Universidad de Chile.
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´
aticas.
Departamento de Ingenier´ıa Matem´
atica.
Santiago, 22 de Noviembre del 2001.
Tiempo: 3:00 hrs.
CONTROL 6
MA12A CALCULO 2001
Problema 1.
Dado
n
≥
1, se define la funci´
on
f
n
: [1
,
∞
)
→
R
mediante
f
n
(
x
) =
n
+ 1
n
Z
∞
x
dt
t
2+1
/n
.
(a) (1.5 pto.) Pruebe que
f
n
(
x
) =
x
1+1
1
/n
.
(b) (1.5 pto.) Encuentre el l´ımite puntual
f
(
x
) de la sucesi´
on (
f
n
(
x
)).
(c) (3.0 pts.) Determine si (
f
n
) converge uniformemente.
Problema 2.
Sea (
a
k
) una sucesi´
on tal que
∀k
≥
0,
a
k
≥
1. Dado
n
∈
N
, se define
P
n
=
n
Y
k
=0
a
k
=
a
0
a
1
· · ·
a
n
(a) (2.0 pts.) Pruebe que si (
P
n
) converge a
P
∈
R
entonces
P
≥
1 y lim
k→
+
∞
a
k
= 1.
(b) (2.0 pts.) Pruebe que (
P
n
) converge ssi
∞
P
k
=0
ln(
a
k
) converge.
(c) (2.0 pts.) Pruebe que (
P
n
) converge ssi
∞
P
k
=0
(
a
k
−
1) converge.
Problema 3.
Sea la serie
P
a
n
x
n
donde
a
n
= 2
n
−
(
−
1)
n
.
(a) (1.0 pto.) Demuestre que el radio de convergencia de la serie es
1
2
.
(b) (1.0 pto.) Analice la convergencia de esta serie en
x
=
1
2
y
x
=
−
1
2
.
(c) (1.0 pto.) Pruebe que
∀x
∈
(
−
1
2
,
1
2
),
X
a
n
x
n
=
3
x
1
−
x
−
2
x
2
.
Ind.: Descomponga
P
a
n
x
n
como una suma de dos series geom´
etricas.
(d) (1.5 pts.) Por integraci´
on demuestre que
∀x
∈
(
−
1
2
,
1
2
),
X
a
n
n
+ 1
x
n
+1
=
−
ln[(1 +
x
)
√
1
−
2
x
]
.
(e) (1.5 pts.) Analice la convergencia de la serie
P
a
n
n
+1
x
n
+1
en
x
=
−
1
!
"# $ ! %!'& ( ! ! )
* (%)+,,'-#% ) . ' /, 00)1 23 !$%454006
78:9:;<8>=@?BAC;:DE?BFHG
IJ8LKNM8>=O8BF<=@9PF<?>MQQ'K
R'S TU/V W)XEY@Z[3"#%6\^]B_+ ' `' a bc d!ef_g h:ijlkB!
c dmnNio
\!p:_
\
q@r
sutv
v w xzy { d/|
}
~
}
1$) ~6 .z'6c d m nNio
y
s
}
.~
}
1$) ~6 N! #$ /c/mnNi' 6 bOm c
d
mnzi i
}
~
}
5)06$) ~6"# !# m c d i % ('a % ! !
* %4
}
~O Z[ON [-% !% 3
qCr
sutv
v w xzy {
d
o
x
r
q
stv
v w xy {
d
o
x
r v
w xzy { d
xy
m p:_ \NiNp:_
s
¡N[ON TN[
o¢
r¤£l¥
y xy { d
m _3p:_ \Ni
n
y xy {
d
m _3p:_ \Ni ¦
o¢
r¤£
n
y xy {
d
m _p:_ \Ni
¥
y xy {
d
m _p:_ \Ni ¦
g
$ %6 . !% '$ 6§@¨C©! #
x
r
¥
)ª oP©)g
(%
x
rC¥
y xzy { d
_p:_ \
oP©g« ¡N[^N TN[
$%3% %
r
q
s
tv
v w xzy {
d
o
n
yxzy {
d
m _3p:_ \Ni
o
£
\
\!p:_¦
_
n
yxzy { d|
¬N (%
c
d
m nzio
m \!p:_i
\
r
q
s
tv
d
o
£
\!p:_
\ ¦
£
\
\!p:_ ¦
_
n
d
o
_
n
d |
ÄzÉ ÊÉ Ë
Â
ÄEÍ ÄzÉ Ë ÂÎ
Ï
½ Ð ÄÑ@Ò
Ç
Î Ó Å Ô
½ »#º л Õ»'¾)¿»>Ö Ù3ÚÜÛ×Ø
Ý
ÄÆ
Ç
Î
° ÞN²³O´Nµ ßN²·
Ïà
¹á3⹺ ãÕº ¹
Ö×Ø Â ÙÚ
Ç
ÄNÉ ÊzÉ Ë
Â
ÆÌÇ
Ä
Î
Ä^ä
Çå
° ÞN²³O´Nµ ßN²·
æ
¿» ç¹
à À ÂÅ Â!è
¹Õé» á ç»
à
¿Õº ¿ãâ ¼!» Õº »'ã
À/Ã ÄNÅÆ
Çê Ä/ÔÄä
Çë
° ÞN²³^´Nµ ßN² ·
ë
è
¯ì#» ®z» ¼!¹½3» ½ º ¿íÐ ãá3½ Ð
î
À Â'ïCÀ
î
Ú¤Æñð òó
ô õö É ÷Ê
Úøù
À ÂÃ ÄzÅ/ïCÀÃÄzÅ
ùúlû
Î
° ÞN²³^´Nµ ßN²·
í¹Õí»
ÀÃÄzÅÆ
Ç ê
Ä
Ää
Ç
¯» ½» âNâü¼!к »
à
¿Õº ¿ãâN¹®)º » ÕÐí¹!» Õâã
à
ãá º »! ®¯ ë3ý
» ã
þ
ÂÃÄzÅƤÀ/à ÄNÅ/ïCÀ ÂÃÄNÅÆJÇ
Ä
ïÿÇ
ÄNÉ ÊzÉ Ë
Â
å
» Õ» ¼!¹½¾¿»
þ
ÂÃ ÄzÅä
û
½ Ð Ä^ä
Çë
¿½
è
ãá » ¼!¹½/» â¼)м!¹í»
þ
ÂÃÄNÅ Ô
à
ãá ãâ¹
è
¿ãâ
è
¹¼!» Õ ã¼!¹½
à
¹á
è
ãâ
è
¿âãá½ ¿í» á Ðéãíã
þ
Â
à ÄNÅÆBï Ç
Ä
Ã
Ç
Çê
Å Ç
Ä
ÊzÉ Ë
Â
å
° ÞN² ^´Nµ ßN²·
¿½
è
ãá » ¼!¹½ Ä Â
º ãâz¾)¿»
þ
Â
ÃÄ Â ÅÆ
û
Ô
â¿» ç¹6á » ½ ¹âé» ¼!¹½
þ
Â
ÃÄzÅÆ Ç
Ä
ï
Ç
Ã
Ç
Ç ê
Å
ÄNÉ Ë Â
Æ
û
Î
à
» á ¹
ï
Ç
Ã
Ç
Çê
Å
Ä É Ë
Â
Æ
û
Ä
É Ë
Â
Æ
Ç
Ç ê
ÄÆBÃ
Ç
Ç ê
Å
Â
è
¹¼!¹6ãí» ¼½
þ
Â
à ÄzÅlä
û
Î
Ä^Ñ@Ò
Ç
Î
Ã
Ç
Ç ê
Å
Â
þ
Â
à ÄzÅ
û
Î
Ä^Ñ@Ò Ã
Ç
Ç ê
Å
Â
Î
Ó
Å
° ÞN²E´Nµ ßN²·
½ »#º л Õ»'¾)¿»'» âN¼)м!¹6½ »'ãâ
è
ãÕ ã6» Õ
ÄÂÆÃ
Ç
Ç ê
Å
Â
° ÞN² ^´Nµ ßN²·
Ô
â¿» ç¹
þ
 ÃÄ Â Å Æ Ç
Ä
Â
Ç
ï Ç
Ä
É Ë
Â
Â
Æ Ç
Ã
Ç
Ç ê
Å
Â
Ç
ï Ç
Ã
Ç
Ç ê
Å
Æ Ç
Ã
Ç
Ç ê
Å
Â
Ç
ï Ç
Ã
Â
ÊzÉ
Â
Å
Æ Ç
Ã
Ç
Ç ê
Å
Ç
ï
Ç
Æ Ç
Ã
Ç Ç ê
Å
Â
Ç
Ç
å
; < => ?@
0$AB B
1G4 ,CD5,EH1 I
C
I$JKI LM
E
,ON
I
MJKIPRQ
'S T UV W
, XY0
* + ,-.+/* 021 UVW
, XY0
I
C
I$JKI LM
E
,ON
I
MZJKI P
1
UVW
, XY0
I
C
I$JKI LM
E
,Z[ UVW
, XY06\
I
MJKI]
1I
^
[ _
1
_a` bFc dfeFg hFci
jk (ml (S
k
l n
k
(l o' C + , E ,
l ( p
k
" q
k
n(or " s
k
s
k
(%
k
'
+
k
(t
I
Q
JRu
E
` bFcdveFg hFci w
xRy
h5z!{ |}~vc
k
'
C E
n('S nl
k
S o (Z% ' #F n kFZ
_
)
I
w/
' Mff
)!S
k
k
(
k
,&1
,
5
1
>
[ [ [ ,
'
w
% S
w
/" n k k
n
k
S o
C
,E
l (p
k
" q
k
' m
k
( % (l
k
S
I
j
UVW
X
@
0
1
I
w
w
% S
w
/" n k k
n
k
C
,E
l (p
k
" q
k
S S o
0
U
C E
l (p
k
" q
k
w
l
w
% S
w
/" n k k
n
k
C
,E
l (p
k
" q
k
S S o
0
C
-I
E
l (p
k
" q
k
w
# w
'
` cbKeFg ci
s
I
k
( % (l
k
S ,f1¡
¢¢¢ ,
I
jvk (vl (S
k
l n
k
(l o'f
1
UVW
,
,
I
` bFc£5dveFg hFci w
H "Y % " '
'" %
k
)
M
I
Q
,
, ¤
>
1
¢¢¢ ,
¢¢¢,¤
>
1 ,¥
UVW
,
,
1
UVW
,
,
, ¤
>
1
1
I
` ¦c5dfeFg ci
` cb§eFg ci¨
o"
k
l % ' s
k
( %
k
S
k
% o
k
(
k
n
k
, 1
,
©
l ( p
k
" q kmª
U
C
,
©
E1
,
U
C E
l (p
k
" q
k
)5 (
k
S
kR«
'nS ' #'l ( % o( no'
k
U
k
l o"
k
S % ¬#% os R% o
k
(
k
bFc5dfeFg hFc
w
l
` cbeFg ci
S ' (
k
#Fl " o%
k
" o
k
l s
' " 'l o(
"$" '® (
UVW
X
@
0
U C E
¯-I
1
UVW
;
X
> ° U
CDE
D-I
1
UVW
;
X
> ° I L
D
I
1
IR±
_
#n
k
q R' s
' S/S
k
" o
k
S¯l (p
k
" q
k
(Z &op
k
" q
k
(ZS os&n#% ² (
k
s
k
(%
k
)
k
(
k
S
k
k
nl
k
#'
k
nop' #
k
(³
l o'q" ' l o' S¯'#'
' " %
k
w
´
S
k
" p' l o (
% 's
oµ (
n
k
k« 'l
k
" S
k
l ''&o s
#ol '(l o'
"/S
k
'" '
"/l s
' " 'l o(5 )
k
(
l n
j
l 'S 'l ''os
#o l ' (l o'&S
k
#
k
'S oq ('
¶R· ¸5¹!º »¼½v¾¿YÀÁ ÂÃÂÄ Á Å ÆÁ&ÇÉÈÊË ÁRÈÊÏ6Ð Ö Â × Ö Ø ÕÙÚÛ ÍÕ ×ÜÁ ÝÞÁ Ä Û
Å Á&ß ÞÁ&Á ÃFÅ Â
Ì Æ ÍÌ ÁRà Í Îá Á Å âÁ Î à Æ Ì
ÁRÃÂÄ Á Å ÆÁRÁ Äã
ä Õ Ö å × Ö Ø ÕÙÚÛ ÍÕ ×æ Î
 ÃÆà ÁRÃÂà Í Îá Á Å âÁ Î à ÆÂ Ì ÁRÁ Ä Û ÂÄ Á Å ÆÁÁ Î ËmÏçã äRè ËÏ Ñ ã ä Õ Ö à × Ö Ø ÕÙÚÛ ÍÕ ×é/Å ÞÁ å ÁRßÞÁêËfë Ò Ñ ã äì ã ä Ô í î È Ê Ë Ê Ï ï Ë Ó$Ñ Ë Ñ Ð Ë äð ñ ÎÌÕ ò ÜÁ Ä à Í Ý Ú5Í Î âÂZÇÉÈÊË Ê à Í Ý Í Þ Î ÂÄ ÞÝÂ Ì Á ÌÍ
Ä$Ä Á Å ÆÁ ÄYâÁ
Í Ýó Û Å Æà Â Ä Õ Ö Ì × Ö Ø Õô&ÚÛ Ä Õ ×é Í Å$Æ Î Û Á â Å Âà Æõ ÎÌ Á ÝÞÁ Ä Û
Å Á&ß ÞÁê5Ëfë Ò Ñ ã ä ì ã ä Ô í î È Ê ö÷ Ó Ë Ê ø ã Ï
Ñfùúû Ò Ó
÷ Ë Ô ü Ó$Ñ Ð Ë5ý ð Ö Á × Ö Ø Õô&ÚÛ Ä Õ ×æ Î Â ÃÆà ÁÃÂà Í Îá Á Å âÁ Î à Æ Ì
ÁRÃÂÄ Á Å ÆÁ ÇGþ ÿ Ê ø ã Ë Ê ø ã Á Î ËÏ Ñ ã äRè ËÏçã ä Õ À Í Ã Õ Ö
Â × ¿ ¸F¿é! ŠÂ
Ì Á Û Á Å ÝÆ Î Â ÅÁ Ã Å Â Ì Æ Í$Ì Á/à Í Îá Á Å âÁ Î à Æ ÚÍÌ Á Ý Í
ÄFà Â Ãà ÞÃÂ ÅOÏ
ù Ê È Ê Íí Ä Æ$Á ÆÄ Û Á í ¡Ï ù Ê È Ê Íí Ä Æ$Á ÆÄ Û Á í çÏ ù þ ÿ þ ÿ Õ Ã$Å Â Ì Æ ÍfÌ Áà ÍÎ á Á Å â Á Î
à ÆÂvÁ ÄÁ Ã
Å Á à Ú Å Í à ÍÌ ÁRÁ Ä Û Âà Â Î Û Æ Ì Â Ì
Ä ÆFó Ä
Û ÂÁ Ä Ú5Í Ä Æ Û Æ á Â è á ÂÃÁRÆ Î! 5Î Æ Û Í Ä ÆFó Ä
Û
ÂÁ Ä$à Á Å ÍÕ
"#%$& ' ( )* +,- + ' & .*/#%0 1 2!$3* )4 #%0/5 26*7.#8+ * 0 ' */9#9#:* +;.#0 * + 4 #:9!*7.# +7+ * 0 ' * +/ÇÉÐ
Ê Ë Ê=< Ç Ò ÑRÓÔ Ê Ë Ê <
5 26*,- 03* )9!*:+ 20 #9%'->9!*? - )6@%* 0 1* )? ' #+ * 0 AB* .7$DC)'$3-E* )640 *D.- +D0 #9%' - +9!*3? - )@* 0 1!* )? ' #
9!*=( + 4 # + F
ÀÆÄ ÁYÞ
Û
ÆÃÆG ÂÃÂ
Ú
Å ÆÝÁ Å ÂRÁ Ä
Û
Å Â
Û
Á â ÆÂRÁ Ã5à Â Ãà ÞÃÂ Å7ÂÄ Æâ
Î
 F¿H> ¸F¿
è Ì Á Û Á Å ÝÆ Î ÂÅ; ÍÛ Å Í F¿H ¸F¿ Õ/I
'+ *2+ #=.#=+ * 1 2!)9# J79!* 4 * 0 $D' )#%0* .0 #9%'-=9!*:? - )@* 0 1!* )? ' #D9!*? #9#=2!)#- 4 - 0 1%#> F¿K6H
¸F¿
<
9!* 4 * 0 $D')6#%0 L F¿H ¸F¿
Õ
Ã$à M Ãà ÞÃ ÍvÌ Á ù Ê È Ê
Ä Á>NÂ à Ámà
Í Ý Í Ä Æâ ÞÁ ò Ð Ê%O ãEP È Ê P Ð Ê ø ã Õ æ Ì Á ÝMÄ í¯Ê ü Ð Ê O ã è Ê ü Ð Ê ø ã à Í Îá Á Å âÁ Î ÂZÐ Õ;/Î Û ÍÎ à Á Ä í OÏ6Ð Õ /Î
Á Ã/à M Ãà Þà ÍÌ Á ù þ ÿ þ ÿ Û Á Î Á Ý Í ÄRßÞÁ ä ÿ O6QO ã R ÿ ä ÿ O6QO ã R ÿ Ï ä O;ST U ÿ % V ÿ ã O;ST U ÿ V ÿ Õ>W¯Í Ý Í ã ä ÿXZY Û Á Î Á Ý Í Ä ß ÞÁ:OÏ6Ð Õ é! ŠÂà ÂÄ Á â Þ ÎÌ ÂÁ Ä Û Å Â Û Ââ Æ á
Á ÅYÃÂÂ Å âÞÝÁ ÎÛ Â à Æõ ÎÌ Á Ã Ú Þ Î Û Í Ö à × Õ Ö å
× ¿ ¸F¿éHÂÅ ÂË.Ï ã
ä NÂ è ßÞÁÁ Ä Û Þ Ì
ÆÂÅRÃÂmÄ Á Å ÆÁZÇ
ä ÿ OQO ã R ÿ ä ÿ Õ3[ Ä Û Â ÎÍ à ÍÎ á Á Å â Á Ú
ÞÁ Ä&Ä Þ
Û ó Å ÝÆ ÎÍ â Á Î Á Å ÂÃ ÓYÑ QO ã R ÿ ä ÿ\X Ó] Ï Y
F¿HB ¸F¿
Õ
é! ŠÂËmÏ
Ñ ã ä Ä Á Í å Û ÆÁ Î
ÁRÃÂÄ Á Å ÆÁ&Ç
ä ÿ OQO ã R ÿ QO ä R ÿ
ßÞÁ&Á ÄYÆâ ÞÂÃFÂZÇ_^ Ò Ñ&Ó Ô
Ê Ñ ã ä ÿ` ÕW¯Í Ý Í Ø è Ñ&Ó Ä ÍÎmÚ Þ Î Û Í Ä Ì
ÁRÂ à ÞÝÞÃÂà Æõ ÎÌ
Á&Ã ÂÄ Þà Á Ä Æõ
ÎÒ Ñ&Ó Ô
Ê Ñ ã ä ÿ ó Ä Û Â ÎÍ à ÍÎ á Á Å â Á Õ é Í ÅYÁ Ä Û
ÂZÅ ÂG õ
Î ÃÂ Ä Á Å ÆÁ Û Â Ý Ú5Í à Í Ã Í
NÂà Á F¿H ¸F¿
Õ
Ö
à × ¿a ¸F¿mÀÂ
å
Á Ý
Í
Ä$ß ÞÁ&Ã ÂÄ Á Å ÆÁ&Ç Ë ÊÛ ÆÁ Î ÁRÅ Â Ì Æ ÍÌ ÁRà ÍÎ á Á Å â Á Î à ÆÂ Ø è ßÞÁ Ú Â Å Â Û ÍÌÍ Ëfë Ò ÑRÓ ì Ó Ô Ä Á Û ÆÁ Î ÁßÞÁRÇ Ë Ê Ï ã ã O!b Õ;/ÎÛ Í Î à Á Ä í5Ú ÂÅ Â&Ëfëc^ Ñ ã ä ì ã ä ` Ä Á Û ÆÁ Î Áß ÞÁ&Ç Ò Ð Ë Ô Ê Ï ã ã O ä b è Ç Ò Ñ Ë Ô Ê Ï ã ã ø!b
v ~w {w:w
8
%
¡
:¢ £¤¥>¦§ ¨¤©
ª
t%xtB«
¡6¬
¬ ® { ¢
/¯
© ° yu y
¯± L²
° w3t!v ~w {w3w>³µ´ ¶
¡
¡
®
{ ¢
· ©
®
{
¢
/
©
®
{
¢
/
©¸
·
k ¹mºBop »mr ¼
h w jk lmnop q%mrE½!w y
¯
= ´ ¶
¡
¶ ¾¿¾ À
¶
¡
¼
sÁyu y
iw 6w xt%w v i~ yu
®
y w u ~wD³
¯
¶ Â%Ã
¼s7t!iw xtz t%xyu y%ut%uz t!z ~w {%v w
¯
¶ ÂÃ
z t{Ä
¡
k ¹mn>op »mr ¼7Å;{w v wz y t:{t%;!w iy=!w ´ ¶
¶ Â%ÃÆ
¼
ª
txt
®
y: w u ~w8y%u xÇ{~ z y:i~ |w u }w
z t{z
®
~xt/!w
®
yD w u ~w:³
¯
¶ ÂÃ
v yx=~È {3i~|w u }%wk ¹m nBop »mr ¼
É/Ê Ë ÌÍ%Ë Î%Ï!Ð3Ñ Ò6Ê ÌÑ ÓEÑ Ô;Ó ÕÎ%Ï!Õ Ñ Ò6Ê Ñ ÖBÔÍBÓ Ñ Ë Õ Ñ
³
¿¾ À
¶
¿
¡ À
¶ ÂÃ
Ñ ÓEÍ× Ó Ì ÔÏ!Ê Í%Ð3Ñ ÒÊ ÑEØ Ì Ò6Ù%Ñ Ë ÎÑ ÒÊ Ñ=Ú6Ï6Ñ Ó
¶ ÂÃ ¿ ¡
À8Û
¶EÜ
³
¶
Ø Ì Ò6Ù%Ñ Ë ÎÑ
k ¹mnEop »mr%Ý3Þ
Ñ Í%Ð3Ì Ó:ß Ï6ÑÔÍ=Ó Ñ Ë Õ Ñ
³
¯
¶ ÂÃDà ÕÙÑ Ë Î!Ñ
Ýá Õ;â Ó Ê Í
Ø Ì ÒÙÑ Ë Î!ÑDÑ Ò6Ê Ì ÒØ Ñ ÓÚÌ ËDã%ÔÎÑ × Ë Í
à
Ñ:Ó Ñ Ë Õ Ñ Ó=ÔÍÓ Ñ Ë Õ Ñ
³
¯
¶ ÂÃ
³
¿¾ À
¶
¿
¡ À
¶ Â%Ã
Ê Í%Ð× Õ â ÒBÔÌDäÍ%Ë å Í æ
Ñ Ó
à
Ñ Ø Õ Ë æ7Ê Ñ Ò
à
Ë å Í%Ð3Ì Ó:ß Ï6ÑÔÍDÓ Ñ Ë Õ Ñ
³ç
¿
¡ À
Ø Ì Ò6Ù%Ñ Ë ÎÑ æÚ6Ñ Ë Ì3Ñ Ó Ê ÌDÒÌÚ6Ï6Ñ
à
Ñ=Ì Ø Ï!Ë Ë Õ Ë/Ú6Ï6Ñ ÓDØ Ì Ð3Ì
èéê
Ã
ë ì ¶ Â%Ãí
Ã
¶ ÂÃ
±
î²
Ü
ÔÍ>Ó Ñ Ë Õ Ñ3Í%Ë Ð3ï Ò6Õ Ø Í ³ð
¡
à
ÕÙÑ Ë Î!Ñ æÓ Í× Ñ Ð3Ì Ó3ß Ï6Ñ
³ç
¿
¡ À
Ê Í%Ð× Õ â ÒaÔÌ
äÍ!Ø Ñ
k ¹mnop »mr ¼
sÁyu y3
>
wt%!v ~w {w
®
y> w u ~w³
¯
¿¾
À
¶ Â%Ã
³òñ ¿¾
À
¶
¿
¡ À
ó
¶ ÂÃ
¿
¡ À ô
¼õ;yE y%w xt:w
³
¶ ÂÃ
¿
¡ À
z t{%|w u }%w%¼:ö8iw x÷% ° ñ
¿
¡ À ô
iw z u w z wy3z w u t!¼:Å;{v t%{z w ° w
®
z u ~v w u ~t3iw=øÁw ~{~v ù
y% w }%u yE!w ³ ¿¾
À
¶
¿
¡ À
w =z t%{|w u }w {v wú6tu:÷
®
}w u yEiw w u ~w :z t%{z
®
~xt%:!w ³
¯
¿¾
À
¶ Â%Ã