10 Integrales dobles 1 Teórico pdf

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS

Casi de la misma manera que el intento para resolver el problema de área condujo a la de-finición de una integral definida, ahora se busca determinar el volumen de un sólido, y en el proceso se llega a la definición de integral doble.

REVISIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Primero se recordarán los hechos básicos relacionados con integrales definidas de una so-la variable. Si fxse define para axb, se empieza por dividir el intervalo a,ben nsubintervalos xi1,xide igual amplitud xbany se eligen puntos de muestra

en estos subintervalos. Entonces se forma la suma de Riemann

Si se toma el límite de las sumas cuando nlpara obtener la integral definida de fde aa b:

En el caso especial donde fx0, la suma de Riemann se puede interpretar como la su-ma de las áreas de los rectángulos de aproxisu-mación en la figura 1, y representa el área bajo la curva yfxde aa b.

VOLÚMENES E INTEGRALES DOBLES

De una manera similar se considera una función fde dos variables definidas en un rec-tángulo cerrado

y se supone primero que fx,y0. La gráfica de fes una superficie con ecuación zfx,y. Sea Sel sólido que yace arriba de Ry debajo de la gráfica de f, es decir,

Véase la figura 2.El objetivo es hallar el volumen de S.

El primer paso es dividir el rectángulo Ren subrectángulos. Esto se hace dividiendo el intervalo a,ben msubintervalos xi1,xide igual amplitud xbamy

dividien-do c,den nsubintervalos yj1,yjde igual amplitud ydcn. Al dibujar líneas

Sx, y, z⺢3

0zfx, y, x, yR Ra, bc, dx, y⺢2

FIGURA 1

0 y

x

a ⁄ ¤ ‹ xi-1 xi xn-1

x ¡* x ™* x £* x*i xn*

Î x

f(x*)i

x

y

a fxdxnlíml

i1

fxi*x 2

i1

fxi*x 1

x*i

15.1

951 FIGURA 2

0

c

d

R a

b x

z=f(x, y) z

paralelas a los ejes coordenados por los puntos finales de estos subintervalos como en la figura 3, se forman los subrectángulos

cada uno con área Axy.

Si se elige el punto muestral en cada Rij, entonces se puede aproximar la

parte de Sque yace arriba de cada Rijmediante una caja rectangular (o “columna”) con

base Rijy altura como se muestra en la figura 4. (Compare con la figura 1.)

El volumen de esta caja es la altura de la caja multiplicada por el área de la base del rectángulo:

Si se sigue este procedimiento para los rectángulos y se suman los volúmenes de las cajas correspondientes, se obtiene una aproximación del volumen total de S:

(Véase fig. 5.) Esta suma doble significa que para cada subrectángulo se evalúa fen el pun-to elegido y se multiplica por el área del subrectángulo, y luego se suman los resultados.

x

y 0

z z

y 0

c

d

R_ij a

b x

f(x* ij, y*ij) 

FIGURA 4 FIGURA 5

V

m

i1

n

j1

fxij*, yij*A 3

fxij*, yij*A

fxij*, yij*

xij*, yij*

FIGURA 3

División de R ensubrectángulos

(x*_£™, y*_£™) yj _ 1

yj

xi xi _ 1 y

x d

c ›

0 ⁄ ¤

Rij

a

(x*

ij, y*ij) (xi, yj)

Î x Î y

Rijxi1, xiyj1, yjx, y

La intuición dice que la aproximación dada en (3) es mejor cuando my ncrecen y, por lo tanto, se esperaría que

Se usa la expresión de la ecuación 4 para definir el volumen del sólido Sque yace debajo de la gráfica de fy arriba del rectángulo R. (Se puede demostrar que esta definición es congruen-te con la fórmula para el volumen de la sección 6.2.)

Los límites del tipo que aparece en la ecuación 4 ocurren con frecuencia, no sólo para hallar volúmenes, sino también en diversas situaciones, como se verá en la sección 15.5, incluso cuando fno es una función positiva. Así, se hace la siguiente definición.

DEFINICIÓN La integral doble de fsobre el rectángulo Res

si existe el límite.

El significado preciso del límite en la definición 5 es que para todo número 0 hay un entero Ntal que

para los enteros m ynmayores que Ny para cualquier elección de puntos muestrales en

Una función f se denomina integrablesi existe el límite en la definición 5. En cursos de cálculo avanzado se demuestra que todas las funciones continuas son integrables. De hecho, la integral doble de f existe siempre que f “no sea demasiado discontinua”. En particular, si festá acotada [esto es, hay una constante Mtal que f(x,y)Mpara toda (x,y) en R], y f es continua ahí, excepto en un número finito de curvas suaves, entonces fes integrable so-bre R.

Se puede elegir que el punto muestral sea cualquier punto en el subrectángulo Rij, pero si se elige que sea la esquina superior derecha de Rij[a saber,xi,yj, véase

figu-ra 3], entonces la expresión pafigu-ra la integfigu-ral doble se simplifica:

Al comparar las definiciones 4 y 5, es obvio que un volumen puede expresarse como una integral doble:

Si fx,y0, entonces el volumen Vdel sólido que yace arriba del rectángulo Ry debajo de la superficie zfx,yes

V

yy

R

fx, ydA

yy

R

fx, ydA lím

m, nl

i1

n

j1

fxi, yjA 6

xij*, yij*

Rij.

xij*, yij*

yy

R

fx, ydA

m

i1

n

j1

fxij*, yij*A

yy

R

fx, ydA lím

m, nl

i1

n

j1

fxij*, yij*A 5

V lím

m, nl

i1

n

j1

fxij*, yij*A 4

&El significado del límite doble en la ecuación 4 es que la suma doble se puede hacer tan cercana como se desee al número V[para cualquier elección de en Rij ] al tomar

my nsuficientemente grandes.

xij*, yij*

&Observe la similitud entre la definición 5 y la definición de una integral simple en la ecuación 2.

La suma de la definición 5,

se llama suma de Riemann dobley se emplea como una aproximación del valor de la in-tegral doble. [Observe la similitud con la suma de Riemann en (1) para una función de una sola variable.] Si sucede que fes una función positiva, entonces la suma de Riemann doble representa la suma de volúmenes de columnas, como en la figura 5, y es una aproximación del volumen bajo la gráfica de f y arriba del rectángulo R.

EJEMPLO 1 Estime el volumen del sólido que yace arriba del cuadrado

R0, 20, 2y debajo del paraboloide elíptico z16 x2 2y2

. Divida Ren cuatro cuadrados iguales y elija el punto muestral como la esquina superior derecha de cada cuadrado Rij. Bosqueje el sólido y las cajas rectangulares de aproximación.

SOLUCIÓN Los cuadrados se muestran en la figura 6. El paraboloide es la gráfica de fx,y16 x2

2y2

y el área de cada cuadrado es 1. Al aproximar el volumen mediante la suma de Riemann con mn2, se tiene

Éste es el volumen de las cajas rectangulares de aproximación mostradas en la figura 7.

Se obtienen mejores aproximaciones para el volumen del ejemplo 1 si se incrementa el número de cuadrados. En la figura 8 se muestra cómo las columnas comienzan a verse más como sólidos reales y las aproximaciones correspondientes se vuelven más exactas cuando se usan 16, 64 y 256 cuadrados. En la siguiente sección se podrá mostrar que el volumen exacto es 48.

EJEMPLO 2 Si , evalúe la integral

yy

R

s1x2_dA

Rx, y

FIGURA 8

Las aproximaciones desuma de Riemann al volumen debajo de z = 16 - ≈ - 2¥ se vuelven más

exactascuandose incrementan m y n. (a)m=n=4, VÅ41.5 (b)m=n=8, VÅ44.875 (c)m=n=16, VÅ46.46875

131711014134

f1, 1Af1, 2Af2, 1Af2, 2A

V

2

i1

j1

fxi, yjA

V

i1

n

j1

fxij*, yij*A

954 | | | | CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES

0 y

1 2

x

1 2

(2, 2)

R¡™ R™™

R¡¡ R™¡

(2, 1) (1, 1)

(1, 2)

FIGURA 6

FIGURA 7 x

y z

16

2

PROPIEDADES DE INTEGRALES DOBLES

Se listan aquí tres propiedades de integrales dobles que se pueden probar de la misma ma-nera que en la sección 5.2. Se supone que todas las integrales existen. Las propiedades 7 y 8 se conocen como linealidadde la integral.

donde ces una constante

Si fx,ytx,ypara toda x,yen R, entonces

yy

R

fx, ydA

yy

R

tx, ydA

9

yy

R

c fx, ydAc

yy

R

fx, ydA

8

yy

R

fx, ytx, ydA

yy

R

fx, ydA

yy

R

tx, ydA

7

(b) Estime la integral doble con mn4 y elija los puntos más alejados del origen como los puntos muestrales.

6. Una alberca de 20 pies por 30 pies se llena con agua. La pro-fundidad se mide a intervalos de 5 pies, empezando en una esquina de la alberca, y se registran los valores en una tabla. Estime el volumen de agua en la alberca.

Sea Vel volumen del sólido que yace debajo de la gráfica de y arriba del rectángulo dado por 2 x4, 2 y6. Use las líneas x3 y y4 para dividir

fx, ys52x2_y2 7.

(a) Estime el volumen del sólido que yace debajo de la su-perficie zxyy arriba del rectángulo

,

Use una suma de Riemann con m3,n2 y tome el punto muestral como la esquina superior derecha de cada cuadrado.

(b) Use la regla del punto medio para estimar el volumen del sólido del inciso (a).

2. Si , use una suma de Riemann con

m4,n2 para estimar el valor de . To-me las esquinas superiores izquierdas de los cuadrados como los puntos muestrales.

3. (a) Use una suma de Riemman con mn2 para estimar el valor de , donde R0,0,. To-me las esquinas inferiores izquierdas como los puntos muestrales.

(b) Use la regla del punto medio para estimar la integral del in-ciso (a).

4. (a) Estime el volumen del sólido que yace debajo de la superficie zx2y2_{y arriba del rectángulo R0, 20, 4. Use} una suma de Riemann con mn2 y elija a las esquinas inferiores derechas como los puntos muestrales.

(b) Use la regla del punto medio para estimar el volumen del inciso (a).

5. Se da una tabla de valores para una función fx,ydefinida en R1, 30, 4.

(a) Estime por medio de la regla del punto medio con mn2.

xx

xx

xx

2

2x2 dA R1, 30, 2

0y4 Rx, y

1.

E J E R C I C I O S

15.1

2

3

4

5

7 0

1

3

5

8 3 4

0

3

6

6

8 5 1

3 5 6

8 4

0

x y 0 1 2 3 4

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 5 10 15 20 25 30

0 2 3 4 6 7 8 8

5 2 3 4 7 8 10 8

10 2 4 6 8 10 12 10

15 2 3 4 5 6 8 7

20 2 2 2 2 3 4 4

INTEGRALES ITERADAS

Recuerde que por lo común es difícil evaluar integrales simples directamente de la defini-ción de una integral, pero el teorema fundamental del cálculo provee un método mucho más fácil. La evaluación de integrales dobles a partir de primeros principios es incluso más

15.2

SECCIÓN 15.2 INTEGRALES ITERADAS | | | | 959

11–13 Evalúe la integral doble identificándola primero como el vo-lumen de un sólido.

11.

12.

14. La integral , donde ,

representa el volumen de un sólido. Bosqueje el sólido. 15. Use una calculadora programable o computadora (o el

coman-do sum en un CAS) para estimar

donde R0, 10, 1. Use la regla del punto medio con los siguientes números de cuadrados de igual tamaño: 1, 4, 16, 64, 256 y 1 024.

16. Repita el ejercicio 15 para la integral . Si fes una función constante,fx,yk, yRa,bc,d, demuestre que

18. Utilice el resultado del ejercicio 17 para demostrar que

donde R0, 14 1 4,

1 2. 0

yy

R

sen px cos py dA 1 32

xx

17.

xx

yy

R

s1xey

dA

R0, 40, 2

xx

2 _dA

xx

13.

xx

xx

16

16 20

24

20 24

24

28

24

32

28

32

3236 40 44

44

4440 36

32

48

48 52₅₆ 52

56 44 a R en subrectángulos. Sean Ly Ulas sumas de Riemann

calcu-ladas por medio de las esquinas inferiores izquierdas y las esquinas superiores derechas, respectivamente. Sin calcular los números V,Ly U, dispóngalos en orden creciente y explique su razonamiento.

8. En la figura se muestran las curvas de nivel de una función fen el cuadrado R[0, 2] [0, 2]. Use la regla del punto

medio con mn2para estimar ¿Cómo

podría mejorar su estimación?

Se muestra un mapa de contornos para una función fen el cua-drado R0, 40, 4.

(a) Use la regla del punto medio con mn2 para estimar

el valor de .

(b) Estime el valor promedio de f.

10. En el mapa de contornos se muestra la temperatura, en gra-dos Fahrenheit, a las 4:00 P.M. del 26 de febrero de 2007, en Colorado. (El estado mide 388 millas de este a oeste y 276 millas de norte a sur.) Use la regla del punto medio con mn4 para estimar la temperatura promedio en Colorado a esa hora.

y

0 2 4

2 4 x

10

10

10 20

20

30

30 0 0

xx

9.

y

0 _{1 2} x

5 6 7

1 2

1 2

3 4

difícil, pero en esta sección se ve cómo expresar una integral doble como una integral ite-rada, que se puede evaluar entonces calculando dos integrales simples.

Suponga que fes una función de dos variables que es integrable en el rectángulo R

a,bc,d. Se usa la notación para indicar que xse mantiene fija y fx,y se integra con respecto a yde yca yd. Este procedimiento se llama integración par-cial con respecto a y. (Observe su similitud con la derivación parcial.) Ahora

es un número que depende del valor de x, así que define una función de x:

Si ahora se integra la función Acon respecto a xde xaa xb, se obtiene

La integral del lado derecho de la ecuación 1 se llama integral iterada. Por lo común, se omiten los corchetes. Así,

indica que primero se integra con respecto a yde ca d,y luego con respecto a xde aa b. De manera similar, la integral iterada

significa que primero se integra con respecto a x(manteniendo fija a y) de xaa x by después se integra la función resultante de ycon respecto a yde yca yd. Observe que en las ecuaciones 2 y 3 se trabaja de dentro hacia fuera.

EJEMPLO 1 Evalúe las integrales iteradas.

(a) (b)

SOLUCIÓN

(a) Si se considera a xconstante, se obtiene

Así, la función Aen la explicación anterior está dada por en este ejemplo. Ahora integrará esta función de xde 0 a 3:

y

0 3 2x

2

dx x

3 2

3

27

2

y

0

y

2

ydydx

y

0

y

2

ydy

2

x2 2

2

2

2 1 2

2

3 2x

2

y

2

ydy

y2

y

y

3 0 x

2

ydxdy

y

0

y

2

ydydx

y

c

y

a fx, ydxdy

y

y

b

a fx, ydx

y

y

d

c fx, ydydx

y

y

d

c fx, ydy

y

a Axdx

y

y

d

c fx, ydy

Ax

y

c fx, ydy

x

c fx, ydy

x

(b) Aquí se integra primero con respecto a x:

Observe que en el ejemplo 1 se obtiene la misma respuesta si se integra primero con respecto a yo x. En general, resulta (véase teorema 4) que las dos integrales iteradas de las ecuaciones 2 y 3 son siempre iguales; es decir, no importa el orden de integra-ción. (Esto es similar al teorema de Clairaut en la igualdad de las derivadas parciales mixtas.)

En el siguiente teorema se da un método práctico para evaluar una integral doble expre-sándola como una integral iterada (en cualquier orden).

TEOREMA DE FUBINI Si fes continua en el rectángulo

, , entonces

En términos generales, esto es cierto si se supone que festá acotada en R,fes discontinua sólo en un número finito de curvas uniformes y existen integrales iteradas.

La demostración del teorema de Fubini es muy difícil para incluirla en este libro, pero al menos se puede dar una indicación intuitiva de por qué se cumple para el caso don-de fx,y0. Recuerde que fes positiva, entonces se puede interpretar la integral doble como el volumen Vdel sólido Sque yace arriba de Ry debajo de la superfi-cie zfx,y. Pero se tiene otra fórmula que se usó para el volumen en el capítulo 6, a saber,

donde Axes el área de una sección transversal de Sen el plano que pasa por xy es per-pendicular al eje x. De la figura 1 se puede ver que Axes el área bajo la curva Ccuya ecuación es zfx,y, donde xse mantiene constante y cyd. Por lo tanto

y tiene

Un argumento similar, con secciones transversales perpendiculares al eje ycomo en la figura 2, muestra que

yy

R

fx, ydA

y

c

y

a fx, ydxdy

yy

R

fx, ydAV

y

a Axdx

y

y

d

c fx, ydydx

Ax

y

c fx, ydy

V

y

a Axdx

xx

yy

R

fx, ydA

y

a

y

c fx, ydydx

y

y

b

a fx, ydxdy

cyd Rx, y

4

y

1 9ydy9

y2 2

2

27

2

y

1

y

2

ydxdy

y

1

y

2

ydx

y

2 1

x3 3 y

x3

dy

SECCIÓN 15.2 INTEGRALES ITERADAS | | | | 961

FIGURA 1

x

0 z

a x

b

y &El nombre del teorema 4 es en honor al matemático italiano Guido Fubini (1879-1943), quien demostró una versión muy general de este teorema en 1907. Pero casi un siglo antes, el matemático francés Augustin-Louis Cauchy tenía conocimiento de la versión para funciones continuas.

Visual 15.2 ilustra el teorema de Fubini mostrando una animación de las figuras 1 y 2.

TEC

FIGURA 2

x

0 z

y

y c

EJEMPLO 2 Evalúe la integral doble , donde

, . (Compare con el ejemplo 3 de la sección 15.1.) SOLUCIÓN 1 El teorema de Fubini da

SOLUCIÓN 2 Al aplicar de nuevo el teorema de Fubini, pero esta vez integrando primero con respecto a x, se obtiene

EJEMPLO 3 Evalúe , donde R1, 20,.

SOLUCIÓN 1 Si se integra primero con respecto a x, se obtiene

SOLUCIÓN 2 Si se invierte el orden de integración, se obtiene

Para evaluar la integral interna se emplea la integración por partes con

y, por lo tanto,

cos x

x

sen x x2

cos x

x

1

x2 [senxy

]

y

y

0 ysenxydy

ycosxy x

y

1

x

y

0 cosxydy

vcosxy

x dudy

dvsenxydy uy

yy

R

ysenxydA

y

1

y

0 ysenxydydx

1

2 sen 2ysen y

]

0

y

0 cos 2ycos ydy

y

0 [cosxy

]

x2

dy

yy

R

ysenxydA

y

0

y

1 ysenxydxdy

xx

V

y

1 26y 2

dy2y2y3

_]

12

y

1

x2 2 3xy

2

x0

x2

dy

yy

R

x3y2

dA

y

1

y

0 x3y 2

dxdy

y

0 x7dx

x2

2 7x

12

y

0

[

]

y

1

y2

dx

yy

R

x3y2

dA

y

0

y

1 x3y 2

dydx 1y2

Rx, y

xx

2

dA V

FIGURA 3

R 0

_12

0 0.5 1 1.5 2 2 1 0

y x

z _4

_8 z=x-3¥

FIGURA 4

1

_1

y 1 0

3

2 2

1 x z

& Observe la respuesta negativa del ejemplo 2; no hay nada malo con eso. La función fen ese ejemplo no es una función positiva, así que su integral no representa un volumen. De la figura 3 se ve que fes siempre negativa en R, así que el volumen de la integral es el negativo del volumen que yace arriba de la gráfica de fy abajo de R.

&Para una función fque toma valores positi-vos y negatipositi-vos, es una diferen-cia de volúmenes: , donde es el volumen arriba de y abajo de la gráfica de f, y es el volumen debajo de Ry arriba de la gráfica. El hecho de que la integral del ejemplo 3 sea significa que estos dos volúmenes son iguales (véase figura 4).

0

V2

R

V1

V1V2

Si ahora se integra el primer término por partes con u1xy dvcos x dx, se ob-tiene dudxx2

,vsen x, y

Por lo tanto,

y entonces

EJEMPLO 4 Encuentre el volumen del sólido Sacotado por el paraboloide elíptico

x2 2y2

z16, los planos x2 y y2 y los tres planos coordenados.

SOLUCIÓN Primero se observa que Ses el sólido que yace debajo de la superficie z16 x2

2y2

y arriba del cuadrado R0, 20, 2. (Véase figura 5.) Este sólido se consideró en el ejemplo 1 de la sección 15.1, pero ahora se está en posición de evaluar la integral doble por medio del teorema de Fubini. Por lo tanto

En el caso especial donde fx,yse puede factorizar como el producto de una función de xy una función de y, la integral doble de fse puede escribir en una forma particular-mente simple. Para ser específicos, suponga que fx,ytxhyy Ra,bc,d. Entonces el teorema de Fubini da

En la integral interna y es una constante, así que hy es una constante y se puede escribir

puesto que es una constante. Por lo tanto, en este caso, la integral doble de fse puede escribir como el producto de dos integrales simples:

donde Ra, bc, d

yy

R

txhydA

y

a txdx

y

x

y

a txdx

y

y

y

b

a txhydx

y

c

y

a txdx

yy

R

fx, ydA

y

c

y

a txhydxdy

y

y

b

a txhydx

y

0

(

3 4y 2

₎

dy

[

3

_]

48

y

0

[

3 2y2

x

]

x2

dy V

yy

R

16x2 2y2

dA

y

0

y

0 16x 2

2y2

dxdy V

sen 2

2 sen 0

y

y

0 ysenxydydx

x

2

y

x

sen x

x2

x

y

x

senx

x

y

sen x x2 dx

SECCIÓN 15.2 INTEGRALES ITERADAS | | | | 963

FIGURA 5 4

0 ₁

2 2 1

0

y x

z 16

12

8

0

EJEMPLO 5 Si R0,20,2, entonces. mediante la ecuación 5 FIGURA 6 y x z 0

[

]

2

_[sen

y

]

2

111

yy

R

sen x cos ydA

y

0 sen xdx

y

2

0 cos ydy

& La función en el ejemplo 5 es positiva en R, así que la integral representa el volumen del sólido que yace arriba de Ry abajo de la gráfica de fmostrada en la figura 6.

fx, ysen xcos y

18. ,

,

20. ,

21. ,

22. ,

23–24 Bosqueje el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada.

24.

25. Encuentre el volumen del sólido que yace debajo del plano 3x2yz12 y arriba del rectángulo

.

26. Determine el volumen del sólido que yace debajo del parabo-loide hiperbólico z4 x2

y2

y arriba del cuadrado R1, 10, 2.

Rx, y

y

0

y

02x

2_y2_{dy dx}

y

0

y

04x2y dx dy 23.

R1, 20, 1

yy

R

x x2_y2 dA

R0, 10, 2

yy

R

xyex2y _dA

R0, 10, 1

yy

R

x 1xy dA

R0, 60, 3

yy

R

xsenxy dA

19.

Rx, y

yy

R

1x2 1y2 dA

1–2 Determine y .

1. 2.

3–14 Calcule la integral iterada.

4. 5. 6. 7. 8. 10. 11. 12. 13. 14.

15–22 Calcule la integral doble.

15. ,

16. ,

, Rx, y

yy

R

xy2 x2

1 dA

17.

Rx, y

yy

R

cosx2y dA

Rx, y

yy

y

y

0 sstds dt

y

0

y

0 r sen 2

u du dr

y

y

1

0 xy sx

2_y2 _{dy dx}

y

0

y

0 uv

5 du dv

y

y

3

0 e

x3y

dx dy

y

y

9.

y

y

y dy dx

y

0

y

0

2xy8 _{dx dy}

y

y

5

1cos y dy dx

y

0

y

0 x sen y dy dx

y

y

2

1 4x

3_9x2_y2 _{dy dx}

y

1

y

0 14xy dx dy 3.

f (x,y)yxey

fx, y12x2 y3

x

0 fx, y dy

x

0 fx, y dx

E J E R C I C I O S

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES

Para integrales simples, la región sobre la que se integra es siempre un intervalo. Pero pa-ra integpa-rales dobles, se desea poder integpa-rar una función fno sólo sobre rectángulos, sino también sobre regiones Dde forma más general, como la que se ilustra en la figura 1. Se supone que Des una región acotada, lo que significa que Dpuede ser encerrada en una región rectangular Rcomo en la figura 2. Entonces se define una nueva función Fcon do-minio Rmediante

0 y

x D

y

0 x

D R

FIGURA 2 FIGURA 1

Fx, y

fx, y si si

x, y está en D

x, y está en R pero no en D

1

15.3

SECCIÓN 15.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES | | | | 965

34. Dibuje el sólido que yace entre las superficies y z2 x2

y2

para , . Use un sistema algebraico computacional para aproximar el volumen de este sólido correcto hasta cuatro decimales.

35–36 Encuentre el valor promedio de fsobre el rectángulo dado.

fx,yx2

y,Rtiene vértices 1, 0,1, 5,1, 5,1, 0

36. ,

37. Use un CAS para calcular las integrales iteradas

y

¿Las respuestas contradicen al teorema de Fubini? Explique lo que sucede.

38. (a) ¿En qué forma los teoremas de Fubini y Clairaut son similares?

(b) Si fx,yes continua en a,bc,dy

para a< x< b,c< y< d, demuestre que txytyxfx,y.

tx, y

y

a

y

c fs, t dt ds

y

y

1

0 xy xy3 dx dy

y

0

y

0 xy xy3 dy dx

CAS

R0, 40, 1 fx, yey_sxey

35.

x

zex2

cos x2 y2

CAS Encuentre el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide elíptico x2_{4 y}2_{9 z1 y arriba del rectángulo}

.

28.Encuentre el volumen del sólido encerrado por la superficie z1 ex

sen yy los planos x1,y0,yy z0. 29. Determine el volumen del sólido acotado por la superficie

zxsec2_{y y los planos z0,x0,x2,y0} y z0.

30. Encuentre el volumen del sólido del primer octante limitado por el cilindro z16 x2

y el plano y5.

31. Encuentre el volumen del sólido encerrado por el paraboloide z2 x2

(y2)2

y los planos z1,x1,x1, y 0, y y4.

;32. Grafique el sólido que se encuentra entre la superficie z2xy/(x2_{1) y el plano zx2yy está acotado por los} planos x0,x2,y0, y y4. A continuación encuentre su volumen.

33. Use un sistema algebraico computacional para hallar el valor exacto de la integral , donde R0, 10, 1. Después use el CAS para dibujar el sólido cuyo volumen está dado por la integral.

xx

5_y3_ex y_dA

CAS

R1, 12, 2

Si la integral doble de Fexiste sobre R, entonces se define la integral doble de fsobre Dmediante

donde Festá dada por la ecuación 1

La definición 2 tiene sentido porque Res un rectángulo y, por lo tanto, ha sido definida previamente en la sección 15.1. El procedimiento que se usó es razonable, porque los valores de Fx,yson 0 cuando x,yestá fuera de Dy, por consiguiente, no contribuyen con la integral. Esto significa que no importa qué rectángulo Rse use, siem-pre y cuando contenga a D.

En el caso que fx,y0 aún se puede interpretar a como el volumen del sólido que yace arriba de Dy debajo de la superficie zfx,y(la gráfica de f). Se puede ver que esto es razonable si se comparan las gráficas de fy Fen las figuras 3 y 4 y se recuerda que es el volumen debajo de la gráfica de F.

En la figura 4 se muestra también que es probable que Ftenga discontinuidades en los puntos límite de D. Sin embargo, si fes continua en Dy la curva límite de Dtiene un “buen comportamiento”en un sentido fuera del alcance de este libro, entonces se puede demos-trar que existe y, por lo tanto, existe. En particular, éste es el caso para los siguientes tipos de regiones.

Se dice que una región plana es de tipo Isi yace entre las gráficas de dos funciones con-tinuas de x, es decir,

donde t1y t2son continuas en a,b. Algunos ejemplos de regiones tipo I se muestran en la figura 5.

A fin de evaluar cuando Des una región de tipo I, se elige un rectángulo Ra,bc,dque contiene a D, como en la figura 6, y sea Fla función dada por la ecuación 1; es decir,Fconcuerda con fen Dy Fes 0 fuera de D. Entonces, por el teore-ma de Fubini,

Observe que Fx,y0 si yg1xo yg2xporque entonces x,yestá fuera de D. Por lo tanto

y

c Fx, ydy

y

Fx, ydy

y

t1x

fx, ydy

yy

D

fx, ydA

yy

R

Fx, ydA

y

a

y

c Fx, ydydx

xx

FIGURA 5 Algunas regiones tipo I

0 y

x b a

D y=g™(x)

y=g¡(x)

0 y

x b a

D y=g™(x)

y=g¡(x)

0 y

x b a

D y=g™(x)

y=g¡(x)

Dx, y

xx

xx

xx

xx

xx

yy

D

fx, ydA

yy

R

Fx, ydA

2

y 0

z

x

D

gráfica de f

FIGURA 3

FIGURA 6 d

0 x

y

b x

a c

y=g¡(x) D

y=g™(x)

FIGURA 4

y 0

z

x

D

porque Fx,yfx,ycuando t1xyt2x. Así, se tiene la siguiente fórmula que permite evaluar la integral doble como una integral iterada.

Si fes continua en una región Dtipo I tal que

entonces

La integral del lado derecho de (3) es una integral iterada que es similar a las con-sideradas en la sección anterior, excepto que en la integral interna se considera a x co-mo una constante no sólo en fx,ysino también en los límites de integración,t1xy

t2x.

Se consideran también las regiones planas de tipo II, que se pueden expresar como

donde h1y h2son continuas. En la figura 7 se ilustran dos regiones de este tipo.

Si se usan los métodos que se emplearon para establecer (3), se puede demostrar que

donde Des una región de tipo II dada por la ecuación 4.

EJEMPLO 1 Evalúe , donde Des la región acotada por las parábolas

y2x2

y y1 x2 .

SOLUCIÓN Las parábolas se cortan cuando 2x2 1 x2

, es decir,x2

1, por lo tanto x1. Se nota que la región D, bosquejada en la figura 8, es una región de tipo I, pero no una región de tipo II y se puede escribir

Puesto que el límite inferior es y2x2

y el límite superior es y1 x2

, la ecuación 3 da

3 x

5

5

x4

4 2

x3

3

x2

2 x

32

15

y

13x 4

x3 2x2

x1dx

y

1x1x 2

1x22

x2x2 2x22

dx

y

1

[

]

y2x2

y1x2

dx

yy

D

x2ydA

y

1

y

2x2 x2ydydx

Dx, y

y1x2

xx

V

yy

D

fx, ydA

y

c

y

fx, ydxdy

5

Dx, y

4

yy

D

fx, ydA

y

a

y

fx, ydydx Dx, y

3

SECCIÓN 15.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES | | | | 967

FIGURA 7

Algunas regiones de tipo II d

0 x

y

c

x=h¡( y) D x=h™( y) d

0 x

y

c

x=h¡( y)

D x=h™( y)

x 1 _1

y

(_1, 2) (1, 2)

D

y=2≈ y=1+≈

Cuando se establece una integral doble como en el ejemplo 1, es esencial di-bujar un diagrama. A menudo es útil didi-bujar una flecha vertical como en la figura 8. En-tonces los límites de integración de la integral internase leen del diagrama como sigue: la flecha comienza en el límite inferior yt1x, que da el límite inferior en la integral, y la flecha termina en el límite superior yt2x, que da el límite superior de integra-ción. Para una región tipo II, la flecha se traza horizontalmente del límite izquierdo al derecho.

EJEMPLO 2 Encuentre el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide

zx2

y2

y arriba de la región Den el plano xyacotado por la línea y2xy la parábola yx2

.

SOLUCIÓN 1 En la figura 9 se ve que Des una región de tipo I y

Por lo tanto, el volumen debajo de zx2_y2_{y arriba de Des}

SOLUCIÓN 2 De la figura 10 se ve que Dse puede escribir también como una región tipo II:

Por lo tanto, otra expresión para Ves

EJEMPLO 3 Evalúe donde Des la región acotada por la línea yx1 y la

parábola y2_2x6.

SOLUCIÓN La región Dse muestra en la figura 12. De nuevo Des tipo I y tipo II, pero la descripción de Dcomo una región de tipo I es más complicada porque el límite inferior consta de dos partes. Por lo tanto, se prefiere expresar a Dcomo una región tipo II:

D

{

3xy1

}

xx

V

2

15y 522

7y 7213

96y 4

]

0 4

216

35

y

0

x3

3 y

2

x

x1 2y xsy

dy

y

4 0

y32

3 y

52 y 3

24

y3 2

yy

D

x2_y2_dA

y

y

sy 1 2y

x2_y2_dxdy

D

{

}

y

0 x6

3 x

4 14x 3

3

x7

21

x5

5

7x4 6

2

216

35

y

0

x2_y y 3 3

y2x

dx

y

2 0

x2_2x 2x 3

3 x

2_x2 x 23

3

V

yy

D

x2

y2

dA

y

0

y

2

y2

dydx

Dx, y

NOTA

FIGURA 10

D como una región tipo II

FIGURA 9

D es una región de tipo I y

0 _{1 2} x

(2, 4)

D

y=≈ y=2x

x=œ„y

1 2

x= y y

4

0 x

D

(2, 4)

&En la figura 11 se muestra el sólido cuyo volumen se calculó en el ejemplo 2. Yace arriba del plano xy, debajo del paraboloide zx2_y2_,

y entre el plano y2xy el cilindro parabólico

yx2_.

FIGURA 11

y x

z

¥

Entonces (5) da

Si se hubiera expresado a Dcomo una región de tipo I por medio de la figura 12(a), en-tonces se habría obtenido

pero esto habría requerido más trabajo que el otro método.

EJEMPLO 4 Encuentre el volumen del tetraedro acotado por los planos x2yz2,

x2y,x0 y z0.

SOLUCIÓN En una pregunta tal como ésta, es aconsejable dibujar dos diagramas: una del sólido tridimensional y otra de la región plana Dsobre la cual yace. En la figura 13 se muestra el tetraedro Tacotado por los planos coordenados x0,z0, el plano vertical x2yy el plano x2yz2. Puesto que el plano x2yz2 corta al plano xy(cuya ecuación es z 0) en la línea x2y2, se ve que Testá arriba de la región triangular Den el plano xyacotado por las líneas x2y,x2y2 y x0. (Véase figura 14.)

El plano x2yz2 se puede escribir como z2 x2y, así que el volumen requerido se localiza debajo de la gráfica de la función z2 x2yy arriba de

D

{

}

yy

D

xydA

y

3

y

s2x6xydydx

y

y

s2x6

x1 xydydx

1

2

y6

24 y

4 2 y

3 3 4y

2

36

1

2

y

y5 4 4y

3 2y2

8y

1

2

y

2y

[

(

2y 2

3

)

]

dy

yy

D

xydA

y

2

y

y1

1 2y23

xydxdy

y

4 2

x2 2 y

2y23 xy1

dy FIGURA 12

(5, 4)

0 y

x _3

y=x-1

(_1, _2) y=_ œ„„„„„2x+6

y=œ„„„„„2x+6

(a)Dcomo una región de tipo I (b)Dcomo una región de tipo II

x=       -3¥₂

(5, 4)

x=y+1

(_1, _2) 0 y

x

_2

SECCIÓN 15.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES | | | | 969

FIGURA 13

(0, 1, 0) (0, 0, 2)

y

x 0

z

x+2y+z=2 x=2y

”1,  , 0’₂1 T

FIGURA 14

y=x₂ ”1,   ’₂1 x+2y=2 ”o y=1-    ’₂x

D y

0 1

Por consiguiente,

EJEMPLO 5 Evalúe la integral iterada .

SOLUCIÓNSi se intenta evaluar la integral como está, se enfrenta la tarea de evaluar prime-ro . Pero es imposible hacerlo en términos finitos, puesto que

no es una función elemental. (Véase el fin de la sección 7.5.) Así que se debe cambiar el orden de integración. Esto se lleva a cabo al expresar primero la integral iterada dada como una integral doble. Si se usa (3) hacia atrás, se tiene

donde

Se bosqueja esta región Den la figura 15. Después, de la figura 16 se ve que una des-cripción alternativa de Des

Esto permite usar 5para expresar la integral doble como una integral iterada en el orden inverso:

PROPIEDADES DE INTEGRALES DOBLES

Se supone que todas las siguientes integrales existen. Las tres primeras propiedades de las integrales dobles sobre una región Dse deducen de inmediato de la definición 2 y las pro-piedades 7, 8 y 9 en la sección 15.1.

yy

D

c fx, ydAc

yy

D

fx, ydA

7

yy

D

fx, ytx, ydA

yy

D

fx, ydA

yy

D

tx, ydA

6

1

21cos 1

y

0 yseny 2

dy12 cosy 2

]

0 1

y

0

y

y

0 seny 2

dxdy

y

0

[

]

x0

x y

dy

y

0

y

x seny

2

dydx

yy

D

seny2

dA

Dx, y

y

0

y

x seny

2

dydx

yy

D

seny2

dA

x

dy

x

dy

x

x

1

x seny

2

dydx V

y

0 x 2

2x1dx x

3

3 x

2

x

0 1

1

3

y

0

2xx 1 x

2

x 2

2

x x

2

2

x2 4

y

0

[

]

yx2

y1x2

dx V

yy

D

2x2ydA

y

0

y

x2 2x2ydydx

1 x

0 y

D

y=1

y=x

x 0

y

1

D x=0

x=y

FIGURA 16

D como una región de tipo II

FIGURA 15

Si fx,ytx,ypara toda x,yen D, entonces

La siguiente propiedad de las integrales dobles es similar a la propiedad de las

inte-grales simples dada por la ecuación .

Si DD1D2, donde D1y D2no se traslapan excepto quizá en sus límites (véase figura 17), entonces

La propiedad 9 se puede usar para evaluar las integrales dobles en las regiones Dque no son ni tipo I ni II, pero se pueden expresar como una unión de regiones de tipo I o ti-po II. En la figura 18 se ilustra este procedimiento. (Véase los ejercicios 51 y 52.)

La siguiente propiedad de las integrales establece que si se integra la función constan-te fx,y1 sobre una región D, se obtiene el área de D:

En la figura 19 se ilustra por qué es cierta la ecuación 10: un cilindro sólido cuya base es Dy cuya altura es 1 tiene un volumen AD 1 AD, pero se sabe que su volumen se puede escribir también como .

Por último, se pueden combinar las propiedades 7, 8 y 10 para probar la siguiente pro-piedad. (Véase el ejercicio 57.)

Si mfx,yMpara toda x,yen D, entonces

mAD

yy

D

fx, ydAMAD

11

xx

yy

D

1 dAAD

10

FIGURA 18

x 0

y

D

(a) D no es tipo I ni tipo II.

x 0

y

D¡ D™

(b)D=D¡ D™, D¡ es tipo I, D™ es tipo II.

yy

D

fx, ydA

yy

D1

fx, ydA

yy

D2

fx, ydA

9

x

a fxdx

x

afxdx

x

yy

D

fx, ydA

yy

D

tx, ydA

8

SECCIÓN 15.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES | | | | 971

0 y

x D

D¡ D™

FIGURA 17

FIGURA 19

Cilindrocon base D y altura 1

D y

0 z

x

EJEMPLO 6 Use la propiedad 11 para estimar la integral , donde Des el disco con centro en el origen y radio 2.

SOLUCIÓN Como 1 sen x1 y 1 cos y1, se tiene 1 sen xcos y1 y, por lo tanto,

Así, con me1

1e,Mey AD22

en la propiedad 11, se obtiene

4 e

yy

D

esen x cos y

dA4e e1

esen x cos y

e1

e

xx

sen x cos y

dA

Destá acotada por el círculo con centro en el origen y radio 2.

18. es la región triangular con vértices 0, 0,1, 2y 0, 3.

19–28 Encuentre el volumen del sólido dado.

19. Debajo del plano x2yz0 y arriba de la región acotada por yxy yx4_.

20. Debajo de la superficie z2xy2

y arriba de la región acota-da por xy2_yxy3_.

Debajo de la superficie zxyy arriba del triángulo con vérti-ces 1, 1,4, 1y 1, 2.

22. Encerrado por el paraboloide zx2 3y2

y los planos x0,y1,yx,z0.

23. Acotado por los planos coordenados y el plano 3x2yz6.

24. Acotado por los planos zx,yx,xy2 y z0. 25. Acotado por los cilindros zx2

,yx2

y los planos z0, y4.

26. Acotado por el cilindro y2

z2

4 y los planos x2y, x0,z0 en el primer octante.

27. Acotado por el cilindro x2

y2

1 y los planos yz, x0,z0 en el primer octante.

28. Acotado por los cilindros x2

y2

r2 y y2

z2

r2 .

;29. Use una calculadora o computadora para estimar las coordena-das xde los puntos de intersección de las curvas yx4

y y3xx2_{. Si Des la región acotada por estas curvas, estime}

.

xx

21.

yy

D

2xy dA, D

yy

D

2xy dA,

17.

1–6 Evalúe la integral iterada.

1. 2.

3. 4.

6.

7–18 Evalúe la integral doble.

7.

8.

9.

10.

11.

12. ,

, Destá acotada por y0,yx2 ,x1.

14. , Destá acotada por

15. ,

Des la región triangular con vértices 0, 2,1, 1y 3, 2. 16.

yy

D

xy2 _{dA, D está encerrada por x0 y xs1y}2

yy

D

y3 dA

ysx y yx2

yy

D

xy dA

yy

D

xcos y dA

13.

Dx, y

yy

D

xsy2_x2 _dA

Dx, y

yy

D

y2 exy

dA,

yy

D

x3 dA, Dx, y

yy

D

x dA, D

{

}

yy

D

y

x5₁ dA, Dx, y

yy

D

y2 _{dA, Dx, y}

y

y

v

0s1v 2 _{du dv}

y

0

y

cos

0 e

sen _{dr d} 5.

y

y

2y y xy dx dy

y

y

x

x2 (12y) dy dx

y

y

2

2x (xy) dy dx

y

y

sy

0 xy 2 _{dx dy}

E J E R C I C I O S

SECCIÓN 15.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES | | | | 973

51–52 Exprese a Dcomo una unión de regiones del tipo I o tipo II y evalúe la integral.

52.

53–54 Use la propiedad 11 para estimar el valor de la integral.

53. Qes el cuarto de círculo con centro en el

origen y radio en el primer cuadrante.

54. Tes el triángulo encerrado por las rectas

y0,y2x, y x1

55–56 Encuentre el valor promedio de fsobre la región D. 55. f(x,y) xy,Des el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0), y (1, 3) 56. f(x,y) xsen y,Destá encerrado por las curvas y0,

yx2 y x1

57. Demuestre la Propiedad 11.

Al evaluar una integral doble sobre una región D, se obtuvo una suma de integrales iteradas como sigue:

Bosqueje la región Dy exprese la integral doble como una in-tegral iterada con orden inverso de integración.

59. Evalúe , donde

[Sugerencia: explote el hecho de que Des simétrica con respecto a ambos ejes.]

60. Use simetría para evaluar , donde Des la región acotada por el cuadrado con vértices 5, 0y 0,5.

61. Calcule , donde Des el disco

x2_y2_{1, identificando primero la integral como} el volumen del sólido.

62. Dibuje el sólido acotado por el plano xyz1 y el para-boloide z4 x2

y2

y encuentre su volumen exacto. (Use su CAS para construir la gráfica, hallar las ecuaciones de las curvas límite de la región de integración y evaluar la integral doble.)

CAS

xx

2_y2 _dA

xx

Dx, y

2.

xx

2_{tan xy}3_{4 dA}

yy

D

fx, y dA

y

y

2y

0 fx, y dx dy

y

1

y

0 fx, y dx dy 58.

yy

D

sen4

(xy) dA, 1 2

yy

D

e(x2_y2₎2

dA,

yy

yy

x2 _dA 51.

;30. Encuentre el volumen aproximado del sólido en el primer oc-tante que está acotado por los planos yx,z0 y zxy el cilindro ycos x. (Use un dispositivo de graficación para esti-mar los puntos de intersección.)

31–32 Encuentre el volumen del sólido restando dos volúmenes.

31. El sólido encerrado por los cilindros parabólicos y1 x2_,yx2_{1 y los planos xyz2,} 2x2yz10 0.

32. El sólido encerrado por el cilindro parabólico yx2 y los planos z3y,z2 y.

33–34 Trace el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada.

33. 34.

35–38 Use un sistema algebraico computacional para hallar el volumen exacto del sólido.

35. Debajo de la superficie zx3_y4_xy2_{y arriba de la región} acotada por las curvas yx3

xy yx2

xpara x0. 36. Entre los paraboloides z2x2

y2

y z8 x2 2y2

y dentro del cilindro x2_y2_1.

37. Encerrado por z1 x2_y2_{y z0.} 38. Encerrado por zx2_y2_{y z2y.}

39–44 Bosqueje la región de integración y cambie el orden de integración.

39. 40.

41. 42.

44.

45–50 Evalúe la integral invirtiendo el orden de integración.

46.

47. 48.

49.

50.

y

y

2

s3y e x4

dx dy

y

0

y

arcsen y cos x s1cos

2_{x dx dy}

y

0

y

x e x/y

dy dx

y

y

1dy dx

y

0

y

sp

y cos(x

2 _{) dx dy}

y

0

y

3y e x2 _{dx dy}

45.

y

y

4

arctan x fx, y dy dx

y

y

lnx

0 fx, y dy dx 43.

y

y

s9y

0 fx, y dx dy

y

0

y

s9y2

s9y2 fx, y dx dy

y

y

4

4xfx, y dy dx

y

y

sx

0

fx, y dy dx CAS

y

y

1x2

0 (1x) dy dx

y

0

y

0 (1xy) dy dx

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

Suponga que se desea evaluar una integral doble , donde Res una de las re-giones mostradas en la figura 1. En cualquier caso, la descripción de Ren términos de coordenadas rectangulares es bastante complicada, pero R se describe fácilmente por medio de coordenadas polares.

Recuerde de la figura 2 que las coordenadas polares r,¨de un punto se relacionan con las coordenadas rectangulares x,ymediante las ecuaciones

r2

x2

y2

xrcos yrsen

(Véase la sección 10.3.)

Las regiones de la figura 1 son casos especiales de un rectángulo polar

que se muestra en la figura 3. A fin de calcular la integral doble , donde Res un rectángulo polar, se divide el intervalo a,ben msubintervalos ri1,ride igual

am-plitud rbamy se divide el intervalo ,en nsubintervalos ¨j1,¨jde igual

amplitud ¨ n. Entonces los círculos rriy los rayos ¨¨jdividen al

rec-tángulo polar Ren pequeños rectángulos polares mostrados en la figura 4.

FIGURA 3 Rectángulo polar FIGURA 4 División de R ensubrectángulos O

∫ å

r=a _¨=å

¨=∫

r=b

R

Ψ

¨=¨j ¨=¨j _1

(ri*, ¨j*)

r=r_{i _1} r=r_i Rij

O

xx

Rr,

FIGURA 1

x 0

y

R

≈+¥=1

(a)R=_s(r, ¨) | 0¯r¯1, 0¯¨¯2π_d

x 0

y

R

≈+¥=4

≈+¥=1

(b)R=_s(r, ¨) | 1¯r¯2, 0¯¨¯π_d

xx

15.4

O y

x ¨

x

y r

P(r, ¨)=P(x, y)

El “centro” del subrectángulo polar

tiene coordenadas polares

Se calcula el área de Rijusando el hecho de que el área de un sector de un círculo con

radio ry ángulo central ¨es . Al restar las áreas de dos sectores de esta clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central ¨¨j¨j1, se encuentra que el área de Rijes

Aunque se ha definido la integral doble en términos de rectángulos or-dinarios, se puede demostrar que, para funciones continuas f, se obtiene siempre la misma respuesta por medio de rectángulos polares. Las coordenadas rectangulares del

centro de Rijson , de modo que una suma de Riemann

represen-tativa es

Si se escribe tr,¨rfrcos ¨,rsen ¨, entonces la suma de Riemann en la ecuación 1 se puede escribir como

que es una suma de Riemann para la integral doble

Por lo tanto, se tiene

CAMBIO A COORDENADAS POLARES EN UNA INTEGRAL DOBLE Si fes continua en un rectángulo polar Rdado por 0 arb,a¨b, donde

0 b 2, entonces

yy

R

fx, ydA

y

y

b

a fr cos , r sen rdrd 2

y

y

a fr cos , r sen rdrd

lím

m, nl

i1

n

j1t

r*, i j*r

y

y

b

a tr, drd

yy

R

fx, ydA lím

m, nl

i1

n

j1

fr* cos i j*, ri* sen j*Ai

y

y

b

a tr, drd

i1

n

j1t

r*, i j*r

i1

n

j1

fri* cos j*, r* sen i j*Ai

i1

n

j1

fr* cos i j*, r* sen i j*r*i r 1

ri* cos j*, ri* sen j*

xx

1

2riri1riri1 r* i r

Ai

1 2ri2

1 2ri1

2 1

2ri2 ri21 1

2r 2

j

*1

2 j1 j

ri*

1

2ri1ri

Rijr,