República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Oeste de Sucre “Clodosbaldo Russián”
Cumaná – Estado Sucre
Programa Nacional de Formación en Informática
Unidad Curricular:
Investigación de Operaciones
Facilitador:
MSc. Leonardo Javier Malavé Quijada
Investigación de Operaciones – Tema # 3
•
Transporte
o
Esquina Nor-Oeste
o
Costo Mínimo
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
• El transporte desempeña un papel importante en la economía y en las decisiones
administrativas. Con frecuencia la disponibilidad de transporte económico es crítica
para la sobrevivencia de una empresa.
• La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o
estructura “de-hacia”: de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario,
del presente hacia el futuro, de aquí hacia allá. Al enfrentar este tipo de problemas, la
intuición dice que debe haber una manera de obtener una solución. Se conocen las
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
y los costos de cada trayectoria. Debe haber una combinación óptima que minimice el
costo (o maximice la ganancia). La dificultad estriba en el gran número de
combinaciones posibles.
• Puede formularse un problema de transporte como un problema de programación
lineal y aplicarse el método símplex. Si se hiciera, se encontraría que los problemas de
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Los pasos del algoritmo de transporte son exactamente iguales al método simplex
1.- Determinar una solución básica factible de inicio y luego pasar al paso 2. En este
paso se debe emplear cualquiera de los siguientes métodos:
a.- Esquina Nor-Oeste
b.- Costo Mínimo
c.- Aproximación de Voguel
2.- Aplicar el criterio de optimalidad para determinar la variable que entra de las
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
algoritmo . En caso contrario seguir el paso número 3.
3.- Aplicar el criterio de factibilidad para determinar la variable de salida entre las
variables básicas en ese momento, y determinar la nueva solución básica. Regresar al
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Problema Base:
La compañía SugarRay Transport transporta grano desde tres (3) silos hasta tres (3)
molinos. La oferta (en camionadas) y la demanda (también camionadas) se resume en
el modelo de transporte de la tabla adjunta, junto con los costos unitarios de
transporte por camionada en las distintas rutas . Los costos unitarios por transporte C
ij(que se ven en la esquina superior derecha o “esquina noreste” de cada tabla están en
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
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Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Método de la Esquina Nor-Oeste:
Se comienza con la variable X
11(correspondiente a
la esquina oeste, o superior izquierda) de la tabla
1.- Asignar todo lo más que se pueda a la celda seleccionada y ajustar la cantidad
asociada de oferta y demanda restando la cantidad asociada.
2.- Salir de la fila o columna cuando se alcance la oferta o demanda cero, y tacharlo,
para indicar que no se pueden hacer más asignaciones. Si una fila y una columna dan 0
al mismo tiempo tachar solo uno (la fila o la columna) y dejar una oferta (demanda) en
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
3.- Si queda exactamente una fila o columna sin tachar, detenerse. En caso contrario
avanzar a la celda de la derecha si se acaba de tachar una columna, o la de abajo si se
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
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Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Método del Costo Mínimo:
Rutas menos costosas
1.- Se asigna todo lo posible a la celda que tenga el mínimo costo unitario (los empates
se rompen en forma arbitraria).
2.- La fila o columna ya satisfechas se tacha y las cantidades de oferta y demanda se
ajustan en consecuencia.
3.- Si se satisfacen en forma simultánea una fila y una columna al mismo tiempo, solo
se tacha uno de los dos, igual que en esquina nor-oeste.
4.- Se busca la celda no tachada con el costo unitario mínimo y se repite el proceso
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
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Demanda
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X12= 15, X14= 0, X23= 15, X24= 10, X31= 5 y X34= 5
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Método Aproximación de Voguel:
Es una versión mejorada de Costo Mínimo, que en
general produce mejores soluciones de inicio.
1.- Determinar para cada fila o columna una medida de penalización restando el costo
unitario mínimo en la fila o columna del elemento con costo unitario siguiente al
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
2.- Identificar la fila o columna con la mayor penalización. Romper los empates en
forma arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que contenga el costo unitario
mínimo de la fila o columna seleccionada. Ajustar la oferta y la demanda y tachar la
fila o columna ya satisfechos. Si se satisfacen una fila y una columna en forma
simultánea, solo se tacha uno de los dos y al que queda se le asigna oferta o demanda
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
3.-
a.- Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con 0 oferta o
demanda, detenerse
b.- Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva,
determinar las variables básicas en la fila o columna con el método de costo mínimo.
Detenerse
c.- Si todas las filas o columnas que no se tacharon tienen cero oferta y
demanda (restante), determinar las variables básicas 0 por el método de costo
mínimo. Detenerse
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
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3 4 14
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Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Molinos
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9 -7 = 2
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14 -4 =
10
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Demanda
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Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
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11 -2 =
9
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9 -7 = 2
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16 -14 = 2
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Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
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20 -9 = 11
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18 -16 = 2
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Demanda
5
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15
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Tomando del Ejercicio # 1:
la solución básica de inicio habiendo usado el método de la
Esquina Nor-Oeste, procederemos a darle solución a dicho problema ejecutando los
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Molinos
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3
4
Oferta
SIL
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2
2
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Demanda
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15
10
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Se empieza haciendo U
1= 0 y después se despejan las demás
Variable Básica
Ecuación (U
i+ V
j= C
ij)
Solución
X
11U
1+ V
1= 10
U
1= 0 / V
1= 10
X
12U
1+ V
2= 2
U
1= 0 / V
2= 2
X
22U
2+ V
2= 7
U
2= 7-2 =5 / V
2= 2
X
23U
2+ V
3= 9
U
2= 5 / V
3= 9-5= 4
X
24U
2+ V
4= 20
U
2= 5 / V
4= 20 – 5 =15
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Variable No Básica Ecuación (Ui + Vj -Cij)
X13 U1 + V3 – 20
0 + 4 – 20 = -16
X14 U1 + V4 – 11
0 + 15 – 11 = 4
X21 U2 + V1 – 12
5 + 10 – 12 = 3
X31 U3 + V1 – 4
3 + 10 – 4 = 9
X32 U3 + V2 – 14
3 + 2 – 14 = - 9
X33 U3 + V3 – 16
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Paso # 3:
Criterio de Factibilidad. Variable de Salida. ¿Cuál es lo máximo que se puede
transportar por la nueva ruta?
a.- Límites de la Oferta y requerimientos de la demanda permanecen satisfechos
b.- Los transportes en todas las rutas deben ser no negativos
Se calcula el valor de θ (un valor máximo) y se establece la variable de salida. Primero
se forma un circuito cerrado que comienza y termina en la celda de la variable que
entra . Ese ciclo consiste sólo en segmentos horizontales y verticales conectados (no se
permiten diagonales). Excepto la variable de entrada, cada esquina del ciclo cerrado
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
El valor de θ es 5 para satisfacer las siguientes desigualdades para que sigan siendo no
negativas
X
11= 5 – θ >= 0
X
22= 5 – θ >= 0
X
31= 10 – θ >= 0
Por tanto quedarían X
11y X
22como variables de salida con un mismo valor ,
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Se empieza haciendo U
1
= 0 y después se despejan las demás
Variable Básica
Ecuación (U
i+ V
j= C
ij)
Solución
X
12U
1+ V
2= 2
U
1= 0 / V
2= 2
X
22U
2+ V
2= 7
U
2= 7-2 =5 / V
2= 2
X
23U
2+ V
3= 9
U
2= 5 / V
3= 9-5= 4
X
24U
2+ V
4= 20
U
2= 5 / V
4= 20 – 5 =15
X
31U
3+ V
1= 4
U
3= 3 / V
1= 1
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Variable No Básica Ecuación (Ui + Vj -Cij)
X11 U1 + V1 – 10
0 + 1 – 10 = -9
X13 U1 + V3 – 20
0 + 4 – 20 = -16
X14 U1 + V4 – 11
0 + 15 – 11 = 4
X21 U2 + V1 – 12
5 + 1 – 12 = -6
X32 U3 + V2 – 14
3 + 2 – 14 = - 9
X33 U3 + V3 – 16
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
El valor de θ es 10 para satisfacer las siguientes desigualdades para que sigan siendo
no negativas
X
12= 15 – θ >= 0
X
24= 10 – θ >= 0
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Se empieza haciendo U
1= 0 y después se despejan las demás
Variable Básica
Ecuación (U
i+ V
j= C
ij)
Solución
X
12U
1+ V
2= 2
U
1= 0 / V
2= 2
X
14U
1+ V
4= 11
U
1= 0 / V
4= 11
X
22U
2+ V
2= 7
U
2= 5 / V
2= 2
X
23U
2+ V
3= 9
U
2= 5 / V
3= 9-5= 4
X
31U
3+ V
1= 4
U
3= 7 / V
1= -3
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Variable No Básica Ecuación (Ui + Vj -Cij)
X11 U1 + V1 – 10
0 -3 – 10 = -13
X13 U1 + V3 – 20
0 + 4 – 20 = -16
X21 U2 + V1 – 12
5 -3 – 12 = -10
X24 U2 + V4 – 20
5 + 11 – 20 = - 4
X32 U3 + V2 – 14
7 + 2 – 14 = - 5
X33 U3 + V3 – 16
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Ejercicio # 2:
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SILOS
1 2
3
4
5
14
X
11
X
12
X
13
X
14
2 5
4
3
1
15
X
21
X
22
X
23
X
24
3 1
3
3
2
17
X
31
X
32
X
33
X
34
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Esquina Nor-Oeste
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
8
6
2
5
4
3
1
15
3
1
3
3
2
17
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Esquina Nor-Oeste
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
8
6
8
2
5
4
3
1
15
3
1
3
3
2
17
Demanda
6
11
3
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Esquina Nor-Oeste
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
8
6
8
2
5
4
3
1
15
12
3
3
1
3
3
2
17
Demanda
6
11
3
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Esquina Nor-Oeste
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
8
6
8
2
5
4
3
1
15
12
3
12
3
1
3
3
2
17
Demanda
6
11
3
17
5
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Esquina Nor-Oeste
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
8
6
8
2
5
4
3
1
15
12
3
12
3
1
3
3
2
17
12
5
Demanda
6
11
3
17
5
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Esquina Nor-Oeste
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
8
6
8
2
5
4
3
1
15
12
3
12
3
1
3
3
2
17
12
5
12
Demanda
6
11
3
17
5
12
X11= 6, X12= 8, X22= 3, X23= 12, X33= 5 y X34= 12
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Ejercicio # 2:
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SILOS
1 2
3
4
5
14
X
11
X
12
X
13
X
14
2 5
4
3
1
15
X
21
X
22
X
23
X
24
3 1
3
3
2
17
X
31
X
32
X
33
X
34
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Costo Mínimo
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
2
5
4
3
1
15
3
1
3
3
2
17
11
6
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Costo Mínimo
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
2
5
4
3
1
15
3
12
3
1
3
3
2
17
11
6
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Costo Mínimo
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
3
11
2
5
4
3
1
15
3
12
3
1
3
3
2
17
11
6
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Costo Mínimo
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
3
11
2
5
4
3
1
15
3
3
12
3
1
3
3
2
17
11
6
Demanda
6
11
17
14
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Costo Mínimo
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
3
11
2
5
4
3
1
15
3
3
12
3
1
3
3
2
17
11
6
11
Demanda
6
11
17
14
3
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Costo Mínimo
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
3
11
3
2
5
4
3
1
15
3
3
12
3
1
3
3
2
17
11
6
11
Demanda
6
11
17
14
3
12
X12= 11, X13= 3, X23= 3, X24= 12, X31= 6 y X33= 11
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Ejercicio # 2:
Molinos
1
2
3
4
Oferta
SILOS
1 2
3
4
5
14
X
11
X
12
X
13
X
14
2 5
4
3
1
15
X
21
X
22
X
23
X
24
3 1
3
3
2
17
X
31
X
32
X
33
X
34
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Ap
ro
xim
ación
d
e
V
ogu
el
Molinos
1
2
3
4
Oferta
Penalización
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
3 -2 = 1
2
5
4
3
1
15
3
3 -1 =
2
12
3
1
3
3
2
17
2 -1 = 1
Demanda
6
11
17
12
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Ap
ro
xim
ación
d
e
V
ogu
el
Molinos
1
2
3
4
Oferta
Penalización
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
3 -2 = 1
2
5
4
3
1
15
3
4 -3 = 1
12
3
1
3
3
2
17
11
3 -1 = 2
6
Demanda
6
11
17
12
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Ap
ro
xim
ación
d
e
V
ogu
el
Molinos
1
2
3
4
Oferta
Penalización
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
3
4 -3 = 1
11
2
5
4
3
1
15
3
4 -3 = 1
12
3
1
3
3
2
17
11
3 -3 = 0
6
Demanda
6
11
17
12
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Ap
ro
xim
ación
d
e
V
ogu
el
Molinos
1
2
3
4
Oferta
Penalización
SI
LOS
1
2
3
4
5
14
3
11
2
5
4
3
1
15
3
3
12
3
1
3
3
2
17
11
6
Demanda
6
11
17
14
12
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Ap
ro
xim
ación
d
e
V
ogu
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Ap
ro
xim
ación
d
e
V
ogu
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Tomando del Ejercicio # 2:
la solución básica de inicio habiendo usado el método de la
Esquina Nor-Oeste, procederemos a darle solución a dicho problema ejecutando los
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Paso # 2:
Criterio de Optimalidad. Variable de Entrada. Se calcula los coeficientes no
básicos de Z usando la fórmula: U
i+ V
j= C
ijdonde U
ies la oferta en la fila i y V
jcorresponde a la demanda en la columna j por tanto C
ijes el costo unitario de la
intersección de la oferta de la fila i y la demanda en la columna j. Se usa el método de
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Se empieza haciendo U
1= 0 y después se despejan las demás
Variable Básica
Ecuación (U
i+ V
j= C
ij)
Solución
X
11U
1+ V
1= 2
U
1= 0 / V
1= 2
X
12U
1+ V
2= 3
U
1= 0 / V
2= 3
X
22U
2+ V
2= 4
U
2= 1 / V
2= 3
X
23U
2+ V
3= 3
U
2= 1 / V
3=2
X
33U
3+ V
3= 3
U
3= 1 / V
3= 2
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Variable No Básica Ecuación (Ui + Vj -Cij)
X13 U1 + V3 – 4
0 + 2 – 4 = -2
X14 U1 + V4 – 5
0 + 1 – 5 = - 4
X21 U2 + V1 – 5
1 + 2 –5 = - 2
X24 U2 + V4 – 1
1+ 1 – 1 = 1
X31 U3 + V1 – 1
1 + 2 – 1 = 2
X32 U3 + V2 – 3
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Paso # 3:
Criterio de Factibilidad. Variable de Salida. ¿Cuál es lo máximo que se puede
transportar por la nueva ruta?
a.- Límites de la Oferta y requerimientos de la demanda permanecen satisfechos
b.- Los transportes en todas las rutas deben ser no negativos
Se calcula el valor de θ (un valor máximo) y se establece la variable de salida. Primero
se forma un circuito cerrado que comienza y termina en la celda de la variable que
entra . Ese ciclo consiste sólo en segmentos horizontales y verticales conectados (no se
permiten diagonales). Excepto la variable de entrada, cada esquina del ciclo cerrado
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
El valor de θ es 3 para satisfacer las siguientes desigualdades para que sigan siendo no
negativas
X
11= 6 – θ >= 0
X
22= 3 – θ >= 0
X
33= 5 – θ >= 0
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Se empieza haciendo U
1= 0 y después se despejan las demás
Variable Básica
Ecuación (U
i+ V
j= C
ij)
Solución
X
11U
1+ V
1= 2
U
1= 0 / V
1= 2
X
12U
1+ V
2= 3
U
1= 0 / V
2= 3
X
23U
2+ V
3= 3
U
2= 1 / V
3= 2
X
31U
3+ V
1= 1
U
3= 1 / V
1=2
X
33U
3+ V
3= 3
U
3= 1 / V
3= 2
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Variable No Básica Ecuación (Ui + Vj -Cij)
X13 U1 + V3 – 4
0 + 2 – 4 = -2
X14 U1 + V4 – 5
0 + 1 – 5 = - 4
X21 U2 + V1 – 5
1 + 2 –5 = - 2
X22 U2 + V2 – 1
1+ 3 – 4 = 0
X24 U2 + V4 – 1
1 + 1 – 1 = 1
X32 U3 + V2 – 3
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
El valor de θ es 12 para satisfacer las siguientes desilguadades para que sigan siendo
no negativas
X
23= 15 – θ >= 0
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Se empieza haciendo U
1= 0 y después se despejan las demás
Variable Básica
Ecuación (U
i+ V
j= C
ij)
Solución
X
11U
1+ V
1= 2
U
1= 0 / V
1= 2
X
12U
1+ V
2= 3
U
1= 0 / V
2= 3
X
23U
2+ V
3= 3
U
2= -1 / V
3= 4
X
24U
2+ V
4= 1
U
2= -1 / V
4= 2
X
31U
3+ V
1= 1
U
3= -1 / V
1=2
Investigación de Operaciones – Tema # 3 – Transporte
Variable No Básica Ecuación (Ui + Vj -Cij)
X13 U1 + V3 – 4
0 + 4 – 4 = 0
X14 U1 + V4 – 5
0 + 2 – 5 = - 3
X21 U2 + V1 – 5
-1 + 2 –5 = - 4
X22 U2 + V2 – 4
-1+ 3 – 4 = -2
X32 U3 + V2 – 3
-1 + 3 – 3 = -1
X34 U3 + V4 – 2
