Métricas Riemannianas en k Superficies de R^n, Un Acercamiento a Grupos de Heisenberg

Texto completo

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M´etricas Riemannianas en

k−superficies de

R

n

, un

acercamiento a grupos de Heisenberg

Presentado por:

Luisa Paulina Rodr´ıguez Quevedo

C´odigo:

20112167028.

Carlos Julio Arrieta.

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Dedicado a mi familia especialmente a mis padres por sus consejos y apoyo, al profesor Julio

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Agradecimientos

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Resumen

El siguiente trabajo busca estudiar la geometr´ıa en grupos de Heisenberg. Un grupo de Hei-senberg de dimensi´on tres, notado comoH3es un subgrupo del grupoGL(3; R)que denota el grupo de matrices cuadradas de orden tres e invertibles.

Dado que toda ´algebra de Lie de dimensi´onnpuede ser representada dentro del ´algebra de ma-trices cuadradas de ordenn×n, veremos queH3 es un subgrupo cerrado deGL(3; R) y con las propiedades de los grupos de Lie se dotar´a con una m´etrica invariante a izquierda que a su vez permitir´a deducir las formas fundamentales, geod´esicas y funciones normales en hiper-superficies. Al final se da una breve introducci´on a superficies minimales en H3 con algunos

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´Indice general

1 Preliminares 3

1.1 Variedades . . . 3

1.1.1 Inmersiones y encajes . . . 5

1.1.2 M´etrica . . . 8

1.1.3 Conexi´on . . . 9

1.1.4 Geod´esicas . . . 13

1.1.5 Grupos de Lie . . . 14

1.1.6 Funci´on exponencial . . . 19

2 Grupo de Heisenberg 25 2.1 Grupo lineal del espacio euclidiano.GL(n,R) . . . 25

2.2 Grupos de Lie nilpotentes . . . 32

2.3 Conexi´on enH3 . . . 35

2.4 Curvatura . . . 35

2.5 Isometr´ıas . . . 36

2.6 Superficies enH3 . . . 36

3 Geometr´ıa enH3 40 3.1 Geod´esicas . . . 40

3.2 Subvariedades Riemannianas . . . 43

3.3 Segunda forma fundamental . . . 43

3.4 Hipersuperficies en espacios euclidianos . . . 45

3.5 Superficies orientables . . . 46

3.6 Mapeo de Gauss . . . 47

3.7 Superficies minimales no parametrizadas . . . 52

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´Indice de figuras

Figura 1.1 Ejemplo de inmersi´on . . . 6

Figura 1.2 Subvariedad encajada . . . 7

Figura 1.3 Pushforward . . . 16

Figura 1.4 Campo de vectores W . . . 20

Figura 1.5 Encaje subgrupo de Lie . . . 23

Figura 2.1 Construcci´on de la vecindad . . . 29

Figura 2.2 Teorema subgrupo cerrado . . . 30

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(11)

Introducci´on

En el siguiente trabajo se estudiar´a la geometr´ıa en el grupo de Heisenberg notado comoH3,

con una peque˜na introducci´on a las superficies minimales. El espacio de HeisenbergH3 es un

subgrupo del grupoGL(3; R), es decir, las matrices cuadradas de orden tres invertibles, dados de la siguiente manera

 

1 a c

0 1 b

0 0 1

 

con a,b,c∈R. Se demostrar´a que H3 es un subgrupo cerrado de Lie, para dotarlo con una m´etrica invariante a izquierda, despu´es de ello se dar´an algunos resultados geom´etricos sobre geod´esicas, funci´on normal de Gauss extendido a hipersuperficies, todo ello con el fin de dar una peque˜na introducci´on a superficies minimales en dicho espacio.

En el cap´ıtulo de preliminares se dan los conceptos previos para el desarrollo del tema, empe-zando por variedades diferenciables, inmersiones y encajes, para introducir grupos de Lie y su ´algebra asociada. Un tema fundamental es la funci´on exponencial vital para el hallazgo de la m´etrica en Heisenberg, la cual se ofrece al final del cap´ıtulo.

En el segundo cap´ıtulo se parte del concepto de m´etrica Riemanniana y derivada covariante, despu´es de ello demostrar queH3 puede verse como un grupo de Lie y dotarlo de un ´algebra, despu´es se hallaran las formas fundamentales y conexiones asociadas.

El tercer cap´ıtulo habla de algunos resultados geom´etricos sobre el grupo fundamentados en las hipersuperficies para ello se hace necesario el desarrollo del mismo y de la segunda forma fun-damental, esto permitir´a caracterizaciones al hablar de superficies m´ınimas no parametrizadas en el grupo de Heisenberg.

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el espacio euclidiano a espacios geom´etricos localmente similares al mismo, lo cual permite extender distintas nociones como lo son la longitud de curva o el ´area de una superficie. Se busca hallar una generalizaci´on de las m´etricas, con tal fin se toma el espacio n−dimensional euclidiano y el espacio de Heisenberg.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

1. Profundizar en el espacio de Heisenberg asociado aR3dando algunos resultados geom´etri-cos entre ellos el comportamiento de las superficies m´ınimas en dicho espacio.

OBJETIVO ESPECIFICO

1. Estudiar la m´etrica Riemanniana y las diferentes conexiones en el espacio euclidiano.

2. Comprender los grupos de Lie y sus propiedades para generar una m´etrica tomando como ejemplo el grupo de Heisenberg.

3. Entender como var´ıan las propiedades geom´etricas con dos m´etricas distintas sobre un mismo espacio.

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CAP´ITULO 1

Preliminares

En el presente cap´ıtulo se expondr´an conceptos previos y la notaci´on usada para el desarrollo del tema.

SECCI ´ON 1.1

Variedades

En esta secci´on abordaremos algunos resultados b´asicos de Geometr´ıa Riemanniana a fin de poder hablar de una m´etrica Riemanniana.

Definici´on 1.1 Una variedad diferenciable de dimensi´on n sobre un conjunto M es una familia de aplicaciones biyectivasxα :UαRnde abiertosU

α deRnenM tal que:

(1) S

αxα(Uα) =M.

(2) Para todo parα, β conxα(Uα)∩xβ(∪β) =W 6= /0, (xα)−1(W)y(xβ)

−1(W)son

conjun-tos abierconjun-tos enRny las aplicaciones(xβ)−1◦(xα)son diferenciables.

(3) La familia{(Uα,xα)}es maximal bajo las condiciones (1) y (2).

Un par(Uα, xα)conp∈xα(Uα)es una parametrizaci´on deMenp,xα(Uα)es una vecindad coordenada enpy una familia satisfaciendo(1)y(2)es unaestructura diferenciable.

Nota 1.1 Una estructura diferenciable en un conjuntoM induce de una manera natural una topolog´ıa enM, donde siA⊂M es un abierto de M si xα−1(A∩xα(Uα))es un abierto de Rn para todoα.Tenga en cuenta que la topolog´ıa esta definida tal que los conjuntosxα(Uα)son

abiertos y las aplicacionesxα son continuas.

Se exige en las variedades el axioma de Hausdorff para garantizar la unicidad del l´ımite de una sucesi´on convergente y el axioma de numerabilidad para la existencia de particiones de la unidad diferenciables.

Las variedades de dimensi´onkque trabajaremos est´an contenidas enRn, o tambi´en llamadas

k−superficies. Adem´as una funci´on f se dice que esC∞ ofunci´on suave si existen todas las

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Definici´on 1.2 Uncampo de vectoresX sobre una variedad diferenciableMes una corres-pondencia que a cada punto p∈M asocia un vector X(p)∈TpM. Es decir,X es una funci´on de M en el fibrado tangente T M. Un campo es diferenciable si una funci´on X :M →T M es diferenciable.

Considerando una parametrizaci´onx:U ⊂RnMes posible escribir

X(p) =

n

i=1 ai(p)

∂ ∂xi

(1.1)

donde cadaai:U →Res una funci´on enU y

n

∂ ∂xi

o

es una base asociada axparai=1, ...,n. Tambi´en se puede pensar como una funci´on X :D→F donde Des el conjunto de funciones diferenciables enMen el conjuntoF de funciones enM, definida como

(X f)(p) =

i

ai(p)

∂f ∂xi

(p),

donde f expresa una parametrizaci´on dex.

Supongamos ahora que tenemos dos campos de vectoresX yY, ¿de qu´e forma podemos com-poner estos campos vectoriales para que den otro campo vectorial?.

N´otese que no siempre se tiene esta composici´on, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.1 SeaV = ∂

∂x yW =

∂y sobreR

2, entonces suponga f(x,y) =xyg(x,y) =y. Por

un lado la composici´on es

VW(f g) =VW(xy) =V(x) =1

pero utilizando regla del producto tenemos

VW(f g) = ∂

∂x

∂ ∂y(

f g)

= f VW g+gVW f =0

esto indica que la composici´on deVW no es derivaci´on deC∞(

R2).

Para resolver este problema tengamos en cuenta el siguiente lema.

Lema 1.1 Sea X yY campos de vectores diferenciables en una variedad diferenciableM. Entonces existe un ´unico campo vectorialZ tal que para todo f ∈D,

Z f = (XY−Y X)f.

Una demostraci´on de este lema se puede ver en [6]. Un campo vectorialZcomo en el lema (1.1) es llamado un corchete[X,Y]p=XpY−YpX deX,Y que a su vez es diferenciable.1

1Geometr´ıa Riemanniana. Manfredo P. Docarmo. Geometria Riemanniana. Livros tecnicos e cientificos editora

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Lema 1.2 SeanX,Y,Zcampos de vectores enM, seanα, β∈Ry sea f, g:M→Rfunciones

diferenciables, entonces el corchete de Lie tiene las propiedades siguientes:

(1) (Bilineal).

[αX+βY,Z] =α[X,Z] +β[Y,Z], y[X,aV+bW] =a[X,V] +b[W,X]

(2) (Antisim´etrico).[X,Y] =−[Y,X],

(3) (Identidad de Jacobi).[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] =0,

(4) [f X,gY] = f g[X,Y] +f X(g)Y+gY(f)X.

Demostraci´on 1.1 Los puntos (1) y (2) se demuestran desde la definici´on. La identidad de Jacobi se tiene dado que

[[X,Y],Z] = [XY−Y X,Z] =XY Z−Y X Z−ZXY+ZY X

por otro lado

[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] =XY Z−X ZY−Y ZX+ZY X+Y ZX−Y X Z−ZXY+XY Z.

se concluye usando antisimetr´ıa. Para demostrar (4),

[f X,gY] = f X(gY)−gY(f X) = f gXY+f X(g)Y−g f(Y X)−gY(f)X

= f g[X,Y] +f X(g)X−gY(f)X.

1.1.1.

Inmersiones y encajes

Definici´on 1.3 SeaMmyNnvariedades diferenciables.

(1) Una funci´on diferenciableϕ:M→Ntal quedϕp:TpM→Tϕ(p)N es inyectiva para todo

p∈M, se le denominainmersi´on.

(2) Siϕ cumple (1) y adem´as es un homeomorfismo sobreϕ(M)⊂N, dondeϕ(M)tiene una

topolog´ıa inducida porN, se dice queϕ es unencaje.

(3) Una funci´on diferenciable ψ :M →N es una submersi´on si dψp: TpM →Tψ(p)N es

sobreyectiva para todo p∈M.

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Figura 1.1: Ejemplo de inmersi´on

Considere la curvaγ:(−π/2,3π/2)→R2dado por

γ(t) = (sin2t,cost).

Esta curva es una inmersi´on, en efecto para quedγpsea inyectiva para todop∈Mes equivalente

en este caso a que γ0(t)6=0 dado que la curva es regular para el dominio donde esta definida.

Pero esta curva no es un encaje, sabemos que la compacidad se conserva bajo homeomorfismos como la imagen es un compacto en la topolog´ıa de subespacio pero el dominio no lo es, no es homeomorfismo y el resultado se sigue. Este ejemplo tampoco es una submersi´on pues no es sobreyectiva.

Subvariedades encajadas

Definici´on 1.4 Suponga queMes una variedadN⊂M,Nse dice una subvariedad encajada deM si

(I) La funci´oni:N→M es suave

(II) La diferencial(di)pen cada punto de p∈N es una funci´on lineal inyectiva.

(III) ies un homeomorfismo sobre la imagen, es decir unD⊆N es un abierto en la topolog´ıa de N si y solo si D es abierto en la topolog´ıa inducida sobre N desde M, es decir los subconjuntos abiertos enN son las intersecciones conN de los subconjuntos abiertos en

M.

Ejemplo 1.3 Un ejemplo es una curva parametrizada deR3, la condici´on (i) implica que la parametrizaci´on es suave y la segunda que la parametrizaci´on es regular.

(17)

Otro ejemplo de subvariedad encajada es el grafo de una funci´on

Definici´on 1.6 SeaU ⊂Rnun conjunto abierto y seaF:U

Rk ser una funci´on continua. EL grafo deF es el subconjunto deRRk definido por

G(F) =n(x,y)∈RRk:x∈U yy=F(x)o con la topolog´ıa de subespacio.

Ejemplo 1.4 SiU⊂Rnes un abierto yF :U

Rk es diferenciable, entonces el grafo deF es una subvariedad encajadan−dimensional deRn+k.

Figura 1.2: Subvariedad encajada

Demostraci´on 1.2 Seaϕ una funci´onϕ:U×Rk→U×Rkpor ϕ(x,y) = (x,y−F(x)).

Note queϕ es diferenciable y es un difeomorfismo porque la inversa se puede escribir

expl´ıci-tamente como

ϕ−1(u,v) = (u,v+F(u)).

Como ϕ(G(F)) es el corte {(u,v):v=0} de U×Rk, lo cual demuestra que G(F) es una

subvariedad encajada.

Definici´on 1.7 SiW es un subespacio lineal de un espacio vectorial finito dimensionalV, entonces la codimensi´on deW enV es la diferencia entre las dimensiones

codim(W)=dim(V)−dim(W)

(18)

1.1.2.

M´etrica

Definici´on 1.9 Unam´etrica Riemannianasobre una variedad diferenciable Mes una fun-ci´ongque asocia a cada puntopun producto internoh,iesto es una forma bilineal tal que para todoX,Y ∈TpM.2

(1) g(X,Y) =g(Y,X) (Sim´etrica).

(2) g(X,X)>0, siX 6=0. (Definida positiva). (3) Six:U ⊂RnMes un sistema local de coordenadas enp, tal quex(x

1,x2, ...,xn) =q∈

x(U)y ∂

∂xi(q) =dxq(0, ...,1, ...,0), entonces

D

∂ ∂xi(q),

∂ ∂xj(q)

E

q=gi j(x1, ...,xn).

Algunos aspectos a tener en cuenta son:

(1) SiX =

i

Xi

∂xi

yY =

j

Yj

∂xj

son dos campos de vectores sobreM, entonces:

g(X,Y) =

i,j

gi jXiYj.

(2) La longitud o norma de un vectorX est´a dada por:

kXk=pg(X,Y).

(3) El ´angulo entre los dos vectoresX yY esta determinado por

β =Arcos

g

(X,Y)

kXk.kYk

(X,Y no nulos.)

(4) Si la condici´on de que g este definida positiva se reemplaza, da origen a una m´etrica subriemanniana. Un ejemplo es la m´etrica de Lorentz.

Ejemplo 1.5 (M´etrica euclidiana) Es la dupla(M,g) = (Rn,g0), donde la m´etrica(g0)i j=

δi jtal que el producto escalar inducido por esta m´etrica es el producto escalar euclidianog0(,) = h,i.

Coordenadas Esf´ericas.Si las coordenadas(r,θ,ϕ)asociadas a(x,y,z)∈R3tal que

  

 

x = rsinθcosϕ = x(r,θ,ϕ).

y = rsinθsinϕ = y(r,θ,ϕ).

z = rcosθ = z(r,θ,ϕ).

Parar>0, 0≤θ <2π, 0≤ϕ<π, la matriz asociada es

gi j =

 

grr grθ grϕ gθr gθ θ gθ ϕ gϕr gϕ θ gϕ ϕ

  =   

1 0 0

0 r2 0

0 0 r2sin2θ

 .

(19)

1.1.3.

Conexi´on

Definamos χ(M) el conjunto de campo de vectores de claseC∞ y porD(M) el anillo de

funciones reales de claseC∞definidas enM.

Definici´on 1.10 (Conexi´on af´ın) Una conexi´on af´ın ∇ en una variedad diferenciable M es una funci´on

∇:χ(M)×χ(M)→χ(M)

que satisface las siguientes propiedades

1. ∇f X+gYZ= f∇XZ+g∇YZ.

2. ∇X(Y+Z) =∇XY+∇xZ.

3. ∇X(f Y) = f∇XY+X(f)Y,

dondeX,Y, Z∈χ(M)y f, g∈D(M).

A toda conexi´on se le asocia una derivaci´on covariante como se presenta en la siguiente proposici´on.

Proposici´on 1.1 SeaMuna variedad diferenciable con una conexi´on af´ın∇. Entonces existe una ´unica correspondencia que asocia a un campo vectorialV a lo largo de una curva diferen-ciablec:I→M en otro campo vectorial DVdt a lo largo dec, denominada la derivada covariante deV a lo largo dectal que,

(a) dtD(V+W) = DVdt +DWdt .

(b) dtD(f V) = d fdtV+fDVdt , dondeWes un campo de vectores a lo largo decy f es una funci´on diferenciable enI.

(c) SiV es inducido por un campo de vectoresY ∈χ(M), es decirV(t) =Y(c(t)),entonces

DV

dt =∇dc/dtY.

Demostraci´on 1.3 Supongamos que existe tal correspondencia. Sea x :U ⊂Rn M un

sistema de coordenadas conc(I)∩x(U)6= /0 y sea (x1(t),x2(t), ...,xn(t)) una expresi´on local dec(t) parat∈I. Sea Xi= ∂

∂xi, es posible expresar localmente el campo de vectoresV de la

siguiente forma

V =

j

vjXj,j=1, ...,ndondevj=vj(t)yXj=Xj(c(t)).

Por las condiciones a y b tenemos

DV

dt =

j dvj

dt Xj+

j v

jDXj

(20)

Adem´as por c e y la primera propiedad de conexi´on af´ın

DXj

dt =∇dc/dtXj=∇∑dxidtXi

Xj

=

i

dxi

dt ∇XiXj, para todoi,j=1, ...,n.

Por tanto

DV dt =

j

dvj

dt Xj+

i,j dxi

dt v

j

∇XiXj. (1.2)

La expresi´on anterior muestra que si existe una correspondencia que satisface las condiciones de la hip´otesis tal correspondencia es ´unica.

Para mostrar la existencia, se define DVdt en x(U) por la ´ultima ecuaci´on. Note que esta cum-ple las propiedades deseadas, si y(W) es otra vecindad coordenada, con y(W)∩x(U)6= /0 y definimos DVdt eny(W)como la ´ultima ecuaci´on las definiciones coinciden eny(W)∩x(U)por la unicidad de DVdt en x(U). La definici´on puede ser extendida para todo M y se concluye la demostraci´on..3

Definici´on 1.11 Sea M una variedad diferenciable con una conexi´on af´ın ∇y una m´etrica Riemannianah,i. Una conexi´on se dicecompatiblecon una m´etricah,icuando para toda curva diferenciable c y cualesquiera par de campos de vectores paralelos P y P0 a lo largo de c, tenemoshP,P0i=k, dondekes constante.

En esta definici´on es necesario el concepto de campos paralelos, siMes una variedad dife-renciable con una conexi´on af´ın∇,un campo vectorialV a lo largo de una curvac:I →Mes llamado paralelo cuando Dvdt =0,para todot∈I.

Proposici´on 1.2 Sea M una variedad Riemanniana. Una conexi´on ∇ en M es compatible con una m´etrica si y solo si para todo parV, W de campo de vectores a lo largo de una curva diferenciablec:I→Mse cumple que

d

dthV,Wi= DV

dt ,W

+

V,DW

dt

, t ∈I.

Es decir si ∇ es compatible con h,i entonces se puede diferenciar el producto interno por la regla del producto usual. Esta demostraci´on y el siguiente corolario se pueden ver en [6].

Corolario 1.1 Una conexi´on ∇ en una variedad Riemanniana M es compatible con una m´etrica si y solo si

XhY,Zi=h∇XY,Zi+hY,∇XZi X,Y yZ∈χ(M).

(21)

Este corolario servir´a para expresar m´as f´acilmente lo que implica que una variedad sea compatible a una m´etrica, que es importante para el desarrollo del siguiente teorema, conside-rado el teorema fundamental de conexi´on. Antes de empezar, se debe tener en cuenta que una conexi´on af´ın se dicesim´etricacuando

∇XY−∇YX= [X,Y]

para todoX,Y ∈χ(M).Esto a su vez implicaΓki j =Γkji. EstosΓki j son llamados los s´ımbolos de Christoffel. En t´erminos de coordenadas locales, escogiendo un sistema de coordenadas en torno de p,(x1,x2, ...,xn), si

X=

n

i=1

XieiyY = n

j=1

Yjejconek=

∂ ∂xk

Usando propiedades obtenemos la igualdad,

∇XY =

i,j

Xi

∂Yj

∂xi

ej+Yj∇eiej

,

Haciendo∇eiej=Γ

k

i jek, por tanto

∇XY =

i,j

Xi

∂Yj

∂xi

ej+YjΓki jek

,

Teorema 1.1 (Levi-Civita) Dada una variedad Riemanniana M, existe una ´unica conexi´on af´ın∇enMque satisface las siguientes condiciones

∇es sim´etrica.

∇es compatible con una m´etrica Riemanniana.

Demostraci´on 1.4 Suponga la existencia de∇, entonces por el corolario anterior

XhY,Zi=h∇XY,Zi+hY,∇XZi,

de igual modo

YhZ,Xi=h∇YZ,Xi+hZ,∇YXi,

ZhX,Yi=h∇ZX,Yi+hX,∇ZYi.

Luego teniendo en cuenta la definici´on de simetr´ıa de la conexi´on podemos reescribir como

XhY,Zi=h∇XY,Zi+hY,∇ZXi+hY,[X,Z]i,

YhZ,Xi=h∇YZ,Xi+hZ,∇XYi+hZ,[Y,X]i,

(22)

Adicionando las primeras dos ecuaciones y restando la tercera se obtiene

XhY,Zi+YhZ,Xi −ZhX,Yi

=h[X,Z],Yi+h[Y,Z],Xi+h[X,Y],Zi+2hZ,∇YXi.

Por tanto

hZ,∇YXi=

1

2{XhY,Zi+YhZ,Xi −ZhX,Yi

− h[X,Z],Yi − h[Y,Z],Xi − h[X,Y],Zi}. (1.3)

Ahora suponga que∇1y∇2son dos conexiones que son sim´etricas y compatibles con la m´etri-ca. Como el lado derecho de (1.3) no depende de la conexi´on, calcular∇1XY,Zy∇2XY,Zes equivalente y tendr´ıamos que∇1XY−∇2XY,Z=0, para todo X,Y, yZ. Esto se tiene solo si ∇1X =∇2X para todoX yY, por tanto∇1=∇2..4Para mostrar la existencia se debe mostrar que (1.3) define una conexi´on y que cumple las propiedades. En efecto si definimos una conexi´on

C(X,Y,Z)que cumple (1.3), entonces

C(f X,Y,hZ) = f X(hhY,Zi) +Y(f hhZ,Xi)−hZ(fhX,Yi) +h(hZ,[f X,Y]i)

+ (hY,[hZ,f X]i) + f(hX,[hZ,Y]i)

= f hX(hY,Zi) + f hY(hZ,Xi)−f hZ(hX,Yi) + f(X h)(hY,Zi)+

f Y(h)(hZ,Xi) +hY(f)(hZ,Xi)−hZ(f)(hX,Yi) +h f(hZ,[X,Y]i)

+h f(hY,[Z,X]i) + f h(hX,[Z,Y]i)−hY(f)(hZ,Xi)−f X(h)(hY,Zi)

+hZ(f)(hY,Xi)−f Y(h)hX,Zi

= f hC(X,Y,Z)

Adem´as

C(X,f Y,Z) = f C(X,Y,Z) +X(f)hY,Zi −Z(f)hX,Yi+X(f)hZ,Yi+Z(f)hX,Yi

= f C(X,Y,Z) +2X(f)hY,Zi.

Entonces para definir∇XY se requiere queh∇XY,Zi= 12C(X,Y,Z)por tanto

h∇X(f Y),Zi= fh∇XY,Zi+X(f)hY,Zi=hf∇XY+X(f)Y,Zi

Entonces∇satisface la regla de Leibniz y a su vez define una conexi´on.

Si tomamos la ecuaci´on (1.2) y como ∇XiXj=∑kΓ

k

i jXk, una derivada covariante tiene la

siguiente expresi´on

DV

dt =

k

( dvk

dt +

i,jΓ

k i jvj

dxi

dt )

Xk. (1.4)

(23)

1.1.4.

Geod´esicas

Definici´on 1.12 SeaMuna variedad con una conexi´on lineal∇y seaγ una curva enM. La

aceleraci´on deγ es el campo de vectores dtD

dt

a lo largo deγ. Una curva γ es llamada una

geod´esica con respecto a∇si la aceleraci´on es cero, es decir

D dt d γ dt

=0.

Teorema 1.2 (Existencia y unicidad de geod´esicas) SeaMuna variedad con una conexi´on lineal. Para cada p∈My cadaV ∈TpM y cadat0∈Rexiste un intervaloI⊂Rconteniendo a

t0y una geod´esicaγ :I→Mque satisfaceγ(t0) =p,ddtγ(t0) =V.

Demostraci´on 1.5 Para ello se debe determinar ecuaciones locales satisfechas por una geod´esi-caγ en un sistema de coordenadas(U,x)en torno deγ(t0),t0∈I. EnU

γ(t) = (x1(t), ...,xn(t)).

Peroγ es una geod´esica si y solo si

0= D

dt dγ dt =

k

d2xk

dt2 +

i,j

Γki jdxi

dt dxj

dt !

∂ ∂xk

esto se tiene por la (1.4). Luego el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden

d2xk

dt2 +

i,j

Γki jdxi

dt dxj

dt =0

cumple esta ecuaci´on. El camino usual para probar la existencia y unicidad para un sistema de ecuaciones de segundo orden es introducir variables auxiliares para poder convertirlo en un sistema equivalente de primer orden:

dxk dt =yk dyk

dt =−

i,jΓ

k i jyiyj

Por la existencia y unicidad del teorema para EDO de primer orden, para cada(p,V)∈U×Rn,

existeε>0 y una ´unica soluci´onη:(t0−ε,t0+ε)→U×Rntal que satisface la condici´on ini-cialη(t0) = (p,V). Si escribimos las componentes de la funci´on deηcomoη(t) = (xi(t),yi(t)),

entoncesγ(t)satisface la existencia del lema.

Para probar la unicidad suponga queγ, σ :I→M son geod´esicas definidas sobre un intervalo

abierto conγ(t0) =σ(t0) y ddtγ = ddtσ. Por la parte de la unicidad del teorema de EDO, esto se

tiene para alguna vecindad det0. Seaβ el supremo deBen[t0,b].Siβ ∈I por la continuidad

γ(β) =σ(β)y ddtβ = ddtβ y aplicando la unicidad local en una vecindad deβ entonces se tiene

(24)

1.1.5.

Grupos de Lie

Definici´on 1.13 Un difeomorfismo entre variedades suaves M y N una funci´on suave F :

M→Nque tiene inversa suave.

Definici´on 1.14 UnGrupo de Lie Ges una variedad diferenciable dotado de una estructura de grupo tal que la funci´on

m : G×G→G

(a,b)7→ab,

y la inversa

i : G→G

a7→a−1,

son diferenciables.

Dado que ambas funciones son suaves entonces son continuas, por tanto un grupo de Lie es en particular un grupo topol´ogico, es decir un espacio topol´ogico con una estructura de grupo tal quemeison funciones continuas.

Ejemplo 1.6 El grupoRnes un grupo de Lie de dimensi´on n.En efecto,Rnes una variedad

C∞y un grupo abeliano con la adici´on. Es m´as

Rn×Rn → Rn (x,y) 7→ x+y

es una funci´on diferenciable. Adem´as la funci´on de Rn en Rn que toma a cada x y saca su inversa tambi´en es diferenciable.

Notemos queGes un grupo de Lie si y solo si la funci´on

π : G×G→G

(a,b)7→ab−1,

es diferenciable.

SeaGun grupo arbitrario de Lie. Cada elementog∈Gdefine funciones,translaci´on a izquierda como

Lg : G→G

(25)

ytranslaci´on a derechacomo

Rg : G→G

h7→Rg(h) =hg.

Dado queLgpuede escribirse como la composici´on de funciones diferenciables de la siguiente forma

G→ig G×G→m G

dondeig(h) = (g,h)ymes como la definimos anteriormente, se sigue queLges diferenciable.

Adem´as es un difeomorfismo deG, porqueL−g1 es inversa diferenciable para este. Del mismo modoRg:G→Ges difeomorfismo.5

Definici´on 1.15 Si G y H son grupos de Lie, un homomorfismo de grupo de Lie de G

aH es una funci´on diferenciable F :G→H que tambi´en es un homomorfismo de grupo. Se denomina isomorfismo de grupo de Lie si tambi´en es un difeomorfismo.

Ejemplo 1.7 La funci´on exponencial es un homomorfismo de grupo de Lie. En efecto,

exp:RR− {0}

tal queexp(t) =et es diferenciable, y es un homomorfismo de grupo dado que e(s+t) =eset. Adem´as la imagen deexpes un subgrupo abiertoR+ consistiendo de los n´umeros reales posi-tivos yexp:RR+ es un isomorfismo de grupo de Lie con inversalog:

R+→R.

Definici´on 1.16 Si Ges un grupo de Lie yV es un espacio vectorial, cada homomorfismo de grupo de Lieρ :G→GL(V)es una representaci´on deG, dondeGL(V)denota el grupo de

transformaciones lineales invertibles deV enV.

Definici´on 1.17 Un subgrupo de Lie de un grupo de LieGes un subgrupo deGdotado con una topolog´ıa y una estructura diferenciable haciendo de este un grupo de Lie y una subvariedad encajada deG.

Ejemplo 1.8 EL subconjuntoGL+(n,R)⊂GL(N,R)que consiste de las matrices cuadradas den×ncon determinante positivo es un subgrupo porquedet(AB) =det(A)det(B). Adem´as es un subconjunto abierto deGL(n,R) por la continuidad de la funci´on determinante y entonces es un subgrupo encajado de Lie de dimensi´onn2.

5John M. Lee. An introduction to smooth manifolds.University of Washington Department of Mathematics.

(26)

Figura 1.3: Pushforward

Corchete de Lie

Para poder verificar el siguiente teorema se necesita la siguiente definici´on

Definici´on 1.18 Si M y N son variedades suaves y F :M →N es una funci´on suave para

p∈M definimos una funci´onF:TpM→TF(p)N, llamado pushforward asociado con F por (F∗X)(f) =X(f◦F).

Si f ∈C∞(N), entonces f F CM, luego X(f F) tiene sentido. El operador F

∗X es

lineal. Notemos que si F :M →N es una funci´on suave yY es un campo de vectores en M, entonces para cada p∈M, obtenemos un vector FYp∈TF(p)N por pushforward deYp. Sin embargo esto no define un campo vectorial sobreN. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1.9 SiF no es sobreyectiva no se puede asignar un camino de vectores a un punto

q que no este en F(M), y si no es inyectiva para alg´un punto de N podr´ıamos tener distintos

vectores como pushforward de Y, como se ve en la imagen (1.3). En la figura podemos ver como se asocia dos vectores al mismo puntoA, es decir no se le puede asociar un ´unico vector.

Por tanto se da la siguiente definici´on.

Definici´on 1.19 SiF :M→N es diferenciable yY es un campo de vectores enM, si existe un campo de vectores Z sobre N con la propiedad que cada p∈M, entonces F∗Yp=ZF(p),

decimos queY yZsonF−relacionados

Lema 1.3 SupongaF:M→N es una funci´on diferenciable,Y campo de vectores enM, yZ

campo de vectores enN. EntoncesY yZ sonF−relacionados si y solo si para cada funci´on a valor real diferenciable f definida sobre un subconjunto deN,

(27)

Demostraci´on 1.6 Para cada p∈M y cada funci´on a valor real diferenciable f cercana a

F(p),

Y(f◦F)(p) =Yp(f◦F) = (F∗Yp)f.

mientras que

Z f◦F(p) = (Z f)(F(p)) =ZF(p)f.

PeroFYp=ZF(p)si y solo siY(f◦F) = (Z f)◦Fpara todo p, por tantoY yZsonF− relacio-nados.

Proposici´on 1.3 (Naturalidad del corchete de Lie) Sea F :M →N una funci´on diferen-ciable, y seaX1, X2 campos de vectores en M yY1,Y2campos de vectores en N tal que Xi es

F−relacionado aYiparai=1,2. Entonces[X1,X2]esF−relacionada a[Y1,Y2].

Demostraci´on 1.7 Usando el lema anterior y comoXiesF−relacionado conYi X1X2(f ◦F) =V1((Y2f)◦F) = (Y1Y2f)◦F.

del mismo modo

X2X1(f◦F) = (Y2Y1f)◦F.

Entonces

[X1,X2](f ◦F) =X1X2(f◦F)−X2X1(f ◦F)

= (Y1Y2f)◦F−(Y2Y1f)◦F

= ([Y1,Y2]f◦F).

Corolario 1.2 SupongaF :M→Nes un difeomorfismo yX1,X2son campos de vectores de

M. EntoncesF[V1,V2] = [FV1,FV2].

Demostraci´on 1.8 Para este casoWi=F∗Vi.

Notemos que el corolario es equivalente a afirmar que[X1,X2] =dF([Y1,Y2]), lo cual servir´a para mostrar que el corchete esta en un grupo de Lie.

Proposici´on 1.4 SiGes un grupo de Lie yX,Y ∈Lie(G), entonces[X,Y]∈Lie(G).

Demostraci´on 1.9 Dado queX=dLp(X)yY =dLp(Y)para todop∈G, por el lema anterior

dLp([X,Y]) = [dLp(X),dLp(Y)] = [X,Y].

(28)

´

Algebras de Lie

Un ´algebra de Lie es un espacio vectorialhdotado con una funci´on bilinealh×h→h deno-tado por(X,Y)7→[X,Y]llamado el corchete deX yY satisfaciendo las siguientes propiedades, para todoX, Y, Z∈h

1. (Bilinealidad). Para todoa,b∈R

[aX+bY,Z] =a[X,Z] +b[Y,Z]y[Z,aX+bY] =a[Z,X] +b[Z,Y].

2. (Antisim´etrico).[X,Y] =−[Y,X],

3. (Identidad de Jacobi).[X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] =0

Sihes un ´algebra de Lie, un subespacio lineala⊂hes denominadosub´algebra de Lie dehsi esta es cerrada bajo corchetes de Lie.

Definici´on 1.20 El ´algebra de Lie de todos los campos de vectores a izquierda diferenciables sobre un grupo de Lie es llamado el el ´algebra de lie deGy es denotado porLie(G).

Ejemplo 1.10 El espacio vectorial M(n,R) de las matrices reales es un n2− dimensional ´algebra de Lie bajo el corchete conmutador

[A,B] =AB−BA

Calculando directamente vemos que cumple la antisimetr´ıa y la identidad de Jacobi. Cuando se toma aM(n,R)como un ´algebra de Lie con este corchete, denotamos a esta comogl(n,R).

Siayhson ´algebras de Lie, una funci´on linealA:a→hes unhomomorfismo de ´algebra de Lie si preserva corchetes, es decir A[X,Y] = [AX,AY]. Adem´as, si es invertible recibe el nombre deisomorfismos de ´algebras de Lie.

Teorema 1.3 Si G yH son grupos de Lie isomorfos, entonces sus respectivas ´algebras de Lie son isomorfas tambi´en.

Demostraci´on 1.10 SiF:G→Hes un isomorfismo de grupos de Lie, tenemos en particular que F es un difeomorfismo y F(e) =e, luego, dFe :g →h es un isomorfismo de espacios

vectoriales. ComoF es difeomorfismo y por el corolario (1.2)

dF([X,Y]) = [dF(X),dF(Y)], para todoX,Y ∈Lie(G).

Si se aplica a ambos lados de la igualdad sobree, entoncesdFe:g→hes un homomorfismo de ´algebras de Lie.

(29)

se tiene dFe−1 :g→h es un homomorfismo de ´algebras de Lie. Teniendo en cuenta que si

M, NyPson variedades diferenciables yF:M→NyG:N→Pson funciones diferenciables,

sabemos qued(F◦G) =dG◦dFcomo funciones deT M→T P. Esto garantiza quedFe−1◦dFe

ydFe◦dFe−1son inversas una de otras , por ende es isomorfismo de grupos de Lie.6

1.1.6.

Funci´on exponencial

Definici´on 1.21 SeaGun grupo de Lie. Un homomorfismo de grupos de Lieφ :(R,+)→G

es denominado un subgrupo unipar´ametrico deG.

Es necesario el concepto de flujo para el desarrollo de la exponencial, usado para visualizar la familia de curvas integrales asociadas con un campo de vectores.

Definici´on 1.22 SiV es un campo de vectores diferenciables sobreM, unacurva integrable

deV es una curva suaveγ :J→M, dondeJ⊂Res un intervalo abierto tal que

γ0(t) =Vγ(t) para todot∈J.

Demostraci´on 1.11 SeaW =x∂ ∂y−y

∂x sobreR

2. Si

γ :R→R2 es una curva suave , debe cumplir la condici´onγ0(t) =Wγ(t)dondeγ(t) = (x(t),y(t)), por tanto

x0(t)∂

∂x |(x(t),y(t))+y

0

(t) ∂

∂y |(x(t),y(t))=x(t) ∂

∂y|(x(t),y(t))−y(t) ∂

∂x |(x(t),y(t))

Este sistema es equivalente a

x0(t) =−y(t)

y0(t) =x(t)

Las soluciones son

x(t) =acos(t)−bsin(t)

y(t) =asin(t) +bcos(t)

paraa, bconstantes, es decirγ(t) = (acost−bsint,asint+bcost)son las curvas integrales de

W. Como lo podemos ver en la imagen7(1.4).

Para el pr´oximo teorema necesitamos el siguiente resultado

Teorema 1.4 SeaGun grupo de Lie. El subgrupo uniparam´etrico deGson precisamente las curvas integrales de vectores invariantes a izquierda empezando en la identidad, entonces existe una correspondencia uno a uno de los subgrupos uniparam´etricos deG, Lie(G)yTeG.

(30)

Figura 1.4: Campo de vectores W

Demostraci´on 1.12 Sea F :R →G un subgrupo uniparam´etrico, y sea X =F(d/dt)∈ Lie(G)donde el d/dt es tomado como un campo de vectores invariantes a izquierda sobre R.

Entonces se mostrar´a queF es una curva integrable deX. ComoF∗(d/dt) esta definido como

el ´unico campo vectorial invariante a izquierda sobreGque estaF−relacionado ad/dt, lo cual se puede ver en [10], tenemos para cadat0R

F0(t0) =F∗(d/dt)|t0 =XF(t0),

por endeF es una curva integral deX, y queda demostrado.

SeaV un campo de vectores suaves sobre una variedadM, y si para cada puntop∈Mexiste una ´unica curva integralθ(p) :R→M empezando en p. Para cadat∈Rse puede definir una

funci´onθt deMenMque envia cada punto pal punto en la curva integral

θt(p) =θp(t)

Adem´as como una curva integral bajo traslaci´on es una curva integral, si se tiene que q=

θ(p)(s), entoncest7→θ(p)(t+s)es una curva integral que empieza enq, asumiendo la unicidad

de curvas integrales, tenemosθ(q)(t) =θ(p)(t+s), lo cual describe la siguiente ecuaci´on θt◦θs(p) =θt+s(p).

Comoθ0(p) =θ(p)(0) =pque se cumple por definici´on, entonces la funci´onθ :R×M→Mes una acci´on de grupo deRenM.(SiGes un grupo yMes un conjunto , una acci´on a izquierda deG sobreM es una funci´on deθ :G×M →M que satisface, primero θg1◦θg2 =θg1g2 para

todo p∈Myg1,g2∈Gy segundo queθe=IdM. )

Definici´on 1.23 Un flujo global sobreM o acci´on de grupo uniparam´etrico es una acci´on a izquierda deRsobreM, que es una funci´on continuaθ :R×M→Mque cumple las siguientes propiedades para todos,t ∈Ry todo p∈M:

(31)

Ejemplo 1.11 El flujo deW =x∂ ∂y−y

∂x es la funci´onθ :R×R

2

R2dado por

θt(x,y) = (xcost−ysint,xsint+ycos(t))

Para cadat∈R,θtrota el plano en un ´angulot.8

Definici´on 1.24 (Funci´on exponencial) Dado un grupo de LieGcon ´algebra de Lieg,defina una funci´on exponencialexp:g→G, porexp X =F(1), dondeF es subgrupo uniparam´etrico generado porX.

Proposici´on 1.5 (Propiedades de la funci´on exponencial) Sea Gun grupo de Lie y sea g

ser su ´algebra de Lie.

(1) Para cadaX∈g,F(t) =exp tX es subgrupo uniparam´etrico deGgenerado porX.

(2) Para cadaX∈g,exp(s+t)X =exp sX exp tX

(3) El pushforward exp =T0g → TeG es la funci´on identidad, bajo las identificaciones can´onicas de ambosTOgyTeGcongmismo.

(4) La funci´on exponencial es un difeomorfismo de una vecindad de 0 engsobre una vecin-dad deeenG.

Demostraci´on 1.13 Como el subgrupo uniparam´etrico generado por X es igual a la curva integral deX empezando en e, entonces se debe mostrar que exp tX =θ((X)e)(t) donde para

cadaX∈gse denotaθ(X)como el flujo de X. pero mostrar la igualdad anterior es equivalente a

θ((tXe))(1) =θ((Xe))(t).

Para esto se probar´a que

θ((tXe))(s) =θ((Xe))(st).

Fijandot yt∈Rsi se define una curva suaveγ :R→Gpor

γ(s) =θ((Xe))(st),

por la regla de la cadena,

γ0(s) =t(θ((Xe))0(st)) =tXγ(s),

es decirγ es una curva integral del campo de vectorestX.Comoγ(0) =e, por la unicidad de

las curvas integrales tenemosγ(s) =θ((tXe))(s)y con esto probamos la igualdad.

La siguiente proposici´on se tiene de la anterior dado quet →exp tX es un homomorfismo de grupo.

(32)

Para probar la tercera proposici´on, sea X eng arbitraria, y seaσ :R→gla curvaσ(t) =tX.

Entoncesσ0(0) =X,tenemos

expX=expσ0(0) = (exp◦σ)0(0) = d

dt |t=0exp tX =X.

Para probar el segundo ´ıtem teniendo en cuenta lo anterior y el teorema de la funci´on inversa, laexpes un difeomorfismo local.

Teorema 1.5 SeaGun grupo de Lie y seagser su ´algebra de Lie. Para cadaX,Y ∈g,existe una funci´on suaveZ:(−ε,ε)→Rsatisfaciendo queZ(0) =0, y tal que para todot ∈(−ε,ε)

(exp tX)(exp tY) =exp t(X+Y+Z(t)).

Demostraci´on 1.14 Como la funci´on exponencial es un difeomorfismo para alguna vecindad del origen eng, entonces existeε >0 tal que el mapeoγ :(−ε,ε)→gdefinido por

γ(t) =exp−1(exp tX· exptY)

es diferenciable, adem´asγ(0) =0. Peroγ se puede ver como una composici´on de la siguiente

forma

R

eX×ey

→ G×G→m Gexp

−1 → G

dondeex(t) =exp tX yey(t) =exp tY. Entonces considerando quem:TεG⊕Tε →TεGest´a dado porm(X,Y) =X+Y, tenemos que

γ0(0) =exp−1(ex0(0) +e0Y(0)) =X+Y.

Por la f´ormula de Taylor paraγ se tiene

γ(t) =t(X+Y) +tZ(t)

para algunaZtal queZ(0) =0.

Proposici´on 1.6 SeaGun grupo de Lie, y suponga H ⊂Ges un subgrupo que es tambi´en una subvariedad encajada. EntoncesHes un subgrupo cerrado de Lie deG.

Demostraci´on 1.15 Para ello se debe verificar que la multiplicaci´onH×H →H y la inver-si´onH→Hson funciones suaves. Como la multiplicaci´on es una funci´on suave deG×G→G

luegoH×H →G. ComoH es un subgrupo entoncesH×H esta enH y comoH es un encaje, esto es una funci´on suave enH . El mismo argumento se usa para la inversi´on, luego H es un subgrupo de Lie.

(33)

dominio de la carta paraH conteniendo la identidad, y seaW ser una vecindad tal queW ⊂U. Como

µ:G×G → G

(g1,g2) 7→ µ(g1,g2) =g−11g2

es continuo, existe una vecindadV de la identidad con la propiedad queV×V ⊂µ−1(W), es

decir queg−11g2∈W siempre queg1, g2∈V. Podemos ver en la figura (1.5) las vecindades

des-Figura 1.5: Encaje subgrupo de Lie

critas anteriormente, comog−1hi→edescartando un n´umero finito de t´erminos de la sucesi´on, se puede asumir queg−1hi∈V para todoi. Luego

h−j1hi= (g−1hj)−1(g−1hi)∈W

para todoi, j. Fijando jy dejandoi→∞encontramosh−j1hi→h−j1g∈W⊂U. Por tantoH∩U

es una carta, es cerrada enU, yh−j1g∈H, lo cual implica queg∈H, entoncesH es cerrado.9 Para el pr´oximo teorema necesitamos el siguiente resultado

Teorema 1.6 SeaGun grupo de Lie. El subgrupo uniparam´etrico deGes precisamente las curvas integrales de vectores invariantes a izquierda empezando en la identidad, entonces existe una correspondencia uno a uno de los subgrupos uniparam´etricos deG, Lie(G)yTeG.

Demostraci´on 1.16 Sea F :R→ G un subgrupo uniparam´etrico, y sea X =F(d/dt)∈ Lie(G) donde eld/dt es tomado como un campo de vectores invariantes a izquierda sobreR.

Entonces se mostrar´a queF es una curva integrable de X. Como F(d/dt)est´a definido como el ´unico campo vectorial invariante a izquierda sobreGque est´aF−relacionado ad/dt, lo cual se puede ver en [10], tenemos para cadat0∈R

F0(t0) =F∗(d/dt)|t0=XF(t0),

por endeF es una curva integral deX, y queda demostrado.

(34)

Proposici´on 1.7 Para cadaA∈gl(n,R), sea

eA=

k=0 Ak

k! =In+A+1/2A

2+...

Esta serie converge a una matriz invertible eA ∈GL(n,R) y el subgrupo uniparam´etrico de

GL(n,R)generado porA∈gl(n,R)esF(t) =etA.

Demostraci´on 1.17 Lo primero que se har´a es ver la convergencia, recordando que la matriz de multiplicaci´on cumple que|AB| ≤ |A||B|, con la norma euclidiana sobregl(n,R). Si hacemos

A=Bla desigualdad es|A2| ≤ |A|2, por inducci´on se muestra entonces que|Ak| ≤ |A|k.

El teorema M− Weierstrass demuestra que la serie es uniformemente convergente sobre cada subconjunto acotado degl(n,R), esto se cumple por comparaci´on con la serie∑k(1/k!)ck=ec

la cual es convergente. Ahora, fijemosA∈gl(n,R). El subgrupo uniparam´etrico generado por A es una curva integral de campo de vectores invariantes a izquierda AesobreGL(n,R) y por

tanto satisface la ecuaci´on diferencial ordinaria con valores iniciales

F0(t) =AeF(t) F(O) =In. Por tanto

(Fki)0(t) =Fji(t)Akj

o en la notaci´on de matriz

(F)0(t) =F(t)A

Veamos que F(t) =etA satisface esta ecuaci´on. Como F(0) =In lo cual implica que F es la ´unica curva integral deAeque empieza en la identidad y por tanto un subgrupo uniparam´etrico. F es diferenciable, dado que si diferenciamos la serie

F0(t) =

k=1 k k!t

k−1Ak=

k=1

1 (k−1)!t

k−1Ak−1 !

A=F(t)A.

Notemos que la serie diferenciada converge uniformemente sobre conjuntos acotados, justifica la diferenciaci´on t´ermino a t´ermino. Por la suavidad de las soluciones de las ecuaciones dife-renciales ordinarias ,F es una curva suave.

Queda por demostrar queF(t)es invertible para todat, esto es queF toma valores enGL(n,R). Seaσ(t) =F(t)F(−t) =etAe−tA, entoncesσ es una curva suave engl(n,R)y por la regla del

producto

σ0(t) = (F(t)A)F(−t)−F(t)(AF(−t)) =0.

Entoncesσ es una curva constanteσ(t)≡σ(0) =In lo cual afirma queF(t)F(−t) =In.

Sus-tituyendo −t por t, obtenemos F(−t)F(t) =In. Con esto se mostr´o que F(t) es invertible y

F(t)−1=F(−t).10

(35)

CAP´ITULO 2

Grupo de Heisenberg

En este capitulo se estudiar´a el grupo de Heisenberg y tiene como objetivo hallar la m´etrica invariante a izquierda que permitir´a hallar las conexiones del grupo.

SECCI ´ON 2.1

Grupo lineal del espacio euclidiano.GL(n,R)

Dado que el espacio eucl´ıdeo es un espacio vectorial, sugrupo linealesta representado por todas las transformaciones lineales que tienen inversa. Tomando una base cualquiera una fun-ci´on lineal se puede expresar mediante una matriz, por tanto dichas matrices tienen determinante distinto de cero. Luego,

GL(n,R) ={A∈M(n,R); Det(A)6=0},

dondeM(n,R)son las matrices cuadradas de dimensi´onnconsiderada sobreRn2.

Proposici´on 2.1 El grupoGL(n,R)es un grupo de Lie.

En efecto, la funci´onDet :Rn2→Res continua dado que es una funci´on polinomial, enton-cesGL(n,R) =Det−1(R− {0})es abierto, esto ya que{0}y las matrices de determinante cero son cerradas y una funci´on continua env´ıa cerrados en cerrados. Note queGL(n,R)es una variedad diferenciablen2−dimensional porque es un subconjunto abierto del espacio den×nmatrices isomorfo aRn2.

Adem´asGL(n,R)es un grupo con respecto a la multiplicaci´on dado que

Det(AB) =Det(A)Det(B)

dondeAyBson no singulares, entoncesABtampoco lo es yDet(A)6=0 si y solo siAtiene una inversa multiplicativa. Por ´ultimo la multiplicaci´on de matrices esC∞, puesto que las entradas

deABson polinomios en las entradas deAyB. La inversa deA= (ai j)se puede escribir como

(36)

son polinomios entonces Det(A) es un polinomio que no se eliminan, por tanto las entradas de A−1 son funciones racionales sobre GL(n,R), con denominadores que no se eliminan en consecuencia esC∞.

Notemos queGL(n,R)es una subvariedad encajadada de codimensi´onn×nenM(n,R), esta propiedad es un caso particular que se obtiene del teorema siguiente.

Teorema 2.1 Cuando 0 ≤ k ≤min(m,n), Mk(m×n,R) es una subvariedad encajada de codimensi´on (m−k)(n−k) en M(m×n,R), donde Mk(m×n,R) denota el subconjunto de

M(m×n,R)consistiendo de las matrices de rangok.

Demostraci´on 2.1 SeaE0una matriz dem×ny expresemos esta matriz en forma de bloque

como

E0=

(

A0 B0 C0 D0

!)

.

dondeA0es una matrizk×kyD0 es una matriz de(m−k)×(n−k), y A0no es singular. Sea

U el conjunto

U =

(

A B

C D !

∈M(m×n,R):DetA6=0

)

.

LuegoU es un subconjunto abierto deM(m×n,R)conteniendo aE0. DadoE∈U y multipli-cando por su inversa

EP= A B

C D !

A−1 −A−1B

0 Ink !

= Ik 0

CA−1 D−CA−1B !

Def´ınaseF :U→M(m−k×n−k,R)por

F A B

C D !

=D−CA−1B.

F es suave, resta mostrar que es submersi´on, es decir que DF(E) es sobreyectiva para cada

E ∈U. Como M(m−k×n−k,R)es un espacio vectorial, los vectores tangentes pueden ser

naturalmente identificados con(m−k)×(n−k)matrices. DadoEy una matrizX ∈M(m−k× n−k,R), definase una curvaγ:(−ε,ε)→U por

γ(t) = A B

C D+tX

!

.

Entonces,

F∗γ0(0) = (F◦γ)0(t) = d

dt|t=0 D+tX−CA

−1B

=X.

(37)

esta reordenaci´on es un isomorfismo linealR:Mk(m×n,R)→Mk(m×n,R)que preserva el rango, entoncesU0=R−1(U)es una vecindad deE00 yF◦R:U0→M(m−k×n−k,R)es una submersi´on cuyo conjunto cero es Mk(m×n,R)∩U0. Entonces cada punto enMk(m×n,R) tiene una vecindadU0 enM(m×n,R)tal queU0∩Mk(m×n,R) es una subvariedad encajada deU0. En conclusi´onMk(m×n,R)es una subvariedad encajada, dado que se puede mostrar que siM es una variedad suave y S un subconjunto de M. Suponga que para alg´un k, cada punto

p∈Stiene una vecindadU⊂Mtal queU∩Ses una subvariedad encajada deU, entoncesSes

una subvariedad encajada deM.

El grupo de HeisenbergH3

El grupo de Lie real de dimensi´on 3, es un subconjunto cerrado deGL(3,R)cuyos elementos son matrices de la forma:

H3=        

1 a c

0 1 b

0 0 1

;(a,b,c)∈R 3      .

dotado con una estuctura de grupo deGL(3,R).SeanAyBdos matrices deH3entonces:

A=

 

1 a1 a3

0 1 a2

0 0 1

, B= 

 

1 b1 b3

0 1 b2

0 0 1

  . Entonces, AB=   

1 a1+b1 a3+b3+a1b2

0 1 a2+b2

0 0 1

 .

Donde la inversa deAy an´alogamente paraBes

A−1=

 

1 −a1 a1a2−a3

0 1 −a2

0 0 1

 .

Luego es posible hallar el conmutador[A,B]dado por:

[A,B] =ABA−1B−1 

 

1 0 a1b2−b1a2

0 1 0

0 0 1

 .

(38)

Teorema 2.2 (Subgrupo cerrado) SiGes un grupo de Lie yH ⊂Ges un subgrupo que es un subconjunto cerrado deG, entoncesH es un subgrupo de Lie encajado.

Demostraci´on 2.2 Por el teorema (1.6) solo es necesario demostrar queHes una subvariedad encajada deG.

Seag=Lie(G)y defina un subconjuntoh⊂gpor

h={X ∈g:exp(tX)∈H para todot∈R}.

Veamos quehes un subespacio vectorial deg. En primer lugar, siX ∈h, entoncestX ∈hpara todot∈R. Ahora veamos que es cerrado bajo la adici´on, seaX yY ∈h. Por el teorema anterior tenemos que para cadat∈Ry para un enteronsuficientemente grande1

expt

nX exp

t nY

=expt n

X+Y+Z

t n

conZ(0) =0, adem´as usando inducci´on se tiene

expt

nX exp

t

nY n

=expt n

X+Y+Zt n

n

=expt

X+Y+Z

t n

.

Fijandot y tomando el l´ımite cuandon→∞se obtiene

l´ım

n→∞

expt

nX exp

t

nY n

=expt(X+Y).

Dado queexp((t/n)X)yexp((t/n)Y)est´an enH por hip´otesis yH es un subgrupo cerrado de

G, entoncesexp t(X+Y)est´a enH para todat. Con esto se concluye quehes un subespacio.

Resta probar que existe una vecindadU del origen engsobre la cual la funci´on exponencial de

Ges un difeomorfismo, y que cumple la propiedad que

exp(U∩h) = (exp U)∩H.

en la figura (2.1) como la funci´on exponencial envia un abierto intersecci´on conh y da una interpretaci´on geom´etrica de la igualdad. SiU es una vecindad de 0∈gsobre la cual la expo-nencial es un difeomorfismo, entoncesexp(U∩h)⊂exp(U)∩H por la definici´on dehy dado queh⊂g. Ahora se para verificar la otra desigualdad se necesita encontrar una vecindad lo sufi-cientemente peque˜na. Para ello supongamos que no es posible, sea{Ui}una base contable para

gen 0. La negaci´on implica que para cadai, existehi∈(exp Ui)∩H tal quehi∈/exp(Ui∩h). Escoja una baseE1,E2, ...,Ekparahy una baseE1, ...,Emparag.Seabel subespacio generado

(39)

Figura 2.1: Construcci´on de la vecindad

porEk+1, ...,Emtal queg=h⊕bentendido como espacios vectoriales. Cuandoies suficiente-mente grande, la funci´onh⊕benGdado porX+Y 7→exp X·exp Y es un difeomorfismo sobre

Uia una vecindad deeenG. Entonces podemos escribir

hi=exp Xi·exp Yi (2.1)

para alg´un Xi∈Ui∩h yYi∈Ui∩b, conYi6=0 dado que hi∈/ exp(Ui∩h), en la figura (2.2) muestra que evidentemente quehi∈/exp(Ui∩h). Como{Ui}es una base de vecindades,Yi→0

cuandoi→∞. Adem´asexp Xi∈Hpor definici´on dehentoncesexp Yi= (exp Xi)−1hi∈H por

(2.1).

La baseEj determina un producto interno sobre g por el cual

Ej es ortonormal. Sea |.|

la norma asociada con el producto punto y defina ci=|Yi|, esto es ci→0 cuandoi→∞. La sucesi´onc−i 1Yi est´a en la esfera unidad enb con respecto a la norma, remplazando esta por

una subsucesi´on entoncesc−i 1Yi→Y ∈bcon|Y|=1 por continuidad. En particular,Y 6=0. Se demostr´o queexp tY ∈Hpara todot∈R, el cual implica queY ∈h. Comoh∩b={0}, lo cual es una contradicci´on.

Seat ∈R, para cadai, seaniser el mayor entero menor o igual at/ci. Por tanto

ni−

t

ci

≤1,

lo cual implica

|nici−t| ≤ci→0

entoncesnici→t. Luego

niYi= (nici)(c−i 1Yi)→tY,

el cual implicaexp niYi→exp tY por continuidad. Pero exp niYi= (exp Yi)ni H comoH es

(40)

Figura 2.2: Teorema subgrupo cerrado

base (E1,E2, ...,Em). La funci´on de composici´on ϕ =E−1◦exp−1:exp U →Rm que es una

carta derivable para G y por la elecci´on de la base ϕ(exp U)∩H =E−1(U∩h) es la parte

obtenida por lasm−kcoordenadas igual a cero. Sih∈H es arbitraria, el mapeo de translaci´on a izquierda Lh es un difeomorfismo de exp U a vecindades de h. Como H es un subgrupo,

Lh(H) =Hy entonces

Lh((exp U)∩H) =Lh(exp U)∩H

yϕ◦L−h1 es una carta paraH en una vecindad deh.EntoncesH es una subvariedad encajada deG, por tanto un subgrupo de Lie.

Con este resultado podemos concluir queH3 es un grupo de Lie, lo que sigue es describir el ´algebra de Lie asociada a dicho grupo. Para ello, siα :I →H3 es una curva diferenciable,

existen funcionesa, b, c:I→Rdiferenciables tal que

α(t) =

       

1 a(t) c(t) 0 1 b(t)

0 0 1

, para todot∈I      .

Entonces su derivada es

α0(t) =

       

1 a0(t) c0(t) 0 1 b0(t)

0 0 1

, para todot∈I      .

De donde, el ´algebra de Lieh3la constituyen los elementos de la forma

A=

 

0 x z

0 0 y

0 0 0

, (x,y,z)∈R 3

(41)

Notemos que si fijamos el elementoA, que puede ser denotado como(x,y,z)como familias uniparam´etricas de matrices que forman las curvas en H, y se toma la derivada a lo largo de estas curvas para determinar los vectores tangentes, tomando por ejemplo

e1= d

dε|ε=0

 

1 ε 0

0 1 0 0 0 1

     

1 x z

0 1 y

0 0 1

  =   

0 1 y

0 0 0 0 0 0

 

e2= d dε|ε=0

 

1 0 0

0 1 ε

0 0 1

     

1 x z

0 1 y

0 0 1

  =   

0 0 0 0 0 1 0 0 0

 

e3= d

dε|ε=0

 

1 0 ε

0 1 0 0 0 1

     

1 x z

0 1 y

0 0 1

  =   

0 0 1 0 0 0 0 0 0

 

El espacio tangente a H en (x,y,z) es generado por los campos de vectores invariantes a izquierda{e1,e2,e3}. Esto permite calcular los corchetes de Lie:

[e1,e2] =e1e2−e2e1=e3

[e2,e3] =e2e3−e3e2=0

[e3,e1] =e3e1−e1e3=0

El grupo de Heisenberg es un grupo de Lie nilpotente como veremos despu´es y su ´algebra de Lie tiene las siguientes propiedades

h=V1⊕V2, dondeV1tiene dimensi´on 2 yV2tiene dimensi´on 1.

[V1,V1] =V2 [V1,V2] =0 y [V2,V2] =0

Y la presentaci´on matricial representa la estructura general del grupo. De otro lado comoH3⊂ GL(3,R)entonces una funci´on exponencial esta dada por

exp:h3→R3

A→

k=0 Ak

k!, A∈h.

PeroH3es nilpotente, entonces

exp(A) =I+A+A

2

2 =

 

1 x z+xy2

0 1 y

0 0 1

(42)

Y como vimos en los preliminares la funci´on exponencial es un difeomorfismo local. Haciendo una identificaci´on del ´algebra de Lieh3 conR3y usando una funci´on exponencial como para-metrizaci´on global, el espacio de Heisenberg se podr´a dotar de una operaci´on. Pero para ello se necesitar´a la f´ormula de Campbell-Baker-Haussdorff, y es pertinente hablar primero de grupos nilpotentes.2

SECCI ´ON 2.2

Grupos de Lie nilpotentes

Un grupo de LieGnilpotente es aquel cuya ´algebra de Lieges nilpotente. Se puede asumir queGes conexo. Decimos queGes nilpotente si G(j)=epara alguna j. Adem´as losG(j)son subgrupos de Lie deGy el ´algebra de Lie deG(j) esg(j).

SeaGser un grupo de Lie conexo, con la funci´on exponencialexp:g→Gy defina

X∗Y =exp−1(exp X exp Y), X, Y ∈g.

Esta funci´on anal´ıtica esta bien definida cerca de X =Y =0. Esta est´a dada por una serie de potencias la cual envuelve solo conmutadores. La f´ormula de Campbell-Baker-Haussdorff, reconstruye aGlocalmente , conociendo solo la estructura deg, la f´ormula es

X∗Y =

n>0

(−1)n+1

n

pi+qi>0,1≤i≤n

(∑ni=1(pi+qi))−1

p1!q1!...pn!qn!

×(adX)p1(adY)q1...(adX)pn(adY)qn−1Y

donde(adA)B= [A,B].Entonces

X∗Y =X+Y+1

2[X,Y] + 1

12[X,[X,Y]]− 1

12[Y,[X,Y]] 1

48[Y,[X,[X,Y]]]

− 1

48[X,[Y,[X,Y]]] +(conmutadores de cinco o m´as t´erminos).

Para el grupo de Lie de matrices G⊂GL(n,R) el ´algebra de Lie g⊂gl(n,R) es el espacio tangente y la identidad, el conmutador es[A,B] =AB−BA y la funci´on exponencial coincide con la funci´on exponencial usual de matrices

exp(X) =eX =

k=0

1

k!X

k,

para todoX ∈g.

(43)

En este caso la f´ormula se obtiene resolviendo paraZeneZ =eXeY Z=exp−1(I+ (eXeY −I))

=

n>0

(−1)n+1

n (e

XeYI)n

=

n>0

(−1)n+1

n p

i+qi>0,1≤i≤n

Xp1Yq1...XpnYqn

p1!q1!...pn!qn! .

Teorema 2.3 Sea G ser un grupo de Lie con ´algebra de Lie g, entonces la f´ormula de Campbell- Baker-Haussdorff se tiene para todoX,Y ∈g.3

Demostraci´on 2.3 La f´ormula de Campbell- Baker-Haussdorff tambi´en es finita, ambos

exp−1(exp X·exp Y)y la serie son funciones anal´ıticas deX,Y en una vecindad de 0, entonces tambi´en globalmente.

Teorema 2.4 SeaGun grupo de Lie nilpotente, con ´algebrag

1. exp:g→Ges un difeomorfismo anal´ıtico.

2. La f´ormula de Campbell-Baker-Hausdorff se tiene para todoX, Y ∈g.

Demostraci´on 2.4 Consideremos la exponencial,exp:g→Gque se puede expresar como una serie por la proposici´on (1.7), esta serie es finita y es un difeomorfismo como se prob´o en preliminares, por ende la f´ormula es finita, adem´asexp−1exp X·exp Y y la serie son funciones anal´ıticas en una vecindad de cero, por tanto tambi´en lo son globalmente.

Entonces haciendo una identificaci´on can´onica del ´algebra de Lieh3conR3 y usando una funci´on exponencial como parametrizaci´on global, un espacio de Heisenberg H3 identificado conR3 se puede dotar aR3, fijemos una base arbitraria X1,X2 deV1y sea X3= [X1,X2]∈V2. Considerando la f´ormula de Baker- Campbell- Haussdordf y teniendo en cuenta la nilpotencia, podemos definir la siguiente operaci´on

x∗y=exp−1(exp(x)exp(y)) =x+y+1/2[x,y], x,y∈R3

Dondex=x1X1+x2X2+x3X3= (x1,x2,x3)

(x1,x2,x3)∗(y1,y2,y3) = (x1+y1)X1+ (x2+y2)X2+ (x3+y3)X3+1/2{x1y1

[X1,X1] + (x1y2−x2y1) [X1,X2] +x2y2[X2,X2]}

= (x1+y1,x2+y2,x3+y3+1/2(x1y2−x2y1)) (2.2)

3Lawrence J. Corwin and Frederick P. Greenleaf. Representations of nilpotent Lie groups and their applications.

(44)

tenemos que la funci´onexp:R3→H3es un isomorfismo de grupos de Lie. Entonces diremos queH3comoR3dotado con un producto dado por la (2.2).

El siguiente objetivo es hallar una m´etrica invariante a izquierda enH3, para cadap= (x,y,z)∈ H3definimos una traslaci´on a izquierda

Lp:H3→H3

tal queLy(x) =y∗x, para todoxenH3.Notemos que la diferencial identidad es dada por

 

1 0 0

0 1 0

−y/2 x/2 1

 .

Definimos un campoEipor,

Ei(p) =dLp(ei)

E1(p) = dLp(e1) = (1,0,−y/2) = ∂

∂x|p−

y/2∂

∂z|p

E2(p) = dLp(e2) = (1,0,−x/2) =

∂y|p+x/2 ∂ ∂z|p

E3(p) = dLp(e3) = (0,0,1) = ∂

∂x|p

Entonces, para cada p= (x,y,z)∈H3yv= (v1,v2,v3),w= (w1,w2,w3)∈TpH3, definimos una

m´etrica invariante a izquierdads2enH3haciendo

ds2p(v,w) =DdLp−1(v),dLp−1(w) E

R3

ds2p(v,w) =h(v1,v2,v3+1/2(xv2−yv1)),(w1,w2,w3+1/2(xw2−yw1))i3R

Por tanto,

ds2=dx2+dy2+ (dz+y/2dy−x/2dx)2

Dado queLpes una isometr´ıa para todo p∈H3ye1,e2,e3es una base ortonormal paraTeH3=

h3entoncesE1,E2,E3es una base de campos de vectores ortonormales invariantes a izquierda.

Es posible generalizar los grupos de Heisenberg andimensiones y sobre los complejos notado como Hn donde se tiene la variedad CR y cuya ´algebra tiene hn =V1⊕V2, tal que V1

es de dimensi´on 2n, V2 es de dimensi´on 1 y [V1,V1] =V2, [V1,V2] =0 y [V2,V2] =0. Usando coordenadas exponenciales se puede notar como

x= (z1, ...,zn,x2n+1) = (x1+ixn+1, ...,xn+ix2n,x2n+1)

y la operaci´on de grupo queda

xy= z1+w1, ...,zn+wn,x2n+1+y2n+1−

1 2

n

i=1

(znwn)

!

(45)

SECCI ´ON 2.3

Conexi´on enH3

Se notar´a una conexi´on Riemanniana de(H3,ds2)como∇y si X,Y yZ son campos inva-riantes a izquierda deH3, tenemos que

hX(p),Y(p)i=dLpX(e),dLpY(e)

=hX(e),Y(e)i,para todo penH3

Como,hX,Yi=0,

hZ,∇XYi=−1/2(h[Y,Z],Xi+h[X,Z],Yi+h[Y,X],Zi)

Por tanto parai,j,k∈ {1,2,3}obtenemos la conexi´on en t´erminos de la baseE1,E2,E3

∇E1E2= 1/2E3 =−∇E2E1 ∇E1E3= −1/2E2 =∇E3E1 ∇E2E3= 1/2E1 =∇E3E2

∇EiEi= 0

Una vez hallada las conexiones es posible hallar curvatura.

SECCI ´ON 2.4

Curvatura

Una curvaturaRde una variedad Riemanniana M es una funci´on que a cada X,Y ∈χ(M)

asocia una funci´onR(X,Y):χ(M)→χ(M)por

R(X,Y)Z=∇X∇YZ−∇Y∇XZ−∇[X,Y]Z

para todo Z ∈ χ(M). Si R denota una curvatura de H3, escribimos Rijk =R(Ei,Ej)Ek para

i,j,k∈1,2,3, dondeE1,E2,E3se una base de campos vectores invariantes a izquierda.

Calcu-lemos entonces las curvaturas

R121=∇E1∇E2E1−∇E2∇E1E1−∇[E1,E2]E1

=∇E1

−1

2E3

−∇E1(0)−∇E3E1

= 1 4E2+

1 2E2

= 3 4E2. Con el mismo procedimiento tenemos:

R122=−

3

4E1, R123=0, R131=− 1

4E3, R132=0,

R133=1

4E1, R231=0, R232=− 1

(46)

Luego, para cada punto p∈H3 yX,Y ∈TpH3vectores linealmente independientes, una curva-tura seccionalKdeH3en un punto pdel plano generado por{X,Y}es dado por

K(X,Y) = hR(X,Y)X,Yi

kX∧Yk

dondekX∧Yk=

q

kXk2kYk2− hX,Yi2.Luego

K(E1,E2) =

3 4E2,E2

= 3 4

K(E1,E3) =

1 4 E3,E3

= −1 4

K(E2,E3) =

1 4 E3,E3

= −1 4

Por tantoH3no es un espacio de curvatura seccional constante.

SECCI ´ON 2.5

Isometr´ıas

Lema 2.1 Si f :H3→H3es una isometr´ıa tal que f(0) =0 entonces f es

1. f(x,y,z) = (xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ,z)

2. f(x,y,z) = (xcosθ+ysinθ,xsinθ+ycosθ,−z)

para alg´unθ ∈0 a 2π.

Teorema 2.5 Seaφ :H3→H3una isometr´ıa tal queφ(0) =p. Entoncesφ =Lp◦f donde f

es la anterior isometr´ıa.

Una demostraci´on de este hecho se puede ver en [14].

SECCI ´ON 2.6

Superficies enH3

Sea S una superficie en H3 que es localmente un gr´afico de una ecuaci´on diferenciable f :Ω→RdondeΩes un abierto enR2. Entonces

X(x,y) = (x,y,f(x,y)), (x,y)∈Ω

es una parametrizaci´on local paraS. Luego, si p= (x,y,f(x,y))una base del espacio tangente

TpSasociada a esa parametrizaci´on es constituida por vectores

Xx = ∂

∂xX(x,y) = (1,0,fx)

= ∂

∂y

(47)

Luego

Xx = E1+ (fx+y/2)E3 Xy = E2+ (fy−x/2)E3

Adem´as un campo normal enSen un puntopest´a dado por

η(x,y) = Xx×Xy

||Xx×Xy||

= −fx+y/2

w E1−

fy−x/2

w E2+

1

wE3

dondew=q1+ (fx+y/2)2+ (fy−x2)2.

Si f1= fx+y2 y f2= fy−x2, los coeficientes de la primera forma fundamental deSson

E = hXx,Xxi=1+ (fx+

y

2)

2

F = Xx,Xy= (fx+y 2)(fx−

x

2)

G = Xy,Xy

=1+ (fx−

x

2)

2.

Los coeficientes de la segunda forma fundamental son

L = − h∇Xxη,∇Xxi

M = −

∇Xxη,∇Xy

N = −

∇Xyη,∇Xy

Figure

Figura 1.1: Ejemplo de inmersi´on Considere la curva γ : (−π/2, 3π/2) → R 2 dado por

Figura 1.1:

Ejemplo de inmersi´on Considere la curva γ : (−π/2, 3π/2) → R 2 dado por p.16
Figura 1.2: Subvariedad encajada

Figura 1.2:

Subvariedad encajada p.17
Figura 1.3: Pushforward

Figura 1.3:

Pushforward p.26
Figura 1.4: Campo de vectores W

Figura 1.4:

Campo de vectores W p.30
Figura 1.5: Encaje subgrupo de Lie

Figura 1.5:

Encaje subgrupo de Lie p.33
Figura 2.1: Construcci´on de la vecindad

Figura 2.1:

Construcci´on de la vecindad p.39
Figura 2.2: Teorema subgrupo cerrado

Figura 2.2:

Teorema subgrupo cerrado p.40
Figura 3.1: Geod´esicas en el grupo de Heisenberg

Figura 3.1:

Geod´esicas en el grupo de Heisenberg p.53

Referencias

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