Teorema del Binomio en Anillos

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(1)Teorema del Binomio en Anillos. John Anderson Romero Correa. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS. MATEMÁTICAS. BOGOTÁ. 2017.

(2) Teorema del Binomio en Anillos. John Anderson Romero Correa. Dirigido por:. Milton Lesmes Acosta Magister en Matemáticas. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS. MATEMÁTICAS BOGOTÁ 2017.

(3) Índice general 0.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.. Anillos 1.1. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 5. 2.. Combinaciones, Permutaciones y Teorema del Binomio 2.1. Permutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Combinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Teorema del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8 8 9 9. 3.. Construcción del triángulo de Pascal 3.1. Construcción . . . . . . . . . . . 3.2. Patrones del triángulo de Pascal . 3.3. Número e en el triángulo . . . . . 3.4. Conclusiones . . . . . . . . . . .. 3. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 11 11 13 15 18.

(4) § 0.1. Introducción. El triángulo de Pascal es un concepto que ha sido estudiado por largos años, por parte de matemáticos indios, chinos y persas, incluso antes de su publicación de manera conjunta y ordenada en 1654 a cargo de Blaise Pascal (matemático, físico, filósofo y escritor Francés). Sin embargo, su construcción se ha enseñado de manera muy general a través de la ubicación del número “1” en la parte superior del triángulo y a partir de allí dos diagonales hacia abajo también formadas por “unos”, y luego la suma (por parejas) de los elementos que quedan ubicados en cada una de las filas (cuyo resultado se ubica en la siguiente fila). El propósito principal de este trabajo es mostrar la construcción del triángulo de una manera alternativa, haciendo uso de los coeficientes generados por el teorema del binomio en anillos conmutativos. En la sección 3.2 se mostrarán propiedades interesantes del triángulo, como lo son, la aparición de los números naturales, triangulares, sucesión de Fibonacci y Fractal de Sierpinski. Finalmente en sección 3.3 se exhibirá una demostración de cómo el número e (número de Euler) también aparece en el triángulo..

(5) Capítulo 1. Anillos § 1.1. Anillos Un conjunto no vacío R se dice que es un anillo asociativo si en R están definidas dos operaciones denotadas por "+" y "." respectivamente tales que para cualesquiera a, b, c de R: 1. a + b ∈ R 2. a + b = b + a 3. (a + b) + c = a + (b + c) 4. Hay un elemento 0 en R tal que a + 0 = a ( para todo a ∈ R ) 5. Existe un elemento -a en R tal que a + (−a) = 0 6. a ∈ R 7. a · (b · c) = (a · b) · c 8. a · (b + c) = a · b + a · c y (b + c) = b · a + c · a. Los axiomas (1) a (5) simplemente afirman que R es un grupo abeliano bajo la operación suma. Los axiomas (6) y (7) nos dicen que R es cerrado bajo una operación asociativa, · ,multiplicación. El axioma (8) relaciona las dos operaciones de R. Siempre que hablemos de un anillo se entenderá que estamos hablando de un anillo asociativo. Puede y no suceder que exista un elemento 1 en R tal que a · 1 = 1 · a = a para toda a en R; si tal elemento existe diremos que R es un anillo con elemento unitario. Si la multiplicación de a · b = b · a para todo a, b en R entonces llamamos a R anillo conmutativo. Ejemplo 1. R es el conjunto de los enteros, positivos, negativos y el 0; ” + ” es la adición usual y ”.” la multiplicación usual de los enteros.. 5.

(6) Ejemplo 2. R es el conjunto de todos los enteros pares bajo las operaciones habituales de adición y multiplicación. R es un anillo conmutativo, pero no tiene elemento unitario. Ejemplo 3. R es el conjunto de los números racionales bajo la adición y multiplicación habituales de los números racionales. R es un anillo conmutativo con elemento unitario. Pero aún es más que eso, pues podemos ver que los elementos de R distintos del 0 forman un grupo abeliano bajo la multiplicación. Un anillo con esta última propiedad se llama campo. Ejemplo 4. R es el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y multiplicación módulo 7. Es decir, los elementos de R son los 7 símbolos 0̄, 1̄, 2̄, 3̄, 4̄, 5̄, 6̄ donde: 1. i + j = k donde k es el residuo de la división de i + j = k por 7 ( así, por ejemplo, 4̄ + 5̄ = 2̄ ya que 4 + 5 = 9, que dividido por 7 tiene como residuo 2). 2. ī.j̄ = m̄ donde m es el residuo de la división de ij por 7 ( así, 5̄.3̄ = 1̄, ya que 5.3 = 15 que tiene 1 como residuo de su división por 7). Se debe verificar que R es un anillo conmutativo con elemento unidad. Además: 1̄.1̄ = 1̄ = 6̄.6̄ 2̄.4̄ = 1̄ = 4̄.2̄ 3̄.5̄ = 1̄ = 5̄.3̄ Ejemplo 5. Si A es un anillo, el conjunto M2 (A) de las matrices 2 × 2 con elementos en A es un anillo con las operaciones matriciales: a1 + b 1 a2 + b 2 b1 b2 a1 a2 = + a3 + b 3 a4 + b 4 b3 b4 a3 a4 Si A tiene unidad, este anillo tiene como unidad la matriz identidad 1 0 Id= 0 1 Pero aunque el anillo sea conmutativo, las matrices no forman un anillo conmutativo. Se puede comprobar que las matrices 0 b 0 0 y a 0 a 0 no conmutan en general, siendo a y b elementos del anillo A. Este ejemplo se puede generalizar para matrices cuadradas de orden n..

(7) Definición: En (R, +, .) anillo. a + a + ... + a = na a.a....a = an Nota: En particular (a + b)(a + b)...(a + b) = (a + b)n.

(8) Capítulo 2. Combinaciones, Permutaciones y Teorema del Binomio § 2.1. Permutación Una permutación de un conjunto es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo. Para ilustrar la definición, sea el conjunto X = {1, 2, 3}. Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} en sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos. Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por:. 1 −→ 1 2 −→ 2 3 −→ 3 corresponde al ordenamiento "1, 2, 3". Por otro lado, la asignación biyectiva dada por:. 1 −→ 3 2 −→ 2 3 −→ 1 corresponde al ordenamiento "3, 2, 1".. 8.

(9) Ejemplo de permutación En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre el conjunto, el cual puede incluso ser infinito.. § 2.2. Combinación n n! , = (n − r)!r! r. r≤n. n donde es el número de posibles combinaciones de n objetos, tomando r de ellos. r. § 2.3. Teorema del binomio En un anillo en general (a + b)n = (a + b)(a + b)...(a + b) El desarrollo de los productos conduce a: (a + b)n =. X. x1 , x2 ...xn. xi ∈{a,b}. Es una suma con 2n sumandos. Observemos en (a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b).

(10) = aaaa + aaab + aaba + aabb + abaa + abab + abba + abbb + baaa + baab + baba +babb + bbaa + bbab + bbbba + bbbb Son 24 = 16 sumandos, y conducen a: a4 + a3 b + a2 ba + a2 b2 + aba2 + abab + ab2 a + ab3 + ba3 + ba2 b + baba + bab2 +b2 a2 + b2 ab + b3 a + b4.

(11) Capítulo 3. Construcción del triángulo de Pascal § 3.1. Construcción El triángulo de Pascal se puede construir a partir de los coeficientes generados por el teorema del binomio en anillos conmutativos. Veamos el desarrollo de (a + b)4 : (a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) = (aaaa + abaa + baaa + bbaa + aaba + abba + baba + bbba + aaab + abab + baab +bbab + aabb + abbb + babb + bbbb) Como es un anillo conmutativo, podemos escribirlo así: = (aaaa + aaab + aaab + aabb + aaab + aabb + aabb + abbb + aaab + aabb + aabb +abbb + aabb + abbb + abbb + bbbb) = a4 + a3 b + a3 b + a2 b2 + a3 b + a2 b2 + a2 b2 + ab3 + a3 b + a2 b2 + a2 b2 +ab3 + a2 b2 + ab3 + ab3 + b4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 Observemos que el coeficiente de a3 b corresponde al número de permutaciones con 4 4! elementos, de los cuales 3 son a y 1 es b. Que se puede escribir como 3!1! que corresponde 4 a . De manera similar se obtienen los demás coeficientes y conducen a: 1 4 4 4 3 4 2 2 4 4 4 3 a + a b+ ab + ab + b 0 1 2 3 4 Veamos (a + b)5 : (a + b)5 = (a + b)4 (a + b). 11.

(12) 4 4 4 4 2 2 4 3 4 4 3 b (a + b) ab + ab + a b+ a + = 4 3 2 1 0 4 4 2 3 4 3 2 4 4 4 5 ab4 ab + ab + a b+ a + = 4 3 2 1 0 4 5 4 4 2 3 4 3 2 4 4 b ab4 + ab + ab + a b+ + 4 3 2 1 0 4 4 4 4 4 4 4 5 3 2 4 a2 b 3 + ab + + a b+ + a + = 2 3 1 2 0 1 0 4 4 4 5 + + ab4 + b 4 3 4 5 5 5 5 2 3 5 3 2 5 4 5 5 4 b ab + ab + ab + a b+ a + = 5 4 3 2 1 0 Es decir: 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 De manera similar obtendríamos los demás coeficientes, y el triángulo de Pascal se puede escribir como : 0 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 0 1 2 3 4 5 6 .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . ..

(13) § 3.2. Patrones del triángulo de Pascal 1. Números naturales y triangulares En la siguiente imagen se observa que en la segunda y tercera diagonal están los números naturales y triangulares, respectivamente.. Números triangulares 2. Sucesión de Fibonacci Al trazar las lineas marcadas en la figura, se observa la sucesión de Fibonacci.. Sucesión de Fibonacci 3. Pares e Impares Al pintar de un color los números pares y de otro color los impares, se obtiene la siguiente figura, que es un fractal de Sierpinski..

(14) En color azul y amarillo, los números impares y pares, respectivamente. 4. Múltiplos de 3 (Módulo 3) Al colorear los múltiplos de 3, 0 ( módulo 3) de un color y el resto de números de otro color, se obtiene el siguiente fractal:. Módulo 3 5. Palo de hockey Si se suman los k primeros elementos de una diagonal cualquiera del triángulo de Pascal, se obtiene el número que aparece en la base y no perteneciente a esa diagonal, es decir:.

(15) k−1 X n+j j. j=0. =. . k+n k−1. . Palo de hockey. § 3.3. Número e en el triángulo Consideremos los productos de cada una de las filas:. Si ahora dividimos cada resultado obtenido al multiplicar entre el obtenido en la fila anterior obtenemos los siguientes valores: {1,2,4.5,10.666 . . . ,26.0417,64.8 } Y ahora volvamos a dividir cada uno de los resultados de esa lista entre el anterior. Llegamos a los siguientes datos: {2,2.25,2.370370 . . . ,2.44140625,2.48832 } Si avanzamos un poco, por ejemplo por la zona del n=1000, el dato de la lista sería ya 2.71692, que ya está más cerca del número e=2.71818281 . . . , Si llamamos sn al producto de los elementos de la fila n, con n=0,1, . . . , si recordamos que los elementos del triángulo de Pascal son los números combinatorios tenemos que:. sn. n Y n. k=0. k.

(16) Lo que vamos a demostrar, es que: lı́m. n→∞. sn+1 /sn =e sn /sn−1. Comencemos estudiando cuál es la expresión exacta de sn . Como hemos dicho, es el n producto de todos los números combinatorios , con k, 0, 1, . . . , n. Es decir: k n n n n sn = . . ... 0 1 2 n p! p , la expresión anterior se convierte en la siguiente: Recordando que = q!(p − q)! q n! n! n! n! sn = . . ... 0!n! 1!(n − 1)! 2!(n − 2)! n!0! Todos los numeradores son n!, por lo que el denominador conjunto es (n!)n+1 . Y en el denominador aparece dos veces cada factorial desde 0! hasta n!, por lo que al multiplicar cada uno de ellos estará elevando al cuadrado. Por tanto, la expresión de sn es la siguiente: (n!)n+1 s n = Qn 2 k=0 (k!). Ahora ya podemos calcular de forma sencilla los dos cocientes aparecen en el límiQn que −2 n+1 te que hemos mostrado antes. Expresando sn como (n!) . k=0 (k!) (para simplificar la notación siguiente) tenemos que: Q (n!)n+1 . nk=0 (k!)−2 (n!)n+1 .(0!)−2 .(1!)−2 ...((n − 1)!)−2 .n!−2 sn = = Q n−1 sn−1 ((n − 1)!)n .(0!)−2 .(1!)−2 ...((n − 1)!)−2 ((n − 1)!)n . k=0 (k!)−2. =. (n!)n+1 .(n!)−2 (n!)n .(n!) n! nn n 1 = = ( ) . = ((n − 1)!)n ((n − 1)!)n .(n!)2 (n − 1)! n! n!. De manera análoga tenemos que (n + 1)n+1 sn+1 = sn (n + 1)! Calculemos ahora el límite anterior:.

(17) (n + 1)n+1 .n! (n + 1)n+1 /(n + 1)! sn+1 /sn = lı́m = lı́m n→∞ (n + 1)!.nn n→∞ n→∞ sn /sn−1 nn /n! lı́m. (n + 1)n n+1 n (n + 1)n .(n + 1).n! = lı́m = lı́m ( ) =e n n n→∞ n→∞ n→∞ n!.(n + 1).n n n lı́m.

(18) § 3.4. Conclusiones. Haciendo uso del concepto de anillo conmutativo y del teorema del binomio, es posible construir el triángulo de Pascal. Al observar detalladamente el triángulo de Pascal, se pudieron observar varias propiedades muy interesantes como la aparición de los números naturales, triangulares, sucesión de Fibonacci y Fractal de Sierpinski. A pesar de que los coeficientes del triángulo son números enteros, se pudo observar cómo es posible también obtener el número e ( de Euler) que es un número irracional..

(19) Bibliografía [1] A first course in probability; Sheldon Ross, University of Southern California, Upper Saddle River, New Jersey 07458. [2] Algebra Moderna; Herstein I.N., Editorial Trillas México 1970. [3] Morales Medina Miguel Ángel;Recuperado de: http://gaussianos.com/comoencontrar-el-numero-e-en-el-triangulo-de-pascal/. [4] Fernandez Justo; Recuperado de: http://soymatematicas.com/triangulo-de-pascal/ [5] ; Recuperado de: http://www.acorral.es/patropascal.html [6] ; Recuperado de: http://www.ciencia-explicada.com/2013/09/posiblemente-una-delas-sentencias-judiciales-mas-frikis-de-la-historia.html. [7] ; Recuperado de: http://www.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/trianguloPascal/triangulo.htm [8] Grimaldi, Ralph;Matemáticas discreta y combinatoria, 0-201-65376-1.. 19.

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