué sucede con las representaciones de las nociones de límite, función continua, derivada y luego. BL. de una Ecuación Diferencial Ordinaria?, ¾Inuirá en la comprensión del concepto de cada uno de estos objetos matemáticos y en particular de la Ecuación Diferencial. BI. Ordinaria?, ¾Cómo podemos evitar la disparidad interpretativa que existe en cuanto a la solución de una ecuación diferencial ordinaria? ¾Sería conveniente pensar en una reestructuración del currículo?. Estos interrogantes han llevado a la formulación del problema en el que se centra esta investigación.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Justicación. 3. Y. El estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en las especialidades de las In-. AS. genierías viene caracterizado por una fuerte componente centrada en la realización de determinados procesos algebraicos que conducen a la enseñanza de diferentes mé-. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. todos de resolución que llevan a la expresión algebraica de una familia de funciones. En líneas generales, se dene el concepto y se pasa a la clasicación de las ecuaciones, introduciendo los métodos algebraicos de resolución especícos para cada tipo de ecuación. Siendo esta la base común para todos los estudios de tipo cientícotecnológico, obviandotemas centrales como el teorema de existencia y unicidad de soluciones para una Ecuacion Diferencial Ordinaria, principio de superposición, etc, esto es dejando de lado el fundamento matemático que requieren estos temas.. 1.2. Justicación. En la actualidad la educación ha sufrido cambios que van desde el nivel inicial hasta el nivel superior, los ajustes han sido básicamente ver como los docentes deben abordar las diferentes temáticas que se incluyen en los currículos de estudios. En muchos ámbitos de las matemáticas se han implementado nuevas modalidades de enseñanza que van desde los cursos en línea hasta los cursos electivos utilizando equipos de cómputo. Aunque se han tenido avances en el aspecto docente didáctico,. IO TE. aún se presentan ciertos problemas de integración de los conocimientos adquiridos por los estudiantes en su cotidianidad estudiantil, por esta razón es necesario el diseño de metodologías que permitan la realización de los procesos cognitivos de los. BL. jóvenes que estudian matemática para ingeniería, con miras a subsanar deciencias de manera crítica y razonada, con la nalidad de que todo profesional egresado de. BI. una universidad sea formado dentro de un nuevo paradigma de aprendizaje, que consiste en la integración de los diferentes conocimientos adquiridos durante su formación con materias como ecuaciones diferenciales, teoría que es fundamental en la capacitación profesional del estudiante de ingeniería en proceso de formación. Actualmente el curso de ecuaciones diferenciales se imparte en la mayoría de Uni-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Objetivos.. 4. Y. versidades para las Facultades de Ingeniería, el cual se caracteriza por tener muchos. AS. procedimientos algorítmicos y algebraicos, con desarrollos bastante extensos que el estudiante tiene que aprender y memorizar, pero que carecen de aplicaciones reales. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. y más signicativas.. De esta manera, la presente investigación plantea una alternativa de trabajo lectivo que pueda ser implementado para la enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, en la Facultad de Ingeniería de la - UNT, alternativa que consiste en integrar tres escenarios de solución alternativa para las ecuaciones diferenciales ordinarias, denominado: Integración de los marcos algebraico, numérico y geométrico para la enseñanza y aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.. 1.3. Objetivos.. En el presente trabajo de tesis nos hemos trazado los siguientes objetivos:. 1. Proponer una perspectiva del proceso de enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden, a través de la integración de los marcos, geométrico, algebraico y numérico, que permitan analizar y relacionar aspectos estructurales entre conceptos y propiedades del objeto matemático en estudio.. 2. Aplicar el software Winplot como recurso didáctico para la visualización, tra-. IO TE. tamiento y comprensión de la solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden, como resultado de haber aplicado la integración de los juegos de marcos.. BL. 3. Plantear actividades de exploración y descubrimiento del conocimiento mate-. BI. mático ya establecido, que relacione el contexto y una Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden, para desarrollar habilidades relacionadas a la creación de conjeturas y posibles acercamientos a la solución de los problemas de parte del estudiante.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Antecedentes. 5. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. 1.4. Antecedentes. AS. de 1er orden: la historia de la matemática y el uso de TICs.. Y. 4. Establecer como recursos didácticos para el proceso de enseñanza de las EDO. Las investigaciones relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales se pueden dividir en dos grandes grupos: aquellas centradas en la detección y análisis de dicultades en el proceso de aprendizaje y las que proponen modelos de enseñanza alternativos al modo tradicional, basado en el tratamiento algebraico del concepto, la clasicación de las ecuaciones en diferentes tipos y el uso de métodos algebraicos de resolución especícos para cada tipo de ecuación. La mayoría de las investigaciones centradas en el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias están relacionadas con el concepto de solución, en particular, las soluciones de equilibrio. Distintos trabajos señalan este concepto como elemento que promueve la aparición de dicultades en el tratamiento de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, considerando dos posibles causas: (i) El hecho de que el conjunto de soluciones de una Ecuación Diferencial es un espacio formado por funciones y no por valores numéricos y (ii) El uso de métodos de resolución o de cálculo en el que se consideran las variables como símbolos que se deben manipular, sin tomar en cuenta su signicado (p. e. Rasmussen, 2001; Zandieh y McDonald, 1999).. IO TE. Rasmussen y Whitehead (2003) realizaron una revisión de distintos trabajos relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, identicando distintas estrategias, dicultades y formas de comprender que mues-. BL. tran los estudiantes en relación con la creación, interpretación y coordinación de distintos sistemas de representación (incluyendo diagramas de fase y de bifurca-. BI. ción) y la formulación de predicciones justicadas acerca del comportamiento de las funciones solución. En una investigación más reciente, Guerrero, Camacho y Mejía (2010) analizan la forma en que los estudiantes utilizan sus conocimientos matemáticos para representar el campo de direcciones asociado a una Ecuación Diferencial Ordinaria, observando que no logran articular correctamente los sistemas de repre-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Antecedentes. 6. Y. sentación gráco y algebraico, lo que les diculta el análisis de las soluciones de una. AS. Ecuación Diferencial Ordinaria cuando no disponen de su expresión algebraica.. Ante estas dicultades han surgido distintas propuestas de modicación del mode-. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. lo de enseñanza de las ecuaciones diferenciales ordinarias. La primera de ellas fue formulada por Artigue (1987) y su característica principal es que potencia el uso de los sistemas de representación gráco y algebraico para la enseñanza de las EDO. Los resultados de esta investigación muestran que los estudiantes que participaron en ella tuvieron éxito en la resolución de determinadas actividades en las que se daban de manera simultánea los dos registros (p.e. relacionar diferentes ecuaciones diferenciales con las grácas de distintas funciones o estudiar la monotonía de las soluciones analizando el signo de la primera derivada), sin embargo presentaron dicultades con el tratamiento gráco de las funciones. Habre (2000) y Guerra-Cáceres (2003) comprobaron que, aun considerando distintos sistemas de representación en el tratamiento de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, los estudiantes siguen relacionando el concepto con un conjunto de estrategias para la clasicación de las ecuaciones y una serie de métodos algebraicos para la resolución de cada uno de los tipos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.. Otro modelo de enseñanza propuesto en el ámbito de la investigación en Educación Matemática es el realizado en el marco del proyecto Inquiry-Oriented Dierential Equation(IO-DE), en el que se interpreta el concepto de Ecuación Diferencial Ordi-. IO TE. naria como una expresión que indica la evolución de una función en el tiempo (Rasmussen y Kwon, 2007). Los estudiantes que participan en este proyecto trabajan en un ambiente en el que se promueve la discusión, el planteamiento de conjeturas, la. BL. justicación de las ideas y la creación de métodos de resolución propios (Rasmussen y Blumenfeld, 2007).. BI. Distintas investigaciones han mostrado que estos estudiantes obtienen mejores resultados que otros grupos que no participaron en este proyecto, sobre todo en actividades relacionadas con la modelización y el análisis del comportamiento de las soluciones de una ecuación (Rasmussen, Kwon, Allen, Marrongelley Burtch, 2006),. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Revisión de Literatura de las EDO. 7. Y. además de tener una mayor capacidad de retención de sus conocimientos y habili-. AS. dades matemáticas (Kwon, Rasmussen y Allen, 2005).. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. 1.5. Revisión de Literatura de las EDO. La revisión de los diferentes currículos de estudio y de los libros texto utilizados en el sistema universitario peruano (Zill, 1988, 1997; Boyce y Di Prima, 1986; Coddington y Levinson, 1955), permite caracterizar la sumilla de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) como un contenido que privilegian los procesos de algebrización y algoritmización asociados al estudio de un conjunto de métodos (separación de variables, series, Tranfomada de Laplace, etc) para determinar las soluciones de ciertos tipos de Ecuaciones Diferenciales, en los que se dejan de lado el análisis del comportamiento cualitativo de dichas soluciones, a pesar de que muchos de estos métodos eran ya bien conocidos a partir de 1740 y desde los tiempos de Euler o Cauchy, son pocos los cambios que se han realizado en los contenidos, el lenguaje y su tratamiento (Kline, 1992; Rota, 1997).. Los textos de ecuaciones diferenciales generalmente inician con deniciones básicas de las ecuaciones diferenciales en cuanto al orden, grado, variables (dependiente e independiente), familia de soluciones, interpretación geométrica, continuando con el tema de separación de variables, etc. En su mayoría se busca resolver la ecuación. IO TE. diferencial, entender el concepto de la constante de integración y de las condiciones iniciales para denir nalmente la solución particular que determina el comportamiento del fenómeno estudiado.. BL. En los aspectos históricos los libros (Boyce-Diprima, 1992, Ince, E. 1939), dan una reseña histórica completa de cómo surgen las ecuaciones diferenciales; otros textos. BI. como los de (Trench, 2001), (Choud, 2005), (Stroud, 2005) se concretan a realizar una descripción de los procedimientos utilizados para determinar la solución de las diferentes ecuaciones diferenciales que se puedan presentar y destinan los primeros capítulos para el estudio de las aplicaciones en Administración, Ingeniería, Física, etc., aunque algunos textos más actualizados tratan de introducir una gran variedad. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Revisión de Literatura de las EDO. 8. Y. de aplicaciones a lo largo de su desarrollo (Spiegel, 1981, Zill, 2006, Brannan, 2007).. AS. Los aspectos más relevantes en el tratamiento de las ecuaciones diferenciales que presentan estos textos son: Las ecuaciones diferenciales se ven de forma muy aislada. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. en relación a su contexto, su enseñanza se ve centrada en la enseñanza de procedimientos, donde el aspecto conceptual gráco de la solución está casi ausente y se ve limitado a soluciones algorítmicas.. La clasicación de las ecuaciones diferenciales la realizó Euler y es la que perdura hasta nuestros días. Cauchy posteriormente agrega a los conceptos de Euler el concepto de derivada como razón de diferenciales. Lacroix (1837) trata de ensamblar varios descubrimientos realizados por investigadores europeos, pues es el primer maestro que trata de reunir los conocimientos existentes hasta ese tiempo y darles un enfoque de tipo pedagógico. Es observable que la mayoría de los libros de texto están plagados de procedimientos algorítmicos y los aspectos de tipo gráco o numérico están muy reducidos o bien están ausente. En cuanto a los temas de existencia y unicidad de soluciones los autores nos remiten a textos de análisis matemático o de álgebra lineal.. Algunos textos de mediados del siglo XX empiezan a incluir el desarrollo de algunos métodos numéricos como es el de Runger Kutta, así como algunos métodos de tipo operacional que se gestan en el siglo XIX con los trabajos de Heaviside (operador D), y su función impulsiva. Es hasta 1940 que aparece en los libros de texto la Trans-. IO TE. formada de Laplace la cual se utiliza para simplicar las ecuaciones diferenciales ordinarias y darles solución. El libro de Spiegel, (1981) maneja un predominio de tipo algebraico en su gran mayoría y poco son los que trabajan aspectos de tipo. BL. numérico y geométrico. En la actualidad existen textos que hacen énfasis sobre los aspectos grácos de. BI. las ecuaciones diferenciales, pues hacen uso del campo de pendientes y curvas isoclinas como aparecen en los libros (Davis, 1992, Abell, 1996, Loumen, 2000, Zill 2006, Brannan, 2007) algunos de ellos extienden sus resultados hasta las ecuaciones diferenciales de segundo orden (Ayres, 1969), (Blanchard, 1996 y 1998), (Nagle,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Transposición Didáctica. 9. Y. 2001)(Choud, 2005). De igual manera existen libros que tratan de explotar el aspec-. AS. to numérico de la solución de ecuaciones diferenciales entre los que tenemos (Nagle, 2001), (Stroud, 2005), y en algunos textos se usa el nivel de programación, aunque. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. de manera limitada (Spiegel, 1981),(Bevering, 1997). El libro que ofrece más novedades en este ámbito es (Derrik/Grossman, 1997). En los ámbitos de aplicación es importante mencionar el texto de Zill, (2006), pues trata las aplicaciones en distintos ámbitos del conocimiento, y presenta al nal de cada capítulo el modelo de los fenómenos aplicados, siendo el texto de mayor preferencia por parte de los profesores para guiar su curso.. De igual manera, la Transformada de Laplace es una teoría que aparece en 1937 y es tratada en varios textos como un método alternativo en la solución de ecuaciones diferenciales (Kreysig,1988), (O'Nell,1995), para ser aplicado en la solución de algunos problemas de ingeniería eléctrica.. Este análisis nos permite establecer la propuesta para llevar a cabo el proceso de Transposición Didáctica de los aspectos básicos para la enseñanza del curso de ecuaciones diferenciales respectivamente.. 1.6. Transposición Didáctica. Transposición didáctica es la transformación del saber cientíco en un saber po-. IO TE. sible de ser enseñado. La importancia de este concepto, reside en el quiebre de la ilusión de correspondencia entre el saber que se enseña y el conocimiento especíco de la disciplina en el ámbito académico.. BL. El saber que forma parte del sistema didáctico no es idéntico al saber cientíco y su legitimidad depende de la relación que éste establezca desde el punto intermedio. BI. en el que se encuentra respecto de los académicos y del saber banalizado de los padres. Esta distancia, entre el saber enseñar y el saber cientíco, es negada porque de dicha negación depende en parte la legitimación. La transformación de los conocimientos en su proceso de adaptación supone la delimitación de conocimientos parciales, la descontextualización y nalmente una despersonalización. A propósito. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Transposición Didáctica. 10. Y. de la despersonalización del saber, señala Chevallard que todo saber, está conectado. AS. originalmente con su productor puesto que se encarna en él. Compartir ese saber, aún en el interior de la comunidad académica, supone cierto grado de despersona-. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. lización, que constituye un requisito para la publicidad del saber. Así por ejemplo, menciona que: lo que hoy conocemos como Mecánica clásica, fue en principio un saber personal (casi esotérico, agrega) de Isaac Newton. Fueron las presiones de su entorno las que produjeron el nacimiento de los Principia (Philosophiae naturalis principia mathematica). Pero sin duda, este proceso que se inicia dentro de la misma comunidad académica, completa su ciclo en el momento de la enseñanza... [6].. -. El Sistema Didáctico:. Para Chevallard el sistema didáctico es la relación. ternaria que existe entre los docentes, los estudiantes y el saber (que se enseña), pero el cual puede estar sujeto a ciertas amenazas al cual él le denomino factor envejecimiento y este puede darse en dos sentidos:. (i) Respecto al avance cientíco (envejecimiento biológico) (ii) Respecto a los cambios sociales (envejecimiento moral). Es por ello que el saber enseñado dentro del sistema didáctico, requiere de la aprobación de la comunidad cientíca (matemáticos), pero también de los interesados en una formación de calidad, pues esperan que las instituciones educativas de todos. IO TE. los niveles de educación, impartan una adecuada preparación acorde a las exigencias sociales. Por lo que, alrededor del sistema didáctico aparece lo que el autor denomina noosfera y que representa una suerte de tamiz en el cual interactúa dicho sistema. BL. con el entorno social. Sabemos que la elaboración de las secuencias didácticas, constituyen el núcleo fun-. BI. damental de la Ingeniería Didáctica y que aspectos tales como la infraestructura que presente el ambiente de estudio, reglas de la institución, etc. ejercen inuencia en el dinamismos de una sesión de clase; sin embargo la Transposición Didáctica como parte de la metodología de la Ingeniería Didáctica es la que juega un rol trascendental y en su operacionalidad, sigue un desarrollo que se puede apreciar a través. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.7 Uso de las Nuevas Tecnologías. 11. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. del siguiente esquema.. Figura 1. Transposición Didáctica. La gura 1 muestra como la comunidad cientíca aporta con los conceptos, deniciones, propiedades etc., relacionados a los objetos matemáticos y estos a través de los textos o documentos de difusión de estos resultados son usados en la interacción: docente -estudiante, como elementos de enseñanza-aprendizaje.. IO TE. 1.7. Uso de las Nuevas Tecnologías. La gran cantidad de investigaciones realizadas en este contexto, convergen en. que la enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, tienden a centrarse en. BL. una práctica algorítmica y algebraica. En nuestro caso, coincidimos con lo expresado por Michael Artigue (1996):. BI. En el plano didáctico hay que reconocer que la enseñanza tradicional algebraica y muy algoritmizada es una enseñanza que no plantea problemas y que corresponde a un nivel de exigencia mínima tanto para los estudiantes como para los profesores (pag. 129). Nuestro interés al realizar esta experiencia es abordar los obstáculos conceptuales. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.7 Uso de las Nuevas Tecnologías. 12. Y. en la comprensión de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y proponer secuencias. AS. de aprendizaje construidas sobre la base de la visualización.. Se entiende por visualización el proceso de formar imágenes, ya sea mentalmente o. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. con el auxilio de lápiz y papel o tecnología. La visualización la empleamos con el objetivo de estimular el proceso de descubrimiento matemático a n de conseguir una mayor comprensión matemática para representar, transformar, generar, comunicar, documentar, reexionar sobre la información a través del uso de la tecnología en favor de una buena toma de decisiones. (Zimmermann and Cunningham, 1991). La tecnología centrada en la computadora principalmente nos brinda una serie de posibilidades que como docentes de matemáticas no podemos dejar pasar. El uso de Internet, junto al uso de varios software educativos libres, nos permiten trabajar de manera más efectiva para mejorar la enseñanza-aprendizaje y proponer en clase temas más comprensibles y atractivas para nuestros estudiantes. Esto es un reto, que nos proporciona un inmenso océano de posibilidades para mejorar la labor de los docentes en la función de enseñanza aprendizaje.. El uso de la tecnología en la formación matemática se debe practicar y aprovechar en forma creativa y crítica por parte del docente. En ese sentido se han desarrollado software educativos que permiten desarrollar de mejor manera la actividad matemática, técnica o cientíca, como: Mathematica, Matlab o Maple; existen software diseñados con propósitos educativos, como: Derive, Cabri, Winmat, Winplot, Pro-. IO TE. lin, Graphmatica, entre otros. Los cuales favorecen la ejecución de los cálculos, la visualización de los objetos matemáticos y sus relaciones, ofreciendo grandes posibilidades de exploración.. BL. La utilización de los medios tecnológicos se debe ir incorporando paulatinamente, mediante actividades de sesiones de clase cuidadosamente diseñadas, interrelaciona-. BI. das con videos matemáticos que permitan conectar las formas iniciales de validación (intuitivas), con las formas más complejas, como la demostración matemática.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. 13. Y. 1.8. Historia de la Matemática y Transposición Di-. AS. dáctica. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Desde la perspectiva de la enseñanza, los programas de estudio y los libros de texto nos muestran, por diversas razones, todavía un predominio del escenario algebraico, al tratar ecuaciones diferenciales ordinarias, con algunos atisbos de los acercamientos numérico y geométrico, que pasamos a describir brevemente. Desde los escritos de. Arquímedes (287-212 AC), acerca de la mecánica: Principios. de la Palanca y empuje, tornillo sin n, la polea móvil, las ruedas dentadas, leyes de composición vectorial de fuerzas, los innitésimos entre otros más. Y los aportes de otros matemáticos como:. Stevin Simón (1548-1620) con los principios de la está-. Galileo (1564-1642) el cual realizó experimentos de la caída de los cuerpos. Y Copérnico (1473-1543), precursor de los Sistemas Heliocéntricos y Mecánica celestica.. te, son considerados los aportes académicos del conocimiento del mundo cientíco de ese entonces.. El Concepto de Integral surgió cerca de 2000 años antes que la diferenciación, este ya era conocida por los griego mediante: Método de exhaustion (método del cansancio) y los innitesimos (Arquimedes). El concepto de la diferenciación surgió en el siglo XVII en el mundo cientíco. Con aportes de:. IO TE. Fermat (1602-1665), él encontró las tangentes y puntos críticos por métodos equivalentes a la evaluación de cocientes incrementales. Descubrió la naturaleza de los procesos de integración y diferenciación, junto con el proceso de antiderivación en la determinación de limites de sumas. Diferenciación. BL. inversa y directa de los algoritmos básicos. La integral es tomada como memoria de. BI. la derivación, 150 años despues surge la integral como concepto de limite de sumación.. Leibnitz (1646-1716), es el primero que hace aparecer impreso el Calculus en una memoria de 6 páginas en el Acta auditorium de 1684. Contenía una denición de Diferencial y dio pequeñas reglas de cálculo para la suma,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 14. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. multiplicación, división, potencias y raíces. Incluyendo aplicaciones a problemas de tangentes y puntos críticos.. Luego, para los creadores del Calculus surgió el problema: ¾Cómo integrar Ecuaciones Diferenciales?. El trabajo inicial fue con las ecuaciones de primer orden. Se buscó soluciones algebraicas, surgiendo el Método de Separación de Variables de primer orden.. Leibnitz fue el primero que usó el término Equation Dierentials en 1676 según Ince, mientras que Kline arma que Huygens en 1693 en el Acta Eruditorium fue quién lo usó.. Las Ecuaciones Diferenciales aparecen con la aparición del Calculus con la polémica. IO TE. de Newton-Leibnitz. Newton escribe a Leibnitz mediante el siguiente anagrama:. 6accdae13ef f 7iel9n4o4qrr4s9t12vx,. La cual signica Dada una ecuación con cantidades uentes, determinar las uxio-. BL. nes y viceversa. Resultado que Newton lo mantuvo en secreto. En nuestro lenguaje signica, Es útil resolver Ecuaciones Diferenciales, Ince arma que el 11 de no-. BI. viembre de 1675, Leibnitz escribe. R. ydy =. y2 . Importancia para la resolución de 2. ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sobre todo para la notación del signo de la integral.. Isaac Newton (1642-1727): fue el primero que clasica las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden en el lenguaje de uxiones.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 15. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. Consideró a:. x, y. fuentes ;. x0 , y 0 :. uxiones y estableció tres tipos:. Primer Tipo: dos uxiones y una fuente. x0 = f (x); y0. Segundo Tipo: dos uxiones y dos fuente. x0 = f (x, y) y0. Y un tercer tipo en la que hay más de dos uxiones, la que hoy es considerada como Ecuación Diferencial Parcial.. Las características más importantes de la participación de Newton y Leibnitz en el siglo XVII, son:. Los problemas abordados eran desarrollados por ellos, con la visión GeométricaEuclideana. Esto es, sus concepciones matemáticas al abordar los problemas eran en términos de entes geométricos y así representaban sus propiedades y conceptos.. IO TE. La noción de función estaba completamente ligada a la idea de curva geométrica y la idea de tangente era vista desde el lado euclideano.. La idea de Leibnitz de recta tangente la concibe como una recta que pasa por. BI. BL. dos puntos innitamente próximos.. Idea de tangente sólo era intuitiva.. El Cálculo, tanto para Newton como para Leibnitz, trata de cantidades variables.. - Para. Leibnitz. Sucesión de valores innitamente próximos.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. 16. Hermanos Bernoulli (James y Johan). AS. En la última década del siglo XVII, los. Y. - Para Newton. Cantidades que varían con el tiempo.. en 1692, introducen términos como el de integrar una ecuación diferencial y el de. diferencial.. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. proceso de Separación de Variables (Separatio Indeterminatarum) de una ecuación. Johan Bernoulli I (1667-1748), alrededor de 1692 desarrolló el método del Factor Integrante, cuando el método anterior no era posible emplear.. En este tiempo la ecuación diferencial ordinaria: integrar, ya que aún no se conocía que. R. dx x. kxdy − ydx = 0,. no se podía. = ln(x).. IO TE. A principios del siglo XVIII, Daniel (1700-1782), sobrino de los hermanos Bernoulli, también usó el método del Factor Integrante a partir de 1720, sin embargo era incompleto para ser propuesto.. BL. En 1724, J. F. Riccati (1676-1754), estudió la ecuación diferencial. y 0 + ay 2 = bxα ,. BI. que lleva su nombre a propuesta de D'Alambert, estudiando en 1769 el tipo,. y 0 = P (x)y 2 + Q(x)y + R(x);. P, Q y R,. continuas. ecuación que fue estudiada por Leibnitz, Johan I, Nicolai I (1687-1789), Golbach (1690-1769) y Daniel Bernoulli entre otros. Daniel estableció que la ecuación se puede integrar mediante funciones elementales si. α = −2. ó. α=. 4k , 2k−1. k. entero.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. Euler. (1768-1770). 1. a quien le corresponde la primera sistematización de los. Y. Es a. 17. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ciales ordinarias. En este sentido Euler, estudió:. AS. trabajos anteriores, la que se puede llamar, primera teoría de las ecuaciones diferen-. Las ecuaciones diferenciales de primer orden, clasicándolas en ecuaciones: Separables, Homogéneas, Lineales y Exactas.. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden: Lineales, las suceptibles de reducir de orden y generalización a orden superior.. El Método de series de potencias para resolver ecuaciones del tipo. 0,. y 00 + axn y =. donde conceptualizó las ecuaciones diferenciales ordinarias mediante la ex-. presión. dy la cual signicaba un cociente entre diferenciales y no derivada. dx. Para ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden utilizó lugar de. ddy, dx2. en. y 00 .. IO TE. Con los estudios de Euler se marca el n de la etapa algebraico-algorítmica en la historia de las ecuaciones diferenciales y comienza la segunda etapa hasta nes del siglo XIX, donde los siguientes problemas no resueltos en el siglo anterior fueron. BL. tratados y solucionados:. En 1766 D'Adembert, encontró la solución general para ecuaciones lineales no. BI. homogéneas:. yg = yh + yp .. Clairaut y Euler, entre otros matemáticos, siguieron elaborando el método de Factor Integrante. Así en los años 1768-1769, Euler investigó las clases de. 1 Euler. L. (1768-1770). Instituciones CalculiIntegralis. Ediderunt Friedrich Engel etLudwing. Schelesinger. Lipsiae et BerloniTypis et in aedibus B. G.Teuneri. MCMXIV. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 18. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. ecuaciones diferenciales que tienen Factor Integrante de un tipo dado e intentó extenderlas estas para ecuaciones de orden superior.. Lagrange (1736-1813), demostró que la solución general para ecuaciones din P ferenciales lineales homogéneas de orden n, es de la forma: yg = Ci y i i=1 donde {yi }i=1,2,...,n , es un conjunto de funciones linealmente independiente y. Ci i = 1, 2, . . . , n. son constantes. Este método es conocido como el Prin-. cipio de superposición. En 1774, descubrió la forma general del método de separacion de variables.. Ante este desarrollo algebraico de las ecuaciones diferenciales ordinarias, encontra-. IO TE. mos dicultades como las siguientes:. Una ecuación relativamente sencilla rompe con la tradición algebraica: la ecuación de Ricatti, en la mayoría de los casos no puede integrarse por cua-. BL. draturas.. BI. No es posible usar el principio de superposición, solución como suma nita de soluciones particulares, en las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.. Con este rompimiento, en el siglo XVIII, los trabajos consistian en solucionar ecuaciones diferenciales particulares especicas, en elaborar premisas para la creación de las bases para la teoría general con una serie de conceptos fundamentales. En 1743. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. 19. Y. aparecen los conceptos de integral particular y general, encontrados ya por Euler en. AS. 1739 como solución de ecuaciones diferenciales lineales de orden  `n con coecientes constantes. En su obra Instituciones Calculi Integralis Euler expone la teoria gene-. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ral en tres tomos publicados en 1768, 1769 y 1770 y con un suplemento en 1794, con la serie de libros dedicados a la exposición sistematica del Análisis contemporáneo. A nales del siglo XVIII, el rigor que imperaba era los siguientes:. Cada concepto debía ser explícitamente expresado en términos de otros conceptos cuya naturaleza era conocida.. Las pruebas de los teoremas debian ser completamente justicadas en cada una de sus etapas, o bien por un teorema anteriormente probado, por una denición o por un axioma explícitamente establecido.. Las deniciones y axiomas escogidas debian ser sucientemente amplias para cubrir los resultados ya existentes.. La intuición (geométrica o física) no era un criterio válido para desarrollar una prueba matemática.. El problema de la fundamentación del cálculo diferencial se hizo cada vez más actual, convirtiendose en uno de los problemas del siglo. La fundamentación. IO TE. lógica y losóca del Cálculo Diferencial e Integral era objetivamente imposible sobre la base de los conceptos sobre los que aparecieron y por eso el esfuerzo de Newton, Leibnitz, Lagrange y otros hacia los comienzos del siglo. BL. XIX terminaron en el fracaso. Debido a las siguientes razones o insuciencias:. BI. - Incorrecta comprensión de Diferencial. En Leibnitz, Euler y otros matematicos del siglo XVIII, se confundian con incremento. Una aproximación sucientemente correcta del concepto de diferencial fue dada por Lagrange en 1765. - Insuciente comprensión del concepto de función. Hasta nes del siglo XIX los matemáticos partiendo de la intuición mecánica y geométrica,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. 20. Y. entendieron por fundamentación sólo las funciones analíticas representa-. AS. das por una fórmula. Solo cuando aparecieron funciones discontinuas en problemas prácticos, los matemáticos prestaron atención a la forma lógica. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. del concepto de función.. - Ausencia de un concepto claro de límite. Los seguidores de Newton: Maclaurin, Taylor, Walis y otros, mantuvieron una discusión de que la variable alcanza o no al límite. Este problema no era fácil, precisamente porque no había una distinción precisa de límite y solo se determinaba por razonamientos mecánicos y geométricos. Esta insuciencia permaneció hasta Cauchy en 1823.. - El concepto de continuidad funcional era intuitivo. Este hecho fue que los matemático consideraban a todas las funciones continuas y no había necesidad de ello. Sólo a principios del siglo XIX se comenzó a pensar en ese problema.. - Concepto de Integral denida era difuso. Relacionado a la ausencia de un teorema de existencia. Se consideraba la fórmula de Newton- Leibnitz como fórmula universal válida en todas condiciones.. En este siglo era necesario tener una comprensión clara de lo que era un sistema numérico. Lo cual sucedió con las investigaciones de Dedeking y Cantor entre otros. Asi. IO TE. como conocer el concepto mismo de número. Así en este siglo, las investigaciones del Análisis Matemático, puede describirse completamente en el sistema TeoríaPráctica, existía la necesidad de calcular áreas, volúmenes y de máximos y mínimos. BL. entre otros problemas concretos conllevando a la creación de algoritmos en el Calculo Diferencial e Integral. La aplicación de estos algoritmos a nuevos problemas conllevó. BI. a la generalización y precisión de los algoritmos, formándose un sistema en el análisis relativamente cerrado y completo. Los esfuerzos en la precisión hechos por Lacroix Poisson y Cauchy pusieron en primer plano el concepto de límite y continuidad. Hallándose una respuesta nal en los trabajos de Lebesgue a nales del siglo XIX.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. 21. AS. Y. Euler, consideraba a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias como ecuaciones que involucran diferenciales y su clasicación ha perdurado hasta hoy. Cauchy, agrega a la concepción euleriana de diferencial la Derivada (Cours Inédit).. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Antes de los Trabajos de Poincare y Lyapunov, el estudio estaba caracterizado fundamentalmente por dos cuestiones: el primero por el uso de series para la búsqueda de soluciones, lo cual produjo las llamadas funciones elementales y el segundo respecto a la investigación de los teoremas de existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferenciable, los cuales sirvieron, como lo arma Ince, para determinar en forma rigurosa, la pregunta de existencia y unicidad de aquellas ecuaciones que no fueron integrables por metodos elementales.. El aporte indudablemente de valor histórico y metodológico es dado por Cauchy con su teorema respecto a la existencia y unicidad y es dada asi:. Teorema 1.8.1 (Teorema de Cauchy) Si la función del segundo miembro de la ecuación y0 = f (x, y), es analítica en ambas variables, x e y, en una vecindad de (x0 , y0 ), entonces la ecuación posee una única solución y = y(x) que satistace las condiciones iniciales y(x0 ) = y0 . Y esta solución es analitica en la vecindad de x0 . Sin embargo la exigencial de ser. f. analítica es articial, pues existian muchos pro-. blemas de aplicación que fallaba la restricción, asi como la teoria de ese entonces. IO TE. (siglo XIX), era bastante exigente por su rigor respecto a:. Existía un álgebra de desigualdades bien desarrollada.. El rigor empezaba a considerarse importante y. BL. Los conceptos relacionados con la convergencia (límites, series, derivadas, in-. BI. tegrales denidas, etc.) eran descriptibles en el lenguaje de las desigualdades.. Si tomamos en cuenta la demostración del teorema de Cauchy se usa la construcción de quebraturas de Euler y serie numérica mayorante exigiendo las condiciones del teorema. Este método de Cauchy-Lipschitz tiene sobre el de Picard-Lindelo (aproximaciones sucesivas), la que permite construir soluciones en todo intervalo nito. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Historia de la Matemática y Transposición Didáctica. Y. donde ésta es continua.. 22. AS. En general, los teoremas que son utilizados en los curso de ecuaciones diferenciales no son constructivos,es decir sólo se brinda algoritmos o fórmulas para determinar. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. las soluciones.. Otro teorema de existencia de relevancia histórica es el teorema de G. Peano, él publicado entre (1858-1932):.  Teorema 1.8.2  x0 = f (t, x(t)). (1886) : Sea d = 1. El problema de valor inicial. , posee soluciones xmı́n , xmáx , tal es que para toda so-. x(0) = 0 , ∀t∈I lución xmı́n ≤ x(t) ≤ xmáx , ∀ t ∈ I .. .  Teorema 1.8.3  x0 = f (t, x(t)) . x(0) = 0. (1890) : Sea d ≥ 1. El problema de valor inicial. , ∀t∈I. , posee al menos una solución.. Muchas pruebas elementales del. teorema 1.8.2 existen, sin embargo las del teore-. ma 1.8.3 son escasas.. Al investigar la forma como determinar una solución de una ecuación diferencial históricamente se han dado en tres escenarios: el algebraico, el numérico y el geométrico. Cada uno con procedimientos distintos y representaciones diferentes, a saber. IO TE. una fórmula o una serie innita, un conjunto (obtenido en un proceso iterativo) y una familia de curvas. De estos tres el algebraico siempre se ha trasladado a los libros de texto, mientras que el numérico aparece comunmente el los textos de ana-. BL. lisis numérico y en el caso del geométrico a pesar de contar con más de 100 años de antigüedad esta connado al tratamiento de las Isoclinas y el campo de direcciones. BI. (pendientes).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.9 Transposición Didáctica. 23. Y. 1.9. Transposición Didáctica. 2. AS. Alrededor de 1837 surge el trabajo de Lacroix, que según Shubring. intentó. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ensamblar resultados originales de varios investigadores expertos de las academias europeas y les dio una estructura elemental. Presentando al Cálculo como una sucesión ordenada y bien denida desde los elementos básicos y así es considerado como el primero que realizó Transposición Didactica en Matemática.. A mediados del siglo XX, Ince, plantea:. Una de las primeras cosas que el principian-. te debe aprender es la identicación del tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias. No aparecen soluciones geométricas ni numéricas. Para el desarrollo geométrico y numéricos de las ecuaciones diferenciales ordinarias existía dicultades como las siguientes:. IO TE. El concepto de función. Que se logra la concepción gracias a los trabajos de Borel, Legendre y Bourbaki, para lograr la concepción de hoy.. El tratamiento de Innito Actual. Para convergencia y aproximación era. BL. incorrecta y estaba insucientemente fundamentada.. BI. La noción de distancia.. Cobró valor fundamental después de los trabajos. de Frechet (1906).. La Topología no se había desarrollado.. Aún como una disciplina inde-. pendiente.. 2 SHUBRING G. On the Methodoly of Analysing Historical Notes. Mc Graw Hill. 1987.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

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